Annexe VI – Dasypodius Conrad, Protheoria Mathematica (1593)


Texte intégral

Protheoria
Mathematica,
Prothéorie
M
athematique,
in qua non solum disciplinae mathematicae omnes, ordine convenienti enumerantur, verum etiam universalia Mathematica praecepta explicantur. Argentorati, Iodocus Martinus, MD. XCIII.dans laquelle non seulement toutes les disciplines mathématiques sont énumérées en ordre, mais sont aussi expliquées les règles de la mathématique universelle. Strasbourg, I. Martin, 1593
Propositio VIIProposition VII
Universalia principia, & theoremata mathematicarum scientiarum : explicareExplication des principes et des théorèmes universels des sciences mathématiquesa
Enumeratis disciplinis mathematicis : proximum esset, singulas scientias mathematicas explicare. Verum id in Institutionibus, atque Pandectis Mathematicis fiet. Nunc quae de omnibus mathematicis scientiis, communi et generali contemplatione dici possunt, exponemus. Nam universalis mathematica, sub se quidem continet varias et multiplices scientias, specie et subjectis differentes : attamen scientiae illae, ad unam aliquam communem scientiam universalem, tanquam matrem confugiunt : & ab ea sua communia principia, accidentia, & theoremata, & alia hujus generis petunt : quibus cognitis et perceptis, singula in singulis scientiis specialibus, faciliori & expeditiori via atque ratione percipiuntur.Une fois énumérées les différentes disciplines mathématiques, il conviendrait d’expliquer ici en détail chacune de ces sciences. Mais on le fera dans les Institutions et dans les Pandectes mathématiquesb. Quant à ce qui peut être dit maintenant d’un point de vue commun et général sur toutes ces sciences, exposons-le ici. De fait la mathématique universelle supervise des sciences diverses et multiples, différant spécifiquement, et selon leurs objetsc ; mais toutefois elles se rapportent toutes, comme à leur mère, à une certaine science commune et universelle, tenant d’elle leurs principes, leurs accidentsd et théorèmes communs, et autres choses de ce genre. Et ces choses une fois saisies et connues, on saisit chacune d’elles par une voie plus facile et plus brèvee dans chacune des sciences particulières.
[31] Itaque prius communia illa sunt explicanda : quae nimirum in his disciplinis communi & generali contemplatione consideramus, non quia numeris, quatenus numeri, aut magnitudinibus, quatenus magnitudines, aut corporibus cœlestibus, quatenus corpora cœlestia, aliisque subjectis scientiarum, quatenus subjecta sunt alicuius scientiae attribuuntur : & uni alicui rei per se insunt : sed quatenus omnibus rebus mathematicis, aliisque communiter attribuuntur.Ainsi donc il convient de commencer
par ces choses qui sont communes : dans ces disciplines nous les considérons d’un point de vue général et commun, non parce qu’on les attribue des nombres en tant que nombres, des grandeurs en tant que grandeurs, des corps célestes en tant que corps célestes, et des autres objets des sciences, en tant qu’ils constituent l’objet d’une science spécifique, et sont inhérents à une chose singulière : mais en tant qu’ils sont attribués communément de toutes les choses mathématiques et s’appliquent aux autresf.
Sunt itaque primum universalia principia, & Theoremata per omnes mathematicas disciplinas diffusa, deinde methodus et ordo, aliaque a Dialecticis petita. Tum docendi ratio, per propositiones : quae in principia & quae principia sequuntur, dividuntur. Denique ea quae propositionibus solent annecti. De quibus omnibus, antequam ad speciales scientias accedamus : dicendum erit.Viennent donc, en premier lieu, ces principes et ces théorèmes universels, omniprésents dans toutes les disciplines mathématiques. Viennent ensuite la méthode, l’ordre, et les autres choses qui proviennent de la dialectique. Ensuite vient la manière d’enseigner, par des propositions qui se divisent en principes et conséquences de ces derniers. Enfin les principes qui sont ordinairement liés aux propositions. Toutes ces choses seront traitées avant d’en venir aux sciences particulières.
Primum itaque communia principia dicuntur finitum et infinitum, quae quidem vocabula, variis sumuntur modis. Sicuti in Physicis apud Aristotelem lib. 3. Phys : cap. 4. videre licet. In diciplinis tamen mathematicis, finita esse dicuntur : quae suis sunt circumscripta limitibus : praeterea quae ex certo & finito principio orditur Geometra. Arithmeticus vero, ab unitate, Logisticus ab uno : Geodaeta a scopulo, vel alio principio, suae dimensionis initium facit : & ad alia quae ex his principiis oriuntur, progreditur. [32] Infinitum vero hic non actu, sed potestate tantum infinitum accipitur, cujus videlicet quantitas, nunquam terminatur : sed ei semper aliquid addi, vel auferri potest.Premièrement l’on considère que ces principes communs sont le fini et l’infini, termes qui peuvent s’entendre de multiples manières, comme on peut le voir dans la Physique (III, 4) d’Aristote. Mais dans les disciplines mathématiques : sont dites finies les choses qui sont circonscrites par des limites, outre celles que le géomètre entame à partir d’un principe certain et fini. L’arithméticien prend l’unité pour principe, le calculateur le nombre un ; le topographe quant à lui prend une pierre ou quelque autre point de départ comme unité de mesure : de là ils progressent à toutes les choses qui découlent de ces principes. L’infini dans ce contexte n’est pas compris comme l’infini en acte, mais en puissance, soit la quantité qui n’a pas de terme, à laquelle on peut toujours ajouter ou retrancher quelque chose.
Finiti autem & infiniti utilitas, in scientiis mathematicis magna est. Nam si finitum ex scientiis tollatur tum ratio, proportio, symmetria, asymmetria, aequalitas, inaequalitas, & his similia tollenda essent. Nam rerum mathematicarum in infinitum usque fit progressio. Ut in numeris, ab unitate facimus initium : numerus vero additione in infinitum usque augetur. Et magnitudinum divisio, in infinitum progreditur : cum tamen numeri dati sint finiti, magnitudines divisae, etiam finitae. Praeterea, si ex mathematicis tolleretur infinitum : consequeretur, omnes magnitudines esse symmetras : atque nullae invenirentur irrationales magnitudines. de quibus agit Euclides Lib. 10 Elem. : imo hoc ipso, Arithmetica a geometria differt : quod asymmetria, tantum in magnitudinibus sit : non autem in numeris.L’utilité du fini et de l’infini dans les sciences mathématiques n’est pas médiocre. Si l’on supprimait le fini de ces sciences, tout rapport, toute proportion, la symétrie, l’asymétrie, l’égalité, l’inégalité et toutes choses semblables seraient du même coup à supprimer. Je m’explique : dans les choses mathématiques il y a la progression à l’infini. Comme dans les nombres, où l’on commence par l’unité, que l’on peut augmenter par addition jusqu’à l’infini. Et il y a un progrès à l’infini dans la division des grandeurs : bien que les nombres donnés soient finis, comme les grandeurs divisées en dépit de leur caractère fini. En outre, si l’on supprimait l’infini dans les mathématiques, toutes les grandeurs seraient commensurables, et on ne trouverait pas de ces grandeurs irrationnelles dont il est traité au livre X des Éléments : bien plus la géométrie diffère de l’arithmétique en ce qu’il y a de l’incommensurabilité dans les grandeurs, alors qu’il n’y en a pas dans les nombres.
Adhaec numeri non haberent in se fœcundam illam vim unitatis : qua ipsa est praedita, ad augendos numeros in infinitum usque.Ajoutez à cela que les nombres n’auraient pas en eux la puissance féconde de l’unité, par laquelle ils peuvent être augmentés jusqu’à l’infini.
Quod autem geometrae lineam infinitam postulant : non actu infinitam lineam duci iubent : sed quae sensibus quidem videatur infinita, hoc est satis longa, veruntamen pro nostro arbitrio, protrahi potest : & fieri longior. Sic Euclides lib. I. Elem. propos. 12. & eodem lib. prop. 22 utitur [33] linea recta, ex una parte finita, ex altera infinita, seu ad voluntatem nostram, atque nostram delineationem perficiendam, satis longa.Quand les géomètres supposent une ligne infinie, ils n’imposent évidemment pas de mener une ligne infinie en acte, mais une ligne qui semble infinie du moins aux sens, c’est-à-dire assez longue, mais pouvant encore être allongée à volonté et ainsi devenir plus longue. Ainsi dans les Éléments (livre I, prop. 12 & 22), Euclide utilise une ligne droite qui est finie d’un côté et infinie de l’autre, c’est-à-dire suffisamment longue en fonction de notre volonté et de la réalisation du dessin.
Communia autem Theoremata, simpliciaque ex orta, ex unica atque sola scientia : quae sub se continet omnes alias Mathematicas scientias : sunt illa, quae traduntur de proportionibus, compositionibus, divisionibus, conversionibus, & permutationibus. Imo omnia quae de omnibus rationibus dicuntur, ut sunt multiplices, superparticulares, superpartientes, & quae his oppununtur. Et ut uno dicam verbo : quae universaliter & communiter circa aequale, & inaequale versantur, atque considerantur : non quatenus haec figuris, aut numeris, vel motibus insunt : sed utrumque horum per se : quatenus naturam habet quondam communem : & sui cognitionem praebet faciliorem. Sic & similitudo & dissimilitudo rationum, nullo modo a mathematicis generibus recedunt […]Les théorèmes communs et simples ont pour origine la seule et unique science qui contient sous elle toutes les autres sciences mathématiques, ce sont ceux qui traitent des proportions, des compositions, des divisions, des conversions et des permutations. Bien mieux : en provient tout ce qui se dit de tous les rapports, multiples, superparticuliers, fractionnaires, et les propositions opposées. Et pour m’exprimer en un mot : tout ce qui concerne universellement et communément l’égalité et l’inégalité, non en tant qu’elles sont considérées dans des figures, des nombres, ou des mouvements, mais chacune pour elle-même, en tant qu’elles ont ces deux caractères par elles-mêmes : de posséder une nature commune, et d’offrir une connaissance de soi plus facileg. Ainsi les rapports de similitude et dissemblance ne se séparent point des genres mathématiques […]
Sciendum autem est Metaphysicum quidem, communia haec principia : communiaque accidentia : & communes affectiones contemplari : melius tamen, in propriis, particularium scientiarum subjectis, quibus haec communia insunt : atque conveniunt : & plenius, perspicatiusque cognosci posse. Id quod in Institutionibus et Pandectis apparebit.Or il faut savoir que le métaphysicien contemple certes ces principes, ces accidents et ces affections communes ; mais que cependant ils peuvent être mieux, plus pleinement et plus lumineusement connus dans les objets auxquels ils sont inhérents et conviennent. Ce qui sera montré dans mes Institutions et Pandectes mathématiques.
a. Sur les sciences mathématiques : Dasypodius Conrad, Protheoria Mathematica, op. cit., prop. II, p. 5 « Quod si nunc nomen Matheseos, Mathematum, & mathematicarum scientiarum investigare velimus : unde suam originem accepit, quod cum Rhetorica quidem, Poetica, & vulgaris Musica, etiam absque disciplina, percipi possint, Mathematicae tamen, non possint a quoquam intelligi, nisi prius hisce operam diligentem dederit scientiis. Itaque a Mathesi, Mathematicae, & a discendo, disciplinae fuerunt dictae ». Cf. Règle IV, AT X, 37717. Dasypodius distingue les sciences mathématiques pures (arithmétique /géométrie) des sciences qu’il appelle « physicomathématiques ». Dasypodius Conrad, Institutionum mathematicarum voluminis primi erotemata, Strasbourg, Rihelius, 1593, p. 59 : « Posteriores vero praeter iam nominatas : sex alias adiecerunt scientas : quae quoniam sunt imperfectiores : & τοῖς ἀιστητοῖς, rebus sensibilibus occupantur : idcirco vulgo nominantur Physicomathematicae, ab Aristot. vero sunt appellatae ϕυσικώτεραι ».
b. Les Institutions mathématiques sont les deux manuels rédigés en 1567 (vol. I) et 1570 (vol. II). Les « Pandectes » sont des ouvrages encyclopédiques (littéralement : « qui contient tout en soi »).
c. Sur l’unité invariable de la science, indifférente à la diversité de ses objets, Cf. Regulae, I (AT X, 3607-10) : « […] cum scientiae omnes nihil aliud sint quam humana sapientia, quae semper una et eadem manet, quatumvis differentibus subjectis applicata […] », où l’on notera que la Règle I emploie, comme la Protheoria Mathemaica, « subjectum » au sens d’« objectum ».
d. Accident signifie ici « propriété », au sens de ce qui est attaché à une chose sans en constituer l’essence ; par exemple, pour un triangle, d’être isocèle.
e. La « voie brève et facile » est évidemment la méthode en son sens propre et étymologique, comme Dasypodius a pu l’apprendre de Melanchthon : « Ut autem alias nomen μέθοδος significat rectam et compendiariam viam, ita Dialectici ad ordinem explicationis rectissimum transulerunt hoc nomen ; ac significat hoc loco rectam viam seu ordinem investigationis et explicationis sive simplicium quaestionum, sive propositionum ».
f. Règle IV, AT X, 37723-378: « … illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis objecto, talis mensura quaerenda sit ».
g. DM II, AT VI 1929-20: « Mais je n’eus pas dessein, pour cela, de tâcher d’apprendre toutes ces sciences particulières qu’on nomme communément mathématiques ; et, voyant qu’encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s’accorder toutes, en ce qu’elles n’y considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s’y trouvent, je pensai qu’il valait mieux que j’examinasse seulement ces proportions en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à m’en rendre la connaissance plus aisée ».
[34] Propositio VIIIProposition VIII
Quaenam a Dialecticis Mathematicus petat : quae œconomia in tradendis disciplinis : quodve orationis genus Mathematicorum sit : docere.Enseigner ce que le mathématicien demande aux Dialecticiensa, quelle économie observer pour rapporter ces disciplines, et le genre du discours mathématique
Mathematici dialecticorum praeceptis maxime utuntur : unde Proclus in suis commentariis Euclideis : lib. I. cap. 14.
Dialecticam appellat vallum et sepimentum rerum mathematicarum, quae praeter alia, de quibus supra in officii mathematici dictum est : methodos etiam, tanquam instrumenta Mathematicis communicat. Cuiusmodi sunt, quae artificiosa analysi inveniunt : aut quae compositoria methodo tradunt : vel per definitiones & divisiones explicant : denique dubia si quae occurrunt : certis et firmis demonstrationibus muniunt, & corroborant.
Les mathématiciens utilisent principalement les préceptes des dialecticiens : c’est pourquoi, dans ses commentaires sur Euclide (I, 14) Proclus fait de la dialectique le « rempart » et la « clôture » des mathématiques, qui, outre toutes les autres choses dont il a été traité ci-devant, prête aussi aux mathématiciens des méthodes en tant qu’instruments. De telle sorte sont les choses que l’on découvre par l’analyse technique, ou dont traite la méthode compositive, ou qui sont expliquées par les divisions et les définitions ; enfin, si des doutes se présentent, ils s’en préservent en construisant les remparts de démonstrations fermes et certaines.
Itaque omnibus hisce methodis Dialecticorum utuntur. in principiis quidem explicandis definitiones sumunt : postea species a suis generibus distinguunt divisionibus. In inventionibus utuntur compositione et resolutione : atque eadem quoque adhibent in caeteris propositionibus, quae principia sequuntur. Praeterea seorsim de rebus subjectis praecipiunt : seiunctim de axiomatibus & postulatis, ex quibus fiunt demonstrationes. separatim denique ea quae rebus subiectis per se insunt : aut accidunt : tradunt. Quia enim haec natura ipsa distinxit : etiam docendo sunt distinguenda. Exempli gratia.Donc ils utilisent toutes ces méthodes des dialecticiens : dans l’explication des principes, ils ont recours aux définitions, puis aux divisions pour distinguer les différentes espèces de leurs genres. Dans l’invention est utilisée la composition et la résolution, ainsi que dans le reste des propositions qui découlent des principes. Ensuite ils enseignent les choses séparément des postulats et des axiomes dont sont faites les démonstrations ; et ils distinguent des objets les choses qui sont en eux ou qui leur arrivent.
[35] Geographus analytice, dum totam terram cognita perscrutari vult : primum universalia praemittit praecepta : universales terrae limites, eorumque divisiones, & distinctiones : postea ad tres terrae partes majores explicandas cum venit : Europam, Asiam, Aphricam : singulas in suas dividit provincias, quas etiam in suas urbes, oppida, pagos : tandem singulas & tuguria subdividit.Comme la nature même a distingué ces choses, il convient pour nous aussi de les distinguer dans notre manière de les traiter. Par exemple : Le géographe qui se propose de représenter la totalité du monde connu procède analytiquement : commençant par les choses les plus universelles, savoir les limites de la terre, leurs divisions et distinctions, il en vient ensuite à l’explication des trois parties principales de la Terre : l’Europe, l’Asie et l’Afrique, lesquelles il divise ensuite en leurs différentes provinces, puis en leurs villes, leurs forteresses et leurs villages, dont les habitations sont les éléments singuliers.
Contra geometra synthetice, a puncto facit initium, inde ad lineas, ad angulos, figuras planas, numero infinitas : corpora solida infinita usque egreditur. Quod & de Arithmetica similibusque scientiis Mathematicis intelligendum est. in quibus perspicue conspiciuntur praedictae Dialecticorum methodi.Au contraire le géomètre procède synthétiquement, en partant du point, il va à la ligne, puis de là aux angles et à l’infinité des figures planes : enfin il parvient à l’infinie diversité des corps solides. Cela s’entend aussi bien de l’arithmétique et des autres sciences mathématiques, dans lesquelles les méthodes des dialecticiens sont strictement observées.
Dicendum nunc aliquid erit : quasi sit œconomia, aut quis ordo, quaeve dispositio, in tradendis disciplinis mathematicis. Quoniam scientiae mathematicae, ex hypothesibus procedunt : atque ex finitis, certisque principiis, ea quae sequuntur demonstrant idcirco necesse est ut seorsim uniuscuiusque scientiae principia tradantur : & separatim conclusiones seu propositiones, ex principiis demanantes exponantur : praetera principiorum nulla facienda est demonstratio, sed eorum tantum, quae principia sequuntur. Nulla enim scientia, sua demonstrat principia : cum per sese sint manifesta : & fidem illis habeamus : tanquam iis, quae perspicua, aperta, notaque per se sunt : quae vero principa sequuntur : per principia nota fiant.Il faut dire à présent quelque chose de cette économie, ou de cet ordre et de cette disposition qui doivent être observés dans les disciplines mathématiques. Comme les sciences mathématiques procèdent à partir d’hypothèsesb, et de principes certains et finis, démontrant les choses qui en découlentc, il est par conséquent nécessaire de traiter séparément les principes de chaque science, et d’exposer à part les conclusions ou propositions qui découlent de ces principes. Des principes il n’y a pas de démonstration : seules en requièrent les choses qui proviennent de ces principes. Aucune science ne démontre ses propres principes, car ils sont manifestes par soi, et nous les tenons pour vrais, comme ceux qui sont évidents, notoires, et connus par rien d’autre qu’eux-mêmes. C’est par ces principes que sont connues les choses qui en découlent.
[36] Quod si quis de genere orationis Mathematicis consueta quaerat. Orationis genus ab aliorum scriptorum loquendi genere, diversum est. Nam mathematicis in suis synusii, usi sunt genere problematico et Theorematico. hoc est omnia sua, per propositiones tradiderunt : & in medium postulerunt. Quae autem mathematicis dicuntur synusiae : a grammaticis scholae, a Dialecticis enteuxes : a rhetoribus syzereseis, a Philosophis acroaseis, a Theologis Homiliae, a Medicis consilia, a Iurisconsultis consultationes appellantur.Et si l’on s’interroge sur le genre ordinaire du discours mathématique, il faut remarquer que ce genre oratoire est différent de tous les autres genres d’expression. En effet, dans leurs « synuses » les mathématiciens emploient le genre problématique et théorématique. C’est-à-dire qu’ils traitent de tout par des propositions et des postulats. Ce que les mathématiciens appellent « synuses » est appelé « écoles » par les grammairiens, « discours » par les dialecticiens, « cours oral » par les philosophes, « homélies » par les théologiens, « conseils » par les médecins et « consultations » par les jurisconsultes.
Quod autem Problematico, & Theorematico oriationis genere usi sint veteres Mathematici : facile licet colligere, ex Euclide, Archimede, Appollonio, Sereno, Theodosio, Ptolemaeo, caeterique summis mathematicis. Imo ex Platone, & Aristotele : qui quotiescunque Mathematicorum exempla citant : non nisi theoremata, & problemata, aut definitiones, aut postulata, aut axiomata proferunt : nudas inquam propositiones.Que les anciens mathématiciens aient fait usage du genre problématique et théorématique, ceci se laisse facilement conclure à l’examen d’Euclide, Archimède, Apollonius, Serenus, Théodose, Ptolémée, et d’autres célèbres mathématiciens. Bien plus chez Platon et Aristote, qui, à chaque fois qu’ils citent des exemples mathématiques ne le font jamais que sous la forme de théorèmes et de problèmes, de postulats et d’axiomes, et, en somme, sous la forme de propositions pures et simples.
Non aliter atque Hippocrates aphoristico usu est, orationis genere : & Iurisperiti legibus, titulis, atque paragraphis, Dialectici pronunciatis, & Syllogismis : Rhetores continuis orationibus, Theologi concionibus, res suas proponant & explicunt […]Ce n’est pas autrement qu’Hippocrate fait usage du genre aphoristique, et que, pour les proposer et expliquer, les juristes répartissent leurs contenus en titres et paragraphes, les dialecticiens en énoncés et syllogismes, les rhéteurs en discours ininterrompus, les théologiens en prédications […].
a. Sur la définition de la dialectique comme équivalent de la philosophie première, cf. Dasypodius Conrad, Protheoria Mathematica, op. cit., prop. I, p. 3 : « sciendum est principem et supremum locum obtinet metaphysicam, seu primam philosophiam, quam Platon etiam Dialectica appellat ».
b. La proposition X (p. 43) distingue les sciences particulières, qui ont pour principes des hypothèses, de la science première, anhypothétique : « Principia vero generali nomine hypotheseis vocantur, ad differentiam superioris scientiae aut primae philosophiae, quae unica est, et nulla nititur hypothesi, a qua reliquae scientiae suas petunt hypotheses. Dividuntur autem principia in hypotheses speciali nomine sic dictas : quas et definitiones appellant qui plerunque rerum subjectarum definitiones continent, deinde in aetemata seu postulata, tertio axiomata & communes notiones ».
c. Règle II, AT X, 36517-19 : « [Arithmetica & Geometria] nihil plane supponant, quod experientia reddiderit incertum, sed totae consistunt in consequentiis rationabiliter deducendis ».
Propositio IXProposition IX
Elementa et eorum institutionem : tradereEnseigner les éléments et leur institution
Cum itaque per propositiones Mathematici suas scientias explicent : videndum erit, quomodo illas distinguant. Primum omnium distinguunt hoc modo, quod aliae propositiones sint elementa nonnullae elementorum speciem habeant : denique sint propositiones, quae neque elementa, neque Speciem elementorum habentes : ab his sejunctae sint.Comme les mathématiciens expliquent leurs sciences à l’aide de propositions, il faudra voir comment ils différencient ces propositions les unes des autres. En premier lieu on distingue celles qui sont les éléments des autres propositions, celles que l’on dit élémentaires, et celles qui n’étant ni éléments ni élémentaires, en sont séparées.
Vocabulum autem Elementi, multiplicis significationis, & homonymum est : ut videre licet, apud Aristotelem lib. I d. Metaph. cap. 3. Et [38] secundum Menaechmum : duplici praecipue modo dicitur. Nam id quod confirmat & demonstrat : elementum est eius, quod confirmatur, & demonstratur : ut prima propositio apud Euclidem, est elementum secundae propositionis : & quarta quintae. Atque hac ratione multa Theoremata & Problemata dicuntur esse elementa inter se, quia alia ex aliis demonstrantur. Sic ex eo theoremate : quo dicitur, angulos extra figuras rectilineas esse quatuor rectis aequales : numerus angulorum internorum demonstratur : qui in trigono, duobus rectis aequales sunt.Le terme même d’élément a de multiples significations et il est équivoque, comme on peut le voir chez Aristote [Métaph. ∆, 3, 1014 a 25 sq.]. Et selon Ménechme, « élément » se dit principalement en deux sens. En effet, ce qui [dans une démonstration] confirme et démontre est dit élément de ce qui est confirmé et démontré. Ainsi la première proposition d’Euclide est-elle l’élément de la seconde, et la quatrième élément de la cinquième. Et de cette manière de nombreux théorèmes et problèmes sont dits éléments entre eux, car les uns sont démontrés par les autres. Ainsi c’est sur la base du théorème selon lequel la somme des angles externes d’un rectangle vaut quatre droits, qu’il est démontré que la somme des angles internes d’un triangle équivaut à deux droits.
Sed altero modo Elementum etiam dicitur : in quod, tanquam simplicius, dividitur id quod compositum est. atque hac ratione non quaevis propositio, dicetur esse elementum : sed omnium prima atque simplicissima, eorum quae in effectae rei productione sunt constituta. Sicuti postulata & axiomata, sunt theorematum & problematum elementa. Atque juxta hanc elementi significationem, constructa et facta sunt Euclidi Elementa.Mais « élément » signifie encore : ce en quoi, étant plus simple, le composé se divise. En ce sens, toute proposition ne peut être considérée comme élément, mais seulement celles qui sont les premières et les plus simples de toutes, et qui jouent un rôle proprement constitutif dans la production d’un énoncé. À ce point de vue, les postulats et les axiomes sont les éléments des problèmes ; et c’est selon cette signification du terme que sont construits les Éléments d’Euclide.
Sed altero modo elementa hic appellantur, illae propositiones, quarum contemplatio, ad aliarum quoque transit scientiam & cognitionem : & ex quibus dubiorum, quae in ipsis contingunt, sit solutio. Quemadmodum enim vocis literatae, sunt prima atque simplicissima principia, & quae dividi nequeunt : quibus nomen elementorum imponimus : omnisque ex his constat dictio & oratio. Ita quoque sunt quaedam Theoremata principalia totius Geometriae quae principii locum rationemque [39] habent, ad ea quae consequuntur quaeque diffusa sunt per omnia atque multorum accidentium demonstrationes praebent ea itaque nominantur elementa.Mais on appelle encore « éléments » ces propositions dont la connaissance permet de passer à la science et connaissance des autres choses, et qui contiennent la solution des doutes qui peuvent se trouver en elles. De même manière que les lettres sont les principes premiers et les plus simples, indivisibles, auxquels on donne le titre d’élémenta – c’est d’elles que procède tout énoncé et discours –, il y a certains théorèmes principaux en la géométrie, qui ont le statut de principes vis-à-vis de toutes les choses qui en découlent, et auxquelles ils sont inhérents : ils fournissent la démonstration de nombreuses propriétés et sont donc appelés « éléments ».
Optima autem elementa sunt ab Euclide conscripta : cuius quidem institutio elementaris est perfectio rationis, & mentis eorum qui Geometriae sunt studiosi ad universam adsequendam geometriam. Nam si ab his incipiamus, poterimus et alias huius scientiae partes intelligere, et omnem comprehendere varietatem quae in ea est. Imo absque his Elementis fieri nequit ut caetera quaecunque ad Geometriam pertinent adsequi possimus, neque tantum geometriae sed caeteris omnibus artibus atque disciplinis inserviunt.Or c’est Euclide qui a consigné les plus parfaits des éléments : sa doctrine des éléments est la perfection de la raison, et de l’esprit des géomètres qui étudient pour accéder à la géométrie universelle. En commençant par là, nous pourrons saisir les autres parties de cette science et comprendre toute la variété qui est en elle. Sans ces éléments il ne sera aucunement possible d’accéder aux autres choses qui relèvent de la géométrie, si bien qu’ils ne servent pas seulement la géométrie, mais aussi tous les autres arts et disciplines.
Quoniam in his Elementis congesta sunt, & coacervata, ipsa prima atque simplicissima theoremata & primis hypothesibus omnium maxime confinia atque propinqua, eaque omnia decenti ordine disposita. Denique aliorum demonstrationes, his tanquam notissimis utuntur, & ab his procedunt. Sicuti Archimedes in libris de Sphaera & cylindro, & Apollonius, Ptolemaeus Serenus, Theodosius, Autolycus, aliique omnes utuntur principiis seu primis propositionibus concessis et adfirmatis, minimeque dubiis.La raison en est que dans ces Éléments sont contenus et resserrés les premiers et plus simples théorèmes, et les premières hypothèses, parfaitement regroupées et toutes disposées selon l’ordre qui convient. Toutes les démonstrations que peuvent produire les autres les supposent parfaitement connues et en procèdent. Ainsi Archimède au livre De la sphère et du cylindre, Apollonius, Ptolémée, Théodose, Autolycus : tous utilisent ces principes ou premières propositions indubitables et les supposent généralement admises.
Quae vero in Elementorum constructione sint observanda : videamus. Quanquam difficile sit : deligere et ordinare, certa quadam ratione, unius cuiusque scientiae elementa : ex quibus caetera omnia producuntur : et in quae omnia resolvuntur, [40] tamen quicumque haec quatuor observaverit : difficultatem omnem facilem superabit.Voyons maintenant les règles qu’il faut observer dans la construction de ces éléments. Bien qu’il soit difficile de choisir et de disposer en ordre, par une raison certaine, les éléments d’une science, à partir desquels toutes choses sont produites, et en lesquelles toutes se résolvent, qui pourtant observera ces quatre règles surmontera facilement la difficulté.
I. Ut removeat omne superfluum. Quia illud maximum est impedimentum, in adsequenda scientiam : seu in discendo. Ita ut postea, illud necesse habeamus dicere. Necessaria ignoramus : quia non necessaria didicimus.1. Qu’il supprime tout ce qui est superflu. Parce que ceci fait obstacle à l’acquisition ou à l’apprentissage de la science, pour que, par la suite, nous ne soyons pas contraints de dire que nous ignorons le nécessaire, et cela parce que nous avons appris le superflu.
II. Ut maxime brevitati et perspicuitati studeatur, quae enim sunt contraria : nostram rationem et mentem turbant.2. Qu’il s’attache à la plus grande brièveté et à l’évidence. Tout ce qui est leur
est contraire perturbe la raison et l’esprit.
III. Ut maxime deligat ea, quae universa complectuntur : & id quod propositum est, concludunt. Cum enim ut Philosophus in Post. Anal. habet. universale, potentia in se comprehendat particulare : fit ut ii qui, in plura particularia doctrinam secant : vitium tautologiae incurrant, et intelligentiam discentis obruant, atque obtundantxi.3. Qu’il choisisse ce qui comprend les universaux et qu’il en conclue ce qui est recherché. Comme le dit le Philosophe dans ses Analytiques Seconds, l’universel contient le particulier en puissance, si bien que ceux qui divisent la doctrine en trop de préceptes particuliers courent le risque de la tautologie qui affaiblit et obscurcit l’esprit.
IV. Ut sciat œconomiam et ordinem in Elementis tradendis esse observandum. Est autem ille ordo, ut supra commemoravi. Ut scilicet seorsim tradantur principia, uniuscuiusque scientiae : & separatim propositiones, ex principiis demanantes, exponantur ; nec inter se principia, & ex principiis conclusa, confundantur. In ipsis vero propositionibus, eam dispositionem servet : ut simpliciora & quae adhibentur ad demonstrationes aliarum : praemittat iis, quae ex prioribus demonstrantur.4. Qu’il sache l’économie et l’ordre qu’il faut observer dans la doctrine des éléments. C’est l’ordre que j’ai rappelé plus haut. Il faut notamment que les principes d’une science soient traités séparément, et que soient exposées à part les conclusions qui en découlent, sans confondre ces principes et leurs conclusions. Dans les propositions mêmes, qu’il observe la bonne disposition, en plaçant les plus simples qui s’appliquent aux démonstrations des autres choses, avant celles qui sont démontrées par elles.
Quae quidem omnia in Elementis Euclideis observata esse : monstrare possum. Nam ut Proclus [41] docet, iuxta hosce modos omnes, inveniet quispiam Euclideis Elementarem institutionem : superare & antecellere omnes alias aliorum institutiones.Je peux montrer que toutes ces règles ont été observées dans les Éléments d’Euclide. Et comme le dit Proclus : en considérant ces modes, tout le monde découvrira que l’institution élémentaire euclidienne dépasse et précède toutes les autres.
Primum enim quae ex aliis jam traditis fiunt perspicua : tanquam superflua omisit. Sic trigoni scaleni & aequicruri constitutionem : tanquam ex genesi aequilateri notam, & manifestam omisit. Secundo brevitati et perpicuitati operam dedit : id quod cuiuis acuratius intuenti, est obvium.Premièrement, les choses qui sont désormais rendues évidentes par d’autres, il les omet comme superflues. Ainsi il omet de traiter la constitution des triangles scalènes et isocèles, en tant qu’elles sont suffisamment connues par celle du triangle équilatéral.
Deuxièmement quant à la brièveté et à l’évidence, il n’est que d’y jeter un œil pour s’en convaincre.
Tertio maxime universalia selegit : particularia praetermissit. Id quod inde apparet, quod ab aliis mathematicis tot inde petantur ut dictum est demonstrationes : & quae ab aliis tradita et explicata reperiuntur : per ista simplicia cognoscuntur.Troisièmement il choisit les plus universelles et les fait précéder : cela est manifeste, de ce que les propositions d’Euclide sont ensuite utilisées par les autres mathématiciens dans leurs démonstrations, et les choses qui sont découvertes par les autres ne sont connues que par celles-là, qui sont les plus simples.
Quarto et postremo, neque ordine neglexerit cum procedat a simplicioribusb, ad ea quae magis sunt composita varietatemque habent majorem : a communibus sententiis, postulatis atque definitionibus, ad Theoremata et Problemata, ex istis deducta. & ita haec omnia tractat, ut non solum rerum seriem, sed et ipsarum demonstrationum continuationemc optime custodiat. & semper posteriora, ex prioribus demanent : quod et manifestum est : qui se in his diligiter exercuerit. Hactenus de elementis.Enfin et quatrièmement, il ne néglige jamais l’ordre, en procédant toujours des choses les plus simples à celles qui sont plus composées et ont plus de variété ; des énoncés communs, des postulats et des définitions aux théorèmes et problèmes qui en sont déduits. Et il traite ainsi toutes choses, en sorte qu’il veille parfaitement non seulement à la série des choses, mais aussi à la suite de leurs démonstrations, dérivant toujours les propositions de leurs antécédents. Et ceci est manifeste pour qui s’y est tant soit peu exercé. Voilà pour ce qui concerne les éléments.
Propositiones vero quae elementorum speciem habent, sunt : quaecunque se ad plura extendunt : & simplicitatem quandam suavem & gratam habent : non tamen eam, quam elementa ipsa, propterea quod non ad universalem scientiam, [42] ipsorum communis sit contemplatio. Ut est illa propositio. Trigonorum perpendiculares, quae ab angulis ducuntur, ad ipsa latera : in uno puncto coïncidunt.Les propositions élémentaires sont celles qui s’étendent à plusieurs autres ; elles ont une simplicité délicieuse et souhaitable qui n’est toutefois pas telle que celle des éléments eux-mêmes, parce qu’elles ne font pas l’objet d’une appréhension commune par la science universelle. Ainsi cette proposition : que les trois lignes médianes d’un triangle coïncident en un point.
Denique propositiones, ab his sejunctae, quae neque contemplationem habent, in multas propositiones, sese diffundentem : necque quicquam elegans & cognitu dignum, patefaciunt : illae inquam sunt, extra vim & naturam eorum, quae speciem quandam elementorum prae se ferunt. Atque haec est prima Propositionum mathematicarum distinctio : sequitur altera.Enfin les propositions qui en sont séparées, et qui ne sont pas inhérentes à une multiplicité d’autres, qui ne mettent rien en évidence qui soit digne d’être remarqué, ces propositions, dis-je, ne participent pas de la nature et la vertu des propositions élémentaires. Ceci constituait donc la première distinction entre les propositions mathématiques. Il s’ensuit une seconde.
a. Entre Proclus et sa redécouverte par les lecteurs modernes d’Euclide, la théorie élémentaire n’est pas tombée complètement en désuétude. Le platonisme médiéval lui a consacré quelques développements remarquables (par exemple Campo Heimeric de, avec son Alphabetum, édition de Z. Kaluza, dans From Athens to Chartres, Neoplatonism and medieval Thought, Leiden /New York /Köln, Brill, 1992, p. 453-468, puis Opera Selecta 1, Fribourg, 2001, ou dans son Compendium Physicorum, édition de J.-D. Cavigioli, Freiburger Zeitschrift für Philosophie und Theologie, 1981/28, p. 351 ss.).
b. DM II, AT VI, 1827-31 : « Le troisième de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusques à la connaissance des plus composés ».
c. DM II, AT VI, 195 : « Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion de m’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s’entresuivent en même façon ». Cf. Dasypodius Conrad, Protheoria Mathematica, proposition IV, p. 14 : « Quis igitur in Mathematicis ordinem desiderabit ? qui videt omnia ita esse disposita in singulis scientiis ; ut primo loco simplicia et elementa, postea magis varia et composita collocentur ; qui posteriora prioribus tanquam per cathenam connexa deprehendit, qui denique principia primo loco exponi : postes ea quae ex principiis concluduntur animadvertit ».

Le texte seul est utilisable sous licence Creative Commons - Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International - CC BY-NC-ND 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.