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Didactique du français, le socioculturel en question

 | 
Bertrand Daunay
, 
Isabelle Delcambre
, 
Yves Reuter

4. Pratiques différentes pour prendre en compte les différenciations entre élèves

Parcours d’élèves dans une classe de mathématiques : une construction sociale de nouveautés culturelles

Dominique Lahanier­-Reuter

Texte intégral

  • 1 Un site Web rassemble une centaine de versions différentes de cette anecdote : http://www.sigmaxi.o (...)

1Une anecdote célèbre1 raconte comment le jeune Gauss, à l’âge de dix ans, trouva de façon astucieuse et rapide la somme des cent premiers nombres, prenant ainsi de court son maître, pour qui la résolution de l’exercice supposait des calculs longs et compliqués. Ce récit circule dans la communauté des mathématiciens en tant que récit d’une « illumination » individuelle qui serait un signe annonciateur du destin scientifique de Gauss – que certains qualifient de « plus grand génie mathématique » que l’humanité ait jamais connu. J’ai rapporté cette anecdote pour deux raisons. La première est qu’elle est tout simplement la preuve qu’une culture mathématique n’est pas constituée seulement de savoirs, mais également de croyances, de récits… Mais, et c’est là la seconde raison à cette introduction, je n’aurai jamais pensé à rapporter ce récit particulier s’il ne m’avait pas été donné d’assister, à une scène comparable quelques trois cents ans plus tard : dans une classe de mathématiques, un élève de CM2, Erwann, propose à la classe de calculer la somme des dix-huit premiers nombres par ce que nous appelons la méthode de Gauss : au lieu d’ajouter successivement 1, 2, (…) 18, il additionne 1 et 18, 2 et 17 (…) 9 et 10, et effectue « simplement » le produit de 19 (le résultat identique de toutes ces additions) par 9 (le nombre d’additions). Cette observation, si elle n’était rapportée que pour illustrer l’anecdote qui précède, ne servirait qu’à tempérer l’aspect miraculeux de l’invention de l’élève Gauss et son caractère prémonitoire. Mais, en tant que didacticienne des mathématiques, c’est à l’observation dans une classe que je m’intéresse prioritairement : l’anecdote n’était là que pour l’éclairer.

2À partir de ces remarques, je vais montrer comment les analyses des conduites d’élèves que je propose s’inscrivent dans une problématique du socioculturel en interrogeant la question de « la culture mathématique » et le statut du fait observé que je viens de rapporter.

1. Le statut et le cadre d’interprétation du fait observé

  • 2 Ce qui ne signifie pas que l’invention d’Erwann est entièrement déterminée par « le milieu social » (...)

3Décrire et comprendre ce fait observé relèvent de décisions qui concernent non seulement le projet de connaissances, le champ scientifique dans lequel nous nous inscrivons mais aussi le découpage et de la nature de ce fait. Il se peut que ce fait soit uniquement rapporté à Erwann, que nous décidions de découper dans le réel observé le temps de l’événement : « Erwann dit à la classe comment faire » et ne prendre en compte que les gestes et les paroles de cet élève. L’invention du procédé de Gauss est dans ce cas un fait psychologique individuel : comme dans l’anecdote, il s’agit d’expliquer ou de décrire ce qui s’apparente à « une rencontre purement individuelle avec une nécessité d’ordre mathématique ». Mais il est possible d’étendre ce découpage du monde à ce qui survient ensuite dans la classe : la réception par le maître et les autres élèves du procédé d’Erwann, ou à ce qui est arrivé auparavant : comment la question de ce calcul a pu être posée dans cette classe. Le statut de l’invention d’Erwann s’en trouve modifié : elle devient alors pour nous un fait social, et c’est sous cet angle que nous décidons de l’envisager. Elle est fait social parce que, même si cette invention peut être expliquée par des caractéristiques psychologiques de cet enfant, comme sa maîtrise des traitements des écritures mathématiques2, cette structure psychologique particulière n’existe et n’a d’intérêt à nos yeux, que parce que les actes qu’elle autorise visent les autres élèves et le maître. Ainsi l’élève qui a posé la question ne comprendra pas immédiatement la proposition d’Erwann, et décidera de continuer sa recherche. Le regard du maître sur Erwann, la place qu’il lui accordera dans la classe de mathématiques se trouveront modifiés, et la façon dont les groupes de travail seront ensuite constitués devra quelque chose à cette intervention. Cette décision de lire l’invention d’un élève de dix ans en tant que fait social dans une classe de mathématiques, doit beaucoup au texte de Paul Veyne (2007), qui, parlant de la révélation à la foi chrétienne de l’empereur Constantin, a ces mots si éclairants :

On oppose à tort « société » à « individu » et « social » à « psychologique » alors que l’acte le plus individuel est social s’il vise autrui. La psychologie de l’évergète grec qui faisait spontanément du mécénat pour prendre individuellement une supériorité morale sur sa cité n’est ni individuelle ni psychologique : elle est non moins sociale, puisqu’elle vise les autres, que la conduite collective de la cité qui collectivement, en une autre occasion, impose en retour à un notable avare le devoir de se conduire en évergète. […] Social et collectif ne sont pas la même chose. Lorsque tous les passants ouvrent à la fois leur parapluie parce qu’il se met à pleuvoir, ce n’est pas un fait social, tandis que la psychologie vaniteuse et ostentatoire d’un notable isolé est sociale.

4Constituer en fait social ce découpage du réel et les lectures qui en découlent a pour conséquence que ce ne sont pas les trajectoires individuelles d’enfants qui nous intéressent. Ce qui est en jeu pour nous est un système : comment une question émerge, comment un élève se charge, à un moment donné, d’un rôle particulier dans l’étude d’une question, comment sont entendues ses paroles etc. D’une certaine façon, ce sont des parcours d’élèves dans la classe de mathématiques en tant qu’espace social que nous retraçons. Ces parcours d’élèves sont des parcours d’étude, puisque dans la classe de mathématiques ils ont un enjeu disciplinaire, qui est celui d’attribuer à certains objets le statut de bien culturel mathématique. Mais avant de poursuivre, interrogeons cette notion d’objets culturels.

2. La culture mathématique ou des espaces de culture mathématique ?

  • 3 « La culture mathématique, quoique indispensable au développement de la société, est relativement é (...)
  • 4 « Un autre aspect qui ne peut manquer de frapper le lecteur à la lecture du projet de socle, c’est (...)

5Il y a consensus dans la communauté des didacticiens des mathématiques pour reconnaître aux objets et aux savoirs mathématiques le statut d’objets et de savoirs culturels. Mais c’est en tant qu’objets et savoirs relevant de la culture mathématique qu’ils sont ainsi désignés. Qu’il s’agisse de discours théoriques3, ou de discours plus polémiques, mais reçus néanmoins dans cette communauté4, la culture mathématique convoquée est une culture unifiée, pérenne. Elle est conçue comme indépendante des groupes sociaux dans lesquels elle vit ou est transmise. Cette description de la culture mathématique renvoie à une conception de la culture en tant que patrimoine de savoirs et de manières de savoirs…, capital culturel « universel » à transmettre.

6Cette conception est différente de celle qui construit la notion de culture comme structure reliant entre eux des savoirs, croyances, modes de comportements, valeurs etc. structure qui à la fois pèse sur mais qui est aussi engendrée par les interactions d’un groupe d’individus, situé socialement, dans l’espace et dans le temps. Cette dernière conception permet d’envisager une culture mathématique dépendante de l’espace dans lequel se situent les individus, dépendante des contextes.

7Ceci est cependant légitime : en effet, reconnaître comme mathématiques certains « objets » des structures en particulier, inobservables et intangibles, peut dépendre de la situation, au sens où cette reconnaissance est soumise à des croyances, des rapports sociaux : on peut refuser d’effectuer un calcul de probabilité en achetant des billets de loto.

  • 5 Leur hiérarchisation et leurs rapports.

8Certes, si nous envisageons de référer ces objets (les mesures de probabilité de gain et leur structure5…), ainsi que les comportements qu’ils soutiennent, les gestes qu’ils autorisent, les savoirs que ces derniers témoignent, à « la » culture mathématique, nous pouvons différencier les statuts de ces objets par les termes proto mathématiques, para mathématiques et mathématiques (Chevallard, 1991/1996). Ainsi la relation entre gestes et formes géométriques des carreaux peut être, pour un laveur de carreaux expérimenté, un objet dont le statut est proto mathématique : cette relation existe pour lui et il l’utilise sans chercher à la décontextualiser, tandis qu’elle sera mathématique pour l’ingénieur chargé de programmer un robot pour accomplir cette tâche.

9Cela ne résout cependant pas le problème de savoir aux yeux de qui ces statuts ont un sens, pas plus que cela ne permet de poser la question du poids de la situation sociale, des positions, des rôles, des enjeux etc. sur ces statuts : on peut refuser tout calcul rationnel parce qu’on est en train de jouer au loto une somme peu importante, et effectuer des calculs rigoureux lorsqu’il s’agit d’investir une somme conséquente. Cette détermination des statuts des objets et des savoirs par les espaces sociaux s’étend aux croyances, aux valeurs qui touchent aux mathématiques : l’habilité à calculer de tête est respectée et valorisée à l’école primaire, dans la vie marchande et regardée avec davantage de condescendance dans les milieux scientifiques.

  • 6 Il me semble que ceci n’est pas évident.
  • 7 Pour paraphraser les dires de Audigier, Crahay, et Dolz sur le curriculum (2006, p. 15)

10On conçoit donc qu’il est possible et légitime de poser les objets mathématiques en tant qu’objets culturels, et d’interroger les rapports à ces objets dans différents espaces sociaux. Est-ce pour autant pertinent de le faire dès lors lorsque nous nous intéressons à l’école ? En effet, la spécificité de l’école, ou plutôt de la classe de mathématiques, est d’obliger les acteurs de cette classe à rencontrer de nouveaux objets, de nouveaux savoirs disciplinaires. Certes les objets mathématiques (à enseigner, enseignés…) sont des objets dont les statuts peuvent être différenciés (proto, para etc.) pour les acteurs ou pour l’institution6. Mais ces objets « à enseigner », « enseignés », et ce qui permet leur enseignement, c’est-à-dire les milieux avec lesquels les élèves interagissent, sont plutôt conçus par la plupart des didacticiens comme « affectés par des facteurs externes, (culturels, ou autres) mais pas comme expressions même [d’une] culture7 ». Pouvons-nous accepter de considérer la nouveauté des objets, des savoirs rencontrés par les élèves comme une nouveauté spécifique à cette classe là et pas à une autre ? Pouvons-nous accepter de poser, comme hypothèse globale, que les rapports aux objets enseignés vont, pendant quelque temps, être plus ou moins fortement dépendants de la classe dans laquelle l’enseignement et les apprentissages ont eu lieu ?

11Nous proposons de le faire lorsque cette approche est fructueuse, c’est-à-dire quand la culture mathématique à laquelle nous, chercheurs en didactique des mathématiques, référons le(s) système(s) didactique(s) analysé(s), ne peut ou ne doit pas être considérée comme unifiée ou figée.

12Plusieurs paramètres de recherche imposent ce choix théorique : le projet de différenciation des élèves, la prise en compte de la dynamique du système ou les recherches menées sur des temps longs, la dimension comparative de l’étude… Par exemple une recherche menée sur un temps long ne peut poser que les objets étudiés sont fixes.

13L’étude que nous allons développer ici satisfait à ces critères : elle a pour but de décrire les parcours d’élèves dans une classe de mathématiques particulière, en les considérant comme des parcours situés d’étude d’objets relevant d’une culture mathématique également singulière. Ce projet s’inscrit dans une question plus globale, qui est à terme une double comparaison : celle basée sur l’exploration de différentes disciplines et celle basée sur la prise en compte de dispositifs pédagogiques différents. Nous avons dans le cadre de ce projet mis en évidence des critères décisifs pour la comparaison de classes de mathématiques. En tant qu’espaces sociaux, ces classes peuvent se différencier selon les objets disciplinaires qui sont étudiés et leurs modes d’étude, les positions des acteurs (maître et élèves), les temporalités de l’étude, les modes d’évaluation et de validation et enfin les règles des pratiques langagières. Mais dans les études précédentes, nous avons utilisé ces dimensions pour faire émerger des différenciations globales entre classes relevant de dispositifs pédagogiques différents : quels que soient les élèves interrogés, l’analyse des pratiques langagières met au jour des différences importantes entre une classe inscrite dans un mode pédagogique « traditionnel » et une classe inscrite dans un mode pédagogique « Freinet ». Cependant, il nous apparait aujourd’hui un autre résultat : ces critères sont également pertinents pour différencier, à l’intérieur de la classe « Freinet », les élèves entre eux, tandis qu’il nous semble qu’ils ne le sont pas dans d’autres classes de mathématiques relevant d’autres dispositifs.

14Certes, la question de la différenciation des élèves dans « la » classe de mathématiques est une question vive en didactique des mathématiques, principalement sous l’impulsion des travaux de M.-L. Schubauer-Leoni (1998/2001), G. Sensevy et A. Mercier (2007). Mais elle est essentiellement une question concernant les outils théoriques de compréhension et d’interprétation des différences constatées entre les performances des élèves et leurs comportements. Notre position est différente puisque nous ne nous appuyons pas sur des différences de performances. En effet, ces différences de performances sont peu visibles dans une classe Freinet, puisque les élèves ne font pas la même chose en même temps. Nous nous proposons seulement de montrer que les critères qui nous ont permis (Lahanier-Reuter, 2005) de différencier globalement des dispositifs didactiques sont à même de décrire et de comprendre comment des élèves, qui évoluent dans le même espace social, soumis à un même dispositif pédagogique d’inspiration « Freinet », construisent et étudient différemment des objets disciplinaires « neufs ».

15Pour chacun des critères listés plus haut, nous rappelons en quoi il spécifie la classe « Freinet » puis en quoi il permet de distinguer les élèves de cette classe. Les documents sur lesquels nous nous appuyons sont les observations et les retranscriptions des séances observées, les productions des élèves recueillies et les réponses de ces élèves à un questionnaire que nous avons distribué en fin d’année.

3. Différencier des parcours d’élèves dans une classe de mathématiques fonctionnant en pédagogie Freinet

16Nous nous intéressons ici aux parcours d’études durant l’activité de « recherches mathématiques ». Durant cette activité, les élèves ont pour tâche d’élaborer un thème de recherche mathématique et de travailler une question qui leur est personnelle. Des séquences d’exposés ponctuent ces recherches mathématiques au cours desquelles le travail peut être collectif. L’activité se clôt lorsque les élèves ont abouti à un texte écrit que l’enseignant juge cohérent.

3.1. Les objets et les savoirs nouveaux étudiés

17Les objets étudiés dans la classe « Freinet » et dans les autres classes observées ne sont pas identiques, puisque les élèves ont à élaborer leur propre thème d’étude, tandis que dans les autres classes, ces objets sont désignés par le maître. Cependant, il est possible de dresser une liste des objets étudiés durant ces trois mois d’observation en CM2. Est indicateur d’un objet d’étude tous les faire et les manières de faire d’un élève qui sont considérés comme nouveaux par le maître tout d’abord et par l’ensemble de la classe ensuite : vocabulaire nouveau, procédures jusque là inconnues, extension du domaine de maîtrise des procédures et techniques connues.

18Les références institutionnelles travaillées dans les autres classes ne sont pas toutes représentées : les mesures des aires de figures « simples » ne sont pas abordées par exemple. Cependant, la plupart des contenus d’enseignement prescrits sont étudiés : opérations sur les nombres décimaux, exploration et construction de figures planes régulières. Nous ajoutons aussi que les modes de questionnement peuvent évoquer des procédés généraux de l’activité d’invention mathématique (au sens des mathématiques scientifiques) : opérations de réitération, variations systématiques ou régulières…

19Mais ce qui nous importe le plus est de différencier les parcours des élèves. Il est évident que les thèmes travaillés et choisis différencient les élèves entre eux. En revanche, leur nouveauté l’est moins. Certains vont en effet produire des savoirs nouveaux pour la classe – des techniques de construction du milieu d’un segment – d’autres des domaines nouveaux à explorer – l’utilisation de la division pour trouver le nombre qui multiplié par un nombre fixé donne un autre nombre fixé. D’autres enfin semblent n’apporter rien de « nouveau » : les tâches qu’ils s’assignent n’amènent pas de décontextualisation des procédés connus, ni de questions nouvelles. La recherche mathématique qu’entreprend Daphné par exemple, est celle du calcul de « très grandes opérations », des multiplications dont les facteurs ont plus de 12 chiffres. Ceci est la preuve que la technique opératoire de la multiplication n’est pas pour elle un procédé décontextualisé et que sa maîtrise est soumise à des variations de la longueur des facteurs du produit, contingentes du point de vue des savoirs de référence de la discipline.

20Devons-nous en conclure que les parcours des élèves peuvent se différencier selon la nouveauté des savoirs, techniques, objets qu’ils produisent ? Si nous adoptons une position extérieure à la classe, cela parait simple. Mais si nous considérons la validation de cette nouveauté culturelle comme un fait social, cela l’est moins.

  • 8 Ceci implique par conséquent qu’il est possible de tricher à ce jeu social : Daphné pourrait feindr (...)

21Reprenons l’exemple de Daphné. Cette élève s’exerce, au sens scolaire du terme, mais elle réalise aussi un exploit dans la classe : non seulement Daphné dit, dans le questionnaire, qu’elle est « fière de sa recherche », mais elle la présente au tableau comme un « chef d’œuvre », dénomination que les autres élèves et l’enseignant valident. Ce que nous serions tentés de considérer comme une nouveauté uniquement aux yeux de Daphné – le fait de parvenir à effectuer de « longues » multiplications – est une nouveauté pour la classe et cette « nouveauté » est une qualité qui est jugée socialement8.

22Il n’est donc pas simple de distinguer les parcours et les études des élèves selon la nouveauté des savoirs, objets, techniques étudiés. Nous préférons dire qu’il y a tension entre la nouveauté « pour soi » que perçoit l’élève et la nouveauté « pour le groupe » que la classe valide. Si nous développons ce propos, cela signifie pour nous que la nouveauté d’une expérience disciplinaire n’est pas forcément, au regard des normes de l’espace social, des règles de la culture disciplinaire de la classe, liée à la rencontre de nouveaux savoirs. La façon dont elle est exprimée ou présentée est un élément clé pour rentrer dans l’analyse de la discipline scolaire, telle qu’elle est pratiquée.

3.2. Les lieux et leur instauration

3.2.1. Les sources des objets et des savoirs « nouveaux »

  • 9 C’est le cas par exemple d’une élève qui raconte lors d’un « Quoi de neuf ? » que sa mère lui a ach (...)

23L’espace de la classe de mathématiques « Freinet » n’est pas un espace totalement clos. En effet les ressources disponibles pour l’activité des élèves peuvent provenir d’autres espaces. Ainsi la relation d’expériences du monde extrascolaire au cours des séances du « Quoi de neuf ? » peut être reformulée par l’enseignant en expériences nouvelles à entreprendre dans les recherches mathématiques9. Les élèves ont aussi le droit de convoquer dans leurs textes des acteurs imaginaires (« c’est une abeille qui butine une fleur dont les pétales portent les dix premiers nombres » écrit Nadia) ou des formes non mathématiques : les directions d’une boussole (N, NO, O etc.) sont transposées en combinaisons correspondantes d’opérations (addition, addition suivie de multiplication, multiplication etc.) par Kévin et Omar. Cependant l’incursion de ces autres univers n’est que temporaire. Le recours à des formes non mathématiques n’apparaît que dans les premiers temps de l’écriture et les références à ces expériences ne sont pas toujours explicitées par les élèves – que ce soit dans les présentations à la classe ou dans leurs productions écrites.

24Deux conséquences en résultent. La première est que les « inventions » disciplinaires dans cette classe paraissent spontanées : la nouveauté si elle est reconnue, ne l’est pas forcément par celle des sources de questionnement, ce qui différencie globalement cette classe d’autres qui fonctionnent en situations problèmes ou activités préparatoires. La seconde conséquence est que les objets étudiés par ces élèves peuvent être référencés – ou non – à des situations d’autres mondes que le monde mathématique. L’examen des productions écrites fait supposer que les parcours des élèves peuvent être différenciés selon qu’ils s’autorisent ou non à prendre appui sur des éléments extra disciplinaires, selon le choix des sources de leurs études. Dans le questionnaire, un élève sur trois dit avoir « eu l’idée d’une recherche » par la lecture du monde extra scolaire : carte de l’Europe, fiche de travail du père etc. En revanche un seul d’entre eux reconnait le « Quoi de neuf ? » comme source de sa recherche et un seul également dit avoir été guidé par le maître. Le reste des élèves (soit près de 60 % de l’effectif) déclare s’être inspiré d’une recherche qu’il avait lui-même déjà menée, ou de la recherche d’un autre élève. Par conséquent, les parcours des élèves se différencient bien selon les sources qu’ils s’autorisent. Sortir de l’espace scolaire/disciplinaire pour interroger le monde est une position légitime certes, mais encore peu commune.

3.2.2. Les places des élèves et la nouveauté : soin jaloux ou partage coopératif ?

25Comme nous venons de le voir, la transformation, voire la reprise d’une étude antérieure est souvent la base d’une nouvelle recherche. Est-ce à dire que la nouveauté est une affaire de coopération ? Que les élèves abandonnent volontiers leurs idées à d’autres ? Nous avons, pour répondre à ces questions, analysé les places qu’occupaient les élèves.

  • 10 L’enseignant est celui qui se charge de proposer des extensions décisives, des outils insolites, de (...)

26Les places que peuvent occuper les élèves sont caractérisées tout d’abord par l’occupation de l’espace physique. Dans cette classe, à un maître presque « immobile » à sa table au milieu de celles des élèves correspondent des élèves en déplacements incessants. Les éventuelles disparités parmi les élèves concernent tout d’abord leurs déplacements et les prises d’information sur les travaux des autres. Mais leurs positions peuvent aussi différer selon l’acceptation ou le refus des indications du maître10.

27Les observations menées montrent que les élèves ne se déplacent pas de la même façon dans la classe : leur cercle est plus ou moins important (certains interrogent pratiquement tous les élèves, d’autres aucun etc.) leurs déplacements sont plus ou moins longs. Les réponses au questionnaire montrent également cette diversité : à la question « Aimes-tu dire aux autres ce que tu as trouvé ? » un élève sur cinq répond qu’il n’aime pas partager son travail. Deux exemples illustreront cette diversité. Erwann, comme nous l’avons déjà dit, propose à la classe une solution au calcul de 1+2+3+ (…) 18. Mais l’auteur de la recherche n’est pas Erwann. C’est Nadia qui s’est posé cette question. Le plus étonnant peut-être est que Nadia reprend la solution d’Erwann dans son écrit final, sans lui en attribuer le mérite, et sans qu’Erwann ne s’en soucie. La position de celui-ci est donc une position de coopération. En revanche, certains aiment à garder leur secret et conserver ainsi une position enviée d’expert : c’est le cas de Katryn, qui réalise de merveilleuses figures géométriques. Elle ne laisse voir aux autres que la figure achevée et déclare dans le questionnaire qu’elle « n’aime pas dire aux autres comment elle s’y prend ».

3.2.3. Les différents temps de cette classe et leur gestion de la nouveauté : continuité et parcours d’auteurs

28Si les places disponibles et les positions prises permettent de différencier spatialement les parcours des élèves, nous allons voir que les temporalités de ces parcours y contribuent également.

29L’activité de « recherche mathématique » est soumise à un découpage institutionnel du temps scolaire, découpage affiché sous la forme d’un emploi du temps. Les présentations publiques des élèves y sont programmées. Mais contrairement à ce qui est observé dans des classes comparables, la gestion du temps d’exposition et de travail collectif est dévolue à un élève (le « gardien du temps ») qui a pour charge de dire, de façon très codifiée, la fin de l’activité. À ce temps uniformisé correspond un temps de l’étude (le temps de la recherche) qui commence sur une injonction du maître et qui se clôt par la validation de la production écrite finale. L’écoulement de ce temps est différencié selon chaque élève : il est géré par les demandes, les propositions de l’élève et les retours de l’enseignant. Mais ce qui particularise les formes de cette temporalité à l’école « Freinet » est la continuité de ce temps et sa durée exceptionnelle. Le temps de l’étude n’est pas délimité par des exercices courts mais par la poursuite, semaine après semaine, du travail de l’élève.

30Ainsi, la longueur et la continuité de ce temps d’étude nécessitent un rapport au temps particulier, rapport qui différencie les élèves de cette classe. Les observations révèlent que les temps strictement personnels d’étude (c’est-à-dire où l’élève est seul) sont très variables : certains peuvent travailler plus de dix minutes, tandis que d’autres sont continument en demande d’aide du maître. Ces différenciations sont confirmées par les réponses au questionnaire : Trouves-tu le temps des recherches long (60 %), court (32 %), trop court (8 %) ?

31Mais les temporalités sont aussi à penser en termes de continuité de parcours, de questionnements et d’objets d’étude.

32En effet, nous pouvons différencier ces parcours selon qu’ils manifestent :

  • Une discontinuité de l’étude : les élèves choisissent des objets d’étude différents, mais qui leur sont propres (on pourrait avancer que ces élèves agissent « sans mémoire »).

  • Une continuité de leur propre étude : les élèves choisissent des objets singuliers, mais poursuivent leur étude. Ils s’approprient le temps de l’étude et adoptent une position excentrée par rapport au collectif, même s’ils apportent leur contribution.

  • Une continuité de l’étude collective : les élèves choisissent des objets plus ou moins communs, en s’inspirant de recherches d’autres élèves. Ils s’inscrivent en conséquence dans une recherche collective.

33Le tableau ci-dessous dispose les thèmes des recherches menées au début du second trimestre en regard de ceux qui ont suivi. Le lien entre les travaux des élèves est indiqué s’il s’agit d’une inspiration : les élèves qui les travaillent sont différents, ou d’une continuité : il s’agit des mêmes élèves qui ont poursuivis leurs recherches initiales.

Tableau 1 : Le rapport au temps

  • 11 « Machines » est le terme utilisé dans l’école pour désigner des combinaisons d’opérations ou de tr (...)

Recherches (janvier, février)

Recherches (mars, avril)

Des figures emboîtées

Divisions successives

Inspiration

Divisions successives

Les milieux

Partager un cercle en parties égales

Des sommes régulières

Inspiration et continuité

Des sommes régulières

Des opérations en série

Inspiration et continuité

Des machines11 qui ne font rien

Des machines affines

Inspiration et continuité

Des machines affines

Des « inconnues »

Dixièmes, centièmes…

Inspiration

Les fractions

Le périmètre

Des multiplications et divisions

34Nous lisons ce tableau comme la gestion de « nouveaux biens culturels » par un espace social : certains des thèmes s’épuisent – comme celui des milieux qui a fait l’objet de cinq recherches différentes en janvier – mais cet abandon repose sur une décision des élèves et du maître : le travail mené est jugé satisfaisante. La plupart des thèmes cependant donnent naissance à d’autres recherches.

35La filiation de ces recherches est un événement social : c’est parce que Thomas fait remarquer que la combinaison de certaines opérations ne modifient pas le nombre initial (multiplier par 2 puis diviser par 2) que Thomas et Rachid proposent de travailler sur des « machines qui ne font rien ». Ils exposent à la classe que « inverser le chiffre des unités et des centaines » est une machine, qui effectuée deux fois, « ne fait rien ». Mais c’est aussi parce que le maître leur demande de trouver des machines géométriques qui ne font rien, que leurs recherches acquièrent comme nous allons le voir une valeur disciplinaire.

3.3. Les valeurs des travaux

36L’évaluation des travaux d’élèves, dans une classe de mathématiques, repose, selon Claire Margolinas (1993), sur deux démarches : la validité disciplinaire et la valeur de ces productions. Elle distingue ainsi ce qui est de l’ordre des informations données par l’enseignant dans cette discipline et celles qui concernent des jugements sur la présentation, la justesse du tracé etc.

37Les modes d’évaluation du travail des élèves sont particulières dans la classe que nous étudions. En effet, non seulement les élèves ne sont pas évalués simultanément sur les mêmes tâches, mais leurs productions ne sont pas notées par l’enseignant. Les productions des élèves ne sont pas étalonnées, et il leur est en conséquence plus difficile qu’ailleurs de se comparer. La validation de l’étude – par le maître mais aussi par les autres élèves – repose sur un critère principal, celui de la nouveauté de l’expérience. C’est lui qui est sans cesse invoqué pour rediriger l’élève, pour rejeter ses propositions etc. En revanche, la validité de son travail – du point de vue de la discipline – ne survient pas immédiatement alors que c’est le cas dans les autres classes observées. Ainsi les sanctions en « vrai/faux » sont extrêmement rares. Ce délai de validité disciplinaire peut provoquer pour certains des sentiments d’incertitude et de doute tandis que pour d’autres il est au contraire source de confort intellectuel et d’absence de doutes.

38La valeur de la production d’un élève est accordée parfois publiquement par les autres élèves. Ceci est une des singularités de cet espace social : jamais ailleurs nous n’avons pu relever de tels témoignages publics : « moi je trouve que ta recherche elle est bien, je trouve que ta méthode elle est rapide ». Cette valeur peut être esthétique, ou économique (élaborer une méthode pour parvenir plus rapidement à un résultat connu), mais demeure avant tout celle de la nouveauté que nous avons déjà signalée. Si nous considérons les valeurs attribuées à la production nous pouvons différencier les trajets des élèves selon le fait qu’ils attribuent à leur production :

  • Une valeur esthétique : les productions des élèves sont des œuvres graphiques ;

  • Une valeur économique : nous désignons ici les études qui aboutissent à des méthodes qui permettent de gagner du temps, ou de simplifier des procédures connues ;

  • Une valeur de progrès personnel : dans ce cas, les élèves se mettent en difficulté sur le traitement d’un cas complexe en recourant à des procédures connues ;

  • Une valeur exploratoire : ce sont des trajets dont le projet initial est de résoudre une « énigme ».

  • 12 En conséquence le principe de communication et de coopération peut devenir une contrainte forte et (...)

39Cette valeur peut peser sur la position de l’élève au sein de la classe : s’il peut, au regard de la valeur que lui attribuent les autres, se poser en expert, si sa production et les moyens de la réaliser peuvent devenir désirables, alors la position de l’élève devient une position enviée12.

3.4. Les pratiques langagières

  • 13 Nous ne trouvons pas les contraintes traditionnelles de l’organisation des réponses (opération posé (...)

40La dernière caractéristique qui permet de différencier les parcours des élèves est celle des rapports au langage. Les contraintes qui pèsent sur les pratiques langagières dans la classe de mathématiques Freinet sont tout d’abord des contraintes disciplinaires : productions écrites où s’articulent différents registres, lexique particulier etc., productions où les opérations de substitutions et de réarrangements sont importantes. Si ceci ne différencie guère les classes Freinet d’autres classes de mathématiques, nous ajoutons que la forme scripturale des productions des élèves est beaucoup moins normée qu’ailleurs13, et surtout que ces écrits y sont plus longs. Les exemples précédents d’Erwann et de Daphné montrent que les types d’écrits à produire, les rapports à l’écrit exigés différencient les élèves selon qu’ils :

  • Articulent ou non de façon systématique différents registres (tabulaires, graphiques etc.)

  • Conçoivent ou non des traitements, des opérations de langage sur les écrits mathématiques.

4. Des parcours et des positions différenciés d’élèves

41Ces critères de différences établis, nous pouvons établir des profils caractéristiques d’élèves. En voici deux.

4.1. Katryn et les figures emboîtées : un parcours d’artisan ?

42Durant plusieurs semaines Katryn se donne pour tâche la construction de figures identiques emboîtées régulièrement les unes dans les autres : triangles équilatéraux dont elle prend les milieux des côtés, milieux qu’elle rejoint pour former un triangle plus petit et ainsi de suite, carrés puis hexagones sont traités de même. Les productions finales de cette élève sont constituées de ces figures que les autres admirent et de quelques calculs (pour déterminer l’emplacement des milieux successifs). C’est donc un trajet marqué par la continuité et la persévérance, marqué par la valeur esthétique de l’œuvre, marqué aussi par la mise en œuvre du procédé de réitération qui garantit une activité mathématique. En revanche jamais Katryn ne fera, par un retour réflexif sur sa production, de différence entre les figures pour comparer les « vitesses » de réduction des triangles, carrés, hexagones. Elle produit pour produire, s’arrête lorsque les contraintes matérielles du tracé deviennent trop fortes, acquérant une position de virtuose valorisée et enviée. Nous qualifions le trajet de Katryn de parcours d’artisan : à partir de matériaux disponibles, elle refait les mêmes gestes, garde avec un certain soin jaloux ses secrets de fabrication, en considérant son œuvre comme suffisamment intéressante du point de vue esthétique pour satisfaire le principe de nouveauté.

4.2. Erwann et les interventions décisives : un parcours disciplinaire exemplaire ?

43Erwann quant à lui a un parcours qui est davantage marqué par la coopération gratuite et un rapport à l’écrit remarquable. C’est lors d’une séance d’exposé que la classe se trouve confrontée au calcul de la somme 1+2+3+4+5+ (…) 20 et qu’Erwann propose de réunir mentalement 1 et 20, 2 et 19, 3 et 18 (…) 10 et 11, pour montrer que cette somme est le produit de 21 par 10. Cette méthode est alors reprise dans la production de l’élève qui a posé le problème (elle échappe ainsi momentanément à son auteur). Erwann reprendra – une à deux semaines plus tard – l’étude entreprise en cherchant à calculer économiquement le nombre de triangles pavant un triangle équilatéral. Encore une fois, il s’agit d’un parcours continu qui s’inscrit dans la durée. Mais contrairement à Katryn, Erwann accepte une position de contributeur à l’élaboration de connaissances collectives. La valeur reconnue de son travail est davantage économique. Enfin, la distance réflexive à l’écrit, les opérations de permutations mentales que traduit sa proposition sont particulières à ce trajet, que nous qualifions d’exemplaire pour la discipline.

Conclusion

44La mise en œuvre des critères que nous avions élaborés pour différencier des classes de mathématiques permet également de différencier, dans cette classe particulière, des élèves entre eux. Il nous semble, au contraire, que sur les dimensions que nous avons listées, la différenciation des élèves dans les classes « ordinaires » comparables que nous avons étudiées est moins flagrante. En effet dans ces dernières, les objets étudiés, ou plutôt les objets désignés comme objets d’étude sont a priori ceux que le maître choisit pour tous les élèves, même si nous supposons que le rapport à ces objets est différent pour chacun de ces élèves. De plus, les places disponibles et celles qui sont occupées sont relativement restreintes, les sources de questionnement sont déclarées communes etc.

45Ce que nous voulons signaler par conséquent, est que la fiction d’une étude commune est plus vivace dans d’autres classes de mathématiques tandis qu’à l’école Freinet les élèves ont pour mission de mener explicitement des études différentes.

46L’étude que nous venons de développer montre assez l’intérêt que revêt pour les didactiques disciplinaires la considération de l’espace de la classe et l’élaboration d’une culture disciplinaire. Les spécificités du contexte de cette étude permettent de mettre en lumière des caractéristiques encore peu explorées dans d’autres classes, comme celle des valeurs accordées aux productions des élèves, mais elles autorisent aussi des questions centrales qui touchent à l’élaboration de l’espace de la discipline scolaire : comment la nouveauté est-elle reconnue dans une classe de mathématiques ?

Bibliographie

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Dieudonné, J. (1982). « Mathématiques vides et mathématiques significatives ». Dans Collectif (Éd.), Penser les mathématiques. (p. 15-38). Paris : Seuil.

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Rogalski, M. (2007). Faut-il proposer un socle commun pour la licence de mathématiques des universités françaises ? Si oui, quel socle ? [En ligne]. http://educmath.Inrp.fr/Educmath/en-debat/math-universite/en-debat/math-universite/reponse-demarc-rogalski (Page consultée le 31 octobre 2008)

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Sensevy, G. & Mercier, A. (Éd.). (2007). Agir ensemble : l’action didactique conjointe du professeur et des élèves. Rennes : PUR.

Veyne, P. (2007). Quand notre monde est devenu chrétien : 312-394. Paris : Albin Michel.

Notes

1 Un site Web rassemble une centaine de versions différentes de cette anecdote : http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html

2 Ce qui ne signifie pas que l’invention d’Erwann est entièrement déterminée par « le milieu social ». C’est une question vive parmi les mathématiciens que celle-ci. Dieudonné par exemple, s’insurge en citant une autre invention de Gauss (encore !) : « Celui qui m’expliquera pourquoi le milieu social des petites cours allemandes du XVIIIe siècle où vivait Gauss devait inévitablement le conduire à s’occuper de la construction du polygone régulier à dix-sept côtés, eh bien, je lui donnerai une médaille en chocolat. » (Dieudonné, 1982, p. 23)

3 « La culture mathématique, quoique indispensable au développement de la société, est relativement éloignée des préoccupations courantes et paraît austère à la plupart. Les mathématiciens, conscients des difficultés de sa diffusion, ont toujours été attentifs aux moyens de la maintenir au niveau nécessaire. En France, la didactique des mathématiques est née avec les IREM, de ce souci de faire partager la culture mathématique et ses avantages à l’ensemble de la population. Ce sont les mathématiciens qui ont suscité les premiers, de la part de la société, des efforts particuliers pour surmonter les obstacles que rencontre l’enseignement de leur discipline ». (Brousseau, 1994)

4 « Un autre aspect qui ne peut manquer de frapper le lecteur à la lecture du projet de socle, c’est une certaine absence de ce qu’on peut appeler la culture mathématique. […] Qu’entendons-nous par culture mathématique ? Une première forme a été évoquée dans ce que nous avons dit plus haut concernant l’insertion des mathématiques dans une volonté de compréhension rationnelle du monde : faire le lien entre l’introduction de concepts mathématiques et leurs motivations et leur rôle pour décrire, mettre en équations, modéliser, abstraire les phénomènes naturels, et donc donner une finalité épistémologique aux techniques, c’est déjà un élément important d’une culture mathématique. Mais il y a aussi autre chose : il faut faire saisir aux étudiants qu’il y a un mouvement interne des mathématiques, que leur évolution s’appuie en permanence sur de grands problèmes […] que nos mathématiques ne soient pas des réponses à des questions jamais posées, c’est une préoccupation qui doit nourrir les enseignements de mathématiques eux-mêmes, et c’est un aspect décisif de la culture mathématique. » (Rogalski, 2007) Ce texte est une réponse aux propositions actuelles de « programme commun ou socle commun de connaissances » pour les licences de mathématiques.

5 Leur hiérarchisation et leurs rapports.

6 Il me semble que ceci n’est pas évident.

7 Pour paraphraser les dires de Audigier, Crahay, et Dolz sur le curriculum (2006, p. 15)

8 Ceci implique par conséquent qu’il est possible de tricher à ce jeu social : Daphné pourrait feindre des difficultés en calcul…

9 C’est le cas par exemple d’une élève qui raconte lors d’un « Quoi de neuf ? » que sa mère lui a acheté un nouveau pull, mais que ce dernier a rétréci au lavage. L’enseignant dans ce cas reformule cette expérience du monde en disant que le pull rétréci est semblable, réduit, homothétique, au pull initial.

10 L’enseignant est celui qui se charge de proposer des extensions décisives, des outils insolites, de créer un milieu problématique.

11 « Machines » est le terme utilisé dans l’école pour désigner des combinaisons d’opérations ou de transformations : « multiplier par 2 puis enlever 4 » est une machine que nous dirions affine, « faire le symétrique par rapport à un axe, puis tourner de 30° » une machine géométrique. Une machine qui ne fait rien est par exemple : « faire pivoter une figure d’un angle droit vers la gauche, faire pivoter d’un angle droit vers la droite ».

12 En conséquence le principe de communication et de coopération peut devenir une contrainte forte et inopportune, comme nous l’avons signalé plus haut pour Katryn.

13 Nous ne trouvons pas les contraintes traditionnelles de l’organisation des réponses (opération posée en colonne à gauche/phrase de conclusion à droite) par exemple.

Auteur

Théodile-CIREL (ÉA 4354), Université Charles-de-Gaulle – Lille 3, France

© Presses universitaires du Septentrion, 2009

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