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Chapitre 4
Résolution du baguenodier avec le système binaire
p. 63-92
Texte intégral
1Pour bien aborder ce chapitre, nous conseillons d’avoir à portée de main :
- un baguenodier entièrement démonté ;
- une feuille de papier ;
- un crayon ;
- les premières pages du tableau de Louis Gros, commençant à la page 25 de son Traité.
2Nous l’avons évoqué brièvement dans le chapitre 1, c’est de la schématisation des positions du baguenodier, proposée par Louis Gros dans son Traité de 1872 qu’émerge le code binaire réfléchi, et c’est à partir de ces schémas que Louis Gros représente directement l’état du baguenodier par un nombre binaire correspondant, lui donnant ainsi le nombre de changements qu’il reste à effectuer pour entièrement monter (ou démonter) le casse-tête à partir de cette position. Il n’est question ici que de « représentations » mobilisant d’une part, des symboles vus comme de « simples marques sur un papier1 » (les schémas) et, d’autre part, les symboles utilisés dans la numération binaire : 0 et 1 (les nombres binaires). Mais ce processus de symbolisation de la manipulation de l’objet (on pourrait presque parler de double symbolisation dans le cas de Louis Gros) est essentiel à la conceptualisation mathématique qui en découle, le développement de l’algèbre au fil de l’histoire en est un exemple2. Rappelons que Louis Gros part de la position initiale où tous les anneaux du baguenodier sont abaissés – autrement dit, le casse-tête est entièrement démonté – et que c’est par l’élévation successive de chacun des anneaux qu’il arrive à conceptualiser la résolution du baguenodier, en s’appuyant sur des représentations dans le système binaire.
Version de résolution de Louis Gros avec le système binaire
3Au-delà de comprendre le fonctionnement du baguenodier pour élever ou abaisser tel ou tel anneau, en appliquant consciencieusement la condition nécessaire et suffisante évoquée précédemment, il est intéressant de faire également émerger la « question générale » du baguenodier, que Louis Gros énonce ainsi dans son Traité :
Comment découvrir ce qu’il faut faire pour monter ou démonter un baguenodier qui se trouve dans un état quelconque ? (Gros 1872a : 107)
Cette question peut en fait se décliner en plusieurs autres que nous reprenons d’Édouard Lucas dans son article de 1880 dans La Revue Scientifique au sujet du casse-tête :
On donne deux dispositions quelconques des anneaux, sur la navette d’un baguenaudier de grandeur arbitraire ; déterminer l’ordre et le nombre des déplacements à opérer, pour passer d’une disposition à une autre, en supposant que le nombre des mouvements des anneaux soit le plus petit possible. En particulier, déterminer l’ordre et le nombre minimum de déplacements des anneaux, pour monter ou démonter entièrement le baguenaudier3.
Lucas précise ensuite qu’il va s’appuyer sur la solution développée par Louis Gros dans son petit fascicule publié anonymement en 1872, étant donné que :
Le problème général du baguenaudier se résout immédiatement au moyen de la notation ingénieuse de chacune des dispositions du baguenaudier, qui a été imaginée par l’auteur lyonnais. (Lucas 1880 : 38-39)
Afin de bien comprendre la construction du tableau de Louis Gros ainsi que son fonctionnement, nous reproduisons à la figure 27 la première page du tableau présenté dans sa petite Théorie du Baguenodier publiée anonymement (le même tableau, bien plus élargi se trouve également dans son Traité manuscrit, à partir de la page 25).
Figure 27 : Extrait du tableau de Louis Gros, dans sa Théorie du Baguenodier publiée anonymement.

(Gros 1872b : 13)
Sur la droite de la colonne, apparaissent les différents états par lequel passe le baguenodier lorsqu’il est en train d’être monté : élever 1, élever 2, abaisser 1, élever 3, élever 1, abaisser 2, abaisser 1, élever 4, élever 1, etc. Les points au-dessus de la ligne sont les anneaux qui sont élevés dans la navette, et ceux en dessous sont ceux qui sont abaissés hors de la navette. On remarque que d’un état à un autre, un seul anneau peut être touché pour permettre de continuer à monter le baguenodier, c’est la spécificité du code binaire réfléchi (détaillée plus loin) qui n’autorise le changement que d’un seul chiffre dans la suite des nombres binaires. Le code en question n’est pas explicité par Louis Gros avec des 0 et des 1, mais avec des points hauts et bas. Par exemple, pour passer de l’état où trois anneaux sont montés • • • à l’état suivant où seul le 2e anneau est abaissé • • • on n’a bien effectué qu’un seul et unique changement.
À gauche de la colonne apparaît la suite des nombres entiers, décomposés en produit de facteurs premiers (pour notamment faire apparaître les puissances de 2 sur lesquelles Louis Gros s’appuie pour faire émerger la résolution du baguenodier sans utiliser le système binaire, comme on l’a vu au chapitre 2), qui indiquent le nombre de changements qui ont été faits sur le casse-tête pour arriver à la position schématisée.
La colonne de droite du tableau présente ainsi deux symbolisations différentes d’un même état donné du baguenodier ; une première que nous appellerons « représentation schématique » qui correspond aux points situés au-dessus ou en dessous du trait horizontal pour signifier les positions respectives des anneaux par rapport à la navette4, le tout formant un schéma, et une deuxième que nous appellerons « représentation symbolique binaire » pour parler de la suite de 0 et de 1, qui elle traduit les actions qui ont été menées sur le casse-tête (donnant en quelque sorte son « passé »), sans que cela ne soit lisible dans la représentation schématique. Les symboles utilisés respectivement dans les deux représentations « sont considérés comme constitutifs de la conceptualisation mathématique », car ils permettent à Louis Gros à la fois de développer sa propre résolution du casse-tête, en étroite interaction avec le développement des symboles, mais aussi de communiquer sa démarche au lecteur5. Ce processus de symbolisation nourrit la réflexion sur la dialectique conceptualisation/symbolisation comme étant propre à la pensée mathématique (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 358).
Louis Gros le dit lui-même :
Le tableau sera surtout utile lorsqu’on aura perdu la suite des changements et que l’on ne saura par où s’y prendre pour continuer ce que l’on faisait. (Gros 1872a : 89)
Voilà alors comment procéder si cette situation se produisait : admettons que nous avons un baguenodier de 11 anneaux dans la position • • • • • • • • • • •. En cherchant ce schéma dans le tableau élargi du Traité (qui se situe à la dernière ligne de la page 57), on trouve que le nombre binaire associé est 10000100000 qui, traduit en décimal vaut 1 056 (en effet, (10000100000)2 = 1 × 210 + 1 × 25 = 1 024 + 32 = (1 056)10)6. Dès lors, si l’on veut monter le baguenodier, il faut lui donner la position de la représentation schématique du nombre immédiatement supérieur, 1 057, soit la position : • • • • • • • • • • • (le premier anneau a été élevé), puis la représentation schématique de 1 058, 1 059, etc. En revanche, si l’on cherche à démonter le baguenodier à partir de la position de 1 056, il faudra lui donner la représentation schématique de 1 055, soit • • • • • •• • • • • (le 6e anneau a été abaissé), puis la représentation schématique de 1 054, 1 053, etc. Louis Gros choisit volontairement un exemple avec un nombre d’anneaux assez conséquent, car c’est bien souvent dans cette situation que l’utilisateur du baguenodier peut se retrouver perdu, à ne plus savoir quel anneau toucher pour continuer à monter ou à démonter le casse-tête (quoique cette situation peut aussi se présenter avec un baguenodier à 5 anneaux). Il précise que chercher la position du baguenodier qu’on a sous les yeux dans le tableau serait « comme on cherche un mot dans le dictionnaire » (Gros 1872a : 91), et qu’il faut être vigilant à ne pas se tromper entre deux positions, car si par exemple le baguenodier est en position • • • • • • • • • • • mais que le 11e anneau est abaissé parce qu’il n’a pas encore été touché, alors la représentation schématique correspondante se trouvera au nombre 757 : • • • • • • • • • • (où jusqu’alors seuls les 10 premiers anneaux ont été touchés, le 11e n’est donc pas encore représenté).
Maintenant que le tableau et son fonctionnement sont expliqués, la question générale posée par Louis Gros en début de section, à savoir : « Comment découvrir ce qu’il faut faire pour monter ou démonter un baguenodier qui se trouve dans un état quelconque ? » (Gros 1872a : 107) trouve des éléments de réponse, néanmoins quelque peu contraignants, car ils obligent à disposer de l’entièreté du tableau à portée de main, et le lecteur qui aurait construit (ou acheté) un baguenodier à plus de 11 anneaux serait dans l’obligation de compléter le tableau de Louis Gros, qui s’étend déjà sur plus de 80 pages :
J’avoue que si l’on ne pouvait employer la théorie que de cette manière, il vaudrait mieux y renoncer : on serait donc obligé se s’astreindre à avoir toujours son tableau numérique à côté de son baguenodier et à le feuilleter à chaque fois que l’on se serait arrêté, et que l’on aurait eu la moindre distraction. (Gros 1872a : 111)
On est alors amené à s’interroger sur les points suivants :
- comment, à partir d’une position quelconque du baguenodier, peut-on traduire directement sa représentation schématique par sa représentation symbolique binaire sans avoir recours au tableau ?
- sachant que si l’on monte le baguenodier on ajoute 1 à la représentation symbolique binaire de la position dans laquelle est le casse-tête et que si on le démonte on soustrait 1, comment obtenir – une fois l’opération effectuée – la représentation schématique correspondante permettant de placer le casse-tête dans la bonne position ? (Remarquons qu’ici il s’agit de commencer à mener des calculs sur les nombres binaires – en tant que représentants symboliques binaires des états du baguenodier –, porteurs de sens vis-à-vis de la question posée.)
Les réponses à ces questions sont apportées par Louis Gros à partir de la page 16 de son Traité (il présente la théorie arithmétique du baguenodier avant le tableau). Elles résultent d’un examen méthodique des différentes possibilités qui peuvent se présenter dans une position quelconque du baguenodier, relatif à un anneau n et aux relations qu’il noue avec son prédécesseur et/ou ses successeurs, car « Pour connaître la valeur d’un anneau, il faut faire attention à la position et à la valeur de l’anneau qui le précède immédiatement et à la position de l’anneau dont on veut connaître la valeur » (Gros 1872a : 152). La question 1) posée ci-dessus revient alors à savoir comment attribuer le symbole 1 ou le symbole 0 aux différents anneaux du baguenodier quand il est dans une position quelconque – afin d’obtenir sa représentation symbolique binaire – et que l’on cherche à savoir quel changement opérer par la suite.
Différents cas de figure sont à analyser selon : si un anneau n est élevé ou abaissé, si c’est le dernier anneau qui a été touché ou non et si l’anneau n − 1 est élevé ou abaissé. Ils sont représentés par la figure 28.
Figure 28 : Les 8 cas de figure selon : si l’anneau n est élevé ou non, s’il est le dernier anneau à avoir été touché et si l’anneau n − 1 est élevé ou abaissé.
© L.R
Prenons le cas où l’anneau n est élevé (partie haute de la figure 28) : ou bien c’est le dernier anneau qui a été touché (il vient d’être élevé) ou bien l’anneau n + 1 a été touché après lui (car, par la condition nécessaire et suffisante, pour toucher l’anneau n + 1 il faut et il suffit que l’anneau n soit élevé et tous les autres anneaux inférieurs soient abaissés). Dans le cas où l’anneau n est le dernier anneau à avoir été élevé, il sera représenté par 1, car il n’a été touché qu’une seule fois pour être élevé (toujours dans l’idée qu’on part du baguenodier entièrement démonté et qu’on cherche à le monter). À partir de là, deux options sont possibles : ou bien l’anneau adjacent inférieur n − 1 est élevé, ou bien il est abaissé :
- s’il est élevé, c’est qu’il n’a pas été touché depuis que l’anneau n a été monté (car pour toucher l’anneau n, l’anneau n − 1 doit nécessairement être élevé), il a donc la valeur 0 ;
- s’il est abaissé, c’est qu’on a opéré sur lui après que n ait été élevé, il prend donc la valeur 1.
Ainsi :
- si l’anneau n vient d’être élevé et a la valeur 1, alors l’anneau n − 1 élevé vaut 0 ;
- si l’anneau n vient d’être élevé et a la valeur 1, alors l’anneau n − 1 abaissé vaut 1.
Admettons maintenant que l’anneau n est élevé, mais pour avoir permis de lever l’anneau n + 1 (deuxième branche possible à partir de n élevé sur la figure 28), il prend donc la valeur 0 (car il n’a pas été touché depuis que l’anneau n + 1 a été élevé). Là encore, deux options sont possibles pour l’anneau n − 1, ou bien il est élevé, ou bien il est abaissé :
- s’il est élevé, c’est qu’on l’a touché juste après l’élévation de l’anneau n + 1, il prend donc la valeur 1 ;
- s’il est abaissé, c’est qu’on ne l’a pas touché depuis que l’anneau n + 1 a été élevé (car pour toucher l’anneau n + 1, il faut que l’anneau n soit élevé et tous les anneaux de rangs inférieurs soient abaissés), il prend donc la valeur 0. Ainsi :
- si l’anneau n élevé a la valeur 0, alors l’anneau n − 1 élevé vaut 1 ;
- si l’anneau n élevé a la valeur 0, alors l’anneau n − 1 abaissé vaut 0.
4Les quatre possibilités pour les valeurs des anneaux n et n − 1 selon si l’anneau n, qui est élevé, est le dernier anneau touché ou non peut se schématiser par la figure 29 :
Figure 29 : Valeurs représentant les anneaux n et n − 1 selon si l’anneau n, qui est élevé, est le dernier anneau touché ou non.

© L. R.
Un raisonnement similaire s’applique dans le cas où l’anneau n est abaissé (partie basse de la figure 28). Ou bien il a la valeur 1, car on vient d’y toucher après avoir élevé l’anneau n + 1, ou bien il a la valeur 0, car il n’a pas été touché depuis que l’anneau n + 2 a été élevé (en effet pour élever l’anneau n + 2, il faut que l’anneau n + 1 soit élevé et tous les anneaux de rangs inférieurs, dont n, soient abaissés). Si l’anneau n abaissé a la valeur 1, alors l’anneau n − 1 peut être lui aussi abaissé, il prend la valeur 1 (car cela signifie qu’on vient d’y toucher après avoir abaissé l’anneau n) ou alors il peut être élevé, il prend dans ce cas la valeur 0 (car cela signifie qu’on n’y a pas touché après avoir abaissé l’anneau n). Si l’anneau n abaissé a la valeur 0, alors l’anneau n − 1 peut être lui aussi abaissé, il prend la valeur 0 (car cela signifie qu’on n’y a pas touché depuis que l’anneau n + 2 a été élevé) ou alors il peut être élevé, il prend dans ce cas la valeur 1 (car cela signifie qu’il a été touché depuis que l’anneau n + 2 a été élevé). Ainsi :
- si l’anneau n abaissé a la valeur 1, alors l’anneau n − 1 élevé vaut 0 ;
- si l’anneau n abaissé a la valeur 1, alors l’anneau n − 1 abaissé vaut 1 ;
- si l’anneau n abaissé a la valeur 0, alors l’anneau n − 1 élevé vaut 1 ;
- si l’anneau n abaissé a la valeur 0, alors l’anneau n − 1 abaissé vaut 0.
Les huit règles énoncées correspondent aux combinaisons possibles selon les positions respectives et les valeurs des anneaux n et n − 1 et selon si l’anneau n est le dernier anneau à avoir été touché ou non ; elles peuvent se résumer par le schéma de la figure 30 :
Figure 30 : Valeurs des anneaux n et n − 1 selon leur position respective, et selon si l’anneau n est le dernier a avoir été touché ou non.

© L. R.
Elles permettent alors de répondre à la question 2) que nous avons évoquée précédemment grâce à la généralisation suivante (figure 31) :
Figure 31 : Règle pour attribuer un 1 ou un 0 à un anneau selon s’il est élevé ou abaissé.

(Gros 1872a : 18)
En effet, si l’on regarde par exemple la première branche du schéma de la figure 30, l’anneau n élevé a pour valeur 1 et l’anneau n − 1, élevé également, a pour valeur 0 (il y a eu changement de chiffre, car l’anneau n − 1 est élevé) alors que si l’anneau n − 1 est abaissé, il a pour valeur 1 (il y a conservation du chiffre employé au rang n). Il faut comprendre chez Louis Gros « rang précédent » par « rang supérieur », car on lit le nombre de gauche à droite.
Ces deux nouvelles propriétés permettent alors à Louis Gros de traduire directement un état du baguenodier modélisé par une représentation schématique à l’aide de points hauts et bas en une représentation symbolique binaire. Par exemple, la représentation symbolique binaire de la position d’un baguenodier à 5 anneaux où tous les anneaux sont montés, soit • • • • •, est 10101. En effet, le 5e anneau est élevé (et il n’y a pas d’anneau supérieur), il prend la valeur 1. Le 4e anneau étant élevé, il prend la valeur 0 (on n’y a pas touché depuis que le 5e a été élevé). Le 3e anneau étant élevé et le 4e élevé valant 0, il prend la valeur 1. Le 2e anneau, élevé, prend la valeur 0 (car le 3e est élevé avec la valeur 1), et enfin, le 1er anneau prend la valeur 1 (car il a été élevé après que 3e a été élevé).
Dans le cas évoqué au chapitre 2, dans lequel les élèves ont souvent l’impression d’être bloqués car ils ne peuvent plus immédiatement abaisser d’anneau, le baguenodier se schématise ainsi : • • • • • (figure 24). Pour représenter cette position symboliquement dans le système binaire, on attribue 1 à l’anneau élevé le plus à gauche, qui est ici le 5e anneau. Le 4e étant abaissé, on conserve la valeur du 5e, donc le 4e anneau sera représenté par un 1 également. Le 3e anneau étant élevé, on change la valeur du chiffre précédent, donc le 3e anneau sera représenté par un 0. Il en est de même pour les 2e et 1er anneaux, tous deux abaissés, on conserve ainsi la valeur 0 du 3e anneau. La représentation binaire correspondant à la position • • • • • est donc 11000.
Ce nombre, traduit dans le système décimal, est égal à : (11000)2 = 1 × 24 + 1 × 23 = 16 + 8 = 24, qui correspond à la fois au nombre de changements qu’il reste à effectuer pour entièrement démonter le baguenodier, mais aussi au nombre de changements qui ont été effectués pour arriver à cette position si l’on monte le baguenodier (cette valeur se vérifie dans le tableau de Louis Gros, à la page 25).
Bien évidemment, la traduction en sens inverse est également possible, c’est-à-dire qu’à partir de la représentation symbolique binaire, on peut déduire la représentation schématique de la position du baguenodier correspondante. Par exemple, à partir de la position précédente (figure 24), qui se représente par 11000 en binaire, si l’on souhaite démonter le baguenodier, il faudra soustraire 1 à 24, donc obtenir 23. Le nombre 23 dans le système décimal s’écrit 10111 dans le système binaire, car (23)10 = 16 + 4 + 2 + 1 = 1 × 24 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = (10111)2. Ensuite, on applique les règles de changement ou de permanence de chiffre mentionnées ci-dessus, sachant que le premier 1 à gauche du nombre correspond à un anneau élevé : s’il y a un changement de chiffre au rang inférieur, c’est que l’anneau inférieur est élevé, et s’il y a permanence du chiffre au rang inférieur, c’est que l’anneau inférieur est abaissé. Pour 10111, le premier 1 à gauche signifie que le 5e anneau est élevé, le 0 indique un changement de chiffre au 4e rang, donc le 4e anneau doit être élevé, le 1 indique ensuite un changement de chiffre au 3e rang, donc le 3e anneau est aussi élevé. Enfin, les deux 1 restants indiquent une permanence des chiffres aux rangs 1 et 2, donc ils sont abaissés. On obtient alors la position • • • • • ce qui signifie qu’il faut élever le 4e anneau pour continuer à démonter le baguenodier (ce qui peut se vérifier également dans le tableau).
Cette « conversion » de la représentation schématique avec des points hauts et bas en une représentation symbolique binaire revient en réalité à faire une traduction d’un nombre exprimé dans le système binaire réfléchi à un nombre exprimé dans le système binaire normal, et vice-versa. Nous l’expliquons de façon plus formalisée dans la section suivante, consacrée au système binaire réfléchi.
5À ce stade, quand on souhaite simplement savoir quel anneau il faut toucher pour monter ou démonter le baguenodier à partir d’une position quelconque, il n’est pas vraiment nécessaire de savoir traduire un nombre décimal dans le système binaire (par exemple 23 en 10111 dans l’exemple ci-dessus) ni ensuite de le traduire dans sa représentation schématique. En effet, Louis Gros le précise dans son Traité :
J’ai à proposer un meilleur emploi de la théorie, emploi avec lequel pas n’est besoin de chercher le nombre représenté par le baguenodier, ce que je vais dire est ce qu’il y a de mieux dans mon traité et depuis le commencement de ce chapitre je m’amuse à peloter en attendant cette grande partie. (1872a : 112)
Cet emploi repose sur le fait que pour chaque état du baguenodier représenté symboliquement dans le système binaire par des 0 et des 1, on ne peut toucher que deux anneaux (le premier et un autre), et de ces deux anneaux, l’un est représenté par 1 et l’autre par 0. Maintenant, si l’on touche l’anneau représenté par 1, on démonte le baguenodier (car on transformera alors le 1 en 0, ce qui diminuera la valeur du nombre en question), et si l’on touche l’anneau représenté par 0, on monte le baguenodier. Ces considérations permettent dans un premier temps de ne pas effectuer trop de conversions dans les différents systèmes de numération, et de pouvoir commencer à travailler sans le tableau, tout en pouvant régulièrement s’y référer pour vérifier ses conjectures. Nous verrons dans un instant comment introduire des questionnements intéressants pour une classe, qui permettent au contraire de travailler plus en profondeur les relations entre le système binaire réfléchi, le système binaire normal et le système décimal.
Avant cela, nous présentons brièvement une autre façon de voir les choses, expliquée par Louis Gros dans son Traité à partir de la page 114, qui consiste dans un premier temps à découper artificiellement le baguenodier en « tranches » d’anneaux élevés et abaissés. Une tranche est constituée d’un anneau élevé et de tous les anneaux abaissés après lui sur sa droite (vers l’extrémité de la navette). Dès qu’un autre anneau élevé est rencontré, on change de tranche. Par exemple, un baguenodier de 5 anneaux dans la position • • • • • se découpe en 3 tranches : la première (en partant de la droite) composée du 2e anneau élevé et du 1er abaissé, la deuxième composée du 4e anneau élevé et du 3e abaissé, et la troisième tranche composée du 5e anneau élevé (•|• •|• •). Maintenant si l’on veut monter le baguenodier, on agit dans les tranches paires (on agit dans la première tranche paire possible, celle la plus à droite, en montant ou abaissant l’anneau qu’il est possible de toucher), et si l’on veut démonter le baguenodier, on agit dans les tranches impaires (on agit dans la première tranche impaire possible, celle la plus à droite, en montant ou abaissant l’anneau qu’il est possible de toucher). Par exemple, de la position • • • • • si l’on souhaite démonter le baguenodier, on agit dans la première tranche impaire en partant de la droite (celle qui est constituée du 1er anneau abaissé et du 2e anneau élevé) en élevant le premier anneau (car le 2e ne peut être touché en l’état). Cette action permet en effet d’abaisser ensuite le 2e anneau pour abaisser le 1er, pour abaisser le 5e, etc. On retrouve l’enchaînement classique des actions à effectuer sur le casse-tête.
6Les deux questions posées énoncées précédemment par Lucas au sujet, d’une part, de l’ordre et du nombre de changements à effectuer pour passer d’une position quelconque du baguenodier à une autre et, d’autre part, de l’ordre et du nombre minimum de changements des anneaux nécessaire pour monter ou démonter entièrement le baguenaudier trouvent à présent des réponses précises. À partir du tableau et/ou de la règle permettant d’obtenir la représentation symbolique d’une certaine position du baguenodier dans le système binaire, on sait que le nombre binaire en question, traduit dans le système décimal, détermine le nombre de changements qu’il reste à effectuer si l’on souhaite démonter complètement le baguenodier. Par exemple, pour démonter un baguenodier de 3 anneaux, on souhaite passer de la position initiale montée 101 à la position finale démontée 000. Dans le système décimal, ce nombre correspond à (101)2 = 1 × 22 + 1 × 20 = (5)10. C’est le nombre de changements minimum pour démonter (ou monter) un baguenodier de 3 anneaux. Pour un baguenodier de 4 anneaux, il faudra (1010)2 = 1 × 23 + 1 × 21 = (10)10 changements, pour un baguenodier de 5 anneaux, il faudra (10101)2 = 1 × 24 + 1 × 22 + 1 × 20 = (21)10 changements, pour un baguenodier de 6 anneaux, il faudra (101010)2 = 1 × 25 + 1 × 23 + 1 × 21 = (42)10 changements, pour un baguenodier de 7 anneaux, il faudra (1010101)2 = 1 × 26 + 1 × 24 + 1 × 22 + 1 × 20 = (85)10 changements, etc. On remarque que le nombre de changements est à chaque fois doublé quand on passe d’un baguenodier avec un nombre impair d’anneaux à un baguenodier avec un nombre pair d’anneaux, et doublé puis additionné de un quand on passe d’un baguenodier avec un nombre pair d’anneaux à un baguenodier avec un nombre impair d’anneaux. Lucas fournit alors deux formules, selon la parité de n pour déterminer Pn le nombre de déplacements nécessaires pour monter ou démonter le baguenodier de n anneaux :
En général, si l’on désigne par Pn le nombre de déplacements nécessaires pour monter ou pour démonter le baguenaudier de n anneaux, on a, pour n pair égal à 2 k,
et pour n impair égal à 2 k + 1,
.
[Qu’il résume par] Pn est toujours égal au plus grand nombre entier contenu dans le tiers de 2n+1. (Lucas 1882 : 180)
En effet, pour un baguenodier à 7 anneaux, on retrouve bien
changements.
Lucas répond ensuite au problème général sur le nombre de déplacements à opérer pour passer d’une disposition quelconque à une autre dans la marche ordinaire :
[…] on écrit les deux positions dans le système binaire, on prend la différence ; puis on transforme ce nombre dans le système décimal ; on obtient ainsi le nombre minimum de déplacements pour passer de l’une position à l’autre position. On effectuera ce changement en montant ou en démontant le baguenaudier, suivant que le premier nombre de la notation est plus petit ou plus grand que le dernier. (Lucas 1880 : 39)
Par exemple, prenons le cas où le baguenodier est situé dans cette position : • • • • • et qu’on cherche le nombre de changements qu’il faut effectuer pour arriver à la position • • • • • Commençons par représenter ces deux positions dans le système binaire, en appliquant les règles de changement et de permanence des chiffres : • • • • • se traduit par 11001, et • • • • • se traduit par 1111. On convertit ensuite ces deux nombres dans le système décimal : (11001)2 = 16 + 8 + 1 = (25)10 et (1111)2 = 8 + 4 + 2 + 1 = (15)10, et l’on soustrait les deux nombres décimaux obtenus (cela revient au même que de soustraire les nombres en binaire et de convertir ensuite en décimal). On obtient 10, qui est le nombre de changements nécessaires pour passer de la position • • • • • à la position • • • • • et vice-versa. Étant donné que le nombre décimal (et binaire) correspondant aux deux positions données diminue, cela signifie qu’on est amené à démonter le baguenodier pour passer du premier au second. Il est intéressant de noter qu’ici, il ne s’agit plus simplement de représentations symboliques binaires, mais bien de nombres binaires (et décimaux) avec lesquels sont menés des calculs porteurs de sens selon la situation donnée, et disponibles pour d’autres situations.
Avant de proposer quelques pistes d’activités qu’il est possible de mener en classe, en plusieurs séances, sur le baguenodier, nous consacrons la prochaine section au code binaire réfléchi, à sa définition et à ses propriétés mathématiques plus formelles.
Explication du code de Baudot-Gros-Gray (ou code binaire réfléchi)
7L’introduction au code de Baudot-Gros-Gray est devenue aujourd’hui un chapitre incontournable des cours d’informatique, car il est essentiel de maîtriser les différents systèmes de numération sous toutes leurs formes, notamment ceux mobilisant le binaire. Il est remarquable de noter que certains domaines mathématiques qui étaient autrefois travaillés en dehors des sphères académiques ou universitaires (comme l’arithmétique ou la théorie des nombres à la fin du xixe siècle par exemple), sont devenus par la suite des fondamentaux de l’informatique moderne et des disciplines qui en découlent (comme la cryptographie par exemple). En un sens, on peut dire que Louis Gros, avec son tableau numérique et sa solution pour résoudre le baguenodier, a ainsi fait progresser les bases mathématiques de la future informatique, et même avant cela les télécommunications, le code ayant été utilisé de manière concrète dans ce domaine à la fin du xixe siècle. On souligne alors l’importance du « processus d’émergence des idées mathématiques […] plutôt que la connaissance de la succession des événements et des faits historiques pour eux-mêmes » (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 360).
8Cette section permet de présenter de manière concise comment est traité le code de Baudot-Gros-Gray aujourd’hui, mais également de montrer comment l’abstraction permet la concision. En effet, après la présentation de la solution de Louis Gros en début de chapitre, qui répond à un problème bien précis – sans application à une échelle plus globale – nous verrons que la généralisation du code montré par Louis Gros dans ses schémas ouvre le champ à la résolution de problèmes appliqués plus généraux.
9Au sens large du terme, un code de Gray est une écriture qui permet de symboliser les nombres entiers par une notation positionnelle telle que deux nombres adjacents ne diffèrent que d’un seul chiffre à une position donnée, et que la valeur absolue de la différence entre ces deux chiffres est 1. Par exemple, dans le code de Gray à base décimale, les nombres 193 et 183 pourraient être adjacents (car seuls les chiffres des dizaines diffèrent, de 1), mais pas les nombres 193 et 173 (la différence entre 9 et 7 est 2) ni les nombres 134 et 143 (car il y a deux chiffres qui diffèrent à deux positions différentes). Il existe en fait une infinité de codes de Gray, car ils peuvent s’appliquer à n’importe quelle base de numération. Cependant, le plus simple de tous est le code de Gray en base 2 ; c’est celui qui correspond au code montré par Louis Gros dans son Traité, représenté non pas par des 0 et des 1, mais par la schématisation des positions du baguenodier que nous avons vue précédemment, avec des points hauts et bas. Dans la suite du texte, nous utiliserons indifféremment le terme « code de Gray » ou « code de Baudot-Gros-Gray » ou « code binaire réfléchi » (nous expliquons plus loin pourquoi l’adjectif « réfléchi » est employé) pour désigner le « code de Gray en base 2 ».
10Comme tout code binaire, le code de Gray se limite à l’utilisation de deux symboles : 0 et 1. Ainsi, pour générer les nombres de deux chiffres avec seulement 0 et 1, on obtient les 22 = 4 nombres suivants : 00, 01, 10 et 11. Rangés dans cet ordre, ces quatre nombres ne forment pas un code de Gray, car pour passer de 01 à 10, deux chiffres ont changé. Le code pourrait alors être : 00, 01, 11, 10 ou encore 00, 10, 11, 01 (nous verrons plus loin que le code binaire réfléchi vérifie des propriétés particulières qui rendent l’ordre du code unique). Pour un code de Gray avec des nombres à trois chiffres, on pourrait avoir (par exemple) les 23 = 8 nombres suivants rangés dans cet ordre : 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100. Le code de Gray est ainsi cyclique, car on peut retourner de 100 à 000 en une étape. Ces codes peuvent se représenter à l’aide de graphes sur lesquels on se déplace d’un sommet à un autre par une arête (comme il y a plusieurs chemins possibles dans un graphe pour se déplacer d’un sommet à un autre tout en restant sur les arêtes, il y a plusieurs codes possibles).
Figure 32 : Graphes correspondant aux codes de Gray à un chiffre (0 et 1), deux chiffres (00, 10, 11, 01) et à trois chiffres (000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100).

© L. R.
Ces chemins sont appelés des chemins hamiltoniens et les codes binaires de Gray à n chiffres correspondent en fait aux chemins hamiltoniens sur des hypercubes7 de dimension n. La figure 32 représente les chemins possibles sur des hypercubes de dimensions respectives 1, 2 et 3 (les dimensions les plus classiques) et sur un hypercube de dimension 4, cela donne la figure 33 :
Figure 33 : Trajet possible sur un hypercube de dimension 4 pour un code de Gray binaire à quatre chiffres : 0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001, 1000. On remarque qu’il y a 24 = 16 nombres composant ce trajet.

Refaite d’après J.-P. Delahaye, « Voyageurs et baguenaudiers », Pour la Science no 238, p. 100-104, août 1997, p. 101.
Pour générer par récurrence un code de Gray unique, deux principes doivent être respectés :
- le code de Gray de 0 est 0 ;
- si l’on connaît le code de Gray des 2 n premiers entiers, noté Gn, celui des 2n+1 suivants, noté Gn+1, est obtenu, d’une part, en leur ajoutant un 0 à gauche et, d’autre part, en les reprenant en ordre inverse (d’où le code dit « réfléchi ») et en les faisant chacun précéder d’un 1. On concatène ensuite ces deux nouvelles listes (Delahaye 1997 : 102).
Par exemple, à partir de la liste des 4 nombres composant G2 : 00, 01, 11 et 10 :
- on ajoute un 0 à gauche : 000, 001, 011, 010 (on obtient le début du code G3) ;
- on réfléchit l’ordre de la liste initiale : 10, 11, 01, 00 ;
- on ajoute 1 à gauche : 110, 111, 101, 100 (on obtient la fin du code G3) ;
- on concatène les deux listes en gras : 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100.
On retrouve bien le parcours sur l’hypercube de dimension 3 représenté à la figure 32.
Ainsi, le processus itératif pour générer Gn+1 à partir de Gn (avec G0 = (Λ) la chaîne de caractères vide, et G1 = (0, 1)) permet de dégager les propriétés suivantes, caractéristiques du code binaire réfléchi :
- Gn est une permutation des nombres 0, 1, …, 2 n − 1 (chaque nombre apparaît une seule et unique fois dans la liste).
- Gn est intégré dans la première moitié de la liste de Gn+1 (le 0 à gauche n’étant pas réellement important).
- Le code est stable dans la mesure où dès qu’un nombre binaire apparaît dans Gn, il apparaît à la même position dans toutes les autres listes de taille supérieure.
- Chaque nombre dans Gn ne diffère que d’un seul chiffre par rapport à son précédent.
- Le dernier nombre du code Gn ne diffère que d’un seul chiffre par rapport au premier.
Voyons à présent comme passer d’un nombre écrit dans le système binaire classique à son équivalent dans le code de Gray, et vice-versa, pour faire le lien avec ce que nous venons de voir avec le baguenodier, le tableau de Louis Gros et sa règle sur la permanence et le changement de chiffre.
Pour convertir un nombre binaire standard dans le code de Gray, on commence par garder le premier 1 en partant de la gauche. Ensuite, si le chiffre du nombre binaire au rang i (en partant de la gauche, pas comme pour le baguenodier) est identique à celui du rang i − 1 alors le nouveau chiffre au rang i dans le code de Gray sera 0. Sinon, si le chiffre du nombre binaire au rang i est différent de celui au rang i − 1 alors le nouveau chiffre au rang i dans le code de Gray sera 1. Par exemple, le nombre décimal 14 s’écrit 1110 en binaire (car 14 = 8 + 4 + 2). En partant de la gauche, le chiffre du premier rang vaut 1, celui du 2e rang vaut 1, celui du 3e rang vaut 1 et celui du 4e rang vaut 0. Pour convertir 1110 dans le code de Gray, on garde le premier 1 à gauche. Le deuxième chiffre sera un 0, car le premier et le second chiffre de 1110 sont identiques, de même pour le troisième chiffre qui sera aussi un 0. Enfin, le quatrième chiffre sera un 1, car le troisième et quatrième chiffre dans 1110 sont différents. Ainsi, 1110 en binaire normal s’écrit 1001 dans le code de Gray.
Si l’on souhaite à présent convertir un nombre écrit dans le code de Gray en son équivalent dans le système binaire classique, on commence par garder le premier 1 en partant de la gauche. Puis, le chiffre à la position i dans le nombre binaire cherché sera la somme modulo 2 des chiffres du nombre binaire dans le code de Gray jusqu’au chiffre i. En appliquant cette procédure à 1001 on obtient bien le nombre binaire initial : 1110, soit 14 en décimal. En effet, le 1 en deuxième position est la somme modulo 2 du 0 et du 1 en première et deuxième positions du code de Gray (toujours en partant de la gauche), de même pour le 1 en troisième position, qui est la somme modulo 2 des trois premiers chiffres de 1001 et qui donne 1. Enfin, le 0 en quatrième position est la somme modulo 2 des quatre chiffres composant 1001, soit la somme des deux 1 en première et quatrième position du code de Gray, ce qui donne bien 0.
11Voilà donc les éléments théoriques mathématiques présents dans le manuscrit de Louis Gros (même si non formalisés de la sorte) et que nous avons réexpliqués de façon plus concise et moderne. Nous proposons à présent de voir comment ces données peuvent être mobilisées en activité en classe, ou en animation scientifique, par petits groupes de jeunes (12-15 au maximum, car au-delà, il faudrait non seulement se procurer un grand nombre de baguenodiers, mais il serait également difficile de pouvoir donner individuellement des indications aux élèves quand ils sont bloqués ou quand ils posent des questions).
Quelques pistes d’activités à mener en classe avec le baguenodier
12Nous l’avons vu au chapitre 2, le fonctionnement du baguenodier peut être compris sur un temps de découverte relativement court : entre 15 et 30 minutes suffisent pour appréhender l’objet, réussir à abaisser quelques anneaux au hasard (bien souvent, les personnes interrogées sur la façon dont elles ont réussi à atteindre telle ou telle position du baguenodier sont incapables d’expliquer comment elles y sont parvenues !), et comprendre l’objectif final à atteindre (le démontage complet du casse-tête). Cette activité de découverte peut être envisagée à n’importe quel niveau scolaire, n’importe quelle tranche d’âge d’élèves et d’adultes. Elle ne nécessite aucun prérequis, si ce n’est un minimum d’intérêt et de patience pour aborder le problème dans le calme. Elle peut être programmée à la fin d’une séance qui portait sur un thème tout à fait différent. Au terme de cette activité, le vocabulaire relatif au baguenodier peut être introduit, de sorte qu’au cours de la prochaine séance, il puisse être réactivé et que tout le monde mobilise les mêmes termes : la navette, le rang des anneaux, élever un anneau, abaisser un anneau, toucher un anneau, monter le baguenodier, démonter le baguenodier, faire un changement. Ce vocabulaire se retrouve clairement décrit au début du Traité de Louis Gros, pages 9-10 et a été rappelé au chapitre 1.
En complément de cette phase de découverte, il est intéressant de programmer une séance d’approfondissement, plus guidée, pour permettre aux élèves de se concentrer davantage sur les actions qu’ils font sur le baguenodier et pourquoi ils peuvent les faire ; dans le cadre du stage Maths C2+ de Lyon en juin 2019, nous avons orienté la recherche des élèves en leur demandant d’essayer de trouver une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir toucher (élever ou abaisser) un anneau quelconque. Une fois l’euphorie et l’excitation d’avoir réussi à abaisser un nouvel anneau retombées, les élèves ont réussi à trouver la condition nécessaire et suffisante qui consiste à pouvoir toucher l’anneau n si et seulement si l’anneau n − 1 est élevé et tous les anneaux de rangs inférieurs abaissés. En l’appliquant scrupuleusement, tous ont été capables, a minima, de démonter entièrement le baguenodier de 5 anneaux sans trop d’aide, et pour certains de le remonter.
Récemment, les potentialités mathématiques du baguenodier ont été exploitées dans un des sujets de 2015 des Olympiades académiques organisées chaque année par l’APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public) pour des élèves en classe de première (toutes séries)8 ; un exercice sur le « baguenaudier » a été proposé dans la deuxième partie par l’académie de Créteil et s’adressait à toutes les sections de premières (générales et technologiques). L’énoncé et les questions posées constituent une bonne approche de la théorie du baguenodier, qui pourrait être alors exploitée en classe, après avoir consacré un peu de temps aux séances de découverte et d’approfondissement que nous avons présentées au début du chapitre 2. En effet, l’énoncé donne d’emblée la condition nécessaire et suffisante qu’il faut respecter pour pouvoir toucher un anneau, alors qu’elle peut faire l’objet d’un premier travail sur le baguenodier avec manipulations à l’appui9.
Une troisième séance pourrait ensuite être consacrée à la représentation schématique des états du baguenodier en adoptant la modélisation, somme toute assez intuitive, de Louis Gros avec des points hauts et bas de part et d’autre d’une ligne horizontale symbolisant la navette. Cette représentation schématique permettrait de travailler les propriétés du code de Baudot-Gros-Gray – sans qu’il soit nécessairement introduit de la sorte – en remarquant que :
- dans un état quelconque du baguenodier, il n’est possible d’agir que sur deux anneaux distincts ;
- de ces deux anneaux, l’un est abaissé (et l’on peut l’élever) et l’autre est élevé (et l’on peut l’abaisser).
Ces particularités peuvent être rendues explicites dans des consignes données aux élèves leur demandant par exemple de représenter schématiquement les différentes étapes nécessaires au démontage d’un baguenodier de 3 anneaux ou de 5 anneaux, ou encore en leur demandant, à partir d’une position quelconque donnée d’un baguenodier à 7 anneaux de déterminer les deux positions qu’il est possible d’atteindre selon l’anneau qu’on touche. Par exemple : « À partir de la position • • • • • • • représenter les mouvements possibles à l’étape suivante. » La représentation schématique les aidera à visualiser le fait que dans le passage d’un état à un autre du baguenodier, un anneau et un seul a été touché (tout comme dans le code de Baudot-Gros-Gray). Cette activité trouverait sa place auprès de jeunes de 14-15 ans, en fin de cycle 4 ou au début du lycée (nous donnons plus loin un tableau récapitulatif des séances proposées avec leur durée, leur contenu, le public visé et les prérequis nécessaires).
Enfin, une dernière séance avec des élèves en classe de première, a minima, consisterait à leur présenter comment traduire les états du baguenodier à partir de leur représentation schématique dans le système binaire (c’est-à-dire comment passer d’un nombre exprimé dans le code de Baudot-Gros-Gray à sa traduction dans le code binaire classique). Le codage consiste à expliquer – comme nous l’avons fait précédemment – que l’anneau élevé le plus à gauche prend la valeur 1, puis que tout anneau élevé entraîne un changement de valeur et que tout anneau abaissé entraîne une permanence de valeur par rapport à l’anneau précédent. Ensuite, transcrire ce nombre binaire dans le système décimal permet de donner le nombre de changements qu’il reste à faire pour démonter complètement le baguenodier. Par exemple, en travaillant sur les différentes étapes nécessaires au démontage d’un baguenodier à 3 anneaux, on trouve que la position initiale • • • requiert (101)2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (5)10 changements au total. Une fois que le premier anneau est abaissé (car si l’on abaisse le 2e, on sera bloqué pour toucher le 3e), la position • • • indique qu’il reste (100)2 soit (4)10 changements à effectuer, etc. Pour aller plus loin, il est possible alors de constater que pour trouver le nombre de changements à effectuer entre deux positions quelconques du baguenodier, il faut soustraire les deux nombres décimaux, traduits en décimal à partir de l’écriture binaire, des deux états donnés (le plus petit des deux nombres soustrait du plus grand). Par exemple, si l’on souhaite savoir combien de changements sont nécessaires pour passer de l’état A • • • • • • • (baguenodier à 7 anneaux) à l’état B • • • • • • • on traduit l’état A en binaire puis en décimal : (0010001)2 = (17)10, puis l’état B en binaire puis en décimal : (1010011)2 = (83)10. La différence des deux nombres est 83 − 17 = 66, qui correspond au nombre de changements nécessaires pour passer de l’état A à l’état B. De la même façon, on peut déterminer combien de changements seront nécessaires pour passer d’un baguenodier de 7 anneaux entièrement monté à un état entièrement démonté, soit de (1010101)2 = (85)10 à (0000000)2 = (0)10 : 85 changements. De même pour un baguenodier à 8 anneaux, on aura (10101010)2 = (170)10 changements à effectuer. Ces résultats peuvent être généralisés à n’importe quel nombre d’anneaux selon s’il est impair, ni, ou pair, np. En réécrivant (1010101)2 = (85)10 = 26 + 24 + 22 + 20 = (1 + 41 + 42 + 43) (ou encore (10101010)2 = (170)10 = 27 + 25 + 23 + 21 = 2(1 + 41 + 42 + 43)), calculer Sni ou Snp revient à calculer la somme des termes d’une suite géométrique de raison q = 4, de terme initial U0 = 1 (pour n impair, ni) ou U0 = 2 (pour n pair, np). Dans le cas général, on a :
. Pour un nombre d’anneaux n impair :
, et l’on retrouve pour un baguenodier à 7 anneaux :
changements. Pour un nombre d’anneaux n pair :
, et l’on retrouve pour un baguenodier à 8 anneaux :
changements. On constate alors que le nombre de changements double à chaque fois que l’on ajoute un anneau : si le nombre d’anneaux du baguenodier est pair, on double le nombre de changements précédent, et si le nombre d’anneaux est impair, on double le nombre de changements précédent et l’on ajoute 1 (pour 1 anneau, on fait 1 changement ; pour 2 anneaux, on fait 2 changements ; pour 3 anneaux, on fait 5 changements ; pour 4 anneaux, on fait 10 changements ; pour 5 anneaux, on fait 21 changements, etc.). L’intérêt de la manipulation du baguenodier permet de vérifier assez rapidement (pour des petites valeurs) si les calculs sont corrects ou non.
Nous avons résumé l’ensemble des activités qu’il est possible de proposer à un groupe composé de 12-15 jeunes élèves (ou d’adultes) maximum dans le tableau ci-dessous, selon les descriptions que nous avons faites précédemment.
| Séance 3 « Représentation » | Séance 4 « Codage » |
Contenu abordé | – réactiver le vocabulaire et la condition nécessaire et suffisante pour toucher l’anneau n par rapport à la position des autres anneaux (5 minutes) ; – modéliser les états du baguenodier avec les points hauts et bas (10 minutes) ; – l’utiliser pour représenter toutes les étapes nécessaires au démontage d’un baguenodier de 3 (et 5) anneaux (25-30 minutes) ; – remarquer qu’un anneau et un seul a été touché à chaque mouvement (10 minutes). | – réactiver ce qui a été vu dans la séance 3 (5-10 minutes) ; – traduire l’état du baguenodier en binaire (anneau élevé = changement de chiffre, anneau abaissé = permanence du chiffre) (15 minutes) ; – montrer que le nombre binaire traduit en décimal donne le nombre de changements qu’il reste à effectuer (20 minutes) ; – généraliser le résultat à un nombre quelconque d’anneaux (10 minutes). |
| Niveau Âge minimum | Fin de cycle 4 14-15 ans | Lycée 15-16 ans |
Prérequis | Séances 1 et 2 | Séances 1, 2, 3 et connaître le système binaire |
Temps conseillé | 55 minutes | 55 minutes |
Il est à noter que les séances 3 et 4 n’en sont encore qu’au stade théorique, n’ayant pas encore été testées en réalité.
13En complément et approfondissement de la séance 4, il est également possible de réfléchir aux nombres de changements qui ont été faits sur chaque anneau pour amener le baguenodier à un état quelconque ; la moitié des changements a été faite sur le premier anneau, car on le touche une fois sur deux, le quart des changements a été fait sur le deuxième anneau, etc. Pour obtenir des nombres entiers et éviter de travailler avec des quarts de changements, il suffit d’arrondir en gardant en tête que pour un anneau élevé, le nombre de changements doit être impair et que pour un anneau abaissé, le nombre de changements doit être pair (voir le Traité de Louis Gros à partir des pages 95-96). Par exemple, pour démonter un baguenodier de 5 anneaux en partant de la position initiale où tous les anneaux sont élevés, on sait qu’il faudra effectuer (10101)2 = (21)10 changements, mais on peut détailler le calcul, et dire que le premier anneau sera touché 21/2 =11,5 soit 11 fois, le second anneau sera touché 21/4 = 5,25 soit 5 fois, le troisième anneau sera touché 21/8 = 2,625 soit 3 fois, le quatrième anneau sera touché 21/16 = 1,3125 soit 1 fois, et enfin le cinquième anneau sera touché 21/32 = 0,65625 soit 1 fois. Ce total fait bien 11 + 5 + 3 + 1 + 1 = 21 changements.
Au sujet de la marche accélérée
14La théorie mise en place par Louis Gros dans son tableau, avec l’apparition du code de Baudot-Gros-Gray, est envisageable seulement parce qu’il considère que pour passer d’un état à un autre du baguenodier, un seul et unique anneau peut être touché. Or, en pratique, ce n’est pas vraiment le cas ; en effet, après quelques manipulations sur le casse-tête, on remarque qu’il est facile d’élever ou d’abaisser simultanément les deux premiers anneaux. C’est d’ailleurs une des raisons avancées par Louis Gros pour expliquer que la théorie n’a pas été découverte avant lui :
Pourquoi cette théorie n’a-t-elle pas été reconnue plus tôt ? c’est, je crois, parce que le premier et le second anneau paraissent s’élever ou s’abaisser tous deux en même temps. (Gros 1872a : 102)
Cela permet notamment de travailler plus rapidement sur le montage ou le démontage du baguenodier, car tous les quatre mouvements (au maximum) ce sont ces deux anneaux qu’il faut toucher ; on peut donc gagner un temps assez considérable dans le cas d’une compétition internationale de démontage de baguenodier ! Lucas appelle cette manœuvre la « marche accélérée » pour la distinguer de la « marche ordinaire » où l’on ne touche qu’un anneau à la fois (Lucas 1880 : 40). La marche accélérée est soumise aux règles suivantes :
- lorsqu’on élève le premier anneau, on doit monter en même temps le second ;
- lorsqu’on a monté les deux premiers anneaux, on doit ensuite baisser le premier. (Lucas 1880 : 40)
Lucas convient que la marche ordinaire – celle qui est considérée par Louis Gros – « est plus commode à considérer théoriquement » (Lucas 1880 : 38), car elle permet la construction du tableau représentant schématiquement les différents états du baguenodier ainsi que leur représentation symbolique binaire. Le fait que la suite des représentations schématiques soit en réalité une expression du code binaire réfléchi de Gray se révèle alors plus évidente, car d’un état à l’autre, un seul anneau (donc chiffre) change, comme nous avons pu le voir précédemment.
Voici alors le début du tableau représenté par Lucas (figure 34), largement inspiré de Louis Gros, des seize premiers coups pour la marche ordinaire et accélérée d’un baguenodier à 7 anneaux :
Figure 34 : Tableau des deux marches du baguenodier pour les seize premiers coups (la colonne n est relative à la marche ordinaire, et la colonne N est relative à la marche accélérée).

(Lucas 1882 : 185)
Le nombre de déplacements pour la marche accélérée est indiqué dans la colonne N du tableau ci-dessus (figure 34). Ce nombre est moindre que celui des déplacements dans la marche ordinaire, car « […] huit coups consécutifs de la marche ordinaire, de 1 à 8, de 9 à 16, correspondent à six dans la marche accélérée » (Lucas 1880 : 40). Par conséquent, les formules pour n (nombre de déplacements dans la marche ordinaire) et N (nombre de déplacements dans la marche accélérée) sont les suivantes (Lucas 1880 : 40) :
[…] si q désigne le quotient et r = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 0 le reste de la division de n par 8, on a le tableau de correspondance
n = 8q + 1, 2 | N = 6q + 1 |
n = 8q + 3, 4, 5 | N = 6q + 2, 3, 4 |
n = 8q + 6, 7 | N = 6q + 5 |
n = 8q | N = 6q |
Lucas donne ensuite une formule générale pour calculer le nombre de déplacements dans le montage ou le démontage accéléré du baguenodier :
Qn [étant] le nombre des déplacements dans le montage ou le démontage accéléré [n étant le nombre d’anneaux du baguenodier] on trouve ainsi, selon que n est impair ou pair, Q2k+1 = 22k, et Q2k = 22k –1 – 1. (Lucas, 1880 : 42)
Dans le cas d’un baguenodier à 5 anneaux, on trouve que le nombre de déplacements pour le démontage accéléré du casse-tête est de Q5 = Q2×2+1 = 22×2 = 24 = 16, alors que pour la marche ordinaire, il faut 21 changements.
Ainsi, bien que beaucoup plus efficace dans la pratique, la marche accélérée du baguenodier ne permet pas de découvrir la relation entre les rangs des anneaux et les exposants des puissances de 2 dans la décomposition des entiers naturels en produit de la forme 2 k × m avec k entier naturel et m entier naturel impair ; c’est ainsi – en gardant rigoureusement en tête que le passage d’un état du baguenodier à un autre ne se fait qu’en touchant un seul anneau – que le code de Baudot-Gros-Gray se dégage des représentations schématiques et a permis à Louis Gros de construire toute sa théorie, illustrant à nouveau comment la symbolisation se révèle constitutive de l’émergence des objets mathématiques eux-mêmes.
Version de résolution du baguenodier en mobilisant la théorie des graphes
15Dans un article récent sur le traitement mathématique du baguenodier à 7 anneaux, Heeffer et Hinz (2017) donnent une interprétation des solutions présentées respectivement par les mathématiciens italiens Luca Pacioli (1445-1517) en 1508, qui adopte la marche normale pour démonter le baguenodier, et Jérôme Cardan (1501-1576) en 1550, qui adopte la marche accélérée, en modélisant le baguenodier par un graphe dont les sommets représentent les états du casse-tête après chaque mouvement (nous présentons en détail les textes de ces deux mathématiciens au sujet du baguenodier dans le chapitre 8). Leur approche diffère de la solution donnée par Gros dans son Traité. Nous en expliquons ici les grandes lignes, pour montrer aux lecteurs comment un simple casse-tête, objet de divertissement, peut dévoiler des aspects mathématiques qui ne seront développés que bien plus tard dans l’histoire de la discipline (la théorie des graphes fut en effet formalisée au début du xxe siècle). L’objectif de Heeffer et Hinz (2017) est de comparer les solutions données respectivement par Pacioli et par Cardan et de pointer dans leurs explications la présence implicite d’une sorte d’algorithme récursif non numérique. Les auteurs définissent un sommet du graphe par une suite de n caractères (n étant le nombre initial d’anneaux au baguenodier), chaque caractère prenant la valeur 1 (si l’anneau est élevé) ou 0 (si l’anneau est baissé). Par exemple, la position initiale (tous les anneaux sont abaissés) d’un baguenodier à trois anneaux est 000. Celle où le 2e anneau est élevé et les deux autres abaissés est 010. Le graphe modélisant l’enchaînement des mouvements pour élever les 3 premiers anneaux se représente ainsi (figure 35) :
Figure 35 : Graphe représentant les différents états du baguenodier pour élever les anneaux par la marche normale. Ici, la position la plus à droite permet ensuite d’élever le 4e anneau.

© L. R.
On visualise clairement la décomposition de chaque changement (au sens où l’entend Louis Gros, un seul anneau à la fois) alors que pour la marche accélérée, qui autorise de toucher simultanément les deux premiers anneaux, le graphe se représente de la sorte (figure 36) :
Figure 36 : Graphe représentant les différents états du baguenodier pour élever les anneaux par la marche accélérée. On remarque le gain dans le nombre de mouvements à effectuer.

© L. R.
Heeffer et Hinz (2017) montrent alors, en exploitant des résultats de récurrence pour compter les longueurs respectives des chemins des deux graphes, c’est-à-dire le nombre de mouvements nécessaires pour arriver à l’état final (tous les anneaux élevés), que la solution donnée par Pacioli pour passer de 0000000 à 1111111 par la marche ordinaire est optimale (il minimise la longueur du chemin entre les deux sommets), même s’il ne mentionne pas dans son texte le nombre de changements nécessaires pour élever tous les anneaux. Il en est de même chez Cardan qui donne les valeurs exactes minimales pour la marche accélérée du baguenodier à 7 anneaux. Heeffer et Hinz (2017) soulignent alors une certaine forme de récursivité non numérique dans la procédure des deux mathématiciens, et bien qu’ils se restreignent à un baguenodier à 7 anneaux, cette dernière peut facilement être étendue à un nombre quelconque d’anneaux.
La théorie des graphes figure à présent dans le programme de l’enseignement optionnel de mathématiques expertes de terminale générale depuis 2020, et une activité sur le baguenodier pourrait être envisagée dans ce cadre pour montrer aux étudiants l’articulation entre des objets issus des récréations mathématiques et des notions mathématiques plus théoriques, dont les applications sont nombreuses.
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16L’utilisation du binaire décrite par Louis Gros dans son Traité manuscrit de 1872 fournit une solution des plus élégantes au casse-tête du baguenodier, et qui plus est inédite, car aucun de ses prédécesseurs n’a pensé à rapprocher les différents états du baguenodier à un code binaire, et à ensuite l’exploiter pour répondre à des questions plus générales sur le casse-tête. L’apparition du code binaire réfléchi n’est certes pas des plus explicites – seulement parce que Louis Gros ne traduit pas un anneau élevé par 1 et un anneau abaissé par 0 – mais la succession des états du baguenodier représentés schématiquement et méticuleusement dans un tableau sur soixante-quatre pages de son Traité, à l’aide de points pour le montage et démontage d’un baguenodier à 11 anneaux (Gros 1972a : 25-88), montre bien les passages d’un nombre du code de Gray à un autre avec un seul changement de chiffre.
17Au moment où Louis Gros termine la rédaction de son Traité manuscrit – il semblerait que ça soit en 1882 (figure 37) – le code binaire réfléchi est également exploité dans un tout autre contexte par Émile Baudot, ingénieur dans le domaine de la télégraphie, qui perfectionne alors considérablement les appareils de transmission existants. Bien évidemment, cette coïncidence est fortuite et il ne faudrait pas se laisser à penser que Baudot ait été un grand pratiquant de la science baguenodière. Quoique…
Figure 37 : Note du 7 février 1882 concernant la publication des Récréations mathématiques de Lucas en 1882. Il semblerait que cette note soit la dernière que Louis Gros ait ajoutée.

(Gros 1872a : 8)
Notes de bas de page
1Nous reprenons ici la définition de « symbole » au sens large du terme, donnée par (Cobb 2000 : 18) et repris dans (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 358), selon lequel les symboles sont des entités concrètes devant être interprétées comme signifiant quelque chose d’autre. Les symboles ne se réduisent donc pas aux signes mathématiques conventionnels mais incluent aussi bien des graphiques, des tableaux, des diagrammes que des notations non standards comme de simples marques sur un papier voire un arrangement physique d’objets.
2Voir (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015) et les références citées pour un résumé de l’histoire de l’algèbre vue comme (r)évolution conceptuelle grâce à une découverte symbolique majeure. La notation littérale algébrique aurait permis de passer du particulier au général, « élevant la science algébrique à un niveau bien supérieur à celui de l’arithmétique ordinaire » (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 359). De manière générale, « les analyses historiques montrent combien ces symbolisations ont été constitutives de l’émergence des objets mathématiques eux-mêmes » (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 358).
3(Lucas 1880 : 38). Lucas emploie plus volontiers le terme « déplacement » que « changement » (terme employé par Louis Gros). Nous employons ici les deux sans distinction.
4Ce sont les seuls éléments importants pour comprendre dans quel état se trouve le baguenodier. Par exemple, la poignée du casse-tête n’est pas représentée sur le papier, car elle n’apporte aucune information utile sur la position des anneaux par rapport à la navette. La représentation schématique avec les points hauts et bas est le choix de Louis Gros, d’autres auraient été envisageables. Par exemple, écrire une suite de nombres représentant les rangs des anneaux, chaque nombre étant placé en indice haut ou en indice bas selon si l’anneau correspondant est élevé ou abaissé : 4 3 2 1 pour •• • •.
5En ce sens, « les symboles mathématiques constituent des signes en tant qu’outils de la communication mathématique », (Vlassis, Fagnant & Demonty 2015 : 361).
6Les chiffres 2 et 10 situés en bas à droite de la parenthèse fermée signifient que le nombre entre parenthèses est exprimé respectivement dans le système binaire et dans le système décimal.
7Dans le langage courant, un cube désigne un prisme (en trois dimensions donc) composé de six faces carrées (donc égales et superposables). En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, on peut construire des figures analogues de dimension n d’un carré (n = 2) et d’un cube (n = 3). On les appelle hypercubes ou n-cubes.
8Les Olympiades touchent environ 20 000 lycéens en France et dans les établissements français à l’étranger. Elles peuvent se concourir individuellement ou par groupe de deux à trois candidats. L’épreuve se déroule sur deux temps de deux heures, avec une pause de dix minutes entre les deux, pour ramasser les compositions de la première partie et distribuer les sujets de la seconde partie. Cette dernière se compose d’exercices sélectionnés par les cellules académiques.
9Voir (Olympiades académiques 2015 : 69-71), disponible en ligne sur : https://www.apmep.fr/Olympiades-2015,7993 [consulté le 09/09/2022].
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