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Les Fondements méthodologiques du savoir scientifique

 | 
Bernard Gangloff

III. Les plans expérimentaux

Texte intégral

1Nous allons essentiellement examiner les plans dits fishériens, du nom d’un américain, Fisher, qui les a mis au point.

2Les plans fishériens sont des plans que l’on va utiliser lorsque l’on a au moins deux V.I., quel que soit le nombre de modalités de chacune de ces V.I., et même si ces V.I. n’ont pas toutes le même nombre de modalités. Et parmi ces plans fishériens, nous allons commencer par étudier les plans factoriels, qui sont les plus simples. Nous verrons ensuite les plans en carré latin puis les plans gréco-latins.

1. Les plans factoriels

3Les plans factoriels sont caractérisés par le fait que tous les croisements y sont réalisés ; c’est-à-dire que chaque modalité d’une variable est croisée avec chaque modalité de chaque autre variable. Nous allons voir ce que cela signifie avec deux V.I.

1.1. Les plans factoriels avec deux V.I.

1.1.1. Commençons par deux V.I. à deux modalités chacune

4Nous aurons donc la variable X (avec X1 et X2) et la variable Y (avec Y1 et Y2). Soit le plan expérimental suivant, avec quatre cases numérotées de 1 à 4 (le nombre de cases est égal au produit du nombre de modalités de chacune des V.I. = deux modalités pour X × deux modalités pour Y = 4) :

X1

X2

Y1

1

2

Y2

3

4

5– Effets simples.

6Nous pouvons mesurer l’effet de la variable X en Y1, c’est-à-dire voir si il y a une différence entre X1 et X2 dans la situation Y1. Il suffira pour cela, après l’expérience, c’est-à-dire après avoir obtenu les résultats, de comparer le résultat qui sera inscrit dans la case 1 à celui qui sera inscrit dans la case 2. De manière plus formelle, on comparera X1Y1 à X2Y1 (Y1 étant commun, on aura donc effectivement une comparaison entre X1 et X2). C’est-à-dire que si l’on trouve une différence, celle-ci proviendra de l’influence, de l’effet, de la variable X ; a contrario, si aucune différence n’apparaît, cela signifiera l’absence d’effet de la variable X.

7Pour résumer, effet X en Y1 = 1 / 2 = X1Y1 / X2Y1 = Y1 (X1 / X2) = X1 / X2.

8De même, on pourra mesurer l’effet de la variable X en Y2. On comparera alors la case 3 à la case 4 : effet X en Y2 = 3/4 = X1Y2 / X2Y2 = Y2 (X1 / X2) = X1 / X2.

9Et l’on pourra aussi mesurer l’effet X de manière globale, c’est-à-dire indépendamment de Y ; sans tenir compte de Y. Pour cela, on comparera tous les X1 à tous les X2, c’est-à-dire les cases 1 + 3 par rapport aux cases 2 + 4 :

1 + 3 / 2 + 4

 = X1Y1 + X1Y2 / X2Y1 + X2Y2

 = 2X1 (Y1 + Y2) / 2X2 (Y1 + Y2)

 = Y1 et Y2 étant communs, on compare donc 2X1 / 2X2

10Corollairement, on peut étudier l’effet Y en X1 :

111/3 = X1Y1 / X1Y2 = X1 (Y1 / Y2), soit (puisque X1 est commun) Y1 / Y2.

12On peut mesurer l’effet Y en X2 :

132/4 = X2Y1 / X2Y2 = X2 (Y1 / Y2) = Y1 / Y2.

14Et l’on peut aussi mesurer l’effet Y globalement, c’est-à-dire indépendamment de X :

1 + 2 / 3 + 4

 = X1Y1 + X2Y1 / X1Y2 + X2Y2

 = 2Y1 (X1 + X2) / 2Y2 (X1 + X2)

 = X1 et X2 étant commun, on compare donc 2Y1 / 2Y2.

15– Prenons un exemple d’effets simples avec la mémorisation des mots avec ou sans signification. Cette première variable sera la variable X, et il faut bien sûr ajouter une deuxième V.I.. On va donc ajouter le genre des sujets, qui sera la variable Y.

16On peut d’abord se demander si il y a un effet « signification des mots » (c’est-à-dire un effet X) chez les hommes, c’est-à-dire en Y1. La question est donc : les hommes retiennent-ils plus facilement les mots avec signification que les mots sans signification ? Et pour répondre à cette question, on comparera, comme tout à l’heure, le résultat de la case 1 à celui de la case 2. Puis on se posera la même question pour les femmes et l’on comparera la case 3 à la case 4. Et l’on pourra aussi se demander, plus globalement, si il y a un effet « signification des mots » chez les hommes et les femmes confondus (on comparera donc les deux cases X1 aux deux cases X2, soit les cases 1 + 3 par rapport aux cases 2 + 4).

17Corollairement, on se demandera si il y a un effet genre (un effet Y donc), d’une part pour les mots avec signification (en X1) et d’autre part pour les mots sans signification (en X2). Les questions que l’on se posera donc ici sont : est-ce que les hommes et les femmes se différencient, d’une part pour la rétention des mots avec signification (en X1), et d’autre part pour la rétention des mots sans signification (en X2). On comparera donc, d’une part la case 1 à la case 3, et d’autre part la case 2 à la case 4. Et plus globalement, on pourra comparer l’effet genre avec les deux listes de mots confondus. La question sera alors : y a-t-il un effet genre, c’est-à-dire une différence entre les hommes et les femmes, quant à la rétention des mots, quels que soient ces mots (qu’ils aient ou non une signification). On comparera donc les cases 1 + 2 aux cases 3 + 4.

18– Interactions

19Nous avons vu que l’on pouvait étudier l’effet X non seulement globalement (c’est-à-dire non seulement en comparant tous les X1 à tous les X2), mais aussi pour chaque modalité de Y. C’est-à-dire d’une part l’effet X en Y1 (soit X1 par rapport à X2 en Y1) et d’autre part l’effet X en Y2 (soit X1 par rapport à X2 en Y2). De même, nous avons vu que l’on pouvait étudier l’effet Y non seulement globalement mais aussi séparément ; pour chaque X (soit Y1 par rapport à Y2 en X1, et Y1 par rapport à Y2 en X2).

20Maintenant, il peut être intéressant de se demander si par exemple X a le même effet (ou la même absence d’effet) en Y1 qu’en Y2 ; et de la même manière, on peut se demander si Y a le même effet (ou la même absence d’effet) en X1 qu’en X2. C’est-à-dire que l’on va se demander si il y a ou non des interactions. Si les effets ne sont pas les mêmes, on dira qu’il y a interaction ; dans le cas contraire, on dira qu’il n’y a pas interaction. En termes de définition, on dira qu’il y a une interaction lorsque l’effet d’une V.I. (sur une V.D.) est fonction de l’autre V.I. ; si l’effet d’une V.I. varie selon les modalités de la deuxième V.I., si cet effet n’est pas le même selon que l’on regarde la modalité no 1 ou la modalité no 2 de la deuxième V.I. J’ajoute que, bien évidemment, cela suppose que l’on ait au moins deux V.I.

21Pour voir si X a le même effet en Y1 qu’en Y2 (c’est-à-dire si la signification des mots a le même effet chez les hommes et chez les femmes, ou encore si la façon dont les hommes retiennent les mots avec signification par rapport à la façon dont ils retiennent les mots sans signification se retrouve chez les femmes), on comparera les cases :

221 – 2 (qui est l’effet X en Y1, chez les hommes) / 3 – 4 (qui est l’effet X en Y2, chez les femmes).

23Et pour voir si Y a le même effet en X1 qu’en X2 (c’est-à-dire si l’éventuelle différence hommes / femmes dans la rétention des mots avec signification est la même pour les mots sans signification), on comparera les cases :

241 – 3 qui est l’effet Y en X1 (l’effet genre pour les mots avec signification) par rapport aux cases 2 – 4 (qui est l’effet genre pour les mots sans signification).

1.1.2. Autres possibilités de plans factoriels avec deux V.I.

25Comme nous l’avons souligné précédemment, les deux V.I. peuvent ne pas avoir le même nombre de modalités. On peut ainsi avoir une première V.I. à deux modalités et une deuxième V.I. à trois, quatre, cinq ou plus modalités :

26Plus globalement, la variable X peut avoir deux, trois, quatre ou plus de modalités, de même que la variable Y :

1.2. Les plans factoriels avec trois V.I.

1.2.1. Trois V.I. à deux modalités chacune

27Nous avons ici huit cases (deux modalités pour X × deux modalités pour Y × deux modalités pour Z = 2 × 2 × 2 = 8) :

28– Effet X = tous les X1 / tous les X2

=

1

+

2

+

5

+

6

X1Z1Y1

+

X1Z2

Y1

+

X1Z1Y2

+

X1Z2Y2

/ 3

+

4

+

7

+

8

/ X2Z1Y1

+

X2Z2Y1

+

X2Z1Y2

+

X2Z2Y2

 =

4 X1 (Z1Y1

+

Z2Y1

+

Z1Y2

+

Z2Y2)

/ 4 X2 (Z1Y1

+

Z2Y1

+

Z1Y2

+

Z2Y2)

 =

4 X1 / 4 X2

29– Effet Y = tous les Y1 / tous les Y2

 =

1

+

2

+

3

+

4

Y1Z1X1

Y1Z2X1

Y1Z1X2

Y1Z2X2

/ 5

+

6

+

7

+

8

Y2Z1X1

Y2Z2X1

Y2Z1X2

Y2Z2X2

 =

4 Y1 (Z1X1

+

Z2X1

+

Z1X2

+

Z2X2)

/ 4 Y2 (Z1X1

+

Z2X1

+

Z1X2

+

Z2X2)

 =

4 Y1 / 4 Y2

30– Effet Z = tous les Z1 / tous les Z2

 =

1

+

5

+

3

+

7

Z1X1Y1

Z1X1Y2

Z1X2Y1

Z1X2Y2

/ 2

+

6

+

4

+

8

Z2X1Y1

Z2X1Y2

Z2X2Y1

Z2X2Y2

 =

4 Z1 (X1Y1

+

X1Y2

+

X2Y1

+

X2Y2

/ 4 Z2 (X1Y1

+

X1Y2

+

X2Y1

+

X2Y2)

 =

4 Z1 / 4 Z2

1.2.2. Autres possibilités de plans factoriels avec trois V.I.

31Là encore, chacune des trois V.I. peut avoir plus de deux modalités, et ce nombre de modalités peut être différent pour chaque V.I. Par exemple X à deux modalités, Y à trois modalités, et Z à quatre modalités (nous avons donc un plan à 24 cases : deux modalités pour X × trois modalités pour Y × quatre modalités pour Z = 2 × 3 × 4 = 24) :

1.3. Les plans factoriels avec quatre V.I.

1.3.1. Quatre V.I. à deux modalités chacune.

32Nous avons alors 16 cases (2 × 2 × 2 × 2 = 16) :

33Effet X : tous les X1 / tous les X2 → 8 X1 / 8 X2

34Effet Y : tous les Y1 / tous les Y2 → 8 Y1 / 8 Y2

35Effet Z : tous les Z1 / tous les Z2 → 8 Z1 / 8 Z2

36Effet V : tous les V1 / tous les V2 → 8 V1 / 8 V2

1.3.2. Autres possibilités de plans factoriels avec quatre V.I.

37Là encore, chacune des quatre V.I. peut avoir plus de deux modalités, et ce nombre de modalités peut être différent pour chaque V.I. Par exemple X à trois modalités, Y à deux modalités, Z à quatre modalités, et V à deux modalités (3 × 2 × 4 × 2 = 48 cases) :

2. Les plans en carré latin (ou en carré romain)

38Maintenant, on voit que les plans factoriels peuvent aboutir à un très grand nombre de cases. Ainsi, avec trois V.I. à trois modalités chacune, on a 27 cases (3 × 3 × 3) :

39Or il est possible, grâce aux plans en carré latin, de diminuer ce nombre de cases. Les plans en carré latin ne sont cependant possibles que lorsque l’on a trois V.I., ces V.I. devant en outre avoir le même nombre de modalités (quel que soit cependant ce nombre de modalités). Lorsque ces deux conditions sont réunies, on peut alors soit utiliser un plan en carré latin, soit employer un plan factoriel (il est en effet toujours possible d’utiliser les plans factoriels).

2.1. Plan en carré latin avec trois V.I. à deux modalités chacune

X1

X2

Y1

Z1 (case 1)

Z2 (case 2)

Y2

Z2 (case 3)

Z1 (case 4)

Tableau 1

40Ou :

X1

X2

Y1

Z2 (case 1)

Z1 (case 2)

Y2

Z1 (case 3)

Z2 (case 4)

Tableau 2

41– On peut là encore mesurer l’effet X seul. Soit, à partir du premier tableau :

Tous les X1 / tous les X2

=

1

+

3

/

2

+

4

=

X1Y1Z1

+

X1Y2Z2

/

X2Y1Z2

+

X2Y2Z1

=

2X1

+

Y1Y2Z1Z2

/

2X2

+

Y1Y2Z1Z2

=

2X1 / 2X2

(puisque Y1 Y2 Z1 Z2 sont communs)

42– ou encore l’effet Y seul = 1 + 2 / 3 + 4

43– ou l’effet Z seul = 1 + 4 / 2 + 3

44L’inconvénient, on le constate immédiatement, c’est qu’il est par exemple impossible de connaître l’effet X en Y1 toutes choses égales par ailleurs (c’est-à-dire Z étant maintenu constant). On peut certes comparer X1 à X2 en Y1 en comparant les cases 1 et 2. Mais dans ce cas, on compare en réalité X1 en Y1 Z2 (case 1) à X2 en Y1 Z1 (case 2) ; c’est-à-dire que Z n’est pas maintenu constant. En comparant la case 1 à la case 2, on compare donc tout autant X1Y1 à X2Y1 (c’est-à-dire X1 à X2) que Z1Y1 à Z2Y1 (c’est-à-dire Z1 à Z2). Si une différence est alors observée, on ne pourra donc pas savoir si cette différence provient de l’effet X ou de l’effet Z. Et il en est de même pour l’effet X en Y2 (c’est-à-dire pour la comparaison des cases 3 et 4). Ne pouvant ainsi connaître ni l’effet X en Y1 ni l’effet X en Y2, on ne peut pas savoir si ces effets sont identiques ou s’ils sont différents ; c’est-à-dire qu’on ne peut pas savoir si il y a ou non une interaction. Et l’on aboutirait aux mêmes conclusions en analysant l’effet Y en X1 par comparaison à l’effet Y en X2, ou en analysant l’effet X en Z1 par comparaison à l’effet X en Z2, etc. Cela signifie donc, et c’est le grand inconvénient des plans en carré latin, que l’on ne peut, avec ce type de plan, étudier les éventuelles interactions. Cela provient du fait que tous les croisements ne sont pas représentés ; que chaque modalité d’une V.I. n’est pas couplée avec chaque modalité de chacune des deux autres V.I.. Mais c’est aussi grâce à cela que le nombre de cases a diminué. En effet, avec un plan factoriel, on aurait non plus quatre cases (deux modalités pour chacune des trois variables, soit 2 au carré = 22 = 2 × 2 = 4), mais huit cases (2 × 2 × 2, ou encore, puisque chacune des trois variables a le même nombre de modalités, c'est-à-dire deux, deux modalités puissance trois = 23 = 2 × 2 × 2 = 8 cases) :

2.2. Plan en carré latin avec trois V.I. à trois modalités chacune

45Notons qu’il faut bien veiller à ce que chaque Z n’apparaissent qu’une seule fois, et dans chaque ligne et dans chaque colonne.

46Ici nous avons donc neuf cases (trois modalités pour chaque variable indépendante, soit trois au carré = 32 = 3 × 3 = 9), alors qu'avec un plan factoriel nous en aurions 27 (trois modalités pour chacune des trois V.I. = 3 × 3 × 3 = 27) :

2.3. Plan en carré latin avec trois V.I. à quatre modalités chacune

47On a donc ici 16 cases (quatre modalités au carré = 42 = 4 × 4) au lieu de 64 avec un plan factoriel (quatre modalités pour chacune des trois V.I. = 4 × 4 × 4 = 64) :

3. Les plans gréco-romains (ou gréco-latins)

48Nous avons vu que les plans en carré latin ne sont possibles qu’avec trois V.I., ces V.I. devant en outre avoir le même nombre de modalités. Que fait-on alors lorsque l’on a plus de trois V.I. ? Peut-on encore diminuer le nombre de cases ? Et bien oui, grâce aux plans gréco-romains. Ces plans sont utilisables lorsque l’on a quatre V.I. et que chacune des V.I. a trois modalités. La réalisation de ces plans est assez simple puisque l’on part en fait d’un plan en carré latin pour trois V.I. à trois modalités chacune, et l’on ne fait qu’y rajouter une quatrième V.I. à trois modalités. Et, par convention, on nommera chacune des trois modalités de cette quatrième V.I. par une lettre grecque (d’où le nom de plan gréco-romain, ou gréco-latin).

49Soit le plan en carré latin suivant, constitué de trois V.I. à trois modalités chacune :

X1

X2

X3

Y1

Z1

Z2

Z3

Y2

Z3

Z1

Z2

Y3

Z2

Z3

Z1

50On va donc y ajouter une quatrième V.I., elle aussi à trois modalités, modalités caractérisées par des lettres grecques :

X1

X2

X3

Y1

Z1 α (case 1)

Z2 β (case 2)

Z3 θ (case 3)

Y2

Z3 β (case 4)

Z1 θ (case 5)

Z2 α (case 6)

Y3

Z2 θ (case 7)

Z3 α (case 8)

Z1 β (case 9)

  • Et l’on peut mesurer l’effet X : tous les X1, par rapport à tous les X2, par rapport à tous les X3 (cases 1 + 4 + 7 / 2 + 5 + 8 / 3 + 6 + 9).

  • L’effet Y : tous les Y1, par rapport à tous les Y2, par rapport à tous les Y3 (cases 1 + 2 + 3 / 4 + 5 + 6 / 7 + 8 + 9).

  • L’effet Z : tous les Z1, par rapport à tous les Z2, par rapport à tous les Z3 (cases 1 + 5 + 9 / 2 + 6 + 7 / 3 + 4 + 8).

  • Et l’effet grec : tous les α, par rapport à tous les β, par rapport à tous les θ (cases 1 + 6 + 8 / 2 + 4 + 9 / 3 + 5 + 7).

51Là encore, il faut bien sûr veiller à ce que chaque Z n'apparaisse qu'une seule fois et dans chaque ligne et dans chaque colonne ; mais il faut aussi veiller que ce soit également le cas pour chaque lettre grecque. Enfin, il faut encore éviter d'avoir une association standard entre un Z particulier et une lettre grecque particulière ; c'est-à-dire qu'il faut par exemple éviter d'associer systématiquement Z1 et α. Le tableau suivant comporte donc des erreurs :

X1

X2

X3

Y1

Z1 α (case 1)

Z2 β (case 2)

Z3 θ (case 3)

Y2

Z3 θ (case 4)

Z1 α (case 5)

Z2 β (case 6)

Y3

Z2 β (case 7)

Z3 θ (case 8)

Z1 α (case 9)

52Dans ce tableau, on a bien veillé à ce que chaque Z n’apparaisse qu’une seule fois et dans chaque ligne et dans chaque colonne ; on a aussi veillé que ce soit également le cas pour chaque lettre grecque. Par contre, on voit que Z1 est systématiquement associé à α, que Z2 est systématiquement associé à β, et que Z3 est systématiquement associé à θ. Cela signifie que si l'on veut étudier l'effet Z (c'est-à-dire comparer tous les Z1 à tous les Z2 et à tous les Z3), on compare en même temps tous les α à tous les β et à tous les θ.

53Pour observer l'effet Z, on effectue en effet les comparaisons suivantes : 1 + 5 + 9 / 2 + 6 + 7 / 3 + 4 + 8. Mais pour étudier l'effet de la variable grecque, on effectue les mêmes comparaisons (1 + 5 + 9 / 2 + 6 + 7 / 3 + 4 + 8). C'està-dire que si l'on observe un effet Z, on ne sait pas si c'est effectivement un effet de la variable Z ou si c'est un effet de la variable grecque.

54Maintenant, comme dans les plans en carré latin, on a l'inconvénient de ne pas pouvoir étudier les éventuelles interactions. Cela provient ici aussi du fait que tous les croisements ne sont pas représentés ; que chaque modalité d'une V.I. n'est pas couplée avec chaque modalité de chacune des trois autres V.I.. Mais c'est aussi grâce à cela que le nombre de cases a diminué ; que nous n'avons que neuf cases alors qu'avec un plan factoriel nous en aurions 81 (3 modalités pour chacune des quatre V.I. = 3 × 3 × 3 × 3 = 81) :

© Presses universitaires de Rouen et du Havre, 2008

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