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Chapitre 2
Premières manipulations selon Louis Gros
p. 35-44
Texte intégral
1Les différentes versions de résolution du baguenodier (sans et avec le système binaire) présentées ici sont toutes exposées par Louis Gros dans son Traité, mais nous avons fait le choix de les présenter dans un ordre différent – de la plus simple à la plus aboutie – pour permettre, d’une part, une meilleure compréhension des liens existant entre le baguenodier, le code de Baudot-Gros-Gray (code binaire réfléchi) et le système binaire, et, d’autre part, une progression des activités en classe de difficulté croissante. Le baguenodier constitue en effet un support matériel intéressant pour proposer des situations de recherche aux élèves, sous couvert que les questions posées soient guidées par l’enseignant et ne soient pas laissées à la seule charge des élèves.
Premières manipulations selon Louis Gros
Celui qui ne connaît ni la théorie ni la pratique du jeu croit bien faire d’abaisser d’abord le plus grand nombre possible d’anneaux, puisqu’il s’agit de les abaisser tous : il abaisse donc les deux premiers, puis le quatrième ; mais il a fait trois pas en sens contraire ; s’il continue il arrivera bientôt à avoir la navette engagée au maximum, et il sera arrêté très loin de son but. (Gros 1872a : 105-106)
2La première façon de résoudre le casse-tête du baguenodier, sans avoir recours au système binaire ni au code de Baudot-Gros-Gray, repose sur deux considérations pratiques (vues au chapitre 1) qu’il est possible de déterminer une fois qu’on a eu suffisamment de temps pour manipuler le casse-tête et comprendre son mécanisme. Elles se résument ainsi (figure 18) :
- quelle que soit la position du baguenodier, le premier anneau peut toujours être élevé ou abaissé (son toucher est indépendant de tous les autres anneaux) ;
- pour toucher un anneau de rang quelconque (qu’il soit élevé ou abaissé), il faut et il suffit que l’anneau adjacent de rang inférieur soit élevé et que tous les autres anneaux de rangs inférieurs soient abaissés.
3Ainsi, si l’on souhaite par exemple démonter un baguenodier de 5 anneaux, il faut envisager de pouvoir abaisser le 5e anneau. Or pour abaisser le 5e, il faudra que le 4e soit élevé et les trois premiers abaissés. Or pour abaisser le 3e, il faut que le 2e soit élevé et le premier abaissé. En ayant ainsi raisonné de façon rétrograde1 (de la position qu’on cherche à atteindre à la position initiale), on sait qu’il faudra abaisser 1, abaisser 3, élever 1 pour abaisser 2, puis abaisser 1. Cet enchaînement de changements sur le baguenodier peut être résumé de la façon suivante : ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1. Cette notation permet de faire ressortir davantage le côté algorithmique de la procédure, et d’y dégager éventuellement des schémas de démontage récurrents. On arrive à la position où le 4e et le 5e anneaux sont élevés (figure 19), et l’on abaisse le 5e (figure 20), ↓5.
Ensuite, pour pouvoir abaisser le 4e anneau, il faut élever le 3e, mais pour élever le 3e, il faut élever le 2e et donc le 1er. Donc on remonte le 1er, on remonte le 2e, on abaisse le 1er, on élève le 3e, on élève le 1er pour abaisser le 2e, puis on abaisse le 1er. Cela revient à effectuer l’enchaînement de changements suivant : ↑1 ↑2 ↓1 ↑3 ↑1 ↓2 ↓1.
On arrive alors à la position où les 4e et 3e anneaux sont élevés (figure 21) et l’on peut abaisser le 4e (figure 22), ↓4.
Ensuite, il faut pouvoir abaisser le 3e, donc il faut relever le 2e, et pour relever le 2e, il faut relever le 1er. Donc on élève le 1er, on élève le 2e, on abaisse le 1er et l’on peut abaisser le 3e. Il reste le 2e anneau à abaisser, il suffit alors d’élever le 1er anneau, d’abaisser le 2e puis d’abaisser le 1er, et le baguenodier est entièrement démonté. Cela se résume par l’enchaînement suivant : ↑1 ↑2 ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1.
La séquence complète des 21 changements qu’il faut effectuer pour démonter entièrement un baguenodier de 5 anneaux s’écrit alors : ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1 ↓5 ↑1 ↑2 ↓1 ↑3 ↑1 ↓2 ↓1 ↓4 ↑1 ↑2 ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1.
4Cette façon de faire est plutôt efficace, sous couvert de se souvenir exactement quel anneau on veut toucher pour ne pas s’écarter de son objectif final et se retrouver à monter le baguenodier au lieu de le démonter ! Il faut également faire attention de commencer à abaisser le bon anneau en premier : par exemple, dans le cas du baguenodier à 5 anneaux, si l’on commence par abaisser le 2e puis le 1er, on se retrouve à abaisser le 4e anneau (car le 3e est élevé et les deux premiers sont abaissés, figure 23) et l’on se retrouve bloqué, car le 5e anneau ne peut plus être abaissé (figure 24).
Cette situation arrive assez fréquemment lorsqu’on manipule le baguenodier pour la première fois. Bien évidemment, le choix du premier anneau qu’on va toucher (le 1er ou le 2e) est conditionné par le nombre total d’anneaux que possède le baguenodier. Que ce soit un baguenodier à 5, 7, 9 ou 11 anneaux (il en existe rarement de plus grand dans le commerce), c’est-à-dire avec un nombre impair d’anneaux, il devra être démonté en commençant par abaisser le premier anneau. Ce qui permettra ensuite d’abaisser le 3e, le 5e, etc. jusqu’au dernier anneau de rang impair. En revanche, les baguenodiers qui possèdent un nombre pair d’anneaux – moins courants dans le commerce – devront commencer à être démontés en abaissant le 2e anneau (d’où l’intérêt éventuel d’avoir construit deux baguenodiers au chapitre précédent : un pair et un impair). Cette remarque peut tout à fait faire l’objet d’une question ouverte en classe lors d’une activité centrée sur le baguenodier après une séance de prise en main de l’objet : commence-t-on toujours par abaisser le même anneau, quel que soit le nombre total d’anneaux du baguenodier ? En effet, pour que les élèves soient placés dans une situation de recherche, il faut que cette dernière soit motivée par des questionnements qui incitent à l’émergence d’une activité mathématique, car le casse-tête en soi, donné tel quel, ne constitue pas nécessairement un problème de recherche pour les élèves (voir chapitre 6 pour plus de détails).
Quand les puissances de 2 sont convoquées
5Une seconde façon de procéder pour démonter le casse-tête repose sur une comparaison entre les rangs des anneaux du baguenodier et les exposants des puissances de 2 qui apparaissent dans la suite des nombres entiers naturels, quand ils sont écrits sous la forme 2k × m, avec k entier naturel et m entier naturel impair. Elle est présentée par Louis Gros au début de son Traité (à partir de la page 12) qui explique que la condition pour toucher l’anneau n, évoquée précédemment, est équivalente à dire que l’on ne peut toucher l’anneau n que si l’anneau n − 1 a été touché un nombre impair de fois, et chacun des anneaux inférieurs un nombre pair de fois. En effet, en partant de la configuration initiale où le baguenodier est entièrement démonté – comme celui que vous avez construit –, si un anneau est élevé alors c’est qu’il a été touché un nombre impair de fois (au minimum une fois), et si un anneau est abaissé, alors c’est qu’il a été touché un nombre pair de fois (au minimum deux fois ou pas du tout).
Louis Gros fait alors le lien avec l’apparition des différentes puissances de 2 dans la suite des entiers naturels, lorsqu’ils sont décomposés sous la forme 2k × m, avec m entier naturel impair :
[…] je trouvais que la marche du baguenodier avait quelque analogie avec ces puissances […] je ne trouvais pas une similitude complète. Cependant il me resta à l’esprit l’intime conviction que le baguenodier et les puissances de 2 avaient une liaison étroite. (Gros 1872a : 135-136)
Par exemple, pour 8 = 23, l’exposant 3 de la puissance de 2 se présente pour la première fois dans la liste des entiers 1 = 20, 2 = 21, 3 = 20 × 3, 4 = 22, 5 = 20 × 5, 6 = 21 × 3, 7 = 20 × 7 quand l’exposant 2 de la puissance de 2 est apparu un nombre impair de fois (ici une fois, pour 4) et les exposants des puissances inférieures (20 et 21) sont apparus un nombre pair de fois (respectivement 4 et 2 fois). Louis Gros généralise cet exemple à n’importe quelle puissance de 2 : la puissance n-ième ne se présente dans la série des nombres entiers naturels que lorsque la puissance n − 1 s’est présentée un nombre impair de fois et toutes les puissances inférieures un nombre pair de fois. On pourrait même préciser « dès que la puissance n − 1 s’est présentée une fois, et les puissances inférieures un nombre pair de fois ». En effet, si l’on prend 2 n, on a la relation 2n = 2n−1 × 2, ce qui signifie qu’entre les nombres 2n et 2 n− 1 il n’y a qu’un nombre qui fasse intervenir 2 n− 1 dans sa décomposition sous la forme 2k × m, avec m entier naturel impair, qui est 2 n− 1 × 1. De même, du fait que 2 n = 2n− 2 × 22, entre les nombres 2n et 2 n− 2 il n’y a que deux nombres qui fassent intervenir 2 n− 2 dans leur décomposition sous la forme 2k × m, avec m entier naturel impair, qui sont 2 n− 2 × 1 et 2 n−2 × 3.
Grâce à cette règle, il suffit ensuite de considérer la suite des entiers naturels, et leur décomposition sous la forme 2k × m, avec m entier naturel impair, faisant apparaître les puissances de 2 ; l’ordre d’apparition des différents exposants des puissances donnera l’ordre dans lequel toucher les anneaux du rang associé. Les nombres impairs – qui ne font donc apparaître que 20 – impliquent de toucher le premier anneau. Les nombres qui ne sont divisibles que par 2 – c’est-à-dire ceux qui ne font apparaître que 21 dans leur décomposition – impliquent de toucher le deuxième anneau. Les nombres qui font apparaître 22 dans leur décomposition impliquent de toucher le troisième anneau, et ainsi de suite (figure 25).
En partant donc d’une position initiale où tous les anneaux du baguenodier sont abaissés, la correspondance entre les exposants des puissances de 2 intervenant dans la décomposition en produit de la forme 2 k × m (k entier naturel et m impair) des nombres entiers naturels et les rangs des anneaux qu’il faut toucher permet d’établir le tableau suivant (pour les 10 premiers changements) :
Nombres entiers naturels | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Décomposition en produit de la forme 2k × m * | 20 | 21 | 20 × 3 | 22 | 20 × 5 | 21 × 3 | 20 × 7 | 23 | 20 × 9 | 21 × 5 |
Mouvement à effectuer sur les anneaux du baguenodier | ↑1 | ↑2 | ↓1 | ↑3 | ↑1 | ↓2 | ↓1 | ↑4 | ↑1 | ↑2 |
En somme, pour monter un baguenodier dont les anneaux sont tous abaissés, il « suffit » de connaître la comptine numérique jusqu’à n et la décomposition de chaque nombre en produit d’une puissance de 2 et d’un nombre impair.
6Avec l’ensemble des considérations présentées jusqu’à présent (la condition nécessaire et suffisante pour toucher un anneau, la suite des puissances de 2 dans la décomposition des nombres entiers naturels, l’anneau qu’il faut toucher en premier selon la parité du nombre d’anneaux), il est possible de proposer trois séances (voire quatre, la troisième pouvant être envisagée en deux temps) à un groupe en demi-classe de 12-15 élèves maximum pour, dans un premier temps, construire le baguenodier, se l’approprier et introduire le vocabulaire associé et, dans un second temps, engager la réflexion autour de questions bien précises qui invitent les élèves à émettre des hypothèses, les tester, confronter leurs points de vue et verbaliser les actions qu’ils mènent sur l’objet.
| Séance 0 « Construction » (optionnelle) | Séance 1 « Découverte » | Séance 2 « Approfondissement » |
Contenu abordé | – construction d’un baguenodier à 5 anneaux comme expliqué au chapitre 1 ; – l’enseignant peut préparer la navette, ainsi que les anneaux chacun pris dans un fil de fer et prêts à être enchevêtrés puis fixés au champlat avec une perle ; – premières manipulations pour comprendre comment s’élève (et s’abaisse) le premier anneau dans la navette (car le baguenodier est, à ce stade, complètement démonté). | – premières manipulations du baguenodier monté (5-10 minutes) ; – appropriation du casse-tête et de son fonctionnement (5-10 minutes) ; – introduction du vocabulaire associé (5-10 minutes) ; – bilan de ce que les élèves observent (5 minutes). | – réactivation du vocabulaire associé au baguenodier, ainsi que de son fonctionnement (5 minutes) ; – découverte de la condition nécessaire et suffisante pour toucher l’anneau n par rapport à la position des autres anneaux (10 minutes) ; – l’appliquer pour démonter complètement le baguenodier et le monter à nouveau (10-15 minutes) ; – demander quel anneau doit être abaissé en premier selon le nombre d’anneaux initial (pair ou impair) du baguenodier et trouver la condition (10 minutes) ; – [optionnel] donner le tableau avec la décomposition des dix premiers entiers naturels sous la forme d’un produit 2 k × m (k entier naturel et m impair), demander d’en construire la suite et d’émettre des hypothèses en lien avec l’ordre dans lequel il faut toucher les anneaux (15-20 minutes). |
Niveau/âge minimum | Dès la fin du cycle 3 et niveaux supérieurs | Fin du cycle 3 | Fin du cycle 4 |
Prérequis | Aucun | Aucun | Séance 1 |
Temps conseillé | Entre 30 et 55 minutes (en fonction de la préparation, ou non, du matériel) | 15-30 minutes | 55 minutes |
Nous avons été en mesure de tester les séances 1 et 2 auprès de lycéens en fin de classe de seconde participant à un stage Maths C2+, organisé par la structure de diffusion Plaisir Maths2, lors de deux ateliers (par groupes de 5-6 élèves) avec des baguenodiers de 5 anneaux : un premier atelier « découverte » de 15 minutes a permis aux élèves de manipuler l’objet et de comprendre ce que signifie élever ou abaisser un anneau, puis un second atelier « approfondissement » de 30 minutes leur a permis de comprendre la condition nécessaire et suffisante pour pouvoir toucher un anneau. À la fin de ce 2e atelier, tous les élèves avaient réussi a minima à démonter entièrement le baguenodier, certains avaient réussi à le remonter également, et un seul commençait à réfléchir sur le nombre de changements qu’il avait effectués pour le démonter (et le remonter).
7Dans son Traité, dans le quatrième chapitre intitulé « Bavardages historiques », Louis Gros explique que c’est en travaillant la mise au même dénominateur des fractions en classe de quatrième – en cherchant donc le plus grand diviseur commun – qu’il a trouvé l’analogie entre la marche du baguenodier et les puissances de 2, ce qui l’a ensuite incité à regarder plus attentivement les propriétés du système binaire. Le fait que dans le système binaire, le rang n d’un nombre ne peut être 1 que si le rang n − 1 et tous les rangs inférieurs valent 1 dans le nombre précédent, et que lorsqu’il est possible de mettre un 1 au rang n, alors tous les rangs inférieurs prennent 0, n’était pas sans lui rappeler la condition nécessaire et suffisante évoquée précédemment pour pouvoir toucher un anneau quelconque du baguenodier…
Notes de bas de page
1Le raisonnement rétrograde est une façon de raisonner qui est classique en mathématiques, notamment pour l’analyse des jeux combinatoires (deux joueurs, information complète, pas de hasard), voir (Rougetet 2014).
2https://www.plaisir-maths.fr [consulté le 05/09/2022].
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Le binaire au bout des doigts
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