Introduction et ancrage théorique

1Afin de compléter notre étude sur la résolution de problèmes de mathématiques, il nous a semblé important de sonder les destinataires principales et principaux de l’enseignement des mathématiques, à savoir les élèves genevois·es. Nous avons ainsi conçu un questionnaire visant à documenter la perception des mathématiques et de la résolution de problèmes par les élèves de la fin du primaire à la fin du secondaire II (Collège) à Genève. Nous présentons ici l’analyse des réponses à ce questionnaire.

2Afin de rendre compte de cette perception, nous nous situons au sein d’un courant de l’éducation mathématique connu sous le nom de mathematics related-affect. Au sens large, comme souligné par Hannula (2020), le mot affect englobe plusieurs facteurs liés au côté émotionnel du sujet. En effet, l’auteur considère l’affect comme « an umbrella concept for those aspects of human thought which are other than cold cognition, such as emotions, beliefs, attitudes, motivation, values, moods, norms, feelings and goals » (Hannula, 2012, p. 138). Les différentes spécificités de chacun de ces facteurs et leurs relations mutuelles sont bien illustrées par divers·es auteur·es (par exemple Cobb et coll., 1989 ; Farges, 2020 ; Grootenboer & Marshman, 2016 ; Leder & Grootenboer, 2005 ; McLeod, 1992 ; Op’t Eynde et coll., 2006 ; Verschaffel & De Corte, 2008 ; Zan et coll., 2006).

3Il s’avère très complexe de conduire des analyses en prenant en compte plusieurs facteurs à la fois, car chacun demande des choix méthodologiques ciblés pour pouvoir être investigués. C’est ainsi que nous nous sommes focalisé·es sur un seul de ces aspects, les beliefs, dont la caractéristique de stabilité qui les distinguent d’autres facteurs affectifs nous conforte en termes de « fiabilité » des analyses des données recueillies. Par exemple, Schoenfeld (1985) souligne que « issues of belief occupy a precarious middle ground between primarily cognitive and primarily affective determinants of mathematical behaviour » (p. 154). On voit donc clairement que les beliefs se positionnent à la lisière entre la sphère émotionnelle et la sphère cognitive. D’autres auteur·es ont explicité la conséquence de ce fait en comparant les beliefs avec les attitudes et les émotions : « […] beliefs, attitudes and emotions, and saw them as ranged along a dimension of increasing stability and decreasing intensity – with emotions as most intense/least stable, beliefs as most stable/least intense, and attitudes in between » (Zan et coll., 2006). Autrement dit, le fait que les beliefs se situent davantage du côté cognitif du sujet leur donne un caractère plus stable par rapport aux attitudes et émotions.

Méthodologie de recherche

4En didactique des mathématiques, plusieurs auteur·es se sont intéressé·es aux beliefs. Afin d’élaborer le questionnaire de cette étude, nous avons choisi la définition de beliefs élaborée par Op’t Eynde et coll. (2002) :

Students’ mathematics-related beliefs are the implicitly or explicitly held subjective conceptions students hold to be true about mathematics education, about themselves as mathematicians, and about the mathematics class context. These beliefs determine in close interaction with each other and with students’ prior knowledge their mathematical learning and problem solving in class. (Op’t Eynde et coll., 2002, p. 27)

5De plus, Op’t Eynde et coll. (2002) mettent également en évidence que les beliefs des élèves en mathématiques ont un impact sur « their decisions for solving problems, the approach chosen, the techniques and cognitive strategies used, even on a motivational point of view ».

6Dans leurs travaux, Op’t Eynde et coll. (2006), puis Verschaffel et De Corte (2008) proposent d’organiser les beliefs liés aux mathématiques selon trois catégories :

1. « Les beliefs au sujet de soi-même en relation à l’apprentissage et à la résolution de problèmes mathématiques ».
2. « Les beliefs à propos du contexte social dans lequel les activités mathématiques prennent place ».
3. « Les beliefs au sujet des mathématiques elles-mêmes ainsi que celles relatives à la résolution de problèmes et à l’apprentissage mathématique ». (Verschaffel & De Corte, 2008, p. 28)

7Sur la base de ces trois catégories, nous avons construit les différentes rubriques du questionnaire élève (voir e-Annexe 1) :

• « En mathématiques, j’aime… » (catégorie 1) qui nous informe sur le rapport personnel aux mathématiques de l’élève, et révèle ce qu’il aime par opposition à ce qu’il réussit ;
• « Quelqu’un qui est bon1 en maths est quelqu’un qui… » (catégorie 1) qui permet d’avoir accès aux opinions de l’élève sur ce que c’est, pour lui, qu’être bon en mathématiques ;
• « Comment je me sens quand je fais des mathématiques » (catégorie 1) qui permet de pointer des références aux émotions (peurs, inquiétudes, bien-être, aisance, confiance, etc.) ;
• « Dans notre classe des mathématiques… » (catégorie 2) qui permet de documenter les impressions sur le vécu de l’élève en classe ;
• « Selon toi, faire des mathématiques, c’est… » (catégorie 3) qui permet de rendre compte des opinions très générales sur les mathématiques.

8En résumé, ces différentes rubriques visent à collecter des informations à la fois sur la pratique ressentie par les élèves concernant la résolution de problèmes et sur leurs perceptions des mathématiques et de la résolution de problèmes.

9Nous avons déterminé les différents items en nous basant sur nos expériences de formateurs et formatrices. Les trois premières rubriques du questionnaire demandent aux élèves de se positionner grâce à une échelle de Likert à quatre points soit :

• en accord (1 : pas du tout d’accord, 2 : plutôt pas d’accord, 3 : plutôt d’accord, 4 : tout à fait d’accord) pour la rubrique « Selon vous, faire des mathématiques c’est… » ;
• en fréquence (1 : jamais ou presque, 2 : parfois, 3 : souvent, 4 : très souvent) pour les rubriques « Dans notre cours de mathématiques… » et « Comment je me sens quand je fais des mathématiques ? ».

10En attribuant un nombre de 1 à 4 à chaque point, la moyenne de chaque item pour chaque groupe d’élèves donne un ordre d’accord de ce groupe à l’item ou de fréquence de celui-ci pour un groupe donné.

11Pour les deux dernières rubriques du questionnaire : « Quelqu’un qui est bon en maths est quelqu’un qui… » et « En mathématiques, j’aime… », les élèves choisissent les trois affirmations (non hiérarchisées) avec lesquelles ils et elles sont le plus d’accord.

12Dans un premier temps, nous avons testé le questionnaire auprès de quelques élèves avec lesquel·les nous avons mené des entretiens afin d’évaluer, d’une part, la pertinence générale du questionnaire et, d’autre part, la richesse des items. Ainsi, nous avons été en mesure de réajuster certains items avant de le diffuser plus largement dans plusieurs établissements du canton de Genève du primaire au secondaire II (en nous limitant à la filière gymnasiale du secondaire II2). Nous avons recueilli 1352 réponses d’élèves réparti·es comme détaillé dans le tableau 3.

13Les analyses statistiques des réponses des élèves ont été réalisées avec le logiciel SPSS. Nous avons utilisé les statistiques descriptives pour déterminer des moyennes, des fréquences, et pour observer la répartition des réponses.

14Dans la partie suivante, nous exposons et discutons les résultats obtenus, en commençant par traiter séparément les réponses des élèves du primaire, du secondaire I et du secondaire II.

Résultats et discussion

15Nous présentons ci-dessous les résultats des statistiques descriptives portant sur tous les items proposés. Cependant, nous rendons d’abord compte de quelques informations générales sur l’échantillon d’élèves interrogé·es : âge, sexe, type d’établissement, langue maternelle, classe, niveau de mathématique auto-estimé.

Selon vous faire des mathématiques c’est…

18Le graphique sous forme de radar obtenu à partir des moyennes des items pour cette rubrique (figure 13) a une forme et des valeurs très proches pour les trois ordres d’enseignement. Il semble donc qu’en moyenne les élèves aient une conception des mathématiques qui soit relativement stable tout au long de la scolarité.

Figure 13. Radar des moyennes, rubrique « Selon vous faire des mathématiques c’est… »

19De plus, toutes les moyennes des items de cette rubrique sont comprises entre 2,75 et 3,55 (2 signifiant plutôt pas d’accord, 3 plutôt d’accord et 4 tout à fait d’accord, cf. e-Annexe 2), ce qui montre qu’en moyenne, les élèves sont plutôt d’accord avec tous les items proposés et qu’aucun ne ressort nettement. Ceci peut surprendre et tend à laisser penser que les élèves n’ont pas des opinions très tranchées sur les mathématiques.

20Dans le tableau ci-après (tableau 6) nous avons classé les réponses par ordre décroissant sur notre échelle d’accord (voir la répartition des réponses, e-Annexe 2) afin d’essayer de mettre en évidence des différences.

Tableau 6. Classement des items de la rubrique « Selon vous, faire des mathématiques c’est… » par ordre décroissant et selon les ordres d’enseignement

Primaire	CO	Collège
Être logique	Apprendre et appliquer des formules	Être logique
Faire des calculs	Être logique	Faire des calculs
Faire des essais, tester des hypothèses, tâtonner	Faire des calculs	Apprendre et appliquer des formules
Apprendre et appliquer des formules	Trouver la bonne façon de justifier une réponse	Trouver la bonne façon de justifier une réponse
Trouver la bonne façon de justifier une réponse	Faire des essais, tester des hypothèses, tâtonner	Résoudre des problèmes compliqués
Résoudre des problèmes compliqués	Résoudre des problèmes compliqués	Faire des essais, tester des hypothèses, tâtonner
Bien rédiger la solution	Bien rédiger la solution	Répondre à des questions nouvelles
Répondre à des questions nouvelles	Répondre à des questions nouvelles	Bien rédiger la solution

21Nous constatons que l’ordre des réponses évolue peu en fonction de l’ordre d’enseignement ; la conception « logique » est prépondérante partout, tout comme l’aspect calculatoire, alors que les conceptions « rédaction » (« Bien rédiger une réponse ») et « nouveauté » (« Répondre à des questions nouvelles ») sont classées aux deux dernières places pour tous les ordres d’enseignement.

22Néanmoins, il existe quelques différences subtiles entre les ordres d’enseignement. Ainsi la conception « procédurale » (« Apprendre et appliquer des formules ») arrive en première position au secondaire I, alors qu’elle n’est que 3^e au secondaire II6 et 4^e au primaire. A contrario, la conception « expérimentale » (« Faire des essais, tester des hypothèses et tâtonner ») arrive en 3^e position au primaire alors qu’elle n’est que 5^e au secondaire I et 6^e au secondaire II (Collège).

Dans notre classe de mathématiques, nous…

23Venons-en à présent à l’activité déclarée des élèves dans la classe de mathématiques.

Figure 14. Radar des moyennes, rubrique « Dans la classe de mathématique… »

24Ce graphique (figure 14) nous montre que, là encore, il y a peu de différences entre les trois ordres d’enseignement. Selon les déclarations des élèves, les activités les plus fréquentes dans la classe de mathématiques, quel que soit l’ordre d’enseignement, sont dans l’ordre décroissant : « Faire des exercices d’entraînement » et « Appliquer les méthodes que l’enseignant [nous] montre ». Il apparaît donc que c’est une perception de travail procédural et d’entraînement qui domine chez les élèves à tous les ordres d’enseignement. Toutefois, c’est toujours l’apprentissage par cœur qui est le moins plébiscité, ce qui peut surprendre, mais nous rassure aussi. De plus, si résoudre des problèmes est souvent cité (un peu moins au secondaire II), ce ne sont par contre pas des problèmes en lien avec la vie quotidienne, qui, eux, arrivent en queue de peloton de façon décroissante avec l’ordre d’enseignement. Parallèlement, nous pouvons aussi mettre en avant quelques différences. Ainsi, au primaire, les élèves pensent, davantage que les élèves du secondaire, qu’on leur laisse « assez de temps de réfléchir pour trouver les réponses ». Enfin, si au primaire les élèves ne semblent pas avoir besoin de se faire aider plus en mathématiques que dans les autres disciplines, cela change assez nettement au secondaire I et s’accentue encore au secondaire II. Ce résultat est à mettre en lien avec le fait que les élèves ont une estimation décroissante de leur niveau en mathématiques, comme noté plus haut.

Comment je me sens quand je fais des mathématiques

25L’analyse du graphique ci-dessous montre clairement qu’au fur et à mesure que l’on avance dans les ordres d’enseignement en moyenne les peurs et les inquiétudes augmentent, alors qu’au contraire le bien-être, la confiance et l’aisance diminuent dans la « pratique » des mathématiques.

Figure 15. Radar des moyennes, rubrique « Comment je me sens quand je fais des mathématiques ? »

26Ce radar (figure 15) montre des résultats différenciés entre le primaire et le secondaire. En effet, au primaire, les élèves se déclarent, plus que les élèves du secondaire, en accord avec les « émotions positives » et moins en accord avec les « émotions négatives ». Les émotions négatives les plus fréquemment déclarées concernent au primaire comme au secondaire I le fait de se sentir « plus perdu que dans les autres matières », alors qu’au secondaire II c’est à la fois avoir « peur de se tromper dans les calculs » et avoir « peur de ne pas comprendre le problème proposé ».

27Des similitudes apparaissent cependant aussi entre les trois ordres d’enseignement, comme l’ordre des fréquences des émotions positives qui ne change pas au fil des ordres d’enseignement. Ainsi, pour les émotions positives, on retrouve dans l’ordre décroissant : « à l’aise pour faire le travail demandé », « Je me sens bien car ce que j’apprends est clair, facile à appliquer » et « confiant car je comprends toujours les nouvelles notions ». Il apparaît donc que les émotions de bien-être ou d’aisance sont plus fréquentes chez les élèves que la confiance en eux et elles.

Quelqu’un qui est bon en maths est quelqu’un qui…

28Nous donnons ci-dessous le radar des réponses (figure 16) puis le tableau (tableau 7) qui présente les trois items de la rubrique qui ont été les plus choisis. Il est à noter qu’il y a des différences importantes dans le choix des items, certains étant très prisés alors que d’autres sont très peu populaires. Ainsi trouver des solutions originales et trouver rapidement ont des scores faibles, ce qui rompt avec l’image du « génial savant » véhiculée dans les médias, par exemple.

Figure 16. Radar des fréquences en pourcentage pour les items choisis, rubrique « Quelqu’un qui est bon en maths est quelqu’un qui… »

Tableau 7. Les 3 items les plus choisis de la rubrique « Quelqu’un qui est bon en maths est quelqu’un qui… » selon les ordres d’enseignement

Primaire	Secondaire I	Secondaire II
Penser logiquement	Penser logiquement	Penser logiquement
Savoir trouver et corriger ses erreurs	Connaître les formules et la théorie	Savoir appliquer les bonnes méthodes
Savoir appliquer les bonnes méthodes	Savoir appliquer les bonnes méthodes et savoir trouver et corriger ses erreurs	Savoir trouver et corriger ses erreurs

29Nous constatons qu’environ deux tiers des élèves pensent que pour être bon·ne en mathématique, il faut « penser logiquement », quel que soit l’ordre d’enseignement. Ceci est à rapprocher du résultat obtenu ci-dessus où la conception « logique » était très prégnante à tous les ordres d’enseignement. C’est ensuite la conception « procédurale » « Savoir appliquer les bonnes méthodes » et la conception « vérification autocorrection » « Savoir trouver et corriger ses erreurs » qui reçoivent les plus hauts suffrages entre la moitié et les deux tiers à tous les ordres d’enseignement. La conception « théorie » « Connaître les formules et la théorie » est importante au secondaire I, alors qu’elle représente un assez faible pourcentage (de l’ordre du tiers) au primaire, ce qui n’est pas étonnant, mais aussi au secondaire II, ce qui l’est davantage puisque la place de la théorie augmente au fil des ordres d’enseignement.

30À noter aussi que la conception « calculatoire » « Savoir-faire des calculs » est beaucoup moins choisie au secondaire II qu’aux deux autres ordres alors que la conception « justification » « Argumenter pour justifier une réponse » est de plus en plus choisie au fil des ordres d’enseignement. Enfin les idées de rapidité et d’originalité sont les moins citées à tous les ordres, en particulier au secondaire II, pour qualifier un·e bon·ne élève en mathématiques.

 En mathématiques, j’aime…

31Les choix des élèves dans cette rubrique rendent plus particulièrement compte de l’engagement et la motivation de ces dernières et derniers en mathématiques, tout en complétant les informations sur leurs conceptions (figure 17).

Figure 17. Radar des fréquences en pourcentages pour les items choisis, rubrique « En mathématiques, j’aime… »

32Le tableau suivant (tableau 8) rassemble les trois items de la rubrique qui ont été les plus choisis pour chaque ordre d’enseignement.

Tableau 8. Les 3 items les plus choisis de la rubrique « En mathématiques, j’aime… » selon les ordres d’enseignement

Primaire	Secondaire I	Secondaire II
Avoir trouvé la réponse à quelque chose de compliqué	Avoir trouvé la réponse à quelque chose de compliqué	Avoir trouvé la réponse à quelque chose de compliqué
Raisonner logiquement	Trouver rapidement la solution d’un problème	Raisonner logiquement
Faire des calculs	Raisonner logiquement	Trouver rapidement la solution d’un problème

33« Avoir trouvé la réponse à quelque chose de compliqué » et « Raisonner logiquement » apparaissent tous les deux dans le trio de tête pour tous les ordres d’enseignement avec une adhésion particulièrement élevée au secondaire II. Le premier item met en avant le côté défi de la résolution de problèmes, qui joue un rôle de motivation apparemment important pour les élèves, avec un effet croissant au fur et à mesure de la scolarité. Avec le deuxième item, on retrouve ici encore la prégnance de la conception logique des mathématiques.

34Au primaire, le trio de tête est complété par l’attrait pour les calculs, qui décroît nettement en fonction de l’ordre d’enseignement. Au secondaire I comme au secondaire II, c’est le fait de trouver rapidement la solution d’un problème qui vient compléter le trio de tête. Toutefois, ce dernier item est plus plébiscité au secondaire I, où il arrive en deuxième position, qu’au secondaire II. Ce goût prononcé pour le fait de trouver rapidement la solution à un problème pourrait laisser penser que les élèves ont globalement une motivation pour le défi que représente la résolution de problèmes. Cependant, le fait que les items « Être confronté à une vraie difficulté » et « Chercher des réponses qui ne sont pas tout de suite évidentes » soient globalement peu plébiscités et perdent de plus en plus de leur attrait au fil des ordres d’enseignement, vient nuancer ce constat. Ceci est encore renforcé par le fait que « Avoir du temps pour se plonger dans un problème » n’est choisi que par un tiers des élèves du primaire ou du secondaire I et seulement 28 % de ceux du secondaire II. Il semblerait que l’attrait pour trouver rapidement l’emporte sur l’intérêt de chercher et de se confronter à des résistances. Il resterait à savoir si c’est une caractéristique inhérente aux élèves de ces âges, ou un effet de leurs pratiques sociales hors l’école, ou de l’institution scolaire avec ses différentes contraintes. Cette dernière hypothèse peut être mise en lien avec le fait que si au primaire le temps à disposition pour les travaux notés est rarement limité, la contrainte temporelle apparaît fortement au secondaire où les bons résultats sont souvent le fait d’élèves maîtrisant le sujet de l’épreuve et étant rapide à répondre aux questions.

Conclusion

35Nos questions portaient sur la place de la résolution de problèmes à différents niveaux d’enseignement pour les élèves et sur leur ressenti quant à l’activité mathématique. Une majorité d’élèves s’accordent pour déclarer qu’un·e bon·ne élève est une personne qui est logique sans toutefois définir précisément ce que cela recouvre, et également pour dire qu’elles et ils aiment trouver des réponses à des questions compliquées, ce qui est rassurant pour la résolution de problèmes et montre que la complexité n’est pas un obstacle pour les élèves.

36L’analyse descriptive des données statistiques fait apparaître une uniformité des conceptions sur ce qu’est l’activité mathématique, mais elle met à jour de nombreuses différences entre les différents ordres d’enseignement sur les autres questions. Pour certaines questions, en effet, on note des évolutions dans les réponses, ce qui semble bien normal pour certains items comme par exemple la place des justifications ou la place des problèmes de la vie courante, mais également des ruptures dans les pratiques. C’est un premier résultat marquant qui n’était pas forcément attendu. On peut se demander quels sont les effets sur les apprentissages ou sur les émotions des élèves de ces changements multiples. Par exemple, nous avons vu que la prégnance de la conception « théorie » est spécifique du secondaire I, alors qu’au primaire c’est la conception « expérimentale » qui est la plus prégnante, et qu’au secondaire II, c’est la conception « logique ». Au primaire, les élèves déclarent avoir assez de temps pour tenter de trouver les réponses avec une fréquence supérieure à celle des élèves du secondaire I et du secondaire II. Nous avons également relevé qu’au primaire et au secondaire I les élèves déclarent résoudre plus souvent des problèmes qu’au secondaire II. Dans le même sens, au secondaire I et au secondaire II, les élèves ont l’impression de faire plus souvent des exercices de calcul que de la résolution de problème. Nous avons observé que, quel que soit l’ordre d’enseignement, la notion d’entraînement (drill) dans la classe de mathématiques est très présente dans la conception de la majorité des élèves, avec la fréquence la plus élevée de toutes les activités en classe. Ainsi on peut se demander si résoudre des problèmes est vraiment l’activité principale de la classe de mathématiques comme les instructions officielles le préconisent au moins au primaire et secondaire I, ou bien, si elle l’est, si ce sont les élèves qui ne la perçoivent pas comme telle.

37À l’échelle du canton de Genève, le nombre des réponses que nous avons obtenues n’est pas négligeable. Toutefois, nous ne pouvons en aucun cas prétendre avoir un échantillon représentatif de la population scolaire générale. En outre, les questionnaires d’opinion comportent de nombreux biais. Il serait certainement important de pouvoir compléter ces questionnaires par des entretiens, ce que nous avions initialement prévu, mais les conditions sanitaires nous ont empêchées de mener ce travail à bien dans le temps imparti. Malgré ces limites, ces analyses ont pu dégager des tendances intéressantes qui dépassent certainement le seul cadre genevois. À l’avenir, elles pourront être vérifiées, complétées ou ajustées dans d’autres contextes.