Le nouveau visage du hasard
p. 189-196
Texte intégral
1En 1900 se tint à Paris le mémorable congrès international de mathématiques au cours duquel David Hilbert présenta la liste des problèmes mathématiques alors non résolus qui allait donner une impulsion décisive au développement des mathématiques et de la logique dans les années, voire les décennies, suivantes. Le sixième problème de cette liste, qui a reçu moins d’attention que d’autres de la part des historiens des mathématiques, est le suivant : « donner un fondement axiomatique aux disciplines de la physique dans lesquelles les mathématiques jouent un rôle décisif »1. Aux premiers rangs de ces disciplines se trouvent le calcul des probabilités et la mécanique.
2La demande que Hilbert adresse ainsi aux mathématiciens d’assurer un fondement mathématique solide au calcul des probabilités reflète une transformation importante dans la façon de concevoir le « calcul des chances » né un peu moins de trois siècles auparavant2. Les probabilités peuvent désormais faire figure d’objets mathématiques respectables et dignes d’approfondissement théorique ; leur calcul ne doit plus être considéré comme un ensemble plus ou moins cohérent de recettes destinées à évaluer les gains de joueurs. Le souhait de Hilbert de donner une structure axiomatique au calcul des probabilités, sur le modèle des Grundlagen der Geometrie3, ne sera exaucé que quelques trente ans plus tard, bien que les années 1900 aient été celles de développements mathématiques décisifs pour ce domaine comme pour bien d’autres, et ce en particulier grâce à la constitution de la théorie de la mesure par Émile Borel4. Celui-ci appliqua immédiatement au calcul des probabilités les premiers résultats qu’il obtint dans ce domaine5. Mais l’axiomatisation du calcul des probabilités qui fit date fut celle de Kolmogorov6. Elle parut en 1933, bien après l’injonction de Hilbert.
3Comme l’énoncé du sixième problème du programme de Hilbert en témoigne, le calcul des probabilités est en train de changer de statut mathématique autour de 1900. On peut cependant déceler dans la formulation de Hilbert l’indice d’une autre transformation, peut-être plus importante encore, et qui concerne plus directement les sciences de la nature : la transformation en cours de la notion de hasard, conduisant à l’apparition d’un « nouveau visage » du hasard. On aura en effet noté que Hilbert présente le calcul des probabilités comme une sous-discipline de la physique, au même titre que la mécanique. Il ajoute qu’il serait souhaitable de mener non seulement des recherches de nature logique sur les axiomes du calcul des probabilités, mais encore de développer des méthodes rigoureuses de détermination des moyennes en physique, et en particulier en mécanique statistique. Si l’on considère le programme de Hilbert comme révélant l’état de certaines des grandes questions scientifiques du moment, c’est-à-dire comme prenant acte des développements antérieurs, mais aussi comme anticipant sur les recherches futures, on verra dans les propositions de Hilbert le signe que le hasard, représenté mathématiquement par les probabilités, appréhendé numériquement dans des moyennes, était devenu un élément familier, presque banal en physique.
4L’histoire de la « domestication » du hasard, en physique, en biologie et dans les sciences dites humaines, est désormais bien connue7. En ce qui concerne les sciences de la nature, et en particulier la physique, le « moment 1900 » me semble être celui de la cristallisation de réflexions à la fois scientifiques et philosophiques sur la notion de hasard, qui l’ordonnent à celle de stabilité statistique. Le nouveau visage du hasard est ainsi celui de ses lois, qui prennent vers 1900 le pas sur ses autres manifestations.
5Les lois du hasard sont celles qui régissent le comportement des phénomènes dits « de masse », c’est-à-dire ceux qui sont composés d’éléments ou d’événements en très grands nombres. Les exemples de phénomènes de masse dont les lois commencent à être bien connues autour de 1900 ne manquent pas. Depuis les années 1860, le comportement des fluides, gaz ou liquides, est analysé comme un effet macroscopique et statistique des mouvements de leurs composants microscopiques – les molécules – en nombre extraordinairement grand. Les travaux pionniers de Maxwell8 et Boltzmann9, qui fondaient la mécanique statistique, ont été systématisés au tournant du siècle par Gibbs10 et Einstein11. Ce dernier explora les conséquences de la théorie statistique des mouvements des molécules jusqu’à élaborer la théorie du mouvement brownien12, phénomène resté totalement mystérieux depuis sa description en 182813. Le monde alors presque impénétrable, et même fictif selon certains, des atomes commençait ainsi à entrouvrir ses portes. Le phénomène de la radioactivité, découvert par Becquerel en 1896, apporta à la fois de nouvelles lumières et de nouvelles questions sur la structure des atomes. Ce phénomène obéit en effet à des lois statistiques du même type que celles qui gouvernent les molécules des fluides. Dans le cas de la radioactivité cependant, les probabilités semblent représenter des événements réellement aléatoires, et non des événements qui sont traités mathématiquement comme s’ils étaient aléatoires, afin d’effectuer des calculs statistiques, comme on le fait en mécanique statistique. Du côté des phénomènes biologiques, le début du XXe siècle apporta également son lot de phénomènes analysables grâce aux outils statistiques. Les lois de la génétique dite depuis « classique » (c’est-à-dire non moléculaire) sont en effet des lois statistiques décrivant des régularités qui apparaissent lorsque l’on considère de grands ensembles d’organismes14. Enfin, du côté des sciences sociales, l’usage des statistiques et l’observation de régularités remonte au début du XIXe siècle, et en 1900, les « statistiques sociales » sont devenues des outils efficaces pour les gouvernements, les assureurs, etc.15
6De façon générale, les phénomènes de masse sont caractérisés par l’existence en leur sein de deux échelles distinctes, celle (microscopique dans le cas des fluides) à laquelle sont appliquées les probabilités, et celle (macroscopique) à laquelle sont observées les régularités. Les événements auxquels sont appliquées les probabilités ne sont pas toujours considérés comme intrinsèquement « hasardeux », spontanés ou encore indéterministes. Vers 1900 en effet, la notion de comportement irréductiblement spontané, ou de hasard intrinsèque dans le cours de la nature, n’était pas considérée comme acceptable par les scientifiques. Cette notion a fait l’objet de réflexions approfondies, à la fois scientifiques et philosophiques, de la part de Charles S. Peirce16, mais elles n’ont pas eu d’influence sur les communautés scientifiques de son temps.
7La place la notion de hasard, ordonnée à celle de stabilité statistique, est considérable dans le paysage scientifique autour de 1900, comme en témoignent les nombreux écrits sur ce sujet de deux « savants-épistémologues » marquants, Henri Poincaré et Émile Borel. Poincaré est le premier, dans La science et l’hypothèse17, à proposer une exploration épistémologique systématique de la notion de hasard dans laquelle le concept de probabilité objective est explicitement rapporté aux phénomènes de stabilité statistique. À propos de l’exemple du jeu de hasard, Poincaré écrit ainsi :
« … je suppose qu’un observateur assiste au jeu, qu’il en note tous les coups et que le jeu se prolonge longtemps ; quand il fera le relevé de son carnet, il constatera que les événements se sont répartis conformément aux lois du calcul des probabilités. C’est là ce que j’appellerai la probabilité objective. »18
8Dans Science et méthode19, Poincaré approfondit sa réflexion sur les relations entre hasard et instabilité. À propos de l’exemple d’un cône en équilibre instable sur sa pointe, il écrit qu’« une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard »20. La prédiction d’un tel effet est impossible. Poincaré assigne ensuite à l’instabilité de ces phénomènes singuliers la responsabilité causale de la stabilité statistique représentée mathématiquement par les lois du hasard. Il élabore dans ce cadre un raisonnement dans lequel la notion de fonction continue joue un rôle décisif : les événements qui sont les grands effets de petites causes, nombreuses et complexes, peuvent être représentés comme étant soumis aux lois mathématiques du hasard à condition que l’on puisse appliquer la notion de fonction continue à la représentation des petites causes en question. Une telle application est légitime si ces petites causes ont agi suffisamment longtemps pour produire sur le long terme une certaine uniformité réglée par les lois du hasard.
9Dans les mêmes années, Borel, qui a grandement contribué à la clarification du concept mathématique de probabilité, ne cesse d’insister d’autre part, de même que son illustre prédécesseur à la chaire de « théorie des probabilités et physique mathématique », sur la nécessité de prendre en compte la « valeur pratique » de la probabilité, mettant ainsi au centre de ses préoccupations épistémologiques la notion d’application de résultats mathématiques à l’expérience. Les titres des nombreux articles dans lesquels Borel milite activement pour la diffusion des idées engendrées par l’application du calcul des probabilités témoignent de ce souci : « La valeur pratique du calcul des probabilité »21, « Sur les principes de la théorie cinétique des gaz »22, « Un paradoxe économique. Le sophisme du tas de blé et les vérités statistiques »23, et « Le calcul des probabilités et la mentalité individualiste »24, pour ce qui concerne les articles d’avant 1910.
10Innombrables sont les passages où Borel affirme sa conviction selon laquelle les phénomènes de stabilité statistique méritent être des objets privilégiés de la réflexion scientifique et épistémologique. Deux exemples illustreront cette conviction, un de 1907 qui montre la façon dont Borel défend la « valeur pratique du calcul des probabilités », et un peu postérieur, de 1927, relatif à l’importance que Borel accorde aux probabilités en physique. Dans « Un paradoxe économique. Le sophisme du tas de blé et les vérités statistiques », tout d’abord, Borel se fait le chantre d’une meilleure éducation aux principes du calcul des probabilités :
« … la réponse mathématique à donner à bien des questions pratiques est un cœfficient de probabilité. Une telle réponse ne paraîtra pas satisfaisante à bien des esprits, qui attendent des mathématiques la certitude. C’est là une tendance très fâcheuse ; il est extrêmement regrettable que l’éducation du public soit, à ce point de vue, si peu avancée ; cela tient sans doute à ce que le calcul des probabilités est à peu près universellement ignoré, bien qu’il pénètre chaque jour dans la vie de chacun (assurances diverses, mutualités, retraites, etc.). Un cœfficient de probabilité constitue une réponse tout à fait claire, correspondant à une réalité absolument tangible. Certains esprits maintiennent qu’ils “préfèrent” la certitude ; ils “préféreraient” peut-être aussi que 2 et 2 fissent 5.
Si la notion de vérité statistique devenait familière à tous ceux qui parlent ou écrivent au sujet de questions où la vérité statistique est la seule vérité, bien des sophismes et des paradoxes seraient évités. »25
11En 1927, dans « Les lois physiques et les probabilités », Borel écrit, après avoir rappelé les principes généraux de la physique statistique :
« Nous voyons comment la définition même de la probabilité et les principes du calcul des probabilités se mêlent d’une manière extrêmement intime aux problèmes les plus passionnants de la physique moderne. »26
12Borel et Poincaré ont été influencés, dans leur réflexion sur le hasard et les probabilités, par les conceptions de Joseph Bertrand, présentées dans son Calcul des probabilités de 1888. Bertrand se montre sceptique quant à la légitimité de la notion de loi du hasard, comme en témoigne la citation suivante, tirée du début de ce traité : « Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n’est-il pas l’antithèse de toute loi ? »27. Poincaré, qui ouvre le chapitre de Science et méthode consacré au hasard par cette citation, se distingue résolument de Bertrand en répondant par la négative à la seconde question. Borel fait de même, et rappelle lui aussi à diverses reprises, en le critiquant, le scepticisme de Bertrand, et ce bien qu’il continue comme Poincaré d’associer les probabilités à la mesure de notre ignorance sur le cours réel de la nature, perpétuant ainsi la tradition laplacienne. Les thèses que développent Poincaré et Borel contrastent cependant avec les interrogations de Bertrand dans la mesure où elles traduisent l’importance qu’ont pris les phénomènes de stabilité statistique dans les sciences de la nature vers 1900.
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10.1515/9780691210520 :Notes de bas de page
1 Cf. Hilbert (1900), cité par von Plato (1994), p. 32.
2 Sur l’histoire des probabilités et statistiques classiques, voir Hacking (1990) et (1975), Gigerenzer et al. (1989), Krüger et al. (eds.) (1987), Porter (1986) et Chevalley (1995).
3 Cf. Hilbert (1899).
4 Cf. Borel (1898).
5 Cf. Borel (1905) et Borel (1909).
6 Cf. Kolmogorov (1933).
7 Cf. les ouvrages indiqués en note 2.
8 Cf. Maxwell (1860), (1867) et (1879).
9 Cf. Boltzmann (1868), (1871a), (1871b), (1872), (1875), (1877a), (1877b), (1878) et (1887).
10 Cf. Gibbs (1902).
11 Cf. Einstein (1902) et (1904).
12 Cf. Einstein (1905). Le mouvement brownien (du nom du biologiste Robert Brown qui l’a décrit pour la première fois en 1828) est celui de particules de pollen en suspension dans un liquide. Ces mouvements ont une apparence aléatoire et ne semblent être les effets d’aucune cause. Leur appliquant les principes de la mécanique statistique, Einstein montra qu’ils étaient l’effet des fluctuations des vitesses des molécules composant le liquide.
13 L’histoire de la mécanique statistique est racontée en détail dans Brush (1976).
14 Pour un résumé des discussions dans ce domaine autour de 1900, voir Gigerenzer et al. (1989), p. 141-152.
15 Ibid., ch. 7.
16 Cf. par exemple Peirce (1892).
17 Cf. Poincaré (1902), ch. XI : « Le calcul des probabilités ».
18 Cf. Poincaré (1902), p. 195.
19 Cf. Poincaré (1908), ch. IV : « Le hasard ».
20 Cf. Poincaré (1908), p. 68.
21 Cf. Borel (1906a).
22 Cf. Borel (1906b).
23 Cf. Borel (1907).
24 Cf. Borel (1908).
25 Cf. Borel (1907), p. 2207.
26 Cf. Borel (1927), p. 1834.
27 Cf. Bertrand (1888), cité par Poincaré (1908), p. 64.
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