La rithmomachie, un « jeu pédagogique » du xie au xvie siècle
p. 139-158
Texte intégral
Introduction
1Vers le milieu du xie siècle, à Würzburg, un moine nommé Asilon a inventé un jeu, le « combat des nombres », bientôt rebaptisé « rithmomachie ». Pour délasser les savants, mais aussi pour permettre aux plus jeunes d’apprendre agréablement l’arithmétique – celle de l’époque, qui est aussi celle de Boèce. Le jeu s’est répandu dans l’Occident chrétien, sans devenir vraiment populaire à cause de sa complexité. Au fil du temps, les joueurs, et le but du jeu, ont changé : vers le xiiie siècle, la rithmomachie devient le « jeu des philosophes et des savants » universitaires, en gardant son objectif pédagogique ; une version moins austère servira, à l’approche de la Renaissance, au divertissement des plus éduqués ; mais il ne s’agira plus alors d’apprendre l’arithmétique de Boèce.
2Nous commençons par présenter les textes que nous avons choisis, témoins de la naissance du jeu au xie siècle, et d’une tentative de renaissance au xvie siècle. Nous donnerons ensuite, de l’arithmétique de Boèce, ce qu’il faut savoir pour comprendre comment sont choisies les pièces du jeu. Nous pourrons alors présenter les règles, et essayer de faire apparaître toute la complexité de ce « combat des nombres ». Nous terminerons en évoquant une expérience en collège, utilisant la rithmomachie en version simplifiée.
Fig. 1 – Le plateau de jeu.

[© BnF].
3Le plateau de jeu au début d’une partie est présenté ci-dessus (Boissière 1556).
Une brève histoire du jeu
4Nous insistons sur deux périodes : la naissance du jeu, au xie siècle, et une tentative de renaissance, au xvie siècle. En tout, Menso Folkerts (2003) a recensé 32 textes distincts, de 1030 à 1705.
Les premiers textes
5Aucun texte connu ne mentionne la rithmomachie avant le xie siècle, et tout porte à croire que l’invention du jeu correspond à cette période. Cette invention est attribuée à un certain Asilon (Asilo), clerc de Würzburg.
6Les textes des premiers siècles du jeu ont été édités par Arno Borst (1986). Tous sont bien sûr en latin, et aucune traduction n’en a été faite, à l’exception d’un texte du début du xiie siècle, publié par Menso Folkerts (Katz, Folkerts, Hughes, Wagner et Berggren 2016 : 62-64). Une courte liste complémentaire de manuscrits plus tardifs figure dans (Moyer 2001 : 181-182).
Fig. 2 – Le début de Lat7377C-b.

[© BnF].
7Nous avons travaillé sur deux des trois premiers textes connus, figurant tous deux, sous forme de copies, dans le manuscrit Latin 7377C, conservé à la Bibliothèque nationale de France, et daté d’environ 1070. Dans l’ordre du manuscrit, figure d’abord Omnis inaequalitas ex aequalitate procedit…, sur deux pages et demie à peine. Il s’agit d’un texte connu comme « l’anonyme de Liège ». Selon Folkerts (2003 : 7), il a été écrit vers 1070 ; notre manuscrit en contient donc une des premières copies. Vient ensuite, dans le manuscrit, ce qui est en fait le tout premier texte connu sur la rithmomachie, Quinque genera inaequalitatis…, qui ne prend qu’une page, difficilement lisible, du manuscrit. Il est attribué à Asilon lui-même, et a été écrit vers 1040 (Borst 1986 : 60). Dans la suite, nous nous réfèrerons à ces deux textes respectivement par Lat7377C-a et Lat7377C-b.
8La rithmomachie faisait partie des « bons » jeux acceptés par l’Église – entre autres parce qu’elle ne fait pas appel au hasard. Et
[elle] fut le seul jeu à être intégré dans le programme d’enseignement des sept arts libéraux et devint bientôt objet de divertissement intellectuel même en-dehors des monastères (Sonntag 2011 : 84).
9Le « jeu des philosophes » est recommandé par Jean de Salisbury au xiie siècle, Roger Bacon au xiiie et encore évoqué dans l’Utopia de Thomas More au xvie (Sonntag 2011).
Le texte de Boissière
10La première description imprimée est attribuée à Jacques Lefèvre d’Étaples en 1496. Seulement un demi-siècle après, la rithmomachie semble passée de mode. La relancer est en effet le propos explicite du texte que nous allons étudier plus en détail : Le très-excellent & ancien jeu Pythagorique, dit Rythmomachie… (Boissière 1556), premier texte en français sur ce jeu. Selon Terquem (1846 : 663), Claude Boissière (Claudius Buxerius) est né dans le diocèse de Grenoble et a enseigné les mathématiques à Paris. Il dédie son livre à Antoine Escalin des Aimars, baron de La Garde, qui fut général des galères sous François 1er et Charles IX. L’ouvrage est paru en français en 1554, puis en latin en 1556. Terquem (1846 : 664) signale que l’édition française est plus rare que la latine, ce qui est normal puisque le latin permettait à l’époque une diffusion plus large.
11Nous nous réfèrerons à la réédition française, disponible sur Gallica, datée de 1556. La page de garde est ornée de l’« enseigne de la poule grasse » de l’imprimeur Guillaume Cavellat, et signale que « les jeux se vendent chez Jean Gentil à la grand court du palais ».
12Dans sa dédicace à Escalin des Aimars, Boissière (1556 : 2v)1 présente le jeu comme ayant été
par manière de jeu et récréation, introduit entre les anciens philosophes, pour adoucir leurs fâcheries, et recréer en vertu leurs esprits inquiétés par longue étude.
Philosophes parmi lesquels, se référant à « Lucain et autres historiens », il propose de compter Jules César, pour mieux le comparer à Escalin… selon l’usage du genre.
13Boissière écrit toujours « rythmomachie », et présente le jeu comme « bataille de nombres accordants, ou bataille d’accords ». Il y a là plus qu’une allusion à l’interprétation musicale de l’arithmétique, initiée par les Grecs et présente chez Boèce – que, cependant, Boissière ne cite pas.
Le nom du jeu
14L’orthographe est très variable : on trouve rythmomachie, arithmomachie et en latin ritmimachia, rithmachia, rythmomachia… L’index de (Borst 1986) donne 11 formes en rith, 4 en ryth et 12 variantes, de rhith à ryght. Si « machie » évoque incontestablement le combat, on peut penser comme M. Folkerts (2003 : 1) que le nom vient non pas d’arithmos (αριθμος, le nombre) mais de rhythmos (ρυθμός, le rythme mais aussi le rapport, la proportion). Il s’agirait donc de combats de rapports (de nombres) plutôt que de combats de nombres – « nombres » au sens ancien, c’est-à-dire en tout cas entiers au moins égaux à 2. C’est d’ailleurs ainsi que le présente Boissière au xvie siècle.
15Quand ce nom de rithmomachie – quelle qu’en soit l’orthographe – a-t-il été imaginé et attribué au jeu ? Folkerts (2003 : 6) signale que les premiers textes parlent plutôt de conflictus ou d’altercatio. Mais, comme on peut le voir sur la figure 2, notre manuscrit Lat7377C-b porte le titre Regula de rithmachia, écrit dans une telle intrication avec le reste du texte, qu’il est très peu vraisemblable que ce titre ait été ajouté a posteriori. Le manuscrit est daté, nous l’avons dit, de 1070 environ. Il semble donc bien que le terme de rithmomachie était déjà utilisé alors.
16Comme noté par Smith et Eaton (1911 : 74), le simple fait que le jeu ait été ainsi baptisé d’un nom grec, à une époque où cette langue était fort peu pratiquée dans l’Occident chrétien, montre qu’il était réservé à une élite. Il fallait en effet, pour le pratiquer, maîtriser un ensemble de règles complexes, mais aussi l’arithmétique boécienne. La rithmomachie a d’ailleurs très probablement été imaginée, nous l’avons dit, comme moyen d’apprendre agréablement cette arithmétique.
Les rapports de nombres selon Boèce
17Les nombres figurant sur les pièces du jeu sont une illustration directe de la théorie des proportions, telle qu’enseignée dans tout le Moyen Âge à travers un « manuel » très utilisé dans les milieux monastiques puis universitaires : l’Institution arithmétique de Boèce. Nous présentons brièvement cet ouvrage, puis nous détaillons sa classification des types d’inégalités.
L’Institution Arithmétique
18Boèce (env. 480-524) écrit cette Institution Arithmétique vers l’an 500. C’est en fait une traduction, du grec au latin, de l’Introduction Arithmétique de Nicomaque de Gérase, écrite au iie siècle de notre ère ; Boèce y ajoute quelques commentaires et exemples. Mais, faute d’accès aux textes grecs et en particulier à l’œuvre d’Euclide, tout le Moyen Âge prendra le livre de Boèce comme référence principale. J.-Y. Guillaumin (Boèce 1995) en a réalisé la première traduction française, en même temps qu’une nouvelle édition critique très documentée. Sa recension des versions successives de l’Institution Arithmétique montre l’importance de la diffusion de l’ouvrage : 186 manuscrits connus, et plus de 25 éditions entre 1488 et 1570.
19Sans entrer dans le détail, il faut signaler que cette arithmétique est d’inspiration pythagoricienne bien plus qu’euclidienne, très théorique mais presque sans démonstrations : il s’agit surtout de contempler l’œuvre divine à travers les propriétés des nombres.
Les différents types d’inégalités
20Parmi les nombreuses classifications présentées par Boèce (pair/impair, premier/composé, mais aussi parfait/abondant/déficient, etc.) figure celle des rapports de nombres, ou proportions. Voici les trois types simples de rapports de deux nombres, « espèces d’inégalités » dans le langage de Boèce (Boèce 1995 : 46-60).
- Le multiple : contient les différentes « espèces » du double, triple, etc.
- Le superparticulier2 : si l’un est égal à l’autre plus une « partie aliquote » (un diviseur) de celui-ci. En langage moderne, le rapport est de la forme 1 + 1/n
La première « espèce » de superparticulier est le sesquialtère (n = 2) : 2 et 3 sont dans un tel rapport, de même que 4 et 6. La deuxième espèce est le sesquitierce (n = 3), exemple 3 et 4. Puis viennent le sesquiquadruple (exemple : 4 et 5), le sesquiquintuple (exemple : 5 et 6), etc.
- Le superpartient : si l’un est égal à l’autre plus au moins deux parties aliquotes de celui-ci. En langage moderne, le rapport est de la forme 1 + p/n , 1 < p < n
En fait, pour la rithmomachie, seul le cas p = n – 1 sera utilisé. Les premières « espèces » qui nous intéressent sont donc le bipartient tierce (n = 3, p = 2, exemple : 3 et 5, ou 6 et 10), le tripartient quarte ou quadruple (n = 4, exemple : 4 et 7), etc.
21Boèce présente encore deux autres types, les types composés : multiple superparticulier et multiple superpartient. Cela lui permet de classer ainsi tous les couples de nombres. Mais ces types composés n’apparaissent pas dans le jeu, nous ne les détaillerons donc pas.
Description du jeu, version du xvie siècle
22La rithmomachie est un jeu sophistiqué. Pour ne pas perdre notre lecteur, nous allons d’abord décrire la version « moderne », c’est-à-dire celle du xvie siècle. Ou plutôt une des versions modernes, car Boissière propose beaucoup de variantes, que nous ne signalerons pas toutes.
Le matériel de jeu
23Le plateau (« tablier » chez Boissière ; la rithmomachie fait partie des jeux de table au même titre que les échecs) est décrit comme un double échiquier : 16 cases, parfois moins, sur 8. Les « tables » – nous dirons plutôt pièces ou pions – sont au nombre de 48 : 16 rondes, 16 triangulaires, 16 carrées – en fait, 14 carrées, et deux en forme de pyramide, mais nous y reviendrons. Chacune porte un nombre. La description de ces pièces va prendre un tiers du texte, Boissière expliquant comment toutes sont « engendrées » par les premiers nombres, pairs ou impairs. Comme aux échecs, les deux camps sont distingués par la couleur de leurs pions, disons blancs pour l’un et noirs pour l’autre. Pour certaines façons de jouer (les « victoires propres », nous y reviendrons), il est souhaitable que chaque pièce soit bicolore, une couleur pour chaque face, mais le même nombre de chaque côté. De sorte que, lorsqu’un des joueurs prend un pion à son adversaire, il puisse le retourner, au sens propre du terme, et l’utiliser à son profit.
24Voici donc la « génération » des pièces. Comme Boissière, nous prendrons la couleur blanche pour les « pairs ».
25On commence par quatre pièces rondes pour chaque camp, simplement la série des huit premiers « nombres » (donc à partir de 2), pairs d’un côté, impairs de l’autre. Pour aider le lecteur sans insérer trop de dessins, nous codons les pièces ainsi : r2b (rond-2-blanc), r4b, r6b, r8b d’un côté, r3n (rond-3-noir), r5n, r7n, r9n de l’autre. Ces premières pièces sont disposées en ligne, un camp face à l’autre, symétriquement par rapport au centre du plateau (voir la fig. 1). Les autres pièces seront placées de plus en plus en retrait, et sur les côtés.
26La deuxième étape va illustrer le premier des trois types simples d’inégalités décrits ci-dessus : le multiple, qui se décline en double, quadruple… (les multiples pairs) et triple, quintuple… (les impairs). Chacune des pièces précédentes en engendre ainsi une autre, dans l’ordre croissant des rapports, en respectant la parité : r2b donne, par passage au double, un nouveau rond 4 blanc (que nous noterons r4bis), r3n donne, par triple, r9n, puis r4b, par quadruple, donne r16b, et ainsi de suite pour r25n, r36b, r49n, r64b et r81n.
27On passe à la forme triangulaire pour le deuxième type de rapport, le superparticulier. La première série de huit triangles est donc engendrée par la deuxième série de ronds, dans l’ordre des rapports superparticuliers, en alternant pair/impair. Ainsi r4bis donne, par rapport sesquialtère, t6b ; r9n donne, par sesquitierce, t12n ; r16b, par sesquiquadruple, t20b ; r25n, par sesquiquintuple, t30n. Ainsi de suite, on obtient t42b, t56n, t72b, t90n. Ainsi apparaissent des pairs dans le camp des impairs, et ce sera pareil dans le camp des pairs à l’étape suivante.
28La deuxième série de huit triangles est construite, à partir de la première, sur le même principe, en repartant du premier superparticulier, le sesquialtère. Celui-ci, de t6b, engendre t9b, et on obtient de même, dans l’ordre, t16n, t25b, t36n, t49b, t64n, t81b, t100n.
29On passe à la forme carrée pour le troisième et dernier type de rapport, le superpartient. Le premier rapport superpartient, le superbipartient tierce (1+2/3) est appliqué à la première pièce « paire » : t9b donne c15b. Le suivant, côté impair, supertripartient quadruple (1+3/4), appliqué à t16n, donne c28n. Le superquadripartient quintuple (1+4/5), appliqué à t25b, donne c45b. Ainsi de suite, on obtient c66n, c91b (ou plutôt on devrait ; mais c’est en fait une pyramide, nous y reviendrons), c120n, c153b, c190n – mais là encore ce sera une pyramide.
30Enfin, pour la deuxième série de carrés, on reprend, à partir de la première série, les mêmes rapports superpartients : ainsi c15b donne c25b par superbipartient tierce, c28n donne c49n par supertripartient quadruple. Et de même, dans l’ordre, pour c81b, c121n, c169b, c225n, c289b, c361n. En résumé :
Tableau 1 – Récapitulatif des pièces.
2 | 4 | 6 | 8 | 3 | 5 | 7 | 9 | |
4 | 16 | 36 | 64 | multiples | 9 | 25 | 49 | 81 |
6 | 20 | 42 | 72 | superparticuliers | 12 | 30 | 56 | 90 |
9 | 25 | 49 | 81 | superparticuliers, 2 | 16 | 36 | 64 | 100 |
15 | 45 | 91* | 153 | superpartients | 28 | 66 | 120 | 190* |
25 | 81 | 169 | 289 | superpartients, 2 | 49 | 121 | 225 | 361 |
31On peut présenter cette construction du jeu d’une autre façon, qui montre mieux comment tout est « engendré » par les premiers nombres : 2, par multiple, engendre 4, qui par superparticulier engendre 6, lequel par superparticulier à nouveau engendre 9, lequel, par superpartient, engendre 15, qui par superpartient à nouveau engendre 25. Ainsi chacun de ces huit premiers nombres (portés par une pièce ronde) en engendre cinq autres, portés respectivement par une autre pièce ronde, deux triangles et deux carrés. L’image d’engendrement, bien sûr, est pythagoricienne.
32Il nous reste à décrire deux pièces particulières, qui correspondent aux deux nombres marqués d’une étoile dans le tableau 1, les pyramides : celle du camp des pairs remplace le carré 91. Elle est « parfaite », car 91 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62. Elle est donc constituée de cinq pièces non réversibles, la base 25 étant carrée. Pour la forme des autres pièces de la pyramide, plus petites, Boissière donne deux versions : toutes carrées, ou bien reprenant les trois formes des autres pièces, la base étant toujours carrée. La seconde pyramide, du camp des impairs, remplace le carré 190. Elle est « tricurta », amputée des trois premiers carrés, car 190 = 42 + 52 + 62 + 72 + 82.
33Ouvrons ici une parenthèse : le même Boissière a publié presque en même temps que l’ouvrage qui nous occupe, un manuel d’arithmétique (Boissière 1554). Ces questions de rapports entre nombres, et le vocabulaire complexe qui les accompagne, n’apparaissent que tout à la fin du manuel. L’essentiel est consacré à l’arithmétique décimale et aux techniques de calcul posé. On voit ici que, en ce milieu du xvie siècle, l’arithmétique de Boèce est en train de perdre sa place, même chez un auteur qui entreprend parallèlement de faire revivre la rithmomachie.
34L’observation du tableau récapitulatif suggère, au lecteur mathématicien moderne, bien des remarques : les lignes paires sont formées de carrés parfaits, la ligne 3 est somme des lignes 1 et 2, la ligne 5 est somme des lignes 3 et 4, etc. Certaines de ces propriétés sont signalées par Boissière. On trouve même des descriptions modernes, par ailleurs sérieuses (Cazaux 2010 : 144) qui font apparaître une « logique » arithmétique dans ce tableau, en indexant les lignes, respectivement, par n, n2, n(n+1), (n+1)2, (n+1)(2n+1), (2n+1)2. Cette présentation est mathématiquement exacte, mais non fondée historiquement.
Les mouvements des pièces
35Les règles de mouvement des pièces sont très variables d’une référence à l’autre. Nous suivons toujours Boissière, qui lui-même donne deux versions. Voici la première, in extenso (Boissière 1556 : 24v).
Premièrement toutes marcheront droitement ou à dextre ou à senestre, ou avant ou arrière, aucuns veulent à tous côtés, ce que je laisse à la discrétion des joueurs.
Toutes les pièces peuvent donc se mouvoir dans les quatre directions. Pour les diagonales, c’est aux joueurs de décider si c’est possible.
Secondement marche la bande des carrés de 4 en 4, ou 4 loges ; les triangles marchent 3, les ronds en la suivante prochaine. Quand je dis quatrième loge, j’entends comptant le lieu où la table est, et celui où elle va.
Commençons par la dernière phrase : le nombre de « loges » (cases) inclut la case de départ et celle d’arrivée. Ainsi quand Boissière dit que les pièces carrées marchent de 4 en 4, cela signifie pour nous qu’elles avancent de trois cases. De même les triangles avancent de deux cases, et les ronds d’une seule.
36Les pyramides ont les capacités de déplacement de chacune des pièces qui les composent : tant qu’elles conservent une partie triangulaire par exemple, elles peuvent « marcher » comme les triangles.
Les captures
37Pour nommer les pièces du jeu, nous utilisons ici le même codage que ci-dessus. Deux points importants à noter : la capture se fait « à distance », sans que la pièce qui capture vienne prendre la place de la pièce capturée ; et les prises ne sont pas obligatoires.
38Premier type de capture, la rencontre. Reprenons le texte de Boissière (1556 : 25v) :
Si un nombre rencontre un autre à son pas de même valeur et quantité que lui, il l’emportera, sans transporter icelui au lieu du vaincu.
Fig. 3 – Les méthodes de capture (Boissière 1556 : 25r).

[© BnF].
39« À son pas » signifie que la pièce preneuse vient de faire mouvement. Boissière prend l’exemple de la première ligne de la figure 3 : t25b peut prendre r25n. La réciproque n’est pas vraie car un rond ne peut avancer que d’une case à la fois.
40Comme le signale Boissière, cette technique de capture s’applique assez rarement, car les pièces de même valeur dans des camps opposés sont seulement 9, 16, 25, 36, 49, 64 et 81.
41Passons au deuxième type de capture, l’assaut. Citons à nouveau Boissière (1556 : 25v) :
Si un nombre trouve un autre plus grand auquel il puisse être fait égal étant multiplié par les loges qui sont entre eux deux, ou obliquement ou droitement, il le pourra emporter par prise d’assaut, dès qu’il aura joué, sans transporter derechef la table en ce lieu.
Les « tables » sont simplement les pièces. Les « loges » sont les cases du plateau. Il s’agit donc de compter les cases séparant les deux pièces. Dans la deuxième ligne du plateau de la figure 3, comme il y a 9 « loges » entre les deux pièces, et puisque 5 × 9 = 45, r5n peut prendre c45b (sans bouger pour autant, rappelons-le) si c’est son tour de jouer. La réciproque serait vraie si c’était le tour des pairs (blancs) et si l’assaut pouvait aussi se faire par division, ce que certains acceptent.
42Troisième type de capture, l’embûche. Boissière encore (1556 : 27r) :
Si deux nombres se peuvent jeter autour d’un autre plus grand, et que la puissance et quantité des deux puisse être égale à celle du dit plus grand, ils l’emporteront, dès lors que la seconde table sera située, sans transporter la victorieuse au lieu de la prise.
43Deux pièces du même camp vont donc collaborer à la prise d’une pièce adverse. L’exemple de Boissière utilise les lignes 3 à 5 du plateau de la figure 3 : si t12n vient en case B, il pourra prendre r36b par « assaut » puisque trois cases les sépareront et 3 × 12 = 36. Mais alors le joueur des pairs pourra décaler r4b en C, et t12n sera pris par l’« embûche » constituée par r8b et r4b puisque ces deux pièces sont à portée de la pièce à prendre (un pas les en sépare, chacune) et que 8 + 4 = 12.
44Quatrième et dernier type de capture, l’emprisonnement. Boissière toujours (1556 : 28r) :
Si quelques nombres tellement peuvent assiéger un autre, qu’il ne puisse sortir droitement sans aller par les coins comme les fols des échecs, n’avoir secours d’aucun autre de sa livrée : icelui sera pris par emprisonnement lorsqu’on jouera la dernière table des emprisonnentes, sans porter un autre en son lieu.
L’exemple de Boissière utilise les trois dernières lignes dans la figure 3 : c15b est « emprisonné » par les quatre pièces noires. La capture peut avoir lieu dès que la quatrième pièce « emprisonnente » est en place. La case de la pièce prise reste vide.
45Les pyramides ont là encore un régime particulier : elles peuvent participer aux captures avec la valeur de chacune des pièces qui les composent. Mais chacune de ces pièces peut aussi être capturée par une des règles précédentes. S’il s’agit de la base de la pyramide, celle-ci est tout entière capturée. Sinon, la pièce capturée peut faire l’objet d’une « rançon », échange avec une pièce encore disponible, a priori de même valeur faciale, sinon au choix du joueur qui capture.
Les victoires
46À l’origine du jeu, la seule façon d’emporter la victoire est d’amener dans le camp adverse une progression (medietas) arithmétique, géométrique ou harmonique (voir ci-dessous). Cela restera vrai dans presque toute l’histoire du jeu. Dans sa tentative de relance, Boissière introduit d’autres critères. Il y a alors beaucoup de façons de remporter la victoire au jeu de rithmomachie, et à chaque partie, les joueurs doivent d’abord se mettre d’accord sur les conditions auxquelles l’un d’eux l’emportera.
47D’abord les victoires communes, introduites par Boissière, « permises pour exercer les rudes et les rendre capables pour après pouvoir pratiquer les victoires propres » (1556 : 29v).
- Victoire de corps : c’est la plus simple, on compte seulement le nombre de pièces prises, sans considérer leur valeur. Le joueur qui a capturé le plus de pièces est vainqueur. Les joueurs se mettent d’accord sur un nombre de prises : le premier à avoir atteint ce nombre a gagné, le jeu s’arrête.
- Victoire de biens : on compte la valeur de chaque pièce prise, c’est-à-dire le nombre qu’elle porte. Le joueur qui a le plus haut total est vainqueur. Là aussi, les joueurs se mettent d’accord sur un total à atteindre : par exemple, le premier à 100 a gagné.
- Victoire de procès : on compte encore les « biens », mais aussi les « caractères », c’est-à-dire les chiffres (et non seulement les nombres) portés par les pièces.
Exemple : les joueurs ont préordonné que qui aura plutôt 100, ou autre telle valeur, en huit caractères aura gagné le jeu. Quiconque donc aura premier ses 6 tables 2, 4, 6, 8, 20, 64, auxquelles 6 tables sont contenus 100 en huit caractères, ou autres telles tables contenant ladite somme 100 en huit marques, sans avoir respect à la quantité des tables, icelui aura la victoire. (Boissière 1556 : 30v)
Le total des valeurs des six pièces 2, 4, 6, 8, 20, 64 fait (plus que) 100, le total de leurs chiffres est huit, le joueur a gagné.
- Victoire d’honneur : c’est une combinaison des victoires de corps et de biens : les joueurs s’accordent sur un nombre minimal de prises et un total minimal des valeurs de ces prises. Le premier joueur qui atteint ces deux seuils a gagné.
- Victoire d’honneur et procès : comme son nom l’indique, elle combine les trois conditions : minimum de nombre de pièces prises, de valeur de ces pièces, et du nombre de chiffres portés sur ces pièces prises.
48Les victoires propres sont beaucoup plus dignes des « plus doctes », et jusqu’à Boissière étaient les seules possibles. Décrivons-les, par ordre de difficulté croissante.
- Victoire médiocre : quand
le combattant peut constituer au camp de son ennemi trois tables, desquelles les nombres soient disposés selon une proportion, soit d’arithmétique, géométrie ou musique. (Boissière 1556 : 33v)
Donc aligner dans le camp adverse trois pièces dont les valeurs soient en progression arithmétique (par exemple : 2, 4, 6), géométrique (exemple : 2, 4, 8) ou harmonique3 (exemple : 2, 3, 6). Nous avons ici utilisé la formulation moderne ; Boissière dit « proportion » au lieu de progression, et « de musique » pour harmonique.
- Victoire grande :
dite mineure par les anciens au respect de la suivante, excellente, consiste en la disposition de 4 tables au camp de l’ennemi, lesquelles en leur équipage et ordonnance pourront rapporter deux proportions ensemble, soit d’arithmétique et géométrie, d’arithmétique et musique, ou bien géométrie et musique. (Boissière 1556 : 35v)
Donc placer chez l’adversaire quatre pièces, qui en les groupant par trois réalisent deux des progressions précédentes. Par exemple 2, 3, 6 et 12 : 3, 6, 12 est géométrique et 2, 3, 6 est harmonique.
- Victoire excellente : quatre pièces réalisant, par groupement de trois, les trois progressions possibles. L’exemple le plus simple est 3, 4, 6, 9 : arithmétique (3, 6, 9), géométrique (4, 6, 9) et harmonique (3, 4, 6). Boissière ajoute une condition supplémentaire sur la disposition des quatre pièces :
[elles] doivent être disposées autour de quelque loge ou carreau du tablier sur quatre autres loges respondantes aux quatre coins de la loge du milieu, quelle qu’elle soit. (1556 : 37v)
49Des premiers manuscrits jusqu’au texte de Boissière, on trouve des listes de progressions réalisables4. Il faut noter que pour presque toutes, le joueur doit utiliser non seulement ses propres pièces, mais aussi des pièces prises à l’adversaire. D’où l’intérêt de pièces bicolores : une pièce prise est retournée et prend ainsi la couleur de son nouveau camp.
50Nous terminons ici notre résumé de la description du jeu par Boissière. Comme déjà signalé, l’ouvrage propose beaucoup de variantes, laissées au libre choix des joueurs.
Le jeu au xie siècle
51Le jeu ayant été présenté dans la version « moderne » de Boissière, nous allons surtout signaler ce qui en diffère, dans les deux versions décrites par nos textes Lat7377C-a et b.
52La première différence est évidente : le texte de Boissière est un livre de 103 pages5, notre tout premier texte tient en une seule page et l’autre ne dépasse guère deux pages, sans illustrations. En fait, ces textes anciens semblent plutôt avoir un rôle d’aide-mémoire, pour une transmission qui devait avant tout être orale. Ainsi, par exemple, Lat7377C-b ne donne pas la taille du plateau de jeu (le texte a, lui, la donne, c’est 12 × 8 cases). Et aucun des deux textes ne serait compréhensible par un lecteur qui ne connaîtrait pas la classification des inégalités par Boèce ; mais on touche ici à la vocation même du jeu : pour pouvoir ne serait-ce que commencer à jouer, il faut déjà connaître assez d’arithmétique pour savoir quelles sont les pièces à placer.
53Autre différence ; l’aspect des pièces, et d’abord leur couleur. Dans nos deux textes, dans le camp des pairs les huit premières pièces sont blanches, les huit suivantes (superparticuliers) rouges, les huit dernières (superpartients) noires. Pour le camp des impairs, dans le même ordre, huit noirs, huit blancs, huit verts.
54Comme le dit joliment M. Folkerts (2000 : 349),
c’était certes très agréable à regarder, mais très fatigant pour les joueurs, qui ne pouvaient pas distinguer immédiatement leurs propres pièces de celles de leur adversaire.
55Cette situation était d’autant plus inconfortable que l’unique façon de remporter la partie était ce que Boissière appellera « victoire propre » : placer une progression dans le camp de l’adversaire. Pour Lat7377C-a il s’agit de progression harmonique (armonica medietas) seulement ; la notion n’est pas explicitée, mais une liste des progressions possibles est donnée. Dans Lat7377C-b, c’est une progression arithmétique ou harmonique, sans définition ni liste.
56Il fallait donc – nos deux textes le disent – d’abord conquérir les pièces nécessaires puisque, pour les progressions harmoniques par exemple (à l’exception de la progression 9, 15, 45 qui n’utilise que des pièces « paires »), au départ du jeu chaque joueur ne dispose que de deux des trois pièces les composant. Imaginons que le joueur du camp des impairs veuille utiliser la progression (harmonique) 4, 7, 28 : il doit d’abord prendre le 4 (un des deux 4, en fait) à son adversaire, puis amener son 7 et son 28 dans le camp adverse. On imagine que les parties devaient être longues !
57Précision importante, donnée par nos deux textes : celui des joueurs qui place une pièce dans l’intention de former une progression, doit en avertir son adversaire. Cela fait, la pièce nec liceat postea ex illo loco trahi, nec ab adversario auferri : elle devient « intouchable » par les deux joueurs, imprenable par l’adversaire mais inamovible pour celui qui l’a placée.
58Quant à la forme des pièces, rien n’est précisé, sauf au détour d’une phrase sur la formation des pyramides, avec un tetragonos formé sur le grec (quadrangle) : on retrouve ce qui avait été noté plus haut sur le nom même du jeu, l’usage du grec « pour faire savant » peut-être.
59C’est dès le début du xiiie siècle que la répartition en ronds, triangles, carrés apparaît, mais en plus des couleurs et dans un seul manuscrit (Borst 1986 : 361). Comme le fait remarquer G. Beaujouan (1972 : 646 note 14), cela n’a plus rien à voir avec ce qu’étaient pour Boèce les nombres triangulaires, carrés, etc. Les pyramides, par contre, représentent bien des « nombres figurés » au sens classique.
60La pratique de la rithmomachie est essentiellement restée confinée aux milieux cultivés, cléricaux puis universitaires. Elle décline fortement au xviie siècle, avec l’arithmétique décimale et la « révolution scientifique » d’une part, et la redécouverte des anciens, et tout particulièrement de l’arithmétique d’Euclide, d’autre part.
Le jeu au xxie siècle
61Dans le cadre de l’IREM de Lille, nous avons voulu voir si la rithmomachie pouvait encore intéresser des élèves. Le sujet se prêtait bien à une expérience pluridisciplinaire : histoire, ancien français (Boissière) et même latin (les manuscrits des origines), et bien sûr mathématiques. Avec des collègues6 enseignantes en collège, nous avons présenté une version très simplifiée à deux classes de 4e : sans expliquer la répartition des pièces, et avec la victoire « de biens » seulement, mais en lisant un extrait du texte de Boissière, et sans calculatrices ! Une petite heure de présentation, et une heure de jeu par petits groupes, avec dans chaque groupe un élève chargé de noter les coups. Les parties ayant été relativement brèves, seule la prise par assaut a été utilisée. Certains groupes ont souhaité autoriser l’opération de division (dans l’exemple de Boissière, c45n peut prendre r5b) et beaucoup ont adopté les mouvements diagonaux. Ils ont ainsi travaillé le calcul mental, mais aussi la stratégie. Avec le dépaysement induit par l’histoire, l’expérience a été très majoritairement appréciée. Nous prévoyons de la renouveler et de l’étendre7.
Références bibliographiques
Beaujouan, G. (1972). L’enseignement du « Quadrivium ». Dans Centro italiano di studi sull’alto Medioevo, La scuola nell’Occidente latino dell’alto Medioevo. 15-21 aprile 1971 (p. 639-667). Spoleto : Presso la sede del Centro.
Beaujouan, G. (1991). L’enseignement du « Quadrivium » (réédition de l’article précédent). Dans Par raison de nombres : l’art du calcul et les savoirs scientifiques médiévaux. Aldershot : Variorum.
Boèce (1995). Institution arithmétique (édition, traduction et commentaire de J.-Y. Guillaumin). Paris : Les Belles Lettres. Réédition en 2002.
Boissière, C. (1554). L’art d’arythmetique contenant toute dimention, très singulier et commode, tant pour l’art militaire que autres calculations. Paris : Annet Brière.
Boissière, C. (1556). Le très-excellent et ancien jeu Pythagorique, dit Rythmomachie, fort propre & très-utile à la récréation des esprits vertueux, pour obtenir vraie & prompte habitude en tout nombre & proportion. Paris : G. Cavellat.
Borst, A. (1986). Das mittelalterliche Zahlenkampfspiel. Heidelberg : Carl Winter, Universitätsverlag.
Cazaux, J.-L. (2010). L’odyssée des jeux d’échecs. Neuilly-sur-Seine : Praxeo.
Folkerts, M. (2000). « La rithmomachie et le manuscrit Avranches 235 ». Science antique — Science médiévale (Autour d’Avranches 235), 347-357. Hildesheim, Zürich, New York : Olms – Weidmann.
Folkerts, M. (2000). La rithmomachie et le manuscrit Avranches 235. Dans L. Callebat et O. Desbordes (dir.), Science antique, science médiévale (autour d’Avranches 235). Actes du Colloque International (Mont-Saint-Michel, 4–7 septembre 1998) (p. 347-357). Hildesheim, Zürich, New York : Olms-Weidmann.
Folkerts, M. (2003). « Rithmomachia », a Mathematical Game from the Middle Ages. Dans Essays on Early Medieval Mathematics, the Latin Tradition. Aldershot, Burlington : Ashgate Variorum.
Katz, V. J, Folkerts, M., Hughes, B., Wagner, R. et Berggren, J. L. (dir.) (2016). Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa. Princeton : Princeton University Press.
Moyer, A. E. (2001). The Philosophers’ Game. Rithmomachia in Medieval and Renaissance Europe. Ann Arbor, Michigan : the University of Michigan Press.
Smith, D. E. et Eaton, C. C. (1911). Rithmomachia, the Great Medieval Number Game. The American Mathematical Monthly, 18(4), 73-80.
Sonntag, J. (2011). Le rôle de la vie régulière dans l’invention et la diffusion des divertissements sociaux au Moyen Âge. Revue Mabillon, 83, 79-98.
Terquem, O. (1846). Notice sur la rythmomachie, ou combat des nombres. Nouvelles annales de mathématiques, 1re série, tome V, 662-671.
Notes de bas de page
1L’ouvrage n’est numéroté que sur les pages de droite. Nos références précisent donc r pour recto ou v pour verso.
2ou superpartiel (Boèce 1995).
3Rappelons que trois nombres a, b, c sont en progression harmonique si c/a = (c – b)/(b – a). Cela revient à dire que leurs inverses sont en progression arithmétique ; merci à Catherine Farjot qui nous a signalé cette reformulation.
4Celle de Boissière (1556 : 35r) contient d’ailleurs une erreur : 1, 15, 120 au lieu de 8, 15, 120.
5« Page » au sens moderne du terme, même si nous avons signalé supra qu’une sur deux seulement était numérotée.
6Sophie Bonnaire (mathématiques), Véronique Lelart (lettres classiques) et Pauline Lemaire (histoire-géographie), aux collèges d’Halluin et de Petite-Forêt. Merci à elles, et pour la fabrication du matériel de jeu, à François Recher, directeur de l’IREM de Lille.
7Signalons que les images nécessaires à la fabrication artisanale du jeu sont disponibles sur le site de l’éditeur UGA Éditions : <https://www.uga-editions.com/menu-principal/collections-et-revues/collections/enseigner-les-sciences-/mathematiques-recreatives--413130.kjsp?RH=1542624578202>.
Auteur
Université de Valenciennes, Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes, IREM de Lille.
ORCID : 0000-0002-8510-8218
IdRef : 031136877
François Goichot enseigne les mathématiques et leur histoire ; il intervient notamment dans la formation initiale et continue des enseignants. Il est membre des groupes EMTA (Enseignement des mathématiques et textes anciens) et GHLAM (Géographie, histoire, lettres anciennes et mathématiques) de l’IREM de Lille.
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