11. L’activité géométrique d’Archimède est un univers entièrement dominé par l’écriture. Ici, l’écriture n’est pas simplement le véhicule destiné à rendre publics les résultats des recherches, mais elle est la condition nécessaire pour instaurer des formes de coopération intellectuelle entre savants éloignés les uns des autres. En effet, c’est l’écriture qui rend possibles le contrôle, l’acceptation et l’intégration des résultats et, par conséquent, la croissance même de la géométrie. Cela implique, en même temps, que la petite communauté des mathématiciens partage une conception générale de la géométrie : les Eléments d’Euclide sont le noyau autour duquel prend forme le consensus des mathématiciens, et cela pour deux raisons. D’une part, les résultats qui y sont présentés sont accueillis comme étant prouvés ; d’autre part, la structure axiomatique et déductive qui exhibe par écrit ces résultats est perçue, elle-même, comme un modèle. L’écrit d’Euclide est donc modèle et point de départ pour procéder à l’acquisition de résultats nouveaux, suivant une conception cumulative de la croissance du savoir géométrique1.

2Si nous prenons en considération les Éléments d’Euclide, nous trouvons que l’opération du gráphein, quand il s’agit d’objets géométriques comporte plusieurs niveaux et plusieurs sens. Une anecdote, rapportée par Galien, nous raconte que l’élève de Socrate, Aristippe, aurait retrouvé ses esprits après un naufrage lorsque, échoué sur le rivage, il aurait aperçu un diágramma geometrikon, une figure géométrique tracée sur le sable. Une telle vision lui aurait permis de conjecturer qu’il était arrivé sur une terre habitée par des Hellènes et des hommes cultivés et non par des barbares. Dans des variantes latines de la même historiette, chez Cicéron et Vitruve, on préfère parler plutôt que d’Hellènes, de hominum... vestigia 2, mais l’essentiel est toujours que la géométrie trouve expression dans la figure tracée. Déjà Xénophane avait défini l’acte de dessiner, de gráphein avec les mains comme une des prérogatives de l’homme qui le différencient des animaux3 . Mais, dans ce cas, gráphein ne signifie pas directement tracer des figures géométriques. Le premier Grec que la tradition ancienne mettait en rapport avec les recherches géométriques était Thalès : c’est à lui qu’était attribuée la résolution de certains problèmes de mesuration et la découverte de certaines propriétés du cercle et des angles4 . On a pensé que l’intérêt pour le cercle et pour la notion d’angle avait une matrice astronomique et chez Thalès et dans le premier Pythagorisme : à la différence de l’astronomie babylonienne centrée sur les calculs, l’astronomie grecque aurait été d’abord étroitement liée aux problèmes de la figuration graphique5 . Mais, quelle que soit la matrice de la géométrie grecque, il importe de souligner que, d’après les témoignages anciens, elle paraît être moins un champ d’application de techniques de calcul – comme à Babylone ou en Égypte –, qu’une enquête sur des figures considérées dans leur spécificité et dans leur autonomie. Proclus rapporte que Thalès aurait appelé hómoios (semblable) l’angle isos (égal) en prenant la ressemblance pour de l’égalité6 . Mais il faut entendre cela non pas comme une confusion entre ce qui est égal et ce qui ne l’est qu’approximativement, mais plutôt comme un témoignage du fait que Thalès aurait dirigé son attention sur des propriétés de configuration plutôt que sur l’égalité quantitative7. Peut-être, les figures régulières que les arts décoratifs exhibaient, permettaient-elles déjà de saisir la persistance de ressem blances, malgré la différence d’échelle. Une figure comme

3présuppose la persistance d’une forme et la constance de rapports entre ses éléments8.

4L’acte de gráphein, tel qu’il nous apparaît dans les témoignages relatifs à Thalès et aux Pythagoriciens, comporte déjà le fait de tracer des droites, de dichotomiser des figures planes et probablement de les superposer (epharmózein). Dans la deuxième moitié du cinquième siècle, son champ d’action sera ultérieurement élargi : depuis le problème de tracer une perpendiculaire sur une droite donnée jusqu’aux problèmes de duplication et à celui, si célèbre, de la quadrature du cercle9 . Il est clair que de telles opérations graphiques pouvaient donner lieu à des configurations différentes par rapport aux figures de départ. Par exemple, en dichotomisant un triangle équilatéral, on pouvait obtenir deux triangles rectangles et, en dichotomisant un carré, deux rectangles. Dans cette perspective, les figures apparaissaient comme étant des totalités constituées de parties. Bien qu’en forme négative, Platon aurait exprimé l’essentiel de cette conviction : si l’un n’est pas multiple, il n’a pas de parties, donc il n’a pas de figure (skhēma) 10. Une figure plane pouvait contenir d’autres figures qu’une décomposition portait à la lumière. Aristote affirmera que les diagrámmata se trouvent en acte lors de la division (diairoûntes) : ils subsistent en puissance déjà dans la figure de départ, mais seule la division de celle-ci les rend évidents11 . Il faut à ce point préciser que les termes gráphein et diágramma, lorsqu’ils sont employés à propos d’enquêtes géométriques, ne signifient pas seulement « tracer une figure » et « figure tracée ». Xénophon rappelait l’interdit socratique d’apprendre la géométrie jusqu’aux figures de difficile compréhension (dussunétōn diagrammáton) 12. Si l’opération du gráphein consistait uniquement dans le fait de rendre visibles des figures données, en quel sens pouvait-on parler de figures de difficile compréhension ? La visibilité n’était-elle pas, en elle-même, également clarté ?

5Dans le vocabulaire aristotélicien, revient une étonnante famille de mots : pseudographeîn et pseudográphēma. Elle apparaît toujours à propos de la pratique géométrique et ne se réfère pas au fait de tracer des figures erronées ou fausses ou bien imparfaites du point de vue purement graphique. Par pseudographḗmata, Aristote entend un type de paralogismes qui partent de prémisses propres à la géométrie mais fausses et qui parviennent par conséquent à des conclusions erronées13. D’autre part, celui qui fait des pseudographḗmata se distingue du praticien de l’éristique, car celui-ci ne part pas de prémisses propres à la géométrie. Heath souligna que le terme gráphein signifie souvent, chez Aristote, prouver et non seulement tracer une figure14 . Il est clair cependant que l’emploi de cette expression comporte que prouver et tracer une figure étaient considérés comme des opérations étroitement entrelacées : en traçant une figure, on accomplit toujours aussi une séquence argumentative et vice-versa.

6Le terme gráphein aurait gardé souvent un sens purement graphique dans le langage des géomètres aussi15 , mais, dans son emploi le plus prégnant, il aurait impliqué la référence supplémentaire à des opérations argumentatives complexes. D’après Proclus, Euclide lui-même aurait composé un écrit sur pseudographḗmata : il s’agirait du traité dont le titre est Pseudária et qui aurait eu le but d’apprendre aux débutants comment déceler et donc éviter les paralogismes, grâce à des exemples pratiques16 . L’acte de gráphein comportait, en somme, le développement d’une argumentation. La voie était ouverte pour établir que la précision dans le dessin de la figure était inessentielle en regard de l’argumentation, et pour en venir à distinguer la figure sur laquelle on conduisait la démonstration des innombrables exemples graphiques qui en étaient possibles aux différentes échelles. C’est dire que l’on posait les prémisses pour reconnaître à la figure un caractère d’universalité indépendant du tracé et de ses propriétés empiriques. Les implications ontologiques que cette attitude intellectuelle avait pour Platon et pour la doctrine des idées sont bien connues. Mais pour Aristote également l’acte de gráphein une figure n’était pas tant l’exécution d’un dessin qui devait conserver les propriétés métriques énoncées au cours du raisonnement développé à son propos, que plutôt le processus démonstratif dont la figure tracée n’était qu’une expression visuelle nécessaire, surtout à des fins didactiques (didaskalías khárin). De ce point de vue, les détails empiriques du dessin réel étaient absolument sans importance17. Le rapport avec la figure géométrique, tel que j’ai essayé de l’ébaucher, visait donc autre chose que le catalogue des cas particuliers d’un problème, si fréquent dans les tablettes babyloniennes. 2. La question se pose maintenant de cerner quel est le rapport entre l’exécution des opérations graphiques de la géométrie et les séquences d’arguments qu’elles comportent. Tandis que les premières exigent nécessairement que quelque chose soit fixé – même temporairement, par exemple sur le sable –, les deuxièmes devaient-elles se solidifier définitivement dans l’écrit ou bien pouvaient-elles être confiées au flux de l’oralité ? Hérodote raconte qu’Aristagoras, tyran de Milet, en se rendant à Sparte, avait amené un pínax, une tablette de bronze, sur laquelle était gravée la carte géographique de la terre, des mers et des fleuves : en parlant avec Cléomène, il lui indiquait (deiknús) sur la carte les différentes populations18. Ainsi, dans un passage des Erastaí pseudo-platoniciens, on décrit ironiquement deux jeunes hommes qui semblent dessiner (gráphein) des cercles et qui, en se pliant, paraissaient imiter avec les mains certaines inclinaisons19. Il s’agit de situations orales, dans lesquelles s’instituait une corrélation entre l’opération graphique et des indications manuelles sur la figure. En outre, déjà pour la deuxième moitié du Vème siècle, nous avons le témoignage d’une tentative intéressante, accomplie par le sculpteur Polyclète, de mettre en rapport la figure et l’écrit. Celui-ci avait créé, à l’appui de son texte intitulé Canon – dans lequel étaient exposés les rapports de proportion qui devaient subsister entre les différentes parties du corps –, une statue grâce à laquelle ces mêmes rapports se trouvaient effectivement incarnés et mis en œuvre20 ^.

7Dans les Eléments d’Euclide, tels qu’ils ont été conservés par la tradition, la rédaction écrite d’une démonstration est accompagnée, en général, d’une figure. Cela signifie que le processus de l’argumentation ne coïncide pas avec le geste de tracer une figure – ainsi qu’il peut arriver dans une situation d’entretien oral –, mais qu’il occupe une place stable et autonome. Il faut en outre rappeler que, dans le texte d’Euclide, la figure est entièrement dessinée dans sa configuration ultime, de façon que toutes les différentes opérations graphiques apparaissent comme ayant été déjà accomplies. Nous pouvons comparer les Eléments avec un texte dans lequel on mime une situation orale, à savoir le célèbre épisode de l’esclave que raconte le Ménon de Platon.

8Il est bien connu que, dans ce texte, on montre qu’un esclave, soumis aux questions de Socrate, parvient à résoudre le problème de la duplication du carré. Ce qui frappe immédiatement, dans ce passage écrit tel que nous le possédons, c’est l’absence de figures tracées, même s’il est clair que les raisonnements concernent des figures. Car la scène présuppose qu’on est en train d’en tracer au fur et à mesure, peut-être sur le sable. Déjà les Scholia Vetera au Ménon ajoutaient différentes figures dont chacune correspondait à une phase décisive de l’argumentation. Il n’y avait donc pas une figure terminale et unique où les moments précédents de la démonstration auraient été incorporés21 . Certes, l’emploi de plusieurs figures peut se justifier par l’exigence de clarifier le texte le plus possible, mais dépend aussi du fait que, dans le passage en question, à la différence de ce qui arrive dans les Eléments, l’argumentation procède également à travers des phases erronées que l’on écarte au fur et à mesure afin de pouvoir parvenir à la solution exacte. Dans une situation d’oralité, comme celle du Ménon, les phases de l’argumentation peuvent être suivies sur la figure grâce aux constructions qui s’y succèdent et aux indications manuelles : cela est prouvé par la très haute fréquence, dans ce passage, d’expressions telles que « à partir d’ici », « en ce point-ci », « ce côté-ci » etc.22. On a une dernière confirmation de ce procédé à la fin de l’enquête, lorsque, face à l’impossibilité d’exprimer avec un nombre entier la longueur du côté du carré double par rapport à celui du départ, Socrate invite l’esclave à indiquer sur la figure la droite à partir de laquelle on peut construire le carré double : « Montre-la nous » (84 a 1). Je voudrais rappeler que réapparaît ici le même verbe deíknumi, montrer que nous avons rencontré dans le passage d’Hérodote sur Aristagoras de Milet, un verbe qui a revêtu une importance remarquable dans le langage géométrique des Grecs, car il serait passé du signifié de « montrer visuellement » à celui, plus complexe, de « démontrer »23 .

9Mais dans l’écrit, là où argumentation et figure sont juxtaposées mais indépendantes, là où l’opération manuelle de « montrer » n’est plus possible, comment pourra-t-on faire correspondre sans ambiguïté l’argumentation et la figure ? Si nous revenons à la comparaison entre le passage du Ménon et le texte d’une proposition euclidéenne, nous constatons une autre différence de taille : le Ménon n’emploie pas les lettres variables qui, en revanche, sont essentielles chez Euclide. Car, ici, les lettres variables permettent d’identifier sans équivoques, dans la figure, ce qui apparaît dans la rédaction écrite de la preuve. D’autre part, les variables ne sont fonctionnelles que si on les écrit sur la figure. Dans une situation d’oralité, bien qu’on puisse en principe recourir à des lettres sur la figure dessinée, on n’est cependant pas obligé d’en faire usage, car il est toujours possible de procéder à des indications manuelles, d’autant plus qu’une telle situation implique le fait que la figure elle-même se construit graduellement. Au contraire, dans un texte écrit comme celui d’Euclide, les lettres variables deviennent indispensables, si l’on veut éviter l’amplification excessive du discours et les ambiguïtés toujours possibles, surtout dans le cas où l’on se réfère à deux ou à plusieurs entités semblables. Nous pouvons donc présumer que la présence de lettres variables peut être considérée comme l’indice d’une géométrie écrite, au moins pour une part.

10Il est malaisé de dire à quel moment l’usage des lettres fut introduit pour la première fois dans des écrits de géométrie. Certes, Aristote fournit une confirmation précieuse du fait que, de son temps, leur emploi, dans des contextes géométriques, semble désormais courant. Toutefois il suffit de considérer quelques passages des Analytiques pour s’apercevoir que, en premier lieu, il n’existait pas encore un usage codifié des lettres, correspondant à celui pratiqué par Euclide ; ensuite, l’emploi des lettres pouvait être compatible avec des situations d’oralité. Aristote, en effet, pour désigner un angle, utilise parfois l’expression hḗ AB, parfois hḕ aph’ hḕs A24 . Il oscille, comme on peut le constater, entre une et deux lettres pour désigner le même objet. Mais il y a un passage des Analytiques postérieurs qui paraît très important en vue d’une autre remarque. On y lit : « Soient conduites au centre les [droites] AB. Si l’on pose que l’angle AC est égal à BD, etc. »25. De telles propositions ne sont compréhensibles qu’accompagnées d’une figure qui n’est pas dans les manuscrits. On pourrait penser que la figure a disparu ou bien qu’elle était connue des destinataires du discours d’Aristote. Mais, si elle était connue, pourquoi reporter les lettres dans le texte ? Il est peut-être plus vraisemblable de penser qu’il s’agissait du texte préparatoire pour une leçon comportant une figure tracée. Sur la base de ce texte, il serait trop hâtif de conclure que la présence de lettres variables impliquait nécessairement une communication seulement écrite, et non orale-et-écrite, comme c’est le cas lorsqu’on enseigne.

11Dans un passage de la Rhétorique, Aristote, tout en reconnaissant que dans toute didaskalía, dans toute activité didactique, il est important de parler d’une manière plutôt que d’une autre – il s’agit en somme de la léxis, de la diction –, constatait qu’en enseignant la géométrie, le recours à l’élocution, même de type théâtral, était à peu près insignifiant26 . Cela peut confirmer l’existence, au temps d’Aristote, d’un langage géométrique tendancieusement unifié et aseptique en regard des artifices rhétoriques. Mais on peut inférer aussi l’existence d’un enseignement oral de la géométrie, sur la base, probablement, de notes écrites avec des lettres variables destinées à faire leur apparition sur la figure tracée au cours de la leçon. Il faudra sans doute beaucoup de temps avant que l’on en vienne à penser, avec Frege, à un langage formalisé et pur dans lequel les signes écrits ne sont pas traduisibles en sons articulés et donc en une langue parlée. Il est clair qu’on ne devrait parler de victoire complète de l’écriture que là où l’écrit ne pourrait pas être prononcé tel qu’il est27. 3. Il faut maintenant franchir le pas le plus difficile. Il faut poser le problème du rapport entre l’écriture et la constitution de la géométrie axiomatique qui se trouva au faîte de sa gloire avec le Eléments d’Euclide. L’affirmation de ce modèle, qui récrivait sous une forme nouvelle bien des résultats de la recherche précédente, tendait à occulter le passé et à l’effacer, après l’avoir phagocité. Il n’y a pratiquement pas de traces originelles de la géométrie écrite pré-euclidéenne ; quant aux auteurs de témoignages tardifs, ils tendent inévitablement à lire les anciens, lorsqu’ils les connaissent, à la lumière des recherches ultérieures.

12L’écriture axiomatique d’Euclide se caractérise en ce qu’elle situe toute preuve – solution d’un problème ou démonstration d’un théorème – dans un système de propositions ordonnées suivant un schéma d’antécédents et de conséquences qui découlent d’un point de départ, celui-ci se constitue de propositions non démontrées ou de postulats. Le problème crucial est le rapport entre l’écriture et ce type de géométrie, beaucoup plus qu’entre écriture et géométrie en général car, entre autres, à Babylone et en Egypte, l’écriture était utilisée en mathématiques, sans que cela donnât lieu à une géométrie de type euclidéen. Les textes babyloniens présentent déjà des schémas répétés d’exposition de problèmes, avec l’indication des voies pour les résoudre, dans le but d’apprendre l’usage de techniques déjà expérimentées28. Ils présentent également des ensembles de problèmes de calcul, rassemblés selon un ordre qui n’est pas dû au hasard, mais qui correspond à une complexité progressive, par exemple sur la base des opérations à exécuter29 . Dans les textes grecs aussi, on a trouvé des traces du modèle, peut-être plus archaïque, du catalogue, par exemple, lorsqu’on procède à la subdivision d’une preuve en plusieurs cas. En outre, la pratique de la décomposition des figures permettait de trouver des composants plus simples de sorte que les figures elles-mêmes pouvaient être distribuées dans une séquence de complexité progressive. Cette remarque revient clairement chez Aristote, lorsqu’il souligne que, dans le domaine des skhḗmata, ce qui précède se trouve toujours en puissance dans ce qui suit, comme par exemple, le triangle dans le carré30 . Toutefois l’importance de la séquence et de l’ordre ne concernait pas seulement les figures prises en elles-mêmes, mais aussi les argumentations sur les propriétés et les relations entre figures. Cela est en rapport avec le poids que le développement des techniques argumentatives exerce également dans d’autres secteurs de la culture grecque. Sur cette base, on a voulu relier le développement de la géométrie dans une perspective axiomatique à l’influence de la dialectique éléatique, mais il s’agit peut-être d’une vue unilatérale31 , qui sous-estime pour une part la dynamique interne de l’enquête géométrique. Il faut rappeler en tout cas que les argumentations des Éléates – qui étaient confiées à l’écrit, comme pour Zénon d’Élée l’atteste Platon dans le Parménide – tendaient à être sans lacunes et sans redondances. Dans les écrits, la force de l’argumentation était liée au choix de passages essentiels et décisifs et à leur disposition dans une séquence. Des lacunes ou des redondances auraient pu éventuellement affaiblir l’argumentation et la rendre moins contraignante. La formation des schémas formels de la preuve géométrique, en particulier l’articulation de la démonstration par l’absurde, fut probablement influencée par les techniques des Éléates. Mais il est clair également que cet ordre particulier d’un ensemble de propositions, que nous appelons axiomatisation par commodité, fut le résultat d’un parcours qui ne dut pas être toujours linéaire et qui reste pour nous difficile à reconstruire. Certes, ce ne fut pas un don des dieux tombé sur les Hellènes dès les commencements de leur géométrie32.

13Les témoignages sur la première géométrie grecque jusqu’à la fin du Vème siècle avant notre ère semblent confirmer qu’elle fut en grande partie une géométrie de problèmes plutôt que de théorèmes : il s’agissait de construire des entités géométriques, de trouver des relations entre elles, etc. La distinction même entre théorèmes et problèmes n’aurait commencé probablement qu’au IVème siècle av. J.C. en engendrant un débat à l’intérieur de l’Académie platonicienne. Une notice de Proclus, que l’on peut ramener à l’Histoire de la géométrie du disciple d’Aristote, Eudème de Rhodes, rapporte qu’Hippocrate de Chios aurait été le premier auteur d’un livre d’Éléments (Stoicheîa) 33. Il est difficile d’établir si le titre de l’ouvrage d’Hippocrate était véritablement celui-ci. Il est cependant certain que ce livre était destiné à passer pour l’homologue – aux yeux de la tradition postérieure – des Eléments d’Euclide, soit pour le contenu, soit pour la structure ou encore pour l’un et l’autre aspects. En effet, il aurait présenté un certain nombre de propositions qui se trouvaient chez Euclide et aurait institué des rapports entre elles34 . Il faudrait en outre supposer qu’Hippocrate considérait que les propositions contenues dans son livre étaient le point de départ de la géométrie, au-delà duquel on ne pouvait pas remonter. Mais nous n’avons pas de preuves qu’Hippocrate incluait des définitions, des postulats et des axiomes parmi ces points de départs, ainsi qu’il arrive chez Euclide. Certes, si nous considérons le seul témoignage sur la manière de travailler d’Hippocrate, à savoir ce qui concerne la quadrature des lunules – problème qui n’apparaît pas dans les Eléments d’Euclide et qui vraisemblablement n’apparaissait pas non plus dans les Éléments d’Hippocrate –, nous nous trouvons en présence d’un ordre de succession entre les propositions, qui n’est pas celui d’Euclide.

14Il faut d’abord rappeler que, d’après Simplicius, l’exposition de la solution donnée par Hippocrate, qu’il trouvait chez Eudème, était abrégée « suivant l’usage archaïque » et devait donc être intégrée avec des références à Euclide. Cela fait supposer que cette concision, typique de l’usage archaïque, devait déjà se rencontrer à plus forte raison dans le texte d’Hippocrate35 . Or le texte d’Euclide est caractérisé par une tendance maximale à ne dire que l’essentiel : malgré cela, il paraissait à Simplicius plus ample que la version donnée par Eudème. Cela ne peut s’interpréter que dans un sens : Hippocrate devait considérer certains passages et certaines preuves comme étant présupposés, à la différence d’Euclide. Les Eléments de celui-ci sont en effet une totalité sans sauts, où rien n’est présupposé qui n’a pas été démontré explicitement ou posé en tant que principe. Le principe employé par Hippocrate était la proposition qui revenait directement dans la solution des quatre cas du problème, qu’il distinguait l’un de l’autre. En ce sens, c’était un principe. Mais la proposition qui servait à la démontrer et qu’Euclide aurait située comme étant antécédente, elle ne l’était pas. Cela amène à conclure que la reconnaissance, de la part d’Hippocrate de l’existence de connexions entre les propositions géométriques n’impliquait pas encore nécessairement la conviction qu’un ordre unique présidait à ces connexions et que l’écriture devait le fixer une fois pour toutes. Le fait que le principe était dans ce cas une proposition démontrée et non une définition ou un postulat ou bien un axiome fait douter que, pour Hippocrate, les stoicheîa fussent déjà un système de propositions, caractérisé entre autres par la distinction entre propositions démontrables et propositions indémontrables36 . D’ailleurs, Aristote lui-même, lorsqu’il parlera de stoicheîa des diagrámmata, entendra encore peut-être parler de démonstrations plutôt que de principes indémontrables : il s’agira, en effet, des propositions dont les démonstrations reviennent dans les démonstrations des autres diagrámmata, de tous ou de la plus grande partie37. Le statut de stoicheîon était donc assigné non seulement sur la base du critère de l’antériorité, mais aussi en fonction de la fréquence dans d’autres démonstrations ; critère, qui, comme on l’a vu, était important pour Hippocrate aussi.

15Les facteurs décisifs pour la mise en place de la forme euclidéenne peuvent se reconnaître dans la dynamique des problèmes géométriques et dans les questions théoriques qu’ils soulevaient. Je ne rappelle qu’un point, d’importance capitale : la découverte de l’incommensurabilité qui ne se montre pas, de manière immédiate et évidente, sur les figures tracées. La conséquence de cette découverte est au moins double, du point de vue de la question qui nous retient : en premier lieu, le fait que la priorité de la figure se trouve réduite en regard de celle de la preuve, car la portée et le caractère contraignant de l’argumentation augmentent dans la mesure où l’évidence empirique se révèle insuffisante ; ensuite, la nécessité de définir explicitement les principes de façon que l’on tienne compte de la réalité neuve représentée par les grandeurs incommensurables. Comme l’a dit Lakatos, « souvent, les définitions sont proposées et discutées quand on rencontre des contre-ex^emples » 38. Et les nombres irrationnels étaient justement un contre-exemple par rapport à la conviction qu’il était toujours possible de trouver une mesure commune. Le livre V des Eléments d’Euclide présente l’un et l’autre caractères ; c’est une géométrie où les figures ont un poids réduit, fondée sur un ensemble de définitions que l’on assume comme étant des points de départ d’où dérivent une série de propositions démontrées39 . Si ce livre remonte à Eudoxe, comme une scholie semble le témoigner40 , il faut en conclure que le pas décisif vers l’axiomatisation fut accompli par Eudoxe précisément. Lorsqu’Archimède dira qu’Eudoxe avait démontré que les volumes du cône et de la pyramide sont équivalents à un tiers des volumes du cylindre et du prisme respectivement ayant la même base et la même hauteur, il est clair qu’il parlera d’apódeixis, c’est-à-dire de démonstration au sens le plus prégnant, à savoir le sens euclidien d’une géométrie axiomatique, car la simple découverte de cette équivalence remontait, à son avis, déjà à Démocrite41 .

164. Mais l’acceptation du tournant axiomatique ne fut pas instantanée et totale. Platon en effet est le témoin de ce tournant tout en alléguant de fortes réserves à son propos. Dans certains passages de la République 42, il décrit la géométrie comme étant un système, un entrelacement (sumpéplektai) constitué d’un principe (archḗ), de parties intermédiaires (tà metaxú) et d’une fin (teleutḗ). Ce système est conçu comme étant unidirectionnel, allant d’un commencement à une conclusion. Pour caractériser les principes, Platon donne des exemples génériques : pair et impair, figures (skhḗmata) et trois espèces d’angles. Mais le plus important est que les géomètres considèrent ces principes comme étant connus et évidents pour qui que ce soit (ōs eidótes. ōs pantì phanerōn, ōs enargési). Cela comporte deux corollaires : les géomètres ne pensent pas devoir rendre compte (lógon didónai) de ces principes et ne sont pas à même de remonter plus en amont de ceux-ci. Face à cette conception de la géométrie, Platon assume une attitude critique : en premier lieu, il met en doute que les principes de la géométrie sont évidents par eux-mêmes et véritablement connus, puisque pour les connaître il faudrait en rendre compte, à savoir les soumettre à l’enquête dialectique. Il ne faudrait pas les considérer comme immobiles (akinḗtous) mais les mettre en mouvement et remonter par conséquent en direction de la véritable archḗ, à savoir l’idée de Bien43. Mais si les principes-hypothèses assumés par les géomètres ne sont ni connus ni évidents par eux-mêmes, tout ce qui en dérive ne le sera pas non plus : tout l’ensemble des propositions géométriques, toute la géométrie plutôt qu’une epistḗmē, une science, n’est qu’une convention, une homología 44.

17 Le problème que je voudrais poser est le suivant : existe-t-il un lien entre cette critique platonicienne de la géométrie axiomatique et la critique que le même Platon réserve à l’écriture ? Pareil lien n’est pas établi explicitement chez Platon, mais je crois qu’il est possible de faire un certain nombre de considérations à ce propos. Lorsque Platon soulignait le caractère non dialectique de la géométrie, l’incapacité de rendre compte des principes, la fixité et l’immobilité qu’elle leur imposait, qu’impliquait-il dans ce terme de dialectique ? Il ne faut peut-être pas oublier que les opérations dialectiques étaient conçues par Platon, d’abord, comme étant des opérations parlées entre des individus en chair et en os. C’est à cela que s’oppose l’anonymat de la géométrie axiomatique. Le géomètre tenait les principes pour évidents aux yeux de tout le monde, par conséquent il n’en rendait compte ni à lui-même ni aux autres45 . La homología, qui, d’après Platon, caractérisait la structure entière de la géométrie axiomatique, n’était pas la homología dialectique, l’accord donné dans le dialogue, car elle n’était pas le résultat de l’acte de rendre compte (lógon didónai) et prétendait à l’universalité dans l’anonymat. Il en résultait un système unidirectionnel et immobile de propositions.

18Le même défaut caractérise l’écrit. Car l’écrit aussi – disait Platon ailleurs –, si on lui pose des questions, se tait noblement (semnōs) et signifie toujours et uniquement une seule chose (hén ti sēmaínei mónon tautòn aieí)46. Il peut être intéressant de rappeler que le seul passage où Platon montre Socrate – ce champion de l’oralité dialectique, qui n’avait jamais rien écrit – procédant à la résolution d’un problème de géométrie, d’une part, et la plus ample discussion sur l’écriture, d’autre part, apparaissent l’un et l’autre en rapport avec le problème de l’anamnèse. Dans le Phèdre, comme il est bien connu, on dit que l’écrit est un remède pour la mémoire (mnḗmē) et non pour l’acte de rappeler à la mémoire (anámnēsis) car ceux qui apprennent l’écriture en lui faisant confiance ne pourront se souvenir qu’à partir de l’extérieur (dià pístin graphēs éxōthen) grâce à des signes étrangers et non pas de l’intérieur (éndothen) d’eux-mèmes, comme il arrive dans la réminiscence47. L’épisode de l’esclave dans le Ménon avait montré précisément comment on arrive de l’intérieur à résoudre le problème de la duplication du carré à travers un cheminement qui conduit à la réminiscence48. Or, ce qu’il y a de typique dans cette voie dialectique, que l’on parcourt dans l’oralité, est entre autres le passage par des solutions erronées du problème. L’essentiel c’est la réfutation, donc l’abandon conscient des erreurs. Il s’agit d’un parcours heuristique qui ne parvient pas tout de suite et directement à l’énonciation finale de la résolution.

19Si, à la lumière de ce qu’on vient de dire, nous prenons en considération quelques propriétés générales de l’écriture euclidéenne, nous voyons la distance qui les sépare de cet exemple platonicien. Dans la géométrie axiomatique, l’écriture est construction d’un ordre, d’une táxis définitive et autosuffisante. Elle codifie ce qui est connu et reconnu, l’antécédent par rapport aux conséquences ; elle est sans lacunes, sans discontinuités et sans réversibilité. Il s’agit en somme d’un système compact, obéissant à un principe d’économie, non pas à l’intérieur de chaque théorème, car l’écriture y reproduisait tous les passages du raisonnement dans leur séquence logique, mais à l’intérieur de l’ordre total des Eléments, car il devenait inutile de répéter la démonstration des propositions invoquées au fur et à mesure, pour étayer de nouvelles argumentations. Mais cela rendait nécessaire que l’on expulse tout ce que l’on ne pouvait pas insérer dans cet ordre et tout particulièrement le parcours heuristique qui avait conduit à l’acquisition des résultats singuliers. La séquence logique de l’écrit remplaçait le cheminement historique avec tous ses accidents. En ce sens, on a pu affirmer qu’« Euclide a été le génie maléfique surtout pour l’histoire et l’enseignement des mathématiques », car il a éliminé de l’écriture géométrique les contre-exemples, les réfutations, la critique, en introduisant « un ton autoritaire ». « Le style déductif occulte la lutte, il occulte l’aventure. L’histoire entière disparaît, les formulations successives essayées au cours des procédés de démonstration du théorème sont condamnés à l’oubli, tandis que le résultat final est consacré comme infaillible »49 Ainsi que Platon le disait, l’écrit reste solennellement silencieux et signifie toujours la même chose. Dans l’épisode du Ménon, au contraire, la séquence qui conduisait à la connaissance en tant que souvenir passait par des erreurs et des réfutations. D’un certain point de vue, il peut sembler que Platon condamnait, dans l’écrit, une sorte de raidissement dogmatique, mais beaucoup d’eau devrait passer sous les ponts pour qu’on puisse faire de Platon un « fallibiliste ». L’écriture, comme on le sait, peut encourager et les attitudes critiques et l’orthodoxie50 . Même pour Platon, la qualité essentielle de la science était, malgré tout, la stabilité ; seulement, la meilleure manière pour y parvenir était à ses yeux la mouvante dialectique de l’oralité. La dialectique aussi engendrait une écriture, mais le lieu où elle se gravait et le livre où elle se rendait lisible était, pour Platon, l’âme. En effet, les discours vrais et faux étaient comme le résultat d’un geste d’écriture dans les âmes, assimilées à une sorte de biblîon, de rouleau, et le lógos, le meilleur et le plus fort, était celui qui, « accompagné de science, s’écrit dans l’âme de l’homme qui apprend »51 .

20Platon perdit l’une et l’autre batailles, celle contre la géométrie axiomatique et celle contre la primauté de l’écriture. Les Eléments d’Euclide sont le meilleur document de cette double défaite. Mais, des siècles plus tard, il deviendra possible de concilier écriture et axiomatisation au nom, précisément, de la distinction platonicienne entre écriture empirique et écriture dans l’âme. Au Vème siècle de notre ère, Proclus sera l’auteur d’un vaste commentaire au premier livre des Eléments d’Euclide, que nous possédons. Suivant un modèle d’historiographie de type téléologique remontant au moins à Aristote (repris probablement par Eudème, son disciple), Euclide apparaissait à Proclus comme accomplissant un long chemin dans l’histoire. Proclus insistait sur l’ordre, la táxis, et le bel agencement, le diákosmos, propres aux Éléments et les ramenait à un principe de simplicité qu’il opposait à la bigarrure, la poikilía, peu conforme à un système d’Éléments.

21Un de leurs caractères essentiels se reconnaissait dans la continuité (sunékheia) en vertu de laquelle principes et démonstrations se trouvaient dans une séquence sans lacunes. L’ordre était continu et n’admettait pas de hasard : l’ordre de la procession néoplatonicienne, continu et sans coupures, était également l’ordre des Eléments. Mais, en ce sens, pareil texte n’était pas seulement l’exhibition écrite d’un produit historique. Pour Proclus, la géométrie était un ensemble de logoi, de discours qui préexistaient, à l’état de latence et presque cachés, repliés (kruphíōs, suneptugménōs) dans l’intelligence, la diánoia, quand elle n’avait pas la force de les apercevoir52 . Pour pouvoir le faire, il était nécessaire de dérouler (anelíttein) et de projeter ces discours dans la représentation, la phantasía. D’après Proclus, il fallait penser le plan, objet du premier livre des Eléments, comme étant projeté et étendu sous les yeux, tandis que l’intelligence écrivait ses propres lógoi, sous forme de textes et de figures (skhḗmata). Se confirme ici la corrélation entre schḗma et logos, entre figure et argumentation dans l’acte de gráphein, sur laquelle je me suis arrêté au début. Mais ce qui ne peut pas échapper dans le discours de Proclus, c’est le lien entre l’image du gráphein et celle du déploiement (anelíttein) de ce qui est replié et caché. Certains de ces termes sont aussi des métaphores qui renvoient à l’usage des livres53 .

22Dans la géométrie, affirmait Proclus, l’agencement sans corps des discours se déploie. La totalité ordonnée des discours géométriques est déjà là implicitement, au sens littéral c’est-à-dire qu’elle est pliée sur elle-même. Elle est déjà dans l’intelligence, la diánoia, et peut se manifester à travers le mouvement de la diánoia dans la phantasía, la représentation. Mais ce mouvement n’est qu’un déroulement et, dans le déroulement, ce sont les figures géométriques qui s’écrivent avec leurs propriétés : lógos et skhḗma coïncident complètement. Le livre des Éléments d’Euclide était substantiellement pour Proclus le déploiement de cette écriture, par conséquent la valeur exemplaire propre à leur structure axiomatique ne dépendait pas d’un accord ou de son acceptation de la part des géomètres. Les Eléments étaient plutôt la manifestation d’une écriture au-delà de l’histoire et du temps. En ce sens, ils n’étaient pas un livre de géométrie, mais le livre de la géométrie.