Revenir aux mathématiques par les récréations : l’exemple de Henri Auguste Delannoy (1833-1915)
p. 85-112
Dédicace
En hommage à Anne-Marie Décaillot (1940-2011)
Texte intégral
Fig. 1– Henri Auguste Delannoy.

[Collection du Musée de Guéret, photographie M.-A. Baldensperger].
1Dans la littérature mathématique, le nom Delannoy est associé à deux suites de nombres. L’une apparaît dans la littérature francophone (Errera 1931 ; Touchard 1952). Elle correspond à la récurrence a(p, q) = a(p − 1, q) + a(p, q − 1) avec a(0, q) = a(p, 0) = 1.
2La suite des nombres centraux a(n, n) est référencée sous le numéro EIS A000984 de l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers (Sloane) et correspond aux coefficients centraux binomiaux , appelés « nombres de Catalan ». Cette suite est également associée aux noms d’Euler, Segner, Catalan, voire Dyck. Ces nombres dénombrent de nombreuses familles d’objets. Stanley en exhibe 66 (Stanley 1999 : 219-229).
Tableau 1– Suite française : a(p, q) = a(p − 1, q) + a(p, q − 1) ; a(0, q) = a(p, 0) = 1.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
2 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
3 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | 120 |
4 | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 | 210 | 330 |
5 | 1 | 6 | 21 | 56 | 126 | 252 | 462 | 792 |
6 | 1 | 7 | 28 | 84 | 210 | 462 | 924 | 1 716 |
7 | 1 | 8 | 36 | 120 | 330 | 792 | 1 716 | 3 432 |
3La seconde suite, anglo-saxone, correspond à la récurrence d(p, q) = d(p − 1, q) + d(p, q − 1) + d(p – 1, q − 1) avec d(0, q) = d(p, 0) = 1.
4Les nombres diagonaux d(p, p) sont connus sous le nom de suite centrale de Delannoy de numéro EIS A001850 de la même encyclopédie. Sulanke (2003) a répertorié 29 familles d’objets, dénombrées par ces nombres. C’est cette suite qui reste associée à Delannoy1.
Tableau 2 – Suite anglaise : d(p, q) = d(p − 1, q) + d(p, q − 1) + d(p – 1, q − 1) ; d(0, q) = d(p, 0) = 1.
p \ q | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 5 | 13 | 25 | 41 | 61 | 85 | 113 |
1 | 7 | 25 | 63 | 129 | 231 | 377 | 575 |
1 | 9 | 41 | 129 | 321 | 681 | 1 289 | 2 241 |
1 | 11 | 61 | 231 | 681 | 1 683 | 3 653 | 7 183 |
1 | 13 | 85 | 377 | 1 289 | 3 653 | 8 989 | 19 825 |
1 | 15 | 113 | 575 | 2 241 | 7 183 | 19 825 | 48 639 |
5Ces deux suites se calculent à l’aide de tableaux décrivant les parcours minimaux d’une tour et de la reine par pas de un d’un jeu d’échecs, en partant d’un des coins et en se dirigeant vers le coin opposé, aussi dénommés échiquiers arithmétiques (Schwer 2017). Le premier tableau est connu également sous le nom de « tableau arithmétique de Fermat » ou, si l’on penche la tête de 45° vers la gauche, de « triangle de Pascal ». Il était déjà connu dans le monde arabe, par exemple chez le mathématicien philosophe et poète arabe Omar Khayyàm (1048-1131), dans des manuscrits chinois du xiiie siècle, au xvie siècle en Europe par exemple chez Tartaglia (1500-1557). Chaque nombre d’une case est la somme du nombre de la case voisine gauche et de la case voisine supérieure. Le second tableau est propre à Delannoy. Chaque nombre d’une case est la somme du nombre de la case voisine gauche, de la case voisine supérieure et de la case voisine supérieure diagonale gauche.
6Ces tableaux2, mis en œuvre par Delannoy dans les années 1886-1895, ont été redécouverts et réétudiés à partir de 1963, en relation avec les déplacements de particules dans des réseaux, très liés avec la théorie du mouvement brownien et la théorie classique des probabilités (Feller 1971). Delannoy s’est également intéressé aux échiquiers arithmétiques de formes et de conditions initiales variées. Ses échiquiers triangulaires, pentagonaux, hexagonaux, lui ont permis de modéliser et de résoudre simplement des problèmes difficiles de façon visuelle, notamment des questions de probabilités comme les problèmes de scrutins et le problème de « la durée du jeu » ou « la ruine du joueur », examinés entre autres par Huyghens, de Moivre, Lagrange, Ampère, Bertrand, dont voici l’énoncé initial repris par Delannoy (Goldstein 2017 ; Schwer 2017) :
Un joueur expose à un jeu de hasard la ne partie de sa fortune et renouvelle cette épreuve indéfiniment. Quelle est la probabilité pour qu’il se ruine et que la ke partie lui enlève son dernier écu ?
7Lucas (1842-1891) a consacré à ces travaux le chapitre dédié à la géométrie de situation de son ouvrage de Théorie des nombres (Lucas 1891). Les déplacements de pièces sur des échiquiers relèvent des récréations mathématiques. Les déplacements de particules ou d’information sur des grilles en lien avec l’étude du mouvement brownien et des réseaux sont des approches mathématiques classiques pour la physique quantique et l’informatique. L’auteure a rencontré les nombres de Delannoy dans le cadre de ses travaux sur les représentations du temps et le raisonnement temporel (Schwer 2002). En effet, ces suites interviennent naturellement pour dénombrer le nombre de situations possibles de deux chaînes de points sur une même ligne, la première si l’on exclut la superposition de points de l’une des chaînes avec des points de l’autre chaîne, la seconde si l’on autorise les superpositions. Par exemple, si la première chaîne possède deux points, représentée par le mot AA, et la seconde un seul point, représentée par B, il y a trois – soit a(2, 1) – façons de représenter leurs situations relatives sans superposition : BAA, ABA et AAB, et cinq – soit d(2, 1) – avec superposition, en ajoutant les séquences et
8Nous avons un témoignage indiquant que Delannoy est bien devenu mathématicien grâce aux récréations mathématiques. Il s’agit d’une lettre3 qu’Henri Fleury4 lui adresse le 9 juillet 1898 :
Vous m’avez dit que c’est à l’occasion des jeux expliqués dans l’ouvrage de Lucas que vous êtes revenu aux mathématiques depuis longtemps délaissées, sinon oubliées. La théorie de ces jeux vous conduisait naturellement à des questions de probabilité.
9Notre but, dans ce chapitre, est de montrer l’actualité du contexte scientifique de la seconde moitié du xixe siècle, terreau de l’émergence des récréations mathématiques non seulement dans des quotidiens mais aussi dans une revue à vocation de diffusion et de formation scientifique, la Revue scientifique, créée pour répondre à un déficit criant de scientifiques5. Les récréations scientifiques y sont présentées sous un angle historique et analysées mathématiquement. Nous interrogeons alors le but de ces récréations mathématiques : s’agit-il de donner le goût des mathématiques ? réveiller ce goût s’il existe au préalable ? des défis entre mathématiciens ?
Delannoy, un militaire de carrière de 1855 à 1888
10Henry Auguste Delannoy (1833-1915) intègre l’École polytechnique à vingt ans, puis le corps de l’armement (artillerie) en 1855. Il participe à la campagne d’Italie en 1859, qui lui vaut la médaille d’Italie et la médaille de la valeur militaire de Sardaigne. Il rejoint le corps de l’intendance en 1865. Il passe trois ans en Afrique de 1866 à 1869, d’abord à Alger, puis à Sidi-Bel-Abbès où il gère une épidémie de typhus, ce qui lui vaut le grade de chevalier de la légion d’honneur en 1868. Il participe à deux réunions (classées secret-défense aux archives des armées) de négociations avec les Allemands le 26 juillet 1870 et le 7 mars 1871, c’est-à-dire avant et après la guerre dite de 1870. Il rentre définitivement en France comme sous-intendant successivement à Limoges, Lille, Angoulême, Orléans. Il démissionne en 1888 et revient s’installer dans le Guérétois, terre familiale, pour s’adonner à ses passe-temps favoris : les mathématiques et la chasse. Ses supérieurs ont régulièrement noté, tout au long de sa carrière, comme aptitude particulière un goût marqué pour les sciences.
11Delannoy entre à l’École impériale polytechnique en 1853, juste après la grande réforme de l’enseignement de l’École menée par Urbain le Verrier, selon les instructions du ministre de la Guerre :
La Commission dont vous avez la présidence reconnaîtra sans doute […] qu’il convient de renfermer les programmes dans les limites qui doivent s’appliquer, non pas à quelques esprits d’élite, mais à la moyenne des intelligences […] qu’enfin, dans l’enseignement de l’École elle-même, il importe de restreindre l’étendue des Cours mathématiques, d’en éliminer une foule de théories abstraites qui ne doivent jamais trouver d’application dans aucun des services publics, et d’y introduire au contraire des questions de pratique, non seulement à cause de leur utilité propre, mais aussi parce qu’elles sont nécessaires à l’étude complète de la théorie.
12À l’époque, cette école militaire est destinée spécialement à former des élèves pour l’armée et les services publics qui exigent des connaissances étendues dans les sciences mathématiques, physiques et chimiques. Les cours de mathématiques dispensés à l’école au cours des deux ans de formation sont essentiellement de l’analyse et de la mécanique. La devise de l’École donnée par Napoléon premier Pour la patrie, les sciences et la gloire est conservée.
13Cette transformation est le résultat d’une période d’autoritarisme et de censure du Second Empire, qui imposa des réformes scolaires impopulaires, telle, entre 1852 et 1864, la réforme dite de « bifurcation », obligeant les lycéens à choisir, à la fin de la classe de quatrième, entre une filière littéraire et une filière scientifique. Elle institua des programmes obligatoires que les enseignants devaient suivre à la lettre, exigeant obéissance et soumission de leur part (Hulin 1989 ; Belhoste, Gispert et Hulin 1996). Pour le mathématicien Michel Chasles, il s’agit ni plus ni moins de
substituer aux études intellectuelles et théoriques sérieuses des études tronquées, formées de lambeaux de théorie ayant pour objet suprême et immédiat des applications pratiques.
14Le retard de la science française sur la science allemande en particulier, mais aussi anglo-saxonne, est un thème récurrent à l’aube de la seconde moitié du xixe siècle. En 1847, Jean-Baptiste Dumas, chimiste et professeur au Collège de France, dans son rapport au ministère de l’Instruction publique, souligne la misère budgétaire des universités françaises et la richesse des universités étrangères et propose une série de réformes de l’enseignement scientifique. Le Verrier, alors directeur de l’Observatoire, se plaint en 1849 des déficiences de l’astronomie française. Ces mises en garde laissent totalement indifférent le Second Empire. C’est dans les années 1860 que les choses évoluent : les avancées scientifiques deviennent des éléments de la grandeur nationale. Ainsi Pasteur, alors directeur de l’École normale supérieure, écrit dans sa lettre au directeur de l’enseignement supérieur d’août 1861 (A.N. F/17/4238)6 :
Quand la science sera-t-elle dignement encouragée dans notre pays ? Vous seriez humilié, Monsieur le directeur, si vous parcouriez les laboratoires les plus humbles des universités de l’Allemagne ou de l’Angleterre. Nous servions de modèles il y a vingt ans pour nos voisins. Ils nous ont tellement devancés qu’aujourd’hui ils se rient de notre misère. Et déjà on en voit les fruits. Vous entendrez bientôt parler des plus admirables découvertes sur deux nouveaux métaux alcalins et sur la constitution et la nature des substances qui composent l’atmosphère du soleil. Vous aurez en même temps la douleur d’apprendre que la France est absente de ces admirables résultats et que la science les doit à peu près tout entiers à deux savants de la petite université d’Heidelberg, MM. Bunsen et Kirchhow. Dans vingt ans nous serons à la remorque de l’Allemagne et de l’Angleterre, si les choses restent ce qu’elles sont. Croyez-moi, Monsieur le Directeur, le mal est profond. J’aurais bien à vous dire sur ce sujet.
15À partir de 1866, paraissent différents rapports sur l’« état des lettres et des progrès des sciences en France ». Le ministre Victor Duruy n’attend pas pour prendre les premières décisions, créant dès 1868, pour pallier une insuffisance de la recherche en France dans tous les domaines, l’École pratique des hautes études dont le projet date de 1861. Le mathématicien Chasles en est le premier président.
16Suite à une sollicitation du ministère de l’Instruction publique, le mathématicien Gaston Darboux, avec la collaboration de MM. Hoüel et Lœwy, crée en mars 1870 le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Ce bulletin porte comme en-tête « bibliothèque de l’École des hautes études, publiée sous les auspices du ministère de l’Instruction publique ». L’ambition de son bulletin est non pas de publier des mémoires originaux et inédits, mais de rendre compte régulièrement des travaux de toute nature dans les domaines mathématiques ou astronomiques publiés soit en France, soit à l’étranger. Darboux s’adresse ainsi à Houël (Décaillot 1999 : 24) :
Je vous disais que nous avons besoin de refaire notre enseignement supérieur. Je pense que vous êtes de mon avis, les Allemands nous enfoncent par le nombre, là comme ailleurs. Je crois que si cela continue, les Italiens nous dépasseront avant peu. Aussi tâchons avec notre Bulletin de réveiller ce feu sacré et de faire comprendre aux Français qu’il y a un tas de choses dans le monde dont ils ne se doutent pas, et que si nous sommes toujours la Grrrande nation, on ne s’en aperçoit guère à l’étranger.
17La défaite de la France devant la Prusse relance et amplifie les critiques des savants français : c’est en effet, disent-ils, la science allemande qui a gagné la guerre (Décaillot 1999). Dans un article de mars 1871 publié dans Le Salut public de Lyon, Pasteur écrit :
Je me propose de démontrer dans cet écrit que si, au moment du péril suprême, la France n’a pas trouvé les hommes supérieurs pour mettre en œuvre ses ressources et le courage de ses enfants, il faut l’attribuer, j’en ai la conviction, à ce que la France s’est désintéressée, depuis un demi-siècle, des grands travaux de la pensée, particulièrement dans les sciences exactes. […] Tandis que l’Allemagne multipliait ses universités, qu’elle établissait entre elles la plus salutaire émulation, qu’elle entourait ses maîtres et ses docteurs d’honneur et de considération, qu’elle créait de vastes laboratoires dotés des meilleurs instruments de travail, la France […] ne donnait qu’une attention distraite à ses établissements d’instruction supérieure.
18Dans les milieux intellectuels il apparaît évident que ce n’est pas le soldat mais l’instituteur allemand qui aurait gagné la guerre. La formation des sociétés savantes se présente alors comme une œuvre de reconstruction nationale. Dans cet esprit, dès la guerre finie et la Commune de Paris écrasée, les grandes sociétés savantes, comme la SMF (Société mathématique de France), l’AFAS (Association française pour l’avancement des sciences) se forment en 1872, la Société de physique en 1873. L’École normale supérieure se réorganise. Les universités se structurent selon le modèle allemand (Décaillot 1999 : 30). Un mouvement pour l’enseignement des sciences s’organise.
19Parmi les nombreux journaux scientifiques fondés à cette époque, citons pour les mathématiques : le Bulletin de la Société mathématique de France (1872) ; les 4 journaux, revues et bulletins de mathématiques spéciales ou élémentaires (entre la fin des années 1870 et la fin des années 1880).
20En 1872, des scientifiques alsaciens en poste à Paris, comme Wurst et Friedel fondent l’École alsacienne, une école secondaire privée « hors de toute obédience cléricale ou politique mais fortement patriotique ». L’école veut permettre l’expression de la créativité des élèves en développant leurs capacités intellectuelles propres. De nombreuses réformes de l’Éducation nationale sont inspirées de ses méthodes. Ce groupe fonde aussi à Paris l’École municipale de physique et de chimie industrielles (EMPCI). L’argument le plus souvent avancé pour la création de cette école est l’infériorité de l’industrie française, systématiquement soulignée par les membres du groupe, qui est une des raisons majeures selon eux de la défaite de la France contre la Prusse.
Des récréations dans une presse militante
21À Orléans, Delannoy lit les revues de vulgarisation scientifique, parmi lesquelles la Revue scientifique de la France et de l’étranger. Cette revue est créée le 5 décembre 1863 avec le titre Revue des cours scientifiques de la France et de l’étranger : physique, chimie, zoologie, botanique, anatomie, physiologie, géologie, paléontologie, médecine. Il n’y a donc pas de rubrique pour les mathématiques. La revue paraît chaque samedi jusqu’en 1870 avec pour objectif de
vulgariser les sciences et les mettre à portée de tous, agrandir l’amphithéâtre trop étroit des professeurs aimés, et amener pour ainsi dire leur enseignement jusque dans le cabinet de ceux qui ne peuvent le suivre, épargner enfin le temps si précieux de celui qui cultive la science, le remplacer quand il est absent, redresser ses erreurs quand il se trompe.
22La défaite de 1870 constitue une rupture dans le paysage intellectuel français. La revue reprend en 1871 en tant que Revue scientifique – de la France et de l’étranger, revue des cours scientifiques et portera ce nom jusqu’en 1884. Ensuite, ce sera simplement la Revue scientifique de 1884 à 1960, plus connue sous de nom de Revue rose7. Elle devient ensuite Nucléus, absorbée par La Recherche en 1971.
23Les éditeurs du premier numéro de 1871, Antoine Bréguet et Charles Richet, publient la profession de foi suivante :
La force de l’Allemagne, nous l’avons dit plusieurs fois, lui vient surtout de ses universités, de l’esprit scientifique qui les anime et qui a passé naturellement dans l’armée allemande, résultante de la nation tout entière. Nous ne pouvons espérer de revanche qu’en prenant à l’Allemagne les armes qui nous ont vaincus. C’est donc sur le terrain de la science qu’il faut combattre d’abord, pour nous préparer à combattre sur d’autres champs de bataille, parce que c’est la science seule qui donne aujourd’hui la victoire. C’est elle aussi qui peut régénérer la société, puisque la société moderne repose sur les applications de la science.
24C’est le 21 septembre 1872 dans les Comptes-rendus du premier congrès de l’AFAS, qui s’est déroulé à Bordeaux, qu’apparaît le premier article concernant les mathématiques. Il s’agit de l’intervention8 d’Eugène Catalan sur « les conséquences antisociales de la formule des intérêts composés », présentée dans la section Mathématiques, astronomie, géodésie et mécanique.
25Sept récréations sous l’intitulé « Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation » vont paraître entre 1879 et 1881 dans la revue. Les cinq premières sous la rubrique « Variétés », les deux dernières sous la rubrique « Mathématiques ». Elles sont toutes rédigées par Édouard Lucas, professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Il s’agit à chaque fois de l’étude historique et mathématique d’un jeu dont les règles ont fait l’objet d’une étude par un mathématicien renommé. Nous allons présenter ces sept récréations, notamment en suivant les différentes façons de représenter les problèmes et les échiquiers quand ils interviennent – selon le problème ou l’évolution des pratiques académiques.
26La première paraît le 16 août 1879. Elle est précédée du passage suivant d’une lettre de Leibnitz à Montmort mis en exergue (Lucas 1879-1880) :
Après les jeux qui dépendent uniquement des nombres, viennent les jeux où entre encore la situation, comme dans le trictrac, dans les dames et surtout dans les échecs. Le jeu nommé « le solitaire » m’a plu assez. Je l’ai pris d’une manière renversée, c’est-à-dire, au lieu de défaire un composé de pièces, selon la loi de ce jeu, qui est de sauter dans une place vide et d’ôter la pièce sur laquelle on saute, j’ai cru qu’il serait plus beau de rétablir ce qui a été défait, en remplissant un trou sur lequel on saute ; et par ce moyen, on pourrait se proposer de former une telle ou telle figure proposée si elle est faisable, comme elle l’est sans doute si elle est défaisable. Mais à quoi bon cela ? dira-t-on. Je réponds : à perfectionner l’art d’inventer9. Car il faudrait avoir des méthodes pour venir à bout de tout ce qui se peut trouver par raison.
27Pour Leibniz et Lucas, l’étude des jeux de stratégie, et de « rejeu », c’est-à-dire le fait de partir de la situation finale pour revenir à la situation initiale, permet de développer à la fois l’imagination et le raisonnement. Les militaires l’ont très bien compris. En 1770, Gilles Jodelet de La Boissière invente pour l’éducation du fils aîné de Louis XIV, le « jeu de la guerre », un jeu de cartes où est décrit tout ce qui concerne les marches et campements des armées, les batailles, combats, sièges et autres actions militaires. En 1772, Jacques de Guibert utilise des figurines sur un terrain à éléments mobiles. Suite à l’humiliation prussienne de la défaite de Iéna en 1806, le baron von Reisswitz invente, au début du xixe siècle, le jeu de guerre pour la formation des états-majors, fondé sur le jeu d’échecs. Une version, sortie en 1862, va servir à préparer la guerre contre l’Autriche en 1866 puis celle contre la France en 1870.
28Cette première récréation s’intitule « sur le jeu de dames à la polonaise, comportant la solution complète de la partie de vingt contre un, à qui perd gagne ». Elle a fait l’objet aussi d’une communication orale au congrès de l’AFAS de 1879. Ce jeu de dames se joue sur un échiquier décimal (octal pour le jeu à la française). Il s’agit d’étudier les déplacements de pions sur un échiquier. Ce problème a été étudié pour la première fois par Lamarle en 1852 devant l’Académie royale de Belgique10. Lucas propose dans cet article de représenter chaque cellule de l’échiquier par une expression uv, u désignant le rang de la colonne et v celui des lignes (fig. 2).
Fig. 2 – Échiquiers des dames à la polonaise (Lucas 1879-1880 : 155).

[© BnF].
29La seconde récréation (3 avril 1880) « sur le jeu des échecs, comportant la solution complète du problème des huit reines » avec référence à Gauss, a été aussi l’objet d’une communication orale au congrès de l’AFAS de 1879. Il s’agit de résoudre le problème suivant :
Déterminer toutes les manières de placer huit reines sur l’échiquier ordinaire, formé de soixante-quatre cases, de telle sorte qu’aucune des reines ne puisse être prise par une autre ; en d’autres termes, sur huit des cases de l’échiquier, disposer huit reines de telle façon que deux quelconques d’entre elles ne soient jamais situées sur une même ligne parallèle à l’un des bords ou à l’une des diagonales de l’échiquier.
30L’extrait suivant (fig. 3) montre clairement que toute solution au problème posé s’exprime comme une permutation d’ordre 8. Toute permutation satisfait les contraintes d’horizontalité et de verticalité (donc réalise exactement une solution du problème de non prise pour 8 tours). En revanche, certaines permutations ne représentent pas une solution du problème pour 8 reines, par exemple les permutations 87654321 ou 67812345 violent la contrainte d’unicité dans chaque diagonale.
Fig. 3 – Deux représentations du problème des huit reines (Lucas 1880 : 949).

[© BnF].
31La troisième récréation (10 juillet 1880) « sur le jeu du baguenaudier, [comporte] le moyen d’obtenir toutes les dispositions possibles des anneaux, par l’emploi du système de la numération binaire » avec référence à Cardan et Wallis.
Fig. 4 – Le jeu de baguenaudier (Lucas 1880-1881a : 36).

[© BnF].
Fig. 5 – Les ponts de Königsberg (Lucas 1880-1881b : 376).

[© BnF].
32La quatrième (16 octobre 1880) est intitulée « le jeu des ponts et des îles » avec références aux ponts de Königsberg d’Euler. Il s’agit d’établir des conditions pour faire un circuit fermé en empruntant chacun des ponts une et une seule fois.
33La cinquième récréation (26 mars 1881) s’appelle « le jeu des traversées en bateau », que Lucas fait remonter à l’Antiquité, et se rapporte à la géométrie de l’ordre et de la situation. Il s’agit de plusieurs variations autour « de la chèvre, du loup et du chou », très prisé par les enseignants11. Le premier problème en est une version généralisée et militarisée :
Une compagnie d’infanterie s’avance sur le bord d’un fleuve ; mais le pont est brisé, la rivière est profonde. Le capitaine aperçoit, sur le bord, deux enfants qui jouent dans un petit canot ; ce canot est si petit qu’il ne peut porter plus d’un soldat. Comment s’y prendra le capitaine pour faire passer le fleuve aux soldats de sa compagnie.
34La sixième récréation (18 juin 1881) concerne le « jeu du Taquin ou du casse-tête américain ». Ce jeu de combinaison consiste à ôter le 16, mélanger les 15 autres numéros dans la boîte, et retrouver l’ordre original par déplacements. Il a été publié dans le Journal de mathématiques par Sylvester, qui le considère comme une initiation à l’étude des déterminants. Très populaire, ce jeu a également été appelé « double casse-tête gaulois » (Guitart 2017).
Fig. 6 – Un jeu de taquin et une représentation de situation (Lucas 1881 : 783).

[© BnF].
Fig. 6a – Un jeu de taquin et une représentation de situation (Lucas 1881 : 783).

[© BnF].
35La septième récréation traite du « jeu du solitaire » (17 septembre 1881). Ensuite, Lucas continuera à publier des récréations mathématiques dans la revue avant de les regrouper dans des ouvrages (Autebert, Décaillot et Schwer 2003).
36En janvier 1881, Henri Delannoy envoie à la direction du journal une étude sur le jeu de Taquin, jeu qui fait fureur en France depuis quelque temps. Voici la réponse qu’il reçoit d’Antoine Bréguet, ancien polytechnicien12 :
Monsieur et cher Camarade,
J’aurais été très heureux d’insérer dans la Revue votre étude sur le Taquin, si justement un article sur le même sujet ne venait pas d’être composé et même corrigé en placard. Vous aurez sous peu l’occasion de le lire, et l’auteur en est encore M. Lucas.
37C’est le point de départ d’une fructueuse collaboration entre Delannoy et Lucas. Henri Delannoy fréquente alors l’AFAS et entretient une abondante correspondance avec de nombreux ingénieurs et mathématiciens qui se passionnent pour les problèmes d’arithmétique et de combinatoire figurative, comme Charles-Ange Laisant, Gaston Tarry, Michel Frolow. Les mathématiciens Sylvester ou Catalan entretiennent des rapports d’estime et d’amitié avec lui, ce qui est loin d’être le cas des universitaires français comme Désiré André ou Eugène Rouché. Parrainé par Lucas et Laisant13, il fut membre de la Société mathématique de France de 1882 à 1905.
38Ce sont donc essentiellement des problèmes de géométrie de situation que l’on peut résoudre à l’aide d’un échiquier qui ont conduit Delannoy à devenir le mathématicien dont le nom est associé à des nombres et des échiquiers, et dont ce début de xxie siècle est particulièrement friand (Weisstein 1998 ; Schwer et Autebert 2006 ; Dickau 2008 ; Goldstein 2017 ; Schwer 2017).
39Delannoy est revenu aux mathématiques par les récréations, mais, les mentions réitérées par ses supérieurs d’un goût prononcé pour les sciences – ce qui ne devait donc pas être le cas de tous ses camarades de l’École polytechnique – nous laissent à penser qu’il avait certainement les aptitudes que l’on attend pour devenir mathématicien : aptitude à émettre des conjectures, à élaborer une démonstration, à généraliser et abstraire, à transférer des résultats d’un domaine à des domaines nouveaux sans lien a priori avec le domaine initial.
Le statut des récréations mathématiques
Chez les enseignants
40Le terme récréation est emprunté au latin recreatio qui signifie, selon les dictionnaires latins, rétablissement, convalescence, guérison. Dès son apparition au xiiie siècle, ce terme signifie réconfort, délassement, un moment de loisir, un divertissement. C’est aussi le temps de repos accordé aux écoliers. Au xvie siècle, on trouve ce terme au pluriel comme titre donné à des ouvrages qui traitent de sujets de science, de morale, de manière plaisante et distrayante.
41Du temps de Charlemagne on trouve déjà des problèmes récréatifs écrits par Alcuin (730-804), un clerc pédagogue anglais appelé par le futur empereur pour instaurer la renaissance carolingienne. Alcuin enseigne à la Cour et au haut clergé pour créer une administration performante. Il impose pour les actes officiels le latin classique mais développe d’autre part un programme éducatif en langue vernaculaire pour le peuple. Le recueil écrit par Alcuin est écrit en latin, il s’adresse donc aux jeunes élites du pays. Il s’agit des Propositones ad acuendos de juvenes, c’est-à-dire Propositions pour aiguiser l’intelligence de la jeunesse. Le titre n’indique en rien que ce sont des problèmes récréatifs. Il contient cinquante-trois problèmes, parmi lesquels plusieurs problèmes de traversées, dont un problème de frères veillant sur l’honneur de leurs sœurs, et celui du loup, de la chèvre et du chou14.
Proposition 17. De trois hommes et leurs sœurs
Trois hommes ayant chacun une sœur doivent traverser une rivière en évitant qu’un homme soit en présence d’une femme autre que sa sœur. Ils n’ont qu’une barque qui ne peut transporter que deux personnes.
Qui peut dire comment ils peuvent traverser la rivière pour qu’une femme ne soit jamais en compagnie d’un autre homme si son frère n’est pas présent ?
42On trouve aussi ce genre de problèmes à l’intérieur de livres de mathématiques, à destination de jeunes bacheliers ou futurs marchands (et non de jeunes élèves), comme dans le Liber abaci (Livre pour le calcul ) de Fibonacci (1180-1250) ou le Triparty en la science des nombres (rédigé en 1484) de Nicolas Chuquet (144?-1488) ou encore le premier livre attribué à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), Problemes plaisans et delectables, qui se font par les nombres (1612). Dans cet ouvrage paraît le « problème des maris jaloux » :
Trois maris jaloux se trouvent de nuit avec leurs femmes au passage d’une rivière où ils ne rencontrent qu’un petit bateau sans batelier, si étroit qu’il n’est capable que deux personnes, on demande comment ces six personnes passeront deux à deux tellement que jamais aucune femme ne demeure en compagnie d’un ou de deux hommes si son mari n’est présent.
43Cet ouvrage s’adresse aux savants de l’époque qui y trouvent des défis auxquels répondre. Bachet était un helléniste et latiniste remarquable. Il traduisit les Arithmétiques de Diophante en latin, ce qui permit notamment à Fermat de découvrir cet auteur grec. Il enseigna les mathématiques dans un collège jésuite et fut élu à l’Académie française. On lui doit l’identité dite de Bézout ou de Bachet-Bézout concernant deux nombres premiers entre eux. Nombre de ses problèmes « plaisants et délectables » figurent dans les récréations de ses successeurs. On retrouve par exemple le « problème des maris jaloux »15 comme instance des problèmes illustrant la cinquième récréation de Lucas qui relève plus du raisonnement logique, comme nous l’avons déjà mentionné, que d’un problème de nombre.
44Quarante-trois éditions de récréations mathématiques de qualités diverses sont publiées entre 1612 et 1693 auprès de dix-sept éditeurs différents. L’autorité en la matière de la fin du xviie au milieu du xixe siècle est certainement Jacques Ozanam qui publia en 1692 Récréations mathématiques et physiques qui contiennent les problèmes & les questions les plus remarquables, & les plus propres à piquer la curiosité, tant des mathématiques que de la physique, le tout traité d’une manière à la portée des lecteurs qui ont seulement quelques connaissances légères de ces sciences. Il enseigna et fut membre de l’Académie royale des sciences. Il publia plusieurs ouvrages mathématiques parmi lesquels en 1691 un Dictionnaire des mathématiques et en 1693 un Cours de mathématiques pour les hommes de Guerre et ceux qui veulent se perfectionner dans cette science, en cinq volumes. Les mathématiques constituent la matière du premier volume divisé en deux parties, « Arithmétique » et « Géométrie ».
45Les problèmes de toutes ses récréations s’adressent au « lecteur mathématicien » ou à ceux qui ont simplement le goût des mathématiques. Il ne s’agit donc pas d’éveiller aux mathématiques de jeunes élèves mais d’interpeler ceux qui ont (déjà) le goût des mathématiques – ou qui doivent en maîtriser certaines techniques – en leur proposant de quoi piquer leur curiosité et leur procurer plaisir et délassement. De même Lucas adresse d’abord ses récréations mathématiques aux lecteurs d’une revue scientifique, ceux qui choisissent, pendant leurs heures de loisirs, de lire des articles scientifiques. Tel fut le cas de Delannoy.
Dans le domaine des mathématiques
46Qui dit « récréations mathématiques » dit « mathématiques ». Y a-t-il une place pour ces récréations dans la classification des mathématiques de cette époque ?
47Sous l’impulsion de la SMF est créée en 1889 une commission internationale chargée de réaliser un Répertoire bibliographique des sciences mathématiques dont Henri Poincaré est le premier président. Le domaine mathématique est découpé en trois : « Analyse » (classes A à J), « Géométrie » (classes K à Q) et « Mathématiques appliquées » (classes R à X), reflétant de fait une certaine hiérarchisation des travaux mathématiques de l’époque. L’algèbre se retrouve dans les trois premières classes de l’analyse.
48Les récréations mathématiques de Lucas qui paraissent dans la Revue scientifique et les travaux de Delannoy autour des échiquiers et de la combinatoire se trouvent sous les rubriques J1 (« Combinatoire ») et Q4 (« Géométrie de situation ou arithmétique de situation »). Cette rubrique se subdivise en Q4a (« Théorie des configurations »), Q4b (« Problèmes sur les jeux d’échecs, de dominos, etc., carrés magiques ») et Q4c (« Problèmes divers »). Signalons que la philosophie et l’histoire des sciences mathématiques se trouvent en section V !
49La SMF conservera la présidence de la commission internationale jusqu’en 1898. En 1908, le Répertoire passe sous l’autorité de la Société mathématique d’Amsterdam. L’édition de 1908 de l’index du Répertoire voit la disparition des sections Q4b et Q4c. La classe X (« Procédé de calcul ») s’enrichit de deux sections X9 (« Machines arithmétiques ») et X10 (« Jeux et Récréations mathématiques »). Cette section reçoit toutes les parutions labellisées Q4c.
50Il y a tout lieu de croire que c’est la présence de Laisant, en 1898, secrétaire de la commission et représentant de la SMF, qui maintient les sections Q4b et Q4c au sein de la géométrie. De même c’est par la volonté de Laisant, et sous sa signature, qu’est introduit au vocabulaire de la Grande Encyclopédie : inventaire raisonné des sciences, des lettres et des arts l’entrée « Échiquier (math.) », rédigée par Delannoy (Schwer et Autebert 2006).
51Les récréations mathématiques obtiennent droit de cité dans la nomenclature internationale des mathématiques, aux dépens de la géométrie de situation qui en est une instance. Ces mathématiques relèvent des mathématiques discrètes, qui sont l’un des principaux fondements de l’informatique, des réseaux et de la théorie des graphes.
52La fin du xixe siècle, comme nous l’avons vu, est une période de remise en question profonde de l’enseignement primaire et secondaire en France, mais aussi dans d’autres pays européens. En Allemagne, Félix Klein (1849-1925) déplore la rupture qui existe entre les mathématiques enseignées en primaire et au secondaire et celles enseignées à l’université. Il soutient ainsi que les étudiants qui souhaitent devenir enseignants sont forcés de faire table rase des connaissances acquises en mathématiques : « en entrant à l’université, ils devaient oublier les mathématiques scolaires, puis en devenant enseignant, ils devaient oublier les mathématiques universitaires » (Wate-Mizuno 2014). Il a œuvré pour réformer les méthodes d’enseignement des mathématiques, en particulier en renforçant les liens entre les mathématiques et les autres disciplines scientifiques et technologiques. Il a écrit plusieurs ouvrages sur les mathématiques élémentaires avec un point de vue universitaire16. Les récréations mathématiques y sont des supports pédagogiques. Manó Beke (1862-1946) fut l’un de ses étudiants et l’un des professeurs de Denès König (1884-1944). Les récréations mathématiques ont ainsi constitué une partie importante de la formation universitaire de Denès König qui publie, avant son entrée en première année d’université, un premier volume de récréations mathématiques. Ce volume est préfacé par Beke qui insiste sur le fait que celui-ci inclut bien plus que des problèmes élémentaires et complète le programme universitaire de bien des points de vue (Wate-Mizuno 2014).
53C’est cette formation initiale par les récréations mathématiques qui le conduira à faire émerger la théorie des graphes qu’il présentera à la fois d’une façon formelle et illustrée par de nombreux exemples issus de récréations. En France aussi, on s’intéresse à l’aspect pédagogique des récréations. Mais il ne faut cependant pas oublier que Charles-Ange Laisant (1912), dans son Initiation mathématique, s’adresse aux éducateurs privés – en particulier les parents – pour une éducation individuelle et non institutionnelle en direction des élèves qui actuellement relèvent des cycles 1 à 4.
Contributions de Delannoy
54Delannoy n’est pas un enseignant. Ses publications sont souvent difficiles à lire car il détaille peu ses calculs. Il publie peu et toujours sous la pression amicale de ses amis, notamment Lucas, Laisant, Frolow et des chroniqueurs comme Feisthamel et Arnous de Rivière qui lui réclament des récréations mathématiques pour différentes revues. Sa correspondance passive révèle également de nombreuses sollicitations pour faire ou vérifier certains calculs (Schwer et Autebert 2006 ; Autebert, Décaillot et Schwer 2003). Nous terminons ce chapitre par un rapide survol de ses contributions en proposant la résolution par Delannoy de deux questions d’arithmétique élémentaire et une récréation mathématique parue dans un quotidien17.
En mathématiques
55Delannoy a publié onze articles mathématiques dont six à l’AFAS et trois dans le bulletin de la SMF, principalement sur des problèmes de probabilités (discrètes) et leurs résolutions par les échiquiers. Ces publications sont décrites par Schwer et Autebert (2006) et accessibles sur le site de l’IREM Paris-Nord18. En revanche, il a beaucoup contribué à L’Intermédiaire des Mathématiciens – aussi appelé l’Intermath – journal créé en 1894 par Laisant et son ami Emile Lemoine. C’est un forum de discussion entre mathématiciens. Il est fait de questions et de réponses autour des mathématiques. Ces problèmes ne sont pas des énigmes pour lesquelles l’auteur détiendrait une solution. Celui qui pose une question en ignore la réponse et la recherche. Des mathématiciens les plus célèbres aux plus obscurs y participent. Au cours de la période des contributions de Delannoy, entre 1894 et 1908, on peut y lire Appell, Borel, Brocard, Burali-Forti, Cantor, Catalan, Cayley, Cesáro. Delannoy y pose une vingtaine de questions et répond à plus d’une cinquantaine de questions, la plupart du temps dans les domaines les plus prisés de l’Intermath : les sections I (« Arithmétique et théorie des nombres »), J (« Combinatoire, probabilité ») et Q4 (« Géométrie de situation ») dans l’index du Répertoire bibliographique des sciences mathématiques19. Certaines questions ou réponses concernent des identités « remarquables » qui peuvent fournir nombre d’exercices algébriques, pas nécessairement du goût des élèves ou étudiants mais qui passionnent certains amateurs. En voici deux posées par G. de Rocquigny (1852-1904)20 et les réponses de Delannoy.
8n + 3, somme de trois carrés (Intermath, 1899, p. 151)
56C’est la 1551e question de la revue, indexée I17c dans le Répertoire :
1551 [I17c] La proposition suivante est-elle exacte ? Tout nombre de la forme 8n + 3 peut toujours être décomposé en trois carrés effectifs, aucun des composants n’étant égal à zéro. Il en résulterait que tout nombre 8n + 7 serait décomposable en quatre carrés effectifs, etc.
Réponse apportée par Delannoy (Intermath, 1899, p. 240) :
D’après un théorème de Fermat, démontré, n est une somme de trois triangulaires21 au plus ; on a donc
,
un ou deux des entiers x, y, z pouvant être nuls. Donc
Aucun de ces carrés n’est nul, la proposition énoncée est donc exacte. n augmentant, le nombre des décompositions de 8n + 3 en trois carrés effectifs augmente.
Remarque. — Si n peut être décomposé de diverses manières en trois triangulaires, il y a un nombre égal de manières de décomposer 8n + 3 en trois carrés.
Exemple :
57Rocquigny énoncera cette propriété à la réunion « scientifique du Bourbonnais » du 30 janvier 1901 (Olivier 1901 : 49).
Puissance sixième d’un nombre entier (Intermath, 1899, p. 52-53)
1471 [I25b] Est-il exact que toute puissance sixième d’un nombre entier quelconque soit la somme d’un cube, d’un carré et d’un triangulaire22 ?
58Une première réponse est apportée par un certain C. Couturier de Louvain (Intermath, 1899, p. 192) qui répond par l’affirmative en donnant simplement l’identité :
59
et reformule l’énoncé en la forme : « Toute puissance sixième d’un nombre entier est la somme d’un cube, d’un bicarré23 et d’un nombre triangulaire. »
60C’est sous cette seconde forme que sera rappelée la question avant l’exposé de la réponse de Delannoy (Intermath, 1900, p. 65) :
R.1471 (1899, 52). (G. de Rocquigny) — Toute puissance sixième d’un nombre entier est la somme d’un cube, d’un bicarré et d’un nombre triangulaire (1899, 192). — L’identité
démontre la proposition ; comparée à la réponse de M. Couturier (1899, 192), elle prouve que cette décomposition est possible au moins de deux façons différentes.
Il s’agit donc de la seconde réponse donnée à la question. De nos jours, on pourrait trouver ces échanges sur des forums tel les-Mathématiques.net mais l’Intermath est une revue à comité de lecture, et l’on trouve plusieurs lettres de Laisant et Lemoine dans la correspondance passive de Delannoy lui demandant de vérifier les réponses concernant son champ de compétence.
Jeux et récréations mathématiques
61Dans ses Récréations mathématiques, Lucas cite abondamment Delannoy. Dans son chapitre concernant les problèmes de « traversée de rivière », Dudeney (1917 : 112) se réfère à Tartaglia, Bachet, puis Lucas et Delannoy entre autres. Sainte-Laguë (1929 : 39) signale une solution de Delannoy au problème de Tait24 et une solution pour un jeu de jonction de points (Sainte-Laguë, 1926 : 51). Delannoy est cité treize fois dans le livre de récréations de l’Allemand Ahrens (1901).
62Les énigmes mathématiques font l’objet de publications dans des quotidiens de l’époque tel l’Illustration, La Revue des Jeux, La Revue Illustrée, L’Écho de Paris, L’Événement, Gil Blas, La Liberté, La Patrie, Le Rappel, etc. Jules Arnous de Rivière (1830-1905), joueur d’échecs célèbre, inventeur de jeux et passionné pour les énigmes mathématiques est chroniqueur de « jeux de combinaisons » sous le nom de Martin Gall. Dans plusieurs de ces journaux, il sollicite Delannoy pour proposer des énigmes ainsi que pour effectuer certains calculs de probabilités pour vérifier la viabilité de ses jeux, comme L’Étoile nationale ou Le Rouge et le Noir qui paraissent dans le tome III des Récréations de Lucas. Delannoy lui envoie quatre problèmes25. L’un de ces problèmes paraît dans le numéro du 16 novembre de Gil Blas et sa solution dans le numéro du 26 novembre (fig. 7a-b).
Fig. 7a – Gil Blas du 16 novembre 1887.

[© BnF].
Fig. 7b– Gil Blas du 26 novembre 1887.

[© BnF].
Conclusion
63Nous avons essentiellement souhaité montrer dans cette contribution, le rôle militant des récréations mathématiques dans cet entre-deux-guerres (1870-1914) pour la reconstruction d’une élite scientifique française à travers la carrière d’Henri Auguste Delannoy. Nous avons évoqué aussi l’intérêt d’une formation aux mathématiques par les récréations mathématiques avec l’exemple du mathématicien Hongrois Denès, père de la théorie des graphes.
64Ces deux exemples concernent deux personnes qui se sont ou s’étaient engagées dans des formations scientifiques. Nous espérons par cette modeste contribution avoir rendu saillant un certain parallélisme entre cette période et notre époque qui prône les jeux et récréations mathématiques comme autant de façons d’attirer les jeunes esprits vers les mathématiques, « en faisant des mathématiques autrement ».
Références bibliographiques
Ahrens, W. (1901). Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leibzig : Teubner.
Autebert, J.-M., Décaillot, A.-M. et Schwer, S. R. (2003). Henri-Auguste Delannoy et la publication des œuvres posthumes d’Édouard Lucas. Gazette des Mathématiciens, 95, 51-62.
Belhoste, B., Gispert, H. et Hulin, N. (dir.) (1996). Les sciences au lycée. Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l’étranger. Paris : INRP et Vuibert.
Décaillot, A.-M. (1999). Édouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d’un scientifique français dans la deuxième moitié du xixe siècle (thèse de doctorat). Université Paris Descartes, Paris.
Dickau, R. (2008). Delannoy, Schröder, and Motzkin Numbers. Disponible en ligne sur <http://www.robertdickau.com/delannoy.html> (consulté le 1er octobre 2018).
Dudeney, H. E. (1917). Amusements in mathematics. Londres : Thomas Nelson and Sons.
Errera, A. (1931). Analysis situs. Un problème d’énumération (Mémoires publiés par l’Académie Royale de Belgique, tome XI, fasc. 6). Bruxelles : M. Lamertin.
Feller, W. (1971). An introduction to probability theory and its applications (vol. 2, 2e édition). New York : John Wiley & Sons Inc (1re édition publiée en 1966).
Goldstein, C. (2017). Henri-Auguste Delannoy et la théorie des nombres autour de 1900. Dans É. Barbin, C. Goldstein, M. Moyon, S. R. Schwer et S. Vinatier (dir.), Les travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité. Un hommage à Henri Delannoy (p. 17-42). Limoges : Presses universitaires de Limoges.
Guitart, R. (2017). Les taquins, d’Édouard Lucas à Richard Wilson. Dans É. Barbin, C. Goldstein, M. Moyon, S. R. Schwer et S. Vinatier (dir.), Les travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité. Un hommage à Henri Delannoy (p. 167-192). Limoges : Presses universitaires de Limoges.
Hulin, N. (1989). L’organisation de l’enseignement des sciences. La voie ouverte par le second Empire. Paris : Éditions du CTHS.
Lucas, É. (1879-1880). Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation. Première récréation, sur le jeu de dames à polonaise, comportant la solution complète de la partie de vingt contre un, a qui perd gagne. Revue scientifique de la France et de l’étranger (2e série, tome XVII), 154-161. L’article a été réédité dans (Lucas 1882-1883).
Lucas, É. (1880-1881a). Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation. Troisième récréation, sur le jeu du baguenaudier, comportant le moyen d’obtenir toutes les dispositions possibles des anneaux, par l’emploi du système de la numération binaire. Revue scientifique de la France et de l’étranger 2e série, tome XIX), 36-42.
Lucas, É. (1880-1881b). Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation. Quatrième récréation, sur le jeu des ponts et des îles, son application aux ponts et aux îles de Paris, et aux voyages de contrebande. Revue scientifique de la France et de l’étranger (2e série, tome XIX), 375-380.
Lucas, É. (1880). Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation. Deuxième récréation sur le jeu des échecs, comportant la solution complète du problème des huit reines. Revue scientifique de la France et de l’étranger (2e série, tome XVIII), 948-953.
Lucas, É. (1881). Récréations scientifiques sur l’arithmétique et sur la géométrie de situation. Sixième récréation, sur le jeu du taquin ou du casse-tête américain. Revue scientifique de la France et de l’étranger (tome I, 3e série), 783-788.
Lucas, É. (1882-1883). Récréations Mathématiques (vol. 1 et 2). Paris : Gauthier-Villars et fils.
Lucas, É. (1891). Théorie des nombres (tome I). Paris : Gauthier-Villars et fils.
Lucas, É. (1893-1894). Récréations Mathématiques (vol. 3 et 4). Paris : Gauthier-Villars et fils.
Olivier, E. (dir.) (1901). Revue scientifique du Bourbonnais et du centre de la France (14e année). Moulin : Imprimerie Étienne Auclaire.
Perrin, D. (2005). Mathématiques d’école. Nombres, mesures et géométrie. Paris : Cassini.
Sainte-Laguë, A. (1926). Les réseaux (ou graphes). Mémorial des sciences mathématiques, fascicule XVIII.
Sainte-Laguë, A. (1929). Géométrie de situation et jeux. Mémorial des sciences mathématiques, fascicule XLI.
Schwer, R. S. (2002). S-arrangements avec répétitions. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Série I : Mathématiques, 334(4), 261-266.
Schwer, R. S. (2017). Usage des échiquiers arithmétiques dans la résolution de problèmes combinatoires et applications actuelles. Dans É. Barbin, C. Goldstein, M. Moyon, S. R. Schwer et S. Vinatier (dir.), Les travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité. Un hommage à Henri Delannoy (p. 195-220). Limoges : Presses universitaires de Limoges.
Schwer, R. S. et Cardinal J.-P. (2007). 1870 : une catastrophe, une aubaine pour l’université française et les scientifiques français. Dans Catastrophes, discontinuités, ruptures, limites, frontières. Actes des 14èmes Journées de Rochebrune. Rencontres interdisciplinaires sur les systèmes complexes naturels et artificiels (p. 289-300). Paris : École nationale supérieure des télécommunications.
Schwer, S. R. et Autebert, J.-M. (2006). Henri-Auguste Delannoy, une bibliographie. Mathématiques & sciences humaines, 174, 25-67.
Sloane, N. J. A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Disponible en ligne sur <https://oeis.org> (consulté le 1er octobre 2018).
Stanley, R. P. (1999). Enumerative combinatorics (vol. 2). Cambridge : Cambridge University Press.
Sulanke, R. A. (2003). Objects Counted by the Central Delannoy Numbers. Journal of Integer Sequences, 6(1), article 03.1.5.
Touchard, J. (1952). Sur un problème de configurations et sur les fractions continues. Canadian Journal of Mathematics, 4, 2-25.
Wate-Mizuno, M. (2014). Mathematical recreations of Dénes König and his work on graph theory. Historia Mathematica, 41(4), 377-399.
Weisstein, E. W. (1998). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Boca Raton, Floride : CRC Press.
Notes de bas de page
1Weisstein, E. W. Delannoy Number. Disponible en ligne sur le site de MathWorld – A Wolfram Web Resource : <http://mathworld.wolfram.com/DelannoyNumber.html> (consulté le 1er octobre 2018). Wikipedia. (2016). Nombre de Delannoy. Disponible en ligne sur <https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Delannoy> (consulté le 1er octobre 2018).
2Ces tableaux arithmétiques, construits à partir d’une formule reliant les valeurs d’une cellule à des valeurs de cellules déjà données ou calculées constituent en soi des sources d’exercices de calculs arithmétiques inépuisables, déclinables à partir du cycle 2.
3Les lettres citées sont des lettres manuscrites de la correspondance passive de Delannoy, conservées dans les archives de la SSNAHC.
4Pierre-Henry Fleury (1833-190?) est licencié ès-sciences mathématiques et directeur d’institution préparant aux concours des grandes écoles. Sa nombreuse correspondance avec Delannoy porte d’une part sur des problèmes philosophico-mathématiques et d’autre part sur les jeux mathématiques. Il veut en particulier chasser l’infini de l’analyse et de la géométrie et il rejette la définition des probabilités comme rapport du nombre de cas favorables sur le nombre total des cas en se fondant sur La Logique de Port-Royal. Fleury invente des jeux comme le Caméléon et le Paradoxal que Lucas décrit dans le tome III des Récréations mathématiques. Fleury demande à Delannoy une révision qui paraît dans les notes du tome IV (Lucas 1893-1894). Il rentre à la Société mathématique de France en 1893 parrainé par Henri Delannoy et Désiré André.
5Il nous a semblé important de développer cette partie de l’histoire – développement qui reprend les travaux de Décaillot (1999) et de Schwer et Cardinal (2007) – étant donné que nous avons été, comme Anne-Marie Décaillot, frappée par la similitude de certains débats avec ceux de notre époque.
6Archives Nationales, dossier F/17/4238 cité par Décaillot (1999).
7C’est une référence à la couleur de sa couverture, par opposition à la Revue bleue qui traitait des sciences humaines !
8Malheureusement Catalan n’a jamais envoyé le texte de sa communication, seul le titre figure dans les Comptes-rendus.
9Souligné par l’auteure.
10Toutes les figures illustrant les récréations de Lucas sont des copies extraites des articles parus dans la Revue scientifique.
11Concernant cet énoncé, voir la section « Chez les enseignants » et la contribution d’Alain Bernard & Emmanuelle Rocher dans cet ouvrage.
12Cf. note 3.
13Pour devenir membre de la SMF, il fallait être parrainé par deux membres. Actuellement, il suffit de payer sa cotisation.
14Il s’agit de la proposition 18, étudiée par A. Bernard et E. Rocher dans cet ouvrage. On trouvera aussi dans cette contribution une biographie détaillée d’Alcuin.
15Ce qui conduit bien évidemment à la même solution que celle des frères !
16Les collègues du secondaire apprécieront l’actualité de cette constatation et certains penseront aux cours de formation des enseignants de Daniel Perrin, comme par exemple (Perrin 2005).
17Ces productions ne figurent dans aucun article antérieur.
18IREM de Paris-Nord. Publications mathématiques. Disponible en ligne sur <http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?rubrique82> (consulté le 1er octobre 2018).
19Voir (Schwer et Autebert 2006 : 10-11) pour une description détaillée.
20Militaire, mathématicien et naturaliste français. Il s’est notamment beaucoup intéressé aux progressions arithmétiques et aux identités comme un collectionneur. Il ne semble pas avoir été intéressé par les jeux mathématiques.
21Il s’agit des nombres triangulaires 1, 3, 6, 10… de la forme n(n+1)/2 et générés par la suite Tn = n + Tn–1, T1 = 1. Ils satisfont la relation suivante Tn + Tn–1 = n2, que l’on peut visualiser en représentant les nombres par des collections de points organisés en triangles et carrés. Le théorème mentionné est un cas particulier (n = 3) d’une conjecture de Fermat prouvé plus d’un siècle après par Lagrange (1736, 1813).
22Il s’agit d’un nombre triangulaire.
23Il s’agit de la puissance quatrième. À partir de la puissance cinquième, il n’y a pas de nom usuel.
24Le problème, plus connu sous le nom de « problème des ménages » (Lucas 1891 : 215, 491-495), est la question du nombre de façons différentes de placer un nombre donné de couples hommes-femmes autour d’une table de façon à alterner hommes et femmes et à ne placer personne à côté de son (ou sa) conjoint(e). Ce problème fut formulé par Peter Guthrie Tait (1831-1901), en relation avec la théorie des nœuds. Le nombre de placements possibles est donné par la suite A059375 de l’OEIS (Sloane).
25Correspondance passive de Delannoy (liasse 2, Archive de la SSNAHC)
Auteur
Université Paris 13 Sorbonne Paris Cité, Laboratoire d’informatique de Paris Nord, IREM de Paris Nord.
IdRef : 080405940
Enseignante-chercheuse en mathématiques discrètes et théorie des langages appliquées à la représentation du temps et au raisonnement temporel, aux systèmes calendaires et aux systèmes de numération orale, Sylviane R. Schwer est également spécialiste de Henri Auguste Delannoy. Elle a créé en 2010 l’option de recherche « Redécouvrir les mathématiques à travers les usages » pour les futurs professeurs des écoles de l’ESPE de Créteil. Elle est actuellement directrice de l’IREM de Paris Nord.
Le texte seul est utilisable sous licence Licence OpenEdition Books. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.
La résolution de problèmes en mathématiques
Enjeux pour l’enseignement et l’apprentissage
Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier (dir.)
2024
Le binaire au bout des doigts
Un casse-tête entre récréation mathématique et enseignement
Lisa Rougetet
2023
Graines de scientifiques en maternelle
Explorer le monde du vivant, des objets et de la matière
Frédéric Charles (dir.)
2021
Mathématiques récréatives
Éclairages historiques et épistémologiques
Nathalie Chevalarias, Michèle Gandit, Marcel Morales et al. (dir.)
2019