Quelques éléments généraux sur les programmes de la période allant de la fin du 19^e siècle à 1966

15Le premier programme dont nous disposons date de 1867. Jusqu’en 1914, ces premiers programmes sont courts (quelques pages pour toutes les classes et toutes les disciplines). À partir de 1870, ce qui relève des mathématiques est séparé en deux parties nommées « arithmétique » et « géométrie11 ». On trouve quelquefois en dernière page le nom du manuel utilisé (par exemple Série de problèmes Duchamp en 1893).

16En 1912, les deux parties s’appellent : « arithmétique et comptabilité » et « géométrie et travail constructif » (qui ne commence qu’en 4^e année). Ces dénominations mettent bien en évidence la volonté d’un lien fort de ces enseignements avec la vie quotidienne. Il est intéressant de noter que pour chaque partie l’horaire est différent pour les filles et les garçons (une heure de moins pour les filles) et que quelquefois les contenus le sont également (par exemple, en 5^e année, en géométrie, seuls les garçons travaillent sur les volumes (PE, 1912, p. 23)).

17À partir de 1942, les programmes prennent le nom de plans d’études et leur forme change nettement : ce sont des documents plus longs qui intègrent des introductions générales sur les buts et orientations de l’école et de chaque enseignement, voire des remarques sur la façon d’enseigner, des indications de progressions par trimestre ou quelquefois même des activités. D’ailleurs ces introductions sont souvent reprises d’un plan à l’autre. On revient aux deux parties « arithmétique » et « géométrie » (qui ne débute qu’en 4^e année) et les horaires sont identiques pour les filles et les garçons.

18Le Plan d’études de 1951 introduit deux nouvelles modifications. La première est l’introduction d’un programme pour les deux classes enfantines non obligatoires (enfants de 4 à 6 ans) avec l’arithmétique dès la 2^e année enfantine. Pour ces classes enfantines, l’enseignement est explicitement influencé par une vision sensori-motrice du développement intellectuel de l’enfant (PE, 1951, p. 30) avec la mention du jeu éducatif comme méthode d’apprentissage, en référence à différentes personnalités de l’éducation nouvelle de l’époque (Froedel, Montessori, Decroly, Claparède, Audemars et Lafendel).

19La seconde modification est la distinction des horaires et donc des contenus pendant les 8^e et 9^e années12 entre, d’une part, filles et garçons et, d’autre part, classes rurales et urbaines et enfin selon la poursuite scolaire ou professionnelle envisagée. On peut noter que, dans tous les cas, les filles ne font plus de géométrie en 8^e et 9^e années.

20Dans le Plan d’études de 1957 (qui reste très proche de celui de 1951), les distinctions en fonction du sexe des élèves n’ont plus cours sauf pour les travaux manuels et l’éducation physique. Puis, dans le Plan d’études de 1966, ces distinctions cessent pour toutes les disciplines.

21Voyons maintenant les types de problèmes et leur place dans et pour les apprentissages. Nous avons dégagé quatre grandes périodes.

De la fin du 19^e à 1966 : des problèmes simples et pratiques dans le cadre de l’arithmétique

22À la fin du 19^e siècle et dans la première moitié du 20^e siècle, le terme problème est utilisé dans le domaine de l’arithmétique uniquement. Les problèmes sont essentiellement liés aux quatre opérations et leur complexité est définie en fonction du nombre d’opérations nécessaires et/ou de la grandeur des nombres en jeu. Chaque année on trouve le terme problème qui peut être décliné en « petits problèmes simples et pratiques » (PE, 1872, 5^e), « problèmes très élémentaires » (PE, 1870, 3^e) « problèmes sur les quatre opérations », « problème à une opération » ou encore des problèmes se référant à des contextes plus spécifiques comme l’agriculture, l’industrie ou le commerce (par exemple, recherche du prix d’achat, du bénéfice, calcul d’une facture, etc.). Ce souci d’être proche de la vie courante et quotidienne se retrouve dans tous les commentaires généraux notamment à partir de 1942 :

Cet enseignement (l’arithmétique) est donc concret dans toutes les classes : il contribue au pouvoir d’abstraction. Autant que possible les sujets des problèmes se rapporteront aux connaissances et aux préoccupations de l’enfant. (PE, 1942, p. 27)

23Durant toutes ces années, la partie arithmétique est composée de deux sous parties : « calcul oral » et « calcul écrit » (en 1966 « oral » est remplacé par « mental »). On constate que les problèmes apparaissent dans les deux parties. On a ainsi soit des problèmes donnés à l’oral (« petits problèmes oraux », PE, 1942, p. 31) soit des problèmes avec un énoncé écrit, mais qui se traitent à l’oral (« résolution de problèmes dont l’énoncé est donné à l’écrit », PE, 1912, p. 16). On a donc ici la trace de pratiques qui n’ont plus cours actuellement.

24Voici quelques exemples de problèmes à faire à l’oral pour des élèves de 3^e année (9-10 ans). Les opérations sont relativement simples pour être faites par un calcul réfléchi.

Problèmes. (D’abord oralement et expérimentalement).

260 – Combien de coupons de 30 centimètres obtiendra-t-on avec une pièce de drap de 9 mètres ? Unité de calcul : le centimètre.

261 – On a payé 1 fr 75 un ruban qui mesure 25 centimètres. Que vaut le mètre ? Unité de calcul : le centime.

262 – On achète un coupon de linoléum long d’un mètre pour 4 fr. On le partage en 5 morceaux. Quelle est en centimètres la longueur d’un morceau et quelle en est sa valeur en centimes ? (Corbaz, Exercices et problèmes d’arithmétique, 1921, p. 38)

25Lors de la résolution, il est demandé aussi aux élèves d’expliquer (« Problèmes avec explication par les élèves », PE, 1870, 6^e) ou de justifier (« Justifications par les élèves », PE, 1872, 6^e). Dès 1912, le programme précise qu’avant de résoudre un problème, l’élève doit chercher entre quelles limites approximatives est comprise la solution. Cet élément n’est pas toujours explicité dans les programmes suivants, mais les termes « jugement » et « problèmes de jugement » apparaissent, sans plus de précisions : « Le plus souvent, les problèmes correspondront à des expériences dont le résultat peut être facilement vérifié. » (PE, 1942, p. 27.)

26Enfin dans tous ces programmes, on trouve l’expression « composition de problèmes », sans autre indication, qui laisse penser que les élèves avaient à inventer et à rédiger des textes de problèmes certainement avec des contextes ou des contraintes imposées :

On pourra parfois présenter le problème sous forme de données éparses que l’enfant ordonnera lui-même pour composer un énoncé. (PE, 1966, p. 57)

On utilisera les prix courants, catalogues, tarifs postaux et de chemin de fer, etc., dans la composition de problèmes. (PE, 1942, p. 27)

27Dans le même manuel que précédemment, nous trouvons trace de ces problèmes à composer. Soit l’élève doit rédiger un texte à partir des données (comme dans le 267), soit il lui revient d’aller aussi chercher d’autres données (le prix de vente d’un hectolitre de blé ou d’avoine pour le 269 ou le 270).

267 – Marchand – tailleur.

Achat : Pour 234 fr de drap à 6,50 fr le mètre.

Vente : Par coupons de 80 cm à 7,80 l’un.

Recherche : Bénéfice ?

269 – Terrain

Surface : 500 ares.

Récolte : 70 sacs de blé de 120 litres chacun.

Vente : …. l’hl.

Recherche : rapport à l’hectare.

270 – Agriculteur

Champ : 280 ares.

Récolte : 275 gerbes d’avoine à l’hectare, 1 dal par gerbe.

Vente : : …. fr l’hl.

Recherche : Valeur récolte ? (Corbaz, Exercices et problèmes d’arithmétique, 1921, p. 92)

28Pour les petits degrés d’enseignement en 1951 et 1966, il est indiqué : « les problèmes seront inventés par les élèves ». On a donc ici une nouvelle fois l’indication d’une pratique spécifique sur la résolution de problèmes. Voici un exemple tiré du manuel d’arithmétique de Grosgurin (1940).

72. – Imaginez un problème pour chacun de ces cas :

Ce qu’il faut encore	Ce qu’il y a encore
Ce qui manque	Le reste
De combien il faut augmenter	Ce qu’il y a de plus
La différence	Ce qu’il y a de moins

(Grosgurin, Enseignement de l’arithmétique, 6^e année, 1940, p. 239)

29En 1966, il est fait référence aux problèmes dans l’introduction de la partie géométrie (qui ne commence qu’en 5^e année), mais aucun problème n’est indiqué ensuite :

[…] avant tout calcul ou toute construction exacte, les élèves seront habitués à traduire l’énoncé d’un problème par un croquis rapidement tracé à main levée. (PE, 1966, p. 71)

30Enfin, en ce qui concerne la place des problèmes, ceux-ci sont seulement proposés en fin d’apprentissage, comme en atteste la phrase ci-dessous qu’on retrouve dans tous les plans d’études jusqu’en 1966. Cependant, la première phrase nous montre le souci des auteurs de se démarquer d’un enseignement transmissif avec l’idée d’aborder les notions nouvelles par « l’expérimentation », ce qui pourrait certainement se rapprocher de ce qui se nomme depuis quelques années « activité d’introduction ou de découverte » :

L’enseignement de l’arithmétique ne se borne pas à la transmission du savoir ; toute notion nouvelle est abordée par expérimentation et représentation graphique : c’est l’enfant lui-même qui deviendra l’artisan de son savoir ; par des observations spontanées ou dirigées, suivies d’expériences nombreuses, il arrivera à découvrir et à énoncer la règle. Lorsque la règle peut être considérée comme comprise, il s’agit de la fixer dans l’esprit de l’enfant par des applications que sont les exercices et les problèmes. (PE, 1966, p. 57)

31Nous constatons donc que durant cette période assez longue, les problèmes répondent à des situations rencontrées dans la vie domestique ou professionnelle de l’époque. Ils sont proposés comme entraînement, pour montrer que les « règles sont acquises ». Ils sont classés en fonction du nombre d’opérations en jeu. L’accent est mis sur la vérification de la solution qui semble correspondre plus particulièrement à une confrontation entre le résultat obtenu et sa plausibilité. On note enfin des pratiques de problèmes à l’oral qui ont disparu.

Années 1972-1985 : La période dite des « mathématiques modernes »

32Dans les années 1972-1985, les plans d’études sont fortement marqués par la réforme dite des « mathématiques modernes » et par la diffusion de nouveaux travaux dans le domaine de la psychologie de l’enfant comme ceux de Piaget. Les buts de l’enseignement des mathématiques évoluent fortement. Quatre éléments sont présentés dans le Plan d’études de 1972 : « favoriser une bonne structuration mentale » en accordant une place prépondérante au raisonnement logique, mettre l’accent sur les « notions fondamentales, les ensembles, les relations, les opérations et les structures », « procurer un outil intellectuel utilisable dans les situations les plus diverses de la vie courante » et « développer les pouvoirs d’adaptations et d’invention » probablement afin de conduire un plus grand nombre d’élèves vers des études secondaires, à une époque où l’économie a un grand besoin d’un personnel mieux formé. On note donc ici une différence fondamentale qui est à la source des mathématiques modernes à savoir développer des outils généraux utilisables dans diverses situations.

33Le découpage traditionnel des plans d’études entre arithmétique et géométrie disparaît sous l’influence d’une vision structuraliste : « La logique est à la base même de “LA” mathématique [et doit être] sous-jacente à toute activité mathématique. » (PE, 1972, p. 1.) Le programme de 1972 (seulement pour les quatre premiers degrés) est alors découpé en quatre domaines : « ensembles et relations », « numération », « opérations sur les cardinaux » et « découverte de l’espace ». Le terme « problème » apparaît peu (7 occurrences en 13 pages) et seulement pour deux types d’indications : « résolution, à l’aide de diagrammes, de problèmes inventés par les élèves ou proposés par le maître » (PE, 1972, p. 9) et « liaison problème-diagramme » (PE, 1972, p. 5). L’extrait ci-dessous de ce Plan d’études de 1972 pour la 3^e année donne une idée plus précise des contenus à enseigner durant cette période. On y retrouve des références aux ensembles et aux propriétés de l’addition :

Figure 9. Extrait du Plan d’études de 1972, 3^e année, p. 9

34En 1979, le programme pour les 5^e et 6^e années rappelle la volonté explicite de procurer aux élèves des outils mathématiques nécessaires dans la vie, quelle que soit l’orientation choisie. Dans ce Plan d’études, le terme problème apparaît une fois : « On utilise les opérations connues en vue de résoudre des problèmes de la vie quotidienne. » (PE, 1979, p. 11.) En particulier, dans les attendus de fin d’année indiqués sous la forme « l’élève est capable de… », la résolution de problèmes n’est pas présente. En revanche, l’accent est mis sur « une part de recherche réelle » qui est associée au fait de se poser des questions (y compris n’ayant pas de réponse ou plusieurs réponses). Cette focalisation sur la recherche est importante et va même jusqu’à péjorer les aspects techniques : « À ce niveau la découverte, la mémorisation et l’emploi de formules ne représentent qu’un intérêt secondaire. » (PE, 1979, p. 15.) Le domaine géométrie, quant à lui, met l’accent « sur la réflexion et la recherche à partir de manipulations, de constructions, du dessin sans viser toujours à des connaissances déterminées » (PE, 1979, p. 17). Nous observons donc un recul de la résolution de problèmes en particulier de la vie courante, au profit de la notion de recherche sur ce qui est désigné comme des activités et dont voici un exemple : « On étudie diverses situations qui peuvent être codées par le groupe de Klein… » (PE, 1979, p. 15.)

35En conclusion on constate donc que la période des mathématiques modernes a provoqué des bouleversements importants dans les mathématiques enseignées, à la fois sur les buts poursuivis et sur les contenus qui ont fortement changé. Un nombre conséquent d’objets mathématiques nouveaux ont été introduits. Les problèmes tels qu’on les connaissait avant ont presque disparu au profit de questions ouvertes intra-mathématiques moins en lien avec la vie courante. Comme dans un bon nombre de pays, ce mouvement de renouvellement de l’enseignement des mathématiques n’a pas duré plus de 20 ans et a cédé la place à un enseignement moins innovant sur les contenus, mais qui a évolué par rapport à la période précédente. Voyons donc maintenant ce qui se passe à partir de 1986.

À partir de 1986 : retour progressif, mais affirmé des problèmes

36Durant les années 1986 à 1997, plusieurs projets de plans d’études romands assez semblables sont écrits. Tout d’abord, ils affichent une certaine rupture avec les plans d’études précédents. Par exemple, dans le projet de 1986, il est précisé d’une part la volonté de définir des savoirs fondamentaux afin d’éviter une inflation dans les notions à enseigner pour « contrecarrer l’extension permanente et apparemment inévitable des programmes scolaires » (GRAP, 1986, p. 3) et d’autre part le souhait d’avoir une rédaction des programmes plus synthétique et plus concise. Effectivement ceux-ci sont présentés sous forme de tableaux par année, avec pour chaque thème mathématique, des moments dans l’apprentissage, ce qui est nouveau. Trois moments sont définis : « sensibilisation » qui correspond à une première approche, « fondamentum » qui correspond aux savoirs et savoir-faire à maîtriser et « développements » qui est caractérisé par des activités qui permettent aux élèves d’exploiter, d’élargir ou d’approfondir leurs connaissances (GRAP, 1986, p. 9). Chaque tableau est précédé d’indications qui se nomment « buts de l’enseignement » et « moyens ».

37Le savoir mathématique est découpé selon huit thèmes. Les deux premiers « classement et mise en relation » et « numération » reprennent des éléments de la période précédente alors que les suivants déclinent de grands thèmes mathématiques : « opérations », « applications et proportionnalité », « repérage et système de coordonnées », « formes géométriques », « transformations géométriques » et « mesurage et mesure ».

38Enfin les objectifs de l’enseignement des mathématiques évoluent. Même s’ils ont des formulations différentes, on retrouve les objectifs précédents auxquels s’ajoutent « favoriser la communication par l’utilisation raisonnée du langage mathématique » et « développer et entraîner quelques techniques mathématiques ». On peut penser que ces objectifs sont le signe d’évolutions, mais peut être aussi, pour le dernier, d’un retour sur les activités d’entraînement.

39En 1986, on trouve quelques occurrences du terme problème dans le thème « opérations » à la fois dans les indications « moyens » (« inventer et résoudre des problèmes ») et dans la partie développements (« résoudre des problèmes de la vie courante »). Apparaît également le terme situation-problème « comprendre et résoudre des situations-problèmes » ou « explorer des situations-problèmes ouvertes » (GRAP, 1986, p. 42-43).

40Puis, en 1987, un ajustement des programmes expérimentaux est proposé par le GRAP pour le programme de mathématiques (GRAPM). L’activité de résolution de problèmes est alors choisie comme principe organisateur des objectifs d’enseignement généraux du programme de mathématiques pour l’acquisition de démarches générales de pensée et d’attitudes et pour nuancer les présentations notionnelles classiques, en précisant les situations qui servent à élaborer les connaissances. Il est mentionné de « présenter aux enfants les principes les plus généraux possibles, pour qu’ils puissent les appliquer à un éventail maximum de problèmes » (Ajustement des programmes expérimentaux, 1987, p. 18). Il y est introduit d’une part la notion de progression afin de mettre les élèves chaque fois devant un nouvel obstacle et, d’autre part, différents temps dans les apprentissages : « travail préparatoire ; structuration, consolidation ; utilisation, maintien de la technique, application ». Il est mis en avant que :

Les outils de la pensée de l’adulte restent extérieurs à la pensée naturelle de l’enfant, et ne font même qu’introduire une difficulté supplémentaire dans sa démarche de résolution de problèmes. La pédagogie associationniste a parcellisé l’objectif cognitif véritable, on a enseigné à remplir des graphiques au lieu de stimuler une démarche de raisonnement véritable. (GRAPM, 1987, p. 18-19)

41En 1989, nouvelle présentation du Plan d’études, on trouve alors un ensemble de termes comme les « problèmes », les « situations de recherche », les « situations-problèmes », les « situations-problèmes ouvertes », dans les domaines « classements et mises en relation », « opérations » et « applications et proportionnalité », et ceci dans des contextes comme ceux de la vie courante, de l’économie ou du sport avec des injonctions fortes pour les enseignant·es comme le montrent ces deux citations (la première pour la partie « Opérations » et la seconde pour la partie « Applications et proportionnalité ») :

Le maître :

• multiplie les occasions de coder des situations de la vie courante ;

• amène l’élève à :

• inventer et résoudre des problèmes ;

• explorer une situation-problème ouverte ;

• rechercher et comparer des procédés de calcul.
  (PE romand, 1989, p. 37)

Le maître :

• conduit l’élève à dégager dans le cadre de situations-problèmes plus ou moins complexes, des correspondances entre deux ensembles numériques (en particulier la proportionnalité), et à en observer les propriétés.
  (PE romand, 1989, p. 40)

42En 1997, une nouvelle édition du programme du primaire est publiée, sous la forme d’un dépliant de quelques pages, censé être plus facile à utiliser par les enseignant·es. Ce plan abandonne définitivement les mathématiques modernes. On change les objectifs de l’enseignement des mathématiques et les thèmes enseignés. Il est explicitement précisé que « Par la résolution de problèmes essentiellement13, l’enseignement des mathématiques doit… » (PE, 1997). Ainsi la place des problèmes évolue puisque ceux-ci peuvent être proposés en début d’apprentissage comme on peut le noter dans cette citation :

[…] le maître officialise certains savoirs apparus dans le problème. Il met l’élève en situation de développer ses multiples facultés pour vivre toutes les phases d’une activité de recherche et engendrer ainsi les attitudes qu’exige une démarche scientifique. (PE romand, 1997, non numéroté)

43Les thèmes sont « formes géométriques », « repérage », « transformations géométriques », « nombres entiers naturels », « nombres réels et mesure » et enfin « opérations, fonctions et linéarité ».

44La résolution de problèmes devient centrale, elle est placée au cœur de l’enseignement des mathématiques, servant tout autant à la sensibilisation, qu’à la construction, à la structuration et à la consolidation des connaissances. De plus, sont déclinés, ce qui est désigné par les trois moments de la résolution de problèmes : l’appropriation du problème, le traitement des données et la communication des démarches et des résultats.

45Enfin, pour montrer la continuité des visées des apprentissages au primaire, entre le préscolaire et le secondaire I, les contenus du préscolaire et des classes de 7^e, 8^e et 9^e sont indiqués dans leurs grandes lignes, mais étonnamment sans plus de mention de la résolution de problèmes.

L’époque actuelle à partir de 2007 : les problèmes au centre de l’activité mathématique

46Comme mentionné plus haut, suite à de longs travaux préparatoires, est adopté en 2007 le concordat intercantonal sur l’harmonisation de la scolarité obligatoire entre les différents cantons suisses (HarmoS). La Suisse romande se dote d’un Plan d’études commun pour toutes les années scolaires, de la 1^re enfantine (qui devient 1^re primaire HarmoS) à la dernière année du secondaire obligatoire, tout en respectant les différentes structures scolaires cantonales.

47Dans ce long texte, on trouve des définitions et notamment les deux suivantes sur « problème » et « situation-problème » que nous reproduisons ici :

Problème ne signifie pas « problème à texte » nécessairement formulé par un texte en français, ni se rapportant nécessairement à un sujet concret. Il s’agit plutôt d’une question à laquelle la réponse ne peut pas être apportée par l’application directe d’un algorithme ou d’un outil de résolution, mais au contraire qui implique pour l’élève une étape d’élaboration de la procédure adéquate (choix de la notion, des données pertinentes, méthode de fonctionnement de l’outil…) avant de pouvoir la faire fonctionner. C’est ainsi qu’une activité posée à un moment donné peut être un problème à ce moment et ne plus en être un plus tard, après l’apprentissage et l’appropriation par l’élève de la procédure experte adéquate. (PER, 2008, p. 180-181)

Situation-problème : elle correspond à une situation complexe pour l’élève, tirée, si possible, du réel dans le cadre des sciences, et dont la résolution n’a pas de solution évidente a priori, les connaissances de l’élève étant encore insuffisantes. Elle a pour but de permettre la construction d’un nouvel outil ou d’un savoir qui sera plus adapté à la résolution de la situation. Elle place l’élève devant une difficulté, obstacle qui remet en cause ses conceptions et représentations. Il s’agit alors pour l’élève d’explorer ses conceptions, de se poser des questions qui devraient engendrer une rupture dans son savoir puis de dégager et de choisir des pistes de recherche, enfin de rassembler ses résultats en les validant, les structurant et les synthétisant en vue d’être communicables. La conclusion à une telle activité se fait de préférence sous forme de débat scientifique ou d’une synthèse gérée par l’enseignant sur la base des productions des élèves. (PER, 2008, p. 181)

48La version actuelle du Plan d’études romand (PER) est finalisée en 2011 et mise en œuvre en 2012-2013 (à Genève) du début du primaire à la fin du secondaire I. Dans ce plan, les mathématiques sont regroupées avec les sciences de la nature en un même domaine MSN. Les mathématiques sont structurées autour de cinq axes thématiques : « Espace », « Nombres », « Opérations », « Grandeurs et mesures » et enfin « Modélisation ». Ce dernier axe est un peu différent des autres dans le sens où il ne propose pas de savoirs mathématiques notionnels, mais il est commun aux mathématiques et aux sciences et est présenté comme permettant de « mettre en œuvre des connaissances de façon transversale entre des domaines, des disciplines et le monde réel ». En ce sens on peut l’interpréter comme une volonté affichée par l’institution de promouvoir la résolution de problèmes à travers la modélisation.

49L’objectif général du domaine MSN est de : « fournir à l’élève des instruments intellectuels d’appréhension et de compréhension du réel et d’adaptation à ce dernier ». Chaque axe thématique du programme de mathématiques comprend une section intitulée « Poser et résoudre des problèmes pour… » ou « Résoudre des problèmes… ». Il est également rappelé que la résolution de problèmes est positionnée au centre, car c’est « le point d’ancrage de la démarche en Mathématiques pour : donner du sens aux notions, définir leur cadre d’application et construire des connaissances opératoires ». Par exemple, il est noté que : « L’approche ludique dans la résolution de problèmes logiques et de stratégie offre une manière de s’ouvrir à des situations avec confiance et réflexion. »

De 1962 à 1986 : absence des problèmes et mathématiques modernes

52Bien que le Cycle d’Orientation (CO) ait eu pour volonté de regrouper tous les élèves entre 12 et 15 ans, il n’a pas été envisagé de prévoir le même enseignement pour tous. En effet, dès le début, le CO a comporté des sections ou filières d’enseignement, avec des programmes différenciés, qui regroupaient les élèves en fonction de leurs résultats à la fin de l’école primaire.

53En 1961, la « commission des classes d’orientation » est chargée d’élaborer des programmes pour des sections d’enseignement différenciées : par exemple, en 1962 il y en avait trois désignées par A, B et C (C désigne celle des élèves destinés à l’apprentissage). Nous n’entrons pas dans les détails de ces sections, car elles ont changé de nombre (de 3 à 6) et de noms (section scientifique, latine, moderne, générale, pratique, pré- ou professionnelle, etc.) selon les périodes. La section réunissant les élèves les plus en difficulté, initialement désignée par professionnelle, comporte selon les années des distinctions filles/garçons pour lesquels les horaires et programmes ne sont pas les mêmes. De plus, cette section a un programme très spécifique sur lequel nous revenons dans la suite.

54De façon générale, les plans d’étude et programmes (les deux termes sont utilisés) de mathématiques des années 1962 à 1986 sont très courts, il n’y a pas d’introduction portant par exemple sur les buts et objectifs de l’enseignement des mathématiques comme on en trouvait dans les programmes du primaire. Ils sont organisés en parties qui sont des thèmes mathématiques (par exemple, les « nombres naturels », les « fractions ») puis en chapitres (quelquefois thèmes et chapitres sont confondus) qui déclinent ces thèmes (par exemple, « les ensembles », « les opérations », « la divisibilité », etc.) et enfin, pour chacun, ce qui pourrait être un plan de cours souvent nommé plan de « cheminement ». Ainsi, par exemple en 1962, on trouve en premier « définition ou généralités ou révisions », puis des savoirs ou savoir-faire assez techniques comme « fractions de l’unité », « fractions équivalentes », « extraction d’un entier » et à la fin « exercices ». À partir du plan de 1968, le temps dédié à chaque chapitre est indiqué.

55Enfin, comme nous l’avons dit précédemment, dans chaque Plan d’étude on indique un manuel de référence (pour chaque thème mathématique) qui est généralement constitué du cours d’un enseignant (plus rarement d’une enseignante) ou d’un groupe d’enseignant·es : « Cours élaboré par la commission sous la direction de… » Ces cours sont constitués d’exercices très techniques et très progressifs.

56Les quelques rares occurrences du terme « problème » se trouvent dans le programme de la section professionnelle (en effet, pour cette section les programmes étaient basés sur ce qui se faisait avant dans les classes terminales 7^e, 8^e et 9^e du primaire qui ont été intégrées au CO). Par exemple, en 1963, sont indiqués les problèmes de « Rapports et proportions. Pour cent, intérêt, échelles » ou en 1964 « Problèmes en rapport avec le système métrique, portant sur : le prix d’achat, de vente, de revient, le bénéfice ou la perte, les poids bruts, nets, la tare ». En 1968, dans la section pratique (P), classe de 8^e, on trouve un élément surprenant qui ne sera pas repris ensuite : « Séries dites américaines, problèmes drôles, bizarreries arithmétiques ». Le terme problème disparaît dans les années 70.

57Pour les autres sections, on peut trouver, selon les années, « problèmes du premier/second degré » (se référant à leur résolution par des équations ou des systèmes d’équations) ou en 1969 « problèmes de proportionnalité ».

58Dans cette période 1962-1986, la résolution de problèmes n’est pas mise en avant dans les différents programmes comme c’était le cas à l’école primaire. Ce sont des savoirs ou savoir-faire mathématiques, souvent des techniques, qui sont cités. De plus il semble que l’organisation de l’enseignement soit davantage contrainte qu’à l’école primaire, par les plans de cours et les indications de progression et de durée.

59Dès le programme de 1964, sauf pour la section professionnelle, une partie s’intitule explicitement « Mathématiques modernes » (ce titre sera repris jusqu’en 1966) avec les chapitres « Ensembles » et « Relations ». Dans les années suivantes, comme à l’école primaire, les thèmes liés aux mathématiques modernes constituent l’essentiel des programmes. À noter qu’à partir de 1969, l’algèbre est introduite en 9^e année, mais seulement pour les garçons de cette section. Ces plans d’étude resteront en vigueur sans grands changements jusqu’en 1986. Voici par exemple un extrait du programme de 1973 dans lequel on peut voir les notions à enseigner :

Figure 10. Extrait du programme de 1973 classe de 8^e sections L-S-M-G

60De 1962 à 1986, on peut donc identifier une période dans laquelle les mathématiques modernes sont introduites progressivement dans toutes les sections à l’exception de celle dite professionnelle. Comme c’était le cas à l’école primaire pendant la période des mathématiques modernes, le terme « problème » est très rare, mais ici on ne trouve pas de termes synonymes.

De 1987 à 2003 : un retour de plus en plus affirmé des problèmes

61À partir de 1987, un nouveau programme est progressivement mis en place. Il est différent sur la forme, car il comporte des commentaires généraux et il présente les deux objectifs de l’enseignement des mathématiques qui sont : 1) « développer des aptitudes (recherche, analyse, logique du raisonnement, objectivité du jugement, langage précis) » et 2) « acquérir des connaissances ».

Le maître veille à travers son enseignement à ne pas privilégier l’un ou l’autre de ces objectifs. Faire des mathématiques c’est bien entendu chercher, analyser, raisonner logiquement mais c’est aussi connaître des méthodes pour résoudre certains problèmes, savoir calculer et effectuer des constructions géométriques. L’accent de l’enseignement ne porte donc jamais exclusivement sur l’acquisition de techniques ; les élèves doivent d’abord comprendre et raisonner. Cela ne signifie pas que les algorithmes ne soient pas importants ; ils doivent être parfaitement maîtrisés après avoir été compris. (PE, 1987, p. 3)

62Si ce commentaire tente d’indiquer un équilibre entre la recherche et le raisonnement d’une part et la maîtrise des techniques (dont le rôle est souligné) d’autre part, il est également fait référence à « exploiter des situations concrètes, avec manipulation de matériel et recherche des données nécessaires » et à « énoncé évoquant la réalité ». Enfin, dans le paragraphe 4 qui caractérise les différents degrés, on peut noter que les objectifs sont bien différents pour les élèves des sections pré-gymnasiales (« on insiste sur l’habileté technique et on développe des raisonnements logiques ») et les autres (« on doit veiller à ce que les élèves disposent d’une méthode de leur choix pour résoudre les problèmes qui pourront se poser à eux dans la vie courante »).

63Ce programme genevois marque une nette mise en retrait des mathématiques modernes puisqu’il est indiqué (dans le paragraphe 5, p. 4 intitulé « Place de la mathématique ensembliste ») que les notions sur les ensembles doivent être intégrées dans les différents chapitres. Il est structuré par les deux objectifs cités ci-dessus qui en constituent les deux parties. Ainsi la résolution de problèmes apparaît fortement dans la première en visant l’aptitude à chercher, la persévérance, le raisonnement, etc. Il est souligné l’importance de donner aux élèves des éléments de « jugement objectif », pour éviter les « pièges classiques », ce qui est nouveau. L’idée de mathématiser des situations réelles d’une part et, d’autre part, les références aux processus de résolution de problèmes tels que les « chemins », les « erreurs », les « blocages » font également leur apparition. Le texte souligne également que la résolution de problèmes doit servir à développer des aptitudes et n’est plus considérée uniquement comme le moyen d’appliquer des notions mathématiques. On y trouve aussi explicitement des indications générales pour le maître sur sa façon d’intervenir, afin, selon nous, d’inciter et faciliter la mise en place de nouvelles pratiques :

Des études scientifiques demandent une certaine aptitude à imaginer des stratégies pour résoudre un problème inhabituel. Le maître s’efforce donc de présenter aux élèves des situations simples leur permettant de tester leurs capacités à choisir parmi les techniques qu’ils connaissent celles qui les conduisent à la solution du problème. (PE, 1987, p. 6)

Le maître doit d’abord chercher à combler les lacunes qui pourraient exister. Il se limite à des applications simples et concrètes du programme ; chaque fois que cela est possible, il montre comment un problème peut être résolu par une manipulation ou un dessin. (PE, 1987, p. 6)

Le maître doit proposer aux élèves des problèmes leur permettant de développer leur imagination, leur intuition mathématique et leur capacité de déduction, ainsi que les entraîner à rechercher, dans leur mémoire, un modèle pouvant s’adapter à la situation traitée. Les problèmes proposés doivent faire appel à des techniques de calcul que les élèves maîtrisent déjà bien. (PE, 1987, p. 7)

64La seconde partie « acquisition de connaissances » est assez semblable aux plans précédents avec quelques rares références aux problèmes. Dans le « Plan d’études de la mathématique » de 1991, cette seconde partie est modifiée en ce qui concerne les thèmes étudiés : « Connaissance des nombres » ; « Algèbre » ; « Relations – Applications – Proportions » et « Géométrie ». Ainsi est véritablement marquée la fin des mathématiques modernes.

65Au début des années 90, à Genève, le Cycle d’Orientation vit une situation difficile : le nombre d’élèves dans ses filières pré-gymnasiales (à exigences étendues) a fortement augmenté (de 50 % en 1970 à près de 75 %) et cela a pour conséquence une dévalorisation des sections générale et pratique dont les élèves ne trouvent plus de débouchés scolaires ou d’apprentissage (Rastoldo & Evrard16, 2004, p. 9). Pour remédier à ce problème, décision est prise d’introduire une nouvelle structure scolaire plus hétérogène et de réécrire complètement les plans d’études de toutes les disciplines. Cette opération, qui a duré entre 1995 et 1999, a fait appel à des spécialistes de l’enseignement hors du seul monde scolaire genevois, à savoir didacticiens et concepteurs de moyens d’enseignement suisses, français et québécois avec pour objectif un travail plus approfondi sur les plans d’études, prenant en compte plus largement les avancées de la didactique des différentes disciplines.

66C’est avec le nouveau Plan d’études de 2003 que va vraiment s’affirmer la place centrale de la résolution de problèmes. En effet, en 2003, dans une longue introduction, le Plan d’études pose que « faire des mathématiques c’est 1) se poser et résoudre des problèmes et 2) valider les résultats à l’aide d’un type de preuve : la démonstration ». Il comporte également une liste des finalités de l’enseignement/apprentissage (acquisition de méthodes, de concepts, d’attitudes), des conceptions de l’évaluation, de la place de l’élève et du rôle de l’enseignant. Ce plan se présente donc comme un guide non plus seulement notionnel, mais prenant en compte la situation d’enseignement.

67Enfin ce plan met en avant un principe organisateur de l’enseignement des mathématiques (POEM) plaçant la résolution de problèmes au centre de l’activité mathématique comme le montre la figure ci-dessous.

Figure 11. Reproduction de l’extrait du Plan d’étude 2003 (p. III)

68Ainsi, les problèmes sont présentés au centre de la page, entourés de cinq éléments constitutifs du POEM, intitulés : « Obstacles et erreurs caractéristiques », « Outils de vérification », « Techniques et savoir-faire », « Propriétés » et « Vocabulaire et syntaxe ». Nous y lisons également une classification, un peu étrange, en trois types de problèmes :

• des problèmes qui permettent à l’élève de choisir la classe de problèmes, le champ, les méthodes, les techniques, les vérifications, etc. ;
• des problèmes mathématiques ;
• des problèmes nécessaires aux apprentissages, problématisant des situations pour introduire une notion, pour dépasser les obstacles, pour transférer des techniques.

69Ce Plan d’études, d’ailleurs fortement contesté à l’époque par les enseignant·es de mathématiques du secondaire II qui craignaient une perte des compétences techniques des élèves, aura une courte vie car, comme signalée plus haut, l’harmonisation romande est en route et dès 2011 le Plan d’études romand (PER) entre en vigueur. Le CO adopte le programme du cycle 3.

À partir de 2011, le cours de « Développements en mathématiques »

70À Genève, en 2011, seulement pour les élèves qui sont dans la section LS (lettres et sciences), et en option sciences, des cours centrés spécifiquement sur des apprentissages scientifiques ont été créés. S’ajoutent alors à l’emploi du temps de ces élèves, en 10^e, un cours de « Mathématiques : développements » centré exclusivement sur la dimension recherche de l’activité mathématique et un cours de « Physique : développements ». L’année suivante, les élèves en classe de 11^e suivent un cours de « Démarches scientifiques et modélisation » ainsi qu’un cours de « Biologie : développements », depuis 2017, afin de rendre plus explicites les liens entre ces différents cours scientifiques spécifiques, la dénomination « Démarches mathématiques et scientifiques » (DMS) remplace les cours précédemment intitulés « Mathématiques : développements » en 10^e et « Démarches scientifiques et modélisation » en 11^e17 sans changement ni de dotation horaire, ni de contenu. Pour les mathématiques, en 10^e, le volume horaire du cours de DMS est d’une période de 45 minutes par semaine. Ainsi, les élèves de différentes classes peuvent être regroupé·es et l’enseignant·e peut être différent·e de celle ou celui du cours ordinaire de mathématiques. De plus, ce cours est évalué à part du cours ordinaire de mathématiques et les notes entrent dans l’évaluation générale des élèves. Elles constituent même la moitié de la quatrième note principale, c’est-à-dire la quatrième discipline entrant spécifiquement dans les conditions de promotion en classe supérieure, ce qui donne un enjeu certain à ce cours et à son évaluation. Les instructions officielles, rédigées dans un document cantonal indépendant du PER MSN35, appelé aussi document de liaison, précisent les intentions de ce cours :

Le cours est centré sur l’étude de la démarche mathématique et vise au développement des compétences des élèves dans les stratégies de résolution de problèmes mathématiques. (Département de l’instruction publique, de la formation et de la jeunesse [DIP], 2021, p. 2)

71L’objectif principal de l’institution est donc de renforcer et de développer chez les élèves des compétences en résolution de problèmes en mathématiques avec une centration sur la démarche scientifique entendue comme le quadruplet « essais, conjecture, test, preuve ». La création de ce cours, indépendant du cours ordinaire de mathématiques, est justifiée par le constat que la résolution de problèmes est trop peu travaillée dans les cours ordinaires au profit du développement et du renforcement de savoirs et savoir-faire notionnels. « La partie “résolution de problèmes”, notamment l’activité de recherche reste bien souvent le parent pauvre de l’enseignement des mathématiques. » (DIP, 2012, p. 20.) Nous ne développons pas davantage les objectifs et le fonctionnement de ce cours (pour plus de détails, voir le chapitre 5 de ce livre et Chanudet, 2019), mais nous voulons mettre en avant cette réponse de l’institution face à ce constat. Il est cependant à noter que l’ensemble des élèves ne bénéficient pas de ce cours, ce qui pose question, car la résolution de problèmes pourrait être aussi un moyen de motiver les élèves en difficulté en leur proposant des problèmes qui donnent du sens aux notions.

72En conclusion, l’évolution de la place des problèmes dans les plans d’études officiels pour le secondaire I a été différente de celle de l’école primaire. En effet, la résolution de problèmes a mis davantage de temps à entrer de façon massive dans les plans d’études, pour finalement y être intégrée de la même façon qu’au primaire avec le plan de 2003. Le PER de 2011, rédigé conjointement pour toute l’école obligatoire de tous les cantons romands par le même groupe d’enseignant·es romands, a naturellement permis la cohérence des programmes entre ces deux ordres d’enseignement. Toutefois, les problèmes qui étaient peu présents dans le texte des plans d’étude précédents du Cycle d’Orientation ont été introduits de façon croissante, mais à partir de la distinction entre les objectifs de savoirs mathématiques et ceux portant sur les aptitudes. Ainsi, les problèmes ont un peu une place à part, à côté des savoirs notionnels. L’introduction de l’option DMS à Genève, en plus des cours habituels et seulement pour certains élèves, en est un exemple. On peut donc penser que ces évolutions différentes peuvent avoir des répercussions sur les pratiques des enseignant·es en ce qui concerne le rôle et la place de la résolution de problèmes.