Récréations mathématiques et algorithmique dans le Liber Abaci de Fibonacci (xiiie siècle)
p. 225-252
Texte intégral
Introduction
1Dans ce chapitre, nous décrivons une expérience pédagogique fondée sur l’introduction d’une perspective historique dans l’enseignement des mathématiques et nous analysons les travaux d’élèves obtenus. Notre projet est aussi de fournir au lecteur des éléments historiques et historiographiques suffisants afin de lui permettre de s’emparer des quelques problèmes du Liber abaci ici présentés pour construire, à son tour, ses propres séances d’enseignement.
2Ainsi, dans une première partie, nous brossons à gros traits le contexte historique dans lequel évolue Fibonacci, un des plus grands mathématiciens pour le monde latin du xiiie siècle. Dans une seconde partie, nous interrogeons brièvement la pertinence des expressions « mathématiques récréatives » ou « récréations mathématiques » pour qualifier la plupart des problèmes des chapitres 12 et 13 du Liber abaci. Nous donnons ensuite une traduction française des énoncés de plusieurs de ces problèmes. Est ainsi dévoilée la richesse d’une partie des outils mathématiques et des raisonnements de Fibonacci. Enfin, dans une troisième partie, nous nous concentrons sur le problème dit « du verger » et son utilisation en cycle 4 (11-15 ans) pour aborder les premières notions d’algorithmes avec structures répétitives. Cette dernière partie est largement documentée par des travaux d’élèves. Ceux-ci permettent d’analyser les différentes démarches mises en œuvre pour résoudre un problème ancien avec les outils de la classe d’aujourd’hui (et notamment le logiciel Scratch).
Fibonacci – quelques éléments contextuels
3Ce n’est pas ici le lieu de détailler la biographie de Fibonacci. Cet exercice serait d’ailleurs périlleux tellement nous en savons peu de chose (Caianiello 2014). Rappelons néanmoins quelques éléments qui permettent de situer l’homme et son œuvre dans leur contexte historique1.
4Fibonacci ou Léonard de Pise est né dans le dernier tiers du xiie siècle et mort après 1241. Originaire de Pise, importante république maritime de Toscane, il est le fils de Guglielmo Bonacii d’où son surnom filius Bonacci. Il voyage dans tout le bassin méditerranéen, en particulier en Égypte, en Syrie, à Constantinople ainsi qu’en Sicile et en Provence. Le séjour le plus important en dehors de Pise est probablement celui qu’il effectue dans le comptoir pisan de Béjaïa dans l’actuelle Algérie (Bougie à l’époque coloniale) aux côtés de son père qui occupe un poste à responsabilité dans l’administration des douanes. C’est dans cette ville du Maghreb central qu’il s’initie aux mathématiques arabes, et notamment à la numération décimale positionnelle avec les neuf chiffres indiens et le zéro (zephyrum en latin, translittération de l’arabe ṣifr, qui donne aussi chiffre en français). Ainsi, Fibonacci profite grandement du contexte scientifique et culturel méditerranéen du xiiie siècle marqué par d’importantes relations commerciales et diplomatiques entre le Nord et le Sud. C’est probablement dans sa ville natale, alors à son apogée, qu’il rencontre Frédéric II Hohenstaufen (1194-1250), empereur du Saint-Empire romain germanique et roi de Sicile. En effet, dans les premières lignes d’un de ses ouvrages mathématiques, intitulé Flos et rédigé entre 1226 et 1230 (Picutti 1983), il explique :
Alors que j’étais à Pise en présence de Votre Majesté, très glorieux Prince Frédéric, Maître Jean de Palerme, votre philosophe, discuta avec moi de nombreuses questions sur les nombres et me proposa entre autres deux problèmes concernant tant la géométrie que le nombre. (Fibonacci 1854 : 2)
5Nous savons que Frédéric II est un souverain éclairé, intéressé par la culture et la science. Il pratique lui-même la fauconnerie, un important art de la chasse, pour lequel il rédige un fameux traité. Sa cour, lieu privilégié d’expression du savoir, est composée d’éminents hommes de sciences qu’il a su attirer de toute l’Europe et même d’Orient. Fibonacci semble avoir des liens scientifiques et amicaux avec plusieurs de ces savants et en particulier avec Jean de Palerme, Michael Scot et Théodore d’Antioche. À la cour, sont parlées plusieurs langues comme le latin, le grec et l’arabe, ce qui garantit l’accès à de très nombreuses sources écrites. Il ne faudrait pas non plus négliger les importantes relations tissées dans le cadre des croisades, qu’elles soient pacifiques ou belliqueuses, avec les régions du Sud. Plusieurs croisades – au moins de la quatrième à la sixième – sont contemporaines de la période d’activité de Fibonacci. Frédéric II reprend Jérusalem, par la diplomatie, en 1229. Des contacts sont liés avec al-Malik al-Kāmil, sultan d’Égypte de 1218 à 1238, qui sont aussi fructueux pour la diplomatie que pour les échanges scientifiques. Plusieurs chroniques historiques précisent que des problèmes de philosophie, de géométrie, d’astronomie seraient posés aux uns par les autres et stimuleraient ainsi l’activité scientifique des cours respectives2. Fibonacci en est probablement l’un des bénéficiaires.
6Si Fibonacci est aujourd’hui célèbre en particulier pour la suite de nombres qui porte son nom depuis l’époque, bien tardive, des travaux d’Édouard Lucas (xixe siècle), son œuvre mathématique ne doit pas être réduite à cela (Lucas 1877 : 7)3. Elle est constituée de deux travaux majeurs4 : le Liber abaci (Livre du calcul) pour l’arithmétique et l’algèbre, et la Practica geometriae (Pratique de la géométrie) pour la géométrie. Il donne à voir une parfaite connaissance des mathématiques savantes de son temps et des problèmes pratiques qui peuvent être résolus à l’aide des mathématiques. Avec le vaste mouvement de traductions de l’arabe au latin du xiie siècle, il contribue lui-même, au siècle suivant, à ce que l’Europe latine puisse continuer à se nourrir des savoirs et savoir-faire mathématiques des pays d’Islam.
7En guise de premier exemple, nous pouvons considérer la numération indo-arabe qu’il présente dans les premières lignes de son Liber abaci5 comme :
Les neuf chiffres des Indiens sont
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Avec ces neuf chiffres donc et avec le signe 0, qui est appelé zéphyr en arabe, on écrit n’importe quel nombre. (Fibonacci 1857 : 2 ; Moyon 2016 : 12)
8Est ensuite décrite la manière d’écrire et de lire n’importe quel nombre, aussi grand soit-il, selon ses degrés :
Le nombre est une collection étendue d’unités ou bien une réunion d’unités qui croît à l’infini par ses propres degrés. Le premier est composé des unités qui sont de un jusqu’à dix. Le second est composé des dizaines qui sont de dix jusqu’à cent. Le troisième est composé des centaines qui sont de cent jusqu’à mille. Le quatrième est composé des milliers, qui sont de mille jusqu’à dix mille et ainsi pour tous les degrés successifs à l’infini, chacun étant le décuple de son antécédent. (Fibonacci 1857 : 2 ; Moyon 2016 : 12)
9Une partie importante du Liber abaci (chapitres 5, 6 et 7) est consacrée à l’écriture des fractions – avec la barre horizontale – et aux calculs qui s’y rapportent. S’inspirant largement, mais pas seulement, de la tradition maghrébine, il distingue les fractions en plusieurs genres pour résoudre divers types de problèmes (Moyon et Spiesser 2015).
10Le deuxième exemple qu’il est intéressant de considérer ici concerne l’algèbre (Hughes 2004 ; Miura 1981 ; Moyon 2012). En effet, pour cette nouvelle discipline née à Baghdad entre 813 et 833 avec al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison) d’al-Khwārizmī, Fibonacci montre là encore une parfaite connaissance du corpus de langue arabe. Il y consacre le quinzième et dernier chapitre de son Liber abaci : « Proportions, problèmes de géométrie et questions d’algèbre ». En plus de l’ouvrage fondateur du mathématicien bagdadien, il connaît au moins les travaux d’Abū Kāmil (m. 930). Pour de nombreux problèmes, le mathématicien pisan propose à la fois une résolution algorithmique et une résolution algébrique en utilisant le census (carré de l’inconnue), la radix (racine) ou la res (chose) et dragma (drachme) ou denarius (denier) pour le numerus simplex (nombre simple). Ainsi, pour prendre une terminologie moderne, il détaille le choix de l’inconnue, la mise en équation puis sa résolution ; chaque problème de degré inférieur ou égal à deux se ramenant à un des six types connus :
(I) x2 = bx ; (II) x2 = c ; (III) x = c
(IV) x2 + bx = c ; (V) bx + c = x2 ; (VI) x2 + c = bx
11Pour conclure, Fibonacci peut être considéré comme l’un des plus grands mathématiciens du xiiie siècle pour son œuvre. Mais, il est aussi nécessaire de l’apprécier comme un « trait d’union » entre les pays d’Islam et l’Europe latine. En effet, ancré dans un bassin méditerranéen multilingue, Fibonacci donne à voir une parfaite connaissance des mathématiques des pays d’Islam qu’il a su s’approprier pour montrer aussi une part d’originalité.
Des problèmes récréatifs dans le Liber abaci
En quel sens ?
Je savais […] que les Mathématiques ont des inventions très subtiles, & qui peuvent beaucoup servir, tant à contenter les curieux, qu’à faciliter tous les arts, & diminuer le travail des hommes. (Descartes 1637 : 7)
12Ainsi s’exprime Descartes dans le Discours de la méthode à propos des mathématiques. Est-ce vraiment possible de « contenter les curieux » et « diminuer le travail des hommes » ? Tel pourrait être le dessein de l’enseignement des mathématiques, et peut-être, pour le Moyen Âge, celui d’Alcuin d’York (ixe siècle) dans ses Propositiones ad acuendos juvenes (Propositions pour aiguiser l’esprit des jeunes)6 ou celui de Fibonacci dans son Liber abaci : proposer à son lectorat d’apprendre les mathématiques par la résolution de « problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres », pour reprendre le célèbre titre de Bachet de Méziriac (Bachet 1624), qui piqueraient donc sa curiosité (notamment par le contexte d’énonciation).
13Reprenons la structure du Liber abaci (Moyon et Spiesser 2015 : 421-422). Les sept premiers chapitres du Liber abaci sont entièrement consacrés à la numération et aux opérations sur les entiers, les fractions et les sommes d’entiers et de fractions. Les chapitres 8 à 11 sont, quant à eux, dédiés aux règles et problèmes relatifs au commerce avec, en particulier, les sociétés commerciales et la loi des monnaies (qui repose sur la notion de proportion dans les alliages). Suivent les douzième et treizième chapitres, de loin les plus importants quantitativement (une petite moitié de l’ouvrage), dans lesquels Fibonacci détaille différentes méthodes de résolution, et notamment celle de double fausse position (regula elchatayn), pour des problèmes de natures diverses désignés par l’expression erraticae questiones que l’on doit – semble-t-il – à Fibonacci lui-même7. Même si l’expression « récréations mathématiques » n’est pas explicite chez Fibonacci – n’existant pas à son époque8 –, on s’autorise à l’utiliser au sens défini par Jens Høyrup, à savoir :
Les problèmes récréatifs sont purs au sens où ils ne traitent pas d’applications réelles, cependant nombre d’entre eux se disent dans la langue de tous les jours. […] Les techniques et les méthodes sont, par nécessité, premières et les problèmes sont secondaires, dérivés des techniques qui ont besoin d’être enseignées. Toute personne familière avec les manuels d’arithmétique reconnaîtra la situation, et les systèmes scolastiques sont en effet ceux où dominent les problèmes construits à des fins de formation. Les systèmes d’apprentissage, pour leur part, ont tendance à s’entraîner autant que possible sur des tâches réelles, mais simples. (Høyrup 2008 : 1352-1353)
14Les deux derniers chapitres sont consacrés aux calculs sur les radicaux pour lesquels Fibonacci montre une grande connaissance des Éléments d’Euclide, et comme nous l’avons déjà mentionné, à l’algèbre. Ainsi donc, l’ouvrage de Fibonacci présenterait
une vaste gamme de problèmes récréatifs qui prennent leurs racines dans la vie de tous les jours. Mais, au contraire des problèmes d’application usuels, leurs conditions sont peu vraisemblables, voire même absurdes. (Sesiano 2014 : 3)
Des exemples
15Proposons quelques exemples de problèmes9 parmi les plus fameux où les animaux n’ont de raison d’être que pour les calculs sur les nombres entiers et les fractions, ainsi que pour les raisonnements liés à la proportionnalité et à la règle de trois.
Un lion mange un mouton en 4 heures, un léopard en 5 heures et un ours en 6 heures. On demande en combien d’heures ils auront dévoré un mouton si on leur en jette un entre eux. (Fibonacci 1857 : 182 ; Moyon 2016 : 24-25)
Deux fourmis sont, sur terrain plat, distantes de 100 pas. Elles se dirigent vers un seul et même lieu. La première avance quotidiennement de
de pas et recule de
. L’autre avance de
. et recule de
. On demande au bout de combien de jours elles se rejoindront. (Fibonacci 1857 : 182 ; Moyon 2016 : 27)
16Ou encore
Un lion est dans un puits dont la profondeur est de 50 palmes. Il monte quotidiennement de
d’une palme, et descend de
. On demande en combien de jours il sortira du puits. (Fibonacci 1857 : 177 ; Moyon 2016 : 28)
17Et, bien sûr, finissons par le problème des lapins, qui engendre la suite de nombres que nous avons déjà mentionnée précédemment :
Quelqu’un plaça une paire de lapins dans un endroit clos de tous côtés afin de savoir combien de descendants cette seule paire engendrerait en une année. Or, il est dans leur nature de mettre au monde une nouvelle paire chaque mois, et les lapins ont des descendants deux mois après leur naissance. Combien de paires de lapins sont engendrées en une année par une seule paire ? (Fibonacci 1857 : 283 ; Moyon 2016 : 29-32)
18D’autres problèmes font intervenir des robinets et des tonneaux (à défaut de baignoire10 ). Leurs techniques de résolution ne sont pas toujours élémentaires. Voici deux exemples :
C’est une citerne qui a quatre ouvertures. Par la première, elle se vide en 1 jour ; par la seconde, en 2 ; par la troisième en 3 ; par la quatrième, en 4. On cherche à savoir en combien d’heures elle sera vidée si les quatre ouvertures précédentes sont ouvertes en même temps. (Fibonacci 1857 : 183 ; Moyon 2016 : 47)
Un tonneau a quatre ouvertures placées l’une sur l’autre à chaque quart du tonneau. Et si l’on ouvre la première ouverture à partir du haut, le quart du tonneau est vidé en 1 jour. Ceci étant vidé, si la seconde est ouverte, ce qu’il y a entre la première et la seconde ouverture du tonneau, à savoir un autre quart, est vidé en deux jours. De même, les deux quarts étant vidés, si la troisième est ouverte, un autre quart du tonneau – entre la seconde ouverture et celle-ci – est vidé en trois jours. De même, si la quatrième est ouverte, l’autre quart du tonneau est vidé en 4 jours. On demande en combien de temps le tonneau tout entier sera vidé si les quatre ouvertures sont toutes ouvertes en même temps. (Fibonacci 1857 : 183 ; Moyon 2016 : 48)
19À l’instar de ce que nous avons déjà fait ailleurs11, tous ces problèmes peuvent aujourd’hui être utilisés dans l’enseignement des mathématiques de la scolarité obligatoire (10-18 ans). Ils permettraient d’introduire une perspective historique dans cet enseignement et pourraient susciter la curiosité et l’enthousiasme de nos élèves pour les mathématiques. C’est ce que nous avons voulu tester avec « le problème du verger ».
Le problème du verger
20Voici l’énoncé du problème tel qu’il est énoncé dans le Liber abaci :
Quelqu’un a cueilli des fruits dans un verger auquel on accède par 7 portes successives. Lorsqu’il a voulu en sortir, il lui a fallu donner au premier gardien la moitié de tous les fruits et un en plus. Au second gardien, la moitié des fruits restants et un en plus. Il a dû en donner aux cinq autres gardiens de la même manière. Il ne lui resta plus alors qu’un seul fruit. On demande combien de fruits du verger cette personne a cueillis. (Fibonacci 1857 : 278 ; Moyon 2016 : 33)
21Ce problème est connu par plusieurs autres recueils de problèmes que l’on peut qualifier de récréatifs, au sens explicité ci-dessus. En particulier, on en trouve plusieurs occurrences dans le Liber augmenti et diminutionis (livre de l’augmentation et de la diminution) d’auteur inconnu, probablement du xiie siècle (Libri 1838 : 336-345 ; Hughes 2001 : 116, 124-126). Toutes ces occurrences contribuent à montrer la richesse du problème grâce à la multitude de résolutions possibles12 : par la méthode de double fausse position (Chabert et coll. 1994, 95-128), par l’algèbre et par une méthode algorithmique proposant de « remonter l’énoncé à l’envers », quelquefois appelée « méthode d’inversion » (Datta et Singh 2004 : 232).
22Fibonacci, quant à lui, propose deux résolutions distinctes. La première repose sur l’idée de reprendre à l’envers chacune des étapes du programme de calcul en inversant les opérations :
Tu fais ainsi : pour un fruit, c’est ce qu’il lui reste, elle en possède 1. On ajoute à celui-ci un fruit, ce qu’elle a remis au dernier gardien : ils seront 2 fruits, qu’on double, ils seront 4. Et c’est autant qu’elle avait lorsqu’elle est tombée sur le dernier gardien. On ajoute à ceux-ci le fruit qu’elle a donné au sixième gardien : ils seront 5 fruits, qu’on double, ils seront 10. Et c’est autant que ce qu’il lui restait après la sortie de la cinquième porte. On ajoute à ceux-ci le fruit qu’elle a donné au cinquième gardien : ils seront 11 fruits, qu’on double, ils seront 22. On ajoute à ceux-ci 1 pour le fruit qu’elle donne au quatrième gardien : ils seront 23, qu’on double, ils seront 46. On ajoute à ceux-ci 1 pour le fruit qu’elle donne au troisième gardien : ils seront 47, qu’on double, ils seront 94. On ajoute à ceux-ci 1 pour le fruit qu’elle donne au deuxième gardien : ils seront 95, qu’on double, ils seront 190. On leur ajoute 1 pour le fruit qu’elle donne à la première porte et on double la quantité obtenue, ils seront 382 fruits et c’est autant de fruits que ce que la personne avait. Et ainsi inversement, selon ce qui a été proposé, en revenant en arrière, tu pourras résoudre n’importe quelle situation semblable.
23La seconde résolution est algébrique, en posant le nombre de fruits cueillis comme l’inconnue. La mise en équation fait nécessairement apparaître de nombreuses fractions13 :
Autrement, pose ce que la personne a cueilli au départ comme la chose. Il en enlève la
à la première porte et 1 fruit. Il reste alors
chose moins 1, duquel, à la seconde porte, il enlève la
et un fruit : il reste alors un quart de chose moins
de fruits. À la troisième porte, il en enlève la moitié et un fruit. C’est pourquoi il reste
de choses moins
de fruits dont il donne à la quatrième porte la moitié et un fruit. Et ainsi, il en reste
de choses moins
de fruits dont il reste
de choses moins
lorsqu’à la cinquième porte, il donne la moitié et un fruit ajouté. Il en donne sa moitié et un fruit ajouté à la sixième porte, il reste
de choses moins
de fruits. De cela alors, lorsqu’il en donne la moitié et un fruit ajouté à la septième porte, il reste
de choses moins
de fruits qui sont égaux à un fruit, c’est évidemment ce qu’il reste après être sorti des sept portes. Si un fruit est ajouté à
, il en vient que :
de choses sont égales à
de fruits. C’est pourquoi on multiplie
par 128, il y aura semblablement 382 fruits. (Fibonacci 1857 : 278 ; Moyon 2016 : 33-34)
24Ce problème est intéressant pour l’enseignement en cycle 4 (11-15 ans) car il propose deux résolutions différentes à partir d’un énoncé mathématique relativement simple, compréhensible par tous les élèves. Nous avons en effet remarqué qu’à partir du moment où les élèves ont appris l’algèbre, cela devient comme un automatisme devant un problème où l’on cherche un nombre – (1) poser une inconnue, (2) mettre en équation et (3) résoudre par l’algèbre – sans même réfléchir s’il y a une autre méthode plus abordable ou plus rapide.
Lorsque « perspective historique » rime avec « algorithmique »
25Dans cette partie, nous14 proposons et analysons un dispositif pédagogique introduisant une perspective historique dans l’enseignement des mathématiques au cycle 4.
26Les nouvelles instructions officielles15 incitent les enseignants à faire reposer leur enseignement sur le développement de diverses compétences. Outre les compétences mathématiques classiques (chercher, représenter, modéliser, calculer, communiquer, raisonner), d’autres plus transversales nous semblent importantes :
Mieux comprendre la société dans laquelle ils vivent exige aussi des élèves qu’ils s’inscrivent dans le temps long de l’histoire. C’est ainsi qu’ils sont davantage confrontés à la dimension historique des savoirs mais aussi aux défis technologiques, sociétaux et environnementaux du monde d’aujourd’hui. […] Pour autant, les élèves doivent aussi percevoir que les mathématiques ne sont pas figées, qu’elles se développent et affrontent parfois des crises. Elles sont le produit de la pensée humaine, peuvent être objets de créativité, et sont constitutives de la culture de toute société. (Programme d’enseignement du cycle des approfondissements (cycle 4))
27Les instructions officielles prescrivent d’autre part l’enseignement de l’algorithmique (notamment en favorisant l’utilisation de Scratch) au sein de la classe de mathématiques16. Nous avons ainsi voulu relever le défi de concilier notre approche historique des mathématiques et l’algorithmique telle qu’elle est envisagée au collège aujourd’hui. Les problèmes récréatifs de Fibonacci s’y prêtent, par nature, plutôt bien. Nous avons choisi le problème du verger pour mettre en place une activité à prise d’initiative dans le double but de réinvestir des notions déjà installées (opération sur les nombres entiers, programme de calcul) et d’identifier une nouvelle notion (celle des structures répétitives en algorithmique).
28Nous avons donc prévu deux séances d’une heure en troisième (14-15 ans), en demi-groupes (voir annexes 1 et 2). La première heure est consacrée d’une part à une introduction historique (très brève) pour placer le problème et son auteur dans leur contexte et d’autre part à la prise en charge effective du problème (lecture individuelle, résolution par groupes). La seconde séance est consacrée à la lecture du texte de Fibonacci proposant la solution algorithmique afin de la comparer avec sa propre résolution. C’est aussi l’occasion d’un développement mathématique autour de l’idée de généralisation, portée par la remarque finale du Pisan : « Et ainsi inversement, selon ce qui a été proposé, en revenant en arrière, tu pourras résoudre n’importe quelle situation semblable. » À la fin de la première séance, nous avons abandonné notre idée initiale de faire travailler les élèves sur la résolution algébrique qui nous est apparue compliquée.
29Plusieurs procédures ont été mises en place par les élèves. Certaines manquent d’explications. D’autres sont assez explicites sur les méthodes mises en œuvre. Nous présentons ci-après les principaux résultats ; tous les travaux ont été anonymisés.
Tentatives de résolution par l’algèbre
30Plusieurs élèves de troisième se sont lancés, comme nous l’avions imaginé17, dans un raisonnement de type algébrique en prenant comme inconnue le nombre de fruits cueillis18 (fig. 1 et 2). Là, une difficulté est apparue : c’est la confusion entre ce que le cueilleur doit donner aux gardiens successifs ( pour le premier, etc.) et ce que le cueilleur garde dans son panier (
pour le premier, etc.).
Fig. 1 – Mise en équation partielle avec ce que le gardien donnerait à chaque étape.

Fig. 2 – Mise en équation partielle avec ce que le gardien garderait à chaque étape.

31Enfin, peu d’élèves aboutissent à une équation. Et dans ce cas, sans avoir réduit les calculs, gardien après gardien, ils abandonnent, car ils ne savent pas la résoudre. D’autres ont bien compris l’énoncé et mettent en place des raccourcis d’écriture (faux) qui les handicapent pour finalement résoudre le problème (fig. 3).
Fig. 3 – Mise en équation (maladroite) avec ce que le gardien donnerait à chaque étape.

Tentatives de résolution par essai-erreur
32Des élèves procèdent par essai-erreur. Ils testent des valeurs et exécutent le programme de calcul. Plusieurs cas sont ici à distinguer.
- Ils abandonnent dès qu’ils obtiennent un nombre de fruits non entier, ne sachant pas comment conclure. Ils tentent alors un nouvel essai, sans aucun rapport avec le précédent.
- Tous abandonnent dès qu’ils obtiennent un nombre négatif de fruits : ils testent un nouveau nombre supérieur au précédent19.
- Beaucoup font tous les calculs pour évaluer le nombre final de fruits : ils comprennent alors comment ils doivent ajuster leur valeur initiale. Si le nombre final est supérieur à 1, ils recommencent avec un nombre plus petit ; sinon avec un nombre plus grand.
33Malgré ces différentes démarches, aucun élève n’a trouvé la solution par essai-erreur. Tous ont finalement considéré la procédure consistant à reprendre les étapes de l’algorithme à l’envers, inversant les opérations.
Résolution par la « méthode d’inversion »
34La grande majorité des élèves, en troisième comme en quatrième, décident de remonter à l’envers le programme de calcul. Une des difficultés consiste à démarrer correctement, c’est-à-dire déterminer précisément que le cueilleur possédait nécessairement 4 fruits en quittant l’avant-dernier gardien (fig. 4).
Fig. 4 – Faux départ et mauvaise gestion de l’ordre des opérations.

35Le décalage apparaît souvent à cause d’une mauvaise utilisation des parenthèses, avec le produit par deux et l’ajout de un, et de la distributivité. C’est une bonne occasion pour revenir avec certains élèves sur les écritures littérales et le rôle des parenthèses (fig. 5), ou plus simplement pour leur faire observer que 2 × (1 + 1) ≠ 2 × 1 + 1.
Fig. 5 – Reformulation du problème et début de la résolution.

36D’autres ont clairement fait apparaître la situation à l’aide d’un schéma récapitulant l’énoncé accompagné des calculs (fig. 6).
Fig. 6 – Résolution complète.

37Certains sont plus expéditifs dans leur explication mais l’écriture mathématique symbolique est transparente, et la calculatrice convenablement utilisée (fig. 7).
Fig. 7.

38Enfin, d’autres résument parfaitement l’idée de reprendre l’algorithme à l’envers avec l’inversion des opérations. Les calculs intermédiaires, effectués là aussi à la calculatrice, n’apparaissent pas toujours (fig. 8 et 9).
Fig. 8.

Fig. 9.

39En quatrième, beaucoup de raisonnements sont accompagnés de représentations schématiques qui permettent de visualiser l’algorithme dans un sens et dans le sens inverse (fig. 10).
Fig. 10 – L’algorithme, dans les deux sens, vu par un élève de 4e.

Généralisation du problème
40La suite de l’activité concerne l’idée de généralisation proposée par Fibonacci lui-même. Les élèves sont amenés à réfléchir sur la conclusion « tu pourras résoudre n’importe quelle situation semblable ». Ils précisent alors que le problème reste le même qu’il s’agisse de n’importe quel fruit, de bonbons, de stylos… Ils arrivent aussi naturellement à une discussion sur les paramètres mathématiques du problème : nombre de portes, nombre de fruits donnés aux gardiens, nombre de fruits restants (fig. 11).
Fig. 11 – Description d’une « situation semblable » par des élèves de 3e.

41Une fois les élèves arrivés à ce point de réflexion, nous avons posé, aux seuls élèves de troisième, la question suivante : « Combien la personne a-t-elle cueilli de fruits s’il ne lui en reste qu’un seul après avoir passé 457 portes ? » Tous, à une exception près20, ont eu la même réaction21 : « On doit répéter un grand nombre de fois les mêmes opérations : plus 1 puis multiplier par 2. C’est de l’algorithmique ! On peut aller sur Scratch ? »
42Les élèves, toujours en groupe, ont alors eu la tâche d’écrire, de mettre au point (en testant et corrigeant si nécessaire) et d’exécuter un programme donnant la solution au problème du verger. Dans un premier temps, les élèves écrivent un programme conforme à la situation initiale de Fibonacci, pour vérifier leur programme. Ensuite, ils modifient « répéter 7 fois » en « répéter 457 fois » (fig. 12 et 13).
Fig. 12 – Premiers exemples d’algorithmes.

Fig. 13 – Problème des parenthèses qui se retrouve dans l’élaboration du programme.

43Très vite, certains élèves proposent de demander à l’utilisateur ses propres valeurs : le nombre de portes, le nombre de fruits restant ou encore le nombre de fruits donnés à chaque gardien, chacun à son niveau de compétences. Ils utilisent alors les questions de Scratch avec la variable prédéfinie « réponse » pour gérer les paramètres mathématiques du problème (fig. 14 et 15).
Fig. 14 – x est la variable correspondant au nombre de fruits restant.

Fig. 15 – Nombre de portes en variable.

[contenu réalisé à partir de l'éditeur Scratch www.scratch.mit.edu (licence : CC BY-SA 2.0)].
44Finalement, l’enseignante de la classe fait rédiger un programme collectif prenant en compte toutes les variables du problème identifiées par les élèves. Certaines sont demandées à l’utilisateur, d’autres sont à modifier – si nécessaire – dans l’écriture du programme. C’est l’occasion de vérifier que les élèves ont bien compris la notion de variable informatique. Ils créent une variable x pour garder en mémoire la réponse à la première question, la variable « réponse » sera alors la valeur affectée à la deuxième question.
Fig. 16 – Programme final collectif.

[contenu réalisé à partir de l'éditeur Scratch www.scratch.mit.edu (licence : CC BY-SA 2.0)].
Évaluation
45En troisième, ces deux séances sont évaluées par compétences à partir des traces écrites de chaque groupe, des interactions orales dans le groupe et de la rédaction du programme à l’aide de Scratch. Un tableau synoptique des compétences mathématiques évaluées est proposé dans l’annexe 3. Grosso modo, tous les élèves (28 au total) se sont investis sur ce projet, tous ont mis en place une procédure pour déterminer le nombre de fruits cueillis. Huit ont utilisé le calcul littéral pour mettre en place un raisonnement algébrique ; les autres ont soit mis en place un raisonnement d’essais-erreurs, soit l’algorithme « à l’envers ». Par ailleurs, tous ont reconnu la structure algorithmique du problème et de sa solution. Seuls quatre élèves n’ont pas pu être évalués pour la programmation parce que leur travail n’était pas assez abouti. Le bilan est extrêmement positif pour l’enseignante, notamment par rapport à l’adhésion des élèves au projet.
46En devoir à la maison, les élèves ont eu à réfléchir sur un autre problème de Fibonacci reprenant la même structure. Ils avaient à rédiger un nouveau programme pour résoudre le problème suivant :
Un homme partit commercer à Lucques, il y fit le double et y dépensa 12 deniers. Puis il quitta cette ville pour se rendre à Florence. Il y fit le double et y dépensa 12 deniers. Lorsqu’il revint à Pise, il y fit le double et y dépensa 12 deniers. Et il est proposé que rien ne lui resta. On demande combien il possédait au départ de son voyage. (Fibonacci 1857 : 258-259 ; Moyon 2016 : 55-56)
Conclusion
47Si les mathématiques récréatives – ou ce que nous appelons ainsi – ont longtemps été marginalisées par les historiens des mathématiques (Chemla 2014), elles ne le sont plus, car tous ont bien compris l’importance que ces problèmes pouvaient revêtir pour les mathématiciens eux-mêmes quelles que soient les époques (Barbin et coll. 2017). À partir du Liber abaci de Fibonacci, nous avons voulu montrer tout l’intérêt de ces problèmes non seulement pour les mathématiques qu’ils font intervenir, pour ce qu’ils nous apprennent des sociétés qui les voient se développer, mais aussi pour l’enseignement des mathématiques d’aujourd’hui. Nous avons ainsi montré qu’il était possible d’apprendre l’algorithmique à partir de la lecture d’un texte mathématique, même ancien.
Annexe 1 : fiche élève séance 1
Fiche élève séance 1.

Annexe 2 : fiche élève séance 2
Fiche élève séance 2.

Annexe 3 : évaluation par compétences (avec le logiciel Sacoche)
Évaluation par compétences (avec le logiciel Sacoche).

Références bibliographiques
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Notes de bas de page
1Toute cette première partie est largement inspirée de (Moyon et Spiesser 2015 ; Moyon 2016) ; nous y renvoyons notre lecteur pour plus de détails.
2D. Raynaud en reprend plusieurs dans son étude sur le tracé continu des coniques (Raynaud 2007).
3Dès le début de son ouvrage entièrement consacré à Léonard de Pise et repris de sa contribution au Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, Édouard Lucas mentionne ce qui est pour lui « le premier exemple des séries récurrentes » (Lucas 1877 : 5) en donnant un extrait du fameux, et désormais célèbre, problème des lapins conduisant aux « termes de la série de Fibonacci » (Lucas 1877 : 7). Il balaie ainsi l’attribution, jusque-là acceptée, de cette suite de nombres au mathématicien français Gabriel Lamé (m. 1870).
4À cela, il faudrait ajouter au moins trois autres titres qui nous sont parvenus : le Liber quadratorum (Livre des nombres carrés), le Flos (Fleur) que nous avons précédemment cité, l’Epistola ad magistrum Theodorum (Lettre au maître Théodore) (Fibonacci 1854), et sans doute au moins deux autres travaux cités dans ses écrits mais aujourd’hui considérés comme perdus.
5Étant donné nos contraintes éditoriales et l’objectif de cette contribution, nous ne citons pas le texte original en latin mais renvoyons à l’édition de référence réalisée par Baldassarre Boncompagni au xixe siècle à partir d’un seul et unique manuscrit (Fibonacci 1857). Précisons néanmoins qu’aujourd’hui, nous ne connaissons pas moins de 17 manuscrits transmettant tout ou partie du Liber abaci. Il existe une traduction anglaise (Sigler 2002) dont il faut se méfier à bien des égards. Nous préférons donc renvoyer à notre traduction française (Moyon 2016) pour les extraits sélectionnés. Par ailleurs, une édition critique est en cours d’élaboration par les collègues italiens de l’université Frédéric II de Naples (Germano 2013).
6Voir la contribution « Entre histoire et mathématiques : variations pédagogiques autour des problèmes d’Alcuin » d’Alain Bernard et Emmanuelle Roche dans le présent ouvrage. Le texte est entièrement édité dans (Folkerts 1978).
7Cette expression se trouve, entre autres, dans les titres des chapitres 12 et 13 : De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus et De regula elcataym qualiter per ipsam fere omnes erraticae questiones solvantur. En astronomie médiévale, le terme erraticus est attesté et associé à différents corps célestes : étoiles ou planètes errantes. Dans le Liber abaci, il désignerait davantage la diversité des problèmes, sans qu’on puisse le traduire avec précision. En aucun cas, il ne faudrait comprendre erraticus comme L. Sigler, à savoir renvoyant à la « fausse position » (Sigler 2002 : 16, 395).
8Il est toujours difficile, en histoire des mathématiques, d’emprunter à l’historiographie un qualificatif qui n’a pas été utilisé par l’auteur étudié. C’est particulièrement le cas pour les récréations mathématiques dont l’histoire est très longue et concerne tous les continents, avec des problèmes qui apparaissent dans diverses cultures de régions très éloignées (Singmaster 2013 ; Singmaster 1988 ; Heeffer 2014). Fibonacci s’inscrit dans cette tradition ancienne de problèmes ou de devinettes qu’il développe et qu’il contribue à diffuser au Moyen Âge. Voir aussi (Hannah 2011) sur Fibonacci précisément.
9Par manque de place, nous ne donnons ci-après que les énoncés des problèmes, renvoyant à (Moyon 2016) pour les résolutions originales et l’analyse mathématique.
10Nous faisons ici référence aux fameux problèmes dits de robinets ou de baignoire, classiques de l’enseignement des mathématiques sous la troisième République française et après. À propos des problèmes de citernes, voir (Singmaster 1988 : 198-201).
11Voir par exemple (Moyon 2009) toujours pour l’utilisation de l’œuvre de Fibonacci (pour la géométrie), ou plus récemment (Moyon et Tournès 2018) pour l’enseignement des mathématiques au cycle 3 (9-11 ans).
12Dans ses Récréations mathématiques au Moyen Âge, Sesiano traite largement de ce problème sous le titre « Les gardiens du verger » mais ne détaille pas le texte de Fibonacci (Sesiano 2014 : 49-57).
13Dans le texte de Fibonacci, la notation signifie
. C’est la manière classique de noter la somme d’un entier et d’une fraction au Moyen Âge (Moyon et Spiesser 2015).
14Dans toute cette partie, je m’associe à Valérie Fréty, enseignante de mathématiques au collège Maurice-Genevoix de Couzeix (87) qui a bien voulu mener les expérimentations à mes côtés. Nous remercions aussi ses élèves de 3e de 2016/2017 qui ont largement nourri celles-ci. Cette activité a également été testée dans une classe de 4e au collège Louise-Michel de Saint-Junien (87). Nous remercions ici Julie Pousse, l’enseignante de la classe.
15Nous nous appuyons ici sur les programmes du cycle 4 définis par le Bulletin officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015 disponible sur le site du ministère de l’Éducation nationale : <http://cache.media.education.gouv.fr//file/MEN_SPE_11/01/9/2015_collegeprogramme_28-7_614019.pdf> (consulté le 1er octobre 2018).
16Nous renvoyons ici au thème E : algorithmique et programmation, des programmes du cycle 4.
17En outre, dans l’introduction historique, nous avons présenté l’algèbre comme une discipline importante dans l’œuvre de Fibonacci. Cela a contribué à inciter les élèves dans cette démarche. Il serait préférable de conserver cette idée en conclusion de l’activité.
18Aucun élève de 4e n’a tenté de mettre en équation le problème.
19À ce stade, certains ont besoin de partager leur raisonnement avec l’enseignant pour être certains de ne pas se lancer dans de nouveaux calculs inutiles…
20Une seule élève de troisième n’a pas voulu utiliser un ordinateur préférant « travailler avec sa tête ». Elle a consciencieusement mené ses calculs sans arriver jusqu’au bout.
21Avant cette séance de mathématiques, les élèves avaient eu 6 heures d’enseignement d’algorithmique pour introduire Scratch et ses fonctions élémentaires.
Auteur
Université de Limoges, institut de recherche XLIM, IREM de Limoges.
ORCID : 0000-0002-5773-5513
IdRef : 134166310
Marc Moyon est historien des mathématiques médiévales (arabes et latines) à l’université de Limoges. Formateur d’enseignants, il valorise ses recherches fondamentales en proposant des dispositifs pédagogiques d’introduction d’une perspective historique dans l’enseignement des mathématiques.
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