1Ce livre est le fruit d’un travail de l’équipe de didactique des mathématiques de la section des sciences de l’éducation de l’université de Genève (équipe DiMaGe). Les quatorze auteur·es qui ont contribué à sa rédaction ont, à des degrés divers, collaboré pendant plus de quatre ans à un projet intitulé : « La résolution de problèmes comme objet ou moyen d’enseignement au cœur des apprentissages dans la classe de mathématiques » piloté par Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier et financé par le Fonds national suisse de la recherche scientifique (FNS – Subside n^o 100019_173105/1 – Période du 31-08-2017 au 31-01-2022).

2De très nombreuses recherches ont été faites sur la résolution de problèmes dans tous les pays depuis les années 60 notamment. Nous en évoquerons un certain nombre dans le chapitre 1, sans toutefois viser l’exhaustivité, mais davantage pour mieux nous situer dans ce paysage. Plus récemment, le rapport de l’Organisation de coopération et de développement économiques (OCDE) (Rocard et coll., 2007) qui pointait une certaine désaffection pour les sciences et la trop faible place des filles dans les sciences, ainsi que les résultats des grandes enquêtes internationales de type PISA, ont été les points de départ d’un grand plan de financement d’initiatives (notamment plusieurs projets européens de recherche auxquels certain·es d’entre nous ont participé) au sein de la communauté européenne pour travailler sur la résolution de problèmes dans le cadre de l’enseignement des mathématiques.

3Dans nos travaux passés, nous avions déjà travaillé la question de la résolution de problèmes, en particulier en étudiant ses évolutions dans les programmes de plusieurs pays. On pourra à ce sujet consulter Coppé et Houdement (2010) et Coppé (2011) pour deux études du cas français (primaire et secondaire) et Dorier (2012) qui fait le point dans les douze pays européens pour le projet PRIMAS.

4En Suisse romande, et à Genève en particulier, la résolution de problèmes en mathématiques est au cœur des enseignements depuis les années 80 et le Plan d’études romand (PER) qui régit les onze années de la scolarité obligatoire (élèves de 4 à 15 ans) de tous les cantons romands, entré en vigueur en 2011, affiche clairement cet objectif comme une visée prioritaire, comme cela est souligné dans les commentaires généraux du domaine Mathématiques et Sciences de la Nature (CIIP 2010, p. 7). Parallèlement, les moyens d’enseignement romands de mathématiques (qui constituent le manuel officiel pour chaque cycle de l’école obligatoire) pour ces mêmes onze années comprennent une large palette de problèmes abordant tous les thèmes d’enseignement, mais offrant également des problèmes non liés à ces thèmes dans la rubrique « Recherche et stratégies ». Ces moyens officiels communs à toute la Romandie privilégient donc nettement la résolution de problèmes et pas l’exposé du cours. Par ailleurs, les anciens moyens d’enseignement remplacés progressivement depuis 2018 laissaient en grande partie à la charge des enseignant·es l’organisation d’une progression des problèmes, ce qui pouvait, d’une part, se révéler être une difficulté d’enseignement et, d’autre part, engendrer des pratiques très différentes comme l’a montré Daina (2013). Les nouveaux moyens du primaire proposent une organisation plus explicite dans laquelle sont distinguées des activités de familiarisation ou de tuilage, d’introduction, d’entraînement et des problèmes. Pour des éléments d’analyse de ces nouveaux moyens, voir Coppé (2021) et Coppé et Daina (2023).

5Dans le monde francophone, dès l’origine du champ de la didactique des mathématiques dans les années 70 avec les premières ingénieries didactiques de Brousseau (1998) ou les travaux de Vergnaud (1990) avec la théorie des champs conceptuels, tout indique que la notion de problème est centrale pour la construction des connaissances. Plus récemment dans le champ de la Théorie anthropologique du didactique, la notion de parcours d’étude et de recherche (PER) (Chevallard, 1999) a donné une nouvelle impulsion théorique à la question de la résolution de problèmes.

6Parallèlement à ces recherches « théoriques », des travaux de « recherche-action » ont permis de développer des ressources et des dispositifs innovants qui ont été testés dans des expérimentations. Ces travaux ont donné lieu à des théorisations plus ou moins poussées en lien avec les cadres précédemment évoqués. Il s’agit notamment des problèmes ouverts (Arsac et coll., 1991 ; Arsac & Mante, 2007), des situations-problèmes (Brun, 1990), des situations de recherche pour la classe (Eysseric, 2002 ; Grenier, 2007 ; Grenier & Payan, 2002), du débat scientifique (Legrand, 1990). On trouvera par ailleurs des revues de ces différents travaux dans Dorier (2012) et dans Georget (2009) qui les nomme activités de recherche et de preuve entre pairs pour mettre en avant la volonté commune de transférer en classe l’activité de recherche des mathématicien·nes. Ces travaux essentiellement francophones font écho à un courant international.

7Ainsi, à l’échelle internationale, les travaux de Pólya (1945) ont initié dès les années 60 un courant de recherche, dit problem-solving, dans lequel on tente de comprendre comment des expert·es résolvent des problèmes de mathématiques pour développer des activités visant à entraîner les élèves à mettre en œuvre une démarche (comprendre le problème, concevoir un plan, le mettre à exécution et examiner la solution obtenue). Mais ces travaux n’ont pas donné les résultats attendus même si des programmes d’enseignement, basés sur la résolution de problèmes, ont été développés aux États-Unis. Cependant, Schoenfeld (1985 ; 1979) a repris ces premiers travaux en donnant des bases théoriques plus solides et a ainsi initié un important courant de recherches, principalement dans le monde anglo-saxon, mais aussi au-delà.

8D’autres chercheur·es ont prolongé ces travaux en développant le concept du problem-posing (Cai et coll., 2013 ; Kilpatrick, 1967 ; Silver & Cai, 1996). Cette approche postule qu’au-delà de la capacité à résoudre des problèmes, c’est l’activité qui consiste à bien savoir les poser qui serait un signe du développement des compétences mathématiques. Ainsi Silver et Cai (1996) partent du postulat que savoir poser des problèmes augmente chez les élèves la capacité à les résoudre. Cai et coll. (2013) indiquent que lors d’évaluations classiques, les élèves ayant eu un enseignement intégrant régulièrement des séances de problem-posing, réussissaient au moins aussi bien que les autres sur des activités classiques, techniques, tout en témoignant d’une compréhension plus fine des concepts. Ces travaux sont fort intéressants, mais les exemples qu’ils donnent à voir sont constitués le plus souvent de problèmes relativement scolaires et complètement contrôlés par les enseignant·es.

9Plus récemment, les travaux sur les démarches d’investigation IBSL (Inquiry Based Sciences Learning), inspirés de Dewey (1916 ; 1938) élargissent la perspective de la résolution de problèmes puisqu’ils mettent fortement en avant l’investigation notamment grâce aux outils technologiques qui permettent aux élèves de rechercher des informations qui ne sont pas données, mais qu’elles et ils doivent aller chercher et organiser avant de les traiter. Depuis une dizaine d’années, plusieurs projets européens de recherche comme Fibonacci1, PRIMAS2, S - TEAM3 ou bien LEMA4 se sont centrés sur ce type d’approche et mettent en avant une plus grande authenticité des questions posées, plus en lien avec celles de la vie courante, une recherche plus ouverte, un aspect expérimental fort avec des retours critiques et une dimension collaborative du travail des élèves.

10En présentant des activités innovantes, ces différents projets sur la démarche d’investigation s’attachent à donner des outils aux enseignant·es, mais peu d’entre eux questionnent les réels apprentissages des élèves, même si cette question est toujours sous-jacente. En effet, souvent, l’intérêt de la résolution de problèmes est un présupposé qui n’est peu ou pas questionné. En outre, questionner les effets des pratiques et des types de problèmes sur les apprentissages effectifs des élèves reste théoriquement et méthodologiquement complexe. Comme les évaluations mises en place dans les classes pour évaluer les apprentissages dépendent fortement du type d’enseignement donné, sur quels éléments se baser pour évaluer les apprentissages ? À quelle échelle de temps ? Quels sont les effets liés à l’enseignant·e, notamment ses compétences à engager et à maintenir les élèves dans les tâches, à soutenir la motivation ?

11C’est pourquoi dans notre projet de recherche, nous nous sommes donné comme objectif d’interroger et d’évaluer les effets sur les apprentissages des élèves de la pratique de la résolution de problèmes en classe de mathématiques, selon divers cadres théoriques relevant de la didactique des mathématiques ou de l’évaluation.

12Dans un premier temps, nous avons distingué deux contextes de recherche selon que les problèmes sont vus comme outils pour les apprentissages ou comme objets travaillés pour eux-mêmes. Les problèmes outils sont ceux qui sont proposés dans le cadre de l’enseignement de notions mathématiques identifiées dans les plans d’études, alors que les problèmes objets sont proposés pour que les élèves se rapprochent du travail mathématique des expert·es en favorisant la démarche scientifique, la recherche ou l’investigation.

13Du point de vue outil, traditionnellement, les problèmes étaient plutôt proposés en fin d’apprentissage d’une notion mathématique pour que les élèves montrent qu’elles et ils avaient acquis cette notion. Cette organisation traditionnelle a été largement remise en cause depuis les années 80, comme le montre l’étude des programmes d’enseignement de différents pays (voir chapitre 2). On note ainsi des évolutions notables d’une part sur la nature des problèmes (avec un élargissement conséquent de la palette des problèmes proposés) et, d’autre part, sur leur place dans le processus d’enseignement. En effet, les ressources proposent aux enseignant·es d’organiser leur progression en choisissant des problèmes pour introduire une notion, puis des problèmes pour appliquer, réinvestir, s’entraîner et enfin des problèmes plus complexes qui nécessitent davantage de recherche ou de mobiliser et d’articuler plusieurs notions ou concepts mathématiques.

14Par ailleurs, les problèmes objets se différencient par le fait qu’ils sont proposés aux élèves dans le but de leur apprendre à chercher, faire des essais, revenir en arrière, vérifier, argumenter, expliquer, mais aussi oser se lancer dans la résolution, être persévérant·es, ne pas se décourager, faire preuve d’inventivité et d’autonomie. Ce sont autant de compétences mathématiques et générales importantes à développer pour les futur·es citoyen·nes qui vont devoir vivre dans un monde complexe. Cependant plusieurs travaux, dont les thèses de Choquet-Pineau (2014) et Chanudet (2019a) montrent que les enseignant·es ont du mal à mettre en évidence les connaissances mathématiques en jeu travaillées dans le cadre de la résolution de problèmes.

15Enfin, il est à noter que les problèmes en eux-mêmes ne se différencient pas selon la place qu’ils occupent. En effet, ce qui change plutôt, selon la place donnée à un problème, c’est la façon de le gérer et les attentes que l’enseignant·e va avoir concernant les démarches des élèves. Par exemple, si un problème est donné en introduction d’une notion, un temps de recherche important va être laissé, un travail en groupes pourra être proposé et surtout des procédures complètement abouties ne seront pas attendues puisque les élèves ne les connaissent pas. Si ce même problème est proposé à la fin d’une phase d’enseignement, l’enseignant·e laissera moins de temps et attendra une(des) procédure(s) experte(s).

16Les différents travaux de notre équipe présentés dans ce livre concernent l’un ou l’autre de ces aspects objet ou outil. Dans tous ces travaux, nous cherchons du côté outil à évaluer comment les apprentissages de thèmes mathématiques classiques peuvent se réaliser principalement par la résolution de problèmes et du côté objet, à mieux déterminer ce que l’on peut apprendre quand on se centre sur la résolution de problèmes indépendamment des contenus mathématiques, puis comment les élèves peuvent repérer ces savoirs et savoir-faire construits (ce qui interroge le processus d’institutionnalisation) et quelles aides peuvent leur être fournies.

17Notre projet s’inscrit dans le contexte genevois, avec une incursion dans celui du Baccalauréat International (IB). Néanmoins, la situation à Genève et plus largement en Suisse romande n’est pas si particulière que nous ne puissions pas prétendre à une certaine généralité. Ainsi notre propos, même s’il s’inscrit dans ce contexte particulier, vise à éclairer la lectrice ou le lecteur sur des éléments généraux propres à des enseignements de ou par la résolution de problèmes à différents degrés scolaires et dans différents pays. Toutefois, pour bien comprendre la nature des travaux que nous avons menés et des résultats que nous avons pu obtenir, il importe d’être averti·e de certaines spécificités du contexte genevois. C’est pourquoi nous donnons ci-dessous un tableau très synthétique pour permettre à un lecteur ou une lectrice non genevoise de visualiser comment l’enseignement est structuré dans notre canton suisse entre les trois ordres d’enseignement primaire et secondaires I et II (tableau 1).

18Comme nous l’avons dit, notre recherche se décline à travers différents travaux coordonnés par Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier, co-requérant·es du projet FNS. Une part du travail s’articule autour de trois thèses6 permettant de questionner la résolution de problèmes sous des angles variés (niveaux scolaires, point de vue des enseignant·es ou des élèves) en considérant des contextes où les problèmes sont utilisés davantage comme objet d’enseignement. Deux autres études de ce projet s’intéressent à la résolution de problèmes comme un outil pour enseigner des notions mathématiques. Enfin de façon transversale, avec l’appui de Sylvie Coppé et Jean-Luc Dorier, Marina De Simone et Nataly Essonnier7 ont travaillé à l’élaboration, la diffusion et l’analyse de deux questionnaires (un pour les élèves et l’autre pour les enseignant·es) qui visent à mieux cerner comment les injonctions officielles sur la résolution de problèmes sont mises en œuvre dans les classes du primaire au secondaire II et quelle perception de la résolution de problèmes mathématiques ont les élèves et les enseignant·es.

19La thèse de Maud Chanudet, soutenue le 22 octobre 2019, porte sur l’étude des pratiques évaluatives des enseignant·es dans le cadre d’un cours centré sur la résolution de problèmes en mathématiques (Chanudet, 2019a) proposé au Cycle d’Orientation à Genève. L’observation des pratiques d’enseignant·es amené·es à enseigner et à évaluer les compétences des élèves en résolution de problèmes vise à identifier leurs logiques d’actions évaluatives en tenant compte à la fois des fonctions certificative et formative de l’évaluation. Ainsi, en utilisant le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique et le concept de régulation, l’analyse des pratiques de trois enseignant·es a montré qu’elles et ils investissent différemment les marges de manœuvre à disposition en ce qui concerne l’organisation et la gestion des séances et que, finalement, elles et ils ne visent pas les mêmes objectifs d’apprentissage. Cette thèse permet de se faire une idée plus précise des attentes des enseignant·es vis-à-vis de la résolution de problèmes, mais révèle aussi certaines contradictions. Les cadres théorique et méthodologique qui croisent des outils de didactique des mathématiques et du champ de l’évaluation offrent un outil général propre à permettre d’autres études.

20La thèse de Stéphane Favier, soutenue le 8 février 2022, vise à caractériser les démarches des élèves de différents niveaux scolaires (en milieu et fin de primaire et milieu du secondaire I, à Genève) dans les conditions habituelles de la classe, lorsqu’elles et ils résolvent des problèmes mathématiques pour lesquels on peut faire des essais et des ajustements (Favier, 2022). Ces conditions d’étude au plus proche de la réalité de la classe induisent une complexité que peu de recherches sur le même sujet ont abordée et cela en constitue donc une des originalités de la thèse. Pour analyser ces données audiovisuelles (obtenues à l’aide de caméras serre-tête8), Stéphane Favier a élaboré une méthodologie fondée sur un triple regard. Du point de vue macroscopique, il a mis en œuvre le cadre d’analyse développé par Schoenfeld (1985) et adapté par Rott (2012b). Il a ensuite enrichi le modèle de Rott et coll. (2021) de manière à prendre en compte l’impact des interventions de l’enseignant·e sur les processus de résolution des élèves. Les résultats montrent que dans un contexte de classe, la grande majorité des processus sont non linéaires du fait des différents allers-retours entre les phases du modèle. Ensuite, en se concentrant sur le point de vue des heuristiques, il a porté un regard plus microscopique sur les mêmes données, lui permettant ainsi d’identifier différents profils d’élèves. Enfin, il a développé un dernier niveau d’analyse spécifique aux essais et ajustements.

21La thèse de Yana Lacek, soutenue le 24 janvier 2023, interroge la place de la démarche d’investigation dans le Baccalauréat International et le rôle du dispositif d’évaluation spécifique nommé « Exploration en mathématiques » (Lacek, 2023). L’objectif général de la thèse est d’identifier et d’analyser la viabilité de la mise en application de la démarche d’investigation, en tenant compte des conditions et contraintes de la classe de mathématiques dans le cadre institutionnel du Baccalauréat International. En particulier, elle a étudié le rôle et l’influence de ce dispositif d’évaluation dans l’intégration de cette démarche. Une première analyse a été faite en utilisant les outils de la Théorie anthropologique du didactique (TAD) de Chevallard (1999). Puis, une deuxième étude d’ordre clinique a visé à documenter les rôles respectifs des enseignant·es et des élèves dans le dispositif. Ainsi durant l’année scolaire 2018-2019, Yana Lacek a observé deux enseignants de l’école internationale de Genève et quatre de leurs élèves (seuls deux ont respecté les conditions d’expérimentation et font donc l’objet d’une analyse dans la thèse) pendant toute la durée du travail. Les séances de classe ont été filmées. Pour avoir des traces du travail individuel des élèves, il leur a été fourni une caméra serre-tête pour enregistrer leur travail à la maison et il leur a été demandé de tenir un carnet de bord. Les analyses de ce matériau riche sont faites à l’aide des différentes dialectiques développées dans l’étude des PER dans le cadre de la TAD.

22Les deux recherches suivantes portent sur des problèmes dans le cadre de l’enseignement de notions mathématiques (problèmes comme outils d’apprentissage). La première, nommée Proform (Projet formes) initiée par Sylvia Coutat et Céline Vendeira (2017), porte sur l’enseignement de la géométrie au primaire. Depuis quelques années, ces deux chercheuses ont développé une ingénierie didactique (pour le cycle 1 – élèves de 4-8 ans) composée de situations-problèmes qui s’appuient sur un matériau original constitué de formes géométriques non conventionnelles découpées dans du bois avec un système de pochoirs. Dans le cadre du projet, l’objectif a été d’analyser d’une part comment les enseignant·es s’approprient ces situations et, d’autre part, comment ces situations agissent sur les connaissances des élèves. Les connaissances des élèves du cycle 1 sont analysées à travers leurs interactions avec le milieu au fil des situations selon deux objectifs. Le premier concerne l’enrichissement de leur vision globale des formes par la mobilisation de quelques caractéristiques. Le second vise à identifier si les élèves parviennent à adopter la visualisation appropriée en fonction de la situation. Quant à l’appropriation des situations-problèmes par les enseignant·es, elle a été analysée au regard de ces deux objectifs dans la conception de leurs évaluations via les problèmes choisis et les objectifs associés.

23La deuxième étude, nommée Profon (Projet fonctions), porte sur l’élaboration d’une ingénierie didactique pour l’enseignement des fonctions en 1^e du Collège à Genève menée par Pierre-François Burgermeister, Michel Coray, Marina De Simone et Laurence Merminod. Après quelques pré-expérimentations, cette équipe a élaboré une ingénierie didactique sous forme d’une séquence d’enseignement sur les fonctions en mettant l’accent sur les coordinations entre registres de représentation sémiotiques au sens de Duval (1993). Par rapport aux pratiques usuelles en Suisse romande, cette séquence est innovante en ce qu’elle intègre une forte dimension de résolution de problèmes visant à rendre la coordination de plusieurs registres de représentation mobilisables par les élèves dans l’apprentissage des fonctions. Cette ingénierie a été testée dans trois classes. Les analyses de ces expérimentations ont permis de dégager certaines caractéristiques du travail des élèves dans le cadre d’un enseignement par la résolution de problèmes. En particulier, ces analyses ont permis de documenter l’évolution des conceptualisations de la notion de fonction des élèves dans les phases de travail individuel ou en groupe. De plus, dans une perspective d’évaluation formative à la suite de Chanudet (chapitre 5), un travail d’analyse des échanges verbaux entre enseignant·e et élèves a été mené.

24Les thèses soutenues sont accessibles en ligne. Pour les deux études, nous avons mis en ligne dans les annexes électroniques de ce livre9, divers documents permettant d’en détailler les aspects. De même pour les analyses des deux questionnaires destinés pour l’un aux élèves et pour l’autre aux enseignant·es.

25L’objet de ce livre est de rendre compte de l’ensemble de ces travaux selon différents aspects permettant de documenter la résolution de problèmes, à travers divers degrés scolaires et en précisant le point de vue selon que l’on considère la résolution de problèmes comme objet d’enseignement ou comme outil d’apprentissage d’un contenu mathématique.

26Nous avons composé l’ouvrage selon deux parties, elles-mêmes divisées en chapitres numérotés en continu. La première partie présente des éléments généraux sur la résolution de problèmes en adoptant des entrées différentes : celle des recherches sur la résolution de problèmes, de la transposition didactique externe à travers l’évolution des plans d’études romands et genevois et enfin celle des conceptions et représentations des élèves et des enseignant·es sur les mathématiques et les problèmes. La seconde partie est centrée sur les études menées.

27Le chapitre 1 offre, à l’appui d’une revue de littérature, un panorama des analyses d’ordre épistémologique, didactique ou psychologique autour de la résolution de problèmes. Au vu du grand nombre et de la diversité des travaux ayant abordé cette question, ce chapitre que nous avons voulu synthétique est forcément non exhaustif. Il nous permet essentiellement de situer notre travail dans un paysage plus large et de délimiter l’empan de nos travaux comme de justifier certains de nos choix méthodologiques.

28Le chapitre 2 présente une analyse de la place de la résolution de problèmes dans les programmes de mathématiques du canton de Genève et de la Suisse romande du primaire (depuis la fin du 19^e siècle jusqu’à nos jours) au secondaire II. Bien que très contextualisé, ce chapitre a néanmoins pour but de montrer, au-delà des spécificités de notre canton, en quoi il s’inscrit dans un mouvement international qui, depuis l’abandon des mathématiques modernes, a affirmé sous diverses formes l’importance de la résolution de problèmes comme paradigme dominant de l’enseignement de cette discipline.

29Dans les chapitres 3 et 4, nous présentons les deux questionnaires que nous avons conçus et proposés à différents niveaux scolaires, l’un sur la perception de la résolution de problèmes par les élèves à partir de leur vécu dans leur cursus scolaire (chapitre 3) et l’autre sur les pratiques déclarées des enseignant·es (chapitre 4). Nous donnons quelques éléments sur les choix que nous avons faits pour leur conception puis nous analysons les réponses que nous avons collectées.

30La deuxième partie présente, en quatre chapitres, des éléments d’analyse des cinq travaux de recherche qui constituent notre projet (les thèses de Chanudet et Favier ont été regroupées en un même chapitre) et que nous avons présentés auparavant. Afin de structurer ces présentations autour de questions communes, nous avons demandé aux auteur·es d’organiser leur exposé selon deux axes. Le premier concerne les pratiques des enseignant·es et porte sur les conditions et contraintes qui pèsent sur la mise en place d’un enseignement de ou par la résolution de problèmes notamment à travers des questions liées d’une part, à la temporalité et, d’autre part, à l’évaluation. Le second concerne les apprentissages des élèves et il présente diverses analyses de terrain liées à des observations d’élèves en classe avec leurs enseignant·es, ou travaillant seul·es à la maison sur des activités diverses de résolution de problèmes.

31Pour aider à la lecture de ces chapitres, nous donnons dans ce qui suit quelques éléments de chacun des deux axes de réflexion choisis en montrant en quoi les différents chapitres y apportent des éléments de réponse.

32Aborder la résolution de problèmes quand elle s’inscrit dans le temps long, amène à s’interroger sur différents aspects en termes de contraintes et de conditions. Tout d’abord, il s’agit de mieux comprendre ce que l’on vise comme objectifs selon différentes temporalités dans un enseignement de ou par la résolution de problèmes. D’autre part, il faut s’interroger sur les conditions qui peuvent permettre de les atteindre, mais aussi sur les contraintes qui peuvent les entraver. De fait, ces questions peuvent être abordées sous l’angle du double processus de dévolution et d’institutionnalisation : Comment mettre en place une bonne dévolution de la résolution de problèmes ? Pour quelle institutionnalisation sur le long terme ?

33Ensuite, toujours sous l’angle des contraintes et des conditions, se posent des questions liées à diverses formes d’évaluation. Lorsque la résolution de problèmes est un objet d’enseignement, cette question est cruciale et renvoie à celle de la détermination des objectifs et des objets de savoir identifiables et institutionnalisables. Dans le cas d’un enseignement par la résolution de problèmes, une question centrale est de voir ce qui est évalué des apprentissages des élèves, au-delà des stricts contenus mathématiques et comment la dimension de la résolution de problèmes est prise en compte. Ici encore le panorama des questions liées à l’évaluation en résolution de problèmes est assez vaste et permet d’aborder divers aspects.

34Le chapitre 5 aborde conjointement les travaux de Chanudet et Favier. En effet, leurs thèses bien que portant sur des contextes différents ont, au cours de leur réalisation, rapidement montré leur complémentarité puisque portant toutes deux sur la résolution de problèmes comme objet ; celle de Chanudet est davantage centrée sur les pratiques enseignantes alors que celle de Favier porte essentiellement sur le travail des élèves. Ainsi, ces deux auteur·es se sont posé certaines questions communes quant à la façon de caractériser les types de problèmes en ce qui concerne leurs différents potentiels et leurs enjeux en termes de démarches et de modes de raisonnement. Ces questionnements les ont conduit·es à concevoir des outils communs inspirés des travaux de Jeannotte (2015) et de Georget (2009). Ce travail permet donc de proposer des objectifs généraux que l’on peut assigner à un enseignement de la résolution de problèmes comme objet et de la façon dont on peut organiser une planification sur l’année des différents problèmes pour travailler d’une part une bonne dévolution des objectifs aux élèves et l’institutionnalisation des savoirs appris, au-delà des enjeux locaux de chaque problème. Les deux auteur·es montrent comment elle et il ont conçu leurs outils, avant d’expliciter ensuite chacun·e plus largement certains aspects de leur thèse (au-delà de ces seuls outils). Enfin, les deux montrent comment la prise en compte des résultats de leurs travaux a été le point de départ d’un nouveau projet de recherche collaborative avec des enseignant·es du secondaire I et du primaire visant à développer une ressource pour l’enseignement de la résolution de problèmes afin de penser, sur le long terme, les objectifs et outiller le choix des problèmes, ce qui sera ensuite partagé en formation continue.

35En rapport avec le premier axe, Chanudet et Favier montrent que la conception de leurs outils communs apporte des éléments intéressants en lien avec la temporalité. Par ailleurs, en analysant le cours de Démarches mathématiques et scientifiques (DMS) centré sur la résolution de problèmes au secondaire I, pour lequel la question de l’évaluation est centrale puisque ce cours fait l’objet d’une évaluation indépendante du cours ordinaire de mathématiques, s’appuyant sur le dispositif de la narration de recherche, Chanudet apporte des résultats fondamentaux sur l’étude des pratiques évaluatives des enseignant·es en résolution de problèmes. Elle interroge ainsi la manière dont les enseignant·es choisissent les problèmes qu’elles et ils proposent aux élèves, dans les séances ordinaires comme en évaluation, leur articulation, mais aussi les critères qui sont utilisés pour évaluer les productions des élèves. Elle questionne aussi la place du dispositif de la narration de recherche choisi institutionnellement comme fil conducteur pour le cours de DMS. Elle propose ensuite une analyse des interactions entre enseignant·e et élèves dans une optique d’évaluation formative pour tenter de comprendre comment elles ou ils aident leurs élèves à mieux réussir en résolution de problèmes. Elle explicite son cadre théorique et comment elle l’a appliqué pour analyser les pratiques de deux enseignant·es. Ensuite, Favier montre une analyse du travail des élèves de primaire et de secondaire I dans des problèmes qui peuvent se résoudre par des méthodes d’essais et d’ajustements. À l’appui d’une revue de littérature, il a repris et adapté un cadre d’analyse issu des travaux de Schoenfeld et complété par Rott (voir chapitre 1 de ce livre). Dans ce chapitre, Favier reprend une partie de sa thèse portant sur la notion d’heuristique. Il présente tout d’abord la façon dont ce concept est traité dans la littérature et développe ensuite son cadre d’analyse qu’il applique à quelques exemples.

36Les deux chapitres suivants ont trait aux deux projets portant sur l’aspect outil de la résolution de problèmes.

37Dans le chapitre 6, Coutat et Vendeira présentent l’étude Proform sur l’enseignement des formes géométriques au primaire, dans une approche par la résolution de problèmes comme outil. Plus précisément, elles analysent comment les élèves de début de primaire résolvent les tâches de reconnaissance de formes qu’elles ont élaborées pour leur ressource en distinguant deux axes. Le premier concerne l’enrichissement de leur vision globale des formes par la mobilisation de quelques caractéristiques. Le second vise à identifier si les élèves parviennent à adopter la visualisation appropriée en fonction de la situation. Elles se basent pour cela sur les interactions entre élèves et sur les effets des interventions de l’enseignant·e. Enfin, une autre partie de leur analyse porte sur l’appropriation de ces situations problèmes par les enseignant·es notamment au moment de la conception de leurs évaluations via les problèmes choisis et les objectifs associés à l’évaluation.

38Dans le chapitre 7, Coray, De Simone, Burgermeister, Chanudet et Merminod présentent le projet Profon sur l’enseignement des fonctions au début du secondaire II. Elles et ils examinent comment une démarche de résolution de problèmes pensée sur le long terme peut permettre de rendre les conversions de registres disponibles au sens de Robert (1998), c’est-à-dire que les élèves les mobilisent sans qu’elles soient explicitement sollicitées dans l’énoncé. Elles et ils montrent comment dans la progression de leur enseignement, il a fallu problématiser l’introduction de la notion de fonction à travers diverses opportunités de conversions de registres de représentation sémiotique en jeu dans divers problèmes que les élèves vont devoir résoudre tout au long de la séquence. Puis elles et ils analysent comment les évaluations ont été pensées et mises en place dans cette ingénierie didactique. Elles et ils présentent ainsi de façon succincte les différentes évaluations qui permettent tout à la fois de tester les apprentissages fondamentaux sur la notion de fonction au vu des attentes du Plan d’études, mais aussi d’évaluer comment les élèves peuvent réinvestir les changements de registre dans la réalisation des tâches qui leur sont soumises, notamment au travers d’un pré-test et d’un post-test. Enfin, quelques travaux d’élèves sur un problème sont analysés plus finement pour montrer comment les jeux sur les registres, mais aussi les changements de point de vue permettent aux élèves d’avancer dans la résolution de problèmes.

39Pour finir, le chapitre 8 nous ramène à un contexte bien spécifique de la résolution de problèmes comme objet d’enseignement. En effet, Lacek aborde la question de la place que peut occuper la démarche d’investigation dans le contexte de l’IB. Pour cela, elle étudie le dispositif Exploration en mathématiques dans lequel les élèves sont amené·es à faire un travail d’investigation qui est évalué et compte pour 20 % dans la note finale des mathématiques. Elle reprend les textes officiels pour faire un rapide aperçu historique de la mise en place de cette institution et de son attachement à un enseignement donnant à l’élève les « outils pour aborder les problèmes du monde ». Elle présente ensuite un questionnaire qu’elle a fait passer à 74 enseignant·es de mathématiques issu·es de divers pays et institutions rattachées à l’IB. Son analyse cherche à déterminer les facteurs qui peuvent favoriser ou au contraire freiner l’impact de la démarche d’investigation dans l’enseignement des mathématiques, dans une institution qui lui donne a priori de bonnes conditions pour être mise en place et pratiquée. Enfin, elle complète cette analyse par celle de la nature des tâches proposées dans la partie classique de l’évaluation externe des 80 % restants de la note pour déterminer si et comment ces injonctions fortes sur la résolution de problèmes sont effectives dans une évaluation plus classique. Enfin, Lacek rend compte de l’analyse du travail personnel d’une élève dans la réalisation de son travail d’« Exploration en mathématiques » en utilisant les différentes dialectiques développées dans l’étude des parcours d’étude et de recherche dans la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1999).

40Le livre se termine par un chapitre de conclusion construit sur la même trame que celle suivie par les différents auteurs des chapitres précédents.