Géométrie, combinatoire et algorithmes des carrés magiques
p. 159-180
Texte intégral
1Un carré ayant n lignes et n colonnes est dit magique « de côté n » si chaque case contient un nombre de 1 à n2 et si la somme S des nombres pour chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est la même : on l’appelle somme magique ou constante. Dans l’enseignement des mathématiques, les carrés magiques sont en général utilisés pour pratiquer le calcul, mais l’histoire invite à d’autres apprentissages.
2Des carrés magiques se trouvent en Chine et en pays d’Islam, aux ixe et xe siècles, sur des monuments, des médailles, des coupes ou des assiettes. Des algorithmes de construction sont présents dans des textes arabes et byzantins des xiiie et xive siècles (Chabert et coll. 1994 : 59-94). Ils s’appuient sur des configurations géométriques, ce qui se comprend, puisque la disposition des nombres dans un carré magique repose sur celles de lignes. L’approche des carrés magiques change quand, à la fin du xviie siècle, Bernard Frénicle de Bessy ne cherche plus seulement à construire, mais à dénombrer les carrés magiques ayant un côté donné. Ses explorations s’appuient sur trois algorithmes de construction, comme nous allons le voir. Il donne un dénombrement complet pour les carrés de côté 4. À la fin du xixe siècle, Michel Frolov et Édouard Lucas reprennent le dénombrement de Frénicle et engagent des investigations géométriques et combinatoires. Nous analysons les écrits de ces trois mathématiciens, pour puiser dans les carrés magiques de nouvelles ressources pour l’enseignement.
Le mémoire Des quarrés ou tables magiques de Frénicle
3Le mémoire Des quarrés ou tables magiques de Bernard Frénicle de Bessy (on trouve aussi écrit Frenicle) est salué par Pierre de Fermat dans une lettre à Marin Mersenne en date du 1er avril 1640, où Bachet est évoqué. Comme cela est fréquent à l’époque, Fermat lui lance un défi en donnant un carré de côté 14 et des carrés de côté 4. Il écrit (Fermat 1679 : 176) :
En voilà assez pour donner de l’exercice à Monsieur de Frénicle, car je ne sais guère rien de plus beau en l’Arithmétique que ces nombres que quelques-uns appellent Planetarios, et les autres Magicos ; et de fait j’ai vu plusieurs Talismans, où quelques-uns de ces quarrés rangés de la sorte sont décrits, et parmi plusieurs un grand d’argent, qui contient le 49. rangé selon la méthode Bachet, ce qui fait croire que personne n’a encore connu la générale ni le nombre des solutions qui peuvent arriver à chaque quarré […]
4En 1693, Philippe de la Hire publie pour l’Académie royale des sciences le mémoire de Frénicle, qui fut lui-même académicien. Ce texte de 84 pages commence par la définition d’un carré magique, illustrée par un carré de côté 4, et la détermination de la somme magique, qui vaut la somme du plus petit et du plus grand nombre du carré, multipliée par la moitié du côté du carré. Il donne en détail deux méthodes de construction de carrés, et, pour chacune d’elles, des « variations », c’est-à-dire des transformations d’un carré magique en un carré qui reste magique. Il se termine par une « table générale des quarrés de quatre » qui contient 880 carrés magiques de côté 4, sans indication de la manière dont ils ont été obtenus.
Construction par sauts et variations
La méthode par sauts de Bachet
5Le premier algorithme exposé par Frénicle concerne les carrés de côté impair. Il s’agit de la méthode par sauts, qui se trouve dans l’édition de 1624 des Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres de Claude-Gaspard Bachet de 1612. En voici les explications (Bachet 1624 : 162-163) :
Fig. 1 – La disposition géométrique dans la méthode par sauts.

Fig. 2 – La construction du carré magique par sauts.

6Fais un carré parfait ABCD et divise chaque côté en autant de parties égales qu’il y a d’unités au côté du carré que tu veux disposer ; puis tire des lignes parallèles aux côtés […] des points de tes divisions. […] Après allonge sur tous les côtés les lignes tirées des points de tes divisions et fais derechef des petits carrés semblables aux premiers, qui aillent toujours décroissant du nombre de deux, jusques à ce qu’ils se terminent en un seul petit carré [fig. 1]. Lors range tes nombres suivant l’ordre naturel des nombres et mets 1 au petit carré d’en haut, et le 2 et le 3 aux petits qui sont à l’entour du même diamètre que le premier, c’est-à-dire que, 1, 2, 3, se doivent disposer dans les trois petits carrés qui vont en biaisant, et semblablement dans les trois autres tu mettras 4, 5, 6, et dans les trois autres 7, 8, 9, comme tu vois en la première figure [fig. 2, gauche]. Cela fait, les nombres qui se trouvent dans ton carré ABCD seront justement colloqués en leurs places, à savoir 2, 4, 5, 6, 8. Mais les autres qui sont demeurés dehors, tu les mettras dans les places vides qui restent usant seulement de transposition, c’est à savoir que ceux d’en haut, tu les mettras en bas, et ceux d’en bas, tu les porteras en haut ; ceux du côté gauche, passeront au côté droit, et ceux du côté droit, irons au côté gauche, comme tu vois en la seconde figure [fig. 2, droite]. Ainsi tous tes nombres seront disposés en la façon que requiert ce problème.
7Bachet énonce ensuite la « règle générale de la transposition » : il faut transporter le nombre qui se trouve hors du carré, dans le même rang où il se trouve « autant de places plus avant qu’il y a d’unités au côté de ton carré » (Bachet 1624 : 163). Dans son exemple, il faut le transporter trois places plus avant, car 3 est le côté de 9. Cette règle peut être justifiée par un calcul de congruences (Chabert et coll. 1994 : 80-82).
Fig. 3 – Une variante de Frénicle.

Les « variations » de Frénicle
8Après avoir exposé la méthode par sauts, avec l’exemple d’un carré de côté 5, Frénicle montre comment faire varier les carrés obtenus en conservant le caractère magique. Il commence par les changements par transports de lignes diagonales (Frénicle 1693 : 428) :
Le changement de ces figures est facile à comprendre par l’inspection de celles qui y sont ici représentées, auxquelles on voit qu’on peut transporter les lignes des nombres ainsi qu’on veut, pourvu qu’on change en même sorte la ligne correspondante ou relative. Or les lignes relatives sont celles qui sont également éloignées de celles du milieu ; ainsi la relative de ab, en la figure A, est lo, et celle de cd est gh ; de même celle de al, est bo, et celle de αβ est εη.
9En échangeant, par exemple, ab et cd, et donc aussi leurs symétriques par rapport au centre lo et gh, on obtient à partir de la figure A (fig. 3, haut), une figure B, qui fournit un nouveau carré magique (fig. 3, bas). Ce changement se comprend à partir de la disposition géométrique et de la règle générale de Bachet.
10Frénicle explique comment on peut aussi « transporter » des lignes et des colonnes, et enfin combiner ensemble les différentes variations. On obtient par ces moyens 14 transpositions de la figure marquée A, qui, avec la figure A, font 15 figures, et ensuite de la figure A, on obtient encore 15 figures, etc. Frénicle en conclut que, si ces figures sont différentes, on aurait en tout 240 figures. Mais il ajoute : « il faut prendre garde qu’il n’y aura point de figures semblables parmi ce nombre » (Frénicle 1693 : 435). Il indique qu’il existe d’autres variations, mais qui ne sont pas « si faciles » que les précédentes.
Construction de carrés de côté pair par pointages
11Frénicle explique la construction d’un carré de côté pair avec l’exemple d’un carré de côté 4. Il faut partir du « carré naturel » de côté 4, c’est-à-dire contenant la suite ordonnée des nombres entiers de 1 à 16. On ne retient que les diagonales (fig. 4), puis les places vides sont remplies par les entiers « opposés en croix » (Frénicle 1693 : 441).
Fig. 4 – Construction d’un carré de côté 4.

12Sa méthode est un cas simple de l’algorithme par pointages qui se trouve dans Le dévoilement des opérations du calcul du mathématicien arabe Ibn Qunfudh au xive siècle (Chabert et coll. 1994 : 69-75). Pour un côté n multiple de 4 (dans l’exemple suivant avec n = 8), on marque des cases symétriques, par rapport aux axes horizontal et vertical, de façon à marquer la moitié des cases de chaque ligne et la moitié de celles de chaque colonne. Il faut partir du « carré naturel » de côté 8, c’est-à-dire contenant la suite ordonnée des nombres entiers de 1 à 64 et de son inverse (fig. 5). Dans une première étape, on retient dans le « carré naturel » les cases marquées (fig. 6). Dans une seconde étape, on remplit les cases non marquées avec le carré inverse (fig. 7). Il reste à superposer les carrés obtenus dans les deux étapes pour avoir un carré magique.
13Les explications fournies par Ibn Qunfudh indiquent que le pointage conserve la symétrie par rapport aux axes horizontal et vertical du carré (Chabert et coll. 1994 : 74).
Construction par enceintes et variations
14Frénicle expose ensuite ce qu’il nomme la « méthode générale pour faire les carrés magiques », valable pour les carrés de côté pair et impair. Il écrit (Frénicle 1693 : 442) :
Par la méthode suivante on pourra faire toutes sortes de tables tant paires qu’impaires, mais il faut remarquer une propriété particulière des tables faites par cette méthode, qui est que si on ôte l’enceinte de quelqu’une de ces tables, celle qui restera ne laissera pas d’avoir encore toutes ses lignes égales […]
15La méthode consiste à remplir un carré par enceintes : de l’intérieur vers l’extérieur ou de l’extérieur vers l’intérieur. Un algorithme par enceintes se trouve dans un texte de az-Zinjani, mathématicien arabe du xiiie siècle (Chabert et coll. 1994 : 64-69), que Frénicle ne cite pas. Antoine Arnauld en donne aussi un dans ses Nouveaux éléments de géométrie de 1667.
16Frénicle donne plusieurs méthodes pour former les enceintes. La première est illustrée avec un carré de côté 6. Les trois instructions de la première étape sont les suivantes :
- Disposer les 36 nombres en une grille de deux lignes (fig. 8).
- Choisir 8 nombres de la première ligne, par exemple les 8 premiers, et les 8 nombres « correspondants » de la deuxième ligne (la somme d’un nombre et de son correspondant vaut 36 + 1 = 37).
- Construire un carré magique de côté 4 avec ces nombres en utilisant la méthode pour les carrés pairs : la somme magique vaut 37 × 2 = 74.
Fig. 5 – Carré naturel et carré inverse.

Fig. 6 – La méthode par pointages (première étape).

Fig. 7 – La méthode par pointages (seconde étape).

Fig. 8 – Première étape de la méthode par enceintes.

17Ce carré va être entouré par une enceinte de côté 5, de sorte à obtenir un carré magique de somme magique 37 × 3 = 111. Les trois instructions de cette seconde étape sont les suivantes :
- Choisir pour les quatre angles deux nombres et leurs correspondants parmi les nombres restants dans la grille : on choisit par exemple 9 et 10.
- Chercher quatre nombres dans les nombres encore restants de sorte que chaque ligne de l’enceinte aura pour somme 111.
- Mettre les compléments des nombres trouvés en opposition (fig. 9).
Fig. 9 – Construction de l’enceinte.

18Cette méthode est susceptible de beaucoup de variantes, selon les choix opérés. Mais Frénicle recherche des « variations », c’est-à-dire des manières systématiques de changer un carré magique, obtenu avec la méthode générale, en un carré magique. Son expérimentation couvre 33 pages, où il explore les carrés obtenus, dans une tension entre des examens de variantes et des recherches de variations. Il éprouve la méthode sur des carrés allant jusqu’au côté 14 et il commente en indiquant que les enceintes peuvent être obtenues de manière indépendante ou encore que les nombres des enceintes peuvent être mis en suivant un ordre inverse.
19Son expérimentation l’oriente vers un nouveau problème : celui d’énumérer tous les carrés magiques de côté donné. En effet, cette partie du mémoire se termine par une liste de 26 carrés de côté 5 dont chacun peut avoir 288 variations (Frénicle 1693 : 481-483).
Dénombrement de carrés magiques de côté 4
20La « Table générale des quarrés de quatre » couvre 19 pages (Frénicle 1693 : 484-503). Frénicle n’indique pas la manière dont les carrés ont été classés, mais il donne une typologie en cinq catégories qui figure sur la Table (fig. 10) à l’aide de lettres grecques (Frénicle 1693 : 504-505) :
Les tables qui ont cette marque α en tête, ont cette propriété, que quatre nombres étant pris en carré dans cette table en quelque façon que ce soit, font autant qu’un des côtés. […] Les tables qui ont cette marque β au-dessus, ont la même égalité que devant, sinon qu’au milieu d’un des côtés et à son opposé, il y a un des carrés dont les nombres ne sont pas égaux à ceux d’un des côtés. […] Les tables marquées γ, n’ont que les carrés des angles qui aient cette égalité avec celui du milieu, mais n’ont pas ceux du milieu des côtés. […] Les tables qui ont cette marque δ, n’ont égalité, outre les angles du grand carré, et ceux du carré du milieu, (auxquels il y a égalité dans toutes les tables) que deux autres carrés aux côtés opposés. […] Les autres tables qui n’ont point de marque, n’ont rien que ce qui est commun à toutes, savoir le petit carré du milieu, et le grand du dehors, où il y ait égalité aux nombres des angles […]
Il compte les carrés dans chaque catégorie et il obtient 48 + 192 + 192 + 328 + 120 = 880 carrés.
21Frénicle n’indique pas non plus la façon dont les carrés ont été trouvés. En revanche, il énonce à la fin du mémoire des propriétés sur la composition géométrique des carrés magiques de côté 4 qui indiquent que le nouveau problème de dénombrement des carrés l’a conduit vers des investigations d’un genre nouveau. En effet, il décompose la figure du carré de côté 4 en carrés : le « carré intérieur », le « carré extérieur » (enceinte) et les « carrés d’angle » de côtés 2 ou 3. La composition géométrique donne lieu à quatre propriétés (avec S, la somme magique) :
- La somme des 4 nombres des angles des carrés, extérieur et intérieur, vaut S.
- La somme des 4 nombres d’un « carré d’angle » de côté 2 égale celle du « carré d’angle » opposé.
- De même pour les 4 nombres des angles des carrés de côté 3.
- Si la somme des 4 nombres d’un des « carrés d’angle » de côté 2 vaut S, alors ce sera aussi vrai pour les autres « carrés d’angle » de côté 2 et pour les angles des carrés de côté 3.
22Ce sont ces propriétés qui vont orienter les recherches des auteurs du xixe siècle désirant comprendre et poursuivre le résultat obtenu par Frénicle.
Fig. 10 – La première page de la « Table générale des quarrés de quatre » (non paginée).

[© BnF].
La combinatoire des carrés magiques chez Frolov
L’héritage des carrés magiques dans les années 1870-1880
23Leonhard Euler a consacré deux mémoires aux carrés magiques : « De quadris magicis », rédigé en 1726, et « Recherches sur une nouvelle espèce de carrés magiques », publié en français en 1782 dans les Mémoires de la Société des sciences de Flessingue. Signalons que les deux mémoires d’Euler paraissent dans le tome II des Commentationes arithmeticae édités en 1849, puis qu’ils sont réimprimés en 1862 pour les Opera Omnia.
24En 1876, dans la Nouvelle correspondance mathématique, Édouard Lucas aborde l’un des problèmes d’Euler figurant dans le second mémoire. À partir de cette date, il y a un regain d’intérêt pour les carrés magiques en France, en particulier lors des congrès de l’Association française pour l’avancement des sciences (AFAS) (Barbin 2017). Notons qu’en 1874, un professeur de mathématiques, nommé A. Labosne, réédite l’ouvrage de Bachet, qui était très rare, en le simplifiant et en l’augmentant (Bachet 1874).
25Mikhail Frolow publie à Saint-Pétersbourg en 1884 (en français) Le problème d’Euler et les carrés magiques, puis à Paris en 1886, Les carrés magiques, nouvelle étude. Il est ingénieur et il publiera plus tard en France sous le nom de Michel Frolov (Barbin 2017). Dans le second ouvrage, auquel collaborent Édouard Lucas et Henri Delannoy, il corrige son ouvrage précédent et il s’intéresse à la table de Frénicle.
Les carrés magiques de côté 4 chez Frolov
26Dans son ouvrage de 1886, Frolov explique les méthodes qui lui ont permis de « trouver les 880 carrés de 4, indépendamment des Tables de Frénicle », qu’il n’avait pas à sa disposition, « mais encore de les classer dans un ordre méthodique et commode pour leur vérification » (Frolow 1886 : 2). Il commence par des propriétés « les plus remarquables » sur la composition géométrique des carrés magiques de côté 4, parmi lesquelles figurent celles de la fin du mémoire de Frénicle. À cet effet, il introduit une notation indicielle pour les 16 cases du carré, réparties en 4 groupes de 4 cases indiquées par a, b, c, d, qu’il nomme « quadrilles » (fig. 11, gauche).
Fig. 11 – Les « quadrilles » et les « quartiers ».

27Frolov énonce et démontre que les sommes des quatre nombres de chaque quadrille valent la somme magique 34, c’est-à-dire que : Σa = Σb = Σc = Σd = 34.
Il en déduit dix « égalités fondamentales » de quatre nombres, exprimées à l’aide des quatre « quartiers » A, B, C et D (fig. 11, droite). Il montre que les sommes de quatre nombres dans deux quartiers opposés sont égales entre elles : A = C, B = D. Il précise que cette égalité est vraie dans tous les carrés de côté pair. Il prouve que toutes les rangées horizontales et verticales sont composées de deux nombres pairs et deux nombres impairs, et que si l’une des « grandes diagonales » est formée de quatre nombres pairs alors l’autre comporte quatre nombres impairs. Il indique trois manières de regrouper les nombres à l’aide de « diagrammes » (fig. 12), les deux derniers définissant des « carrés médians ». Frolov rapporte ces résultats à la classification de Frénicle (Frolow 1886 : 5) :
C’est sur la considération des quadrilles, quartiers et carrés médians que Frenicle s’est basé pour partager tous les carrés de 4 en 5 classes, dont les quatres premières ont les marques α, β, χ, δ et la dernière n’a pas de marque.
Fig. 12 – Les diagrammes de Frolov et les « carrés médians ».

28À l’aide de ses résultats, il donne la détermination combinatoire d’un carré magique de côté 4 : il suffit d’écrire 7 des 16 nombres qui le composent, en choisissant 7 cases (fig. 13) de sorte à trouver la place des 9 nombres non écrits à l’aide des propriétés remarquables.
Fig. 13 – La détermination combinatoire d’un carré de côté 4.

29Frolov en conclut que le problème des carrés magiques n’est pas de nature calculatoire et algébrique, mais combinatoire et arithmétique (Frolow 1886 : 6) :
Cela montre clairement que ce problème […] n’appartient nullement à la théorie des équations, qui ne s’occupe que de la grandeur des quantités, mais non pas de l’ordre de leur disposition relative, et que les égalités qui expriment les conditions des carrés magiques ne sont aucunement des équations algébriques, parce qu’il s’agit ici non pas de trouver des nombres inconnus, mais de savoir disposer des nombres donnés d’avance sur des cases d’une figure donnée aussi. [Ce problème appartient] entièrement à la science des nombres.
30Il s’intéresse aussi aux transformations de carrés magiques de côté 4 en d’autres carrés magiques, par exemple (Frolow 1886 : 6-7) :
[…] si l’on a égale à s la somme des 4 nombres pris dans 4 cases différentes, dans 4 rangées horizontales ou verticales, disposées en losange ou en carrés [fig. 14], de sorte qu’il y ait deux nombres dans deux quadrilles a et b, ou c et d [fig. 11], on peut faire permuter les rangées et les disposer dans l’ordre I, III, II, IV ou III, I, IV, II, tel que les quatre nombres forment une diagonale. Il est évident que dans ce cas l’autre diagonale donnera aussi la somme égale à s, car toutes les deux sont égales ensemble à Σa + Σb = Σc + Σd = 2s.
Fig. 14 – Une transformation de carrés magiques chez Frolov.

Carrés magiques et récréations mathématiques chez Lucas
31Les récréations mathématiques sont en vogue à la fin du xixe siècle en France. Un « journal des jeux d’esprit et de combinaisons », titré Les tablettes du chercheur, est créé en 1890 par B. Decolombe. On y trouve des problèmes d’échecs, de dominos, des carrés magiques. Une Société des sciences récréatives voit le jour en 1894, avec Charles-Ange Laisant comme vice-Président (voir Barbin 2017).
32Les quatre volumes des Récréations mathématiques d’Édouard Lucas paraissent de 1882 à 1894. Lucas est mathématicien en théorie des nombres et enseignant de mathématiques à Paris, au lycée Charlemagne puis au lycée Saint-Louis (voir Decaillot 1999). Il écrit aussi en 1889 La Fasioulette du Professeur N. Claus (de Siam), qui est la première série de « Jeux scientifiques pour servir à l’Histoire, à l’Enseignement et à la Pratique ». Lui et son ami Laisant attribuent un rôle éducatif aux récréations mathématiques (Barbin 2007 ; Barbin 2016).
Les récréations : l’ancrage historique et mathématique chez Lucas
33Dans l’introduction du volume 1 de ses Récréations mathématiques, Lucas montre que les récréations qu’il propose ont intéressé des mathématiciens célèbres. Il cite la géométrie de situation et le jeu du solitaire de Leibniz, trois mémoires d’Euler sur le cavalier du jeu d’échecs, les ponts de la Pregel et le problème des 36 officiers. Il indique le mémoire de Alexandre-Théophile Vandermonde sur l’entrelacement des fils. Sur les carrés magiques, il mentionne Moschopoulos, Bachet, Fermat et Frenicle, et aussi les « carrés diaboliques » de Philippe de la Hire, Joseph Sauveur et Leonhard Euler. L’introduction mentionne des travaux récents, comme la topologie et les nœuds de Johann Benedict Listing. Le volume se termine par des références historiques dans une bibliographie de dix pages.
34Laisant a œuvré en vue d’une édition complète des Œuvres de Fermat (Auvinet 2013). En 1879, il annonce qu’elle sera assurée par Lucas et Charles Henry. Ce travail d’édition est certainement une des sources de l’intérêt de Lucas vis-à-vis des carrés magiques. En effet, il a eu le bonheur de mettre la main sur des manuscrits originaux et inédits de Fermat. Ce sont 14 cahiers et feuillets détachés sur les carrés magiques. Il en propose une « restauration » qui se poursuit en 1887. Elle reparaît dans le tome IV des Œuvres de Fermat et dans le volume 4 des Récréations de 1894 (sur Lucas et les carrés magiques de Fermat, voir Barbin 2017).
Les « transformations générales des carrés » par Lucas
35La cinquième récréation du volume 4 des Récréations mathématiques de Lucas (1894) s’intitule « Les carrés magiques de Fermat », mais elle concerne aussi les tables de Frénicle. Elle commence par la conservation du caractère magique pour des transformations géométriques de rotation et de symétrie agissant sur les carrés de côté 3, puis la construction du carré magique de côté 4 par Fermat, qui est aussi celle que nous avons vue plus haut chez Frénicle.
36Lucas aborde ensuite ce qu’il nomme « transformations générales des carrés ». Il commence par les échanges par quartiers pour des carrés de côté pair (fig. 15) : « tout carré pair reste magique, si l’on échange simultanément sans les tourner, les quartiers opposés » (Lucas 1894 : 99).
Fig. 15 – Transformation par échanges de quartiers dans un carré pair.

37Il examine aussi le cas des carrés impairs. Ces transformations ne donnent pas de nouveaux carrés pour le côté 3, mais, pour le côté 4, on obtient des carrés différents de ceux qui sont obtenus par rotation et symétrie. Il énonce, sans le démontrer, que (Lucas 1894 : 101) :
Tout carré reste magique si l’on échange deux horizontales, puis deux verticales qui sont toutes les quatre à la même distance du centre.
38Lucas explique qu’avec sa « théorie des échanges », on « s’aperçoit immédiatement que les Tables de Frénicle peuvent être réduites au quart de leur étendue » (Lucas 1894 : 101). Il annonce qu’il va montrer dans la suite « l’inutilité de cette Table », mais qu’il va reprendre les propriétés énoncées par Frénicle (en fin de son mémoire), auxquelles seront ajoutées les siennes, complétées par Delannoy. Lucas ne mentionne pas Frolov.
La composition géométrique des carrés de côté 4
39Lucas nomme « égalités à quatre boules » des égalités de sommes de quatre nombres à la « constante » (c’est-à-dire la somme magique) dans un carré magique de côté 4. Leurs places sont désignées par des symboles qui permettent de les repérer visuellement. Lucas démontre, par échange des quartiers et par rotation, quatre égalités (fig. 16) (Lucas 1894 : 102) :
Théorème I. – Dans tout carré de quatre, la somme des angles du carré extérieur, celle des angles du petit carré intérieur, les sommes des angles de chacun des deux rectangles médians sont égales à la constante.
40Le théorème II énonce des égalités de sommes de quatre nombres à d’autres sommes de quatre autres (fig. 17) (Lucas 1894 : 103) :
Théorème II. – Dans tout carré de quatre, la somme des quatre boules noires de l’un des carrés égale la somme des quatre boules blanches du carré opposé par rapport au centre, et la somme de l’un de ces carrés augmentée du carré adjacent formé de croix ou des points vaut deux fois la constante.
Ce théorème vaut notamment pour les quatre « carrés de trois » : les quatre croix, les quatre grosses boules noires, etc. Pour ces quatre carrés de côté 3, la somme des nombres aux sommets est égale à la somme magique.
Fig. 16 – Le théorème I de Lucas.

Fig. 17 – Le théorème II de Lucas.

41Le théorème III énonce des « égalités à deux boules », c’est-à-dire ici des sommes de deux nombres égales à des sommes de deux autres nombres (fig. 18) (Lucas 1894 : 104-105) :
Théorème III. – Dans tout carré de quatre, la somme des extrémités d’une rangée extérieure égale la somme des nombres intérieurs de la rangée extérieure opposée ; la somme des extrémités d’une rangée intérieure égale la somme des nombres intérieurs de la rangée voisine, et la somme des extrémités d’une diagonale égale la somme des nombres intérieurs de l’autre diagonale.
Fig. 18 – Le théorème III de Lucas.

Lucas écrit que, pour démontrer cette proposition, on ajoute les nombres contenus sur les trois traits pleins (fig. 18) et on retranche les nombres situés sur les trois traits pointillés. Il observe de plus que le troisième carré (à droite) se déduit du précédent (milieu) par l’échange des quartiers opposés (Lucas 1894 : 105).
42Il commente l’énoncé du théorème III en écrivant :
Cette égalité donne lieu par rotation et par symétrie, à dix équations homogènes qui remplacent avantageusement les dix équations de la définition des carrés magiques de quatre.
43En effet, la définition d’un carré magique de côté 4 s’exprime de manière calculatoire par les 10 égalités non homogènes de la somme magique avec les quatre nombres des 4 lignes horizontales, des 4 lignes verticales et des 2 diagonales. Tandis que les 10 équations correspondant au théorème III sont homogènes : deux nombres égalent deux nombres.
44Lucas montre comment trouver géométriquement les 10 équations non homogènes à partir des 10 équations homogènes. En effet, l’ensemble des 4 boules forme un grand trapèze (fig. 19, gauche), un petit trapèze (fig. 19, milieu) ou un losange (fig. 19, droit). Donc, par exemple, en ajoutant les boules blanches de l’un des grands trapèzes aux boules noires de l’autre, on obtient l’égalité des lignes extérieures du carré magique.
Fig. 19 – La géométrie du théorème III.

45Il déduit du théorème III une détermination combinatoire d’un carré de côté 4 (Lucas 1894 : 106) :
Corollaire 1. – Pour former un carré magique avec 16 nombres pris au hasard, il faut qu’en prenant les sommes de toutes les combinaisons des nombres deux à deux, on trouve dix sommes de deux nombres égales à dix sommes de deux nombres.
Conclusion
46Les trois textes que nous avons examinés ont des statuts différents. Le mémoire de Frénicle est un cas assez rare dans la littérature mathématique, où figurent les détours et les impasses de sa recherche. Nous avons la chance de presque lire les expériences d’un mathématicien au travail, en particulier dans ses recherches arithmétiques (voir Goldstein 2001). La manière dont les mathématiciens expérimentent change, mais cela fait toujours partie du travail (Barbin et Cléro 2015). L’ouvrage de Frolov poursuit les travaux de mathématiciens reconnus, Euler et Fermat. Dans ces deux premiers textes, le terme de récréations n’apparaît pas. En revanche, le texte de Lucas, qui est à la fois arithméticien et enseignant, paraît dans un recueil de Récréations mathématiques. Mais, nous avons indiqué plus haut que, pour Lucas, les récréations font partie des mathématiques.
47Ce qui est frappant pour le lecteur des trois textes est le passage de discours et de lettres chez Frénicle à des graphismes chez Frolov et Lucas. Mais ces graphismes éclairants ne sont pas propres aux récréations. En effet, à cette époque, ils constituent de nouvelles manières de résoudre des problèmes pour les mathématiciens (Barbin 2017). La visualisation est une pratique mathématique qui n’est pas nouvelle, mais elle se révèle pour eux féconde. Autrement dit, elle n’est pas pour Lucas une « variable didactique » (Auvinet 2016 : 471), mais une pratique mathématique.
48Lucas et son ami Laisant attribuent une portée éducative aux récréations (Barbin 2016). Dans La Fasioulette, dédiée à ses enfants, Lucas écrit (Lucas 1889 : 4) :
J’ai donc fait ces petits livres pour vous récréer tout en vous apprenant des combinaisons arithmétiques et géométriques très difficiles.
49Ainsi le verbe récréer n’est pas à prendre au seul sens restreint de « divertir », mais aussi au sens de sa racine latine, de « vivifier ». Dans son Initiation mathématique, Laisant précise que le livre « n’a rien de commun » avec ces récréations mathématiques où il est demandé d’appliquer les théories mathématiques déjà connues à des sujets amusants. Il écrit : « ici c’est l’inverse, nous nous servirons de questions amusantes comme d’un moyen pédagogique » (Laisant 1906 : VI). Son propos n’est pas de convertir les mathématiques en récréations pour « divertir », mais de transformer les récréations en mathématiques pour « vivifier ».
50Examinons de ce point de vue l’utilisation des carrés magiques dans l’enseignement, avec les quatre problèmes sur les carrés magiques que nous avons mis en avant dans l’histoire : construction, dénombrement, composition géométrique, détermination combinatoire.
51Les constructions sont intéressantes car ce sont des « algorithmes géométriques ». Ce fut sans doute le thème qui « accrocha » le plus mes étudiants de première année en informatique, lors d’un cours en 2007 sur les algorithmes dans l’histoire. J’avais noté un autre intérêt quand je leur demandais de « voir » si le carré magique de la « Mélancolie » de Dürer était obtenu avec l’un des algorithmes que nous avions étudiés. Cela demandait d’examiner la composition du carré et de faire varier un des algorithmes.
52Les carrés magiques peuvent être abordés dès le collège. En 2011, trois élèves de classe de 5e ont mené des travaux dans le cadre de « Maths en jeans »1. Ils étaient guidés par six questions d’un chercheur qui portaient, sauf la dernière, sur les carrés magiques de côté 3. La première était : « Comment construire un carré magique de 9 cases ? » Les élèves ont écrit d’emblée que la somme magique est 15, sans argumenter, et ils ont montré que 5 est au milieu parce que la revue de tous les autres nombres indique qu’ils ne peuvent pas convenir. Puis un carré magique est donné par les élèves, qui écrivent : « En faisant tourner les nombres d’un quart de tour, on trouve la même somme. » Mais les questions suivantes orientent les élèves vers des calculs : ajouter ou multiplier les nombres d’un carré magique. La question 3 revient sur le calcul de la somme magique 15, et les élèves écrivent : « Nous avons trouvé une formule pour obtenir un carré magique plus rapidement. » La « formule » est l’écriture littérale des nombres du carré à l’aide du nombre de la case du milieu, noté a. Cette formule, qui présente des symétries, n’est pas réinvestie dans la recherche de nouveaux carrés magiques. Elle sert à faire des calculs, pour faire un carré magique avec des nombres tous pairs ou impairs, ou encore avec des nombres négatifs. La dernière question demande de « trouver un carré magique de 4 sur 4 avec les 16 premiers nombres ». Les élèves calculent la somme magique et donnent un carré magique sans indiquer comment il a été obtenu. Puis ils donnent une formule littérale.
53Cette situation est intéressante à examiner pour appuyer notre propos, car l’aspect géométrique, présent très vite dans une remarque des élèves, n’est pas repris, car les questions ne les orientent pas vers des productions ou des examens de carrés. La construction d’un carré de côté 4 est gommée puisque la question est : « Peut-on trouver ? » Les élèves répondent en donnant un carré. Les carrés magiques ont été exploités ici en tant qu’objets d’exercices de calculs, y compris ici avec une lettre.
54Pourtant l’histoire indique d’autres problèmes qui engageraient les élèves dans des investigations géométriques et combinatoires, dans des expérimentations authentiquement mathématiques, c’est-à-dire porteuses de connaissances. Dans l’histoire, comme dans la classe, les carrés magiques peuvent être des récréations « vivifiantes » et pas seulement « divertissantes ». Les exemples de telles récréations sont nombreux dans l’histoire, sans qu’il soit besoin de « gamification » de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques, comme cela est proposé depuis quelques années (Kim Song Lockee et Burton 2018). Ceci, pour ne pas avoir à « dé-gamifier » les mathématiques, tout comme il faut « dé-transposer » après avoir « transposé » (voir Antibi et Brousseau 2000).
Références bibliographiques
Antibi, A. et Brousseau, G. (2000). La dé-transposition des connaissances scolaires. Recherches en didactique des mathématiques, 20(1), 7-40.
Auvinet, J. (2013). Charles-Ange Laisant. Itinéraires et engagements d’un mathématicien de la Troisième République. Paris : Hermann Éditions.
Auvinet, J. (2016). Récréations mathématiques, géométrie de situation… De nouveaux outils pour enseigner les mathématiques à la fin du xixe siècle. Dans L. Radford, F. Furinghetti et T. Hausberger (dir.), International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics. Proceedings of the 2016 ICME Satellite Meeting (p. 263-276). Montpellier : IREM de Montpellier.
Bachet, C.-G. (1624). Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres (2e éd.). Lyon : Pierre Rigaud.
Bachet, C.-G. (1874). Problèmes plaisants et délectables, qui se font par les nombres (3e éd., revue par A. Labosne). Paris : Gauthier-Villars.
Barbin, É. (2007). Les Récréations : des mathématiques à la marge. Pour la science, 30, 22-25.
Barbin, É. (2017). Gaston Tarry et la doctrine des combinaisons. Dans É. Barbin, C. Goldstein, M. Moyon, S. R. Schwer et S. Vinatier (dir.), Les travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité. Un hommage à Henri Delannoy (p. 119-144). Limoges : Presses universitaires de Limoges.
Barbin, É. et Cléro, J.-P. (dir.) (2015). Les mathématiques et l’expérience. Ce qu’en ont dit les philosophes et les mathématiciens. Paris : Hermann Éditions.
Barbin, É. et Guitart, R. (2016). Des récréations pour enseigner les mathématiques avec Lucas, Fourrey, Laisant. Dans L. Radford, F. Furinghetti et T. Hausberger (dir.), International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics. Proceedings of the 2016 ICME Satellite Meeting (p. 277-288). Montpellier : IREM de Montpellier.
Chabert, J.-L., Barbin, É., Guillemot, M., Michel-Pajus, A., Borowczyk, J., Djebbar, A. et Martzloff, J.-C. (dir.) (1994). Histoire d’algorithmes. Du caillou à la puce. Paris : Belin.
Decaillot, A.-M. (1999). Édouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d’un scientifique français dans la deuxième moitié du xixe siècle (Thèse de doctorat). Université René Descartes – Paris V.
Fermat, P. de (1679). Varia opera mathematica. Toulouse : Joannem Pech.
Frenicle de Bessy, B. (1693). Des quarrés ou tables magiques. Dans Divers ouvrages de mathématiques et de physique par Messieurs de l’Académie Royale des Sciences (p. 423-507). Paris : Imprimerie Royale.
Frolow, M. (1886). Les carrés magiques. Nouvelle étude. Paris : Gauthiers-Villars.
Goldstein, C. (2001). L’expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy. Revue de synthèse, 122(2-4), 425-454.
Kim, S., Song, K., Lockee, B et Burton, J. (2018). Gamification in Learning and Education. Cham : Springer International Publishing.
Laisant, C.-A. (1906). Initiation mathématique : ouvrage étranger à tout programme, dédié aux amis de l’enfance. Paris : Hachette.
Lucas, É. (1889). La fasioulette du Professeur N. Claus (de Siam). Dans Jeux scientifiques pour servir à l’histoire, à l’enseignement et à la pratique du calcul et du dessin (1re série, n°1). Paris : Chambon & Baye.
Lucas, É. (1894). Récréations mathématiques (vol. 4). Paris : Gauthiers-Villars et fils.
Notes de bas de page
1Counil, H., Magnoux, M. et Martin, I. (2011) Les carrés magiques – Collège Fernand Garandeau (La Tremblade). Travaux d’élèves MATh.en.JEANS 2011 (p. 77-79). Disponible en ligne sur le site de MATh.en.JEANS : <https://www.mathenjeans.fr/sites/default/files/les_carres_magique_college_fernand_garandeau_a_la_tremblade.pdf> (consulté le 1er octobre 2018).
Auteur
Université de Nantes, Laboratoire de mathématiques Jean Leray, IREM des Pays de la Loire.
IdRef : 02697455X
Évelyne Barbin est professeure émérite d’épistémologie et d’histoire des sciences à l’université de Nantes. Ses recherches portent sur l’histoire des mathématiques et de leur enseignement, et sur les relations entre histoire et enseignement. Elle est intervenue en formation initiale et continue des enseignants de mathématiques dans tous les niveaux d’enseignement et de formation. Elle a organisé dix-huit colloques et six universités d’été, écrit de nombreux articles et coédité des ouvrages de la commission inter-IREM, dont Les mathématiques et le réel : expériences, instruments, investigations.
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