Chapitre 3 - Construction d’un cadre et production d’une synthèse
p. 103-124
Texte intégral
Le besoin
1Pour traiter de la question de la variabilité de l’impact et en reprenant les notations déjà utilisées, il faut donc représenter explicitement la variabilité de l’argument x, contenant l’information relative à l’activité, dans la fonction décrivant la dynamique de la ressource Y. Il s’agit donc de construire un cadre articulant les dynamiques de l’exploitation et de la ressource. Ces deux dynamiques sont deux éléments distincts en utilisant le terme employé par Legay pour définir un système complexe : « Un système que la perte d’un de ses éléments fait changer de nature. » Toujours selon Legay, le choix de considérer un système complexe est une décision ; on pourrait en effet – et c’est le choix implicite souvent effectué lorsqu’on parle de dynamique des populations exploitées en halieutique61 – utiliser ici un cadre dans lequel l’impact de la pêche est fonction d’une donnée disponible (grâce à une estimation) pour la période écoulée et pouvant être fixée dans le futur dans le contexte de la gouvernance, ce qui confère une applicabilité à un tel cadre. Cette décision d’adopter un système complexe est justifiée ici par la variabilité de l’impact liée aux stratégies des unités de pêche. Cette variabilité rend peu gouvernable le système tout en étant une de ses caractéristiques pouvant contribuer à sa viabilité.
2On doit donc s’intéresser à un système d’équations où les espérances des états de la ressource et de l’activité sont fonctions l’une de l’autre et qui peut être esquissé, dans un premier temps, à partir des notations déjà utilisées :

3La variabilité de xt pour un même Xt doit être explicite, ce qui implique que xt soit fonction d’un ensemble d’arguments pouvant inclure d’autres éléments que ceux présents dans Xt. Il en est de même pour Yt et yt. Le système d’équations présentées ci-dessus a pour objet de proposer une articulation. Une telle articulation peut être concrètement construite à partir d’une combinaison de deux modèles permettant d’apporter des réponses à des questions légitimes, et d’introduire et illustrer une discussion sur les observatoires et les indicateurs.
4En revenant à la démarche statistique, les réponses aux questions étant des fonctions de données, ces modèles devront être en premier lieu des outils utilisables pour produire de telles fonctions, donc pour produire des statistiques qui constitueront le résultat concret de l’apport de la démarche. La construction du cadre est donc réalisée en référence aux données qu’il permettra de traiter.
5Il s’agit donc de modélisation selon la conception instrumentale adoptée par Legay (1997). Legay indique par ailleurs que la première conséquence de la décision de considérer un système complexe est la perte de critères d’évidence au profit de critères de cohérence : la variabilité de rendements peut, rappelons le, être interprétée selon une variabilité d’abondance ou selon une variabilité de décisions… les deux interprétations de la variabilité sont cohérentes… aucune n’est évidente et elles dépendent l’une de l’autre puisque privilégier l’une permet de s’affranchir de l’autre. Cette incertitude sera illustrée par deux exemples relatifs à l’usage de modèles généralisant la loi de croissance logistique.
Le modèle construit : exemple de la pêche artisanale sénégalaise
6Il convient de poursuivre l’exemple de la pêche artisanale au Sénégal, dès lors que c’est à l’issue d’un traitement d’observations sur cette exploitation que la question adoptée s’est imposée. Outre l’intérêt personnel relatif à un objet fascinant, cette construction est un impératif déontologique comme annoncé en introduction : le résultat de l’analyse de ces données peut et doit être utilisé pour contribuer aux réponses aux questions légitimes soulevées par cette analyse.
7Cette analyse a conduit à considérer que l’effort de pêche (en reprenant un terme très ambigu comme cela a été discuté au précédent chapitre) peut être évalué à partir d’actions de pêche entreprises par des unités de pêche. Si l’effort de pêche doit être le plus corrélé possible avec son impact sur la ressource, il est justifié de définir une typologie des actions de pêche dans laquelle toutes les actions d’un type donné ont le même impact. Cette définition se heurte à une difficulté insurmontable si on considère que même impact signifie une identité des résultats. Il est par contre moins illusoire de réunir au sein d’un même type les actions conduisant à des résultats qui sont des réalisations de variables aléatoires de même distribution. Ces actions sont entreprises par des unités de pêche et le résultat majeur de l’analyse des données de Kayar a été d’observer qu’une unité de pêche peut avoir à sa disposition plusieurs types d’actions. Il est donc essentiel de distinguer de façon explicite les unités de pêche des actions qu’elles peuvent décider d’entreprendre62. Les unités de pêche et les actions de pêche sont des unités de natures différentes, les premières décidant des secondes ; il est alors nécessaire de regrouper les unités de pêche en considérant les ensembles d’actions qu’elles sont susceptibles d’entreprendre. Enfin, les actions de pêche se distinguent pour une large part par les espèces qu’elles capturent en des proportions différentes selon les actions. Il est donc important de considérer, au sein de la ressource exploitée, différentes composantes pouvant être définies selon des critères bio-écologiques et halieutiques.
8L’ensemble de ces considérations conduit à fonder le modèle sur les relations entre trois composantes de la pêcherie. Une ressource multispécifique exploitée par des unités de pêche regroupées selon les actions de pêche qu’elles peuvent mettre en œuvre.
9Pour chacune de ces composantes, une typologie est construite à partir d’une relation d’équivalence :
la ressource (selon des stocks). Un stock est une classe d’équivalence d’éléments de la ressource (des poissons). Deux poissons sont équivalents s’ils sont équicapturables et équiproductifs ;
les actions de pêche (selon des tactiques). Une tactique est une classe d’équivalence d’actions de pêche. Deux actions sont équivalentes si, entreprises au même moment, les probabilités de captures sur un même stock sont égales ;
les unités de pêche (selon des flottes). Une flotte est une classe d’équivalence d’unités de pêche. Deux unités sont équivalentes si, à chaque moment, les probabilités qu’elles ont de mettre en œuvre une action de pêche relevant d’une tactique donnée sont égales.
10Le principe du modèle est le suivant : à chaque pas de temps, chaque unité de pêche choisit avec une certaine probabilité de mettre en œuvre une action de pêche relevant d’une des tactiques dont elle dispose. L’ensemble de ces actions produit un impact sur les composantes de la ressource, qui pourra affecter les décisions des unités pour les pas de temps suivants.
11Les notations suivantes sont utilisées. Les stocks sont identifiés par l’indice k (k = 1,…K), les tactiques sont identifiées par l’indice j (j = 1,…J) et les flottes par l’indice s (s = 1,…S). Le pas de temps est identifié par ti. Chaque élément d’une typologie peut être décrit par une variable quantitative au pas de temps ti :
Bk,ti est la biomasse du stock k au pas de temps ti ;
fj,ti est le nombre d’actions de pêche relevant de la tactique j au pas de temps ti ;
Ns,ti est le nombre d’unités de pêche relevant de la flotte s au pas de temps ti.
12Deux processus peuvent alors être considérés, reflétant :
la dynamique d’allocation de l’effort selon les tactiques ;
la dynamique des biomasses des stocks.
La dynamique d’allocation de l’effort
13À chaque pas de temps ti, chacune des Ns,ti unités de pêche relevant de la flotte s choisit la tactique j avec la probabilité pj,s,ti. Le nombre total d’unités choisissant cette tactique est donc :
(1)
14Les effectifs des flottes sont donnés par l’équation logistique :
(2)
15Il s’agit bien, ici encore, de l’équation logistique avec les paramètres Ns,– ∞, le nombre virtuel d’unités au temps t = – ∞, Ns,∞, le nombre virtuel d’unités au temps t = ∞, ts le temps auquel la dérivée seconde de Ns,t est nulle (point d’inflexion de la fonction logistique) et ps × (Ns,∞ – Ns,– ∞) la pente au temps t = ts. L’intérêt de cette fonction est sa souplesse de représentation d’une croissance (ou décroissance) s’appliquant ici à l’évolution d’un effectif d’unités de pêche.
16On suppose que chaque unité de pêche adopte la
tactique disponible qu’elle estime devoir lui procurer la plus
grande utilité. Pour une flotte donnée s, définie par un ensemble J(s) de tactiques
disponibles, on considère donc que les probabilités sont fonctions des utilités espérées. L’emploi des mots
« estime » ou « espérées » dans les lignes qui précèdent relève
aussi bien du sens commun que du sens statistique. On suppose en
effet que chaque unité de pêche réalise à chaque pas de temps une
estimation de l’utilité à venir de chacune des tactiques
disponibles. Cette estimation est la réalisation d’une variable
aléatoire et peut donc varier selon les unités. Il en résulte que la
probabilité de choisir une tactique donnée n’est jamais nulle si la
probabilité qu’elle procure l’utilité maximum sur un tirage
particulier n’est pas nulle. Cette idée est à la base des RUM (Random Utility
Models) dont on trouvera une présentation dans McFadden (1973).
L’usage de ces modèles pour représenter des choix tactiques des
pêcheurs n’est pas très courant en halieutique ; on peut cependant
en trouver quelques applications (par exemple Vermard et al.,
2008).
17L’usage d’un RUM implique de disposer d’estimations de l’espérance des estimateurs d’utilité de chaque tactique : en notant (cj,k,ti)k = 1,…K la capture moyenne par action de pêche pour chacun des K stocks avec la tactique j au pas de temps ti, Pk le prix par unité de poids pour le stock k et Cj le coût de mise en œuvre d’une action relevant de la tactique j, on estime l’utilité de la tactique j par le revenu espéré :

18Cj peut prendre une valeur négative pour représenter un coût d’opportunité conduisant l’unité de pêche à décider de ne pas pêcher (pour ce faire on introduit pour chaque flotte une tactique de non pêche dans la liste des tactiques disponibles).
19Notons (3)
20 est une estimation de l’utilité au pas de temps ti + 1 pour la
tactique j,
faite avec l’information disponible à la fin du pas de temps
précédent ti. Cette estimation est donnée par la moyenne
de Rj,ti (le
revenu au pas de temps le plus récent) et de
. Le revenu obtenu un an auparavant. Ce décalage est
introduit pour tenir compte de la saisonnalité des rendements,
connue des pêcheurs. Si on considère un pas de temps bimensuel, par
exemple Δt = 24 – 1 = 23.
21En considérant la transformation :
(4)
22Les probabilités (pj,s,ti) sont obtenues de la façon suivante :
(5)
23ρs est un paramètre d’échelle. Le paramètre µs est un paramètre d’inertie, lié à la rapidité des évolutions des probabilités de choix lorsque les utilités varient. Si par exemple µs = 1, le dernier terme de l’équation 5 est nul et les probabilités restent constantes, indépendantes des résultats obtenus par les pêcheurs. Si µs = 0, les pêcheurs réactualisent leurs choix de façon instantanée, sans tenir compte de leurs décisions antérieures.
24Dans les calculs des revenus par sortie, les captures moyennes cj,k,ti par action de pêche relevant de la tactique j au pas de temps ti pour le stock k dépendent de la biomasse accessible du stock et de l’efficacité de la méthode de pêche :
(6)
25qj,k,ti est la capturabilité, i.e. probabilité qu’une unité de
la biomasse accessible du stock k soit capturée au cours d’une action relevant
de la tactique j et entreprise au cours du pas de temps ti. Cette
écriture prend en compte l’hypothèse que la capturabilité dépend du
temps. Cette dépendance est représentée par la combinaison d’une
composante interannuelle pouvant traduire l’évolution d’une
puissance de pêche63, représentée, ici encore, à l’aide
d’une fonction logistique semblable à celle utilisée pour les
effectifs des flottes (équation 2) et d’une composante saisonnière
représentée par une série de Fourier. Le principe des séries de
Fourier a été exposé dans un des exemples relatifs au modèle
linéaire dans le premier chapitre ; représenter une saisonnalité
peut se faire avec une période d’une année, en considérant un
certain nombre d’harmoniques. Une souplesse satisfaisante peut être
obtenue avec deux ou trois harmoniques (de périodes 12, 6 et, le cas
échéant, 4 mois)64. est la quantité de biomasse accessible pour la tactique
j. Cette
quantité est exprimée comme la différence entre
, la biomasse moyenne au cours du pas de temps ti et αj,kBυk, une
quantité de biomasse inaccessible, exprimée comme une proportion αj,k de la
capacité de charge Bυk du stock k. L’introduction de cette quantité de biomasse
inaccessible peut rendre compte d’une accessibilité incomplète pour
diverses raisons possibles, par exemple un rayon d’action limité ou
encore l’inefficacité d’un engin de pêche si la ressource devient
trop dispersée. Mais nous verrons plus loin, dans la justification
du choix de cette fonction de production, que cette formulation peut
rendre compte d’autres aspects et que son intérêt réside ainsi dans
sa capacité à rendre compte de situations très diverses.
Justification des références aux utilités et aux revenus
26Le recours aux modèles d’utilité aléatoire (Random Utility Models), avec l’estimation des espérances de ces utilités à l’aide de revenus exprimés en unité monétaire, est justifié ici par le besoin de rendre compte des choix réalisés par les pêcheurs. Ce sont en effet ces choix qui contribuent pour une bonne part à la variabilité de l’impact de l’activité sur la ressource. Mais, par ailleurs, ces modèles et l’usage d’une mesure renvoient à des notions d’économie quantitative associées à l’idée classique du comportement rationnel de l’homo economicus. Le simple énoncé de ces références peut donc laisser entendre que cette construction relève d’une démarche thématique avec un point de vue disciplinaire d’économie orthodoxe65.
27Dans le cas présent, l’idée d’utilité renvoie, de mon point de vue, selon la définition proposée dans Wikipédia, à une mesure de bien-être ou de satisfaction. Bien sûr, mesurer l’utilité ainsi perçue apparaît illusoire. Mais je pense que le recours aux modèles d’utilité aléatoire traduit, au-delà d’une formulation mathématique rigoureuse, une incertitude et une modestie permettant de considérer qu’il peut s’agir de bien-être et de satisfaction dès lors que la composante aléatoire rend compte – sans prétendre l’expliquer66 – de la variabilité liée à la subjectivité des agents et au fait qu’ils ne disposent pas d’une information parfaite67. Par ailleurs, le choix d’une mesure avec une unité monétaire constitue largement un abus de langage dès lors que les prix et les coûts peuvent rendre compte de bien d’autres aspects. Nous en donnerons plus loin quelques exemples avec des coûts ou des prix associés à des interdictions ou à des incitations de diverses natures. L’exigence ici est d’évaluer les utilités selon une variable synthétique permettant à chaque décideur de les ordonner68 selon son point de vue à partir de l’information dont il dispose. Les prix et les coûts ne sont donc ici que des artefacts pour se rapprocher au mieux de cet objectif en permettant d’exprimer, à l’aide de fonctions de données, des différences pouvant apporter des éléments de réponses à des questions pertinentes.
La dynamique des biomasses
28 est la biomasse du stock k au temps ti + 1. Elle est fonction de la valeur initiale
au temps ti et de l’activité de pêche pendant le pas de
temps considéré. En temps continu, la biomasse peut être représentée
à partir de l’équation :
(7)
29La dérivée de la biomasse est exprimée comme la
différence entre la production et la capture. La production est
représentée ici par un modèle de croissance logistique usuel avec
les paramètres rk et Bυk. En supposant un effort constant pendant le
pas de temps ti, on peut intégrer l’équation 7 et obtenir
(à l’issue du pas de temps ti) comme une fonction de
et
. Si, pour certaines combinaisons stock/tactique, la
valeur de
devient négative, elle est arbitrairement remplacée par
une valeur nulle dans les équations 6 et 7.
Justification du choix de la fonction de production de biomasse
30Dans les paragraphes qui précèdent, le choix des équations décrivant la dynamique des biomasses repose sur des interprétations « de bon sens ». Mais, comme discuté en introduction, leur capacité à rendre compte d’observations ne constitue pas des démonstrations de la validité de ces interprétations.
31Je me suis trouvé directement confronté à cette incertitude avec l’usage du modèle logistique de croissance pour représenter la dynamique des biomasses. Ce modèle est au centre d’une des approches, dite synthétique, qui consiste à décrire la dynamique de l’abondance Bt au temps t d’un stock de poissons exploité à l’aide de l’équation en temps continu, connue sous le nom de modèle de Schaefer (Schaefer, 1954) :
dBt / dt = rBt(1 – Bt / K) – qftBt
32Les paramètres de ce modèle font l’objet d’interprétations usuelles : r est un taux de croissance intrinsèque (sans tenir compte de phénomènes de densité dépendance), K est une capacité de charge, valeur d’équilibre en l’absence de pêche, appelée biomasse vierge dans le jargon halieutique. ft est l’intensité de pêche au temps t et q une capturabilité. Bien sûr, de nombreuses sophistications ont été apportées, par exemple avec l’adjonction d’un paramètre de forme m dans l’équation :
dBt / dt = rBt(1 – Bt / K)m – 1) – qftBt
33(on retrouve le modèle précédent si m = 2). Ce modèle, dit de Pella et Tomlinson (Pella et Tomlinson, 1969) dans la communauté halieutique69, permet de rendre compte de situations dans lesquelles la production est maximum pour des valeurs de biomasse différentes de K / 2. Cela peut traduire diverses hypothèses que peut par exemple suggérer le fait que, pour certaines espèces, la production d’œufs par les femelles est telle qu’un petit nombre d’entre elles pourrait suffire (ou non) à reconstituer un stock. Mais en cherchant une autre formulation rendant compte du fait qu’une certaine quantité de biomasse, exprimée comme une proportion α de la capacité de charge K, peut être pour diverses raisons inaccessible à la pêche, j’ai considéré l’équation :
dBt / dt = rBt(1 – Bt / K) – qft(Bt – αK)
34Il s’agissait concrètement de prendre en compte un résultat de P. Fréon (1986) qui avait montré que les stocks de sardinelles pouvaient être surexploités par les unités artisanales, mais seulement au plan local dans la mesure où un rayon d’action limité rendait inaccessible une certaine quantité de biomasse, quantité pouvant par ailleurs contribuer à la croissance du stock.
35Je me suis heurté au fait que des jeux disponibles de données pouvaient parfaitement être ajustés par l’une ou l’autre de ces formulations suggérant des interprétations totalement différentes. C’est ce qui est représenté dans la figure 3.1 où sont représentées deux séries de captures et d’efforts pratiquement identiques. La première est obtenue en appliquant une série arbitraire d’efforts, croissants puis décroissants, à un stock dont la dynamique est régie par l’équation dBt / dt = rBt(1 – (Bt / K)) – qft(Bt – αK) avec α = 0,1, et la seconde résulte de l’ajustement des captures et des efforts ainsi obtenus en considérant l’équation : dBt / dt = rBt(1 – Bt / K)m – 1) – qftBt. On obtient ainsi une reconstitution pratiquement parfaite avec une valeur estimée du paramètre m égale à 1,05.
Figure 3.1. Données de captures et d’efforts représentées par deux modèles biologiques différents.

Série simulée (traits pleins) de captures et d’efforts en considérant m = 2, α = 0,1 et une série d’efforts croissants puis décroissants (flèche). Série issue de l’ajustement de ces données par un modèle de Pella et Tomlinson (pointillés, m = 1,05, α = 0). La parabole correspond à la relation à l’équilibre du modèle de Shaefer (m = 2, α = 0), les deux autres courbes lisses correspondent aux captures à l’équilibre avec les deux modèles (d’après Laloë, 2006).
36Il s’agissait d’une mauvaise nouvelle en termes de capacité d’interprétation. Ceci n’est pas nouveau mais ces équations avaient bien été construites à partir d’hypothèses sur le fonctionnement de l’objet observé. Cela pouvait montrer que toutes ces hypothèses étaient plausibles et ne faisaient guère que confirmer la conclusion déjà proposée par Feller (1940). Cela mérite d’être rappelé. Mais il s’agissait aussi d’une bonne nouvelle en termes de capacité des modèles à produire des synthèses de données.
37Dans cet exemple, l’incertitude porte sur la nature de la dynamique du stock avec des interprétations privilégiant un point de vue sur la production de biomasse ou un point de vue sur son accessibilité. Un autre exemple (Laloë et al., 1998 ; Laloë, 2006) élargit le spectre de cette incertitude. On dispose d’un effort exprimé en nombres de sorties de pêche avec, ici encore, une série arbitraire, croissante puis décroissante, de sorties. Deux stocks sont exploités. Lors de chaque sortie, des captures peuvent être réalisées sur les deux stocks même si les pêcheurs peuvent choisir de privilégier l’un ou l’autre des deux stocks. Cette capacité de choix est directement liée à la question de la variabilité, décidable par les pêcheurs, de l’impact en termes de mortalités de leur activité décrite quant à elle en termes de nombres de sorties. Un des stocks est surexploité, avec une biomasse pratiquement entièrement accessible ; lorsque le nombre de sorties augmente, sa biomasse décroît rapidement. Dès lors, la recherche de l’autre stock devient plus intéressante, conduisant à une augmentation de la proportion des sorties au cours desquelles les pêcheurs privilégient sa recherche, de telle façon que les revenus des deux tactiques restent similaires (Laloë et al., 1998). Cette dynamique simulée est présentée sur la figure 3.2 (gauche). On observe que les conséquences de l’augmentation de l’activité exprimée en nombre de sorties sont tempérées par la capacité de choix de l’espèce cible. Mais on peut ignorer le fait que les pêcheurs disposent d’un tel choix et considérer que les mortalités subies par chacune des deux biomasses accessibles sont directement proportionnelles aux nombres de sorties. On peut alors rechercher à rendre compte des captures sur les deux stocks en considérant qu’elles peuvent être caractérisées par la présence de biomasses inaccessibles. On obtient à nouveau un excellent ajustement, obtenu en estimant que la résistance du stock fragile, qui était liée à la capacité de choix des pêcheurs, est maintenant expliquée par la présence d’une biomasse de réserve qui permet d’éviter les conséquences de la surexploitation. C’est ce qui apparaît sur la figure 3.2 (droite).
Figure 3.2. Données de captures et d’efforts représentées par deux combinaisons différentes de modèles biologiques et de modèles de pratiques de pêche.

À gauche, données simulées en considérant deux tactiques de pêche disponibles (les efforts sont pour chaque stock fonctions des nombres d’actions de pêche pondérés par les capturabilités et les proportions d’usage de chaque tactique). À droite, les mêmes séries avec l’hypothèse d’absence de choix tactique (les efforts sont alors proportionnels au nombre d’unités de pêche). Les courbes lisses correspondent aux relations sous contraintes d’équilibre (d’après Laloë, 2006).
Articulation des deux dynamiques
38On peut maintenant résumer l’ensemble du cadre selon le système d’équations suivant :
(8)
39Ce système (8) dépend d’un ensemble de paramètres Θ
relatifs à la ressource (capacités de charge Bυk, taux de croissance rk), au
contexte économique (prix Pk, coûts Cj), aux actions de pêche (capturabilités
, inaccessibilités αj,kBυk), aux règles de décision (paramètres ρ and µs)…
40En donnant une valeur à chacun des paramètres d’un tel modèle et à partir de valeurs initiales données aux biomasses de chacun des stocks et à chacune des proportions de choix des tactiques au premier pas de temps70 d’une application du modèle, on peut appliquer l’équation décrivant la dynamique des biomasses en obtenant une estimation des utilités utilisables pour le calcul des allocations d’efforts pour le pas de temps suivant et ainsi de suite. On produit une simulation du système dont les résultats peuvent être confrontés à des données disponibles.
Confrontation aux données et production d’une synthèse
41Les données disponibles sont fréquemment obtenues dans le cadre de systèmes d’enquêtes stratifiés « de captures et d’efforts » dans lesquels les strates sont des populations d’actions de pêche définies par leur homogénéité en termes d’impacts sur les composantes de la ressource. Selon la définition des tactiques, regroupant des actions de pêche caractérisées à un moment donné par les mêmes capturabilités, chaque combinaison de tactique et de pas de temps peut de façon idéale définir une strate, et les données d’efforts sont alors, de façon naturelle, les effectifs des strates. Cela n’est pas toujours possible dans la mesure où le critère utilisable en pratique, l’engin de pêche, n’est pas suffisant pour affecter sans ambiguïté une action à une tactique. Cette insuffisance a ainsi été identifiée lors de l’analyse des données collectées à Kayar (tableau 1.1). Cette analyse a montré que la strate constituée des actions de pêche ayant impliqué au cours de la période d’étude l’usage de lignes à main réunit de fait plusieurs tactiques. Si l’effectif global de la strate pouvait faire l’objet d’une estimation (en comptant les sorties), il n’en était pas de même pour les effectifs de chacune des tactiques réunis au sein de la strate. Il s’avérait en outre que ces effectifs étaient quant à eux décidés par les pêcheurs.
42Les données d’activité disponibles sont donc des efforts exprimés sous forme d’effectifs (nombre de sorties) de strates, chacune réunissant une ou plusieurs tactiques. Pour chaque strate, on dispose d’un échantillon d’actions avec, pour chacune d’elles, la donnée de la capture réalisée pour chacune des espèces exploitées. Les données se présentent donc sous la forme de séries chronologiques d’efforts (nombre d’actions de pêche ayant impliqué l’usage d’un engin de pêche particulier) et de rendements (prises par sortie de pêche obtenues, dans chaque strate, pour chaque stock capturable par au moins une des tactiques réunies au sein de la strate).
43Pour identifier le jeu de données disponibles au sein du cadre proposé, il convient de considérer, au-delà des flottes, des stocks et des tactiques, une quatrième typologie, relative aux strates, chacune regroupant une ou plusieurs tactiques. Ces quatre typologies avec les types correspondants sont présentées dans le tableau 3.1 ci-dessous :
Tableau 3.1. Liste des classes correspondant aux tactiques de pêche, aux strates d’échantillonnage, aux stocks exploités et aux flottes de pêche.
Stocks |
Tactiques |
Flottes |
|||
Code |
Définition |
Code |
Définition |
Code |
Définition |
1 |
Mérous |
a |
Ligne tassergal à Saint-Louis |
I |
Fileyeurs de Saint-Louis |
2 |
Dorades côtières |
b |
Ligne mérous à Saint-Louis |
II |
Ligneurs de Kayar |
3 |
Dorades profondes |
c |
Ligne dorades côtières à Saint-Louis |
III |
Ligneurs de Saint-Louis |
4 |
Chinchards |
d |
Lignes poulpes à Saint-Louis |
IV |
Ligneurs-senneurs |
5 |
Tassergal |
e |
Ligne tassergal à Kayar |
V |
Senneurs |
6 |
Poissons filets dormants |
f |
Ligne dorades profondes à Kayar |
VI |
Industriels |
7 |
Poulpes |
g |
Ligne espadons voiliers à Kayar |
Strates d’échantillonnage |
|
8 |
Espadons voiliers |
h |
Ligne mérous à Kayar |
Code |
Définition |
9 |
Sardinelles rondes |
i |
Ligne dorades côtières à Kayar |
1 |
Lignes à Saint-Louis |
10 |
Sardinelles plates |
j |
Lignes poulpes à Kayar |
2 |
Lignes à Kayar |
11 |
Caranx |
k |
Ligne avec glace à Saint-Louis |
3 |
Lignes avec glace |
12 |
Soles |
m |
Senne à Saint-Louis |
4 |
Sennes à Saint-Louis |
13 |
Requins et Raies |
o |
Senne à Kayar |
5 |
Sennes à Kayar |
p |
Filet dormant soles à Saint-Louis |
6 |
Filets dormants à Saint-Louis |
||
q |
Filet dormant à Saint-Louis |
7 |
Filets dormants à Kayar |
||
r |
Filet dormant soles à Kayar |
||||
s |
Filet dormant à Kayar |
||||
t |
Industrielle |
||||
u |
Non pêche flotte I |
||||
v |
Non pêche flotte II |
||||
w |
Non pêche flotte III |
||||
x |
Non pêche flotte IV |
||||
y |
Non pêche flotte V |
Le diagramme de Pech
44Cet ensemble de quatre typologies peut être présenté de façon synthétique avec les relations entre leurs classes au sein d’un diagramme de Pech qui permet de visualiser la structure du système d’exploitation et les caractéristiques du protocole d’observation. Dans ce diagramme, trois tableaux permettent de rendre compte des relations entre les tactiques de pêche (i.e. les classes d’actions de pêche) et les classes des trois autres typologies. Ainsi, le diagramme présenté sur la figure 3.3 correspond à une étude menée sur la pêche artisanale sur la Grande Côte au Sénégal (Pech et al., 2001).
Le premier tableau (haut de la figure 3.3) est lié à la définition des strates d’échantillonnage en indiquant les tactiques qui sont regroupées au sein de chaque strate. Par exemple, la strate « Lignes à St-Louis » inclut quatre tactiques lignes ciblant les tassergals, les mérous, les dorades ou les poulpes.
Le deuxième tableau (centre de la figure 3.3) est lié à la définition des stocks exploités en indiquant quels stocks sont capturables par chacune des tactiques. Par exemple, la troisième tactique (« Lignes dorades à Saint-Louis ») permet de capturer sur des fonds principalement sableux quatre stocks, « Poissons filets dormants », « Chinchards », « Dorades côtières » et « Mérous » ; ici, les dorades côtières sont la cible choisie par les pêcheurs, les autres stocks étant accessoires, contrairement à la seconde tactique qui privilégie, sur des fonds plus rocheux, la recherche de mérous et de façon secondaire les dorades côtières.
Le troisième tableau (bas de la figure 3.3) est lié à la définition des flottes de pêche. Les ligneurs de Saint-Louis par exemple ont douze options disponibles. Il s’agit d’abord des quatre tactiques lignes à Saint-Louis et des six tactiques lignes à Kayar (ils peuvent se déplacer entre ces deux sites alors que les pêcheurs kayarois ne pêchent qu’à partir de leur ville) ; les deux options supplémentaires sont la pêche au filet dormant à Kayar, qui est particulièrement intéressante au moment de l’année (fin mai-début juin) où les soles sont très capturables, et l’option de non pêche à laquelle est associé un coût d’opportunité. Une flotte industrielle composée de 100 unités virtuelles est considérée pour rendre compte de l’impact des flottes industrielles présentes. On vérifie sur le diagramme que les unités industrielles ne disposent que de la tactique industrielle pour laquelle 11 des 13 stocks de poissons sont capturables. Cette tactique ne relève d’aucune strate d’échantillonnage dans cet exemple, ce qui signifie que nous n’utilisons pas de données industrielles dans la procédure d’ajustement. Il est cependant possible d’affecter des valeurs de capturabilité de la tactique industrielle à l’encontre des stocks pour rendre compte des niveaux de capture réalisés par l’ensemble des flottes industrielles, et donc de leur impact sur la ressource. Il est alors possible, en modifiant l’effectif de cette flotte ou les valeurs de capturabilité à l’encontre de certains stocks, de simuler l’impact de la modification de l’activité des industriels sur certaines composantes de la ressource et par la suite de rendre compte d’interactions entre les activités industrielles et artisanales.
45Le diagramme de Pech ainsi construit rend compte d’un large ensemble de connaissances sur l’exploitation halieutique et son environnement. Dans l’exemple présent, cette connaissance a été très largement mise à disposition par Alassane Samba, chercheur du CRODT (Centre de recherches océanographiques de Dakar-Thiaroye), et l’ensemble des membres du CRODT en charge des enquêtes dans les sites de débarquement.
Figure 3.3. Diagramme de Pech.

Relations entre stocks, flottes, tactiques et strates d’échantillonnage (listes données au tableau 3.1). Combinaisons tactique/stock : une pastille indique que le stock est capturable par la tactique. Combinaisons tactique/strate : une pastille indique que la tactique relève de cette strate (une tactique appartient à une strate au plus). Combinaisons tactique/flotte : une pastille indique que les unités de cette flotte peuvent choisir d’utiliser cette tactique (d’après Pech et al., 2001).
46Un diagramme de Pech (figure 3.4) a été également utilisé dans le cadre de la thèse de Massal Fall (2009) en restituant une analyse à l’aide de méthodes de classification sur les compositions spécifiques des captures réalisées lors de plus de 27 000 marées réalisées entre 1990 et 2001 par 266 unités de la flotte de pêche chalutière industrielle basée à Dakar (Fall et al., 2006).
Figure 3.4. Diagramme de Pech (d’après Fall et al., 2006) relatif à la pêche des chalutiers industriels basés au port de Dakar.

Les noms des tactiques correspondent au stock cible, et ceux des flottes aux tactiques les plus fréquemment choisies par les unités de pêche. Ici, toutes les sorties relèvent d’une seule strate qui réunit donc toutes les tactiques.
47Un diagramme peut être également construit, dans un premier temps, pour présenter une structure globale du système d’exploitation permettant de visualiser de façon synthétique une part importante des connaissances disponibles de natures diverses. Cet exercice a été également réalisé, avec l’aide d’Alassane Samba par Massal Fall dans le cadre de sa thèse. Il est présenté dans la figure 3.5.
Figure 3.5. Diagramme de Pech proposant l’articulation des typologies de la ressource, des tactiques de pêche, des flottes de pêche et des strates d’échantillonnage pour l’ensemble de l’exploitation halieutique au Sénégal (d’après Fall, 2009).

L’ajustement : données simulées et données d’enquêtes
48En utilisant le cadre présenté sur le diagramme (figure 3.3), on peut organiser les données issues d’une simulation de la façon suivante :

49où E(g) est l’ensemble des tactiques de la strate g. Par exemple, si g est la strate lignes à Saint-Louis, E(g) réunit les 4 tactiques (a, b, c, et d) correspondant aux usages de la ligne à Saint-Louis (voir les combinaisons « strate/tactique » figure 3.3).
50Il est alors possible de rechercher les valeurs des paramètres qui permettent de minimiser une somme, sur les 43 séries temporelles de données d’efforts et de rendements, de carrés d’écarts entre valeurs estimées et observées.
51Pour une série particulière, par exemple de nombre
de sorties pour une strate g, le critère suivant peut être considéré :

52Dans cette équation, est le nombre de sorties donné par le système d’enquêtes
et
est le nombre de sorties estimé (ce qui justifie le
recours au symbole usuel « ^ ») par la simulation. En référence au
système d’enquêtes, ce critère peut être défini pour chacune des
43 séries utilisées ici (une série d’« efforts » pour chacune des
7 strates d’échantillonnage et, pour chaque strate, une série de
rendements pour chacun des stocks capturables par au moins une des
tactiques relevant de cette strate, soit au total 36 séries de
rendements). On peut donc considérer la somme de ces critères,
chacun pouvant éventuellement être pondéré, par exemple par
l’inverse des sommes des carrés des écarts des observations à leur
moyenne71. Le critère à
minimiser est ainsi :
53 (9)
54où est la moyenne des
et où
est la moyenne des
(ce qui justifie le recours au symbole usuel « – »
utilisé pour les moyennes simples). Dans cette équation, Θ est
l’ensemble des paramètres du modèle.
et ĉg,k sont les séries chronologiques estimées à
l’aide du modèle, et fg et cg,k sont les valeurs obtenues à partir des
observations selon la procédure utilisée pour le système
d’enquête.
55Le nombre très élevé de paramètres, de l’ordre de
400 dans l’exemple présenté ici, en tenant compte du recours à des
sous modèles permettant d’en réduire le nombre72, et la non-linéarité du modèle ne
permettent pas la recherche conjointe de l’ensemble des valeurs
correspondant à la valeur minimale du critère L(Θ).
56Une procédure d’ajustement est donc mise en place en donnant, à partir de dire d’experts, des valeurs initiales à l’ensemble des paramètres, puis en réalisant des ajustements successifs sur des sous-ensembles de dimension acceptable de paramètres73. Dans l’exemple présent, une centaine de tels ajustements ont permis de parvenir à un résultat jugé satisfaisant (Pech et al., 2001). Bien entendu, il n’est en aucun cas certain que le résultat final ne soit pas un minimum local, ce qui signifie que d’autres combinaisons de paramètres pourraient conduire à un meilleur ajustement. Les résultats (valeurs observées et estimées) concernant les sept séries d’activité (nombre d’actions par strate) et les 8 séries de rendements pour les stocks capturables par au moins une des tactiques de la strate « Lignes à Kayar » sont présentés figures 3.6 et 3.7.
57Les valeurs de certains paramètres peuvent être modifiées au cours de la période représentée pour rendre compte de changements ayant pu conduire à des modifications des caractéristiques des variables observées (Pech et al., 2001). Ces changements de valeurs peuvent être introduits de façon arbitraire, ou bien être eux-mêmes estimés.
58L’exemple du prix de la dorade profonde permet d’illustrer cette démarche. Sur le graphe de la série « dorade profonde » (repris de façon individualisée et plus lisible sur la figure 3.8), on observe un changement notoire du profil des rendements pour cette espèce à Kayar : au début des années 1980, les rendements observés augmentent et le signal saisonnier fait apparaître deux périodes de rendements plus élevés au cours de l’année. L’ajustement réalisé permet de rendre compte dans une certaine mesure de ce changement qui pourrait peut-être traduire une modification de la dynamique du stock, dont on pourrait peut-être rendre compte par un changement de capacité de charge et/ou par une modification des paramètres de la série de Fourier utilisée pour décrire le profil de capturabilité. En fait, A. Samba a proposé une explication liée à l’augmentation en 1983 de la demande de mareyeurs intéressés par les possibilités d’exportation de cette espèce. Pour en rendre compte, nous indiquons que le prix de cette espèce change début 1983 et nous procédons à l’estimation des deux prix, avant et après ce changement. Les valeurs obtenues sont égales à 285 et à 365 francs CFA. Cette modification de prix permet à elle seule de rendre compte du changement observé dans la série chronologique de rendements (figure 3.8).
Figure 3.6. Nombre d’actions par strate d’échantillonnage par quinzaine de jours de 1974 à 1992.

Valeurs observées (lignes continues) et ajustées (tiretés) (d’après Pech et al., 2001). Les années 1989 pour les lignes avec glace et 1985 pour les filets dormants à Kayar correspondent à des changements dans les coûts d’usage de ces engins de pêche (voir texte).
Figure 3.7. Rendements par sortie (kg) pour chacun des 8 stocks capturables par au moins une des 6 tactiques de la strate d’échantillonnage « Lignes à Kayar », par quinzaine de jours de 1974 à 1992.

Valeurs observées (lignes continues) et ajustées (tiretés) (d’après Pech et al., 2001).
Figure 3.8. Rendements pour le stock Dorades profondes dans la strate d’échantillonnage « Lignes à Kayar », par quinzaine de jours de 1974 à 1992. Valeurs observées (lignes continues) et ajustées (pointillés).

Le changement observé à partir de 1983 (augmentation des prises moyennes et modification du signal saisonnier) peut être pris en compte par une modification du prix de cette espèce en 1983.
59Bien sûr, la qualité de l’ajustement, si on la juge satisfaisante, montre que cette demande accrue, avec l’augmentation du prix proposé aux pêcheurs qui en découle, est une cause plausible du changement de profil saisonnier de rendement. Mais elle ne constitue pas une preuve de sa validité ; elle présente l’intérêt de montrer que des changements de profils saisonniers peuvent avoir bien d’autres causes que celles liées aux caractéristiques biologiques de l’espèce et de son environnement physique. De la même façon, les estimations de prix n’ont ici qu’une valeur indicatrice permettant de rendre compte d’un changement dans l’intérêt que les pêcheurs accordent à cette espèce.
60Dans le même esprit, des changements de coûts de mise en œuvre de tactiques permettent de rendre compte de changements dans les profils d’efforts pour certaines strates. On observe par exemple (figure 3.6) que l’activité des filets dormants ne démarre qu’en 1985 à Kayar, alors qu’elle est présente tout au long de la période à Saint-Louis. Ceci résulte de ce que l’usage des filets dormants par les pêcheurs saint-louisiens était de fait interdit à Kayar par les pêcheurs locaux. Une certaine tolérance a été instaurée à partir de 1985, mise à profit par les pêcheurs saint-louisiens pour la recherche de soles, dont la capturabilité est très saisonnière. Pour rendre compte de ce changement nous proposons une modification du paramètre coût de mise en œuvre de la tactique « Filet dormant soles à Kayar » à partir de 1985. La valeur initiale de ce coût est estimée supérieure à 1 000 000 de francs CFA, valeur pouvant être perçue comme une métaphore traduisant l’interdiction du recours à cette pratique jusqu’en 1984. L’estimation du coût à partir de 1985 est d’environ 29 000 francs CFA, valeur « réduite » permettant de rendre compte du profil observé (figure 3.6).
61De la même façon, un coût prohibitif pour l’usage des glacières au long de l’année 1989 a permis de rendre compte de l’arrêt d’activité lié à une situation conflictuelle entre le Sénégal et la Mauritanie.
62D’une manière générale donc, les paramètres de ce cadre ne sont pas à prendre au pied de la lettre. Les prix et les coûts peuvent être vus comme des indicateurs permettant d’ordonner les intérêts que des acteurs peuvent accorder aux diverses actions qu’ils peuvent choisir d’entreprendre. Dans l’exercice présent de confrontation aux données, les valeurs initiales données aux prix et aux coûts correspondent à des valeurs disponibles. Mais leur estimation est ensuite faite pour s’approcher d’un objectif défini ici par l’équation 974. Il est cependant relativement satisfaisant de constater, à l’issue de la procédure d’ajustement, que l’ordre des prix entre les différentes espèces reste celui des valeurs initiales.
Qualité de l’ajustement
63La question se pose de la qualité de cet ajustement (incluant celles du modèle construit, de sa capacité à être confronté aux données disponibles et de l’ensemble des estimations produites).
64On peut en premier lieu constater que les écarts entre valeurs ajustées et observées ne sont pas aléatoires. Les problèmes identifiés dans le « quartet d’Anscombe » (figure 1.1) se retrouvent largement ici. Un simple examen visuel de ces écarts (figures 3.6, 3.7 et 3.8) montre ainsi l’existence d’auto-corrélations. Ces écarts présentent même des saisonnalités dès lors que les maxima ou les minima saisonniers ne sont pas précisément restitués. Si on revient aux suppositions faites pour considérer des modèles linéaires, on se rend compte qu’on est ici très loin du compte et que les écarts ne peuvent en aucun cas être considérés comme des réalisations de variables « indépendantes et de même distribution ». Vouloir proposer des intervalles de confiance des paramètres et des régions de confiance relatives à plusieurs paramètres peut constituer une question de recherche purement statistique que je n’ai pas personnellement envisagé d’aborder75. Comme évoqué à plusieurs reprises, un compromis doit être recherché. Ici, le modèle est jugé utile s’il permet de rendre compte d’interactions au sein du système d’exploitation et d’interactions entre ce système et son environnement naturel, social et économique. Il s’agit de vérifier si le modèle peut être utilisé pour répondre à des questions qui relèvent de ces interactions, questions auxquelles les modèles au sein desquels l’impact de l’exploitation est donné ne peuvent pas apporter d’éléments de réponse.
65Le modèle construit ici peut être utilisé pour produire une statistique, synthèse des données constituée des estimations de ses paramètres. Mais on ne peut plus, contrairement au modèle linéaire gaussien présenté plus haut, considérer cette statistique comme exhaustive. Les qualités de cette synthèse dépendent du modèle dont la construction a été réalisée en référence à des questions thématiques. Même si ces questions ont pour une part été soulevées par l’analyse des données, on ne peut plus considérer que la définition de la qualité de la synthèse produite est indépendante de ces questions.
Usages de la synthèse
66Pour vérifier l’utilité du modèle, des changements peuvent être introduits pour décrire les conséquences possibles de modifications, décidables ou subies, dans l’environnement de la ressource et de l’exploitation. Il s’agit alors d’utiliser la synthèse de données issue de l’ajustement du modèle en prolongeant son application sous forme de simulations (quelles sont les conséquences de changements arbitraires) ou pour la recherche des changements qui pourraient conduire à s’approcher au mieux d’objectifs en minimisant une distance rendant compte de cette proximité. Ces deux types d’usages sont présentés dans le chapitre à suivre, à la suite d’une discussion sur les observatoires et les indicateurs qu’ils permettent d’illustrer. Ici, bien entendu, le modèle est bien pris dans le sens instrumental proposé par Volterra dans la citation donnée en introduction et qui mérite d’être rappelée :
[…] un appareil que l’on construit avec la seule préoccupation qu’une fois mis en mouvement certaines de ses parties se déplacent ou se modifient en suivant les mêmes lois de variation que certains éléments dans le phénomène.
Notes de bas de page
61 Dès lors qu’ils peuvent être caractérisés par l’association de plusieurs éléments, il peut y avoir une très grande diversité de constructions de systèmes complexes. Dans le cas présent par exemple, le cadre proposé ne fait pas état des interactions trophiques qui sont au centre d’autres constructions, comme c’est le cas par exemple avec l’approche écosystémique des pêches. C’est ce qu’indique cet extrait d’une fiche technique publiée par le pôle halieutique de l’école d’agronomie de Rennes (Agrocampus ouest) : « À moyen terme, il est nécessaire de mettre en place une approche écosystémique des pêches – allant bien au-delà de la gestion traditionnelle par stock monospécifique – en intégrant dans l’analyse et le diagnostic les interactions entre espèces, la qualité des habitats et les changements globaux » (adresse : halieutique.agrocampus-ouest.fr/pdf/1027.pdf, consultée le 8 décembre 2015).
62 Cette distinction peut paraître triviale, mais force est de constater que la grande majorité des représentations consiste à porter principalement l’attention sur la définition de la ressource selon une grande diversité de formes (mono ou pluri spécifique, abondance globale ou par classes d’âges ou par niveaux trophiques…), puis sur la définition d’une variable d’effort (ou de mortalité) dont la dimension est principalement déterminée par celle de la ressource (autant de variables d’efforts que de stocks exploités, de classes d’âges, de niveaux trophiques…).
63 En halieutique, la puissance de pêche est une composante de la capturabilité, liée aux capacités des unités de pêche (puissance des embarcations, moyens de détection des poissons, savoir-faire des pêcheurs, etc.) dont l’évolution conduit à une tendance globalement croissante de la capturabilité.
64 Concrètement, un programme informatique interactif a été écrit (avec les langages R et C) pour réaliser des applications de ce modèle (Pech et al., 2001). Ce programme permet de produire l’ensemble des figures présentées ici (y compris les diagrammes de Pech). Pour chaque cas d’étude, on choisit le nombre d’harmoniques qui seront utilisées pour représenter les signaux périodiques. Ce nombre est de trois dans l’application décrite ici pour la pêche artisanale au Sénégal. Le choix de recourir à des séries de Fourier offre une souplesse supérieure à celle consistant, par exemple, à découper l’année en périodes de longueurs arbitraires.
65 C’est en tout cas ce que je ressens lors de multiples discussions avec mes collègues économistes qui font une distinction claire entre approches hétérodoxes et orthodoxes, ces dernières mettant en avant la notion d’une utilité qui doit être mesurable pour pouvoir être maximisée.
66 Cela renvoie à la variabilité dont la résiduelle rend compte dans les modèles statistiques en général.
67 Pour être plus complet, ce modèle a été adopté par Pech et al. (2001) pour ses qualités mathématiques (dérivabilité par rapport aux arguments de la fonction permettant l’usage d’algorithmes de minimisation pour l’estimation de paramètres). Nous ne faisions alors pas référence à McFadden, ce qui était une erreur manifeste due à notre ignorance. J’ai personnellement découvert tardivement l’existence de ces modèles lors d’une conférence donnée par N. Breslow en ouverture des journées de la société internationale de biométrie de 2002. Cette anecdote présente un certain intérêt dans la mesure où la conférence de N. Breslow exprimait une déception en constatant que les travaux de McFadden pouvaient être reconnus par l’attribution d’un Prix Nobel d’économie en 2000, pour une démarche statistique de portée générale qui ne peut guère bénéficier d’une reconnaissance aussi prestigieuse dans d’autres domaines (le titre de la conférence était « Are Statistical Contributions to Medicine Undervalued? »).
68 Au-delà de l’idée de mesure, l’essentiel est ici de disposer d’une relation d’ordre.
69 Cette formule avait déjà été proposée en 1959 par Richards dans un article dont le titre, « A flexible growth function for empirical use », indique bien l’intérêt instrumental de cette généralisation de la fonction de croissance logistique.
70 Ce premier pas de temps de la simulation peut être antérieur au premier pas de temps avec des données disponibles.
71 Avec cette pondération, la contribution d’une série est égale à 1 si l’ajustement ne fait pas mieux que rendre compte de la moyenne de la série.
72 Par exemple, pour chaque combinaison
stock/tactique j, k, la variabilité temporelle de peut être représentée en combinant une fonction
logistique, comportant 4 paramètres, et une série de Fourier
comportant 5 paramètres (si on considère
2 harmoniques).
73 Le modèle étant non linéaire, la recherche d’un minimum pour la fonction objectif L(θ) pour un sous-ensemble θ d’éléments de θ implique le recours à un algorithme par itérations. À chaque itération, la fonction objectif doit être calculée un nombre de fois au moins égal au nombre de paramètres contenus dans θ. Chacun de ces calculs implique de réaliser une nouvelle simulation, ce qui peut être très exigeant en temps.
74 Dans cet objectif, il n’est pas proposé de contrainte imposant aux prix estimés d’être similaires à des valeurs observées. Mais cela résulte d’une décision qui pourrait bien sûr être remise en cause en introduisant des carrés d’écarts entre ces valeurs estimées et observées au sein de la fonction qu’il s’agit de minimiser.
75 Il faudrait par exemple pouvoir dire quel serait le nombre de degrés de libertés. Ce nombre n’est certainement pas égal, même de façon approximative, à la différence entre nombre d’observations et nombre de paramètres.
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