Introduction

1La situation que nous présentons et analysons dans ce chapitre vise à travailler explicitement l’obstacle de l’infini actuel tel que nous l’avons identifié en introduction de l’ouvrage.

2L’objectif principal est d’amener les élèves à formuler eux-mêmes l’argument qui fait obstacle à la notion d’infini actuel : « dans un ensemble donné le tout est plus grand que la partie », et de montrer que considérer explicitement l’ensemble ℕ des entiers naturels nécessite de réfuter cet argument.

3La situation est construite autour d’un extrait du Dialogue des sciences nouvelles de Galilée qui porte sur la possibilité de comparer les infinis, en appui sur l’exemple des entiers naturels et de leurs carrés. Cette situation a été expérimentée en classe de 2^de par le professeur de mathématiques de la classe dans un premier temps et dans un second temps en co-animation entre ce même professeur et un professeur de philosophie de l’établissement en classe de terminale. Le scénario global retenu est le suivant : une première phase de travail visant à situer le texte dans l’œuvre de Galilée, suivie de la lecture silencieuse et individuelle de l’extrait ; une deuxième phase de travail en groupe pour répondre à trois questions. Les deux premières portent sur la compréhension du problème soulevé dans l’extrait et l’analyse de l’argumentation conduisant à sa conclusion, à savoir, on ne peut pas comparer les infinis. Dans la troisième question, on demande aux élèves de se positionner sur la question travaillée dans le texte en argumentant cette position. Le travail se déroule en groupes de deux à quatre élèves ; les élèves doivent produire une synthèse collective écrite de leurs réponses aux questions ci-dessus. Chaque groupe fait ensuite une présentation orale avec relevé de ses réponses écrites au tableau pour alimenter le débat sur la dernière question. L’objectif est d’aboutir à l’issue du débat à l’institutionnalisation du résultat suivant :

En considérant un ensemble qui contient tous les nombres entiers possibles, appelé ensemble des nombres entiers naturels, on peut mettre en relation cet ensemble infini et le sous-ensemble formé des carrés parfaits des éléments de cet ensemble de telle façon qu’à chaque nombre entier naturel on peut associer de manière unique son carré et qu’à chaque carré parfait on peut associer de manière unique un nombre entier naturel.

4Pour prolonger l’activité, les élèves peuvent être invités à explorer la question complémentaire :

Peut-on trouver d’autres parties de l’ensemble ℕ des entiers naturels qui peuvent être mises en correspondance avec lui-même ? Si oui, lesquelles ? Argumentez vos réponses.

5Cette situation s’inscrit dans une perspective interdisciplinaire associant étroitement des questions philosophiques et des questions mathématiques. En effet, d’une part elle met en jeu la compréhension d’un texte à teneur philosophique, et d’autre part elle requiert la mobilisation par les élèves de notions sur les grandeurs finies et infinies déjà rencontrées antérieurement dans le curriculum. Les élèves du secondaire ont antérieurement rencontré les notions de grandeur et d’infini à propos de notions simples : celle de la ligne infinie (au sens où elle peut être prolongée continûment) et celle d’un ensemble composé d’éléments innombrables, au sens où l’on peut toujours ajouter un élément du même type à toute collection finie de tels éléments (un exemple emblématique est celui des nombres entiers naturels). En ce qui concerne la relation entre le tout et la partie, les élèves ont pu être exposés en acte1 au IX^e axiome du premier livre de la géométrie d’Euclide selon lequel : « Le tout est plus grand que la partie » ; un tel énoncé est une proposition intuitive, en accord avec l’expérience commune dans les situations où l’on travaille avec des collections finies et la relation d’inclusion stricte sur de telles collections. Nous faisons l’hypothèse qu’il peut être facilement adopté par les élèves, sans nécessiter de démonstration car considéré comme un énoncé « tenu pour vrai sur le réel » (Vergnaud, 1990). Nous rappelons ici que c’est également dans le contexte d’un tout comportant un nombre fini d’éléments que ce postulat est présent chez Euclide. D’autre part, les élèves ont pu rencontrer au collège et au lycée un tout composé d’un nombre infini d’éléments, ceci le plus souvent sans que cela fasse l’objet d’un enseignement explicite. C’est le cas par exemple lorsque l’on introduit l’ensemble des nombres entiers naturels au début du lycée : on passe alors de manière subreptice d’un point vue liste illimitée à un point de vue ensembliste, ce qui correspond au passage de l’infini potentiel à l’infini actuel, lequel ne va pas de soi, le premier étant relativement intuitif, alors que le second heurte cette même intuition (Fischbein, 2001). La situation que nous proposons vise à confronter les élèves aux questions qui se posent lorsque l’on s’autorise à considérer des ensembles infinis, en mettant au cœur de l’activité la question : peut-on comparer entre elles les grandeurs infinies de la même manière que l’on compare entre elles les grandeurs finies ?

6La lecture de textes philosophiques est en rupture avec les pratiques habituelles en classe de mathématiques, et a été peu pratiquée par les élèves concernés par l’expérimentation (classe de 2^de en France, élèves de 15-16 ans) puisque la philosophie n’est enseignée que deux ans plus tard dans le cursus français. Notons que les élèves ont néanmoins pu avoir l’occasion d’étudier des textes à orientation philosophique dans les enseignements de français. L’intervention conjointe des professeurs de philosophie et de mathématiques en classe de terminale, qui a eu lieu dans une deuxième phase, ultérieurement à celle expérimentée en 2^de, vise à permettre que les enjeux tant mathématiques que philosophiques du texte puissent être abordés et travaillés au cours de la séance.

Présentation du problème : peut-on comparer les infinis ?

7Le problème de savoir si l’on peut comparer les infinis est une question qui renvoie à la possibilité ou non d’étendre les pratiques de comparaison des collections finies à des collections infinies.

8Cette interrogation a donné lieu à de nombreux débats philosophiques dans l’histoire dont certains renvoient explicitement à des questions mathématiques, qui n’ont été résolues que tardivement au milieu du xix^e siècle. Nous faisons l’hypothèse que ces débats philosophiques éclairent les questions didactiques posées par les usages en classe de mathématiques des deux notions d’infini identifiées très tôt par les philosophes, à savoir l’infini potentiel et l’infini actuel.

9Pour aborder ce problème avec les élèves, nous avons choisi un court extrait d’un texte de Galilée tiré du Dialogue sur deux sciences nouvelles. Dans ce texte, Galilée s’intéresse à la suite des carrés des nombres entiers et met en évidence une correspondance biunivoque entre la liste des entiers naturels et la liste des carrés de ces mêmes entiers, ce qui pourrait laisser penser qu’il y a « autant » de carrés parfaits que de nombres entiers naturels ; or ceci rentre en contradiction avec le fait qu’il y a « moins » de nombre carrés que de nombres entiers naturels, comme on peut s’en convaincre en observant que de nombreux entiers ne sont pas des carrés parfaits. Ceci peut conduire à rejeter la possibilité de considérer des collections infinies, ce qui a été le cas chez de nombreux mathématiciens avant que ne soit définie théoriquement par Dedekind (1888) la notion d’ensemble infini comme un ensemble pouvant être mis en bijection avec une partie propre. Le travail proposé aux élèves vise à leur permettre d’identifier et de discuter le paradoxe soulevé par Galilée, et de les confronter à deux manières différentes de comparer les quantités : la mise en correspondance biunivoque qui s’applique aux collections finies et aux listes illimitées d’une part ; l’inclusion stricte entre ensembles d’autre part, qui s’applique aux collections finies et aux ensembles formés des éléments d’une liste finie ou potentiellement illimitée. Il est important de noter qu’un tel ensemble n’est pas nécessairement infini : il est possible dans une liste illimitée d’avoir des répétitions conduisant à un nombre fini d’éléments différents. Ce n’est pas le cas dans l’exemple étudié dans le texte, chacune des deux listes étant formée d’éléments deux à deux distincts.

10Bien que l’infini ne soit pas une notion au programme de lycée de manière explicite, le travail proposé ici pouvait s’inscrire dans le cadre du programme de seconde de 2009 modifié en 2017, dans la mesure où il répondait à deux recommandations de celui-ci.

11Un travail sur l’argumentation :

Raisonnement et langage mathématiques
Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. À l’issue de la 2^de, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant. (BO, 2017, Circulaire n^o 2017-082 du 2-5-2017, p. 1)

12Une première approche des ensembles de nombres :

En page 10 du programme de 2009 qui concerne les notations et le raisonnement mathématique, suite à la recommandation : « Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séances de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire. » […] « Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, […] ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. » (BO, 2017, Circulaire n^o 2017-082 du 2-5-2017, p. 1)

13Il faut noter qu’au moment où cette expérimentation a été menée, le texte ci-dessus était le seul endroit dans le programme de 2^de où une exigence était précisée concernant les ensembles de nombres. Dans le nouveau programme mis en place à la rentrée 2019-2020, cette activité s’inscrit fortement dans une nouvelle place accordée aux nombres et à l’utilisation de l’histoire pour éclairer certains concepts étudiés, comme le montrent les deux extraits suivants :

Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme une source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur peut s’appuyer sur l’étude de documents historiques […]. La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. Deux exemples : la crise provoquée par la découverte des irrationnels chez les mathématiciens grecs, la différence entre « nombres réels » et « nombres de la calculatrice ». Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’au fur et à mesure de l’élaboration, au cours des siècles, de symbolismes efficaces. (BO, 2019, p. 5-6)

Contexte de l’expérimentation et objectifs

14L’activité proposée s’appuie sur un dialogue de Galilée extrait du Dialogue des sciences nouvelles, publié en 1638 qui met en scène à Venise deux personnages (Salviati, noble florentin porte-parole de Galilée lui-même, et Simplicio, partisan d’Aristote) et dont voici la partie distribuée aux élèves2 :

SIMPLICIO : Voici déjà que surgit un doute qui me paraît insoluble : étant donné notre certitude qu’il peut exister deux lignes dont l’une est plus grande que l’autre et dont chacune contient un nombre infini de points, nous sommes forcés d’admettre qu’il se trouve, en des grandeurs de même espèce, une grandeur supérieure à l’infini, puisque l’infinité des points de la ligne majeure excédera l’infinité des points de la mineure. Or, que puisse être donné un infini plus grand que l’infini me paraît une chose absolument inconcevable.
SALVIATI : Les difficultés de cet ordre proviennent de ce que nous raisonnons avec notre intelligence finie sur les infinis, leur donnant les mêmes attributs qu’aux choses finies et limitées, procédé injustifiable à mon sens, car j’estime que ces attributs de supériorité, d’infériorité et d’égalité ne conviennent pas aux infinis, dont on ne peut dire que l’un est plus petit, plus grand ou égal par rapport à l’autre. J’en donnerai pour preuve un argument qui me revient en mémoire et que, pour être plus clair, je développerai sous forme de questions à l’adresse du Signor Simplicio qui a soulevé cette difficulté.
Je suppose que vous savez très bien distinguer les nombres carrés des non carrés.
SIMPLICIO : Je sais parfaitement qu’un nombre carré est celui qui naît de la multiplication d’un autre nombre par lui-même : ainsi quatre, neuf, etc., sont des nombres carrés, étant engendrés l’un par le nombre deux, l’autre par le nombre trois, multipliés par eux-mêmes.
SALVIATI : Très bien. Et vous savez encore que si les produits s’appellent carrés, les facteurs des produits, c’est-à-dire les nombres qui se multiplient, sont appelés côtés ou racines ; quant aux nombres qui ne résultent pas de la multiplication d’un nombre par lui-même, ils ne sont aucunement des carrés. Donc, si je dis que tous les nombres, carrés et non carrés, sont plus que les carrés seuls, j’énonce une proposition très véritable.
Sommes-nous d’accord ?
SIMPLICIO : Il est impossible de ne pas l’être.
SALVIATI : Si maintenant je demande combien il y a de nombres carrés, on pourra répondre en toute vérité qu’ils sont aussi nombreux que leurs propres racines, attendu que tout carré a sa racine, toute racine son carré, qu’aucun carré n’a plus d’une seule racine, ni aucune racine plus d’un seul carré.
SIMPLICIO : C’est ainsi.
SALVIATI : Mais si j’en arrive à demander combien il y a de racines, on sera forcé de répondre qu’il y en a autant que de nombres, car il n’est pas un nombre qui ne soit racine de quelque carré ; cela étant, nous pourrons affirmer que les nombres carrés sont autant que tous les nombres puisqu’ils sont autant que leurs racines et que tous les nombres sont racines. Cependant, nous disions, pour commencer, qu’il y a plus de nombres en tout qu’il n’y a, en tout, de carrés, la majeure partie des nombres étant non carrés. Et même les carrés vont se raréfiant dans une proportion de plus en plus grande à mesure que l’on accède à de plus grands nombres ; ainsi, jusqu’à cent, il y a dix carrés, autrement dit : la dixième partie des nombres sont des carrés ; ils n’en sont plus que la centième partie si nous allons jusqu’à dix mille ; et jusqu’à un million, la millième. Et pourtant, dans le nombre infini, si nous étions à même de le concevoir, nous devrions reconnaître que les carrés sont autant que tous les nombres. (Galilée, 1997, p. 255-257)

15La première réplique de Simplicio fait émerger le paradoxe selon lequel il existerait des quantités, ici composées de points, à la fois infinies et inégales. En procédant à la manière de Socrate par un questionnement, Salviati prend pour exemple l’ensemble des carrés des nombres entiers naturels et dans un premier temps fait admettre à Simplicio que ces carrés sont moins « nombreux » que les nombres entiers naturels dans leur totalité ; dans un second temps, il met en évidence la correspondance biunivoque entre ces deux ensembles : « attendu que tout carré a sa racine, toute racine son carré, qu’aucun carré n’a plus d’une seule racine, ni aucune racine plus d’un seul carré ».

16La dernière réplique de Salviati présente le paradoxe qui apparaît lorsque l’on applique aux quantités infinies les mêmes règles de comparaison qu’aux quantités finies. Salviati ébauche dans cette dernière phrase l’idée que, si l’on pouvait concevoir un nombre infini, on pourrait alors appliquer le critère de comparaison « autant que » à l’ensemble des nombres et à l’ensemble des nombres carrés.

17L’activité qui suit, construite autour de ce texte, vise à faire identifier et à faire formuler l’argument qui fait obstacle à la notion d’infini actuel : « dans un ensemble donné le tout est plus grand que la partie ». Elle a pour objet de montrer que la construction de l’ensemble des entiers naturels nécessite de réfuter cet argument. Les questions posées ont pour but d’amener les élèves à expliciter leur représentation de l’infini afin d’identifier ce qui peut faire obstacle à considérer une totalité comportant tous les entiers naturels, c’est-à-dire à envisager la possibilité d’un infini actuel.

18Deux expérimentations sur deux niveaux ont été menées dans des classes de lycée :

• la première en classe de 2^de au premier trimestre de l’année 2017-2018 ;
• la seconde dans une classe de terminale scientifique en octobre 2018 avec une co-intervention des enseignants de philosophie et de mathématiques.

Scénarios mis en place et analyse a priori de la situation

19Dans cette section nous présentons les scénarios mis en place en classe de 2^de et en classe de terminale, suivis de l’analyse a priori de la situation.

Analyse a priori

27Dans les programmes de lycée, le fait de considérer l’ensemble des entiers naturels (ainsi que les autres ensembles de nombres) comme une totalité n’est jamais questionné et est pris comme allant de soi. Cette activité permet de montrer que cette approche masque les difficultés de certains élèves à construire l’ensemble des nombres entiers comme un infini actuel.

28« Le tout est plus grand que la partie » est communément admis et figure par ailleurs dans les notions des Éléments d’Euclide. L’objet du texte de Galilée est de montrer que lorsque le « tout » est infini, ce postulat amène à un paradoxe. Il le remet en cause en mettant en évidence une correspondance biunivoque entre l’ensemble de tous les nombres entiers naturels et l’ensemble de leurs carrés.

29Mais que recouvre ce vocable « plus grand que » ? Ce terme est polysémique et peut être compris ici dans au moins trois acceptions :

• plus grand en termes de comparaison de longueur des segments (1) ;

• plus grand au sens de l’inclusion (2) ;

• plus grand via la mise en correspondance terme à terme a) de points sur deux segments (Simplicio), b) de liste de nombres entiers (Salviati) (3).

30(1) L’argumentaire de Simplicio dans la première réplique du dialogue repose sur la comparaison des longueurs inégales de deux segments qui contiennent chacun un nombre infini de points : c’est ce qui crée la contradiction avec le postulat « Le tout est plus grand que la partie ». Mais on peut envisager deux types de correspondance point par point lorsque l’on compare deux segments [AB] et [CD] de longueurs différentes (figure 1 et figure 2).

Figure 1. Comparaison via des parallèles.

Figure 2. Comparaison via des sécantes.

31Dans la figure 1, la longueur du segment [AB] est inférieure strictement à la longueur du segment [CD] et les points du segment [AB] sont mis en bijection à l’aide de droites parallèles avec les points du segment [CM] strictement contenu dans [CD].

32Dans la figure 2, la longueur du segment [AB] est inférieure strictement à la longueur du segment [CD] et les points du segment [AB] sont mis en bijection, à l’aide de sécantes menées par le point d’intersection des droites (AC) et (BD)3, avec les points du segment [CD].

33(2) Dans le cas des ensembles finis, l’inclusion stricte implique l’inégalité stricte des cardinaux. Mais cela tombe en défaut dans le cas de parties infinies comme le montre Galilée en mettant en correspondance biunivoque (figure 3) les nombres et leurs carrés alors que l’ensemble des carrés parfaits est un sous-ensemble strict de l’ensemble des nombres entiers naturels :

Figure 3. Correspondance biunivoque.

34Cette représentation repose sur l’énumération des éléments de ces deux ensembles. La notation « … », largement utilisée en classe au Lycée, vise à expliciter le fait que cette énumération est potentiellement illimitée et pourrait contribuer de ce fait à la compréhension de l’infini potentiel. Néanmoins, certains élèves peuvent avoir une interprétation finitiste de cette notation. Pour ces élèves qui « restent » dans une conception finie, les deux ensembles que l’on peut former à partir de ces deux listes ne sont pas comparables au sens de l’inclusion (aucun des deux ensembles n’est inclus dans l’autre) et donc le paradoxe soulevé par Galilée ne peut être compris.

35(3) Les notions de correspondance biunivoque et de cardinalité sont présentes en acte depuis l’école primaire dans l’approche du concept de nombre entier par les collections discrètes.

36Dans l’exemple que nous considérons ici, la correspondance biunivoque mise en place dans l’énumération précédente est mise en défaut lorsque l’on se situe dans le point de vue ensembliste en considérant un ensemble fini de type {1, 2, 3, … , n} avec par exemple ici n = 10.

Figure 4. Inclusion stricte dans le cas fini.

37Dans un ensemble fini du type {1, 2, 3, … , n}, le sous-ensemble des carrés est strictement inclus dans l’ensemble initial et son cardinal est strictement plus petit ; il n’y a pas donc pas de paradoxe (figure 4).

38Identifier le paradoxe soulevé par Galilée nécessite de se placer dans un point de vue de quantités potentiellement illimitées données sous forme de liste, et d’envisager de comparer la taille des collections constituées de tous leurs éléments, autrement dit de passer de l’infini potentiel à la possibilité d’un infini actuel.

39D’autres obstacles peuvent apparaître :

• celui lié à la difficulté de comprendre l’argumentation du texte car ce type de travail est récent pour un élève de 2^de et l’articulation entre les arguments logiques et philosophiques peut poser problème aux élèves ; en particulier l’argument de la finitude de l’être humain qui ne pourrait, en conséquence, concevoir des propriétés que dans le fini ;
• enfin des problèmes liés aux outils de calcul : bien que la familiarité avec les nombres entiers naturels pourrait laisser penser que ce n’est pas un obstacle, nous faisons l’hypothèse qu’une confusion et une maîtrise insuffisante des outils que sont le carré et la racine carrée pourraient nuire à la compréhension de l’argument de Galilée et de surcroît à la compréhension de la bijection.

Analyse a posteriori en classe de 2^de

40Nous présentons tout d’abord le déroulement global de l’activité en classe de 2^de, puis des éléments d’analyse a posteriori des deux premières questions et enfin des éléments d’analyse a posteriori de la troisième question.

Analyse a posteriori en classe de terminale

64Cette situation a été expérimentée en octobre 2018 dans un groupe de 18 élèves de spécialité mathématique en terminale S en présence de deux enseignantes : la professeure de mathématiques de cette classe composée d’élèves intéressés et motivés et une professeure de philosophie d’une partie de la classe ; deux élèves qui n’appartenaient pas au groupe sont venus participer à ce cours de manière facultative. Nous présentons tout d’abord le déroulement global de la situation, puis nous donnons des éléments d’analyse des documents produits par les élèves.

Conclusion

84Ces premiers résultats montrent que la lecture d’un texte de philosophie peut faire émerger certaines questions de nature épistémologique les plus souvent inaperçues dans le travail mathématique conduit en classe. Le court texte de Galilée que nous avons choisi dans le cadre de cette situation s’est révélé être un support pertinent pour aborder la question de la possibilité de comparer les infinis dès la classe de 2^de et initier un premier questionnement sur les relations entre infini potentiel et infini actuel en classe de terminale. Cette situation, par la suite, a été également mise en œuvre dans une classe de 1^re et dans deux classes de 2^de. Ces mises en œuvre n’ont pas fait l’objet d’analyse, mais nous avons observé dans chaque cas des phénomènes analogues à ceux de cette étude : engagement des élèves, riches débats après les mises en commun. De nombreux élèves ont par ailleurs exprimé le désir de prolonger ces débats.

85Le but de la séance proposée était d’amener les élèves à questionner à partir de leurs connaissances antérieures l’axiome euclidien du tout et de la partie qui est remis en cause dès lors que l’on s’autorise à considérer des ensembles infinis de nombres. Nous avons décrit la mise en place d’une situation construite autour d’un court extrait d’un texte de Galilée et en avons donné des éléments d’analyse a priori. L’analyse des réponses recueillies met en valeur la diversité et la richesse des réponses des élèves quant à l’analyse des arguments développés dans le texte. Malgré les difficultés d’interprétation de certaines réponses, nos analyses soutiennent notre hypothèse initiale que cette activité permet chemin faisant aux professeurs et aux élèves de mettre en lumière que les pratiques de comparaison des quantités finies ne se transfèrent pas aux quantités infinies lorsque l’on adopte un point de vue ensembliste qui renvoie à l’infini actuel. Plus précisément, cette activité permet de découvrir la possibilité d’envisager une nouvelle relation du tout à sa partie dans le contexte des ensembles infinis, celle d’une relation bijective entre le tout, ensemble des nombres entiers naturels, et une partie de ce tout, le sous-ensemble des carrés de ces nombres entiers. Ceci constitue une première initiation à une démarche théorique permettant de dépasser la contradiction introduite lorsque l’on veut traduire dans une perspective ensembliste la mise en correspondance biunivoque entre la liste illimitée des entiers et la liste illimitée de leurs carrés. Comme nous l’avons souligné, ceci reste le plus souvent inaperçu dans la classe de mathématiques au lycée, alors même que les relations entre infini potentiel et infini actuel sont au cœur du travail sur les suites, lesquelles peuvent être considérées comme des listes d’éléments de natures diverses indexées par les entiers (infini potentiel) ou des fonctions de l’ensemble ℕ des entiers naturels dans un ensemble E (infini actuel). Dès le lycée, cela peut concerner des objets de natures diverses : nombres, fonctions, suites, figures, vecteurs, matrices, etc. ; cette liste s’enrichissant au fur et à mesure de l’avancée du curriculum. Cette dialectique entre infini potentiel et infini actuel est également au cœur du raisonnement par récurrence qui est étudié en fin de lycée et en début d’université.

86L’approche en commun par les élèves des deux facettes de l’infini mathématique par l’analyse d’un texte leur donne ainsi l’occasion de vivre une expérience mathématique, qui pourra servir de situation de référence pour aborder notamment le domaine de l’analyse. En prolongement de cette activité, on peut sensibiliser les élèves au fait que le débat sur les deux infinis s’est prolongé jusqu’au xx^e siècle, en leur proposant par exemple un travail sur l’hôtel de Hilbert (Delahaye, 2000)5.