Entre histoire et mathématiques : variations pédagogiques autour des problèmes d’Alcuin
p. 205-224
Texte intégral
1Nous vous proposons dans ce chapitre de partir à la découverte des « problèmes d’Alcuin » et de leur remarquable potentiel d’exploitation en classe.
Les propositions dites « d’Alcuin » : éléments contextuels
Le recueil des propositiones et son genre
2Le texte des problèmes traditionnellement attribués à Alcuin correspond à un recueil d’une cinquantaine de « propositions » (propositiones) qui ont circulé dans les interstices des manuscrits médiévaux latins entre le ixe siècle et le xiie siècle, d’après la recension de l’éditeur moderne Menso Folkerts (1978). Leur nombre est variable et, s’ils sont parfois introduits par le titre suggestif propositiones ad acuendos juvenes, ou « propositions pour aiguiser l’esprit des jeunes », aucun n’est explicitement attribué à Alcuin d’York (voir « L’homme Alcuin, son œuvre politique et intellectuelle » dans ce chapitre). Le plus ancien manuscrit portant la trace de ces énigmes mathématiques (Vat. Reg. lat. 309) remonte à la fin du ixe siècle et est originaire de Saint-Denis1. Pendant longtemps, on a cru au contraire pouvoir ou devoir les attribuer à un des grands « ancêtres intellectuels » d’Alcuin au Moyen Âge, à savoir Bède le Vénérable (672-735). En outre, les énigmes ne sont jamais l’objet principal des manuscrits dans lesquels elles sont insérées, le plus souvent entre deux autres textes plus importants et portant un nom d’auteur, comme le traité de comput de Bède ou un commentaire biblique d’Alcuin (Folkerts 1978, 17-21). Les « propositions » sont parfois immédiatement accompagnées d’une « solution » mais pas toujours.
3Le contenu lui-même des « propositions » ne permet pas d’attribuer le texte à un quelconque « auteur » ni même à un contexte défini : les noms de lieux, de métiers ou de monnaie se rapportent parfois à des réalités sociales du haut Moyen Âge, mais d’autres interprétations sont possibles. La plus plausible est qu’il s’agisse d’un recueil disparate de problèmes, certains venant de l’Antiquité tardive, d’autres plus récents, sans qu’on puisse établir de comparaison certaine.2
4La tradition de ce genre d’énigmes remonte à l’école d’York, elles devaient être monnaie courante à la cour de Charlemagne et de ses successeurs (Kopp 2017). C’est ce que suggère en particulier un passage d’une des lettres d’Alcuin à l’Empereur (Lohrmann 1993, 81), où il explique avoir ajouté, pour le plaisir, laetitia causa, quelques énigmes arithmétiques récréatives en marge de sa lettre. Ce document est un des arguments parfois retenu pour attribuer à Alcuin le recueil des propositiones. S’il n’est pas concluant, il ne fait du moins guère de doute que de tels problèmes circulaient à l’époque par écrit et par oral. Quant à l’attribution à Alcuin par les érudits qui ont réuni le corpus de la « patrologie latine », elle est donc tardive et sujette à discussion (Gorman 2002). Il n’en reste pas moins qu’elle a attaché jusqu’à aujourd’hui aux propositiones, devenues « problèmes d’Alcuin », le prestige d’un grand érudit dont le nom seul évoque l’époque d’effervescence intellectuelle où ces énigmes circulaient effectivement.
L’homme Alcuin, son œuvre politique et intellectuelle
5Un certain nombre d’éléments de la vie d’Alcuin nous sont parvenus grâce à la place importante qu’il a tenue à la cour de Charlemagne (Butzer Springsfeld et Oberschelp 2007 ; Bullough 2004). Né vers 732 (ou 735) dans une famille noble de la côte est de l’Angleterre, Alcuin (Albinus Flaccus en latin) étudie à l’école de la cathédrale d’York ; il y reçoit l’enseignement de disciples de Bède le Vénérable.
6Alcuin devient à son tour enseignant de l’école avant d’en prendre la direction à partir de 778 ; poursuivant l’œuvre de ses prédécesseurs, il s’attache à en enrichir la bibliothèque en se procurant des ouvrages variés et il fait de cette école l’un des plus importants centres d’enseignement et de culture de son époque.
7Son statut privilégié lui permet de voyager sur le continent à la recherche d’ouvrages et, à l’occasion d’un de ces séjours, il rencontre Charlemagne à Parme, vers 781. Le futur empereur est séduit par l’érudition du moine et l’invite à Aix-la-Chapelle, où il souhaite réunir les principaux intellectuels de son temps. L’amitié qui se noue entre les deux hommes permettra à Alcuin de faire deux séjours à Aix, de 782 à 790, puis de 793 à 796.
8Chargé de l’éducation des fils de Charlemagne, mais également de celle du roi et de différents membres de la cour, Alcuin se voit confier la responsabilité de l’école du palais et il conseille Charlemagne dans sa politique éducative. Cette « Renaissance Carolingienne » (BnF 2007), durant laquelle ouverture culturelle et enseignement se sont largement développés, lui doit sans doute beaucoup. Poursuivant l’œuvre de son père Pépin le Bref, Charlemagne comprend la nécessité de former des clercs et des laïcs lettrés pour assurer la bonne marche de son royaume et il impose aux monastères et aux évêchés d’ouvrir une école pour apprendre aux enfants à lire, écrire, compter.
9L’importance qui est accordée à l’enseignement apparaît clairement dans l’admonitio generalis, ordonnance de 82 articles promulguée en 789, qui définit les droits, les obligations et les missions des sujets de Charlemagne, quel que soit leur statut – clercs ou laïcs – et dont on peut penser qu’Alcuin, par son rôle, en a été un des inspirateurs. En particulier, le chapitre 72 enjoint aux prêtres de respecter les préceptes de l’Évangile et impose :
[…] que les prêtres attirent vers eux non seulement les enfants de condition servile, mais aussi les fils d’hommes libres. Nous voulons que soient fondées des écoles où les enfants puissent [apprendre à] lire. Dans chaque monastère ou évêché, corrigez scrupuleusement les psaumes, les notes [l’écriture sténographique], le chant [d’église], le comput [calcul], la grammaire et les livres religieux ; parce que souvent, ceux qui souhaitent bien prier Dieu le font mal à cause de livres non corrigés. Ne permettez pas que vos élèves les altèrent, soit en les lisant, soit en les écrivant ; et s’il faut copier les Évangiles, le psautier ou le missel, que des hommes d’expérience les transcrivent avec le plus grand soin (Riché 1989, 352-353).
10Il est à noter aussi que la volonté de diffusion de la culture facilite l’utilisation progressive d’une nouvelle écriture, la minuscule caroline (BnF 2007).
11En 796 Alcuin se retire de la vie de la cour pour devenir abbé de Saint-Martin-de-Tours, un des cœurs du royaume carolingien, mais continue à échanger par écrit avec Charlemagne : on garde de lui une riche correspondance dont une cinquantaine de lettres adressées à l’Empereur.
12Il décède en 804 et laisse derrière lui des travaux dans des domaines variés : un long poème consacré aux hommes liés à l’histoire de la ville d’York, écrit avant son départ d’Angleterre, mais surtout des traités d’astronomie et de théologie. Il est difficile de séparer le savant du religieux tant l’apprentissage du comput et l’astronomie sont des outils indispensables au calcul précis des dates des fêtes religieuses du calendrier chrétien.
Quelques problèmes d’interprétation historique
13On l’a vu plus haut, situer précisément l’origine des propositiones, ou même leur attribuer une consistance textuelle claire et non ambiguë, sont des questions délicates. Du point de vue de la recherche historique, et outre les problèmes d’établissement du texte pour lesquels l’édition de Folkerts fait désormais autorité (1978), on peut rapidement distinguer trois pistes d’investigation principales.
14La première touche à l’histoire des mathématiques sur un temps long. Elle consiste à situer autant que possible les propositiones dans une tradition d’énigmes et de problèmes du même genre, remontant à la très haute Antiquité et qui ont ensuite fait l’objet d’un développement aussi foisonnant qu’intéressant tout au long du Moyen Âge. Il s’agit pour les historiens qui, comme Curtze, Tropfke, Van Egmond, Folkerts, Sesiano, se sont penchés sur ces problèmes délicats, de construire des critères de rapprochement et de différenciation pour bâtir des catégories transhistoriques permettant de situer ces problèmes. À titre d’exemple d’un tel type de travail pour les problèmes récréatifs médiévaux, on consultera le bel ouvrage de Sesiano (2014), aussi riche d’un point de vue historique et mathématique qu’il est accessible – y compris pour des débutants sur ce sujet. Les propositiones puisent en effet dans le patrimoine antique d’énigmes du même genre (Folkerts et Gericke 1993). Ce type de catégorisation pose cependant des problèmes méthodologiques qui sont discutés entre autres par Moyon (2015) et Lamassé (2015).3
15La deuxième renvoie à l’histoire de l’éducation médiévale. Elle consiste à tenter d’inscrire ces propositiones dans une logique d’enseignement en y voyant une étape de l’enseignement des clercs (voir plus haut « L’homme Alcuin, son œuvre politique et intellectuelle »). Dans cette perspective, on a pu ainsi analyser ces problèmes comme une étape préparatoire à la science du comput. Si ces interprétations sont plus spéculatives que probantes, elles ont au moins l’intérêt de questionner l’existence de corpus d’enseignement des mathématiques de l’époque, peut-être moins prestigieux que les énigmes de cour, mais non moins intéressants.
16La troisième relève de l’histoire culturelle et consiste à inscrire davantage l’usage de tels problèmes, comme le suggère la forme même des questions (voir « Un florilège succinct d’exemples ») dans le contexte de cour de l’entourage impérial. L’enjeu, à l’exemple de l’enquête proposée par Kopp (2017), est alors de comparer ce type de production à des genres voisins, comme la littérature dialoguée ou les jeux d’énigmes, que goûtaient les contemporains d’Alcuin, au premier rang desquels l’empereur Charlemagne lui-même.
À la découverte de quelques-uns des « problèmes d’Alcuin »
Comment accéder au texte des propositiones et le traduire ?
17La première variation qu’on pratique habituellement sur les problèmes d’Alcuin, qui font régulièrement l’objet de citations et de publications (Folkerts et Gericke 1993 ; Franci 2005 ; Hadley et Singmaster 1992 ; Jean 2010), c’est leur traduction. Nous nous basons ici sur l’édition de Folkerts qui fait aujourd’hui autorité (1978). Le texte latin étant parfois corrompu ou volontairement ambigu, il n’est pas rare que les traducteurs aient accommodé les énoncés pour les rendre plus clairs ou compréhensibles. Notre parti pris sera plutôt ici de respecter voire de valoriser les ambiguïtés du texte, démarche qui nous paraît proche de l’esprit même de ce dernier. Nous ne prétendons pas de ce fait être plus proches de « l’original », la notion même d’original étant ici sujette à caution, comme nous l’avons indiqué plus haut. Mais nous considérons du moins qu’il est avantageux de maintenir ces ambiguïtés, pour des raisons que nous allons faire apparaître dans la suite.
Un florilège succinct d’exemples
18Pour chaque exemple nous proposons une traduction et un bref commentaire visant une première mise en évidence des caractéristiques de ces problèmes et de leur variété. Les raisons de notre choix et les problématiques sous-jacentes seront abordées dans les sections suivantes.
19Commençons par le problème 16, dit des Bouviers :
Proposition 16. De deux hommes menant leurs bœufs
Deux hommes menaient des bœufs par la route, et des deux l’un dit à l’autre : donne-moi donc deux bœufs, et j’aurai autant de bœufs que tu en as. Mais l’autre réplique : donne-moi donc, demanda-t-il, toi aussi deux bœufs, et j’aurai le double de ce que tu as. Que dise, qui veut, combien il y avait de bœufs, et combien chacun avait.
20L’ambiguïté de cet énoncé tient à l’interprétation qu’on peut faire du second « don de bœufs » : s’il a lieu après l’échange, alors le second rend les deux bœufs qu’il a d’abord reçus, et le premier possède 4 et le second huit. Si on comprend au contraire qu’il s’agit d’un nouvel échange, partant du même état de départ, le raisonnement indique au contraire que le premier aura 10 et le second 14. Autrement dit les deux interprétations conduisent à un résultat défendable. Ce qui dans le texte latin s’intitule une « solution » va dans le premier sens et ne propose d’autre part qu’une vérification, au lieu d’un raisonnement :
Solution. Tout d’abord, celui qui demande qu’on lui en donne deux, aura quatre bœufs. Et celui à qui il a fait la demande en aura 8. L’interrogé a en effet donné au demandeur deux [bœufs], et chacun des deux en aura six. Et celui qui a d’abord pris, a rendu deux des bœufs à celui qui avait d’abord donné, qui en avait six, et il aura 8, qui est le double de quatre, et au premier lui resteront quatre […]
21Les problèmes 14 et 43 indiquent que les ambiguïtés et les pièges font manifestement partie des attendus de ce type d’énigmes :
Proposition 14. D’un bœuf
Un bœuf tire une charrue pour le labour. Combien de traces laisse-t-il dans le dernier sillon ?
Proposition 43. De certains porcs
Un homme a 300 porcs et il ordonne de les abattre en trois jours de façon que le nombre de porcs tués par jour devra être un nombre impair. On peut faire une question similaire avec 30 [porcs]. Que dise donc, qui le peut, combien de porcs doivent être tués par jour, qu’il s’agisse de 300 ou de 30 [porcs]
22Dans les deux cas il s’agit de pièges logiques : dans le problème du bœuf, il ne reste aucune trace puisqu’elles sont effacées au fur et à mesure par le soc de la charrue. Quant au suivant, la « solution » propose la remarque éclairante suivante, qui justifie le titre traditionnel des énigmes :
Solution 43. C’est une sornette [fabula], car personne ne peut résoudre la question, de tuer 300 ou trente porcs en trois jours en nombre impair par jour. Cette sornette est là seulement pour alerter les élèves.
Le second problème comporte lui aussi une ambiguïté :
Proposition 2. D’un promeneur qui va son chemin.
Dans la rue, un promeneur rencontre d’autres hommes. Il leur dit : je voudrais qu’il y ait en plus autant d’autres hommes que vous êtes, plus la moitié de la moitié, plus derechef la moitié de cette moitié. Alors nous serions 100 avec moi. Dis-moi, qui le désire, combien d’hommes le promeneur a rencontrés.
23Elle tient au fait qu’on ne sait pas bien si « la moitié de la moitié » est prise sur le nombre d’hommes rencontrés initialement, ou bien sur la troupe « doublée » qu’on pourrait imaginer.4 Outre ce caractère, qui rejoint les observations précédentes, on peut remarquer que ce problème se prête avec les techniques d’aujourd’hui à de multiples démarches et méthodes différentes (voir « Généralisation : lire Alcuin en groupe IREM »).
24Le problème suivant illustre le simple fait que plusieurs des problèmes du recueil en question sont devenus très célèbres :
Proposition 18. D’un loup, d’une chèvre et d’une botte de choux
Un homme devait faire traverser un fleuve à un loup, une chèvre et une botte de choux. Il ne peut trouver qu’un bateau permettant seulement à deux d’entre eux de passer. Or il avait pour mission de les faire traverser tous trois sans aucun dommage. Que celui qui le peut dise comment il parvint à les faire traverser sans dommage.
25Les méthodes de résolution modernes de ce type de problèmes supposent des formes de schématisation qui ont fait l’objet d’une autre contribution du colloque dont le présent ouvrage est issu5 et peuvent donner lieu aujourd’hui encore à d’intéressants exercices de représentation, comme on le verra par la suite (voir « Une expérience à valeur heuristique : un atelier mathématiques-histoire en classe de seconde »). Il est en tout cas d’un type très différent des problèmes de calcul ou logiques, dont on a vu quelques exemples précédemment.
26On trouve également un certain nombre de problèmes liés à la géométrie, comme le problème 23 :
Proposition 23. D’un champ quadrangulaire
Il est un champ en forme de quadrilatère dont un côté mesure 30 perches, le côté opposé 32 perches, la base 34 perches et son opposé 32 perches. Qui peut dire combien d’arpents mesure ce champ ?
27L’habitude actuelle que nous avons de vouloir illustrer un problème de géométrie par une figure fait immédiatement surgir une première difficulté : il n’y a pas unicité du quadrilatère et, par là, tout calcul exact de l’aire du champ s’avère impossible. La lecture de la solution apporte un éclairage :
Solution 23. Les longueurs des deux côtés sont de 62 perches. En divisant par 2, on obtient 31. Les largeurs des deux côtés sont de 66 perches. En divisant par 2, on obtient 33. [On soustrait 1 à 31 et on additionne 1 à 33.] On multiplie les deux résultats soit 30 par 34. Cela donne 1020. On divise 1020 par 12, cela donne 85 ; 85 divisé par 12 font 7. C’est le nombre d’arpents du champ.
28On reconnaît ici une méthode algorithmique ancienne, celle dite « de l’arpenteur », qui, sans prétendre apporter une réponse exacte et précise, permet d’estimer tout à fait correctement l’aire d’un champ.
29Dans un style très différent, on trouve un problème dont l’intérêt est sans doute moins anecdotique qu’il n’y paraît :
Proposition 11. De deux mariages
Si deux hommes ont pris en mariage la sœur l’un de l’autre, dis-moi, je te prie, quel sera le lien de parenté de leurs enfants.
30Il s’agit ici d’un énoncé qui ne relève pas du domaine mathématique ; on est face à un problème de nature juridique. Derrière ce qui peut apparaître comme une simple devinette se cache peut-être une volonté de faire réfléchir sur les enjeux de la compréhension des liens de parenté, que ce soit pour l’autorisation des mariages ou pour des questions d’héritage, enjeux majeurs de la société médiévale.
31Enfin, on peut aussi signaler la présence de problèmes proposant des situations plus complexes, comme les problèmes 32 ou 52. Ce dernier est le seul qu’on puisse ranger dans la catégorie optimisation (Langlois 2014) :
Proposition 52. D’un chef de famille
Un chef de famille ordonne que 90 boisseaux de blé soient déplacés d’un domaine à un autre, lesquels sont distants de 30 lieues, et de telle sorte, qu’un seul chameau transporte tout ce blé en trois voyages, qu’en chaque voyage 30 boisseaux soit portés [au plus], et que le chameau mange un boisseau par lieue. Que dise, qui le veut, combien de boisseaux il restera.
Remarques générales sur le « désordre » de ces problèmes
32Au-delà des remarques particulières appelées par nos exemples, on peut pointer plusieurs caractères plus généraux de l’ensemble de ces énigmes.
33Les exemples choisis ci-dessus l’ont été pour leur variété, c’est-à-dire pour la diversité des contenus et des styles de questions. Cette variété est également un caractère de l’ensemble : en lisant linéairement on a souvent le sentiment de passer d’une question à l’autre dans un ordre aléatoire et ludique. Cependant il existe aussi dans les problèmes des manuscrits des regroupements de problèmes semblables : ainsi le problème de traversées (18) est le second d’une série de quatre problèmes assez semblables, de même pour les problèmes de mariage (11) ou les problèmes de mesure (23).
34Si on regarde donc ce recueil comme une série de problèmes, pour reprendre le terme qui sert d’intitulé au projet de recherche interdisciplinaire qui nous a poussé au départ à nous intéresser à ce type d’objets (Bernard 2015), il semble gouverné par un principe de variété – qu’il soit délibéré ou non – et un principe de sériation thématique pour quelques sous-ensembles. Cela rapproche ce recueil d’autres types de textes médiévaux apparemment du même genre mais dont le développement a été postérieur à la tradition manuscrite des propositiones : à partir du xive siècle apparaissent ainsi des recueils de cautèles (cautelae) dans bien des manuscrits médiévaux (Sesiano 2014, 260). À la Renaissance, on trouve par exemple les problèmes variés de Jean Borel (Cifoletti 2015). Beaucoup plus proches de nous, les problèmes variés utilisés dans la réforme Varga dans la Hongrie des années 70, indiquent que de telles collections pouvaient renvoyer à des objectifs pédagogiques précis : souligner le caractère ludique des mathématiques, montrer leurs liens à différents domaines de la culture humaine, et surtout donner une base à la construction du savoir mathématique par la diversité des expériences (Gosztonyi 2015, chap. III.5)
35Ce que laisse entrevoir la comparaison de ces exemples semblables par l’intentionnalité apparente, c’est la tendance paradoxale, non à ordonner les problèmes suivant un principe de progressivité par exemple, mais plutôt à les désordonner pour le simple plaisir, ou en vue d’une initiation intellectuelle et culturelle plus profonde. Le terme de variété lui-même, emprunté au vocabulaire rhétorique de la Renaissance, explicite cette recherche paradoxale « d’harmonie dans le désordre ».
Variations pédagogiques autour des problèmes d’Alcuin : comment les reprendre et les organiser ?
Une expérience à valeur heuristique : un atelier mathématiques/histoire en classe de seconde
Motivation et réflexions préalables
36La variété et la richesse des problèmes engendrent très rapidement le désir de les exploiter en classe. L’une d’entre nous a construit avec Camille Bataille, professeur d’histoire-géographie, une séance interdisciplinaire mathématiques/histoire en classe de seconde. Cette première approche avait en particulier pour ambition de montrer que les mathématiques ne sont pas figées dans le temps et que leur nature et leur enseignement évoluent. L’aspect ludique des problèmes attribués à Alcuin nous laissait espérer que des élèves ordinairement peu intéressés par les mathématiques, voire totalement rétifs, pourraient s’investir davantage et se prendre au jeu de la résolution d’énigmes. De plus, les élèves davantage sûrs d’eux dans ce domaine pourraient se confronter à des énoncés plus ardus qu’à l’ordinaire et enrichir leur capacité à résoudre des problèmes ouverts. Il s’agissait ainsi de favoriser la prise d’initiative, et, en utilisant des problèmes de ce type, d’éviter qu’une formalisation excessive ne bloque leur créativité et leur inventivité.
Fig. 1 – Exemple de production d’élèves.

37La classe de seconde dans laquelle nous avons mis en œuvre cette séance ne comportait que 28 élèves, mais présentait la particularité d’être quasiment scindée en deux groupes qui ne se mêlaient guère. Une partie des élèves était plus attirée par les matières scientifiques et négligeait parfois les matières littéraires ; l’autre partie était dans l’esprit contraire, avec des élèves affichant leur manque de goût pour les sciences mais s’investissant dans les matières littéraires. Par ailleurs, un bon tiers de la classe avait choisi l’option « arts plastiques ».
38Après quelques hésitations et discussions sur les modalités, nous avons décidé d’exploiter le profil très hétérogène de la classe et nous avons proposé aux élèves de produire, par groupe de quatre ou cinq, une « page de manuel » – la production finale devant être un grand panneau – répondant à certaines consignes précises :
- une partie du panneau traiterait d’un thème historique, en lien avec les sciences ou l’éducation au Moyen Âge ;
- une seconde partie serait consacrée au travail mathématique, avec des exemples de problèmesproblème d’AlcuinAlcuin d’York et la solutionsolution pour certains d’entre eux ;
- la production finale serait alors enjolivée dans l’esprit des manuscrits médiévaux, avec calligraphie et enluminures, comme on peut le voir sur l’exemple donné dans la figure 1.
39Au sein de chaque groupe, les élèves devaient se répartir les tâches, l’objectif étant de tous les mettre en activité en fonction de leur domaine de prédilection. De cette façon, nous espérions éviter que certains ne se mettent en retrait sans participer au travail commun. En leur attribuant à tous un rôle valorisant et une responsabilité dans la production finale, nous souhaitions les pousser à s’impliquer de façon plus sérieuse.
40Concernant les recherches historiques, six thèmes (un par groupe) ont été choisis :
- AlcuinAlcuin d’York et la renaissance carolingienne (ixe siècle) ;
- le quadrivium et l’enseignement des sciences au Moyen Âge ;
- les manuscrits mathématiques au Moyen Âge ;
- Gerbert d’Aurillac et les mathématiques au xie siècle ;
- Léonard Fibonacci et les mathématiques au xiiie siècle ;
- les écoles du ixe au xiiie siècle.
41En ce qui concerne la partie mathématique, il était impératif de faire une sélection dans les problèmes. Créer une sous-série d’une série existante de problèmes nécessite de se poser plusieurs questions sur les objectifs mais aussi d’anticiper les difficultés que pourraient rencontrer les élèves dans leur résolution.
42Les propositiones sont, comme on l’a vu, de genres variés et ne présentent pas toutes le même degré de difficulté, que ce soit du point de vue mathématique ou de l’interprétation de l’énoncé. Il paraissait intéressant de ne pas faire abstraction de l’ambiguïté de certains problèmes et, pour rester dans l’objectif d’une séance tournée vers l’histoire des mathématiques, d’en garder autant que possible l’esprit. C’est la raison pour laquelle la traduction proposée ne levait pas les difficultés éventuelles d’interprétation, et était fournie sans indications supplémentaires, ni reformulations, à l’exception de quelques précisions sur les unités de mesure.
43Plusieurs options de répartition des problèmes étaient envisageables. Nous pouvions par exemple proposer à tous les groupes une même sélection de cinq ou six énoncés, mais nous perdions ainsi la richesse et la variété de l’ensemble.
44Il était aussi possible de proposer une sélection mathématiquement très variée à chaque groupe. Une étude détaillée des problèmes d’Alcuin (voir « Généralisation : lire Alcuin en groupe IREM ») permet de dégager une catégorisation selon des types mathématiques actuels : des problèmes mettant en œuvre des méthodes géométriques algorithmiques anciennes, des problèmes arithmétiques, des problèmes que l’on peut résoudre par des méthodes algébriques, des problèmes faisant plus appel à la logique qu’à de réelles capacités calculatoires… Nous pouvions ainsi proposer des séries avec un problème de chaque catégorie, en variant le représentant d’un groupe à l’autre.
45Enfin, la troisième possibilité, qui a été celle choisie, était de donner à chaque groupe une sélection de cinq ou six problèmes de même type, en constituant un groupe « géométrie », un groupe « problèmes de logique », etc. Cette dernière option présentait l’avantage de permettre aux élèves, sur des énoncés difficiles pour un début de seconde, de mettre en évidence une méthode exploitable pour les problèmes suivants. Il est également très vite apparu que ce tri par catégories créait naturellement des sous-séries de difficultés très variables et allait permettre de s’adapter au niveau des groupes.
Mise en œuvre de la séance
46Notre séance devait se dérouler pendant trois heures consécutives au CDI (centre d’information et de documentation), encadrée par les deux professeurs à l’initiative de l’activité et la professeur documentaliste. Le travail n’étant pas totalement achevé à la fin de la séance, il a fallu deux heures de plus pour qu’ils réalisent les panneaux que nous attendions.
47Les élèves, prévenus des modalités, se sont vite répartis en groupes sans nécessairement veiller à l’équilibre des compétences – comme il fallait s’y attendre – et nous avons confié à chaque groupe la responsabilité d’un thème d’histoire et d’une série de problèmes mathématiques.
48Le travail effectué pendant ces trois heures a été soutenu et d’un bon niveau dans cinq des six groupes. Pour les guider dans leurs recherches historiques, des ouvrages disponibles au CDI et des sites internet en lien avec les thèmes proposés avaient été préalablement référencés. Pour l’aspect mathématique, les élèves qui en étaient responsables y ont consacré beaucoup d’énergie et de volonté ; désarçonnés dans un premier temps par les énoncés, ils se sont finalement pris au jeu et ont fait preuve d’inventivité, de persévérance et de motivation, soutenus et parfois aidés par leurs camarades entre deux recherches historiques ou créations artistiques. Peu ont fait appel aux outils algébriques utilisés en lycée, en s’étonnant que cela ne nous dérange pas. Le groupe en charge des problèmes de traversée (comme le fameux problème 18 évoqué précédemment), a vite mis en œuvre une méthode fondée sur une représentation schématique et un système de flèches, comme on peut le voir sur la photo suivante.
Fig. 2 – Exemple de résolution proposée pour le problème 18.

49Quant aux élèves confrontés aux problèmes plus compliqués, ils ont peiné à utiliser des équations, et ont souvent procédé par essai/erreur.
50Les productions ont globalement été de bonne qualité, les échanges au sein de chaque groupe ont été productifs mais il est plus compliqué d’en tirer un bilan au niveau de l’apport à chaque élève. Les problèmes mathématiques les ont déstabilisés ; cela a sans doute permis à certains de comprendre la nécessité de parfois opter pour un point de vue décalé afin de résoudre un problème et de l’importance de la phase de recherche. Cet essai, certes limité en termes d’ambitions pédagogiques et sans objectif d’intégration à un cours, a permis de dégager différentes pistes de travail que nous esquissons ci-dessous.
Généralisation : lire Alcuin en groupe IREM
51Le cœur de l’activité évoquée repose comme on l’a vu sur un effort de reprise et de catégorisation de certains problèmes d’Alcuin suivant des critères qu’il a fallu élaborer à cet effet en tenant compte des « contraintes locales » à l’atelier, notamment en termes de profils d’élèves. En généralisant l’idée, nous nous sommes interrogés au sein du groupe « histoire et épistémologie » de l’IREM de Paris Nord sur l’opportunité de travailler sur des catégorisations génériques des problèmes, en vue de leur réutilisation en contexte moderne.6
52Notre parti pris a été de sélectionner une vingtaine de problèmes de types différents,7 en les séparant de leurs solutions médiévales puis en les examinant uniquement sous l’angle de la variété des méthodes possibles. Le terme de « méthode » est entendu ici non au sens des « solutions » du texte des propositiones, mais au sens d’une procédure envisageable par les élèves d’aujourd’hui. Il s’agit donc d’une sorte d’analyse didactique a priori, rapportée à un ensemble d’énoncés séparés de leurs « solutions » d’origine. Cette démarche inclut la possibilité d’énoncés ambigus, nous comptabilisons donc les différentes interprétations possibles, et à quelles solutions elles donnent éventuellement lieu.
53La démarche présente un intérêt pour son résultat : un « profil » des problèmes sélectionnés en fonction des méthodes possibles. Mais elle nous est parue également intéressante pour l’effet d’échange et d’exercices entre nous, enseignants de lettres, d’histoire et de mathématiques : la discussion autour des méthodes envisageables est alors un moyen d’échanges et de mutualisation des connaissances ou points de vue.
54À titre d’exemple, dans la seconde interprétation du problème 2 (voir « Un florilège succinct d’exemples »), on peut modifier l’énoncé en raisonnant non à partir de la troupe rencontrée, mais de la moitié d’elle-même puis du quart d’elle-même. Une variante plus algorithmique consiste à écrire l’algorithme auquel correspond l’énoncé, puis à transformer cet algorithme jusqu’à trouver celui d’une division par 11. On peut bien sûr employer une technique algébrique et calculer sur la quantité inconnue nommée n ou x, on obtient une équation très simple. Une variante consiste à représenter graphiquement la quantité d’hommes, pour constater que le problème se réduit alors à une division simple de ligne. On peut enfin pratiquer une technique d’essais/erreurs, qui connaît à son tour une variante algorithmique (à partir de l’algorithme évoqué ci-dessus) ou d’autres plus savantes et bien connues du Moyen Âge, comme des techniques de fausse position.
55C’est ce type de lecture que nous conduisons sur l’ensemble des types de problèmes répertoriés, dans le cadre de la préparation d’une brochure IREM.
Conclusion
56En généralisant encore les idées exposées ci-dessus, on constate aisément qu’un objet aussi varié et complexe que l’ensemble des problèmes dits « d’Alcuin » porte de très riches possibilités de variations pédagogiques, suivant les choix didactiques qu’on fait de regroupements d’énoncés, ou de travail sur les énoncés eux-mêmes. À cet égard il faut distinguer, à titre récapitulatif, la question du pourquoi de celle du comment. Pourquoi ce texte offre-t-il de par sa nature, ses caractéristiques historiques, tant de potentialités ? Et comment exploiter aujourd’hui ces potentialités, sur quels leviers peut-on agir pour construire des démarches d’enseignement ?
57Par nature, on l’a vu, nombre des énoncés d’Alcuin invitent aux jeux d’esprit : ils se rapprochent des énigmes par l’usage de pièges, d’ambiguïtés et d’interprétations multiples. A contrario, et sauf quelques problèmes particulièrement tortueux, la plupart ont un caractère accessible et élémentaire, beaucoup se prêtent à des solutions non formelles mais raisonnées. Quant aux solutions transmises par les textes, elles sont essentiellement descriptives et invitent donc à raisonner. Plusieurs problèmes ont de surcroît un caractère de familiarité que leur assure leur caractère traditionnel et « bien connu ». Si on les regarde sous l’angle de la variété, ils sont par ailleurs très composites et couvrent un champ assez large de types de questions, des plus calculatoires à des problèmes logiques. Le fait enfin que leur existence même soit liée au nom d’Alcuin et par là à toute la vie intellectuelle à la cour des empereurs carolingiens, en fait un témoin intéressant et suggestif de cette époque très riche.
58Concernant la manière de construire aujourd’hui des variations pédagogiques sur ce texte, à l’exemple de l’atelier évoqué ci-dessus, énumérons en conclusion quelques « leviers fondamentaux » possibles.
- Presque tous les énoncés d’Alcuin, si on les sépare de leur « solution », peuvent être regardés comme des problèmes ouverts à une pluralité de méthodes : c’est ce champ des possibles que nous continuons à explorer dans le groupe IREM (voir « Généralisation : lire Alcuin en groupe IREM »).
- Si on met au contraire en jeu les « solutions » descriptives, et souvent insuffisantes, des textes, on peut les tourner en objet d’étude pour permettre aux élèves de mesurer la différence entre une méthode argumentée, même élémentaire, et une simple description.
- Le niveau d’ambiguïté qu’on conservera aux énoncés, ou qu’on décidera au contraire de masquer ou d’atténuer, est un autre levier fondamental. Assumer les ambiguïtés revient à rapprocher la pratique des problèmes de celles du jeu d’esprit et ouvre la voie aux débats argumentés sur les énonciations mêmes.
- Pris dans leur ensemble varié, les problèmes d’Alcuin se prêtent à des jeux de regroupement d’énoncés suivant des critères à construire : c’est ce qui est en jeu dans l’exemple précité (voir « Une expérience à valeur heuristique ») et c’est un nouveau levier d’action. On peut, en quelque sorte, reconstruire des séries en puisant aux énoncés d’Alcuin.
- Enfin il est loisible de jouer sur la valeur historique et patrimoniale du recueil pour regarder en partie les problèmes comme objets historiques, et construire ainsi des démarches interdisciplinaires : l’exemple proposé en est là encore une illustration.
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Notes de bas de page
1Une image digitalisée du manuscrit est disponible en ligne sur le site de la Vatican Library : <https://digi.vatlib.it/view/MSS_Reg.lat.309/0039> (consulté le 1er octobre 2018). Le folio 16r montre le début des propositions, sans mention d’auteur.
2C’est ce que nous a rappelé J. Sesiano (com. pers.), que nous remercions ici.
3Ces deux collègues préparent un numéro spécial de la revue Médiévales (Moyon 2018) dont une partie rédigée par S. Lamassé sera consacrée à la tradition longue des « problèmes récréatifs » médiévaux, dont ceux d’Alcuin.
4La première interprétation conduit à une impossibilité, à moins d’imaginer qu’on puisse avoir une troupe de 41 hommes et un autre, peut-être diminué, qui ne soit que les 13 dix-neuvièmes de lui-même.
5René Guitart (2017) Algorithmes de résolutions de problèmes de taquins, garages et aiguillages. Communication présentée au 22e colloque inter-IREM d’épistémologie et d’histoire des mathématiques « Mathématiques récréatives, combinatoires et algorithmiques : éclairages historiques et épistémologiques », Grenoble.
6Ces catégories n’ont donc pas les mêmes visées que celles qu’élaborent les historiens (voir Le recueil des propositiones et son genre), même si des croisements occasionnels restent possibles.
7Le florilège ci-dessus est en partie déduit de cette typologie.
Auteurs
Université Paris-Est Créteil Val-de-Marne, Centre Alexandre Koyré, IREM de Paris Nord.
Alain Bernard est formateur d’enseignants dans le second degré (enseignements disciplinaires et historiques, direction de mémoires de master, tutorat de professeurs stagiaires, formation continue). Il est également chercheur au Centre Alexandre Koyré et à l’IREM de Paris Nord en histoire des sciences mathématiques dans l’Antiquité tardive et en histoire des probabilités au XXe siècle.
Lycée Pablo Picasso de Fontenay-sous-Bois, IREM de Paris Nord.
Enseignante de mathématiques en collège puis en lycée, Emmanuelle Rocher participe à divers projets interdisciplinaires, travaille sur l’évaluation par compétences en classe de seconde, et effectue des interrogations orales en classe préparatoire économique et commerciale (option technologique).
Le texte seul est utilisable sous licence Licence OpenEdition Books. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.
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