Les récréations mathématiques chez Charles-Ange Laisant : de la géométrie de situation à l’Initiation mathématique
p. 113-136
Texte intégral
1L’intérêt de mathématiciens de la fin du xixe siècle, comme Charles-Ange Laisant (1841-1920), pour les récréations mathématiques, leur (re)découverte et leurs applications pédagogiques sont le résultat d’une volonté de renouveler les mathématiques et leur enseignement tout autant que de les populariser. La pratique mathématique qui y est associée s’inscrit dans des démarches personnelles mais aussi collectives via de nombreux échanges selon des modalités multiples (associations, revues) ; l’histoire des mathématiques y tient de plus une place importante. Cet engouement pour les récréations poussera Laisant et quelques proches à créer en 1894 une éphémère Société des sciences récréatives (Auvinet 2017b) : par les récréations, c’est à un nouveau regard sur l’activité mathématique dans sa globalité (intuition dans la recherche, clarté de la preuve, attrait de l’enseignement) qu’un large public est invité.
2Nous allons voir ainsi comment, chez le mathématicien Laisant en particulier, les récréations mathématiques sont tout d’abord utilisées comme des applications habiles et originales de théories parfois récentes ou ardues pour être ensuite perçues comme de véritables innovations pédagogiques. Nous décrirons les modalités de ce basculement des mathématiques récréatives qui illustrent diverses théories vers des récréations utiles à l’enseignant. Nous montrerons que cette évolution est liée au parcours, tant scientifique qu’institutionnel, de Laisant mais également à ses rencontres et collaborations au sein de divers lieux de sociabilité. Au fil de cet itinéraire, ce sont autant de situations exploitables dans nos classes qui seront signalées. Nous présenterons donc le parcours propre de Laisant et son appropriation progressive des récréations, puis sa rencontre déterminante avec des personnages comme Édouard Lucas (1842-1891) ou Henri Auguste Delannoy (1833-1915) avant d’étudier l’utilisation finale de ces récréations à des visées pédagogiques dans l’ouvrage qui marque son intérêt pour l’enseignement mathématique des jeunes enfants : l’Initiation mathématique (première édition en 1906).
Changement d’itinéraire pour Laisant
Les débuts mathématiques du polytechnicien Laisant
3Né près de Nantes en 1841, Charles-Ange Laisant quittera le lycée de cette ville pour rejoindre l’École préparatoire Sainte-Barbe et préparer le concours d’entrée à l’École polytechnique. Il y est reçu en 1859 puis, après son passage à l’École d’application de l’artillerie et du génie de Metz, intègre le corps du génie. Sa carrière militaire est marquée par de nombreuses affectations et une tension avec sa hiérarchie suite à ses prises de position politiques. Il démissionnera d’ailleurs de l’armée pour embrasser une carrière de député de 1876 à 1893, siégeant parmi les radicaux, puis se ralliant aux boulangistes.
4Ses premiers travaux mathématiques paraissent principalement dans la revue Nouvelles annales de mathématiques, revue qui s’adresse aux élèves préparant les concours des grandes écoles et à leurs professeurs. Laisant y traite d’arithmétique, notamment de fractions périodiques mais aussi de géométrie infinitésimale avant de se consacrer à la diffusion du calcul des équipollences de l’Italien Giusto Bellavitis (1803-1880) et de la théorie des quaternions. Sa thèse de 1877 développe en outre les Applications mécaniques du calcul des quaternions. Ses écrits portent donc sur les mathématiques pures liées à l’enseignement préparatoire puis sur la diffusion de nouveaux calculs géométriques qui annoncent la géométrie vectorielle ; les récréations y trouvent une place mineure.
L’année 1876 et l’émergence d’une nouvelle communauté
5Lucas, dont nous développons le parcours plus loin, est un personnage central pour le nouvel itinéraire que Laisant va emprunter et pour l’ensemble de la communauté de ceux qui traitent plus particulièrement de récréations mathématiques (Décaillot 1999 et 1998), les références à ses travaux par les uns et les autres sont fréquentes. Les liens que Lucas tisse avec Laisant et Delannoy autour de problèmes d’arithmétique sont particulièrement visibles lors des congrès provinciaux de l’Association française pour l’avancement des sciences (AFAS, Gispert 2002). Un public hétéroclite s’y presse pour écouter les exposés de mathématiciens de premier plan comme ceux d’anonymes. Depuis sa première participation au congrès de Nantes en 1875, Laisant, comme Lucas, en est un membre assidu. D’ailleurs, il ne manque pas de préciser que « c’est à partir du Congrès de Clermont-Ferrand [1876] que les communications sur l’analyse algébrique deviennent de plus en plus nombreuses » (Laisant 1879 : 66), sous l’impulsion de Lucas qui y propose sa « loi géométrique du tissage ». À partir de cet été 1876, Laisant et Lucas se lient d’amitié ; le premier, récemment élu député, soutenant le second pour l’obtention d’un poste dans un lycée parisien. Les deux mathématiciens se trouvent aussi être, à partir de 1876, deux collaborateurs actifs et explicites de la revue belge Nouvelle Correspondance Mathématique (NCM) dirigée par Eugène Catalan (1814-1894), revue qui, comme l’AFAS, apparaît comme un des lieux d’échanges autour des récréations.
6Reprenant une question de Lucas, Laisant montre en 1878 l’impossibilité d’inscrire un triangle équilatéral dans un échiquier, ici un quadrillage constitué de carrés identiques, en plaçant les sommets du triangle aux centres de cases (Laisant 1878). Les usages par Lucas de ces échiquiers lui font remarquer : « Les considérations relatives à cet ordre d’idées seraient peut-être d’un certain secours dans la théorie des nombres, et pourraient fournir la matière de recherches intéressantes » (Laisant 1878 : 158). C’est le début des travaux de Laisant sur les liens entre arithmétique, combinatoire et géométrie, plus précisément sur les potentialités de visualisations en mathématiques discrètes.
7Delannoy est une autre figure dont la présence parmi les proches de Laisant explique l’adhésion de ce dernier à ces problématiques liées aux récréations. Né en 1833 en Haute-Marne, Henri Auguste Delannoy intègre l’École polytechnique en 1853, et devient officier d’artillerie, puis sous-intendant militaire jusqu’en 1888. Il passe la majeure partie de sa vie à Guéret dans la Creuse. Son intérêt pour les mathématiques récréatives, en particulier pour les carrés magiques et les probabilités combinatoires, le place au cœur d’un réseau d’échanges sur la géométrie de situation où l’emploi des échiquiers arithmétiques qu’il généralise trouve une bonne place. Il est un contributeur important de la revue cofondée par Laisant en 1894 : L’Intermédiaire des mathématiciens.
Fig. 1 – Le jeu d’Hamilton (Lucas, 1896 : 211).

8La note de Laisant sur le calcul icosien d’Hamilton parue en 1883 dans le deuxième tome des Récréations mathématiques de son ami Lucas (Lucas 1896 : 236-238) illustre bien l’usage premier des récréations mathématiques par Laisant. À ce sujet, Laisant écrit d’ailleurs à Delannoy dans une lettre datée du 12 novembre 18821 : « Cette question de l’Icosien me paraît fort digne d’intérêt et je vois que vous l’avez creusée. Je crois avec vous qu’elle mériterait d’être étudiée avec les notations d’Hamilton au point de vue de la méthode. » Le jeu inventé par Hamilton consiste à déterminer un chemin passant par vingt villes placées au sommet de la projection sur le plan d’un dodécaèdre2, en suivant les arêtes de la figure (voir fig. 1). Chaque ville ne peut être traversée qu’une seule fois et les cinq premières étapes peuvent être imposées (Barbin 2007).
9Laisant explique qu’Hamilton assigne à ce jeu un calcul comportant trois symboles (ι, χ et λ), à la manière du calcul sur les quaternions que promeut Laisant, dans le sens où l’on a, entre autres relations : ι2 = 1, χ3 = 1 et λ = ιχ (≠ χι) tel que λ5 = 1.
10Il donne l’interprétation géométrique de chaque symbole dans la situation du jeu icosien : la multiplication par ι correspond au renversement d’une ligne (BC en CB par exemple), celle par χ à une rotation d’une ligne (de BC en DC) et celle par λ à la substitution d’une ligne à la ligne suivante (dans le sens horaire de BC en CD ; sauf pour le grand pentagone où SR devient RW). En posant μ = ιχ2, la résolution du problème revient à résoudre [λ3μ3(λμ)2]2 = 1, où 1 correspond à l’identité. Le cœur de cette récréation, également étudiée par Lucas, consiste bien en une utilisation ingénieuse d’un calcul proposé par Hamilton dans ses recherches portant entre autres sur la non-commutativité. Le propos théorique trouve réciproquement une visualisation récréative particulièrement frappante. Pour nos élèves d’aujourd’hui, cette situation propose une représentation tangible (sur une planche de bois plantée de clous autour desquels on enroule une ficelle) d’opérations algébriques non-commutatives.
De la « géométrie de situation », selon Laisant
11La géométrie de situation va devenir un champ d’investigations majeur de Laisant, que ce soit à travers son implication dans les congrès de l’AFAS ou dans les pages de revues mathématiques. Voici la définition qu’il en donne en 1887 :
il s’agit là de questions d’une nature spéciale, confinant à la fois à l’analyse combinatoire, à l’idée de classification et à des considérations géométriques. On ne saurait les faire rentrer absolument ni dans le domaine exclusif de l’algèbre, ni dans celui de la géométrie. (Laisant 1887 : 4)
12Il précise en 1898 dans son livre de réflexions sur les mathématiques et leur enseignement La Mathématique. Philosophie, Enseignement :
C’est également à l’Arithmologie3 que se rattachent, au moins par certains côtés, les problèmes de géométrie de situation, si attachants et souvent si difficiles, parmi lesquels nous pouvons citer en passant les carrés magiques et les figures magiques en général. (Laisant 1898 : 43)
13En essayant de délimiter ce chapitre de géométrie de situation, Laisant y rattache les situations récréatives mais elles n’y constituent pas de prime abord des leviers pédagogiques.
14Lucas consacre un chapitre de son ouvrage majeur Théorie des nombres (Lucas 1891a) à la géométrie de situation. On y trouve, entre autres, une étude du carré arithmétique de Fermat, des échiquiers de Delannoy aux formes diverses (triangulaire, pentagonale, etc.), des réseaux avec les résultats d’Euler ou le théorème des carrefours de Gaston Tarry (1843-1913), contributeur général des finances à Alger et autre figure de cette communauté des récréations mathématiques (Tarry 1886 et 1906 & Barbin 2017).
15Si la géométrie de situation est source de récréations mathématiques, des exemples explicites sont rares dans l’œuvre de Laisant. Toutefois en 1892, dans son article sur une « curiosité arithmétique » (Laisant 1892), il montre qu’en insérant successivement le nombre 48 au centre du nombre 49 (soit 49, 4489, 444 889, etc.), on obtient des carrés parfaits (respectivement 72, 672, 667², etc.). La remarque est valable pour les nombres 16 (= 4²), 1 156 (= 34²), 111 556 (= 334²), etc. Il démontre qu’en base α² + 1, il y a α – 1 nombres possédant cette propriété (ainsi, dans le système décimal où α = 3, seules les deux suites issues des nombres 49 et 16 répondent au problème).
16La démonstration est calculatoire et repose sur les règles élémentaires du calcul en base B = α² + 1. Laisant considère le nombre γn formé de n fois le chiffre 1 et qui vérifie : γn = (Bn – 1)/(B – 1) = (Bn – 1)/α2.
Pour un entier c quelconque, le nombre N = c α γn + 1 a pour carré : N2 = c2α2γn2 + 2cαγn + 1 = c2γn(Bn – 1) + 2cαγn + 1 = γnc2Bn + γn(2cα – c2) + 1.
17Si c2 et 2cα – c2 sont des chiffres, c’est-à-dire s’ils sont inférieurs à B – 1, donc si c < α, alors les nombres N² obtenus pour différentes valeurs de n répondent au principe de construction exposé4 en base 10 (où α = 3, ce qui implique que c = 1 ou c = 2, d’où les deux suites de nombres exhibées). Pour un élève du cycle terminal d’aujourd’hui, la vérification par un algorithme de cette propriété peut initier une réflexion sur la notion de chiffres dans une base quelconque.
18Au-delà de ces approches calculatoires de questions d’apparence récréative, le traitement par Laisant de problèmes de géométrie de situation repose sur une visualisation des procédés à l’aide d’une figure omniprésente dans ses travaux et récurrente pour la communauté des récréations : celle de l’échiquier (Décaillot 2002).
Différents échiquiers à l’œuvre
19Dans son article de La Grande Encyclopédie5 (Laisant 1885-1902), Laisant insiste sur l’utilité des échiquiers dits arithmétiques : ce sont des tableaux numériques aux cases carrées, comparables à un quadrillage dans lesquels sont inscrits des nombres selon un procédé donné. La place de ces valeurs les unes par rapport aux autres renvoie alors à une pensée géométrique des procédés calculatoires. Laisant relie les valeurs du carré de Fermat (fig. 2) aux nombres possibles de déplacements d’une tour sur un échiquier. Le carré de Fermat est l’échiquier arithmétique comportant uniquement des 1 sur la première ligne et la première colonne, et dans lequel chaque nombre placé à la ligne i et la colonne j est la somme du terme de la ligne i et de la colonne j – 1 avec celui de la ligne i – 1 et de la colonne j. En considérant une tour se déplaçant sur un plateau du jeu d’échecs uniquement de gauche à droite ou de haut en bas, on peut en effet déterminer le nombre de déplacements possibles d’une case origine (ici marquée O) à une case quelconque (ici marquée X). Sur la figure 2, 84 déplacements sont possibles (dont trois seulement ont été représentés). En 1893, Laisant entreprend pour l’AFAS une étude générale des applications de tels « tableaux de sommes » déjà étudiés par Lucas en 1891 (Laisant 1893 & Lucas 1891a : 7).
Fig. 2 – Carré de Fermat et trois déplacements (parmi 84) d’une tour sur un échiquier.

20Un autre type d’échiquiers consiste à remplacer les valeurs numériques des échiquiers arithmétiques par diverses colorations liées à un procédé algorithmique. Certains de ces échiquiers seront d’ailleurs appelés « mosaïques de Laisant » et sont une classe particulière d’échiquiers anallagmatiques. En voici la définition donnée par Laisant au congrès de l’AFAS de 1879 : « L’échiquier anallagmatique est un carré formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que pour deux lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre de variations de couleurs est toujours égal au nombre des permanences » (Laisant 1879 : 71). Laisant en propose une construction par utilisation de leurs complémentaires ou « épreuve photographique négative » (fig. 3). À partir d’un échiquier anallagmatique E de côté 2 dont les cases sont noires ou blanches, on construit son négatif E′ en inversant les couleurs de chaque case. L’échiquier anallagmatique de côté 4 est alors obtenu par concaténation des échiquiers E et E′ suivant le modèle imposé par les couleurs dans E. On obtient un nouvel échiquier anallagmatique E de côté 4 et l’opération peut être renouvelée afin d’en obtenir un de côté 2n.
Fig. 3 – Construction des échiquiers anallagmatiques.

21C’est cette construction que Laisant utilise pour répondre à une question posée en 1880 par Catalan dans la Nouvelle Correspondance Mathématique6 :
Dans le développement du produit
(1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d)… ;
à savoir :
1 – a – b + ab – c + ac + bc – abc – d + …,
quel est le signe du nième terme ?7
22Dans sa communication pour l’AFAS « Sur les développements de certains produits algébriques » (Laisant 1881, Auvinet 2013 : 94-102), Laisant propose une réécriture du problème à l’aide d’échiquiers en représentant le signe + par une case blanche et le signe – par une noire. Les échiquiers ainsi obtenus sont anallagmatiques et constructibles par le procédé indiqué en 1879. Et Laisant de remarquer : « Cela donne lieu à des dessins mosaïques assez curieux et symétriques » (Laisant 1881 : 87). En utilisant plusieurs couleurs8, Laisant représente de manière similaire le développement de (1 + i – 1 – i)4 (fig. 4), où 1 et i sont les unités du calcul sur les nombres complexes. Les figures colorées obtenues sont présentées comme des traductions visuelles de procédures calculatoires théoriques.
Fig. 4 – Mosaïque de Laisant pour le développement de (1 + i – 1 – i)4.

23Les mosaïques de Laisant ainsi formées sont signalées dans la récréation intitulée « les parquets » de Lucas (Lucas 1896 : 116-119). Les échiquiers anallagmatiques sont en effet présents dans le deuxième tome des Récréations mathématiques de Lucas en 1883. Les parquets anallagmatiques (Lucas 1895 : 113) illustrent les signes à utiliser pour la décomposition du produit de sommes de quatre carrés en une somme de quatre carrés (fig. 5).
Fig. 5 – Parquet de décomposition du produit de sommes de quatre carrés en somme de quatre carrés.

Édouard Lucas, ami et collaborateur
24Lucas est normalien, d’abord astronome-adjoint à l’Observatoire de Paris jusqu’en 1869 puis professeur en classe préparatoire jusqu’à sa mort en 1891. Auteur d’une thèse Sur l’application des séries récurrentes à la recherche des grands nombres premiers, on lui doit notamment un test de primalité dit test de Lucas-Lehmer. Il contribue également à la vulgarisation des mathématiques en publiant entre 1882 et 1894, ses Récréations mathématiques en quatre volumes. En 1891, il entame l’écriture d’un vaste traité, une Théorie des nombres (Lucas 1891a) dont seul le premier volume sera publié. Lucas décède en effet accidentellement après un congrès de l’AFAS. Laisant et Delannoy contribueront à la publication, entre autres, de l’Arithmétique amusante de Lucas en 1895 (Autebert, Décaillot et Schwer 2003).
Paradoxe de Lewis-Carroll et représentation géométrique des fractions continues
25Dans son ouvrage Initiation mathématique paru en 1906, Laisant présente à l’occasion de la leçon « un paradoxe : 64 = 65 » (Laisant 1916 : 166) le célèbre paradoxe dit de Lewis-Carroll (fig. 6a).
Fig. 6 – Deux paradoxes : (a) 64 = 65 ; (b) 441 = 442.

26Lucas a également abordé cette question, là encore comme illustration de résultats en théorie des nombres, dans une lettre à Laisant de 1878 :
J’ai oublié de vous dire que la question du carré de 64 transformé en rectangle de 65, c’est la série de Fibonacci ;c’est très joli et on peut en faire tant qu’on veut, en plus ou en moins ; c’est au fond la représentation géométrique des fractions continues.
Série de Fibonacci 1.2.3.5.8.13.21.34.55
3² – 2∙5 = –1
8² – 5∙13 = –1
21² – 13∙34 = –1
donnent la diminution quand on passe du rectangle au carré ; […] on peut augmenter d’autant de carrés qu’on veut, avec d’autres fractions continues que(NAF 28336 (3) : F. 17)
27Le paradoxe provient du fait qu’on peut agencer 4 pièces d’un puzzle pour former un carré d’aire 64 ou un rectangle d’aire 65. L’unité d’aire supplémentaire apparue dans le rectangle provient du fait que la diagonale apparente est un fin parallélogramme d’aire 1. Il est une précieuse situation-problème dans nos classes au vu des outils mathématiques variés qui peuvent être mobilisés pour l’expliquer (Cerclé 2010).
28Les égalités présentées par Lucas dans sa lettre correspondent à l’identité dite de Cassini (Nin 1993) concernant les termes de la suite de Fibonacci définie par : u0 = 1 ; u1 = 1 et pour tout entier n ≥ 1, un + 1 = un + un – 1.
L’identité de Cassini s’écrit alors : un2 – un – 1un + 1 = (–1)n,
et on sait que la limite du rapport un + 1/un est le nombre d’or, seule solution positive de l’équation x = 1 + 1/x. En remplaçant successivement x par 1 + 1/x dans le deuxième membre, on obtient l’écriture en fraction continue énoncée par Lucas : 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) (Koshy 2001 : 100-105).
29On pourrait ainsi aisément imaginer à la suite de Lucas et Laisant un exercice intitulé « un paradoxe 441 = 442 » (fig. 6b). Une fois la situation « 64 = 65 » étudiée à l’aide de la suite de Fibonacci, un élève (par exemple du cycle 4) pourrait être amené à construire de nouvelles figures avec de plus grands termes de la suite pour obtenir un parallélogramme découpant le rectangle de plus en plus « aplati ».
Lucas confie à Laisant sa résolution du problème des 36 officiers
30Le problème des 36 officiers est un autre exemple de récréations abordées par Lucas dans une lettre à Laisant. Il écrit en effet en 1879 : « Page 169 de NCM, question très-drôle, d’autant plus que je sais la résoudre pour 3², 4², 5² officiers. »9 Le problème en question, soulevé par Euler, consiste à ranger dans une formation carrée 36 officiers de six grades différents, issus de six régimes différents de telle sorte que sur chaque ligne et sur chaque colonne, on ne trouve que des officiers de grade et de régime distincts (Catalan 1879 & Barbin 2017 : 133).
31Dans le cas de neuf officiers de trois grades et trois régimes différents, Lucas construit d’abord un carré magique d’ordre trois à partir d’une disposition initiale « en faisant faire en avant-deux et retournement aux nombres en dehors du carré » (fig. 7). Il s’agit en fait d’une construction historique de carrés magiques exposée par Bachet de Méziriac (1581-1638) (dans le cas où le côté de l’échiquier comporte un nombre impair n de cases) ou encore par un professeur de mathématiques à l’École spéciale des travaux publics, Émile Fourrey, dans la troisième partie de ses Récréations arithmétiques (Fourrey 1899) dédiée aux carrés magiques10. En attribuant à chaque entier, un officier de grade et de régiment spécifiques, on obtient une disposition répondant au problème (fig. 7).
Fig. 7 – Le carré magique du problème des 9 officiers.

Fig. 8 – Le carré magique du problème des 25 officiers.

32Lucas procède de même pour résoudre le problème avec 5² officiers (fig. 8) et conclut : « Et ceci s’applique je pense à tous les (2n + 1)² officiers. Si vous aviez dans votre bibliothèque des carrés magiques pairs, il y aurait à voir. »
33Là encore, Lucas semble initier Laisant aux récréations illustrant de manière pertinente des résultats autour des carrés magiques, tout comme auparavant des propriétés de la suite de Fibonacci.
Vers l’Initiation mathématique
34En 1893, Charles-Ange Laisant, désabusé, met fin à sa carrière de député. Celle d’enseignant s’ouvre alors à lui, en classes préparatoires, notamment à Sainte-Barbe, puis comme examinateur d’admission à l’École polytechnique. Son intérêt pour les questions pédagogiques devient dès lors prépondérant : une nouvelle utilisation des visualisations en mathématiques discrètes et donc des récréations va progressivement se dégager.
Des manuels où émergent des questions de géométrie de situation
Fig. 9 – Échiquier illustrant l’égalité 8(1 + 2 + 3 + … + n) + 1 = (2n + 1)2 pour n=5.

35Ce nouvel itinéraire d’enseignant s’accompagne de la publication de nombreux manuels (Auvinet 2013). Nous signalons sa collaboration dès 1892 avec Élie Perrin pour la publication de leurs Premiers principes d’algèbre (Laisant et Perrin 1892). On y trouve dans l’appendice VIII une présentation de l’« Emploi de l’échiquier » signalé comme étant « d’un grand secours », par exemple pour le calcul des sommes des n premiers nombres entiers ou des n premiers nombres impairs. L’égalité 8 (1 + 2 + 3 + … + n) + 1 = (2n + 1)2 y trouve aussi une illustration caractéristique des puzzles mathématiques en permettant une visualisation opérante où chaque élément de l’égalité trouve sa place dans la représentation proposée (fig. 9).
36Chacun de ces puzzles peut constituer une illustration accompagnant des exercices classiques actuels de démonstration par récurrence : l’apport de telles visualisations remet en perspective le procédé calculatoire chez l’élève et permet d’entamer une réflexion sur le statut de la preuve.
37Dans son ouvrage de 1898, Laisant précise la place accordée aux jeux dans l’apprentissage des premières règles de l’arithmétique : « dans tous ces exercices, présentés comme des récréations, le jeune élève trouve un attrait ; sa curiosité s’éveille, il désire aller chaque jour un peu plus loin que la veille » (Laisant 1898 : 200). Le procédé d’abstraction vers les objets idéaux des mathématiques, naturel pour les jeunes enfants, peut donc s’appuyer sur des récréations simples. Alors utilisées par Laisant pour illustrer de manière pertinente tel ou tel calcul, les récréations mathématiques trouvent un nouveau statut : celui d’outil pédagogique.
38Cette idée est proche de celle développée par Lucas (Lucas 1895 : 192), auteur d’une série de monographies Jeux scientifiques pour servir à l’histoire, à l’enseignement et à la pratique du calcul et du dessin où sont présentés des jeux tels que la fasioulette, la pipopipette, la Tour de Hanoï, etc. (Lucas 1889). On trouve par ailleurs dans l’Arithmétique amusante, plusieurs récréations mathématiques que ce soit sur les calculs élémentaires (avec l’Abacus de Fibonacci), sur le calcul rapide (avec les réglettes népériennes, etc.), sur les progressions arithmétiques (le vol des grues, le carré de choux) ou encore sur les progressions géométriques (avec le baguenaudier ou la tour de Hanoï).
39De telles considérations sont partagées par d’autres auteurs de recueils de récréations. Émile Fourrey explique pour sa part dans ses Récréations arithmétiques :
il existe actuellement dans l’enseignement une tendance à ne pas faire aborder aux enfants l’étude des sciences par l’exposé de la théorie pure dont l’aridité peut les rebuter. À l’aide des quelques principes strictement nécessaires, on commence cette étude par d’amusantes applications qui intéressent les jeunes esprits et leur donnent le désir d’en connaître davantage (Fourrey 1899 : VII)
40On retrouve de même dans cet ouvrage des récréations autour des opérations arithmétiques, des nombres polygonaux, de problèmes anciens et surtout, dans une dernière partie, des carrés magiques.
Des récréations pour initier les jeunes enfants
41Laisant va développer entre 1899 et 1903 l’idée de renouveler l’enseignement des premières notions mathématiques, alors qu’il vient de fonder la revue internationale L’Enseignement mathématique (1899). Sa conférence de 1899 s’intitule l’Initiation mathématique : il y prône une première initiation rationnelle fondée sur l’observation d’objets concrets, ce qui correspond aux fondements expérimentaux des sciences mathématiques. L’épistémologie des mathématiques telle qu’il la conçoit rejoint sa réflexion sur leur enseignement. Cet enseignement repose donc sur la curiosité naturelle de l’enfant, sollicitée par les récréations mathématiques. Cette démarche est à rapprocher de sa collaboration avec le pédagogue espagnol Francisco Ferrer (1859-1909), fondateur de l’École moderne et défenseur d’une pédagogie centrée sur l’enfant.
42Ces principes se concrétisent en 1906 dans l’Initiation mathématique, « ouvrage étranger à tout programme, dédié aux amis de l’enfance », « guide pour les éducateurs » des enfants de 4 à 11 ans où, en 65 leçons ordonnées, Laisant propose une initiation complète : de la numération aux carrés magiques, « une curiosité, dont il n’est guère permis d’ignorer l’existence » (Laisant 1916 : 169), en passant par l’algèbre, les nombres premiers, les progressions, la géométrie analytique, etc. Laisant explique dans son avant-propos le rôle novateur assigné aux récréations :
Le présent livre n’a rien de commun avec les Récréations mathématiques […]. Dans les Récréations mathématiques, le mot le dit assez, il s’agit d’appliquer à des sujets amusants, jeux divers, combinaisons, etc., les théories mathématiques déjà connues : et souvent une certaine instruction est nécessaire pour pouvoir seulement comprendre les explications données.
Ici, c’est l’inverse ; nous nous servirons de questions amusantes comme moyen pédagogique, pour attirer la curiosité de l’enfant et arriver ainsi à faire pénétrer dans son esprit, sans efforts imposés, les premières notions mathématiques les plus essentielles. (Laisant 1916 : 7)
Fig. 10 – La table de Pythagore dans l’Initiation.

43Ces lignes décrivent précisément la bascule effectuée sur l’usage des récréations et l’évolution de la pensée de Laisant sur la géométrie de situation entre les années 1880 et 1900. Par exemple, les références à l’objet échiquier s’effectuent ici par l’intermédiaire de l’usage récurrent du papier quadrillé, pour présenter notamment la table de multiplication (fig. 10). Laisant invite à observer cette table de Pythagore, à noter les symétries de cet échiquier arithmétique pour mieux en mémoriser le contenu.
44Des opérations curieuses, à la manière de la « curiosité arithmétique » présentée plus haut, des calculs magiques sont maintenant convoqués non plus pour appliquer des calculs subtils dans des bases quelconques mais pour participer explicitement aux côtés attrayants des leçons sur les opérations usuelles. Ainsi,
12×9 + 3 = 111 ; 123×9 + 4 = 1 111 ; …
123 456 789×9 + 10 = 1 111 111 111
Le produit de 142 857 par 2, 3, …, 6 s’écrit par une permutation de ses chiffres (142 857×2 = 285 714 ; 142 857×3 = 428 571 ; … ; 142 857 ×6 = 857 142). Les puissances de 11 donnent également lieu à des résultats particuliers incitant à une pratique dépaysante du calcul numérique ; soit autant de calculs, possibles dès notre cycle 3, volontairement dépouillés par Laisant de démonstrations ou de généralisations dans cette phase d’initiation.
Fig. 11 – Écriture des entiers en numération binaire et leur disposition sur l’éventail mystérieux.

45« L’éventail mystérieux » est le seul jeu à proprement parler de l’Initiation. Il est déjà présent dans les Récréations mathématiques de Lucas (Lucas 1891b : 154). Les entiers de 1 à 31 étant inscrits sur cinq bandes de papiers, le magicien doit retrouver instantanément un nombre secret avec pour seule indication les bandes où il est présent. C’est l’écriture en base deux de ces entiers qui permet d’expliquer le tour : les nombres de la première bandelette contiennent ceux dont l’écriture en base deux se termine par un « 1 », ceux de la deuxième bandelette ont une écriture dont l’avant-dernier nombre est un « 1 », etc., si bien que le magicien n’a qu’à additionner les premiers entiers des bandes désignées (Auvinet 2017a, fig. 11). Laisant y voit un outil de pratique du calcul mental pour les jeunes enfants. Pour nos élèves du cycle terminal, l’éventail mystérieux et son élucidation peuvent constituer une première approche de la numération binaire (conversion d’une écriture décimale en binaire, premiers calculs en base 2).
46Enfin, l’usage de graphiques lors de la leçon « L’algèbre sans calcul » est l’occasion de résoudre des problèmes de rencontres de deux marcheurs voyageant en décalage et à des allures différentes (fig. 12a) ou d’évaluer graphiquement le chemin parcouru par un chien effectuant des allers-retours entre deux de ces voyageurs (fig. 12b).
47Ces graphiques sont présents dans les exercices de nos manuels actuels lorsqu’il est question de fonctions affines en classe de seconde notamment. La particularité de la présentation de Laisant est la construction purement géométrique des droites correspondantes à partir des vitesses connues : nul recours à l’expression algébrique de la fonction « distance parcourue » pour construire le graphique et résoudre le problème. Laisant s’attache à donner sens aux représentations graphiques en éludant les calculs.
Fig. 12 – Deux problèmes de rencontres. Y représente la distance parcourue et T, le temps écoulé.

48Il souligne en effet la pertinence de telles représentations pour aborder les récréations correspondantes : dépassant l’écriture algébrique symbolique d’une expression fonctionnelle, elles ont « l’avantage de parler à l’esprit par l’intermédiaire des yeux, de figurer les choses elles-mêmes. C’est là une qualité précieuse en matière de pédagogie » (Laisant 1916 : 135).
Conclusion
49Issu de la sphère polytechnicienne, Laisant délaisse en partie, à la moitié de son parcours scientifique, la diffusion des théories des équipollences et des quaternions pour s’intéresser aux récréations mathématiques. Sa correspondance avec Lucas et Delannoy et la collaboration qui s’établit entre ces hommes autour de publications, notamment dans les comptes-rendus des congrès de l’AFAS, alimentent sa réflexion sur le rôle des récréations. L’apport des visualisations récréatives à l’application ou à l’étude des théories, tant au niveau heuristique, qu’esthétique ou de la clarification des processus en jeu séduit Laisant. Il exploite le lien intime que ces supports tissent avec les différents chapitres de la théorie des nombres. Son parcours personnel l’incite dans un deuxième temps à réévaluer leurs usages à des fins pédagogiques. Là encore, les échanges avec Lucas ou Ferrer nourrissent sa réflexion sur l’utilité des récréations dans une pensée globale d’un renouveau de l’éducation des jeunes enfants qui coïncide avec ses convictions politiques. L’évitement du symbolisme abscons, de la mémorisation à outrance et de pratiques routinières sont autant d’atouts des récréations qui font basculer Laisant vers leur exploitation pleine et entière ; ces atouts constituent encore aujourd'hui des éléments forts de réflexion pour l’enseignant.
50Ces mathématiques des récréations restent à relier à un mouvement plus large que des auteurs comme Lucas, Delannoy, Fourrey ou Laisant ont bien cerné. Outre les congrès de l’AFAS, des publications comme le bimensuel Les Tablettes du chercheur : journal des jeux d’esprit et de combinaisons (1890-1896) fournissent un recueil important de récréations tout comme un lieu d’échanges populaire sur les jeux en vogue à l’époque. L’enjeu politique et sociétal d’une telle production, à l’AFAS ou dans les Tablettes, est bien de donner le goût pour les études mathématiques à un public toujours plus large, question qui reste aussi d’actualité.
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Notes de bas de page
1Fonds 10F, Archives départementales de la Creuse (Guéret).
2Polyèdre composé de 12 pentagones réguliers.
3Laisant y range la théorie des nombres, les questions sur les puissances d’un binôme, sur le triangle arithmétique et l’analyse combinatoire.
4On peut remarquer que ces nombres, formés d’un nombre pair de chiffres, commencent par n fois le chiffre c², se poursuivent par n – 1 fois le chiffre 2cα – c² et se termine par 2cα – c² + 1.
5La Grande Encyclopédie : inventaire raisonné des sciences, des lettres, et des arts, par une société de savants et de gens de lettres, sous la direction de Marcellin Berthelot (1885-1902).
6Catalan, E. (1880). Question 542. Dans Nouvelle Correspondance Mathématique (tome VI, p. 143). Bruxelles : F. Hayez.
7Le développement s’effectue en distribuant les éléments successivement de la deuxième parenthèse à ceux de la première : (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d)… = (1 – a – b + ab)(1 – c)(1 – d)… = (1 – a – b + ab – c + ac + bc – abc)(1 – d) =…
8Une case blanche correspond au terme +1, une grise au terme i, une noire à –1 et une hachurée à –i. On trouve une impression d’un tel échiquier dans une lettre de Lucas à Laisant préparant l’édition du volume 2 des Récréations mathématiques (NAF 28336 (3) : F. 108).
9NAF 28336 (3) : F. 18.
10Voir la contribution d’Évelyne Barbin dans le présent ouvrage.
Auteur
Université de Nantes et lycée Roumanille de Nyons.
IdRef : 162074573
Jérôme Auvinet a réalisé son doctorat sous la direction d’Évelyne Barbin sur les itinéraires du mathématicien Charles-Ange Laisant. Ses thématiques de recherche portent sur les réseaux de mathématiciens, les revues mathématiques, les mathématiques discrètes et les jeux mathématiques au XIXe siècle.
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