Premières manipulations selon Louis Gros

Celui qui ne connaît ni la théorie ni la pratique du jeu croit bien faire d’abaisser d’abord le plus grand nombre possible d’anneaux, puisqu’il s’agit de les abaisser tous : il abaisse donc les deux premiers, puis le quatrième ; mais il a fait trois pas en sens contraire ; s’il continue il arrivera bientôt à avoir la navette engagée au maximum, et il sera arrêté très loin de son but. (Gros 1872a : 105-106)

2La première façon de résoudre le casse-tête du baguenodier, sans avoir recours au système binaire ni au code de Baudot-Gros-Gray, repose sur deux considérations pratiques (vues au chapitre 1) qu’il est possible de déterminer une fois qu’on a eu suffisamment de temps pour manipuler le casse-tête et comprendre son mécanisme. Elles se résument ainsi (figure 18) :

• quelle que soit la position du baguenodier, le premier anneau peut toujours être élevé ou abaissé (son toucher est indépendant de tous les autres anneaux) ;
• pour toucher un anneau de rang quelconque (qu’il soit élevé ou abaissé), il faut et il suffit que l’anneau adjacent de rang inférieur soit élevé et que tous les autres anneaux de rangs inférieurs soient abaissés.

Figure 18 : Première remarque pratique de Louis Gros pour pouvoir toucher un anneau.

3Ainsi, si l’on souhaite par exemple démonter un baguenodier de 5 anneaux, il faut envisager de pouvoir abaisser le 5^e anneau. Or pour abaisser le 5^e, il faudra que le 4^e soit élevé et les trois premiers abaissés. Or pour abaisser le 3^e, il faut que le 2^e soit élevé et le premier abaissé. En ayant ainsi raisonné de façon rétrograde1 (de la position qu’on cherche à atteindre à la position initiale), on sait qu’il faudra abaisser 1, abaisser 3, élever 1 pour abaisser 2, puis abaisser 1. Cet enchaînement de changements sur le baguenodier peut être résumé de la façon suivante : ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1. Cette notation permet de faire ressortir davantage le côté algorithmique de la procédure, et d’y dégager éventuellement des schémas de démontage récurrents. On arrive à la position où le 4^e et le 5^e anneaux sont élevés (figure 19), et l’on abaisse le 5^e (figure 20), ↓5.

Figure 19 : Les 4^e et 5^e anneaux sont élevés.

Figure 20 : Le 5^e anneau est abaissé.

Ensuite, pour pouvoir abaisser le 4^e anneau, il faut élever le 3^e, mais pour élever le 3^e, il faut élever le 2^e et donc le 1^er. Donc on remonte le 1^er, on remonte le 2^e, on abaisse le 1^er, on élève le 3^e, on élève le 1^er pour abaisser le 2^e, puis on abaisse le 1^er. Cela revient à effectuer l’enchaînement de changements suivant : ↑1 ↑2 ↓1 ↑3 ↑1 ↓2 ↓1.

On arrive alors à la position où les 4^e et 3^e anneaux sont élevés (figure 21) et l’on peut abaisser le 4^e (figure 22), ↓4.

Figure 21 : Une fois qu’on a remonté le 3^e anneau (après plusieurs changements) on se retrouve dans la position où le 3^e et le 4^e anneaux sont élevés, dans l’optique d’abaisser le 4^e.

Figure 22 : Le 4^e anneau a pu être abaissé, il ne reste que le 3^e élevé.

Ensuite, il faut pouvoir abaisser le 3^e, donc il faut relever le 2^e, et pour relever le 2^e, il faut relever le 1^er. Donc on élève le 1^er, on élève le 2^e, on abaisse le 1^er et l’on peut abaisser le 3^e. Il reste le 2^e anneau à abaisser, il suffit alors d’élever le 1^er anneau, d’abaisser le 2^e puis d’abaisser le 1^er, et le baguenodier est entièrement démonté. Cela se résume par l’enchaînement suivant : ↑1 ↑2 ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1.

La séquence complète des 21 changements qu’il faut effectuer pour démonter entièrement un baguenodier de 5 anneaux s’écrit alors : ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1 ↓5 ↑1 ↑2 ↓1 ↑3 ↑1 ↓2 ↓1 ↓4 ↑1 ↑2 ↓1 ↓3 ↑1 ↓2 ↓1.

4Cette façon de faire est plutôt efficace, sous couvert de se souvenir exactement quel anneau on veut toucher pour ne pas s’écarter de son objectif final et se retrouver à monter le baguenodier au lieu de le démonter ! Il faut également faire attention de commencer à abaisser le bon anneau en premier : par exemple, dans le cas du baguenodier à 5 anneaux, si l’on commence par abaisser le 2^e puis le 1^er, on se retrouve à abaisser le 4^e anneau (car le 3^e est élevé et les deux premiers sont abaissés, figure 23) et l’on se retrouve bloqué, car le 5^e anneau ne peut plus être abaissé (figure 24).

Figure 23 : Dans cette position, on peut descendre le 4^e anneau, mais…

Figure 24 : … une fois descendu, on ne peut plus descendre le 5^e.

Cette situation arrive assez fréquemment lorsqu’on manipule le baguenodier pour la première fois. Bien évidemment, le choix du premier anneau qu’on va toucher (le 1^er ou le 2^e) est conditionné par le nombre total d’anneaux que possède le baguenodier. Que ce soit un baguenodier à 5, 7, 9 ou 11 anneaux (il en existe rarement de plus grand dans le commerce), c’est-à-dire avec un nombre impair d’anneaux, il devra être démonté en commençant par abaisser le premier anneau. Ce qui permettra ensuite d’abaisser le 3^e, le 5^e, etc. jusqu’au dernier anneau de rang impair. En revanche, les baguenodiers qui possèdent un nombre pair d’anneaux – moins courants dans le commerce – devront commencer à être démontés en abaissant le 2^e anneau (d’où l’intérêt éventuel d’avoir construit deux baguenodiers au chapitre précédent : un pair et un impair). Cette remarque peut tout à fait faire l’objet d’une question ouverte en classe lors d’une activité centrée sur le baguenodier après une séance de prise en main de l’objet : commence-t-on toujours par abaisser le même anneau, quel que soit le nombre total d’anneaux du baguenodier ? En effet, pour que les élèves soient placés dans une situation de recherche, il faut que cette dernière soit motivée par des questionnements qui incitent à l’émergence d’une activité mathématique, car le casse-tête en soi, donné tel quel, ne constitue pas nécessairement un problème de recherche pour les élèves (voir chapitre 6 pour plus de détails).

Quand les puissances de 2 sont convoquées

5Une seconde façon de procéder pour démonter le casse-tête repose sur une comparaison entre les rangs des anneaux du baguenodier et les exposants des puissances de 2 qui apparaissent dans la suite des nombres entiers naturels, quand ils sont écrits sous la forme 2^k × m, avec k entier naturel et m entier naturel impair. Elle est présentée par Louis Gros au début de son Traité (à partir de la page 12) qui explique que la condition pour toucher l’anneau n, évoquée précédemment, est équivalente à dire que l’on ne peut toucher l’anneau n que si l’anneau n − 1 a été touché un nombre impair de fois, et chacun des anneaux inférieurs un nombre pair de fois. En effet, en partant de la configuration initiale où le baguenodier est entièrement démonté – comme celui que vous avez construit –, si un anneau est élevé alors c’est qu’il a été touché un nombre impair de fois (au minimum une fois), et si un anneau est abaissé, alors c’est qu’il a été touché un nombre pair de fois (au minimum deux fois ou pas du tout).

Louis Gros fait alors le lien avec l’apparition des différentes puissances de 2 dans la suite des entiers naturels, lorsqu’ils sont décomposés sous la forme 2^k × m, avec m entier naturel impair :

[…] je trouvais que la marche du baguenodier avait quelque analogie avec ces puissances […] je ne trouvais pas une similitude complète. Cependant il me resta à l’esprit l’intime conviction que le baguenodier et les puissances de 2 avaient une liaison étroite. (Gros 1872a : 135-136)

Par exemple, pour 8 = 2³, l’exposant 3 de la puissance de 2 se présente pour la première fois dans la liste des entiers 1 = 2⁰, 2 = 2¹, 3 = 2⁰ × 3, 4 = 2², 5 = 2⁰ × 5, 6 = 2¹ × 3, 7 = 2⁰ × 7 quand l’exposant 2 de la puissance de 2 est apparu un nombre impair de fois (ici une fois, pour 4) et les exposants des puissances inférieures (2⁰ et 2¹) sont apparus un nombre pair de fois (respectivement 4 et 2 fois). Louis Gros généralise cet exemple à n’importe quelle puissance de 2 : la puissance n-ième ne se présente dans la série des nombres entiers naturels que lorsque la puissance n − 1 s’est présentée un nombre impair de fois et toutes les puissances inférieures un nombre pair de fois. On pourrait même préciser « dès que la puissance n − 1 s’est présentée une fois, et les puissances inférieures un nombre pair de fois ». En effet, si l’on prend 2 ⁿ, on a la relation 2ⁿ = 2ⁿ⁻¹ × 2, ce qui signifie qu’entre les nombres 2ⁿ et 2 ^n− 1 il n’y a qu’un nombre qui fasse intervenir 2 ^n− 1 dans sa décomposition sous la forme 2^k × m, avec m entier naturel impair, qui est 2 ^n− 1 × 1. De même, du fait que 2 ⁿ = 2^n− 2 × 2², entre les nombres 2ⁿ et 2 ^n− 2 il n’y a que deux nombres qui fassent intervenir 2 ^n− 2 dans leur décomposition sous la forme 2^k × m, avec m entier naturel impair, qui sont 2 ^n− 2 × 1 et 2 ⁿ⁻² × 3.

Grâce à cette règle, il suffit ensuite de considérer la suite des entiers naturels, et leur décomposition sous la forme 2^k × m, avec m entier naturel impair, faisant apparaître les puissances de 2 ; l’ordre d’apparition des différents exposants des puissances donnera l’ordre dans lequel toucher les anneaux du rang associé. Les nombres impairs – qui ne font donc apparaître que 2⁰ – impliquent de toucher le premier anneau. Les nombres qui ne sont divisibles que par 2 – c’est-à-dire ceux qui ne font apparaître que 2¹ dans leur décomposition – impliquent de toucher le deuxième anneau. Les nombres qui font apparaître 2² dans leur décomposition impliquent de toucher le troisième anneau, et ainsi de suite (figure 25).

Figure 25 : Règle énonçant la correspondance entre les exposants des puissances de 2 et les anneaux correspondants qu’il faut toucher.

En partant donc d’une position initiale où tous les anneaux du baguenodier sont abaissés, la correspondance entre les exposants des puissances de 2 intervenant dans la décomposition en produit de la forme 2 ^k × m (k entier naturel et m impair) des nombres entiers naturels et les rangs des anneaux qu’il faut toucher permet d’établir le tableau suivant (pour les 10 premiers changements) :

En somme, pour monter un baguenodier dont les anneaux sont tous abaissés, il « suffit » de connaître la comptine numérique jusqu’à n et la décomposition de chaque nombre en produit d’une puissance de 2 et d’un nombre impair.

6Avec l’ensemble des considérations présentées jusqu’à présent (la condition nécessaire et suffisante pour toucher un anneau, la suite des puissances de 2 dans la décomposition des nombres entiers naturels, l’anneau qu’il faut toucher en premier selon la parité du nombre d’anneaux), il est possible de proposer trois séances (voire quatre, la troisième pouvant être envisagée en deux temps) à un groupe en demi-classe de 12-15 élèves maximum pour, dans un premier temps, construire le baguenodier, se l’approprier et introduire le vocabulaire associé et, dans un second temps, engager la réflexion autour de questions bien précises qui invitent les élèves à émettre des hypothèses, les tester, confronter leurs points de vue et verbaliser les actions qu’ils mènent sur l’objet.

Nous avons été en mesure de tester les séances 1 et 2 auprès de lycéens en fin de classe de seconde participant à un stage Maths C2+, organisé par la structure de diffusion Plaisir Maths2, lors de deux ateliers (par groupes de 5-6 élèves) avec des baguenodiers de 5 anneaux : un premier atelier « découverte » de 15 minutes a permis aux élèves de manipuler l’objet et de comprendre ce que signifie élever ou abaisser un anneau, puis un second atelier « approfondissement » de 30 minutes leur a permis de comprendre la condition nécessaire et suffisante pour pouvoir toucher un anneau. À la fin de ce 2^e atelier, tous les élèves avaient réussi a minima à démonter entièrement le baguenodier, certains avaient réussi à le remonter également, et un seul commençait à réfléchir sur le nombre de changements qu’il avait effectués pour le démonter (et le remonter).

7Dans son Traité, dans le quatrième chapitre intitulé « Bavardages historiques », Louis Gros explique que c’est en travaillant la mise au même dénominateur des fractions en classe de quatrième – en cherchant donc le plus grand diviseur commun – qu’il a trouvé l’analogie entre la marche du baguenodier et les puissances de 2, ce qui l’a ensuite incité à regarder plus attentivement les propriétés du système binaire. Le fait que dans le système binaire, le rang n d’un nombre ne peut être 1 que si le rang n − 1 et tous les rangs inférieurs valent 1 dans le nombre précédent, et que lorsqu’il est possible de mettre un 1 au rang n, alors tous les rangs inférieurs prennent 0, n’était pas sans lui rappeler la condition nécessaire et suffisante évoquée précédemment pour pouvoir toucher un anneau quelconque du baguenodier…