La philosophie éducative de l’IB

4L’institution du Baccalauréat International trouve son origine dans un mouvement d’après-guerre qui, à la suite des besoins des communautés d’expatriés, notamment l’accès aux études supérieures, a lancé la création de nombreuses écoles internationales. Le fait que ces écoles, éparpillées dans le monde devaient faire face à des difficultés similaires, amena l’École internationale de Genève (Ecolint) à fonder et à héberger l’International Schools Association (ISA) à partir de 1951. Dès cette époque et jusqu’à la fin des années 60, les apports de nombreuses écoles et universités de plusieurs pays, très souvent à la pointe des innovations, contribuèrent à la création d’une structure, l’International Baccalaureate Office (IBO), dont le premier directeur, Alexander Peterson, était le président du département d’éducation de l’Université d’Oxford. Le problème principal auquel cette structure a dû faire face a été de créer un curriculum adaptable à toute une diversité de contextes culturels et susceptible de fournir un examen sanctionnant la fin des études secondaires acceptable dans toutes les universités du monde. Ce projet a nécessité une grande part d’innovation pour la création du curriculum et la gestion de l’évaluation. En effet, celle-ci détermine la viabilité du système à l’échelle internationale, et devait ainsi garantir l’entrée aux universités de tous les pays. Outre ceux du département d’éducation de l’Université d’Oxford et de l’Ecolint, le projet reçut très tôt des soutiens de poids comme ceux du Centre international des études pédagogiques de Sèvres (France) ou de l’Institut Max Planck (Allemagne). Ainsi des réformateurs de l’enseignement comme Jean Capelle, Edmée Hatinguais ou Helmut Becker pouvaient affirmer avoir trouvé l’opportunité « to try out in practice some of the reform proposals which were making such slow progress in (our) respective countries » (Peterson, 2003, p. 25).

5Il est important de noter qu’une part importante du syllabus vise à développer l’ouverture d’esprit et porte sur la façon d’apprendre. On retrouve déjà ce point de façon précise dans le guide de 1967 :

a. développer les aptitudes intellectuelles de l’élève plutôt que lui imposer la mémorisation superficielle et éphémère de connaissances encyclopédiques : former plutôt qu’informer ;

b. lui inculquer les méthodes de travail qui lui seront indispensables dans ses études supérieures ;

c. lui donner, dans un champ bien délimité, un entraînement suffisant pour lui permettre de se spécialiser ;

d. le familiariser, au moins dans les grandes lignes, avec les problèmes du monde contemporain dans une perspective internationale. (ISES, 1967, p. 8)

6La nouvelle approche de l’enseignement général consistait donc à trouver un compromis entre la spécialisation prématurée et l’encyclopédisme. L’essentiel était de permettre un certain degré de sélection au sein d’une offre équilibrée de disciplines scientifiques et littéraires. Ainsi, dans les sciences expérimentales, l’important n’était pas d’étudier des programmes simultanés en physique, chimie et biologie mais d’acquérir, à travers l’une de ces sciences, un sens de la méthode expérimentale. Dès 1967, le syllabus donne la structure générale pour les deux dernières années du secondaire II, qui conduisent au Baccalauréat International.

7On peut le résumer en 3 points :

1. Les élèves doivent choisir 6 disciplines équitablement réparties parmi les humanités et les sciences (groupe 1 : études en langue et littérature ; groupe 2 : acquisition de langues ; groupe 3 : individus et sociétés – philosophie, histoire, géographie, économie, psychologie, etc. ; groupe 4 : sciences – physique, chimie, biologie, informatique ; groupe 5 : mathématiques ; le groupe 6 est varié : troisième langue, langue ancienne, deuxième choix dans les groupes 2 ou 3, ou mathématiques appliquées ou encore art) ;
2. Les élèves doivent étudier au minimum 3 et au maximum 4 des 6 disciplines choisies à un niveau supérieur, les autres le sont au niveau moyen ;
3. Les élèves suivent obligatoirement un cours appelé « Théorie de la connaissance », qui « demande aux élèves de mener une réflexion critique et de réfléchir sur le processus cognitif plutôt que d’apprendre un ensemble de connaissances spécifiques » (IBO, 2013, p. 8). Ce cours doit représenter un minimum de 100 heures d’enseignement.

8Le contexte de l’IB a conduit à des choix pédagogiques originaux comme le cours de « Théorie de la connaissance » qui est le cœur du tronc commun. Il est censé doter les élèves d’outils épistémologiques et les amener à réfléchir sur les origines et sur la fiabilité des différentes sources de la connaissance. La question centrale de ce cours, comme le stipule le programme d’études, est d’examiner comment nous connaissons ce que nous affirmons connaître. Par ailleurs, afin d’encourager le travail personnel et indépendant et de développer des compétences de recherche, les élèves doivent élaborer un mémoire comportant environ 4 000 mots sur un sujet de leur choix. Enfin, le programme Créativité, Action et Service (CAS) qui est la troisième composante du tronc commun vient parachever « l’éducation de l’homme complet » mise en avant par les promoteurs de l’IB (OBI, 1973, p. 24).

9L’esprit général de l’enseignement tel que proposé par l’IB s’inspire des approches constructivistes de l’apprentissage (IB, 2015, p. 1). Ainsi, dès sa création des doutes sont émis par ses concepteurs sur l’efficacité de l’enseignement encyclopédique :

Dans chaque discipline la masse des connaissances est telle qu’un enseignement encyclopédique est non seulement archaïque mais inopérant. Apprendre à apprendre, telle est désormais la première fonction de l’école. Pour les pédagogues, la gageure est de donner aux jeunes un enseignement suffisamment ouvert pour leur inculquer le sens de la communauté humaine et de leurs responsabilités sociales mais en même temps suffisamment détaillé pour leur permettre d’acquérir la formation (à la fois spécialisée et interdisciplinaire) qui sera l’instrument essentiel de leur promotion universitaire et professionnelle dans un monde de compétition. (OBI, 2013, p. 24)

10Peterson (2003) a constaté qu’il n’était pas si évident de créer un curriculum et un système d’examens qui respectent ces principes, en particulier au regard de l’évaluation car « c’est la vieille histoire de la tête bien faite, que nous louons sans vraiment chercher à la produire, et la tête bien pleine que nous déplorons mais en faisons l’objet de nos examens » (Capelle, dans Peterson, 2003, p. 43). L’IB a cependant toujours cherché à établir un équilibre entre une tête bien faite comme idéal à produire et une tête bien pleine condition quasi nécessaire pour la reconnaissance du diplôme délivré.

11En 2011, l’IB a proposé une nouvelle initiative afin d’expliciter l’esprit général de l’enseignement en se penchant sur les manières d’apprendre et d’enseigner :

The implementation of process-oriented, skills-based teaching can be challenging for both teachers and students. The teacher’s role becomes more facilitative and the student’s role more inquiring. Many students, especially those comfortable with, or habituated by, transmission teaching will find it difficult to adjust to a classroom scenario where they are expected to do the learning for themselves rather than simply being told what to learn. These approaches to teaching and learning do, however, have the potential to develop “minds well-formed rather than minds well-stuffed” (Alec Peterson, 2003: 43), an aspiration at the heart of an IB education. (IB, 2015, p. 15)

12Comme nous l’avons mentionné au début de ce chapitre, l’une des principales raisons de la création du programme du diplôme de l’IB était de garantir aux élèves l’accès à l’enseignement supérieur. De ce fait, la question de l’évaluation est devenue une des contraintes importantes qui ont façonné la conception du curriculum. Parmi diverses méthodes d’évaluation allant de la passation d’une série d’examens standardisés répartis sur plusieurs jours à la délivrance de diplômes basés sur une évaluation continue de chaque matière, Renaud (1974) rapporte que l’IB a choisi « a definite but prudent innovation » (p. 43). Il a été ainsi décidé qu’une évaluation externe conforme à l’approche traditionnelle des examens reconnue par les admissions universitaires serait complétée par une évaluation interne dans chaque matière. Ainsi, outre une évaluation « classique » de type externe, il est prévu une évaluation interne sous forme de dossier à élaborer qui contribue à 20 % de la note finale du diplôme.

13Après avoir brièvement dressé le portrait de la philosophie éducative de l’IB nous allons nous pencher à présent sur les programmes de mathématiques. L’étude de cette première étape de la transposition didactique va nous permettre de voir si et comment cette approche générale se répercute dans les programmes d’une discipline particulière.

La place de la résolution de problèmes et de la démarche d’investigation dans le programme de mathématiques

14En mathématiques, la volonté de produire des têtes bien faites se réalise par la résolution de problèmes :

La résolution de problèmes est au cœur de l’apprentissage des mathématiques, et cela implique l’acquisition de concepts et de compétences mathématiques dans un large éventail de situations, y compris des problèmes ouverts, dans des contextes nouveaux et tirés du monde réel. (IBO, 2012, p. 10)

15Voyons maintenant comment, au fil des années et des programmes, des dispositifs ont été introduits pour favoriser la résolution de problèmes et plus particulièrement les démarches d’investigation.

Contexte historique d’apparition progressive de dispositifs relevant de la démarche d’investigation

16Dans les années 60, marquées par la Guerre Froide, la compétition dans la conquête de l’espace, notamment le lancement du Spoutnik, les disciplines scientifiques et les mathématiques bénéficiaient d’un intérêt important. Dans ce contexte socioculturel, il était donc impensable de se dispenser des mathématiques. Cependant, tout en reconnaissant le caractère important et obligatoire de la culture mathématique, l’IB s’est efforcé de tenir compte des capacités et des intérêts des étudiant·es et a proposé plusieurs cours de mathématiques avec un niveau décroissant de difficulté : Mathématiques complémentaires Niveau Supérieur (NS), Mathématiques NS, Mathématiques Niveau Moyen (NM), Études mathématiques NM. C’est dans ce dernier niveau (proposé aux élèves plutôt faibles) que sont enseignées des mathématiques plus appliquées et concrètes. Après les premiers ajustements dans les années 60, en 1977, dans le cadre du cours Études mathématiques NM, un dispositif d’évaluation interne, le « Projet personnel » apparaît pour la première fois afin de répondre aux besoins des étudiants qui éprouvent des difficutés en mathématiques. Si, en 1987, le programme est peu explicite : « students will utilise some of the mathematics they have learned » (IBO, 1985, p. 33), il l’est davantage en 2001 : « an individual piece of work completed during the course involving the collection and/or generation of data, and the analysis and evaluation of data. Projects may take the form of mathematical modelling, investigations, applications, statistical surveys, etc. » (IBO, 2001, p. 31).

17À partir des années 90, les programmes deviennent plus explicites quant aux objectifs d’apprentissage et méthodes d’enseignement. La résolution de problèmes y est affirmée : « develop creativity and persistence in the approach to problem-solving » (IBO, 1993, p. 5).

18En 1999, les cours Mathématiques NM et Mathématiques NS voient à leur tour l’introduction d’un dispositif d’évaluation interne, le « Porfolio » pour lequel sont indiqués trois types de tâches : l’investigation mathématique, extended closed-problem solving1 et la modélisation. À partir de 2005, la tâche extended closed-problem solving a été abandonnée et le portfolio a exigé deux travaux d’élèves, l’un basé sur l’investigation et l’autre sur la modélisation mathématique. Selon le guide des mathématiques « the mathematical investigation is intended to highlight that the idea of investigation is fundamental to the study of mathematics » (IBO, 2001, p. 40). L’objectif des tâches de modélisation était de résoudre « a practical problem set in a real-world context » (IBO, 2001, p. 36). Grâce à ces deux types de tâches, l’IB espérait « to provide students with the opportunity to experience for themselves the beauty, power and usefulness of mathematics » (IBO, 2006, p. 39).

19En 2012, on note une nouvelle évolution du programme de mathématiques qui devient plus explicite sur les processus d’investigation. Le guide du programme des Mathématiques NM stipule que « les processus d’investigation mathématique, de modélisation et des applications mathématiques ainsi que l’utilisation de la technologie doivent être introduits opportunément » (IBO, 2012, p. 12). De plus, il insiste sur le fait que « ces processus doivent être utilisés tout au long du cours et non pas traités de manière isolée » (IBO, 2012, p. 12). Enfin, il encourage « l’apprentissage par l’expérimentation, le questionnement et la découverte » afin que les élèves puissent étudier les mathématiques « en étant des participants actifs d’activités d’apprentissage plutôt que des auditeurs passifs d’instructions » (IBO, 2012, p. 12). Les enseignant·es sont censées « fournir aux élèves des opportunités d’apprendre à travers une investigation mathématique » (IBO, 2012, p. 12). Cette dernière est définie dans le guide du programme des mathématiques comme « explorer des situations inhabituelles, aussi bien abstraites que venant du monde réel, nécessitant l’organisation et l’analyse d’informations, l’élaboration des conjectures et de conclusions et la critique de leur validité » (IBO, 2012, p. 10). L’approche par investigation, ainsi définie par l’IB et illustrée sur la figure 95, apparaît de plus clairement comme un des objectifs d’évaluation.

Figure 95. Les étapes de l’approche par investigation en mathématiques dans l’IB

20Nous pouvons constater que cette définition est en adéquation avec la définition proposée par Dorier et Maass (2020, p. 384) évoquée dans le premier chapitre de ce livre ou par Artigue et Blomhøj (2013, p. 797) dans laquelle on invite les élèves à travailler de la même manière que les mathématiciens ou les scientifiques. La modélisation mathématique devrait doter les élèves d’outils pour aborder les problèmes du monde concret et l’utilisation de la technologie vise à « augmente(r) les possibilités pour que les élèves abordent des problèmes dans des contextes intéressants où les élèves peuvent réfléchir, raisonner, résoudre des problèmes et prendre des décisions » (IBO, 2012, p. 13). De plus, pour l’IB « la technologie est un moyen puissant d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques » (IBO, 2012, p. 13). Les approches par la démarche d’investigation, la modélisation et les applications mathématiques étayées par l’utilisation de la technologie ont donc été mises en avant par l’IB, en soulignant que ce sont autant des moyens d’assurer une activité mathématique riche et qu’elles constituent des éléments indispensables à une bonne dévolution de la résolution de problèmes.

21En ce qui concerne l’évaluation interne, le « Portfolio » cède sa place au dispositif actuel « Exploration en mathématiques ». Il s’agit d’un travail écrit « impliquant une investigation dans un domaine de mathématiques » qui « doit, autant que possible, être une partie intrinsèque de l’enseignement en classe et ne doit pas être une activité séparée menée à la fin du programme d’études » (IBO, 2012, p. 49).

22En conclusion de ce rapide tour d’horizon de la création de ces dispositifs qui sont définis de plus en plus précisément, nous voulons souligner d’une part qu’il y a une volonté forte et constante de l’institution IB pour introduire ce que nous appelons les démarches d’investigation et d’autre part que ces dispositifs ont d’abord été proposés aux élèves les plus en difficulté avant d’être généralisés à tous les niveaux. Cela pourrait faire penser que les élèves des niveaux supérieurs n’auraient pas besoin des approches constructivistes ou des mathématiques appliquées et auraient la capacité d’appréhender directement les structures abstraites. Nous pouvons ici voir l’influence des mathématiques dites modernes. Enfin, le dernier élément qui nous semble important de relever est le rôle que l’évaluation pourrait avoir dans l’implémentation de la démarche d’investigation. Les différents dispositifs d’évaluation interne jouaient un double rôle, en servant d’évaluation formative et certificative, mais aussi en créant les conditions qui permettent d’inscrire la démarche d’investigation dans la durée. En effet, il semble bien que l’IB s’en soit servi comme du levier principal pour influer sur les pratiques des enseignant·es.

Point de vue des enseignant·es sur le dispositif « Exploration en mathématiques »

26Le guide (IBO, 2012) souligne l’importance du rôle de l’enseignant·e dans ce dispositif. Ainsi, elle ou il doit s’assurer que le sujet choisi par l’élève reste à sa portée, accompagner les élèves tout au long du processus avec des conseils appropriés, orienter les élèves vers les pistes de recherche ou suggérer des sources d’information. Cela montre aussi la responsabilité de l’enseignant·e quant à la dévolution. Il est d’ailleurs prévu que les enseignant·es puissent apporter des remarques formatives sur une version préliminaire du texte de l’exploration et ce même guide précise que « ces conseils doivent porter sur la façon dont le travail pourrait être amélioré […] » (IBO, 2012, p. 49). Du point de vue institutionnel de l’IB, les enseignant·es sont les vecteurs de l’implémentation des principes éducatifs de l’IB dans les classes et nous supposons qu’elles et ils ont un rôle important dans le dispositif « Exploration en mathématiques ». Nous nous sommes donc demandé dans quelle mesure les enseignant·es adhèrent à la philosophie éducative de l’IB et nous avons élaboré un questionnaire pour interroger leurs convictions et pratiques quant à l’implémentation de la démarche d’investigation et de la résolution de problèmes en mathématiques. Ce questionnaire a été conçu et adapté au contexte de l’IB en utilisant la méthodologie déployée dans deux grands projets européens (PRIMAS et MASCIL) sur l’éducation basée sur la démarche d’investigation (Maaß & Engeln, 2014). Voici les grandes catégories abordées par ce questionnaire :

1. Informations générales ;
2. Expérience antérieure avec la démarche d’investigation ;
3. Perception de l’institution par les enseignant·es ;
4. La vision des enseignant·es concernant l’enseignement des mathématiques ;
5. La vision des enseignant·es concernant la démarche d’investigation ;
6. Les difficultés d’implémentation de la démarche d’investigation perçues par les enseignant·es ;
7. La vision des enseignant·es concernant le dispositif « Exploration en mathématiques » ;
8. Les pratiques des enseignant·es concernant le dispositif « Exploration en mathématiques » ;
9. Les pratiques des enseignant·es concernant les classes ordinaires ;
10. Estimation du temps d’enseignement qui est/devrait être dédié à la démarche d’investigation.

27À l’aide de logiciel en ligne (LimeSurvey), nous avons recueilli 74 réponses complètes d’enseignant·es de l’IB exerçant dans des écoles internationales dans 20 pays différents. Cet échantillon est composé de 52,7 % d’hommes et 47,3 % de femmes et englobe 25 nationalités dont environ la moitié ont l’anglais comme une de leurs langues officielles. Parmi ces 74 enseignant·es, 46 % travaillent dans une école internationale dans leur pays d’origine et 54 % sont des expatriés. En ce qui concerne la répartition des écoles selon leur type, notre échantillon reflète aussi une certaine diversité (école publique 28 %, école privée sans but lucratif 49 % et école privée à but lucratif 23 %). Nous pouvons donc attester avoir un échantillon qui reflète suffisamment la diversité de la réalité du contexte international. Nous avons aussi recueilli des informations concernant la formation et l’expérience professionnelle. Ainsi 89 % des enseignant·es ont, en plus de leur formation académique dans leur discipline, suivi une formation pour l’enseignement.

28La plupart des items propose des affirmations sur lesquelles les enseignant·es devaient se prononcer selon une échelle Likert (1 = pas du tout d’accord, 2 = pas d’accord, 3 = d’accord et 4 = tout à fait d’accord). Le choix était fait d’utiliser une échelle à 4 points afin d’éviter les réponses « neutres » ou indécises. Le tableau 32 donne un exemple d’items de ce questionnaire et le questionnaire complet (en anglais) est proposé en e-Annexe 5.

29Sans faire une analyse détaillée du questionnaire dans ce livre, nous abordons ici quelques points pertinents afin d’appuyer nos propos quant à l’implémentation de la résolution de problèmes et de la démarche d’investigation telle que perçue par les enseignant·es.

30Nous avons collecté des informations sur la perception qu’ont les enseignant·es de la philosophie éducative de l’IB afin de pouvoir la confronter avec le discours institutionnel. À l’item : « L’IB est une institution qui promeut la démarche d’investigation », presque 80 % des enseignant·es interrogés sont d’accord ou tout à fait d’accord, comme le montre la figure 96.

Figure 96. Répartition des réponses sur la perception de l’IB par les enseignant·es

31La majorité des écoles dans lesquelles les enseignant·es interrogé·es exercent adhèrent à la philosophie éducative de l’IB et encouragent la démarche d’investigation (figure 97).

Figure 97. Répartition des réponses sur l’attitude des écoles envers la démarche d’investigation

32Il nous a aussi semblé important d’interroger les enseignant·es sur leur propre vécu et expérience de la démarche d’investigation en tant qu’anciens élèves. Sur la totalité des enseignant·es qui ont rempli le questionnaire (74), seulement 27 (36,5 %) ont expérimenté la démarche d’investigation en tant qu’élèves. Celles et ceux qui ont expérimenté la démarche d’investigation en tant qu’élève se sont ensuite exprimé·es (oui ou non) sur trois items :

• cette expérience m’a aidé à mieux comprendre les mathématiques ;
• c’était intéressant, mais pas très utile ;
• c’était une perte de temps.

33Sur les 27 enseignant·es, seulement 3 pensent que cette expérience ne les a pas aidé·es à mieux comprendre les mathématiques, environ un tiers trouve la démarche d’investigation intéressante, mais pas très utile. Cependant aucun·e ne coche d’accord pour « c’était une perte de temps ». D’un autre côté, 83 % de ceux qui n’ont pas expérimenté la démarche d’investigation en tant qu’élèves pensent qu’elle aurait pu contribuer à une meilleure compréhension des mathématiques pour elles et eux.

34En ce qui concerne leur expérience en tant qu’enseignant·e avec la démarche d’investigation, 77 % de la totalité des enseignant·es déclarent l’avoir utilisée avant même de rejoindre l’IB. Globalement, les enseignant·es interrogé·es expriment une attitude plutôt positive envers la démarche d’investigation, seulement 3 déclarent leur désintérêt.

35Nous avons aussi demandé aux enseignant·es d’estimer le temps dédié à la démarche d’investigation dans leurs classes avec les conditions actuelles et le temps qu’elles ou ils aimeraient dédier à la démarche d’investigation avec plus de marge de manœuvre. Nous pouvons voir sur la deuxième boîte à moustache (figure 98) un décalage vers la droite qui montre bien la volonté des enseignant·es d’implémenter davantage de la démarche d’investigation dans leur enseignement.

Figure 98. Boîtes à moustache pour les réponses sur les temps dédiés à la démarche d’investigation

36Le tableau 33 donne le détail des statistiques descriptives de ces mêmes données. Dans les deux cas, la moyenne est supérieure à la médiane, ce qui veut dire qu’elle est influencée par quelques valeurs supérieures. De ce fait, la médiane donne une meilleure idée du comportement central de l’ensemble des données. L’écart type est relativement élevé, ce qui montre une grande variabilité chez les enseignant·es, mais reste quasiment invariant entre les deux séries de données, ce qui indique une certaine cohérence sur l’étendue des données. Avec les quartiles et l’étendue interquartile augmentés, nous pouvons conclure que, globalement, la majorité des enseignant·es aimeraient utiliser davantage la démarche d’investigation dans leur pratique.

37La figure 99 en nuage de points ci-dessous représente la covariation du temps déclaré dédié à la démarche d’investigation versus le temps idéal que les enseignant·es aimeraient y dédier. Les points qui se trouvent sur la droite Y = X représentent les 10 enseignant·es (13,5 %) ne désirant pas augmenter le temps dédié à la démarche d’investigation dans leurs pratiques, autrement dit, celles et ceux qui sont satisfait·es de leurs conditions actuelles. Nous voyons aussi que tous les autres enseignant·es expriment la volonté d’augmenter le temps dédié à la démarche d’investigation d’environ 15 % en moyenne. Le tableau 33 donne les statistiques descriptives détaillées de cette augmentation.

Figure 99. Temps déclaré versus temps idéal

38Ces résultats sont plutôt encourageants et montrent que les conditions pour implémenter la démarche d’investigation dans la durée sont globalement réunies tant au niveau institutionnel, que chez les enseignant·es de l’échantillon. Sur la figure 99, on peut également observer une grande étendue des temps déclarés qui montrent les écarts importants entre les enseignant·es et entre les pratiques déclarées et celles désirées. Nous allons essayer d’expliquer ce phénomène en tenant compte des contraintes exprimées par ces mêmes enseignant·es.

39Nous avons aussi cherché à investiguer quelles sont les difficultés rencontrées qui empêchent de mettre en place la démarche d’investigation de manière durable. Nous avons identifié a priori 6 catégories (voir tableau 34) qui pourraient potentiellement poser des difficultés quant à l’implémentation de la démarche d’investigation dans les classes.

40Le tableau 34 donne l’aperçu de ces catégories, des items et des statistiques descriptives des réponses pour lesquels nous avons sollicité l’avis des enseignant·es.

41L’item suivant : « La démarche d’investigation est marginale, car le bachotage prévaut dans mon école » obtient l’accord de près de 40 % des enseignant·es interrogé·es ce qui montre que la pression de la réussite à l’examen standardisé3 a une grande influence. La figure 100 montre le détail des réponses collectées.

Figure 100. Répartition des avis sur l’influence du bachotage

42De plus, 88 % des enseignant·es (49 % d’accord et 39 % tout à fait d’accord) approuvent l’affirmation suivante : « Il est difficile de maintenir la démarche d’investigation à cause de la pression des examens ». Enfin, 92 % des enseignant·es trouvent trop difficile de couvrir tout le contenu du curriculum par la démarche d’investigation. Presque 70 % des enseignant·es signalent qu’ils n’ont pas assez de ressources qui faciliteraient l’implémentation de la démarche d’investigation de manière durable, alors qu’environ deux tiers jugent que la préparation des activités basée sur la démarche d’investigation demande trop de temps et trouvent les ressources existantes de mauvaise qualité.

43Le tableau 35 donne la synthèse des réponses concernant les difficultés potentiellement liées à l’enseignant·e. Environ un tiers des enseignant·es ne se sentent pas bien préparé·es à enseigner par investigation et la même proportion craint le fait de devoir changer son style d’enseignement. Au contraire, la majorité des enseignant·es sont confiant·es quant à leurs connaissances mathématiques.

44Le tableau 36 résume les réponses concernant les difficultés liées aux élèves. Comme on peut le voir, les enseignant·es sont assez divisé·es sur ce sujet. Pour la maîtrise des compétences de base, presque 60 % expriment la crainte que celles-ci ne soient pas maîtrisées par les élèves. La moitié des enseignant·es craignent que les élèves soient perdu·es et frustré·es en mettant en place des démarches d’investigation. Par contre, seulement un tiers craint les problèmes de discipline.

45Les réponses aux questions de la dernière catégorie des difficultés potentielles liées à l’implémentation de la démarche d’investigation sont données dans le tableau 37. Finalement, contrairement à nos prévisions, seulement un peu plus de 20 % des enseignant·es pensent qu’il est difficile de trouver des applications mathématiques liées au contexte du monde réel, et ce pourcentage monte à environ 35 % quant à la conviction que la démarche d’investigation demande des mathématiques inaccessibles aux élèves.

46Nous avons aussi laissé la possibilité aux enseignant·es de formuler librement les difficultés qu’elles et ils rencontrent et 19 d’entre elles et eux ont donné une réponse. Pratiquement tou·tes disent que le plus grand obstacle à l’implémentation de la démarche d’investigation est le manque de temps et la pression de l’entraînement à l’examen final qui ne laissent que peu d’espace pour proposer des activités basées sur la démarche d’investigation dans les cours ordinaires (hors du dispositif « Exploration en mathématiques »), ce qui confirme nos analyses précédentes. Nous avons cependant trouvé quelques commentaires qui sortent du lot et identifient des difficultés qui peuvent s’interpréter en termes de contrat didactique comme :

Student expectations of what mathematics and mathematics teaching should look like.

Also, I have found recently that students want everything on demand, they are less willing to engage in IBL activities than they were 5/10 years ago.

47Ou bien des difficultés en lien avec des conceptions des élèves sur les mathématiques :

The most severe problem when teaching mathematics is that quite a number of students have a negative preconception of maths, therefore inquiry-based activities sometimes frustrate them at the very beginning.

48Les réponses des enseignant·es que nous avons citées ci-dessus suggèrent que les conceptions que les élèves peuvent avoir des mathématiques et les habitudes des cours influencent leurs attentes de l’enseignement et peuvent aussi constituer un obstacle à l’implémentation de la démarche d’investigation. Il s’agit cependant de déclarations des enseignant·es et non pas des conceptions que les élèves ont des mathématiques.

Conclusion

49Nos analyses des documents officiels montrent que l’IB inscrit la démarche d’investigation dans sa philosophie éducative et essaie de créer les conditions favorables à son implémentation dans la durée. Les enseignant·es, elles et eux aussi, ont globalement une attitude positive et ouverte et déclarent leur volonté de proposer un enseignement basé sur la démarche d’investigation. Cependant, même dans une institution qui offre à la démarche d’investigation une place de choix à la fois dans l’esprit et dans les conditions institutionnelles, il existe des contraintes qui empêchent l’implémentation de la démarche d’investigation dans les classes en dehors de l’espace qui lui est strictement réservé. Autrement dit, ces contraintes ne permettent pas que les pratiques de résolution de problèmes vivent en dehors de ce dispositif particulier ce qui aboutit à l’apparition de deux systèmes qui cohabitent sans vraiment se rencontrer. Deux de ces contraintes ressortent nettement de l’analyse des réponses à notre questionnaire : la pression de l’examen final et le manque de temps. Ainsi, les enseignant·es déclarent qu’il est difficile d’en faire davantage pendant les cours ordinaires et que la seule possibilité reste le dispositif « Exploration en mathématiques ». Lors d’une récente révision des programmes, les autorités de l’IB ont essayé de tenir compte des difficultés liées au temps en augmentant le nombre d’heures dédiées aux activités basées sur la démarche d’investigation. Cependant, dans le cas de ces dispositifs particuliers, il resterait toujours à la charge des enseignant·es de transférer leurs pratiques dans des conditions particulières vers des pratiques dans le cadre des cours ordinaires. Il faudrait toutefois de nouvelles analyses pour voir l’impact que cela pourrait avoir.

L’évaluation externe

52L’évaluation externe sous forme d’examens standardisés est composée de deux épreuves de 90 minutes chacune et chaque épreuve 1 et 2 comprend deux sections (A et B) de 45 minutes. Les élèves ne sont pas autorisé·es à utiliser une calculatrice lors de l’épreuve 1 alors qu’elles et ils doivent disposer d’une calculatrice à écran graphique pour l’épreuve 2. Dans chaque épreuve, les sections A comprennent 7 questions à réponse courte où un petit nombre d’étapes de résolution est nécessaire. L’objectif de cette section est de tester les connaissances et l’application des techniques sur l’ensemble du programme. De plus, les questions respectent l’ordre croissant de difficulté et les deux dernières sortent généralement du cadre des types de tâches classiques en demandant une réflexion approfondie quant au choix des outils mathématiques à appliquer. Dans les sections B de chaque épreuve, comme l’indique le Guide de mathématiques NM, les élèves doivent répondre à 3 questions qui exigent des réponses développées avec un raisonnement soutenu. Ces questions sont aussi proposées dans l’ordre croissant de difficulté et sont dédiées, selon ce même guide, à l’évaluation de la résolution de problèmes.

53Nous commençons par analyser les épreuves pour déterminer quelle est la place qu’occupe la résolution de problèmes dans l’évaluation externe de l’IB. Nous nous demandons dans quelle mesure les items proposés dans ces épreuves sont représentatifs des problèmes au sens du premier chapitre de ce livre.

54Pour ce faire, nous avons caractérisé et catégorisé les items proposés dans les examens de l’IB, sur la base des travaux de Robert et Rogalski (2002) et Roditi et Salles (2015) synthétisés dans le tableau 38. La classification de Roditi et Salles (2015), qui s’appuie sur les travaux de Robert et Rogalski (2002), « repose sur une analyse de l’énoncé visant à déterminer la nature de la mise en fonctionnement des connaissances mathématiques nécessaires pour répondre à la question posée dans l’item » (p. 238).

55Comme le montre le tableau 38, ces auteurs distinguent trois niveaux de mise en application des connaissances. Les énoncés du premier niveau ou application directe (AD) représentent des tâches qui demandent d’exécuter une technique connue et/ou visent à vérifier une connaissance isolée. Il s’agit selon Robert et Rogalski (2002) des applications simples (mettant en jeu une conceptualisation immédiate) et isolées (mettant en jeu une connaissance à la fois). Pour Roditi et Salles (2015), il s’agit d’une « mise en fonctionnement directe d’une procédure » (p. 240). Les items du deuxième niveau ou applications avec adaptation (AA) nécessitent l’adaptation de l’outil mathématique (évoqué de manière directe ou indirecte dans l’énoncé) à la situation proposée. Selon Roditi et Salles (2015), cette adaptation peut prendre des formes différentes : effectuer un changement de cadre ou de registre, mettre en relation différents objets mathématiques, isoler une figure pertinente d’une figure complexe, etc. Ils parlent alors d’une « mise en fonctionnement d’une procédure avec adaptation de l’énoncé » (p. 241). Le troisième niveau ou les applications avec des intermédiaires (AI) concerne des tâches dont la résolution nécessite que l’élève mobilise des connaissances et/ou des techniques et qu’elle ou il introduise des étapes intermédiaires qui ne sont pas données par l’énoncé. Il s’agit de ce fait des applications que Robert et Rogalski (2002) caractérisent comme non simples (énoncés sans indications, nécessité de plusieurs étapes) et non isolées (utilisation de plusieurs connaissances, leur mise en relation et interprétation), qui, selon Roditi et Salles (2015), mettent « en fonctionnement une procédure avec introduction d’intermédiaires » (p. 241). Robert et Rogalski (2002) concluent que la réussite de ce type d’énoncé indique « que ces connaissances sont disponibles chez les élèves » (p. 12). De plus, il faut aussi tenir compte des « niveaux relatifs aux connaissances actuelles des élèves » (p. 12). De ce fait, un même exercice peut aboutir à des applications différentes. Il nous semble aussi important de relever que les analyses de Roditi et Salles (2015) ont montré « une dispersion relativement importante de la difficulté des items » (p. 251) au sein de chaque niveau de mise en fonctionnement des connaissances dont ils concluent que ce critère n’est pas suffisant pour déterminer la difficulté d’un item. Cependant, ils montrent aussi que les trois niveaux de mise en fonctionnement des connaissances qui représentent « une exigence croissante de l’activité mathématique correspondent également à une difficulté croissante pour les élèves » (p. 252).

56Pour mener notre analyse, à partir de chaque énoncé sur la période 2014-2017, nous avons déterminé le niveau de mise en fonctionnement des connaissances (AD, AA, et AI) de chaque item. En outre, comme l’IB classe les questions dans l’ordre croissant de difficulté dans chaque épreuve, cela nous a permis d’attribuer un niveau de difficulté à chaque question selon la position dans l’épreuve (facile F, moyen M et difficile D). De plus, nous avions aussi accès au rapport des examinateurs pour chaque item, ce qui nous a permis de connaître le niveau global de réussite de chaque question et de donner un label : bien réussi (BR), moyennement réussi (MR), pas réussi (PR). Cet ensemble d’informations nous a permis de poser un regard croisé sur ces items. Ci-dessous nous donnons trois exemples de cette classification.

Figure 101. Exemple d’une tâche considérée comme une application directe (AD), facile (F) et bien réussi (BR)

57Dans ce premier exemple (figure 101), l’énoncé demande d’exécuter des techniques isolées pour lesquelles la connaissance principale (dans une suite arithmétique…) est donnée, il reste à la charge de l’élève d’appliquer les formules et d’effectuer les calculs.

58Voici un autre énoncé :

Figure 102. Exemple d’une tâche considérée comme une application avec adaptation (AA), difficile (D) et pas réussi (PR)

59Ce deuxième énoncé (figure 102) situe indirectement la question dans le contexte des suites et séries et la marche à suivre est seulement partiellement indiquée dans la question a. Cependant, pour trouver l’expression générale pour la partie b les élèves doivent reconnaître à partir des premiers termes générés qu’ils forment d’une part une suite arithmétique et d’autre part une suite géométrique.

Figure 103. Exemple d’une tâche considérée comme une application avec des intermédiaires (AI), difficile (D) et pas réussi (PR)

60Dans ce troisième exemple (figure 103), les parties a et b de l’item sont une application directe, car dirigée par l’énoncé, il n’y a pas de prise d’initiative, ni de traduction à opérer. Cependant, dans la partie c, pour déterminer la probabilité demandée, il faut reconnaître une suite géométrique dans la forme 3/8r^k pour ensuite calculer sa somme et la limite.

61On trouve aussi des items qui font appel dans une certaine mesure à la démarche expérimentale5 où on demande de rechercher des régularités, émettre une conjecture et trouver une formule générale (voir figure 104) ou bien de reconnaître une suite ou série arithmétique ou géométrique à partir d’une régularité (figure 105).

Figure 104. Item faisant appel à une démarche expérimentale, dans le cadre d’un problème de généralisation (AA, M, BR)

Figure 105. Item faisant appel à une démarche expérimentale dans le cadre d’un problème de généralisation (AI, D, PR)

62Cette catégorisation d’items nous a permis d’établir une correspondance entre les différents types d’items que nous avons identifiés dans les examens standardisés et les objectifs globaux énoncés au début de cette section. Les items du premier niveau de mise en fonctionnement de connaissances (AD) reflètent principalement le premier objectif (Connaissances et compréhension), ils sont globalement bien réussis, même si quelques-uns posent des difficultés liées notamment à la complexité de la technique à mobiliser. Parmi les items classés AA ou AI, la majorité de ceux proposés par les concepteurs nécessite un raisonnement hypothético-déductif et/ou une implication logique et vise à évaluer les objectifs 2 (Résolution de problèmes) et 5 (Raisonnement). Par ailleurs, les items qui nécessitent le recours à la démarche expérimentale visent à évaluer les objectifs globaux 2 (Résolution de problèmes) et 6 (Approche par investigation) et sont classés comme AA ou AI. Cela ne suffit cependant pas à affirmer que tous les items classés AA sont représentatifs de la résolution de problèmes, car l’élève est souvent très guidé·e dans la résolution par les sous-questions proposées et n’effectue en fin de compte que des tâches isolées AD avec quelques pas de raisonnement pour les relier. Les items AI nécessitent par contre de façon générale une prise d’initiative plus importante de la part de l’élève. Cela montre qu’on se rapproche de la résolution de problèmes tout en étant conscient des limites imposées par les conditions d’examen. L’objectif 4 (Technologie) est évalué à travers les items de l’épreuve 2 qui sont conçus de telle manière que leur résolution efficace nécessite l’utilisation appropriée d’une calculatrice à écran graphique.

63La figure 106 montre la répartition moyenne des items selon le niveau de mise en fonctionnement des connaissances. Nous pouvons alors constater que presque la moitié de l’examen est dédiée aux tâches nécessitant peu de prise d’initiative à la charge de l’élève. Nous pouvons cependant voir que les tâches AI trouvent quand même une petite place dans les épreuves standardisées.

Figure 106. Répartition moyenne des items selon la nature de la mise en fonctionnement des connaissances

64Si on croise le type d’items avec le niveau de réussite, on remarque une forte corrélation : plus la prise d’initiative est laissée à la charge de l’élève, moins bien l’item est réussi. Cette tendance est représentée dans la figure 107. Nous avons pu observer sur les items AA que l’exécution des tâches simples demandées par les sous-questions est globalement bien réussie, mais les rapports des examinateur·trices relèvent que c’est souvent le raisonnement qui amène à faire le lien entre les différentes sous-tâches qui provoque des difficultés chez les élèves. Ce même phénomène a été observé chez Demonty et coll. (2015) concernant la réussite des tâches complexes au sens de Rey et coll. (2005). En effet, ces auteurs ont constaté que dans ce cas, le découpage en sous-tâches simples n’est pas vraiment bénéfique pour réussir une tâche complexe.

Figure 107. Répartition moyenne des items en fonction de la réussite

65Ainsi, nous pouvons constater que dans cette partie externe de l’évaluation, l’IB propose quelques tâches de type AI qui se rapprochent le plus de la résolution de problèmes, mais que cela reste marginal. Certes, l’obtention du diplôme n’est pas conditionnée par la réussite des items AI, mais ces items servent néanmoins à attribuer les notes selon les capacités des élèves à mobiliser et mettre en relation leurs connaissances mathématiques dans un contexte non familier. Les admissions universitaires semblent elles aussi tenir compte de ce phénomène, car pour être admis dans certaines filières prestigieuses6, il est souvent demandé en plus que d’avoir suivi les cours du niveau avancé, d’avoir obtenu une note suffisante qui ne permet pas de contourner les items de type AI. Mais alors la résolution de problèmes et la démarche d’investigation ne sont pas mises en avant dans l’évaluation, ce qui peut être un frein à leur implémentation plus large dans les cours ordinaires.

L’évaluation interne en mathématiques

66Comme nous l’avons dit plus haut, l’évaluation interne constitue 20 % de la note finale et est entièrement dédiée à la démarche d’investigation. Sous le nom « Exploration en mathématiques », ce dispositif consiste en « un travail écrit impliquant une investigation dans un domaine des mathématiques » (IBO, 2012, p. 49). Le but est de permettre aux élèves « de prouver leurs compétences et leurs connaissances, et de s’attacher à des domaines qui les intéressent, sans les contraintes de temps et restrictions associées aux épreuves d’examen » (IBO, 2012, p. 49). Ce dispositif montre la volonté de l’IB d’évaluer principalement deux de ces objectifs globaux : la résolution de problèmes et l’approche par investigation. L’« Exploration en mathématiques » est évaluée sur 20 points selon 5 critères qui visent à évaluer non seulement les connaissances et la compréhension des contenus mathématiques stricts, mais tiennent aussi compte des compétences au sens plus large afin de mener à bien ce travail d’exploration. La description synthétique de ces critères mis en lien avec les objectifs globaux d’évaluation est donnée dans le tableau 39.

67Ces critères sont en concordance avec tous les objectifs globaux sauf le quatrième (Technologie) qui n’est pas directement évalué par ce dispositif, même si les élèves sont fortement encouragés à avoir recours à la technologie lors de leurs explorations.

68La fonction première de cette grille est de permettre d’effectuer une évaluation certificative des élèves dans ce dispositif. Elle est mise à disposition des enseignant·es qui doivent se l’approprier et elle fait l’objet de formations proposées aux enseignant·es de l’IB. En effet, pour s’assurer que ces critères sont interprétés et appliqués de la façon la plus uniforme par tous les enseignant·es, l’institution propose des formations sous forme de « workshop » et met à disposition des enseignant·es des explorations corrigées et commentées par les examinateurs ou les examinatrices expertes. Lors de ces formations, données par un examinateur ou une examinatrice experte, les participant·es se familiarisent avec la grille et les critères, l’appliquent sur des explorations proposées et peuvent échanger ou confronter leurs décisions avec d’autres enseignant·es et l’expert·e. L’institution prend donc en charge la formation des enseignant·es à l’utilisation de la grille. Pour assurer l’objectivité de l’évaluation interne, le travail des élèves de l’IB est évalué en interne par l’école et un échantillon est ensuite envoyé à un examinateur ou une examinatrice externe pour modération. Ceci pousse aussi les enseignant·es d’un même établissement à une collaboration étroite et va parfois jusqu’à la mise en place d’une double correction des travaux d’élèves. L’IB encourage les enseignant·es à mettre la grille d’évaluation à disposition des élèves, en s’assurant de leur compréhension de l’application des critères et de leur signification. Les enseignant·es peuvent aussi partager avec leurs élèves des explorations « modèles » mis à disposition par l’IB. Ces échantillons d’explorations (élaborées par de vrai·es élèves) ont obtenu des notes différentes et cela permet de montrer l’application des critères sur des exemples concrets. Une des activités proposées pour favoriser la familiarisation des élèves avec cette grille consiste à laisser les élèves utiliser elles et eux-mêmes la grille d’évaluation pour corriger les exemples des explorations « modèles ». Cela est donc proche d’une évaluation entre pairs, dans une visée d’appropriation des critères d’évaluation par les élèves leur permettant peut-être même de poser un regard réflexif sur leur propre exploration.

69Même si cette évaluation est avant tout à caractère certificatif, le processus de l’« Exploration » donne lieu à des interventions formatives de l’enseignant·e. Le guide précise que :

L’enseignant doit être en mesure de donner des conseils appropriés aux élèves à chaque étape de l’exploration, par exemple, en dirigeant les élèves vers des pistes d’enquêtes plus productives, en suggérant des sources d’informations pertinentes et en donnant des conseils généraux sur le contenu et la clarté de l’exploration lors de sa rédaction. Il est de la responsabilité des enseignants d’indiquer aux élèves la présence d’erreurs, mais non pas de les corriger de façon explicite. Il est important de noter que les enseignants doivent s’attendre à ce que les élèves les consultent tout au long du processus. (IBO, 2012, p. 52-53)

70Cette grille nous permet de mieux comprendre la fonction formative de ce dispositif que nous allons expliciter sur l’exemple suivant. Si l’on regarde de plus près, le critère E : « Utilisation des mathématiques » a, avec ses 6 points, le plus grand poids dans cette grille. On peut cependant constater que cela représente seulement 30 % du poids total dédié à l’évaluation de la capacité des élèves à mobiliser et utiliser des outils mathématiques. Le tableau 40 donne les descripteurs détaillés pour ce critère et le Guide (IBO, 2012) indique que « les mathématiques explorées doivent, soit faire partie du programme, soit être d’un niveau similaire ou supérieur » (p. 55) et précise qu’au plus 2 des 6 points peuvent être attribués, si le niveau des mathématiques est jugé inférieur à celui du cours.

71De ce fait, chaque élève, indépendamment de ces capacités mathématiques stricto sensu, est encouragé à s’engager dans une activité mathématique lors de son exploration, car le niveau et l’utilisation seule des mathématiques ne constituent pas un critère déterminant pour la réussite. Si un·e élève faible explore des mathématiques ajustées à son niveau (et obtient moins de 2 points sur ce critère), elle ou il a la possibilité de manifester les compétences évaluées sur les 4 autres critères et réussir non seulement son évaluation certificative, mais développer d’autres compétences et garder en bonus une expérience positive des mathématiques. En ce sens, l’accompagnement et les régulations de l’enseignant·e jouent un rôle crucial pour exploiter le potentiel intégral de ce dispositif. Le guide (IBO, 2012) souligne le rôle important de l’enseignant·e qui doit non seulement s’assurer que les élèves connaissent les exigences et les critères d’évaluation de ce type de travail, mais aussi inciter les élèves à entamer les discussions pour obtenir des conseils.

72On voit donc que le dispositif « Exploration en mathématiques » est façonné par de nombreuses contraintes externes qui pèsent sur l’institution, notamment l’entrée à l’université qui nécessite qu’il y ait un examen standardisé, mais aussi par des conditions internes telles que les dispositifs de formation continue des enseignant·es ou la mise à disposition des ressources. Ces conditions représentent le compromis que l’IB a mis en place pour refléter sa philosophie éducative. La grille d’évaluation développée par l’IB est un outil à double visée : favoriser une activité mathématique riche d’une part et assurer l’évaluation certificative de manière aussi objective que possible d’autre part. Le dispositif ainsi conçu et évalué permet aux élèves d’expérimenter dans une certaine mesure une véritable activité mathématique sans obligation de résultat. Quant à l’enseignant·e, elle ou il peut ajuster le choix du sujet et le niveau des mathématiques qui en découlent aux capacités réelles de l’élève sans compromettre l’obtention du diplôme. Ce dispositif montre aussi que l’évaluation de la résolution de problèmes et plus spécifiquement de la démarche d’investigation est un processus complexe qui ne se résume pas au simple fait de cocher juste ou faux pour le résultat final.

Conclusion

73L’IB en tant qu’institution a trouvé des moyens pour intégrer la résolution de problèmes dans l’évaluation à travers des dispositifs qui s’inscrivent dans sa philosophie éducative. Du côté de l’évaluation externe, comptant pour 80 %, on trouve des examens standardisés, et donc une évaluation plus tournée vers des connaissances et des techniques. Cependant, nos analyses montrent que la dimension de résolution de problèmes n’est pas totalement absente de cette partie plus classique de l’évaluation externe. De fait, si la résolution de problèmes n’est pas suffisamment prépondérante dans l’ensemble de l’évaluation en mathématiques de l’IB pour être un facteur discriminant de réussite, elle semble néanmoins peser suffisamment pour certainement discriminer les meilleurs élèves et donc donner l’accès aux études les plus prestigieuses. Pour la part de l’enseignement plus « classique », on peut inférer des différentes contraintes qui pèsent sur le système et de la nature de l’évaluation externe que la résolution de problèmes aura une place assez modeste dans les enseignements. Notre travail de recherche s’est davantage focalisé sur les pratiques des enseignant·es et le travail des élèves pendant la réalisation du dossier d’exploration, dont nous rendons compte dans la dernière partie de ce chapitre. C’est donc principalement le dispositif d’évaluation interne comptant pour 20 % de la note et portant entièrement sur la résolution de problèmes et la démarche d’investigation que nous avons analysé. Nous avons montré que ce dispositif ne se limite pas strictement à évaluer l’acquisition des concepts mathématiques, mais élargit le champ à d’autres compétences liées à la démarche d’investigation. Dans ce dispositif le travail écrit final des élèves fait essentiellement l’objet d’une évaluation certificative, cependant le processus de son élaboration donne lieu à des interventions de l’enseignant·e et des interactions avec les élèves qui relèvent davantage de l’évaluation formative. C’est bien dans ces interactions que les élèves apprennent à développer des capacités de recherche, de questionnement, de réflexion critique, de rédaction, etc.

Quelques repères théoriques et méthodologiques

76Pour bien mettre en exergue l’importance de la démarche d’investigation, Chevallard (2005) compare le paradigme dominant de l’étude scolaire à une visite des œuvres dans un musée. Dans cette comparaison, le rôle de l’enseignant·e consiste à faire visiter aux élèves les contenus mathématiques qui ont été désignés pour être enseignés sans en questionner les raisons d’être, ce qu’il appelle la monumentalisation de l’enseignement des mathématiques. En opposition, il définit un nouveau paradigme didactique : le paradigme du questionnement du monde. L’émergence de ce nouveau paradigme implique également un nouveau format d’étude. Ainsi dans le modèle de la TAD, s’engager dans une enquête, c’est s’engager dans un parcours d’étude et de recherche (PER) (Chevallard, 2009). Les rôles et les responsabilités des élèves et des enseignant·es sont ainsi redéfinis. En effet, Chevallard (2011, p. 15‑16) définit le nouveau rôle de l’enseignant·e comme celui de directeur ou directrice d’études, c’est-à-dire celui d’aider les élèves à rechercher divers moyens de validation plutôt que de se comporter comme un distributeur ou une distributrice de connaissances. Ainsi, les conditions et contraintes qui déterminent l’implémentation de la démarche d’investigation influenceront les places et rôles respectifs des élèves et de l’enseignant·e : la topogenèse. Dans ce paradigme, un système didactique (un groupe d’étudiant·es et un groupe d’enseignant·es) est constitué afin d’investiguer la question Q et d’en élaborer une réponse. Cette réponse R^♥ est construite en interaction avec un milieu M, constitué de réponses toutes faites et validées par l’institution R^◊ et des ressources (œuvres) O_j, qui sont des outils d’analyse pour valider ou rejeter des réponses partielles et permettent d’avancer ainsi dans l’enquête. Selon le type d’enquête, ces ingrédients principaux peuvent être complétés par des questions dérivées Q_k et des données D_k. Le milieu représente « tout système qu’on peut regarder comme dénué d’intention dans la réponse qu’il peut apporter, de manière explicite ou implicite, à telle question déterminée » (Chevallard, 2008, p. 344). Sans entrer plus en détail, ce modèle nous procure une base théorique adéquate pour approcher l’implémentation du dispositif « Exploration en mathématiques » dans le cadre de l’IB. En effet, dans une classe, nous identifions des systèmes didactiques formés de l’enseignant·e et d’un·e élève pour une exploration. Outre leur enseignant·e, les élèves peuvent consulter différentes ressources (sites internet, vidéo YouTube, tuteur·trice, livres, etc.) ou avoir recours aux différents outils technologiques (GeoGebra, Wolfram alpha7, etc.). C’est ce que la TAD rassemble sous le terme de média, qui désigne tout système qui apporte de l’information sur le monde ou sur une de ses parties et qui s’adresse à un certain type de public : le cours de l’enseignant·e, une revue, un site Internet, etc. (Chevallard, 2008). Nous tenons à souligner particulièrement l’importance des médias dans l’exploration parce qu’ils fournissent des informations nécessaires qui ne sont pas toujours données, ou connues des élèves et sans lesquelles le travail d’exploration serait difficile à réaliser. Lors d’une démarche d’investigation, le milieu est en constante évolution. Sa dynamique, selon Bosch (2018), « is captured in terms of some dialectics that describe the production, validation and dissemination of A^♥ » (p. 4008). En outre, cette exploration serait bien sûr impossible sans la présence d’un va-et-vient entre l’information provenant de ces médias et le milieu qui va évoluer et s’enrichir au fur et à mesure en fonction des informations retenues ou rejetées, c’est ce qu’on appelle la dialectique médias-milieux. Selon Chevallard, cette dernière joue un rôle important dans la construction de la réponse R^♥ et dans le processus de validation, car :

[…] l’existence d’une dialectique vigoureuse (et rigoureuse) entre médias et milieux est une condition cruciale pour qu’un processus d’étude et de recherche ne se réduise pas au recopiage acritique d’éléments de réponse épars dans les institutions de la société. (Chevallard, 2008, p. 345)

77Les avancées récentes dans la TAD (Para & Otero, 2018) montrent que certaines dialectiques sont indispensables pour qu’une véritable enquête puisse avoir lieu. Selon Bosch (2018), la dialectique média-milieu influence en premier lieu la mésogenèse8 de la démarche d’investigation et, de ce fait, joue un rôle important dans la constitution et l’enrichissement progressif du milieu de l’élève. Elle souligne par ailleurs que la dialectique question-réponse permet de voir l’avancement de l’enquête et contribue ainsi à la chronogenèse9 de la démarche d’investigation. Cette dialectique permet notamment de déployer et de décrire les différents chemins suivis au cours du processus d’enquête (y compris les impasses et les tentatives abandonnées).

78Ce modèle de la TAD, nous a permis de capturer les interactions de chaque élève avec les médias, de décrire comment les informations provenant des médias sont admises dans le milieu et comment le milieu évolue selon qu’une information est retenue ou rejetée. Dans ce qui suit, nous allons brièvement expliquer comment nous avons mis en place une méthodologie d’analyse du travail d’exploration des élèves de l’IB en termes des dialectiques média-milieu et question-réponse pour comprendre le rôle que ces dialectiques jouent dans la démarche d’investigation. Puis nous donnerons quelques résultats de notre analyse du travail d’une élève.

Méthodologie de la recherche

79Nous avons suivi deux10 élèves volontaires dans la même classe de Mathématiques NM tout au long du processus de l’élaboration de leurs explorations11. Nous avons mené deux entretiens pré- et post-exploration afin d’avoir les informations concernant leur profil mathématique et leur vécu du dispositif. Puisqu’une partie importante du travail est réalisée à domicile et en autonomie, nous avons demandé aux élèves de garder toutes les traces dans un cahier de bord et d’enregistrer leur travail sur l’écran ou sur papier à l’aide d’une caméra embarquée installée sur un mini-trépied. Cela a été la difficulté principale pour obtenir nos données, car les élèves ne pensaient pas toujours à l’allumer, ce qui a entraîné quelques lacunes dans la chronologie. Nous avons tout de même pu obtenir des données raisonnables qui nous ont permis d’identifier les médias utilisés et les recherches effectuées par les élèves afin de reconstituer la chronologie de l’exploration a posteriori et notamment la dialectique des questions-réponses. Ainsi, les questions (prises dans le sens du cadre théorique) sont formulées a posteriori sur la base de l’activité visible de l’élève : à partir de ce qui est tapé dans la ligne de saisie de la recherche Google, d’un changement d’objectif visé ou d’activité de l’élève. Nous avons donc créé une liste chronologique de tous les éléments de l’exploration comme indiqué dans le tableau 41.

80Avec l’apparition des questions, la chronologie a tout naturellement été divisée en sections plus larges afin de fournir une vue d’ensemble de l’exploration et de capturer la chronogenèse comme on peut le voir dans l’exemple ci-dessous (tableau 42).

81Il est important de noter que la chronologie n’est pas exprimée en fonction du temps, mais en fonction de l’apparition des éléments dans l’ordre chronologique. Ces derniers sont à considérer comme des unités élémentaires.

82Afin de saisir la dynamique du processus d’enquête, il est essentiel de comprendre comment les informations issues des médias sont admises dans le milieu de l’élève et contribuent à la production de la réponse A^♥. Nous donc avons ainsi étiqueté chaque média comme, d’une part, pertinent ou non pertinent selon son potentiel à contribuer à l’exploration et, d’autre part, activé ou non activé selon l’action de l’élève par rapport à ce média. Nous considérons qu’un média est activé lorsqu’il y a une preuve observable comme la lecture, la prise de notes, le surlignage, le visionnement d’une vidéo, etc. Le contenu du média par rapport au milieu a été étiqueté comme admis, rejeté ou potentiel et enfin comme correct ou incorrect par rapport à la justesse de l’information.

83En nous basant ensuite sur les outils d’analyse de Schoenfeld (1985, p. 297-301) notamment sur la définition de l’épisode12 et en observant l’activité principale de l’élève, nous avons identifié et défini les épisodes suivants :

• Exploration : cet épisode est caractérisé par une recherche peu structurée d’information et précédée d’une question assez générale ;
• Étude : cet épisode commence au moment où un média retient l’attention de l’enquêteur ou l’enquêtrice, s’arrête et étudie le contenu de ce média. De nouvelles informations peuvent être admises dans le milieu ;
• Planification : durant cet épisode, l’enquêteur ou l’enquêtrice met en place un plan structuré pour procéder, cette phase peut être implicite ;
• Implémentation : l’enquêteur ou l’enquêtrice exécute un plan ou une marche à suivre ;
• Analyse : l’enquêteur ou l’enquêtrice s’efforce de mieux comprendre le problème, l’analyse à la lumière de nouvelles informations, simplifie ou reformule la question ;
• Vérification : désigne des épisodes où l’enquêteur ou l’enquêtrice vérifie les réponses obtenues des médias ou ses propres réponses produites ;
• Régulation : cet épisode tient compte des interventions à l’initiative de l’enseignant·e.

84Nous nous sommes ensuite intéressées à la productivité de chaque épisode et nous avons aussi identifié, pour chaque épisode, le thème lié aux contenus mathématiques abordés. Nous avons procédé de manière inductive et pour chaque catégorie, nous avons créé des labels génériques afin de décrire le plus fidèlement possible chaque épisode tout en essayant de limiter le nombre des labels. Par rapport à la productivité, nous avons identifié des épisodes productifs, non productifs, contre-productifs et non pertinents. Nous parlons d’un épisode productif lorsque les médias pertinents ont été activés, la ou les réponses institutionnelles ont été admises dans le milieu et une réponse correcte a éventuellement été produite. Dans les épisodes productifs, nous distinguons les épisodes enrichissant le milieu, avançant l’exploration et contribuant à la rédaction du rapport final. Un épisode est considéré comme non productif si, après une recherche, les médias pertinents sont activés, mais rien n’est admis dans le milieu et aucune action d’élève n’est menée ou aucune réponse n’est produite. Durant les épisodes non productifs l’exploration n’avance pas, car les recherches ne sont pas efficaces ou bien des informations potentiellement utiles ne sont pas repérées. Un épisode contre-productif se produit lorsqu’après une recherche des informations incorrectes sont admises dans le milieu et qu’une réponse incorrecte est produite. Il nous semblait important de considérer séparément les épisodes non pertinents car ils ont des effets moins néfastes sur l’exploration que des épisodes contre-productifs, mais seront quand même moins neutres que des épisodes non productifs. Cela arrive quand des informations non pertinentes sont admises dans le milieu et éventuellement une réponse non pertinente est produite. Quant aux thèmes abordés, ceux-ci sont bien sûr spécifiques à chaque exploration. Dans l’exemple de l’exploration dont nous rendons compte ici, nous avons repéré 5 grandes catégories : méthodologie, exploration du modèle quadratique, choix du modèle, exploration du modèle chaînette et rédaction.

85Ce codage nous a permis de créer des représentations graphiques de la chronologie de l’exploration et de mener des analyses à l’aide des tableaux croisés dynamiques. Nous proposons maintenant quelques résultats de l’analyse de l’exploration d’une élève que nous appellerons Rachel.

Une brève présentation du problème de l’exploration

86Rachel a choisi de mener l’enquête sur le pont Golden Gate de San Francisco (figure 108). Elle cherchait à savoir quelle forme prend le câble porteur, c’est donc un problème de modélisation. Pour cela, elle a analysé l’allure de la courbe formée par le câble porteur de ce pont et s’est demandé si celle-ci forme une parabole ou non.

Figure 108. Photo du pont de San Francisco utilisée par l’élève13

87À première vue, deux courbes qui ont une forme similaire pourraient être des candidats potentiels pour la modélisation : la parabole et la chaînette. La parabole est la représentation graphique d’une fonction quadratique, et la chaînette d’un cosinus hyperbolique. À noter que la chaînette est obtenue en suspendant un câble ou une chaîne entre deux points fixes. On pense généralement que les câbles de suspension sont des chaînettes, mais la réponse est loin d’être évidente. Dans le cas des ponts suspendus, lorsque le tablier horizontal du pont est suspendu à des tiges verticales fixées au câble porteur principal, des forces différentes agissent sur le câble porteur, et celui-ci prendra la forme d’une parabole. Cependant, pour pouvoir justifier un tel résultat, il faut mettre en œuvre des concepts et outils complexes d’analyse vectorielle et de son application en physique et en modélisation faisant appel aux équations différentielles. Nous en donnons une modélisation possible en e-Annexe 6.

Les connaissances antérieures de la classe et le profil de l’élève

88Au moment d’élaborer le travail d’exploration, les élèves de la classe observée avaient des connaissances disponibles sur les fonctions du 2^d degré, les fonctions trigonométriques ainsi que sur les bases de l’analyse, notamment la dérivée des fonctions connues et des applications à l’optimisation. En revanche, le programme ne couvre pas les fonctions hyperboliques, donc une modélisation par une chaînette nécessitait forcément le recours aux médias. La particularité de l’élève dont nous avons analysé l’exploration ici est qu’elle n’a pas vraiment suivi les cours d’introduction aux fonctions, notamment sur la fonction du second degré, car elle a commencé l’année scolaire dans le cours de Mathématiques NS dans lequel ces thèmes mathématiques sont considérés comme des prérequis. Quand elle a rejoint le cours de Mathématiques NM, cette partie du programme avait déjà été travaillée dans la classe. Globalement, il s’agit d’une élève plutôt scolaire et assidue au travail, venant d’une culture où l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques sont associés aux exercices répétitifs et aux calculs. Rachel décrit son niveau de mathématiques comme suit :

So basically I don’t know if I am good at it or is it just because I know the basics, I don’t know if I am logical.

89Elle considère que les personnes qui réussissent en mathématiques et les apprécient sont vraiment intelligentes. Elle-même préfère le côté calculatoire des mathématiques parce que « it’s not easy for me to visualize and apply math in the real world ». Rachel affirme aussi qu’en mathématiques elle aime les procédures de résolution utilisant l’algèbre. Quant au choix du sujet de son exploration, elle dit :

So first of all, I was thinking to do something in statistics only but then I was not able to get an exploration in statistics that has standard level, I mean that was standard level. So, I thought I would switch. I’ll do modelling of the San Francisco bridge using functions and because I have never done functions, doing this might help me you know…

90Elle a donc pensé que le travail d’exploration pourrait l’aider à mieux comprendre les fonctions. Rachel trouve le dispositif d’exploration stressant mais aussi « sympa », car :

[…] you can do it on your own and it’s not gonna come on the exams so it’s something apart from the curriculum and it is interesting, so you get to know other things, like it’s not from the textbook. So, you don’t have that pressure that you need to remember it for a long time. Like you can positively learn it. Like genuinely… because you are genuinely interested in that, it will actually get into your head.

91Nous allons voir maintenant ce que l’analyse en termes de dialectiques média-milieu et question-réponse nous permet de comprendre sur la façon dont l’élève a mené son exploration et sur ce qu’elle a vraiment appris tout en tenant compte de son profil et de ses connaissances antérieures.

Le regard global sur l’exploration : quelques résultats intéressants

92L’exploration avec ses 597 unités élémentaires dont 81 questions a été découpée en 113 épisodes : 25 sur la méthodologie, 49 sur le modèle quadratique, 15 sur le choix du modèle, 5 concernant le modèle chaînette et 21 sur la rédaction du rapport. Dans un premier temps, nous allons regarder la productivité des épisodes au sein des cinq thèmes principaux repérés dans l’exploration et représentés à l’aide de la figure 109.

Figure 109. Chronologie de l’Exploration – Productivité versus Thème

93Nous pouvons remarquer que la majorité du travail de l’élève lors de son exploration concerne le modèle quadratique. Dans ce thème, 60 % de ces épisodes sont productifs et seulement un est contre-productif. Au début de l’exploration, nous avons identifié une série d’épisodes non productifs (en gris sur la figure 109) et une série d’épisodes non pertinents dans le deuxième quart de l’exploration (en orange sur la figure 109). Ces épisodes (non productifs ou non pertinents) font partie intégrante de l’enquête et sont même inévitables pour son avancement. Ils montrent bien que l’enquête n’est d’une part pas un processus linéaire et que d’autre part, elle évolue dans le temps. De l’autre côté, seulement 13 % des épisodes sont identifiés dans le choix du modèle et environ 4 % se passent dans l’exploration du modèle chaînette. Enfin, 23 % sont consacrés à la rédaction du rapport et 18 % à la méthodologie. Nous constatons que le travail autour du modèle quadratique se caractérise par une activité riche et nous observons un rapport inversement proportionnel entre le nombre d’épisodes et l’éloignement progressif de cette zone de confort de l’élève ou de ce que Chevallard (2003) désigne comme l’univers cognitif de l’élève14. On peut alors émettre l’hypothèse que plus la nature de l’exploration amène l’élève à s’éloigner de ses connaissances, moins il y a d’activité et la proportion d’épisodes contre-productifs augmente également. Pour illustrer ces faits, on peut voir qu’il n’y pas d’épisode contre-productif dans la rédaction du rapport et dans la méthodologie, la proportion des épisodes contre-productifs s’élève à 10 % quand l’élève opère dans le modèle quadratique, en revanche il y en a 8 sur 13 dans le thème choix du modèle. Par ailleurs l’activité mathématique au sein des 5 épisodes dans le modèle chaînette, est très limitée. Cette première approche nous permet donc de dégager ces quelques généralités ; cependant pour mieux rendre compte des processus de recherche, et identifier les apprentissages ou les blocages, nous avons procédé à une analyse détaillée de certains épisodes clés dont nous présentons dans la suite quelques exemples concrets.

L’exemple d’une séquence d’épisodes productifs dans le modèle quadratique

94Dans le modèle quadratique, sur les 49 épisodes repérés, il y a 30 épisodes productifs (62 %), 9 non productifs (18 %), 9 non pertinents (18 %) et seulement 1 contre-productif (2 %). Ces épisodes témoignent d’une activité mathématique riche et d’une abondance de dialectiques médias-milieux. Nous avons repéré en particulier deux médias qui ont largement contribué à la réussite de cette partie : un document, trouvé dès les premières recherches, donne un protocole à suivre pour modéliser un pont avec une fonction quadratique (voir figure 110) et un tutoriel sous forme de vidéo qui propose une modélisation quadratique d’un câble de suspension du pont Lion’s Gate (figure 111).

Figure 110. Extrait du document Doc2.115

Figure 111. Capture d’écran de la vidéo V21.116

95Si on compare ces documents avec les productions trouvées dans le cahier de bord de l’élève (figures 112 et 113), nous constatons qu’elle a réussi à extraire les informations pertinentes de ces deux médias, à les intégrer dans son milieu, à les adapter et à les appliquer au problème de son exploration.

Figure 112. Modélisation quadratique du pont Golden Gate (extrait du logbook)

Figure 113. Calcul de la fonction quadratique (extrait du logbook)

96Cette production extraite du cahier de bord permet d’illustrer les dialectiques question-réponse et média-milieu qui aboutissent à la production d’une réponse correcte et à un apprentissage des connaissances liées aux fonctions quadratiques dont cette élève n’a pas pu bénéficier dans son cursus scolaire. Cet exemple pourrait donner l’impression que l’apprentissage s’est fait rapidement et sans détour, mais en réalité il a donné lieu à une activité mathématique riche caractérisée par des recherches, des rencontres avec différents objets mathématiques, des moments de réflexion, mais aussi par des blocages, des impasses ou des pistes non pertinentes.

97Cependant la question de l’exploration était de savoir quelle forme prend un câble porteur d’un pont suspendu comme le pont Golden Gate à San Francisco. Et c’est précisément là où Rachel a rencontré le plus de difficultés. Nous allons donc passer ces épisodes à la loupe afin de repérer ce qui a pu conduire à ces difficultés.

L’effet des régulations sur l’exploration

98Nous avons repéré 15 épisodes liés au choix du modèle (dont 6 étaient des régulations) : 4 productifs, 2 non productifs, 8 contre-productifs et 1 non pertinent. Au début de l’exploration, nous avons repéré 2 épisodes de régulation qui étaient contre-productifs. Il s’agit notamment de 3 interventions de l’enseignant qui, dans une rencontre avec l’élève, lui a dit : « ce n’est pas une parabole », « c’est une chaînette » et « tu peux essayer de modéliser ça avec une parabole et conclure que ce n’est pas une ». Nous rappelons au passage que l’enseignant doit encadrer une vingtaine d’explorations et qu’il serait impossible de conduire une enquête sur chacun des sujets choisis par les élèves. De plus, c’est une croyance assez générale que le câble porteur d’un pont suspendu forme une chaînette. Compte tenu de ces circonstances, il est presque impossible pour l’enseignant de donner des réponses précises. Ces informations ont été admises dans le milieu et Rachel a par la suite littéralement suivi les conseils de l’enseignant. Elle a su trouver correctement l’équation de la fonction quadratique dont la courbe se superpose plus ou moins parfaitement à sa photo du pont et elle a ensuite tout fait pour montrer et conclure que le câble porteur n’était pas modélisé par une parabole et ceci malgré plusieurs recherches menant aux réponses remettant en question l’information de l’enseignant. On peut donc dire qu’à partir du moment où la fausse information est donnée par l’enseignant, le milieu est « contaminé » et il en résulte que des informations de médias pertinents, qui auraient pu rectifier le tir, sont systématiquement rejetées même si ces médias procuraient des explications accessibles en faveur du modèle quadratique du câble de suspension. Outre ces régulations de l’enseignant, le milieu expérimental que Rachel a construit pour la validation respectivement l’invalidation de sa réponse donnait des rétroactions erronées (figure 114). Cela était notamment lié à la photo prise de l’angle et le placement de cette dernière sur le plan orthonormé sans tenir compte de l’échelle.

Figure 114. La parabole superposée sur la photo du pont

99Rachel, à partir de l’observation de la parabole sur la photo du pont (figure 114), a donc conclu : « Comme on peut le voir, la parabole n’épouse pas correctement la forme du câble, et cela veut dire que le câble de suspension du Golden Gate bridge, ne forme pas une parabole entre les deux tours. » Cependant, elle n’a pas su tirer profit du commentaire que son enseignant lui fait à ce moment : « Je vérifierais avant d’affirmer cela. » Ce commentaire s’avère donc inefficace et peut-être est-il arrivé trop tard dans le processus de l’exploration. À la suite le modèle quadratique est donc clairement rejeté et Rachel continue l’exploration du modèle « chainette ».

L’exploration du modèle « chainette »

100Compte tenu de cette évolution de l’exploration, nous pouvons maintenant expliquer ce qui s’est passé dans la partie concernant le modèle chaînette. Nous avons donc procédé à une analyse qualitative en termes de dialectique média-milieu. Nous avons identifié seulement cinq épisodes dans ce thème, ce qui montre qu’il y a eu peu d’activité de l’élève. Nous pouvons expliquer cela à la fois par le fait que les contenus mathématiques concernant les fonctions hyperboliques lui étaient inaccessibles et aussi par manque de temps avant le rendu final du dossier. Nous avons trouvé quatre épisodes productifs et seulement un contre-productif, ce qui pourrait donner l’impression d’une certaine maîtrise. Or, il y a certes les épisodes productifs qui enrichissent le milieu, mais il s’agit principalement de réponses factuelles comme la définition de la chaînette, l’équation de cosinus hyperbolique et le paramètre a : y = a·coshx. De plus, la valeur a = 1372 était trouvée sur un site internet. Nous avons donc ici un exemple du copier-coller de réponses trouvées dans les médias et une conclusion hâtive et erronée basée purement sur la perception sur une image minuscule (figure 115).

Figure 115. Épisode 122 (extrait du rapport de l’élève)

101Dans ces cinq épisodes, les objets mathématiques en jeu s’avèrent être hors de portée de cette élève, trop éloignés de son univers cognitif. Ceci ne voue cependant pas son exploration à l’échec, elle en tire une expérience positive comme elle l’a exprimé dans l’entretien qui a eu lieu une fois son travail rendu :

Actually, exactly what happened was, I never learned functions before and then I came here and I was in HL maths first, so and they have done functions and it was all other level of functions and I had no idea of what was going on at all. So it was, I didn’t get a lot of opportunities to learn because they finished it very quickly as well, because functions, they finished it. So by doing this [exploration], my aim was to look through a lot more on functions and the thing is I didn’t know like what a negative a would do, you know, equation like I didn’t know what negative a would like flip the parabola. I didn’t know which one would stretch and which one would [incomprehensible] and stuff like that. And I learned all of that now, when I was doing stuff17.

Conclusion et perspectives

102L’analyse en termes de dialectiques média-milieu nous a permis de mieux comprendre l’évolution du milieu lors d’une démarche d’investigation. Nous avons identifié quatre cas de figure qui nous ont permis de caractériser les épisodes en termes de productivité. Quand le milieu fonctionne correctement et donne la rétroaction nécessaire, la dialectique média-milieu se met en route et l’élève est alors capable d’activer un média pertinent et de rejeter un média non pertinent. Ceci aboutit généralement à une série de dialectiques question-réponse et média-milieu jusqu’à ce que l’élève obtienne une réponse satisfaisante à son enquête. C’est ce qui caractérise les épisodes productifs, qui sont bénéfiques lors d’une démarche d’investigation. Cependant, il arrive aussi que l’élève passe à côté d’une information importante et qu’un média pertinent soit rejeté. Ceci peut arriver soit lorsque l’élève « zappe » entre les différents médias et ne se montre pas suffisamment assidu dans l’étude des réponses ou bien quand le milieu activé est « insuffisant » et ne permet pas d’accéder à l’information, parce que celle-ci est « trop loin » de son univers cognitif. Dans ces deux derniers cas, il peut arriver qu’une information non pertinente ou erronée soit admise dans le milieu et le contamine. Dans un tel cas, tout concourt à ce que l’élève rejette des médias pertinents, alors qu’elle ou il sera enclin à poursuivre des pistes non pertinentes ou erronées. Ce sont des épisodes non pertinents respectivement contre-productifs. Le travail d’exploration en autonomie va forcément amener les élèves à sortir de leur univers cognitif et à construire de nouveaux savoir-faire et de nouvelles connaissances. Ces apprentissages semblent être étroitement liés à leur « distance » par rapport à l’univers cognitif de l’élève. En effet, quand l’élève rencontre des objets mathématiques dont le niveau est comparable à ceux que contient son univers cognitif, elle ou il semble pouvoir « se débrouiller » seul·e avec les médias auxquels elle ou il a accès et mener des recherches pertinentes et fructueuses.

103Nous avons aussi pu voir que dans le dispositif « Exploration en mathématiques », le topos de l’élève s’agrandit alors que le topos de l’enseignant·e reste minimal à cause des conditions et contraintes institutionnelles qui pèsent sur elle ou lui. En effet, l’enseignant·e devant encadrer une vingtaine d’explorations dans sa classe, n’est plus en position d’être la première source d’information comme on pourrait s’y attendre dans une classe régie par un contrat didactique classique. De ce fait, le topos des élèves s’agrandit : elles et ils se trouvent à travailler en autonomie, à naviguer dans les médias, à faire le tri entre les informations afin de décider de leurs pertinence et utilité. Cependant, nous avons pu montrer que malgré le topos minimal de l’enseignant·e, ses interventions ont un poids plus important que celui des autres médias. Cela a induit un fort effet « enseignant » parce que l’information en provenance de l’enseignant·e bénéficie d’une plus grande légitimité. Si donc cette réponse est non pertinente ou erronée, elle empêche l’enquête de se déployer correctement. Nous appelons ce phénomène « le paradoxe du topos inversé ». L’enseignant·e devant encadrer des explorations individuelles n’a tout simplement pas les moyens de mener une enquête pour chaque exploration de sa classe et n’a pas forcément les réponses toutes faites à toutes les questions des élèves. Ceci la ou le met dans une position d’enquêteur ou d’enquêtrice vis-à-vis des explorations qu’elle ou il encadre. De plus, le temps qu’elle ou il peut réellement dédier à encadrer chaque élève est relativement restreint. Cette contrainte a comme résultat qu’elle ou il doit se fier à sa culture mathématique générale ou bien aux informations apportées par ses élèves. Cependant, dans une classe régie par un contrat didactique « classique », l’enseignant·e reste une source d’information fiable sans comporter la nécessité de valider ou invalider les informations reçues, et ses réponses bénéficient donc d’un certain passe-droit dans le milieu.

104Ces analyses du dispositif « Exploration en mathématiques » ouvrent de nouvelles perspectives et donnent naissance à de nouvelles questions : Comment favoriser les épisodes productifs et limiter les épisodes contre-productifs lors d’une démarche d’investigation ? Quel pont construire pour relier l’univers cognitif de l’élève avec les nouveaux objets mathématiques rencontrés dans les médias ? Quels dispositifs de régulations pourraient permettre de limiter les effets néfastes d’un milieu contaminé ? Des premiers éléments de réponses pourraient se trouver du côté de la posture de l’enseignant·e : afin de limiter les effets du topos inversé, il est indispensable de renégocier un nouveau contrat didactique. Déjà adopter une posture de l’enquêteur ou de l’enquêtrice vis-à-vis des questions des élèves légitimerait des réponses comme « Je ne suis pas sûr·e » ou « Il me semble que c’est ça, mais allons vérifier… » sans perdre la face et limiterait l’acceptation sans critique de ses réponses. D’autres pistes sont à exploiter du côté de l’institution. Lors de ces explorations individuelles, les élèves vivent une certaine solitude face à leurs recherches. Or la recherche scientifique avance en communauté. Les chercheur·es travaillent souvent en équipe, partagent leurs idées, confrontent leurs réponses, échangent les questions… Si les dispositifs de la démarche d’investigation ont pour objectif aussi de permettre aux élèves d’expérimenter le travail d’un scientifique, pourquoi pas les laisser travailler en binômes ou en petits groupes pour l’ « Exploration en mathématiques » ? D’autant plus que le dispositif d’évaluation interne du projet en sciences se fait en groupe au sein même de l’IB.