L’exponentielle, entre jeu mathématique et vision du monde
p. 47-62
Texte intégral
Introduction
1Que ce soit au travers des suites géométriques ou de l’étude des fonctions, la croissance exponentielle est souvent envisagée comme une propriété purement technique, dont les éventuels prolongements se limitent à des activités ludiques (souvent fondées sur la vitesse de cette croissance) ou appliquées. Or ce type de croissance est en réalité riche d’une longue histoire qui montre combien, au fil des âges, l’exponentielle est un révélateur de nos représentations collectives.
2L’exemple le plus emblématique est sans aucun doute celui de la légende des grains de blé que l’on double sur les cases d’un échiquier. La variété des versions disponibles, leurs interprétations qui atteignirent parfois jusqu’à la cosmogonie, l’effacement du contexte au profit du seul calcul mathématique au Moyen Âge sont autant de sujets d’étude qui font de cette légende bien davantage qu’un simple exercice divertissant sur les suites géométriques.
3Plusieurs autres mises en scène de la croissance exponentielle ont également connu le succès comme figuration d’un aspect de notre monde, parfois dans une perspective mystique.
4Il semble donc utile que l’enseignant de mathématiques connaisse quelques-unes des représentations collectives attachées à la croissance exponentielle, ainsi que les éléments sociétaux qui s’y rattachent. C’est l’objet du présent chapitre que d’en présenter un aperçu, par des considérations relevant notamment de la démographie et de l’économie. Pour une présentation plus complète, on pourra consulter (Rittaud 2015).
Grains de blé : doublements sur l’échiquier
5Des sondages informels auprès de publics divers suggèrent que, dans un groupe d’une vingtaine de personnes, il s’en trouve en moyenne au moins une ou deux pour connaître, dans l’une ou l’autre de ses multiples versions, la fameuse légende des grains de blé que l’on double sur chaque case de l’échiquier. Pour mémoire, rappelons-en le schéma général : un roi souffrant de mélancolie est guéri par son ministre (parfois appelé Sessa, Sassa ou Sissa, avec occasionnellement le nom additionnel de ben Dahir) qui invente pour lui le jeu des échecs. Reconnaissant, le souverain offre à son ministre de choisir lui-même sa récompense. Sessa demande que lui soit donné un grain de blé pour la première case de l’échiquier, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, et plus généralement 2n–1 grains pour la ne case. Contrairement à ce que le roi pense, le nombre total de grains dus est astronomique. La promesse est donc impossible à honorer.
6Il ne semble pas que les auteurs anonymes de cette histoire l’aient conçue comme une devinette mathématique, mais plutôt comme un conte moral, qui était destiné à enseigner la prudence face aux jugements hâtifs, notamment dans le domaine militaire. À l’origine, Sessa, pour nous le personnage principal de l’histoire, avait un rôle plus effacé. C’est ainsi que dans la plus ancienne version qui nous est parvenue, qui remonte au ixe siècle, le roi est mort à la guerre, et c’est Sessa qui doit annoncer la triste nouvelle à la reine (Osti 2008). Pour le faire, il simule sur un échiquier la bataille dans laquelle le roi a péri, et c’est ce tact qui lui vaut sa récompense.
Le nombre de grains
7Le nombre de grains dus à Sessa est égal à la somme des soixante-quatre premières puissances de 2 (en commençant par 20). La formule classique de la somme des premiers termes d’une suite géométrique montre que le nombre total est de 264–1.
8Il n’est pas nécessaire de connaître cette formule générale pour obtenir ce résultat. Une façon plus élémentaire consiste par exemple à se donner une 65e case sur laquelle on se propose de placer deux fois plus de grains que sur la 64e et, pour ce faire, d’utiliser les grains disponibles sur les 64 cases de l’échiquier (toutes remplies comme il se doit). Une fois versé le contenu de la 64e case sur la 65e, la moitié du travail est fait. Ensuite, une fois versé le contenu de la 63e, la moitié du travail qui restait est fait. En poursuivant ainsi dans l’ordre décroissant des cases, il apparaît que chaque nouvelle case dont on verse le contenu sur la 65e apporte la moitié de ce qui manque encore à cette 65e case. Appliqué au cas de la première case qui contient un unique grain, cette remarque montre que la somme 1 + 2 + … + 263 des grains sur l’échiquier est égale, à une unité près, à 264 (le nombre de grains requis sur la 65e case).
9Le fait que la somme des premières puissances de 2 soit égale à une unité de moins que la puissance suivante de 2 est facile à remarquer. Il a sans doute été remarqué maintes fois, sans qu’il soit besoin d’invoquer la connaissance de la proposition 35 du livre IX des Éléments d’Euclide (qui donne le résultat général pour la somme des premiers termes d’une suite géométrique quelconque). Bien des auteurs jusqu’à une période récente se focalisent toutefois sur le nombre total de grains (à savoir : 18 446 744 073 709 551 615) et non sur la méthode de calcul. Fibonacci, dans son Liber abaci (Sigler 2002 : 435), est sans doute le premier à expliciter comment il procède. Il applique un algorithme d’exponentiation rapide, qui consiste à calculer les premiers termes de la suite définie par u0 = 2 et un+1 = (un)2 = 22n. La valeur 264 est atteinte dès u6, et les multiplications sont très simples à effectuer jusqu’à u4.
Une histoire à plusieurs niveaux
10La légende des grains sur l’échiquier a ceci d’intéressant qu’il est possible de l’aborder à tous les niveaux scolaires.
11Dans l’enseignement primaire, elle s’intègre bien dans un cours sur la multiplication. S’il n’est certes pas raisonnable d’espérer que les élèves soient en mesure de calculer le terme u6 de la suite précédente (ni même u5), l’introduction de la célèbre suite des puissances de 2 et le calcul de ses premiers termes (jusqu’à, disons, 210 = 1 024) est un moyen simple d’exercer ses aptitudes au calcul mental. L’énoncé du nombre total de grains, même sans démonstration, est souvent l’occasion d’un émerveillement devant l’immensité de cette valeur.
12Au niveau du collège, l’histoire est l’occasion d’utiliser le formalisme des exposants, que ce soit pour exprimer le nombre de grains sur la ne case (avec le piège qu’il s’agit de 2n–1 et non de 2n ) ou pour obtenir le nombre total de grains.
13Au lycée, le nombre de grains se déduit aisément de la formule sur la somme des termes d’une suite géométrique, et il peut aussi servir dans le cadre de l’apprentissage de l’algorithmique.
14Enfin, dans le cadre de la formation des enseignants, diverses généralisations peuvent être considérées : triplement des grains (ou, plus généralement, multiplication par une constante r), étude de l’écriture binaire du nombre de grains sur la ne case (le chiffre 1 suivi de (n–1) fois le chiffre 0) et de celle du nombre total de grains (soixante-quatre 1 consécutifs), etc.
Mystique vs calcul approché
15L’une des caractéristiques les plus remarquables des présentations contemporaines de l’histoire des grains sur l’échiquier est la mystique qui lui est très souvent attachée, qui prend la forme de l’affirmation selon laquelle le nombre de grains « dépasserait l’imagination » et qu’il serait impossible de se le représenter. Il est remarquable qu’une telle attitude presque craintive devant les grands nombres s’observe de nos jours, y compris dans des textes mathématiques. (Un exemple d’analyse de ce point figure dans (Rittaud 2012).) C’est d’autant plus étonnant qu’il ne semble pas que le phénomène ait été aussi prégnant aux époques passées. Ainsi Fibonacci qui, en pleine époque médiévale (et en un lointain écho de L’Arénaire d’Archimède), glorifie dans son Liber abaci la conquête des grands nombres que permet le système de numération décimale. C’est le cas également dans le Lalitâvistara, écrit entre le ier et le iiie siècle, dans lequel est présenté un exploit de jeunesse du futur Bouddha : celui-ci se montre capable de calculer mentalement un nombre immense défini par ce que nous appellerions une suite géométrique (Rachet 1996 : 130).
16Pour dépasser cette vision archaïque des grands nombres « inaccessibles à l’entendement », la démarche d’un calcul approché du nombre de grains est sans doute de quelque utilité, en plus de constituer un cas intéressant pour réfléchir sur l’intérêt du calcul approché (on pense ici, bien sûr, à un lien interdisciplinaire avec les sciences expérimentales). L’approximation de 210 = 1 024 par 1 000 = 103 permet en effet une évaluation remarquablement précise du nombre total de grains. Elle présente en outre l’avantage d’être d’une telle simplicité que tous les calculs qui s’en déduisent peuvent s’effectuer entièrement de tête : approcher 210 par 103 conduit à écrire 264 sous la forme 24+6×10 = 24×( 210 )6 = 16×( 210 )6, que l’on approche alors par 16×( 103 )6, soit 16×1018, une valeur qui n’est inférieure que de 11 % au résultat exact. (Une autre possibilité, plus qualitative, pour visualiser de façon ludique la vitesse de croissance du nombre des grains au fil des cases de l’échiquier et démystifier ainsi l’exponentielle est proposée dans (Rittaud 2013).)
Entre « féconde nature » et angoisses malthusiennes
Du jeu à l’exégèse biblique
17Même si, dans la légende, le doublement des grains a un caractère arbitraire, il suggère le lien entre la croissance exponentielle et les modèles d’évolution de populations vivantes (végétales, animales ou humaines). Bien entendu, il convient ici de mentionner à nouveau Fibonacci, cette fois pour son fameux problème des lapins, bien que celui-ci ne semble pas avoir initié une tradition dans le domaine. L’idée de modéliser mathématiquement une population réapparaît chez Jérôme Cardan (au xvie siècle), mais de façon anecdotique. C’est en fait au début du xviie siècle que l’idée se déploie pour de bon, au sein de deux cercles de penseurs : les spécialistes de récréations mathématiques d’une part, les exégètes bibliques d’autre part.
18Les premiers, tels Jean Leurechon (Leurechon 1622) et Jean Appier Hanzelet (Appier Hanzelet 1624) offrent à leurs lecteurs divers émerveillements numériques fondés sur la vitesse souvent surprenante des suites géométriques, qui permettent en peu de temps de recouvrir la terre de telle ou telle plante, ou de constituer d’immenses troupeaux de bétail. Les seconds, quant à eux, se posent des questions de démographie biblique. L’une d’elles, qui restera en vogue pendant près de deux siècles et sera encore évoquée le plus sérieusement du monde par Montucla à la fin du xviiie siècle (Ozanam 1778), est celle de l’accroissement du nombre d’Hébreux lors de leur séjour en Égypte. Selon le récit de l’Exode, Joseph s’installe dans la vallée du Nil accompagné de 70 personnes avant que, 260 ans plus tard, ses descendants n’en soient chassés. Or selon ce que laisse entrevoir le texte, ceux-ci sont alors plus d’un million. Comment comprendre une telle croissance en à peine plus de deux siècles ? On peut bien sûr envisager un miracle, mais une telle facilité n’est pas regardée d’un bon œil par les exégètes. En effet, leur idée dominante est alors que, s’il est bien évidemment reconnu à Dieu le droit de faire un miracle à chaque fois qu’il le juge opportun, l’absence de toute indication en ce sens dans le texte biblique doit forcer à chercher une autre explication. En d’autres termes : quand Dieu fait un miracle, il le fait savoir. S’il ne dit rien, c’est qu’il y a quelque chose d’autre à comprendre.
19La très rapide croissance que permet un modèle démographique appuyé sur une suite géométrique offre une solution inespérée au paradoxe. Avec un coefficient multiplicateur bien choisi, il est possible de modéliser « rationnellement » la croissance des Hébreux, et donc de faire disparaître cette apparente incohérence des données bibliques qui n’avait pas manqué d’être relevée dans les milieux libertins.
20Les précurseurs de la science démographique, dans l’Angleterre de la seconde moitié du xviie siècle, propagent ensuite à leur tour les modèles exponentiels de population. Les considérations théologiques demeurent souvent prégnantes, pour deux raisons importantes qui doivent freiner nos sourires. La première, bien sûr, est que le milieu érudit est alors profondément imprégné de culture chrétienne, les Saintes Écritures étant considérées comme vraies dans la lettre aussi bien que dans l’esprit. (C’est au point qu’Isaac Newton lui-même est l’auteur d’une chronologie biblique, laquelle connut une certaine diffusion en son temps.) La seconde raison, plus spécifique aux précurseurs de la science démographique, est que les statistiques alors disponibles sont encore rares et éparses. A contrario, les données numériques sur les populations bibliques sont, elles, à la fois nombreuses et « précises »1, ce qui fournit une base quantitativement riche, mais aussi qualitativement irréprochable puisqu’il va de soi que l’exactitude du verbe divin ne saurait être mise en doute…
Et les regards se tournèrent vers l’avenir
21La fin du xviie siècle voit l’avènement des premières ébauches de projets politiques fondés sur l’idée de croissance exponentielle. La multiplication des ressources promises par les modèles fait se tourner leurs auteurs vers l’avenir, et non plus seulement vers la reconstitution d’aspects du passé (biblique) tel que le calcul du nombre d’humains ayant succombé au Déluge.
22William Petty, le premier grand précurseur de la science démographique, se projette dans l’avenir en anticipant l’évolution des populations de Londres et de l’Angleterre en se fondant, progrès considérable, sur d’authentiques registres de naissance2. Encore profondément imprégné de théologie, il se livre aussi à de savants calculs, encore et toujours fondés sur l’hypothèse d’une croissance exponentielle de la population, pour déterminer la date où la Terre sera entièrement remplie d’humains. Selon lui (qui sera dissuadé par un ami théologien de publier ses idées pour le moins hardies), cette date fatidique ne peut que correspondre à celle du Jour du Jugement dernier, si bien qu’accroître le plus vite possible la population s’élève au rang de projet messianique : plus vite l’humanité aura rempli la Terre, plus vite reviendra le Messie… (Rohrbasser 1999)
23Plus concrètes sont certaines prospectives de Vauban rédigées vers 1700, dont deux sont remarquables à plusieurs titres. La première est celle d’un grand programme de peuplement du Canada français (Vauban, 1842 : 82), pour faire face à l’ennemi anglais qu’il faut affronter dans le Nouveau Monde. Vauban quantifie son projet jusqu’à calculer ce que devrait être la population canadienne (francophone) à la fin du xxe siècle. Pour l’anecdote, il propose 25 millions d’habitants pour 1970, soit une valeur remarquablement proche de celle du recensement effectué en 1978 (23,5 millions d’habitants). Bien sûr, au vu du caractère fruste de son modèle, il ne faut pas voir dans cette proximité davantage qu’une coïncidence.
24Le second projet politique de Vauban significatif pour notre sujet figure dans un petit texte intitulé La Cochonnerie (on parlerait aujourd’hui de porcherie). Dans celui-ci (Vauban 1842 : 33), il montre comment une truie unique peut produire, en seulement quelques années, une descendance considérable, qui doit permettre de faire de la viande de porc un bien de consommation désormais accessible à tous. Outre le caractère concret, programmatique de la démarche (qui le distingue du regard plus distancié d’un Fibonacci, par exemple), l’originalité de La Cochonnerie tient à ce qu’elle n’a pas recours à une simple suite géométrique, mais à une suite à récurrence linéaire d’ordre 5, qui permet notamment de tenir compte du temps limité où une truie est féconde3.
La peur exponentielle
25La fin du xviiie siècle est celle d’un coup de tonnerre dans le ciel bleu de l’abondance exponentielle : en 1798 paraît la première édition, anonyme, de l’Essai sur le principe de population de Thomas Malthus. Cet ouvrage fondateur d’un renouvellement considérable dans le regard sur l’exponentielle s’ouvre sur le modèle, déjà classique à l’époque, selon lequel toute population humaine laissée libre de se reproduire croît selon une suite géométrique. Malthus ajoute à ce postulat que la production (qui, pour lui, se confond avec la production de l’agriculture) ne peut en aucun cas croître à la même vitesse. Il accepte certes l’idée d’un progrès possible dans les capacités productives, mais le limite singulièrement à une simple suite arithmétique, bien entendu vite dépassée par la croissance exponentielle de la population. Celle-ci, toujours trop rapide, conduit donc rapidement à une période de famine qui décime la population, enclenchant alors une nouvelle période de croissance démographique, jusqu’à la crise suivante.
26Comme on l’a vu plus haut, Malthus est loin d’être le premier à parler de croissance exponentielle pour une population humaine. Il n’est même pas le premier à mettre en opposition cette croissance avec le postulat du caractère plus ou moins stagnant de la production agricole : plusieurs années auparavant, le penseur italien Giammaria Ortes avait proposé un point de vue voisin.
27Ce qui distingue Malthus est surtout la violence particulièrement brutale du remède qu’il propose pour sortir de ces cycles de surpopulation et de famines : cesser toute espèce d’assistance aux plus pauvres et aux moins éduqués, qui non seulement n’ont pas leur place au « grand banquet de la nature » mais, rustres qu’ils sont, ont en plus le défaut de pratiquer sans mesure la fornication et donc de trop se reproduire.
28Des échos plus ou moins atténués de cette idée se retrouvent un peu partout, déclinés de manières diverses, y compris dans l’enseignement. Un manuel américain du début du xixe siècle (Colburn 1826 : 359) propose l’exercice qui consiste à étudier la faisabilité d’un rapatriement massif en Afrique des anciens esclaves noirs, non sans suggérer lourdement l’urgence de se débarrasser au plus vite de ces affranchis avant que leur reproduction exponentielle ne rende la chose impossible… Si, de nos jours, des propos de ce genre ne sont évidemment plus pensables, on peut tout de même signaler qu’un énoncé pour le moins équivoque est tout récemment paru dans un manuel de mathématiques de terminale (Maraval 2017 : 34) :
Des migrants fuyant la guerre atteignent une île en Méditerranée. La première semaine, il en arrive 100. Puis chaque semaine, le nombre de nouveaux arrivants augmente de 10 %.
29Il ne saurait être question de soupçonner de la part des auteurs quoi que ce soit d’autre qu’une profonde maladresse, ni de négliger que le caractère douteux de l’énoncé tient pour beaucoup au fait qu’il propose de se livrer à des calculs mathématiques dans un contexte qui ne s’y prête pas. Il reste que cet exercice ne s’inscrit que trop bien dans ce schéma deux fois centenaire de peur démographique exponentielle, schéma ici renforcé par le caractère profondément arbitraire de la modélisation du phénomène par une suite géométrique.
30Précisons que, devant les protestations soulevées par cet énoncé, la présidente de la maison d’édition concernée a fait amende honorable : dans l’actuelle édition de ce manuel, l’énoncé en question a été supprimé.
Dirhams : quand l’argent crée l’argent
31Parmi les glissements qui se sont produits au fil des âges sur la légende des grains sur l’échiquier, il y a celui qui porte sur la nature de ce qui est doublé. Dans la toute première version dont nous disposons (Osti 2008), comme dans bien d’autres des siècles suivants, il ne s’agit pas de grains de blé, mais de dirhams, ou d’autres unités monétaires. Souvent même, lorsque l’histoire est donnée avec des grains, le calcul se prolonge par une évaluation du prix qui correspond à la quantité totale de blé.
32On peut penser (mais cela ne semble pas avoir fait l’objet d’une investigation précise) que l’indifférence initiale entre ces deux catégories s’explique par la nature non-fiduciaire de la monnaie qui avait alors cours. Aux époques où la valeur nominale d’une pièce est strictement équivalente à sa valeur intrinsèque (celle de la quantité de matériau qui la compose), une forme d’équivalence existe entre numéraire et « ressources naturelles ». Le développement à grande échelle des monnaies fiduciaires au xixe siècle est sans doute pour quelque chose dans la disparition de la version monétaire de la légende des grains sur l’échiquier. Un autre élément d’explication tient sans doute au désir plus ou moins conscient d’ancrer la légende dans un monde « hors du temps », ce qui conduit à éviter l’emploi d’une monnaie qui paraîtrait un peu trop liée à une culture ou une époque particulière4.
33Ce qui est remarquable, c’est que cette cohabitation entre grains et dirhams signale dès l’origine les germes des deux cadres les plus importants dans lesquels le concept de croissance exponentielle s’est développé dans les représentations collectives, développement souvent fort éloigné des contextes ordinairement concernés par les sciences mathématiques. Le premier cadre, nous l’avons vu, est celui de la croissance des populations, qu’il s’agisse d’humains, d’animaux ou de plantes. Le second est celui de la croissance monétaire, au travers des intérêts composés. Ce second cadre dispose d’une « légende » qui lui est spécifique, due à Richard Price (Price 1772 : xiii) :
Un penny placé lors de la naissance de notre Sauveur à 5 pour cent d’intérêts composés aurait, avant notre époque, crû jusqu’à atteindre une somme plus grande que celle qui serait contenue dans deux cents millions de fois tout l’or de la terre.
34La magie du taux d’intérêt promet donc une prospérité formidable, sous réserve bien sûr d’être patient… Price s’enthousiasme pour les perspectives offertes par cette création fabuleuse de richesses.
35Le caractère anormalement miraculeux de l’apparition de tout cet or n’échappe pas à Karl Marx. Sa critique des « élucubrations fantaisistes du docteur Price », qu’il rapproche de celles des alchimistes, est impitoyable. Elle devrait être méditée à chaque fois que l’immensité des nombres en jeu dans un contexte de croissance exponentielle risque de conduire à négliger de porter un regard critique sur la validité du modèle utilisé (Marx 1894) :
Price fut simplement ébloui par la grandeur des nombres auxquels conduisent les progressions géométriques. Comme Malthus dans son théorème de la population, il considéra, sans tenir compte des conditions de la reproduction et du travail, le capital comme un automate grossissant de lui-même, et il put se figurer avoir exprimé ce développement par la formule S = C (1+i )n, dans laquelle S représente la somme du capital et des intérêts accumulés, C le capital prêté, i le taux de l’intérêt et n la durée en années du prêt.
36Le temps long choisi dans la fable de Price ouvre par ailleurs la voie à la question du rapport entre l’exponentielle et la mort. La première exploration de cette idée nous vient peut-être de Charles-Joseph Mathon de la Cour, auteur d’un texte humoristique très réussi sur le thème des placements à long terme (Mathon de la Cour 1785). Il s’agit des réflexions imaginaires d’un homme arrivé au soir de sa vie et désireux d’honorer la mémoire de son père qui lui a jadis enseigné l’arithmétique. En composant son testament, il décide de placer une certaine somme à intérêts composés pendant plusieurs siècles. Il prévoit ainsi d’atteindre, au bout de cinq cents ans, une somme astronomique qui doit permettre de rembourser les dettes de la France et de l’Angleterre, de créer des villes et quantité d’établissements divers… Le plus étonnant reste que le pastiche de Mathon de la Cour est ensuite devenu réalité, grâce à Benjamin Franklin qui, l’ayant lu et beaucoup apprécié, a choisi de s’en inspirer pour modifier son propre testament. Avec pour résultat que le Fonds Franklin a effectivement prospéré après la mort du père fondateur des États-Unis, ce qui a permis la création à Boston en 1908 du Benjamin Franklin Institute of Technology, un établissement d’enseignement technique toujours en activité aujourd’hui.
37La croissance exponentielle du capital par la grâce des intérêts composés a également été l’objet de critiques de principe. Lorsque celles-ci s’inscrivent dans le débat général sur l’usure, la vitesse de croissance n’est pas le point clé, car la question principale porte alors sur le caractère supposé immoral d’un enrichissement qui n’est pas le résultat d’un travail. Mais il arrive aussi que l’exponentielle soit visée pour elle-même. C’est le cas chez Joseph Proudhon, qui défend son fameux « la propriété, c’est le vol » à l’aide de la même idée de base que Price, mais qui débouche sur une conclusion très différente (Proudhon 1841 : huitième proposition) :
Si les hommes […] accordaient à l’un d’eux le droit exclusif de propriété, et que ce propriétaire unique plaçât sur l’humanité, à intérêts composés, une somme de 100 fr. remboursable à ses descendants à la 24e génération ; au bout de 600 ans cette somme de 100 fr., placée à 5 p. 100, s’élèverait à 107,854,010,777,600 fr. […]
Je ne pousserai pas plus loin ces calculs, que chacun peut varier à l’infini, et sur lesquels il serait puéril à moi d’insister ; […] Le législateur, en introduisant dans la république le principe de propriété, en a-t-il pesé toutes les conséquences ? […] pourquoi cette latitude effrayante laissée au propriétaire dans l’accroissement de sa propriété […] ? jusqu’à quel point l’oisif peut-il exploiter le travailleur ? […] quand est-ce que le producteur peut dire au propriétaire : Je ne te dois plus rien ?
38Tout comme la modélisation exponentielle de la démographie présente les côtés sombres que nous avons vus, les reproches adressés aux intérêts composés peuvent eux aussi dégénérer, en l’occurrence sur le terrain de l’antisémitisme. En effet, le « juif usurier » est un thème ancien, souvent associé à l’immoralité supposée du prêt à intérêts. Une analyse détaillée de la littérature antisémite de ces derniers siècles reste à faire, mais un survol rapide suggère déjà que celle-ci doit contenir nombre d’associations de ce genre. Le manuel mentionné plus haut avec son exercice « démographique » sur les migrants a d’ailleurs son équivalent dans ce cadre. Il s’agit d’un manuel de première qui proposait l’exercice que voici (Lanoëlle 2003) :
D’après la rumeur, Judas Iscariote avait placé les 20 deniers gagnés par sa trahison au Crédit Agricole du coin, à 2 % avec intérêts composés.
39Sachant qu’un denier vaut 0,53 g d’or, déterminer la masse d’or (en millions de tonnes) dont auraient disposé ses éventuels héritiers au 1er janvier 2000 (Judas aurait trahi en l’an 33).
40De même que l’exercice sur les migrants ne contient à proprement parler aucun élément xénophobe (les auteurs pouvant tout à fait arguer que leur intention était, à l’inverse, d’attirer l’attention sur un drame d’importance croissante), il est à l’évidence faux d’affirmer que cette variante de l’histoire du penny de Price est antisémite. La judéité de Judas n’y est pas même évoquée, et il est tout sauf clair que celle-ci soit connue des élèves (sans parler de la faible importance qu’ils seraient susceptibles de lui accorder s’ils la connaissaient).
41Il reste pourtant que cet exercice s’inscrit, et de manière à l’évidence tout aussi involontaire que dans le cas de celui sur les migrants, dans une histoire longue où l’exponentielle, cette fois via les intérêts composés, a pour certains le parfum d’une mise en accusation, celle du « juif usurier ». Tel a été le cas pour cet exercice, qui fut l’objet d’accusations d’antisémitisme suffisamment insistantes pour conduire au retrait du manuel de la vente. Un bégaiement de l’histoire dont on se serait bien passé.
Références bibliographiques
Appier Hanzelet, J. (1624). Recreation mathematicque, composee de plusieurs problemes plaisants et facetieux. Pont-à-Mousson : Jean Appier Hanzelet.
Colburn, W. (1826). An introduction to algebra upon the inductive method of instruction. Boston : Cummings, Hilliard, and Company.
Lanoëlle, A., Lanoëlle, F., Nassiet, F., Séris, B. et Testard, F. (2003). Mathématiques. Analyse probabilités 1re S. Paris : Didier.
Leurechon, J. (1622). Selectæ Propositiones in Tota Sparsim Mathematica Pulcherrimæ. Pont-à-Mousson : Sébastien Cramoisy.
Maraval, J. (dir.) (2017). Hyperbole Term ES Spécifique + Spécialité / L. Paris : Nathan.
Marx, K. (1901). Le Capital. Critique de l’économie politique. Livre troisième. Le procès d’ensemble de la production capitaliste. Tome I. Chapitre XXIV (traduction française de J. Borchardt et H. Vanderrydt, de l’Institut des sciences sociales de Bruxelles). Paris : V. Giard et E. Brière (œuvre originale publiée en 1867). Disponible en ligne sur le site de Marxists Internet Archive, en collaboration avec la bibliothèque de sciences sociales de l’Université du Quebec : <https://www.marxists.org/francais/marx/works/1867/Capital-III/kmcap3_23.htm> (consulté le 1er octobre 2018).
Mathon de la Cour, C.-J. (1785). Testament de M. Fortuné Ricard, maître d’arithmétique à D** : lu & publié à l’audience du bailliage de cette ville, le 19 août 1784. France : s.n.
Osti, L. (2008). The Grain on the Chessboard : Travels and Meanings. Dans F. Bauden, A. Chraïbi et A. Ghersetti (dir.), Le Répertoire narratif arabe médiéval, transmission et ouverture : actes de Colloque international (Liège, 15-17 septembre 2005) (p. 231-251). Genève : Droz.
Ozanam, J. (1778). Récréations mathématiques et physiques… (sous la direction de J.-É. Montucla, illustrations P.-C. Delagardette, imprimeur C.-A. Jombert). Paris : Jombert.
Price, R. (1772). Observations on reversionary payments. Londres : Cadell.
Proudhon, P.-J. (1841). Qu’est-ce que la propriété ? ou recherches sur le principe du droit et du gouvernement : premier mémoire. Paris : Prévôt.
Rachet, G. (1996). Lalitâvistara : vie et doctrine du Bouddha tibétain. Paris : Sand.
Rittaud, B. (2012). Les grains sur l’échiquier : entre intuition, calcul et mystique. Dans Short proceeding du colloque hommage à Michèle Artigue : La didactique des mathématiques: approches et enjeux (31 mai, 1er et 2 juin 2012). Paris : Université Paris-Diderot, Paris 7. Disponible en ligne sur <https://docs.google.com/file/d/0B7H9DyVUr48lWEl5MENEOXV0ZU0/edit> (consulté le 1er octobre 2018).
Rittaud, B. (2013). Une approche de la croissance exponentielle par l’introduction d’une virgule glissante. Annales de didactique et de sciences cognitives, 18, 91-113.
Rittaud, B. (2015). La Peur exponentielle. Paris : Presses universitaires de France.
Rohrbasser, J.-M. (1999). William Petty (1623-1687) et le calcul du doublement de la population. Population, 54 (4/5), 693-705.
Rohrbasser, J.-M. (2002). Qui a peur de l’arithmétique ? Les premiers essais de calcul sur les populations dans la seconde moitié du xviie siècle. Mathématiques & Sciences humaines, 159, 7-41.
Sigler, L. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci : A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. New York : Springer-Verlag.
Tanner, T. (1683). “Primordia”, Or the Rise and Growth of the first Church of God. Londres : R. Chiswell.
Vauban, S. (1842). Oisivetés de M. de Vauban (tome IV), édité par A.-M. Augoyat. Paris : J. Corréard.
Notes de bas de page
1Par exemple, le Livre des Nombres (quatrième livre de la Bible) fournit un recensement très détaillé des douze tribus d’Israël.
2Ses calculs, partiellement erronés, le font aboutir à l’incongruité d’une capitale contenant à terme davantage d’habitants que le pays tout entier, ce qui l’amène à comprendre le caractère nécessairement limité dans le temps de la validité de son modèle exponentiel.
3Outre Fibonacci, Cardan et Vauban, il y a au moins un autre auteur avant Euler qui a eu l’idée d’utiliser une suite à récurrence linéaire (non-géométrique) pour une modélisation démographique. Il s’agit d’un certain James Rudyerd, à peu près inconnu, qui a représenté l’évolution d’une population biblique à l’aide d’une suite à récurrence linéaire d’ordre 7, dans deux lettres adressées à son ami Thomas Tanner, lequel en a inséré le contenu en annexe d’un ouvrage sur l’histoire de la chrétienté antique (Tanner 1683). (Voir aussi (Rohrbasser 2002).)
4A contrario, la connotation « orientale » le plus souvent donnée à l’histoire (roi des Indes, parfois de Chine ou de Perse) explique peut-être l’apparition, relativement récente à ce qu’il semble, des grains de riz à la place des grains de blé.
Auteur
Université Paris 13 Sorbonne Paris Cité, Laboratoire analyse, géométrie et applications, IREM de Paris Nord.
IdRef : 059451157
Spécialiste de systèmes de numération, Benoît Rittaud a publié une quinzaine d’ouvrages ainsi que de nombreux articles et conférences de vulgarisation. Son dernier ouvrage, paru aux éditions Ellipses, est intitulé Newton implique Kepler. Méthodes géométriques élémentaires pour l’enseignement supérieur en mathématiques.
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