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La limite

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Jackie Pigeaud

Limite et transgression dans la théorie musicale antique

Brenno Boccadoro

Texte intégral

1La réflexion sur la limite traverse l’histoire de la pensée musicale occidentale d’une extrémité à l’autre de sa longue trajectoire. Elle puise ses racines dans le pythagorisme du Ve siècle pour terminer sa course dans les revendications théoriques de Schönberg sur l’émancipation de la dissonance. Les premiers vestiges tangibles sur son rôle fondateur dans la pensée musicale des origines émergent dans la présence massive de l’idée de segmentation dans la famille de quelques termes-clé issus de la racine indo-européenne « ar », qui donne « harmonie », « rythme » (arythmos), « arithmétique », « art », « articulation », qui renvoient tous à la fragmentation d’un continuum en unités discrètes mesurables, à l’instar de ratio, fractio, kairos, « raison » (-des intervalles), « fraction », « discrétion », « discernement », « critique », « crise ».

2L’extrême longévité de cette idée et de son arrière-plan conceptuel dans l’histoire de la pensée musicale de l’occident latin tient au rapport de nécessité reliant le langage sonore aux quantités discrètes de l’arithmétique musicale qui a servi d’unité de mesure pour la génération du système harmonique. Alors que dans les arts visuels l’artiste peut agir sur une matière malléable à l’infini susceptible de recevoir toutes sortes de formes et proportions mathématiques, rationnelles ou incommensurables, en musique l’absence d’un véhicule du sens segmenté en unités mesurables – déterminées ou non par des rapports rationnels ou incommensurables, comme dans le tempérament égal – exclurait la possibilité même d’un langage sonore porteur de signification. Faute d’une limite, la mélodie passerait d’un degré à l’autre comme la ligne continue que produirait une flûte à coulisse ; la confusion de tous les degrés d’une échelle finirait dans un chaos impénétrable à l’oreille, comme une série de postes de radio à ferrite modulant constamment leur fréquence. Nul doute que de nos jours cette musique puisse trouver des amateurs. Mais il est à craindre qu’après de longs efforts d’auto-conditionnement, elle ne produise qu’un effet de courte durée. En l’absence d’une limite, le système des hauteurs manquerait de l’unité de mesure nécessaire à la mise en relation des éléments de la grammaire musicale. La mémoire manquerait du repère nécessaire à comparer la qualité des liens reliant les évènements en succession dans le temps – sons, intervalles, tonalités, digressions harmoniques – et ce langage manquerait du facteur plus décisif pour la détermination de son sens et de sa valeur émotionnelle. Tous les intervalles seraient également égaux à eux-mêmes dans une morne et informe grisaille. Aucun critère ne permettrait à l’esprit de saisir l’altérité nécessaire à évaluer l’identité des ingrédients de la composition à travers leur caractère différentiel. L’oreille ne saurait distinguer la diversité de deux sons dissemblables. Faute d’une mesure commune, aucune note, aucun accord ou intervalle ne pourrait assumer la signification équivoque nécessaire à servir de dénominateur commun entre une tonalité et l’autre ; et l’idée même de modulation serait impensable. Le déroulement temporel de l’œuvre se traduirait dans un vaste tissus sonore uniformément informe qu’on pourrait interrompre à souhaits ou ad libitum sans produire aucun bouleversement notable, ni dans l’architecture interne de l’œuvre, ni dans l’esprit de l’auditeur, anesthésié dans ses attentes par la logorrhée sonore. Cette musique ne connaîtrait ni tension, ni résolution des tensions ; elle manquerait de l’altérité nécessaire à donner l’impression d’une direction entre un point et un autre de l’espace sonore ; à savoir celle d’un sens.

  • 1 Impossible, s’agissant de montrer l’extrême longévité de ce parallélisme entre perception et mathé (...)

3D’où la tendance des auteurs à élever des limites à tous les niveaux du système harmonique, du stade le plus élémentaire de la détermination des hauteurs fixes, à celui des frontières séparant les structures formelles plus complexes, en passant par les intervalles, les tonalités et les formules mélodiques. Le résultat le plus voyant de ce processus de cloisonnement a été le penchant des mathématiciens de la musique – pythagoriciens ou athées – à séparer l’ordre du désordre harmonique moyennant une borne érigée dans la série des nombres entiers générateurs des intervalles (1 : 2 : 3 : 4…). Et un autre aspect tout aussi tenace a été la confusion entre mathématiques et sensations qui a conduit les auteurs à désigner dans cette borne la limite mentale séparant le plaisir de la peine1, le pathos de l’apathie, les passions légitimes, morales et bien tempérées, de leur dégénérescence dans la musique transgressive et relâchée des « orgies impudiques des courtisanes ».

4Dans le cadre de l’optique « élémentaire » de la composition qui caractérise la théorie antique – qui accorde aux parties du système harmonique un rôle analogue à celui des éléments contraires en conflit dans les corps physiques –, la logique de la limite et de sa transgression a été le corollaire d’un autre principe bien connu, gouvernant aussi bien les systèmes musicaux que l’âme et ses facultés : la mécanique suivant laquelle un composé de qualités antagonistes change de caractère en glissant dans l’excès et le défaut suite à la transgression de la juste mesure garantissant la proportion des puissances. Ce principe, on l’a assez répété, gouverne toute la cosmogonie, la physique, la morale et la médecine humorale, à commencer par les fragments d’Alcméon de Crotone, qui qualifie d’« harmonie » l’isononomie des contraires. Et sur le versant de la théorie musicale il commande toute la logique des exempla exaltant la puissance psychotrope de l’harmonie : la définition de la vertu comme juste mesure et son glissement dans le vice ; l’horror vacui pythagoricien à l’égard de l’apeiron, principe protéiforme d’altération ; l’ostracisme platonicien, dans la République, à l’égard des instruments poeyplectra et polychorda multipliant, à travers la transgression du nombre de cordes réglementaire, les possibilités de digression de la mélodie dans les tons lointains ; la condamnation de l’harmonie lydienne « surtendue » (syntono-lydisti), et de son corrélatif relâché (chalara lydisti), dont les hauteurs pèchent par excès ou par défaut ; celle de l’aulos, instrument orgiaque et stochastique aux hauteurs indéterminées coulant comme l’airain fondu dans les conduites de l’âme pour transformer le guerrier en un mollusque, poltron et fuyant face à la limite des rangs serrés de l’armée ennemie.

  • 2 Iamblique, Vie pythagorique, 113. Jean-Paul Dumont, Daniel Delattre, Jean-Louis Poirier (éd.), Les (...)
  • 3 Homère, Odyssée, IV, 221. Voir Jackie Pigeaud, Melancholia, Paris Manuels Payot, 2008, p. 76.
  • 4 Homère, Odyssée, IV, 262-271.

5Tous les protagonistes convoqués de ce feuilleton répété sans cesse durant des millénaires transgressent des limites : Timothée de Milet, exilé de Sparte pour avoir rendu la musique « chromatique » et « multiple », suite à l’ajout d’une huitième corde au nombre des sept réglementaires fixé par les gardiens de la loi ; les générations d’adolescents pris de vin auxquels les freins inhibiteurs d’une harmonie sédative, morale et modérée, empêchant l’homicide d’un juge ou d’une courtisane ; Empédocle évitant un homicide dans un banquet moyennant un chant sédatif, qualifié de nepenthès2, sur un vers de l’Odyssée3 ; le jeune homme de Tauromémium détourné de sa fureur homicide par Pythagore moyennant une simple modulation au mode dorien ; Clytemnestre trahissant Agamemnon dès que les dieux consentent à Egiste de tuer le musicien que son mari avait placé à ses côtés pour lui conserver sa vertu4.

  • 5 À commencer par le plus connu, Andrew Barker.

6Le parti pris suivant lequel ces « spéculations » n’auraient rien en commun avec la réalité sonore de la musique grecque « proprement dite » – une thèse officielle chez les grands spécialistes5 – a tué dans l’œuf toute tentative d’examiner les tenants et les aboutissants de cette logique dans l’histoire de la théorie musicale antique. Cependant, un examen de quelques grands chapitres de la théorie antique – c’est là l’objet des pages à notre disposition – peut montrer que cet ordre d’idées n’a eu de cesse de préoccuper les philosophes et les théoriciens antiques.

  • 6 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

7L’histoire de la limite commence avec les pythagoriciens du Ve siècle. Les « éléments du nombre » – déclare Aristote dans le seul compte rendu fiable de cette doctrine –, « sont le pair et l’impair, celui-ci étant limité et celui-là illimité6 ». Cette identité, qui a fait l’objet de multiples interprétations dès l’Antiquité, a fait couler autant d’encre que la question homérique. Une nébuleuse de sens aussi impénétrable que le silence initiatique de Pythagore entoure le pythagorisme antique, et sa reconstruction – disons-le tout de suite – ne pourra que s’appuyer sur des conjectures. C’est pourquoi rien n’interdit de penser, qu’au départ, les premiers récits cosmogoniques sur l’harmonie universelle se soient appuyés sur des constatations empiriques très simples, déduites directement du comportement acoustique des corps sonores. Il n’est pas exclu, notamment, que tout a commencé lorsqu’un joueur de cithare, parcourant à tâtons les cordes de son instrument, s’extasia à l’écoute du charme produit par les intervalles consonants d’octave, de quinte, de quarte produits en touchant certains points critiques – nœuds et limites (horoi, « bornes territoriales » dans le jargon pythagoricien) – distribués en intervalles arithmétiques réguliers sur la longueur de ses cordes. De là à réaliser qu’une partie (1) de celles-ci pouvait produire l’octave avec le double (1 : 2) de sa longueur, la quinte avec son double et son triple (2 : 3), la quarte avec son triple et son quadruple (3 : 4) il n’y avait qu’un pas, que, selon la tradition, le divin Pythagore n’aurait pas hésité à franchir. L’identification des discordances issues de mouvements oscillatoires non périodiques dans des intervalles générés par des rapports incommensurables dépourvus de mesure commune, comme √2 : 1 (gr. alogos ; lat. ratio absurda), a dû conduire les pythagoriciens à regarder la consonance comme la conséquence d’un rapport de parenté reliant les deux sons de l’intervalle à travers l’intermédiaire de l’unité arithmétique (1) mesurant un nombre entier de fois l’un et l’autre extrême.

8Cette mathématique pouvait invoquer comme preuve les déductions faites à partir de la représentation spatiale des nombres moyennant des configurations de galets (gr. psephoi, lat. calculi, « petite pierre », racine de « calcul ») distribués sur le sable. La forme de n’importe quel intervalle désigné par des nombres entiers pouvait prouver que la consonance n’était que la conséquence de l’affinité établie parmi ses extrêmes par l’action médiatrice d’un module unificateur commun (1) réduisant ad unum l’opposition du pair et de l’impair ; par exemple les valeurs 2 et 3 désignant les deux sons, aigus et graves, d’une quinte :

9L’étape suivante a consisté à étendre le principe de cohésion des « éléments du nombre » à une échelle planétaire, de la composition de tous les corps physiques à celle de l’univers entier. Synonyme de communication, voire de « causalité transitive », l’action médiatrice de l’unité dans le pair et l’impair offrait un modèle réduit d’une efficacité redoutable pour l’interprétation de tous les phénomènes d’action à distance traversant la machine du monde. Tout ce qui pouvait être interprété en termes de relation s’est trouvé ramené à un problème de consonance et de dissonance entre éléments numériques contraires : de la vibration sympathique des cordes, aux enchantements de la magie, en passant par l’homéopathie, l’allopathie, l’attraction et la répulsion des aimants, l’astrologie, la musique de l’âme et du corps, la crase des humeurs, l’inspiration et les vertus efficaces de la musique. Comme la trigonométrie, l’harmonie reliait les phénomènes proches aux phénomènes lointains ; elle conjuguait le pair et l’impair, le masculin et le féminin, le même et l’autre, le semblable et le dissemblable en une vaste toile de rapports numériques hétérogènes.

  • 7 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

10La confusion entre le nombre et les choses s’est traduite par un abus de langage mathématique consistant à coiffer les nombres de propriétés étrangères à celles du nombre mathématique, empruntées aux qualités des corps physiques. L’exemple le plus éloquent est l’optique, peu compatible avec la logique, consistant à transférer la catégorie de la contrariété, issue de la physique des éléments, au pair et à l’impair – une confusion féconde qui a servi de fondement même au pythagorisme antique. Aristote s’est prononcé expressément sur ce point dans son historique de la philosophie des origines inséré dans l’exorde de sa Métaphysique : au lieu d’interpréter le monde comme une crase d’éléments contraires, comme leurs prédécesseurs ioniens, les pythagoriciens substituaient les éléments du nombre aux éléments physiques, reliant les affections (pathe te kai hexeis) de tout ce qui « est » et « devient » à une harmonie d’« éléments numériques » pairs et impairs7. À la crase des contraires dans les corps physiques répondait le tempérament du pair et de l’impair, du grave et de l’aigu dans les intervalles musicaux. Et l’oscillation des mesures gouvernant les caractères des mixtes pouvait invoquer comme modèle l’altération des qualités arithmétiques des rapports harmoniques produite par la crase du pair et de l’impair dans les intervalles, des rapports multiples, aux rapports incommensurables (alogoi), en passant par les rapports hémioles, épitrites, hérétomèques, promèques, consonants ou dissonants.

  • 8 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

11La cosmogonie pythagoricienne s’appuyait sur un autre principe, conjuguant la limite à l’illimité : le parti pris philosophique, voire religieux, consistant à ramener au même principe mathématique la cause matérielle du monde et la cause efficiente de son devenir8. Les pythagoriciens partageaient avec les atomistes l’idée d’une conception corpusculaire de la matière, mais au lieu de décomposer les corps en atomes inaltérables, ils constituaient une matière composée d’unités pourvues de toutes les qualités des corps physiques : poids, densité, dimensions spatiales, respiration, reproduction par « mitose ». Non contents de convertir la matière en nombres, ils engageaient dans cette même « matière » le principe de toutes ses transformations : le « pair » à la fois « élément du nombre » et ingrédient dynamique de son devenir.

  • 9 Aristote (Mét., 1091 a 13-17). Baldry, H. C., « Embryological Analogies in Early Cosmogony », Clas (...)

12Il n’y avait qu’un seul domaine, dans l’univers physique, dans lequel l’action conjuguée de ces deux principes pouvait avoir lieu : la matière vivante. « Bois » et « ouvrier », le monde naît et se développe suite à un principe de croissance « automoteur », indissociable de sa matière même. D’où le recours de la cosmogonie à des modèles empruntés à l’embryologie. Aristote l’a affirmé expressément en dénonçant l’abus pythagoricien qui consistait à supposer une croissance de ce qui est éternel à partir de « germes » ou « unités spermatiques » et à soumettre les entités mathématiques à la génération9.

  • 10 Plutarque, De E apud Delphos, 388 a-c.

13C’est dans le contexte de cette lecture vitaliste de la physique que trouve tout son sens un autre tesson isolé de cette philosophie : non contents de prêter aux nombres toutes les qualités des corps physiques, les pythagoriciens n’hésitent pas à leur prêter un sexe. L’argument « démonstratif » sur lequel on s’appuyait était tout trouvé dans les diagnostiques des propriétés des nombres révélées en distribuant des configurations géométriques de galets (psephoi) sur le sable. Tandis que l’unité indivisible (horos) logée au centre du premier nombre impair renvoyait au membre viril, le vide central du premier nombre pair10, espace béant, sans maître ni mesure, délimité par deux unités, s’est vu identifié à la matrice féminine et au chaos (de chaskein « bailler »), source nourricière de l’univers et principe protéiforme de toutes ses transformations. L’harmonie de l’univers est alors le résultat de l’Amour que l’impair fait au pair, à l’image des deux extrêmes dans les intervalles consonants. C’est là la thèse diffusée par Eryximaque dans le Banquet de Platon, par les métaphores sexuelles de la République sur le nombre fatal, et ensuite par les Pères de l’Église.

  • 11 Aristote, Mtaphysique, 1091 a 16.
  • 12 Aristote, Physique, 213 b 22 ; Métaphysique, 1091 a 13.
  • 13 Les traces plus consistantes de cette doctrine, du point de vue musical, figurent dans les spécula (...)

14Issu de l’action conjuguée d’un principe protéiforme fondamentalement démesuré, modéré et tenu en échec par une limite, le monde vint à l’existence au moment où le pair et l’impair, la limite et l’illimité s’accouplèrent harmonieusement dans la première unité spermatique androgyne « diploïde »11. C’est alors que le cœur de celle-ci commença à battre, à respirer l’air ambiant12, à frapper le rythme des saisons et des révolutions astrales pour se développer ensuite musicalement par génération harmonique, suite à la dichotomie d’une unité pair-impair (artioperittos) enfermant en son sein le principe de sa propre croissance, conformément au développement de l’embryon dans la matrice13.

15Si sa puissance n’avait pas été tempérée par la tendance protéiforme du pair, le monde ne serait jamais sorti de son embryon et son « harmonie » aurait été réduite à un interminable unisson, universellement incolore et identique à lui-même. L’hégémonie sans limites du pair aurait peuplé les airs et la terre de créatures monstrueuses et difformes, composées de membres incongrus, excroissances démesurées, de têtes sans oreilles et d’oreilles sans tête, comparables aux chimères produites dans la fantaisie d’Empédocle sous le règne de la Haine et de la Discorde.

  • 14 Appliquer au nombre le prédicat de la contrariété signifierait qu’il existe un nombre qui est le c (...)

16Une partie de propriétés qualitatives attribuées abusivement aux nombres mathématiques pouvait s’appuyer sur des analogies empruntées à la musique. Personne, parmi les historiens du pythagorisme antique n’a évoqué l’hypothèse suivant laquelle l’identité pair-illimité pouvait aussi invoquer le fait que, sur une corde sonore, le lieu du plus grand chaos harmonique se trouvait logé dans l’espace intermédiaire délimité par deux nœuds, alors que les sons distribués sur les limites aliquotes 1 : ½ : ⅓ : ¼… produisaient les consonances les plus parfaites. En outre il n’y avait guère d’autre domaine en dehors de la théorie musicale pour vérifier la thèse, magnifique et absurde à la fois14, qui reconnaissait dans le pair et l’impair les « éléments du nombre ». Seule la théorie arithmétique de l’harmonie permettait de montrer de manière évidente à l’oreille la manière dont la contrariété de l’aigu et du grave, réduite à un couple d’extrêmes numériques pairs et impairs dans les rapports hétéromèques (n + 1/n), pouvait s’harmoniser dans les intervalles consonants produits par ces mêmes rapports. Et seule la moderata varietas de ces rapports, variables suivant leur complexité et leur perfection, reproduisait comme dans un miroir la multiplicité variée des mixtes du monde élémentaire.

17Quant à l’équation entre l’impair et la limite, le pair et l’illimité, elle pouvait invoquer les méthodes d’analyse des propriétés dynamiques des nombres réalisées moyennant des configurations de galets distribuées sur le sable. La référence la plus ancienne à cette méthode figure dans un passage de la Physique d’Aristote consacré à l’identité pythagoricienne entre la limite et l’impair, l’illimité et le pair :

  • 15 Arist., Physique, III, iv, 203, a. Des éléments de réponse figurent chez Stobée : « si l’on ajoute (...)

Toujours selon eux [sc. les pythagoriciens], l’illimité c’est le pair, puisque c’est lui qui, embrassé et limité par l’impair, confère aux êtres leur illimitation. La preuve en est donnée par ce qui se produit en arithmétique : en effet si l’on ajoute les gnomons autour de l’unité, on obtient toujours une figure identique, tandis que si on les ajoute sans partir de l ‘ unité, la figure sera toujours autre15.

  • 16 Une solution figurait chez Simplicius, qui avait invoqué la dichotomie, l’infini de l’intervalle c (...)

18Jusqu’au début du XXe siècle, la plupart des philologues modernes confrontés à ce passage de la Physique jettent l’éponge, déroutés par l’absurdité suivant laquelle un nombre entier comme 2 puisse être qualifié d’illimité ou d’infini16. Puis, avec l’assouplissement de l’acharnement philologique, ce texte finira par révéler la plupart de ses secrets. Synonyme d’« équerre », et par extension de « cadran solaire », « instrument de connaissance », le terme « gnomon » désigne la disposition de séries dynamiques d’unités autour des deux côtés d’une série d’équerres rangées autour du premier nombre impair (1) et du premier nombre pair (2).

  • 17 La signification musicale de l’opération échappe aussi bien aux grands commentateurs d’Aristote co (...)

19Du point de vue strictement mathématique, cette manipulation démontre que l’addition des nombres impairs autour de l’unité produit une série de nombres qualifiés depuis de « carrés » 1 + 3 = 4 = 2² ; 1 + 3 + 5 = 9 = 3² ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4², tandis que la même opération répétée avec des nombres pairs autour du premier nombre pair conduit à une progression de formes rectangulaires, qualifiées d’« hétéromèques », (lat. pars altera longiores) 2 + 4 + 6 = 12 ; 2 + 4 + 6 + 8 = 20. L’ignorance des principes de l’arithmétique musicale a conduit bon nombre d’historiens de la philosophie à passer sous silence celle qui, probablement, représente la véritable signification de cette opération17. Le qualificatif d’hétéromèque appliqué à la série de nombres oblongs prouve que ce qui est en cause n’est pas l’aspect d’un nombre « en soi », mais l’évolution dynamique d’une série de rapports harmoniques, établis par les deux côtés de la figure géométrique produite par l’addition des unités autour du gnomon.

  • 18 Arist., Cat. 15 a 30.
  • 19 Hipp. , De Diaeta, I, 18, 14-26, p. 138.
  • 20 Philol., ap. Porph., In Ptol., 5, p. 91.

20Il apparaît avec évidence que la série des nombres oblongs, de l’un à l’infini, contient la forme de tous les intervalles musicaux, consonants et dissonants : 2 = 2 x 1 ; 6 = 2 x 3 ; 12 = 3 x 4 ; 20 = 4 x 5. L’opération prouve que, contrairement à la série des nombres carrés, le gnomon pair évolue en franchissant systématiquement le cadre de ses limites ; il grandit modulant à l’infini le rapport des côtés, intervalle après intervalle. Que le comportement du gnomon pair conduisait à une réflexion sur l’altérité apparaît clairement dans un passage des Catégories d’Aristote – curieusement ignoré par les interprètes –, où le gnomon impair se trouve rangé parmi les choses qui « croissent sans altération »18, ce qui prouve, e contrario, que le gnomon pair croît avec altération19. L’indication d’Aristote suivant laquelle « si l’on ajoute les gnomons autour de l’unité, on obtient toujours une figure identique, tandis que si on les ajoute sans partir de l’unité, la figure sera toujours autre », trouve tout son sens. Cela dit, cette argumentation n’éclaire qu’une partie de notre doctrine, car l’opération avait pour but de prouver que « l’illimité c’est le pair, puisque c’est lui qui, embrassé et limité par l’impair, confère aux êtres leur illimitation ». Cet énoncé pourrait supposer une lecture analogue à celle de Simplicius sur la dichotomie à l’infini d’une grandeur géométrique limitée par deux points. Mais on ferait erreur, car c’est le gnomon qui est en cause et non le partage d’un nombre pair en deux unités. Reste un dernier aspect de la même théorie, dont on trouve des traces dans la littérature néopythagoricienne. Depuis Boèce, l’évolution déformante du gnomon pair sera appelée à rendre compte de la cause mathématique de la dissonance. Suivant cette optique traditionnelle, dans la série des nombres hétéromèques produisant les consonances harmoniques, le degré de dissonance d’un intervalle augmente à mesure de la diminution de l’excès (hyperoche – le terme remonte à Philolaos20) séparant l’extrême majeur de l’extrême mineur de son rapport générateur. C’est pourquoi le rapport « multiple » produit les consonances les plus parfaites, comme dans l’octave (2 : 1) où l’extrême majeur contient un nombre entier de fois le mineur (1 + 1/1) ; cet excès perd la moitié de sa valeur dans la quinte (3 : 2 = 1 + 1/2), moins parfaite que l’octave ; il ne vaut plus qu’un tiers dans la quarte (4 : 3 = 1 + 1/3), un quart dans la tierce 5 : 4 = 1 + 1/4, un quatre-vingtième dans le comma syntonique (81 : 80 = 1 + 1/80). Plus le rapport se complique plus l’intervalle glisse dans la dissonance.

21Ces analyses ne seraient d’aucun intérêt pour notre propos si, dans un passage instructif du chapitre consacré à cette doctrine, Boèce n’avait pas conclu par la remarque suivant laquelle :

  • 21 « Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit, proporietatem servat continuae q (...)

diminuant l’extrème mineur à l’infini, le genus superparticularis [qui produit les nombres hétéromèques], conserve la propriété de la quantité continue. Il ne conserve rien d’intègre, mais il dépasse [le dénominateur] tantôt de moitié, tantôt du tiers, tantôt du quart. [2 : 1 = 1 + 1/1 ; 3 : 2 = 1 + 1/2 ; 4 : 3 = 1 + 1/3…]21.

22Autrement dit, le Pair renvoie à l’illimité car, dans la division des excès des rapports hétéromèques placés sous son contrôle, la continuité de l’espace géométrique fait irruption dans les quantités discrètes : un processus de division ouvrant une brèche dans l’infini mathématique, qui, poussé à l’extrême, exclurait la possibilité même que la dichotomie des excès puisse atteindre une limite.

23On remarquera que ces manipulations font état d’un stade de la doctrine consacré à ramener la multiplicité du monde et de son devenir à quelques principes numériques simples. « Instrument de connaissance » de l’univers, le gnomon condense en un magnifique symbole l’ensemble des lois mathématiques de l’harmonie universelle : la contrariété du pair et de l’impair, leur action conjuguée dans le devenir des corps physiques, la hiérarchie qualitative de l’un sur le multiple ; le rôle causal joué par la dualité dans la désagrégation des formes mathématiques des intervalles, leur glissement dans le chaos harmonique ; enfin, la manière dont une réalité indivisible, simple et universellement incolore – l’un – se décline progressivement dans le particulier sous l’action dichotomique du pair pour produire des parties de plus en plus « réfractaires au mélange » – pour employer une expression de Platon dans le Timée à propos de l’action de l’« Autre ». En effet, la théorie arithmétique de l’harmonie peut prouver qu’au-delà d’une certaine limite, les parties plus complexes du système harmonique, multipliées par elles-mêmes, ne sauraient recomposer le Tout dont elles sont issues, leur dissidence étant directement proportionnelle à la « haine » que le Pair a semé parmi leurs extrêmes. Philolaos, qui calcule la valeur numérique des intervalles diatoniques jusqu’à l’apotome (2187 : 2048) en multipliant et en divisant des rapports, a dû réaliser, en combinant les intervalles pour générer les modes, que trois tierces majeures justes à 5 : 4 – par exemple mi-sol#-ut-mi (5 : 4) – n’atteignent pas l’octave, car elles forment un intervalle (125 : 64) trop faible d’environ un quart de ton – un dièse enharmonique (128 : 125) – par rapport à l’octave (128 : 64) mi-mi (128 : 64 x 128 : 125 = 2 : 1).

24Sous l’égide du Pair, la génération des consonances à partir de la série infinie des nombres hétéromèques montrait que, de l’un à l’infini, le même principe qui avait produit les consonances les plus parfaites glissait progressivement, sans solution de continuité, dans la génération des dissonances les plus frustes. Ce même principe démontrait que ce penchant des formes mathématiques à transgresser les limites de l’harmonie agissait depuis l’intérieur même du nombre, tel le vers dans la pomme, conformément à l’indication d’Aristote sur l’immanence des causes efficientes du devenir. Ce qui incarnait une menace, à la fois pour la définition de la beauté comme harmonie que pour celle de la vertu comme juste mesure et modération. La méthode pythagoricienne destinée à pallier cet inconvénient, a consisté à élever une limite mathématique infranchissable en correspondance du quatrième terme de la série des nombres hétéromèques ; sorte de frein inhibiteur raisonnable, cautionné aussi bien par la raison que par les sens, qui a dû se faire jour tout naturellement. Bien entendu, aucun argument objectif, d’ordre mathématique, ne pouvait justifier une telle cloison. Mais les pythagoriciens, qui n’en étaient pas à une absurdité près, n’ont eu aucune difficulté à rendre compte de la nécessité de cette borne. Étant donné le dogme de la perfection de la décade, il suffisait de montrer que l’addition des premiers quatre termes de la série arithmétique coïncidait avec elle : 1 + 2 + 3 + 4 = 10. D’où une théorie de l’harmonie purifiée de toute dissonance. À l’instar de la décade, borne du retour périodique des termes de la série arithmétique, cette limite enfermait tous les intervalles issus de rapports dont l’extrême majeur était inférieur à quatre – l’octave la quinte et la quarte –, dans un espace clos, consonant et qualifié de « parfait ». Tous les autres passaient pour dissonants, à commencer par les deux tierces et les deux sixtes.

25Dans l’économie du système pythagorique l’idée de cette limite répondait à une autre nécessité : celle d’éviter l’inconvénient d’accorder le titre de consonance à des intervalles dont la multiplication se serait révélée incommensurable avec les intervalles qu’ils auraient dû restituer par leur multiplication ; à commencer par la tierce juste (5/4). En effet l’entêtement qui conduit les pythagoriciens à exclure du système cette tierce – intervalle pourtant hétéromèque produit par un rapport de la série arithmétique des nombres entiers – au profit du diton dissonant à 81 : 64, devait tenir au fait que, contrairement à son corrélatif « juste », elle coïncidait avec le produit de quatre quintes justes (3/2) ramené à l’intérieur de l’octave centrale (81 : 16/4 : 1 = 81 : 64).

La théorie de l’époque hellénistique

  • 22 En dépit du mode de division géométrique en 24 dièses égaux de l’octave, l’architecture générale d (...)

26L’essentiel de la théorie pythagoricienne concrètement musicale se résume à une théorie mathématique de la consonance conservée dans les fragments de Philolaos, dans les divisions d’Archytas des tétracordes, en une série d’analogies entre nombres, lettres, et sons de l’aulos dont on trouve des traces dans la Métaphysique d’Aristote et en une ossature modale (mi la si mi) ramenée à des nombres masculins et féminins décrite dans un fragment d’Aristote conservée dans le De Musica du Pseudo-Plutarque. Il est certain, en revanche, que cette théorie, qui réduit la consonance à des quintes, des quartes et des octaves, a contribué à donner une assise démonstrative aux méthodes de construction empiriques des harmoniai moyennant des tétracordes articulés par conjonction et disjonction, dont on trouve une description détaillée chez Aristoxène au quatrième siècle22.

27En dépit de son caractère très lacunaire, l’état de conservation des Éléments permet une idée assez claire du rôle de la notion de limite au sein du système harmonique. Les parties conservées contiennent des affirmations assez explicites pour affirmer qu’Aristoxène a consacré tous ses efforts à étendre l’hégémonie de la limite dans des sphères de l’espace musical jamais imaginées auparavant. Aristoxène insiste à plusieurs reprises sur l’analogie, déjà attestée dans le pythagorisme et diffusée par Platon dans le Philèbe, entre la composition mélodique et le discours. Comme la grammaire combine les sons dans des unités morphologiques plus complexes, syllabes, mots, phrases, périodes, la musique articule des notes dans les intervalles, des intervalles dans les tétracordes, des tétracordes dans les systèmes et les tonoi. Et comme les lois de la grammaire interdisent l’articulation de certains sons, il existe certaines limites dans les lois de la musique interdisant la combinaison de certains intervalles. D’où la distinction de deux genres de mélodie, une mélodie qualifiée de « discordante », où aucune restriction n’interdit la libre succession des notes, et une mélodie « harmonisée », gouvernée par des limites précises excluant certaines combinaisons jugées contraires aux normes de la composition. La mélodie « harmonisée » est à la première ce qu’une matière structurée est à un simple substrat informe.

28La syntaxe de la mélodie harmonisée s’édifie sur une hiérarchie de plusieurs limites gouvernant des strates formels du système de plus en plus abstraits. Sa dimension plus élémentaire est le mouvement de la voix en oscillation dans l’espace entre l’aigu et le grave. Naturellement continu dans la voix parlée, il passe dans les quantités discrètes qui font l’objet de la musique lorsque la voix s’arrête sur un degré déterminé, qualifié de stase et de « limite » du mouvement. L’espace intermédiaire compris entre deux degrés définit l’intervalle, lieu de la tension et du mouvement. Plusieurs differentiae définissent les propriétés spécifiques des intervalles : la consonance, la grandeur, l’espèce, qui varie en fonction de l’ordre de succession variable des intervalles internes. La quarte est un intervalle simple, le tétracorde divisé en deux tons et un demi-ton est un intervalle complexe. Certains intervalles sont modulants car équivoques ; les autres appartiennent à un seul ton. L’unité de mesure de tous les systèmes plus complexes est le tétracorde enfermé dans une quarte juste, le plus petit parmi les intervalles consonants.

  • 23 Deux tétracordes sont dits conjoints lorsque la note la plus aiguë du plus grave coïncide avec la (...)
  • 24 Aristoxène, Elementa Harmonica, ed. Rosetta da Rios, Roma, 1954, 56,6, p. 70.

29Des limites précises gouvernent l’articulation des tétracordes, qui doivent être disjoints23 (//) deux à deux (si-mi-si//la mi-si) pour éviter que la mélodie bifurque dans un tonos différent suite au non respect de l’identité des octaves. Aristoxène qualifie de « limites » (horoi)24 les deux sons extrêmes des tétracordes (mi –fa-sol-la =hypate, parhypate lichanos mèse). « Fixes » et invariables en dépit de toutes leurs positions dans le registre, elles enferment deux sons intermédiaires qualifiés de « mobiles » (fa et sol). Aristoxène consacre une longue discussion pour déterminer les bornes exactes de la marge accordée à leurs mouvements, dont la valeur en dièses commande l’altération des tétracordes suivant le genre, « diatonique », « chromatique » ou « enharmonique ». Marque la frontière entre un genre et l’autre la position occupée par la lichanos – « indicatrice » [du genre] dans l’espace intérimaire du tétracorde. Le caractère (ethos) du tétracorde maintient sa coloration diatonique tant que cette note ne dépasse pas la moitié géométrique du tétracorde en direction du grave, à savoir un intervalle de 5 quarts de ton (la quarte en contient 10). Le « relâchement » de la lichanos au-delà de cette limite en direction du grave, entraîne le passage du genre d’abord dans les lieux du chromatique, ainsi que de l’enharmonique, lorsque l’intervalle entre la mese et la lichanos atteint la valeur d’un diton (la fa). Le mouvement de la lichanos en direction du grave produit un caractère qualifié de « fort », « dur », typique des « anciens modes de composition, typiques de la première et de la deuxième époque ». Son élévation marque un penchant à adoucir (glykanein), en honneur, selon l’auteur, dans la musique de son temps.

30Enfin, au dernier stade de sa complexité, lorsque la composition emploie les tonoi et module d’un ton à l’autre dans le registre (metabolè), il est des limites qui empêchent la mélodie de franchir le système-cadre du tonos et dont la transgression conduit à une déviation (parekbasis) de celle-ci dans une autre tonalité et une autre région de la voix. Par exemple, parvenue à la note plus aiguë (mèse) du tétracorde des hypates (mi-la), la mélodie « bifurque » dans un ton plus grave d’une quarte si elle emprunte le chemin du tétracorde des conjointes, déviée par sa note limite plus grave (mèse) et sa trite synemmenon.

31Enfin, au moins deux passages des Éléments accordent à la limite un rôle crucial dans la compréhension de la musique, définie comme la perception simultanée des « éléments stables et mobiles » dissociés par la mélodie dans les différents niveaux formels du système.

  • 25 Ch.-E. Ruelle, Éléments harmoniques d’Aristoxène, Paris, 1871, II, ch. I, § 10 p. 52.

Il ne faut pas ignorer que l’intelligence de la musique consiste à la fois dans la stabilité et dans la mobilité, et que ces caractères s’étendent presque à la musique toute entière, pour parler sommairement et sur chacune de ses parties. En effet nous percevons directement les variétés de genres en considérant la stabilité de la grandeur compréhensive, et la mobilité des grandeurs moyennes, tantôt lorsque, pour ce qui est de la grandeur fixe, nous lui donnons le nom de l’intervalle de la hypate à la mèse et celui de la paramèse à la nète (car, bien que la grandeur soit constante, il arrive néanmoins que les puissances varient), tantôt lorsque une même grandeur, telle que la quarte, la quinte et les autres consonances, a plusieurs formes ; tantôt encore lorsqu’un intervalle produit une métabole ou mutation s’il occupe telle place et non pas s’il en occupe une autre25.

32Lorsque la mélodie passe d’un genre à un autre, l’auditeur perçoit l’altération du caractère (ethos) des tétracordes à travers le conflit établi par la transformation entre le mouvement de leurs notes mobiles et leurs limites invariables, communes aux trois genres de tétracordes. Encore, dans les tétracordes modulants reliant deux tonalités différentes, la grandeur de leurs limites demeure constante alors que la fonction des intervalles internes qu’ils renferment se transforme d’un tétracorde à l’autre. L’activité cognitive liée la compréhension de la musique – et à son effet émotionnel – est alors la conséquence d’une dissociation entre une « limite » invariable et un « contenu » variable.

33Cette optique dissociative, sans précédents dans l’histoire de la théorie musicale antique, est une des conséquences de la dichotomie forme-matière, empruntée par Aristoxène à son maître. Aristoxène est probablement le premier auteur dans l’histoire de la théorie musicale antique à avoir souligné avec l’insistance nécessaire la distinction entre la hauteur « matérielle » d’un degré de tension – une « note » – et la valeur (dynamis) qu’il assume dans le cadre d’un réseau de relations plus abstraites. Ainsi la même note peut assumer autant de fonctions que de tonoi dont elle fait partie, et les degrés de tous les tétracordes d’un même système parfait peuvent partager la même fonction. De plus, plusieurs tonoi présentant des fonctions différentes, aiguës ou graves, propres à des régions différentes du registre, peuvent communiquer en vertu du partage des mêmes limites.

34C’est dans ce point nodal de la théorie antique que cette philosophie de la limite et de ses transgressions rejoint la réflexion sur l’action de la musique sur les facultés mentales – et les analogies médicales examinées ci-dessus. En effet le jeu d’association et de dissociation des limites latent dans la dichotomie thesis/dynamis serait inefficace sans la tension produite dans l’esprit entre la confrontation des limites gravées dans la mémoire et celle des limites en acte dans la mélodie :

  • 26 Ch.-E. Ruelle, Éléments harmoniques d’Aristoxène, II, ii, 27, p. 61.

Évidemment, en effet, l’intelligence de chacun des chants musicaux acquise par l’ouïe et par les discernements [qui les observent] dans toutes leurs différences, résulte de l’étude des faits qui se produisent. Car le chant [est apprécié] dans sa production successive comme les autres parties de la musique, puisque la connaissance de la musique exerce deux facultés, la perception et la mémoire. C’est ainsi que l’on perçoit nécessairement le chant qui se produit, on se rappelle celui qui s’est produit ; et l’on ne saurait procéder autrement pour étudier les faits qui concernent la musique26.

35Ces remarques sur la dissociation des limites dans la perception musicale interviennent en conclusion au sommaire des parties de la théorie harmonique inséré dans le deuxième livre, après les définitions fugaces données de la métabole et de la composition mélodique. Que la tradition manuscrite n’ait pas conservé ces parties est plus que regrettable. Cependant on trouve des traces de ce qu’Aristoxène aurait pu dire à ce sujet dans les traités de l’époque successive, dans un chapitre consacré par Ptolémée à la modulation et dans le commentaire de Porphyre.

Ptolémée

36Ce jeu d’association et de dissociation des limites triomphe dans le système des tonoi de Ptolémée dans un des chapitres les plus complexes de toute l’histoire de la théorie musicale occidentale, où la même nomenclature équivoque désigne aussi bien des aspects de la même « tonalité » que les transpositions de celle-ci dans le registre, une équivoque qui nécessitera quatre siècles d’humanisme musical avant que les archéologues de la musique puissent en venir à bout. Ptolémée accepte le principe traditionnel, attesté depuis Eratoclès vers 400 avant J.-C., qui consiste à placer le caractère d’une configuration d’intervalles – ou du moins son substrat grammatical – dans une forme coextensive avec l’ordre de succession des intervalles diatoniques à l’intérieur de l’octave (eidos, species, aspect d’octave, « mode ») et calcule toutes les variantes modales de cette forme moyennant la « permutation cyclique » des intervalles compris entre les deux limites de son ambitus générateur. Deux méthodes combinatoires permettent de générer tous les aspects contenus en puissance dans la même octave. La première consiste à déplacer les deux extrémités des octaves sur les sons d’une même échelle stationnaire, – comme le pianiste parcourant successivement sept échelles d’octave sur les notes blanches de son clavier. L’échelle sous-jacente conserve sa forme, mais les limites de l’ambitus se déplacent ; l’ordre de succession des intervalles par rapport au carde relatif de ces limites se modifie alors à chaque étape : lorsque le système sous-jacent est diatonique, les demi-tons sont tantôt en première position, tantôt en deuxième et ainsi de suite.

37La deuxième méthode consiste à maintenir les limites de l’ambitus stationnaires et à déplacer l’ordre de succession des intervalles internes moyennant des altérations. Dans ce cas la hauteur des deux limites extrêmes de l’intervalle demeure invariable alors que les altérations insèrent dans son espace intermédiaire sept ordres de sons étrangers à l’octave diatonique de l’espèce initiale.

38Alors que la première technique produit des espèces appartenant au même tonos, la seconde aboutit à loger parmi les limites extrêmes du même intervalle générateur sept segments propres à sept tonoi placés dans des régions plus aiguës ou plus graves du registre. Cette option permet de centrer dans l’ambitus de la même octave centrale mi-mi sept aspects d’octave conjugués à sept tonoi en élévation dans le registre. Dans cette seule condition, la nomenclature descendante des aspects d’octave antiques (dorien mi-mi, phrygiens ré-ré ; lydien ut-ut…) coïncide avec celle de l’ordre ascendant des tonoi, l’aspect dorien figurant au centre (parmi les deux lignes verticales dans l’exemple ci-dessous) du tonos dorien, le phrygien au centre du phrygien et ainsi de suite.

  • 27 Ainsi la note « la » peut tour à tour assumer la valeur de tonique (mèse) dans le tonos dorien (« (...)

39Dans ce diagramme général, Ptolémée, distingue deux ordres de limites, dans le dessein délibéré de le voir dissocié et associé dans la fantaisie de l’auditeur sous l’impact des modulations. Comme Aristoxène, il sépare la hauteur « matérielle » (thesis) des notes, de la valeur (dynamis) qu’elles peuvent assumer dans le cadre des relations fonctionnelles d’un autre tonos. Il entend par thesis, la puissance « statique » du substrat matériel (hypokeimenon) du système parfait « dorien » « posé » dans la partie centrale du registre ; et il qualifie de « dynamiques » les valeurs que ces mêmes notes peuvent assumer dans les sept tonoi en élévation dans le registre (voir ci-dessus les tonoi phrygien, lydien, mixolydien, hypodorien, hypophrygien, hypolydien). Pour compliquer davantage la matière, mais de manière parfaitement cohérente, il désigne les mêmes sons par des nomenclatures différentes, kata thesin ou kata dynamin, en fonction de la valeur que les valeurs du tonos dorien peuvent assumer dans les autres tonoi27.

  • 28 La raison tient probablement à la volonté d’homologuer la théorie harmonique au langage scientifiq (...)
  • 29 Ptol., Harm., II, 5, p. 52, 10-15.

40Les limites thétiques définissent la puissance statique du substrat matériel de la modulation, à savoir les notes fixes du tonos dorien altéré par la permutation cyclique des intervalles lors de la modulation ; les limites dynamiques, les puissances contraires (aiguës et graves) des tonoi enfermées en puissance dans le registre28. En dépit des marques imprimées par ces dernières dans le corps de la mélodie au cours des modulations, et en dépit de l’irruption de notes-limite propres à des dynameis hétérogènes, propres à des tonalités différentes, la puissance thétique du système dorien ne cesse pas moins d’exercer son hégémonie sur le parcours de la voix. Ptolémée peut alors décrire la métabole comme un « glissement » entre deux cadres formels antagonistes, qualifiés de « limites de la voix » (thesis) et du « melos » (dynamis). Lors de la succession de nouvelles relations dynamiques29, le dessin mélodique vient graviter autour de nouvelles notes-pivot et l’ossature modale se déforme, mais au contraire des modulations connues dans la musique tonale où une forme succède à une autre en l’abolissant jusqu’au retour de la tonique, les notes fixes du tonos dorien persistent à exercer leur puissance sur le contour mélodique. Excepté le tonos dorien, la mélodie gravite autour de deux ordres de notes-pivot, gravitant autour de deux mesai (notées sous la forme d’une brève et d’une semi-brève dans l’exemple ci-dessus). D’où un excès et un défaut, une tension entre une norme et une déviance résumée par l’écart séparant les deux mesai. En effet la mèse est à la mélodie ce que l’unité est à l’arithmétique et le point à la géométrie. Iamblique nous informe que c’est la mèse du tonos dorien qui, dans la pratique de l’exécution, fournit le point de départ à l’accord de la cithare par quintes et quartes. Et dans un cadre théorique c’est elle qui situe le tonos dorien qui en est issu au juste milieu entre les deux tonoi extrêmes du système général, – c’est-à-dire au centre, en quatrième position au milieu de sept tonoi (1 : 4 : 7). Dans le huitième livre de la Politique, Aristote avait déjà mis le caractère stable du dorien sur le compte de sa position centrale dans le registre, entre le phrygien et le lydien. Ici, son rôle est analogue : fundamentum relationis de tout le système, il constitue le point de départ de tous les écarts, sorte de degré zéro de l’apathie. La différence est qu’ici deux ordres de limites antagonistes coexistent dans un même composé instable.

  • 30 Ptol., Harm., II, 6, p. 55, 20 sgg.; Porph. In Ptol., p. 169, 9.

41Le choc émotionnel implicite lors de la succession d’un ordre de limites à un autre est alors une entité mesurable. Réduit à ses termes minimes, le conflit entre deux tonoi se résume à une rivalité entre les deux extrêmes d’un seul intervalle reliant la mèse thétique à la nouvelle mèse dynamique établie par la modulation. Le réceptacle des impressions produites par ce phénomène est la phantasia, un substrat que Porphyre30 regarde comme une substance passive et malléable, semblable à la cire et que la dissociation des limites dans le corps de la mélodie est en mesure de déformer. Lors de la métabole, le cadre des limites thétiques gravées dans la mémoire se déforme (alloiosis) sous l’impact des nouvelles formes dynamiques amenés par la modulation.

  • 31 Ptol., Harm., II, 6, 55, sq. Cf. aussi Cleonides (Eisag., 13, p. 205) : « on fait des métaboles à (...)
  • 32 Le contexte de la discussion est celui de la recherche d’une série numérique permettant d’exprimer (...)

42La vertu déformante exercée par la métabole sur la phantasia est directement proportionnelle à la complexité du rapport des toniques mises en relation. L’impact est qualifié d’« agréable » lorsque ce rapport est bien proportionné, désagréable s’il est discordant31. Plus le rapport est dissonant, plus la transition paraîtra heurtée et dramatique. Aristoxéniens ou pythagoriciens, les auteurs paraissent unanimes sur ce point. Aristoxène avait divisé l’espace musical en géomètre, évitant de faire passer l’harmonie par l’arithmétique qualitative. Partisan de la voie moyenne, Ptolémée a rétabli le recours aux rapports, sans pour autant s’étendre sur l’arrière-plan « psycho-arithmétique » de sa doctrine de la modulation. À la même époque, des traces très éloquentes de cet arrière-plan émergent dans un passage instructif du commentaire au Timée de Plutarque, vraisemblablement trop « philosophique » pour avoir focalisé l’attention des spécialistes de la musique antique. Ce témoignage prouve l’existence d’une réflexion orientée à déterminer numériquement la position du système parfait transposé dans le registre à travers l’analyse de l’excès mathématique reliant son nouveau lieu à son point de départ32.

  • 33 Ps.-Aristote, Problèmes, XIX, 6, 918 a 10-15.

43Un partisan du pythagorisme ne pouvait pas trouver une confirmation plus tangible de ses convictions sur les mathématiques musicales que dans cette doctrine de la modulation – pas plus, d’ailleurs, que tout autre savant laïque, élevé dans la connaissance des sciences naturelles. L’équivoque krasis/ harmonia, établi par la médecine pythagoricienne pouvait encourager l’idée que la notion mathématique de l’excès séparant les extrêmes numériques des intervalles pouvait être appliquée aux perturbations de l’équilibre humoral dans le tempérament. Le même principe de base suivant lequel un système de rapports en équilibre universellement incolore se décline progressivement dans le particulier pour semer la dissidence dans les éléments de l’harmonie, était tout aussi compatible avec les indications fournies par l’analyse du gnomon pair, qu’avec l’identité pathos-anomalie33 latente dans la dissociation des limites dans cette théorie de la modulation – une théorie, qui, depuis Aristoxène, n’a été qu’une transposition musicale de la physique aristotélicienne du changement qualitatif.

Notes

1 Impossible, s’agissant de montrer l’extrême longévité de ce parallélisme entre perception et mathématiques, de ne pas citer les considérations de Rousseau à l’art. « Consonance » de l’Encyclopédie, paru ensuite dans le Dictionnaire de Musique : « Les vibrations ou les Sons de la dernière Consonance, qui est la Tierce mineure, sont comme 5 et 6, et l’Accord en est fort agréable. Que doit-il naturellement résulter de deux autres Sons dont les vibrations seraient entr’elles comme 6 et 7 ? Une Consonance un peu moins harmonieuse, à la vérité, mais encore assez agréable, à cause de la petite différence des raisons ; car elles ne diffèrent que d’un trentesixième. Mais qu’on me dise comment il se peut faire que deux Sons, dont l’un fait cinq vibrations pendant que l’autre en fait 6, produisent une Consonance agréable, et que deux Sons, dont l’un fait 6 vibrations pendant que l’autre en fait 7, produisent une Dissonance aussi dure. Quoi ! dans l’un de ces rapports les vibrations s’accordent de six en six, et mon oreille est charmée ; dans l’autre elles s’accordent de sept en sept, et mon oreille est écorchée ? Je demande encore comment il se fait qu’après cette première Dissonance la dureté des autres n’augmente pas en raison de la composition des rapports ? Pourquoi, par exemple, la Dissonance qui résulte du rapport de 89 à 90, n’est pas beaucoup plus choquante que celle qui résulte du rapport de 12 à 13 ? Si le retour plus ou moins fréquent du concours des vibrations était la cause du degré de plaisir ou de peine que me font les Accords, l’effet serait proportionné à cette cause, et je n’y trouve aucune proportion. Donc ce plaisir et cette peine ne viennent point de là. » Jean-Jacques Rousseau, « Dictionnaire de Musique » (= DM), ed. Jean-Jacques Eigledinger, Samuel Baud-Bovy, Brenno Boccadoro, Xavier Bouvier, in Œuvres complètes, Gallimard, Paris, 1995, coll. « Bibliothèque de la Pléiade », V, p. 728.

2 Iamblique, Vie pythagorique, 113. Jean-Paul Dumont, Daniel Delattre, Jean-Louis Poirier (éd.), Les présocratiques, Paris, Editions Gallimard, 1988, Empédocle, fr. A XV, 330-331.

3 Homère, Odyssée, IV, 221. Voir Jackie Pigeaud, Melancholia, Paris Manuels Payot, 2008, p. 76.

4 Homère, Odyssée, IV, 262-271.

5 À commencer par le plus connu, Andrew Barker.

6 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

7 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

8 Aristote, Métaphysique, 986 a 15.

9 Aristote (Mét., 1091 a 13-17). Baldry, H. C., « Embryological Analogies in Early Cosmogony », Classical Quarterly, 26 (1932), p. 27 – 34. A. Burkert, Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Nürnberg, Verlag H. Carl, 1962. (Erlanger Beiträge zur Sprach-und Kunstwissenschaft, 10), p. 34-35.

10 Plutarque, De E apud Delphos, 388 a-c.

11 Aristote, Mtaphysique, 1091 a 16.

12 Aristote, Physique, 213 b 22 ; Métaphysique, 1091 a 13.

13 Les traces plus consistantes de cette doctrine, du point de vue musical, figurent dans les spéculations de l’auteur du Régime hippocratique sur la génération harmonique de l’embryon. Hippocrate, Du Régime, R. Joly (éd.), Paris, Les Belles Lettres, 1985, VIII, 1, 482, p. 9 sq.

14 Appliquer au nombre le prédicat de la contrariété signifierait qu’il existe un nombre qui est le contraire du nombre.

15 Arist., Physique, III, iv, 203, a. Des éléments de réponse figurent chez Stobée : « si l’on ajoute autour de l’unité les gnomons impairs successifs, on obtient toujours un nombre carré ; mais si ce sont les gnomons pairs qu’on ajoute de même, ce sont des nombres hétéromèques et inégaux, dont aucun ne sera carré, qu’on obtient » (Stobée, choix de Textes, I préface, x, 22).

16 Une solution figurait chez Simplicius, qui avait invoqué la dichotomie, l’infini de l’intervalle compris entre les deux unités d’un nombre pair représenté dans l’espace sous forme de grandeur géométrique : « Les pythagoriciens, de leur côté, disaient que l’illimité est le nombre pair, parce que tout nombre pair est – au dire des commentateurs – divisible en deux parties égales, et que ce qui se divise en deux parties égales est, selon la division dichotomique, illimité, puisque la division en moités égales renvoie à l’infini. Au contraire, l’addition d’un nombre impair limite le pair, interdisant la division en moitiés égales. […] Il est évident que ce n’est pas aux nombres, mais aux grandeurs qu’ils appliquent la division à l’infini. » (Commentaire sur la Physique d’Aristote, 455, 20.)

17 La signification musicale de l’opération échappe aussi bien aux grands commentateurs d’Aristote comme Ross, Cornford, qu’aux historiens de la philosophie présocratique, comme Guthrie, Kirk, Raven, Schofield, ou J. Barnes, ainsi qu’à ceux du pythagorisme antique, comme Burkert. Quant à ceux de la musique antique, ils laissent ce chapitre aux philosophes, à commencer par Barker.

18 Arist., Cat. 15 a 30.

19 Hipp. , De Diaeta, I, 18, 14-26, p. 138.

20 Philol., ap. Porph., In Ptol., 5, p. 91.

21 « Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit, proporietatem servat continuae quantitatis. […] Superparticularitas vero nihil integrum servat, sed vel dimidio superat, vel tertia, vel quarta vel quinta. »

22 En dépit du mode de division géométrique en 24 dièses égaux de l’octave, l’architecture générale du système d’Aristoxène confirme les doctrines pythagoriciennes sur la consonance.

23 Deux tétracordes sont dits conjoints lorsque la note la plus aiguë du plus grave coïncide avec la plus grave de l’aiguë, comme mi la si en ascendant. Ils sont disjoints lorsqu’un intervalle, généralement d’un ton, les sépare. Les catégories de la disjonction et de la conjonction ont été empruntées à la théorie des proportions, que les systèmes traduisent dans le domaine sonore ; la progression de deux quartes comme 18 : 12 : 9 est continue, celle de deux quartes comme 12 : 9 : 8 : 6 est disjointe dans son centre par les deux extrêmes du ton 9 et 8.

24 Aristoxène, Elementa Harmonica, ed. Rosetta da Rios, Roma, 1954, 56,6, p. 70.

25 Ch.-E. Ruelle, Éléments harmoniques d’Aristoxène, Paris, 1871, II, ch. I, § 10 p. 52.

26 Ch.-E. Ruelle, Éléments harmoniques d’Aristoxène, II, ii, 27, p. 61.

27 Ainsi la note « la » peut tour à tour assumer la valeur de tonique (mèse) dans le tonos dorien (« la/si-mi-la/si-mi-la »), de lichanos dans le phrygien « si/ut#-fa#-si/ut#-fa#-si », plus grave d’un ton, de parhypate dans le lydien (« ut#/re#-sol#-ut#/re#-sol#-ut # »). Dans chaque tonos sa fonction est différente : dans le premier cas elle incarne une note fixe qui a valeur de tonique, dans les deux suivants une note mobile altérable suivant le genre. Cette dissociation intéresse aussi bien un degré donné que l’ossature générale des notes-limite articulées par conjonction et par disjonction dans les tonoi.

28 La raison tient probablement à la volonté d’homologuer la théorie harmonique au langage scientifique de la physique aristotélicienne : enfermées en puissance dans le système dorien thétique, les dynameis des tonoi en élévation dans le registre sont aux limites de ce système ce que les qualités affectives contenues en puissance dans l’eau – le chaud et le froid – sont à cette dernière en tant que substrat. Lors de la modulation, les dynameis des tonoi passent de la puissance à l’acte faisant émerger des propriétés de l’aigu et du grave dans leur substrat thétique. Connue depuis Aristoxène, la terminologie qui qualifie la transition modulante d’un tonos à un autre tantôt de « métabole », tantôt d’« altération » (alloiosis), montre la dette que cette logique dissociative entretient avec la physique aristotélicienne du changement. Synonyme, au sens large, de « revirement soudain », de « péripétie », comme dans la célèbre définition de la Poétique aristotélicienne, la valeur technique de métabole renvoie aux trois formes du changement posées par Aristote : la génération (genesis aplos), la corruption (phtora kat’ousian) et le mouvement (kinesis ou genesis tis). La troisième comprend les mouvements relatifs aux catégories de la quantité, de la qualité et du lieu ; à savoir : la croissance (auxesis), l’altération (alloiosis) et la translation (phora) (Arist., Cat., 1 b 27, 2 a 2-3 ; Top., 103 b 23 ; cf. Phys., 226 a 25). Contrairement à l’altération, la génération engage l’essence, opérant une transformation radicale du substrat en quelque chose de fondamentalement différent : elle engage la génération et la destruction conjuguée des êtres ou des corps physiques qui naissent les uns des autres, par exemple, quand tout le sperme se transforme en sang, ou l’air devient du feu. En revanche le changement comporte altération lorsqu’il intéresse les qualités accidentelles sans modifier le substrat (Arist., De Gen. et Corr., 317 a 20 ; cf. 328 a 23-328 b 22). On connaît la formule célèbre du traité sur la Génération et la Corruption (Arist., De Gen. et Corr., 319 b 10) : étant donné, d’un côté, le substrat soumis au changement et, de l’autre, l’affection qualitative, on a altération lorsque la substance change par rapport à ses qualités, alors que le substrat demeure identique et perceptible. Subit une altération l’organisme qui retrouve la santé, l’airain, tantôt rond tantôt anguleux, l’eau, tantôt chaude tantôt froide ; les substances qui impliquent des variations de densité ; les sens et les organes de la perception (Arist., Cat., 9 a 27 ; 9 a 32 ; Phys., 244 a 27-28 ; 245 a 17-18), car nous percevons la musique suite au mouvement des esprits dans la catégorie de la qualité. Quant aux affects, Aristote précise que ni les vertus ni les vices ne constituent des altérations, la vertu étant une entité statique (Arist., EN, 1174 a 13-1175 a 3 ; Cat., 8, b 30-35 ; Phys., 246 a 10). Toutefois, compte tenu de la relation étroite entretenue par chaque vertu éthique avec le plaisir et la peine, qui en sont susceptibles, le processus évolutif qui conduit aux attitudes éthiques implique altération des puissances corporelles et des sens intérieurs (Arist., Phys., 247 a 20 ; Phys., 245 a 10 ; 247 a 5). Aristoxène a été probablement le premier à tirer parti de cet outillage mental pour rendre compte des métamorphoses du système harmonique. Il a été suivi par tous les auteurs de l’époque hellénistique, dont Aristide Quintilien, qui regarde la métabole comme une « altération (alloiosis) du système parfait servant de substrat (hypokeimenon) », ainsi que par Ptolémée dans sa théorie sur la modulation. Cette même optique a conduit Ptolémée à qualifier en termes de thesis la puissance statique du substrat matériel de la modulation, à savoir les limites du tonos dorien altéré par la permutation cyclique des intervalles ; et en termes de dynameis, les qualités contraires (aiguës et graves) des tonoi enfermées en puissance dans le registre et ramenées par la modulation dans les limites stationnaires de son ambitus thétique central. La raison tient probablement à la volonté d’homologuer la théorie harmonique au langage scientifique de la physique aristotélicienne : enfermées en puissance dans le système thétique dorien, les dynameis des tonoi en élévation dans le registre sont aux limites de ce système ce que les qualités affectives contenues en puissance dans l’eau – le chaud et le froid – sont à cette dernière en tant que substrat. Lors de la modulation, elles passent de la puissance à l’acte faisant émerger des propriétés de l’aigu et du grave à l’intérieur du cadre des limites thétiques du tonos dorien.

29 Ptol., Harm., II, 5, p. 52, 10-15.

30 Ptol., Harm., II, 6, p. 55, 20 sgg.; Porph. In Ptol., p. 169, 9.

31 Ptol., Harm., II, 6, 55, sq. Cf. aussi Cleonides (Eisag., 13, p. 205) : « on fait des métaboles à commencer du demi-ton jusqu’à l’octave, les unes suivant des intervalles consonants, les autres à travers des dissonants ; les plus mélodieuses se font à la distance d’un intervalle consonant ou d’un ton ; celles dont les distances sont les plus infimes sont les plus dures ».

32 Le contexte de la discussion est celui de la recherche d’une série numérique permettant d’exprimer les valeurs de l’échelle diatonique attribuée par Platon à la psychogonie harmonique de l’âme du monde moyennant des valeurs arithmétiques entières, sans le recours aux fractions. S’agissant de prouver la nécessité de gonfler les valeurs numériques pour trouver les valeurs permettant d’éviter cet inconvénient il ajoute : « étant donné que le nombre six ne contient pas de sesquicotave […], la situation même prescrit la multiplication, de la même manière dont dans la métabole harmonique tout le diagrame se trouve transposé sur un degré de tension plus élevé [en correspondance] du premier des nombres. » (« hosper en harmonikei metabolei tou diagrammatos holou synepiteinomonou toi protoi ton arithmon », Plutarque, De animae procreatione in Timaeo, 1020 c.)

33 Ps.-Aristote, Problèmes, XIX, 6, 918 a 10-15.

© Presses universitaires de Rennes, 2012

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