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    Plan

    Plan détaillé Texte intégral Annexe 1. Énoncé du problème L’escalier Annexe 2. Énoncé du problème Armistice Annexe 3. Fiche problème Au cinéma Annexe 4. Fiche problème Les vases Annexe 5. Fiche problème Le pont Annexe 6. Pré-test sur les fonctions Annexe 7. Post-test sur les fonctions Listes des e-Annexes

    La résolution de problèmes en mathématiques

    Ce livre est recensé par

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    Annexes

    p. 361-376

    Texte intégral Annexe 1. Énoncé du problème L’escalier Annexe 2. Énoncé du problème Armistice Annexe 3. Fiche problème Au cinéma Fiche d’accompagnement Questions a) et b) Question c) Annexe 4. Fiche problème Les vases Fiche d’accompagnement Dispositif suggéré Annexe 5. Fiche problème Le pont Fiche d’accompagnement Dispositif suggéré Annexe 6. Pré-test sur les fonctions Annexe 7. Post-test sur les fonctions Listes des e-Annexes

    Texte intégral

    Annexe 1. Énoncé du problème L’escalier

    1On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure ci-dessous montre un exemple.

    • De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche ? de deux marches ? de trois marches ? de quatre marches ? de cinq marches ?
    • De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de 20 marches ?

    L’escalier

    Annexe 2. Énoncé du problème Armistice

    2Dans la prison centrale de Champ-Dolon, il y a 250 cellules numérotées 1, 2, 3, …, 250, toutes occupées. Les portes des cellules peuvent être dans deux états : ouvertes ou fermées. On peut passer d’un état à l’autre en faisant faire un demi-tour au bouton de la porte. Au moment où commence l’histoire, toutes les portes sont fermées.

    3Pour fêter le vingtième anniversaire de la république de Genève, le président décide d’une amnistie. Il donne au directeur de la prison les ordres suivants :

    Tournez successivement d’un demi-tour les boutons :

    de toutes les portes,

    puis d’une porte sur deux, à partir de la deuxième,

    puis d’une porte sur trois, à partir de la troisième,

    puis d’une porte sur quatre, à partir de la quatrième.

    Continuez ainsi jusqu’à la dernière cellule.

    Libérez les prisonniers dont la porte de la cellule est ouverte.

    4Pour des raisons de sécurité, le directeur de la prison vous demande de lui fournir un rapport dans lequel figurera :

    1. le nombre de prisonniers qui seront libérés,
    2. la liste des cellules qu’ils occupent et
    3. la description la plus claire possible de votre méthode afin qu’il puisse vérifier votre liste !

    Annexe 3. Fiche problème Au cinéma

    Au cinéma

    Fiche d’accompagnement

    5Les objectifs d’enseignement de cette activité sont :

    6OE1 : faire émerger la notion de variation d’une grandeur en fonction d’une autre ;

    7OE2 : examiner et discuter différents moyens pour représenter cette covariation (tableau de valeurs, représentation graphique).

    8Les objectifs d’apprentissage de cette activité sont :

    9OA1 : décrire verbalement la relation entre des grandeurs dépendantes dans une situation concrète donnée ;

    10OA2 : décrire par un tableau de valeurs la relation entre des grandeurs dépendantes dans une situation concrète donnée (la représentation graphique peut émerger dans certains groupes).

    Questions a) et b)

    11Dispositif : on propose de faire travailler les élèves individuellement.

    12Consigne : produire un texte de quelques lignes.

    13Type de réponse attendue : a) Si l’on s’assoit tout près de l’écran, notre angle de vision est très petit ; lorsqu’on s’éloigne un peu de l’écran, l’angle de vision grandit, mais si on s’éloigne trop, il diminue peu à peu ; b) Il faut s’asseoir pas trop près, mais pas trop loin non plus.

    Question c)

    14Matériel : il faut prévoir des règles graduées et des rapporteurs.

    15Dispositif : on propose de faire travailler les élèves par groupe de 3 ou 4 pour favoriser l’émergence de différentes idées et pour permettre d’organiser le travail de mesure.

    16Consigne :

    1. Chercher à répondre le plus précisément possible à la question posée ;
    2. Chaque groupe rédige une réponse en expliquant sa démarche et en exposant toutes les étapes de sa résolution.

    17Type de réponse attendue : dans l’impossibilité de travailler algébriquement (il faudrait utiliser des fonctions trigonométriques inverses), les élèves ne peuvent que faire des essais en mesurant l’angle de vision pour différents emplacements. On les laissera organiser les données ainsi récoltées à leur manière (tableau de valeurs, graphique, autre) et en déduire une réponse à la question posée.

    Annexe 4. Fiche problème Les vases

    Les vases

    Les vases

    Fiche d’accompagnement

    18Les objectifs d’enseignement de cette activité sont :

    19OE1 : asseoir la notion de codépendance de deux grandeurs qui varient ;

    20OE2 : faire le lien direct entre la situation réelle et sa représentation graphique sans passer par la notion d’algèbre pour :

    • élargir la conception de la notion de fonction ;
    • lire un graphique comme la représentation d’un phénomène dynamique incluant la notion de vitesse de croissance.

    21Les objectifs d’apprentissage de cette activité sont :

    22OA1 : représenter graphiquement la relation entre des grandeurs dépendantes dans une situation concrète donnée ;

    23OA2 : traduire une représentation graphique par un processus dynamique précis (schéma d’un vase à remplir) ;

    24OA3 :interpréter un graphique comme représentation d’un phénomène dynamique.

    Dispositif suggéré

    25Les élèves travaillent une dizaine de minutes individuellement sur l’ensemble du document (parties 1, 2 et 3), puis par binôme ou groupe comparent leurs réponses et se mettent d’accord sur une réponse par item.

    26L’enseignant organise une mise en commun des propositions des élèves.

    27Pour les élèves les plus rapides, une quatrième partie peut être ajoutée : un élève invente un graphique et le proposera ensuite aux autres élèves qui devront le traduire en un récipient adéquat. Il peut aussi être demandé le contraire, à savoir proposer un récipient et trouver le graphique correspondant.

    Reproduction de la proposition par un élève d’un vase, puis représentation graphique proposée dans un second temps par un autre élève

    Reproduction de la proposition par un élève d’une représentation graphique, puis proposition d’un vase dans un second temps par un autre élève

    28Matériel : règle graduée.

    Annexe 5. Fiche problème Le pont

    Le pont

    Fiche d’accompagnement

    29Les objectifs d’enseignement de cette activité sont :

    30OE1 : mobiliser les différentes formes de représentations algébriques de la fonction quadratique dans un cadre concret ;

    31OE2 : montrer que le référentiel peut être placé à différents endroits et que le choix effectué va influencer les procédures, mais pas la réponse à la question.

    32Les objectifs d’apprentissage de cette activité sont :

    33OA1 : mathématiser le schéma d’une situation concrète en lui juxtaposant un référentiel permettant d’utiliser un type de fonctions connues ;

    34OA2 : déterminer l’expression algébrique d’une fonction quadratique en mobilisant des techniques connues en cohérence avec le référentiel choisi ;

    35OA3 :exploiter cette fonction pour déterminer la longueur cherchée.

    Dispositif suggéré

    36Faire travailler les élèves 3 à 5 minutes individuellement, puis par binôme ou groupe.

    37Les élèves par groupe devront se mettre d’accord sur une version finale et produire un seul document indiquant l’état d’avancée de la solution et les étapes pour y parvenir.

    38Consigne :

    1. Répondre le plus précisément possible à la question posée ;
    2. Chaque groupe rédige une réponse en expliquant sa démarche et en exposant toutes les étapes de sa résolution.

    39Matériel : règle graduée, calculatrices.

    Annexe 6. Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Pré-test sur les fonctions

    Annexe 7. Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Post-test sur les fonctions

    Listes des e-Annexes

    40Disponibles à l’adresse suivante : https://www.unige.ch/fapse/dimage/index.php?cID=323

    41e-Annexe 1. Questionnaire élève sur la résolution de problèmes
    e-Annexe 2. Statistiques questionnaire élèves sur la résolution de problèmes
    e-Annexe 3. Questionnaire enseignants sur la résolution de problèmes
    e-Annexe 4. Séquence d’enseignement sur les fonctions
    e-Annexe 5. Questionnaire enseignants sur l’IB
    e-Annexe 6. Modélisation possible du pont Golden Gate

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    Creative Commons - Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International - CC BY-NC-ND 4.0

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    Format

    Coppé, S., & Dorier, J.-L. (éds.). (2024). Annexes. In La résolution de problèmes en mathématiques. Grenoble: UGA Éditions. https://doi.org/10.4000/12cuy
    Coppé, Sylvie, et Jean-Luc Dorier, éd. « Annexes ». In La résolution de problèmes en mathématiques. Grenoble: UGA Éditions, 2024. doi:10.4000/12cuy.
    Coppé, Sylvie, et Jean-Luc Dorier, éditeurs. « Annexes ». La résolution de problèmes en mathématiques, UGA Éditions, 2024, https://doi.org/10.4000/12cuy.

    Référence numérique du livre

    Format

    Coppé, S., & Dorier, J.-L. (éds.). (2024). La résolution de problèmes en mathématiques. Grenoble: UGA Éditions, EDP Sciences. https://doi.org/10.4000/12ct8
    Coppé, Sylvie, et Jean-Luc Dorier, éd. La résolution de problèmes en mathématiques. Grenoble: UGA Éditions, EDP Sciences, 2024. doi:10.4000/12ct8.
    Coppé, Sylvie, et Jean-Luc Dorier, éditeurs. La résolution de problèmes en mathématiques. UGA Éditions, EDP Sciences, 2024, https://doi.org/10.4000/12ct8.
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