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L'arbre ou la Raison des arbres

 | 
Jackie Pigeaud

Quatrième partie. Points de vue symboliques

Pourquoi analyser l’usage mathématique des mots et des symboles de l’arbre ?

Jean Dhombres

Texte intégral

  • 1 Pour faciliter la lecture, mais aussi faute de polices adéquates, je ne note pas selon les signes (...)

1On le sait bien, Raymond Queneau ou René Etiemble l’ayant souvent illustré l’un de façon amusée, l’autre de façon révérencielle, les mathématiciens raffolent de mots ordinaires. Ils leur attribuent un sens si précis que la confrontation avec l’acception banale peut en rendre l’usage surréaliste. Cette rencontre n’est-elle qu’historique, au sens d’aléatoire, et hors de toute causalité épistémologique dans l’ordre de l’invention ? Il existe tant de ces mots – filtres, ouverts, classes, ensembles, fonctions, arbres bien sûr et tout autant racines – que l’on se prend à penser à des liens secrets. A contrario, comme certaines combinaisons ne sont pas assez cocasses, on les détourne avec plaisir : Queneau croyait avoir découvert un lapsus dans un des ouvrages sévères du fameux Nicolas Bourbaki, lisant des ensembles flirtants, en place de filtrants. Au témoignage de Pierre Cartier, ce sont les Bourbakistes eux-mêmes qui, avec la complicité de leur éditeur Hermann, avaient volontairement laissé passer la coquille, peut-être pour célébrer la notion de filtre inventée quelques années auparavant par l’un des leurs, Henri Cartan, notion algébrisant magnifiquement l’idée de limite. N’y a-t-il pas de quoi rêver quand le filtre englobe la limite ! S’inscrivant en faux contre ces rêves, les logiciens, et Pascal à leur tête au XVIIe siècle, conviennent qu’en mathématiques les définitions ne sont que de nom ; la bonne règle, pour ne pas se laisser embarquer dans de fâcheuses et factices analogies, consisterait à toujours remplacer mentalement le mot par sa définition explicite. Si c’est raisonner juste, à dénigrer toute importance aux mots ainsi choisis, à leur faire perdre leur origine, à souligner combien la convention est l’acte dominant, en luttant même contre le jeu de mots, on oublie autant l’histoire que l’épistémologie, et l’établissement même de l’usage d’un mot. Il paraît du coup être sans variations et sans hésitations. Disposer d’une tradition univoque a ses avantages puisque l’ouvrage de référence fut longtemps les « Éléments d’Euclide », ouvrage composé au IIIe siècle avant notre ère, jusque dans la plupart de ses mots, à commencer par celui d’« analogie » pour désigner une proportion. Mais ce choix me place au cœur de la possible activité de la métaphore dans le mot même ; je peux aussi voir dans l’usage prolongé un jeu de la remémoration de la découverte en tant qu’elle susciterait un seul sens possible. Est-ce en ce cas la mathématique qui avec son appareillage démonstratif confère sa force au mot, ou le bon choix d’un mot qui opère encore ? Du moins tant que cela s’avère nécessaire. Car d’expérience l’usage évolue, et aucun mathématicien n’utilise plus le mot analogie en son sens euclidien, dans la mesure où le mot proportion a été stabilisé. Il a effacé la « raison » ! Je crée la surprise par un mot, mais ne fais qu’utiliser la désignation mathématique d’un rapport de deux grandeurs, rappelant que le logos qui le désigne en grec est linguistiquement une composante du mot analogie. N’en serait-il pas de même avec la tradition qui affiche en algèbre le mot « racine », qui ne se trouvant certes pas chez Euclide provient de l’arabe, et est devenu d’une habitude telle qu’elle pourrait cacher une ontologie. À la manière dont la « raison » fut finalement cachée par la proportion. Se greffe effectivement la question d’une existence, et je rassure qu’elle est prise au sens mathématique et non au sens métaphysique des êtres. En tout cas, c’est bien de la nature d’une racine que parle le « théorème fondamental de l’algèbre ». Le mathématicien qui a créé le mot pouvait-il imaginer que cette « racine » donnerait un tel tronc ? Mais c’est sur ce dernier mot d’algèbre, qui nous vient directement de l’arabe par al-Khawarizmi1 au IXe siècle de notre ère, que quelques esprits ont voulu éviter l’effet de banalisation, et accompagné le mot d’un long secret, résultat inéluctable de la pensée symbolique. Si elle est bien le fruit de l’innovation arabe, cette science charrierait par son nom même et certaines de ses expressions, une forme de connaissance ésotérique, pouvant remonter au pythagorisme, voire à la connaissance forcément secrète des prêtres de l’Égypte et du culte d’Isis, et pourquoi pas aux procédés chamaniques de divination, d’astrologie, voire de magie. Il pourra être ajouté, en catimini, que cette algèbre fut transformée à l’âge du maniérisme italien, desséchée ensuite par le rationalisme cartésien, créateur présumé de cet oxymoron qu’est la « géométrie analytique » qui aurait abâtardi les formes en formules. Ces deux mots ordinaires, formes et formules, qui ont un sens commun en mathématiques, s’accommodent d’adjectifs comme dans « formes abstraites » et « formules cabalistiques » ; elles en contredisent aussi bien le naturel que le caractère conventionnel.

2Du même tonneau qui est tellement généreux en récits mythiques, provient l’idée que les « ensembles » employés par les mathématiciens d’une façon quasi magique à partir du célèbre exercice sur le mouton à cinq pattes, version mathématique de la question sur le cheval blanc monté par Henri IV, ont fait la perversion des « mathématiques modernes ». Leur vocabulaire aurait été imposé aux parents peut-être plus qu’aux élèves dans les années 1970 du XXe siècle, par ces formalistes sans âme que furent les structuralistes bourbakistes déjà nommés, qui tout en vociférant « A bas Euclide ! », détruisaient avec leurs isomorphismes et autres homomorphismes la secrète beauté du cercle des neuf points. Ce fut le pont aux ânes de l’enseignement secondaire, mais il portait le nom d’Euler qui vécut vingt siècles après l’Alexandrin ! Est effectivement morte la forme de l’enseignement par laquelle Euclide s’imposait dans la formation géométrique élémentaire reçue au lycée, ce qui est sans doute une catastrophe intellectuelle, mais elle fut rendue inévitable par le changement de société basée sur la numérisation des données et le calcul probabiliste des risques. La déroute ne vient pas d’un emploi déraisonnable de mots ordinaires auxquels on viendrait conférer une valeur abstraite et dépourvue d’intuition, destructrice de sens et d’intelligence. Du moins si l’on garde la définition de cette dernière faculté comme adéquation au réel. Penser le contraire, et de l’emploi en mathématiques financières et en statistique du mot « médianes », à partir de ces droites de la géométrie du triangle où elles se croisent en un centre sans doute appelé de gravité pour faire sérieux, prévoir la crise selon une astrologie annonciatrice de catastrophes, c’est surtout passer sous silence les folies sidérantes des traders de la banque. Si au mot « médianes » je substituais le mot « arbre », dans le sens qu’il a pris dans ce domaine extraordinaire de la combinatoire, devenue science mathématique au XXe siècle seulement et utile aussi bien dans les pratiques financières ordinaires puisque gouvernant les codes secrets de nos cartes, devrais-je pour autant imaginer que le naturel lié à l’arbre ait perdu toute influence apaisante !

3Sans me laisser impressionner par tout symbole, puisque dans presque tout ouvrage moderne sur la science d’Euclide il a trouvé un usage banal dans des listes, je voudrais jouer avec les seuls mots de l’arbre, selon le beau et simple thème de ce colloque organisé une nouvelle fois pour notre plaisir par Jackie Pigeaud. Dans le but de réfléchir sur la façon dont un vocabulaire naturaliste parvient à trouver sa place dans une science qui a toujours voulu l’abstraction, sans jamais cesser de jouer un rôle mondain, que bien de nos contemporains craignent encore comme un risque de domination. Afin de nourrir une réflexion sur la nature de l’inspiration venant des choses auxquelles ces mots renvoient, mais aussi en faveur d’une question en retour sur l’intérêt même de mon enquête quant à l’usage mathématique de mots de l’arbre, j’expliquerai au fur et à mesure pourquoi je dois me limiter aux représentations picturales de l’arbre.

À la racine des mots

  • 2 Matthieu, 7.17.
  • 3 Trigonometria : sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus, dans Scultetus, Sph (...)

4À première vue l’enquête est facile puisqu’un algébriste affiche l’arbre par l’usage constant qu’il fait des racines, étendant la signification qui fut à l’origine du mot en arabe au IXe siècle de notre ère. Mais elle désigna d’abord un nombre entier répété égal à lui-même et faisant produit, donc une forme opératoire. De sorte que la racine de 4 est 2, puisque 2.2 = 4, et la racine de 8 est 2. On doit toutefois qualifier respectivement l’une de racine carrée, et l’autre de racine cubique, ce qui évidemment bloque ou au moins fait perdre sa légitimité visuelle à toute symbolisation issue de l’arbre. Le mot, traduit par radix en latin, s’est imposé dans les langues vernaculaires en maintenant l’allusion botanique. Pourtant lorsque les polynômes commenceront à être utilisés à la fin du XVIe siècle, c’est-à-dire des sommes d’expression de la forme axn, (la « somme qui se produit » écrivait Descartes en sa Géométrie de 1637) dans laquelle x désignera un siècle plus tard la « variable », le premier mot « racine » viendra en concurrence avec le mot « zéro » pour indiquer une valeur de x qui annule le polynôme. La concurrence n’en était pas vraiment une, car la présence de deux mots distincts permettait plus facilement l’expression d’un théorème qui porte aujourd’hui le nom de Descartes et est peut-être le premier théorème de l’algèbre polynomiale. En effet, si on définit comme racine une valeur a telle que x-a se mette en facteur dans le polynôme xn + a1xn-1 + a2xn-2 +… + an-1 x1 + an, dévoilant le jeu algébrique élémentaire du développement, le théorème affirme l’identité de la racine, entendue au sens dit d’une factorisation, avec un zéro du polynôme, entendu comme une valeur qui l’annule. L’emploi du mot racine pour les polynômes ne correspond pas à l’emploi arabe sur les nombres où il imposait une répétition ; il est maintenant question d’une mise en facteur du terme binôme x-a. Cause commune cependant, le premier emploi arabe, tout comme le second emploi que je vais dire cartésien et qui demeure aujourd’hui, n’ont tous les deux rien à voir avec la racine d’un arbre. Faut-il s’en étonner si, en aristotélicien convaincu, on est sûr que les mathématiques n’ont rien à voir avec le réel, ou parce que selon la parole détournée de Matthieu, mauvais l’arbre mathématique ne peut porter que de mauvais fruits2. Que ne dira-t-on pas alors du mot sinus, lui aussi repris de l’arabe (jayb) et plus anciennement encore du sanscrit (jiva), mais je n’ose plus dire que c’est le sens qui est repris car il y a doute sur le sens à l’origine du mot, celui d’une courbe, d’une poche, ou d’un pli. Pour un lycéen d’aujourd’hui, le sinus désigne un rapport numérique permettant de repérer sur une droite un point sur un cercle, mais aussi l’exemple même d’une forme oscillante ; pour l’introducteur du mot trigonométrie en 1595, l’allemand Bartholomäus Pitiscus qui insistait sur le sinus, il désignait une longueur destinée à être mesurée, donc numérisée3.

  • 4 Je me permets de renvoyer pour plus d’explications au livre de Carlos Alvarez et Jean Dhombres, Un (...)
  • 5 René Descartes, La Géométrie, essai qui vient en dernier avec le fameux Discours de la méthode, po (...)
  • 6 Naturellement, je ne suis pas sûr de l’ordre des mots, et ne cherche pas à le retrouver. David Hil (...)

5Justement sur l’exemple des racines des polynômes que j’ai choisi en premier, allant bien au-delà du résultat de factorisation ou du zéro de Descartes, n’y avait-il pas l’intuition que les racines qui s’installent avec le polynôme défini comme structure additive, en font voir la structure multiplicative d’abord cachée. En ce sens que tout polynôme est exactement égal au produit de tous les binômes x-a construits avec tous ses zéros. Ex fructibus cognoscetis eos. Mais incapable de démontrer un tel résultat qui requiert pour a un élargissement de la notion de nombre donnée sous la désignation si peu réaliste d’imaginaire4, Descartes posait magnifiquement cette intuition comme un axiome. « Sachez5 » administrait-il ! Le plus intéressant n’est-il pas qu’au XXe siècle la manière de démontrer l’assertion de Descartes ait reposé sur une propriété des structures ordonnées que l’on décrira comme des structures en arbre, avec à la clef l’axiome de Zorn, lequel ne manifeste aucune colère, mais désigne tout simplement un mathématicien. Je n’ai pour autant presque rien expliqué, en suggérant que l’arbre et ses substantifs dérivés, comme le mot racines, interviennent en mathématiques d’une manière qui n’est pas intégralement conventionnelle. Peut-on dire que l’on n’aurait aucun avantage à ne pas laisser faire le hasard ? Hilbert jouait au logicien pur lorsqu’il prétendait en 1899 dans ses Grundlagen der Geometrie que l’on pourrait sans peine remplacer les mots de point, de droite et de plan, qui font la sémantique de base de toute géométrie, par table, pipe et pot de bière qui fait la sémantique des Bierstuben6.

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Illustrations 1 et 2. Pages d’ouvrages de géométrie de Sébastien Leclerc, où les arbres viennent participer de l’émotion intellectuelle qui se dégage des propriétés géométriques indiquées, comme la construction d’un carré dans un triangle.

6Raymond Queneau a remarqué bien avant moi un ordre de connivence surréaliste dans le vocabulaire mathématique, mais dans cette quête sur l’arbre et ses mots en mathématiques, si je m’engage à réduire le caractère désopilant de l’adjectif surréaliste, je montre avec plaisir deux gravures, l’une d’un livre de géométrie du XVIIe siècle, due à Leclerc, la seconde ayant été reprise par Cochin au XVIIIe siècle pour une nouvelle édition de ce livre de Leclerc (ill. 1 et 2). Ai-je besoin du sens déjà dérivé de l’arbre de la connaissance, qui concerne essentiellement les classifications et leurs principes ? Je suis sûr que bien peu soupçonnent que les mathématiciens se trouvèrent souvent débordés par le vocabulaire qu’ils adoptaient pourtant dans une tradition de parcimonie. Je ne peux dès lors oublier l’arbor scientiæ de Ramón Llull, en dépit de Montaigne et de Descartes, et même s’il s’agit d’une marque d’imprimeur, je ne peux pas plus oublier que cet arbre de science figure dans l’édition d’un ouvrage de géométrie analytique diffusant la pensée de Descartes par le biais de Frans van Schooten (ill. 3 et 4)

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Illustrations 3 et 4. Deux vignettes, marques d’imprimeur, dans des livres du XVIIe siècle, celle de droite pour le Discours de la méthode de Descartes en 1637, qui contient sa Géométrie, et celle de gauche pour un texte mathématique de Frans van Schooten commentant justement cette Géométrie de Descartes en 1659.

L’arbre en théorie des graphes

L’une des rares théories mathématiques bien constituées avec les « Éléments d’Euclide » est celle de la théorie des proportions. Elle traite de l’analogie, c’est-à-dire de la façon de dire que ce que a est à b, c l’est de même à d. Les lettres a, b, c et d désignant des grandeurs. Je ne précise guère plus le sens du livre V des « Éléments d’Euclide » qui non seulement fait la théorie de l’analogie, mais en donne l’existence et le maniement calculatoire, ajoutant seulement que dans le quatuor a, b, c et d, les deux premières grandeurs doivent être homogènes entre elles, comme les deux dernières. Preuve d’évolution forte du sens, sans pour autant mise en place d’un nouvel usage, Leibniz s’énervait à la fin du XVIIe siècle que l’on n’adoptât pas tout simplement pour une analogie la notation Image. C’est bien d sûr l’individualisation d’un rapport ou raison (logos) qui fait problème, même si on l’appelle mesure de a par b, et ainsi son existence comme nombre en un sens qui ne peut plus être celui de l’arithmos grec, ou multiplicité€ d’unités. Qui ne reconnaîtra dans un tableau donné volontairement un peu plus loin d’après un livre de Gemma Frisius du XVIe siècle (ill. 5), la forme d’un arbre pour les différentes sortes de proportions ou raisons, et ainsi une façon d’éviter un fouillis de mots ! L’arbre est inversé en ce seul sens que ce qui peut paraître comme racine se trouve placé en haut de la page. Pied de nez de mathématicien ? Sur des « feuilles », certes pensées de parchemin par leurs volutes, sont inscrits des noms d’analogies particulières, des « proportionnalités » selon le titre, et des branches vont de feuilles en feuilles comme autant de supports : elles donnent un ordre qui est celui de la file. Celle-ci doit être entendue comme un pluriel, et il y a plusieurs files, d’où le mot bien préférable de branches. L’ordre de l’arbre apparaît majeur, mais pris en un sens des branches qui n’est pas celui absolu, ou total comme le disent les algébristes. Il a donné lieu à une définition mathématique que je livre brutalement, quoique paradoxalement elle paraisse délivrée de tout ordre.

Un graphe connexe qui ne contient pas de cycle est un arbre.

7Selon la technique de remplacement de Pascal, doit commencer la régression des définitions des divers mots utilisés, avec la première qui est celle d’un graphe. C’est une notion désormais au programme des lycées, mais elle est inséparable d’une représentation. Celle-ci doit quelque chose au mot arbre, qui ne vient pourtant qu’après dans la définition. Un graphe est défini comme un ensemble de sommets et d’arêtes liant certains de ces sommets : si les mots sont dans cette représentation installés comme figures, ils peuvent être pris d’une façon purement abstraite. Ce sera une définition formelle de l’énonciation de cet ensemble et de ces arêtes. Mais elle est liée aux « feuilles » du livre de Gemma Frisius ou aussi bien les noms comme des sommets, et les arêtes comme les liens de l’un à l’autre. Les mathématiciens ne se compliquent pas tant la vie avec d’aussi luxueux dessins et se suffisent de points reliés par des traits, généralement droits, comme dans les quatre exemples ci-dessous, même si l’œil n’en perçoit d’abord que trois. J’ai préféré mettre en premier ces dessins de graphe, sans les numéroter comme des illustrations, et avant la classification imagée de Frisius ou celle de Savigny (ill. 5 et 6), car je ne prétends pas que les secondes, quoique premières dans le temps, aient inéluctablement entraîné les graphes. Ce serait réduire le mouvement de l’abstraction à une naturalité. Justement le mot arbre pris mathématiquement est porteur de la difficulté même de l’abstraction, tout en la faisant paraître naturelle au final par le biais symbolique du mot arbre.

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Des exemples de graphes mathématiques

8La théorie des graphes doit sa spécificité à de telles représentations planes, dans lesquelles on pourrait remplacer les segments droits par des lignes courbes, ou envisager des croisements d’arêtes qu’un arbre naturel ne connaît évidemment pas. Sauf si de l’arbre on ne voit pas la réalité volumique, mais la représentation faite sur une surface plane. Cette remarque n’est pas innocente pour ce qui va suivre. Le deuxième exemple porte des numéros, donc affiche un ordre, mais on voit bien qu’il y serait inutile de parler d’un début avec 1, et donc d’une racine en l’occurrence. La numérotation est une dénomination pour les sommets, qui ne change pas la forme du graphe. La notion de connexité intervenue dans la définition dont je poursuis le déroulement, spécifie que l’on puisse aller par une succession d’arêtes de tout sommet à tout autre sommet. Les trois exemples donnés ci-dessus sont connexes, mais ne l’est évidemment pas leur réunion, qui peut aussi être considérée comme un graphe, et désigne le quatrième graphe d’avance mentionné, et on voit aisément qu’il est possible de poursuivre le dénombrement. Le mathématicien demandera aussitôt jusqu’où on peut ainsi aller, entrant directement dans la pratique de la théorie des graphes. Je poursuis sagement l’énumération des vocables de la définition d’un arbre. Est appelé cycle dans un graphe un chemin qui part d’un sommet et y revient en passant par d’autres sommets. Sur l’exemple numéroté, on voit plusieurs cycles comme 2342. Seul le troisième graphe est donc un arbre, car connexe et sans cycle. Évidemment une classification comme celle de Gemma Frisius correspond à un arbre, et on conviendra dès lors, par la logique même de la langue, qu’une forêt est seulement un graphe sans cycle. La réunion des graphes dessinés ci-dessus n’est donc pas une forêt !

9Si l’on distingue un sommet dans un arbre, on parlera d’une racine. L’illustration de Gemme le Frison est justifiée comme un arbre avec racine, quand bien même elle serait placée en haut. Mais voit-on une racine avec le soleil de l’illustration 6, qui concerne une classification d’astrologie du XVIe siècle ? La verticale qui fait la racine dans la nature n’intervient donc pas dans la définition d’une racine d’un arbre quand il s’agit de la notion mathématique. Toute telle définition, en effet, abstrait un certain nombre de propriétés du réel perçu. Ainsi le mot racine pour un arbre au sens de la théorie des graphes laisse bien plus voir son caractère conventionnel que le mot graphe. Ce dernier porte vaguement le concept d’ordre, bien plus souple que celui que la nature indique par la seule verticale. Justement ce n’est pas un ordre total, celui que la hauteur verticale pourrait à elle seule suggérer, du moins si l’on réduit l’arbre à sa représentation plane. Dans un arbre naturel ainsi représenté par l’image, si on appelle sommet le bout d’une branche, le sommet de la première branche peut se trouver plus haut que celui de la troisième. Il y a donc autre chose dans l’ordre d’un arbre de la théorie des graphes que l’ordre absolu de l’altitude de l’image plane. C’est par l’entrecroisement des branches noueuses représentées en bandes épaisses, ce qu’indiquent tant d’estampes d’Hiroshige, de sorte que l’on ne saurait parler d’une abstraction irréaliste.

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Illustrations 5 et 6. Le vocabulaire des différentes proportions chez Gemma Frisius et le vocabulaire de l’astrologie chez Christophe Savigny dans un livre sorti en 1587, Tableaux acceptés de tous les arts libéraux… sommaire… reduict en ordre pour le soulagement et profit de la jeunesse.

10Si la richesse inattendue de la notion d’ordre se manifeste par la spatialité à deux dimensions, et fait différence avec la linéarité de situation des bourgeons sur une seule tige, ceci peut expliquer que la représentation par un graphe, et par des arbres - la terminologie étant récente et du XXe siècle – n’ait pas été abstraite par les mathématiciens des siècles passés, alors qu’elle était passée dans les classifications usuelles des disciplines du savoir. Dans son Arithmétique de 1585 Simon Stevin rangeait les différents nombres dans un tableau avec accolades, qui ne purent pas être abstraites comme branches, si je puis dire. Alors même que cela nous paraîtrait aujourd’hui possible. N’est-ce pas parce qu’un préjugé existait sur les classifications elles-mêmes ? Stevin le contournait en ajoutant d’autres divisions à la division dichotomique, classification scolastique par excellence. L’arbre dichotomique est possible au sens du graphe, mais la spécificité de doublement paraît contraire à la variété des embranchements des arbres de la nature.

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Illustration 7. La classification des nombres dans l’Arithmétique de Simon Stevin, un livre révolutionnaire dans lequel Stevin présente la Disme, ou façon de représenter tous les nombres dans une écriture décimale, éventuellement illimitée, comme 0, 3333… pour 1/3.

11Loin d’être une maladresse, la division multiple de Stevin dépassait les oppositions exclusives, comme entre nombres rationnels et irrationnels. Le XIXe siècle a de même institué des nombres rationnels, des nombres algébriques et des nombres transcendants, et si les seconds incluent les premiers, les troisièmes excluent les deux premiers. La représentation plane d’arbre, naturel ou mathématique, est perdue. Il faudrait passer à une troisième dimension, mais ce n’est pas l’arbre de la nature qui pourrait servir. De même, dans des tableaux, copiés des « arbres de la connaissance » des encyclopédies médiévales, les mathématiciens ne font pas usage d’arêtes ou embranchements. Ainsi Francesco Maurolico, abbé de Messine, dans ses Deux livres d’arithmétique composés à Venise en 1575, distingue-t-il diverses lignes, la composition de la suivante s’effectuant par une dichotomie à partir de la précédente avec multiplication à gauche par a et à droite par b, et regroupement de termes, ab provenant aussi bien de a que de b.

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12Le principe se lirait mieux si l’on plaçait des segments qui vaudraient comme arêtes, mais Maurolico ne le fait pas. Je dois ajouter que l’exemple explicite de Maurolico porte sur des nombres, avec a = 1 et b = 2.

13Maurolico imaginait sans doute la représentation spatiale d’une autre opération. Une même ligne, en ajoutant tous les termes qui y figurent, donne l’expression qui multipliée par (a-b) fournit la puissance de a-b convenable, c’est-à-dire celle qui correspond au numéro de la ligne. Ce qui visualise l’identité remarquable que j’écris en une seule variable x, qui remplacée par a/b, donne l’expression du tableau de Maurolico :

14(1-xn) = (1 + x + x2 +… + xn-1)(1-x).

15Il suffit de jouer le jeu de la multiplication par 1-x pour vérifier une simplification, faisant usage de ce mouvement alternatif de la tête qui résulte de l’habitude du calcul. Mais le tableau dessiné ci-dessus de Maurolico se contente d’être plan, sans être spécifié comme un graphe. L’usage algébrique, ou ce que j’ai appelé le mouvement alternatif de la tête, ne faisait donc pas partie de l’objectif que s’était assigné Maurolico. Une enquête sur la spatialisation plane de type arboré, ou « arborable », des formules algébriques ou trigonométriques, doit donc se poursuivre sur d’autres tableaux du même genre de cette époque. Dans la mesure où un calcul algébrique se trouve associé à une représentation spatiale plane élaborée, alors que les historiens n’insistent que sur la pratique de tables numériques, certes spatialisées sur la feuille d’un livre, mais de façon sommaire par des doubles entrées, à la manière de comptabilités ou encore des coordonnées de la géométrie cartésienne. Cette enquête n’a certainement pas pour but de conclure que le calcul est épistémologiquement second derrière la représentation plane de l’arbre, quoique historiquement premier. Et pas plus d’affirmer que l’arbre n’a fait que répliquer une habitude du calcul. Je cherche à comprendre comment, dans la pensée calculatrice ou combinatoire, joue le spatial plan, que l’arbre peut symboliser dans la nature représentée dans un tableau.

Les écritures de certains tableaux numériques anciens

  • 7 Je donne ici le titre latin du livre publié chez l’auteur à Paris, qui souligne, contrairement à G (...)

16Pierre Hérigone, dans son Cours mathematique/Cursus mathematicus7 de 1634, présente en algèbre déclarée cette fois un triangle composé de nombres qui allait prendre le nom de « triangle de Pascal » (ill. 8). Cette dénomination provient ce que qu’une récurrence impeccable par les démonstrations des diverses propriétés sera fournie par ce dernier en 1665 (ill. 10). L’intérêt cette fois est pour l’écriture de (a + b)n, à l’origine du tableau d’Hérigone comme cela est expliqué dans l’autre page (ill. 9). Si le point de vue diffère de celui de Maurolico qui travaillait sur (a-b)n, est plus important l’avènement de ces « notes », ou abréviations. Elles sont d’un seul genre, même pour décrire les « Éléments d’Euclide » au premier volume du Cours, et cette unité tranche sur le bilinguisme latin/français des énoncés. Si l’écriture syncopée des « notes » n’est pas celle de l’algèbre que nous connaissons, si elle rend imprononçable l’explication (ill. 9), on voit mal pourquoi Hérigone choisirait une forme de graphe qui légiférerait l’organisation spatiale de la pensée. Le jeu de repérage de la dernière colonne est une notation devenue linéaire pour les polynômes (ill. 9), au sens précis où toutes les lettres sont mises sur la même ligne, même les puissances (ainsi 3ab2 pour ce que nous notons aujourd’hui avec une exponentiation, 3ab2). Déjà vue dans le tableau de Maurolico, la spatialisation de l’écriture est un rythme particulier de la pensée qui correspond au mouvement alternatif de la tête du calcul algébrique comme Descartes en fait prendre conscience, mais elle cohabite avec cet autre rythme de l’écriture qui est la linéarité de la tige chez Hérigone. Or la solution aujourd’hui retenue pour les polynômes est l’écriture sur une seule ligne de la tige, devenue prononçable par l’usage. Il y a exception cependant pour la puissance, avec du point de vue de l’écriture la mise en exposant, et elle offre dans toutes les langues une ambiguïté. Faut-il y voir un reste en algèbre de la spatialisation plus ancienne des écritures du calcul ? Les successeurs de Descartes feront jouer l’homogénéité en écrivant une mini spatialité avec le terme général an-k xk d’un polynôme : la somme des lettres en exposant et en indice fait exactement le nombre n. L’autre écriture en akxk abolit ces précautions de type spatial qui étaient, pour Descartes, une règle indispensable de vérification des calculs, gouvernant jusqu’au mouvement alternatif de la tête. Lui-même toutefois n’utilisait pas les indices, et donc restait à mi-chemin entre une écriture linéaire et une écriture spatiale, au sens restreint de plane.

  • 8 En parallèle des énoncés en français, l’écriture du Cours mathématique de Pierre Hérigone est donc (...)

17Le Cursus mathematicus8 est un des tout premiers ouvrages à porter un tel titre rassembleur, et quoique bizarre, l’écriture unique adoptée tout au long des pages de ce cours est le signe de l’unité qui était voulue pour les diverses sciences réunies en mathématiques du quadrivium universitaire. Ce quadrivium était pourtant bouleversé par l’intrusion de l’algèbre, mais de bien d’autres domaines qui occupent le Cours, avec la géométrie pratique, la gnomonique, la navigation par les loxodromies, les fortifications, etc. L’écriture en notes est affichage d’une épistémologie. Alors même que la tendance se profilait au XVIIe siècle d’offrir des écritures très différentes : pour la géométrie à partir du style si bien rodé des « Éléments d’Euclide » et de ses proportions plus ou moins bien notées, pour l’algèbre avec l’invention des notations polynomiales et ce que j’ai appelé le mouvement alternatif qui fait les factorisations et leurs développements, pour la combinatoire, pour les nombres, pour la géométrie de la perspective (avec le birapport à la façon de Desargues) ou encore pour les géométries pratiques aussi bien dans lesquelles se multipliaient les constructions où jouent tant de façons de désigner (ill. 1), sans parler des sciences mathématiques dites mixtes, l’optique et son vocabulaire de rayons et de foyers, et d’images aussi avec Kepler. La structure en arbre dans les tableaux ne s’en préparait pas moins. On le voit par le triangle de Pascal (ill. 10). En effet, des lignes obliques parallèles, sortes d’arêtes, joignent les différentes cases du tableau, créées par les lignes horizontales et verticales, et qui pourraient s’appeler des sommets. On devrait précisément parler d’une forêt, constituée par des arbres assez particuliers sur chaque diagonale, puisqu’il s’agit à chaque fois d’un ordre total, donc de ce que l’on peut dire comme une tige. Une diagonale se lit comme une série d’arêtes allant d’un numéro horizontal en n, au même numéro à la verticale.

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Illustrations 8 et 9. Le triangle dit de Pascal tel qu’il se présente en éventail en 1634 chez Pierre Hérigone, au volume 2 de la partie algèbre de son Cours mathématique bilingue (p. 17 et 18), avec la correspondance qui permet son utilisation pour le calcul des puissances successives du binôme (a + b).

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Illustration 10. La « figure » particulièrement repérée du triangle donnée par Pascal en 1665 dans son Triangle arithmétique ; elle est séparée du texte comme l’est une véritable figure de géométrie.

18À titre d’unité, je peux comparer pour la disposition à la façon dont Pascal présentait une démonstration par récurrence relative à ce même triangle (ill. 11) : il ne s’y lit aucun mot qui ne relève du vocabulaire courant (et ceci vaut tout autant pour la version latine antérieure), ni aucun signe illisible, le choix de « lettres » ou de « caractères » comme Pascal les désigne, étant seulement fixé par l’alphabet pour permettre un parcours par le regard du lecteur, et correspondant si l’on veut à la numérotation pour les sommets d’un graphe. À lire trop vite ce seul texte, on risquerait d’avancer que, pour Pascal, il n’y a pas d’écriture mathématique particulière. Ce serait ignorer le triangle lui-même, que j’ai appelé une figure pour son jeu analogue à celui de la figure en géométrie, mais qui dispose d’un double système d’écriture qui ne peut que se voir déployé dans le plan du triangle. D’une part des lettres grecques ou latines repèrent la position des « cellules » du triangle dans l’espace, ce qui donne un premier parcours de lecture ; d’autre part des nombres sont placés dans les cellules et ils font l’intérêt même du triangle auquel s’était réduit Hérigone. Il faut aller plus loin car dans la démonstration (ill. 11) la disposition des lettres, avec les accolades et les décrochages verticaux d’horizontale en horizontale rappelle le triangle à l’esprit – c’est le mot adéquat –, et ainsi spatialise l’écriture de la propriété des cellules. Le triangle déjà vu de Maurolico, s’il donnait à voir une symétrie, ne permettait pourtant pas la reconstitution automatique du tableau si l’on n’avait pas en tête le mouvement algébrique de droite et de gauche et réciproquement, alors que le triangle de Pascal, lu suivant les diagonales dûment indiquées, donne aussi bien cette symétrie, et en plus indique la constitution dans chaque cellule d’un nombre qui est somme de celui de la cellule immédiatement au dessus et de celui de la cellule au-dessus immédiatement à gauche de la précédente. À condition bien sûr de parler d’un dessus relativement aux diagonales parallèles, donc de jouer l’espace. Pascal explique comment cette propriété peut se généraliser, et tel est le sens de sa « conséquence quatrième » où comme dans la démonstration précédente on peut lire une spatialisation, en arbre (ill. 12).

19Aussi joli soit le jeu intellectuel de précision auquel s’est livré Pascal dans le repérage des cellules pour la démonstration, il est un échafaudage destiné à disparaître dans l’usage mathématique. Mais, et c’est là le rôle de trace de la spatialisation particulière du triangle, et donc l’effet de mémoire associé à l’écriture mathématique, contrairement à l’image architecturale, cet échafaudage sous sa simple spatialité triangulaire, ne peut pas être oublié. Autrement dit, ainsi constituée, l’écriture mathématique peut conserver la preuve de ce qui la fonde.

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Illustration 11. La démonstration par récurrence d’une propriété des nombres dans le triangle de Pascal, où l’on voit que des accolades servent à spatialiser d’une autre façon qu’avec le triangle et conduisent aussi bien la démonstration.

20Si se posait la question d’antériorité de la représentation spatiale sur le calcul, le passage à l’arbre paraît être le résultat d’une abstraction ultérieure de l’écriture. Mais déjà la démonstration spatialisée dans l’illustration 11, avec la partie des accolades, permet de voir un arbre très simple, une tige en fait, chaque expression étant un sommet, et les accolades étant des arêtes. Pourtant ne paraît pas avoir été utilisée le tableau à peine différent de celui déjà mentionné, où l’on envisage à chaque « sommet » le mouvement à la fois à gauche et à droite, sans aucun regroupement de la droite de l’un et de la gauche du successeur.

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21On regroupe ensuite les termes identiques, en les comptant, ce qui fait intervenir des coefficients numériques. Ce regroupement requiert l’écriture algébrique : on n’aurait rien vu en mettant des nombres à la place de a et b, comme le faisait pourtant Maurolico. Pourtant si on aboutit en final au triangle de Pascal, ce n’est qu’en faisant disparaître a et b, ce qui revient à les égaler à 1. Le processus de numérisation, quoique spatialisé, aura alors effacé la présence de l’algèbre. Telle était l’idée de Newton qui pensa pour ce tableau à l’écriture des puissances successives du nombre 11, en donnant les tiges successives, 1, 11, 121, 1331, etc. Cette démarche numérique fait jouer mentalement l’opération spatialisée de la multiplication, qui par la numération décimale de position nous fait penser à décaler d’un cran à chaque ligne nouvelle de la multiplication. Encore une fois intervient une représentation spatiale.

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  • 9 Jack Goody, La Raison graphique. La domestication de la pensée sauvage, trad. Jean Bazin et Alban (...)
  • 10 Jean Dhombres, « L’enjeu épistémologique d’une mesure du savoir mathématique », in Pascale Hummel (...)

22Survient une question assez naturelle : est-il utile, ou même possible, de distinguer entre une pensée mathématique, et une écriture qui serait une trace d’une disposition qui peut être celle d’un graphe comme celle d’une multiplication ? L’écriture, qui prend aussi en charge la disposition, n’est-elle pas la forme dans laquelle se coule cette pensée pour en faire le style qui est une catégorie philosophique ou esthétique décrivant une adéquation entre la chose dite et la chose pensée, voire la chose qui est. À moins que l’on préfère évoquer un dispositif. C’est à cet embranchement que la réflexion de Jack Goody m’est utile9. Elle me contraint à analyser l’écriture que je peux dire matérielle, et celle en arbre joue un rôle évident, non pas en tant qu’elle est résultat mais en tant qu’elle est porteuse en elle-même d’une autre pensée. La question n’est pas une fois de plus de nier qu’il y ait un acte d’écriture dont la pensée serait l’origine, et les études classiques d’histoire des mathématiques s’emploient à repérer cette pensée sous le nom d’épistémologie. Elle n’est pas plus d’ailleurs de juger de façon critique l’écriture comme étant une plus ou moins bonne adaptation de l’idée que l’on pense être à l’origine de l’écriture, et les études épistémologiques sur les mathématiques se livrent à cette étude depuis longtemps. La question devient celle d’analyser une écriture ou une disposition spatiale qui capitalise à sa façon abrégée propre un savoir, le rend transmissible, et donc se présente comme une objectivité à laquelle une suite peut être donnée. Car se pose toujours la question de la poursuite des mathématiques, alors qu’elles pourraient paraître terminées à chaque succès remporté. Et la question, tout aussi bien, est d’analyser les cas d’échec, une situation rarement discutée en mathématiques10. Avec Pierre Hérigone, et aussi bien avec le triangle arithmétique spatialisé, mon propos était de « donner à voir » les divers éléments de cette question, que l’exemple de l’algèbre et de ses formules polynomiales en puissances, redevenues presque linéaires, montre comme le lieu ad hoc, posant aussi bien la question de la disparition du spatial dans l’usage.

L’ordre des mathématiques est-il toujours arborescent ?

  • 11 Jean Dhombres, Jacques Sakarovitch (éd.), Desargues en son temps, Paris, Blanchard, 1994,
  • 12 Sur le parallelisme ou Non-parallelisme des Rangées ou Allées d’Arbres, Histoire Acad. Sc., 1717, (...)

23Je place en premier une image de perspective (ill. 12) avec deux points de fuite, qui n’est justement pas une représentation en arbre au sens des graphes, même si l’on peut y voir des sommets, pour prévenir que les emprunts du vocabulaire mathématique à l’arbre dépassent le seul arbre de la théorie des graphes. Un Desargues, en effet, parlait pour une telle figure, de rameaux et de faisceaux11. Bientôt je montrerai l’utilisation du mot souche, hors de tout graphe. Et peut-être est-il bon qu’en pied de nez à l’illusion visuelle je cite des auteurs, Thomas Fantet de Lagny ou Pierre Varignon, des esprits analytiques et calculateurs, qui au début du XVIIIe siècle s’interrogèrent sur la forme courbe à donner à des rangées d’arbres plantés pour qu’on puisse voir ces rangées véritablement parallèles et non se rejoignant au loin, comme lorsqu’ils sont plantés selon deux lignes parallèles et que joue la perspective si bien illustrée ci-dessous12. Que l’hyperbole intervienne est évident au géomètre qui voit les propriétés projectives, mais ce n’était en rien évident au peintre perspectiviste qui en restait à l’usage des damiers et des constructions dessinées.

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Illustration 12. Une perspective chez Vredeman de Vries en 1605 avec deux points de fuite

24Néanmoins, si l’idéal du mathématicien a quelque chose à voir avec la structure naturelle qui a donné son nom à l’arbre dans un graphe, c’est que des fondements ou racines en sont les principes, les définitions ou les axiomes, et qu’un tronc se crée, ne se distinguant en fait des branches que parce que celles-ci viennent s’y greffer, et qu’elles mêmes à leur tour servent en quelque sorte de tronc, donnant une arborescence de propriétés. Une citation tirée d’un Cours de mathématiques, à la suite de celui de Pierre Hérigone, celui qui est dû à Jacques Ozanam dans une édition de 1699, signalait une fois de plus l’organisation des démonstrations, qui seules évitent de douter en mathématiques, selon des raisonnements en syllogismes se succédant comme les branchages se relient au tronc et même aux racines (ill. 13). Du moins dans la représentation plane, car il ne fait pas oublier cette restriction devenue importante dans mon propos.

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Illustration 13. Explication sur le raisonnement mathématique donnée par Jacques Ozanam dans son Cours de mathématiques de 1691.

  • 13 La notion ne semble plus enseignée au lycée aujourd’hui, et peut-être n’a-t-elle été enseignée que (...)

25Même les « discours » sur l’algèbre depuis le XVIIe siècle, sur sa primauté sur la géométrie des figures, voire sur le « style algébrique », reprennent l’idée d’un enchevêtrement ordonné. Je prends l’exemple d’une propriété géométrique, connue depuis Euclide et le livre III des Éléments et que le XIXe siècle a judicieusement dénommé puissance d’un point par rapport à un cercle13. Dans « puissance », il y a l’indication historique du passage de l’algèbre. Fait-il disparaître la structure ordonnée de la preuve ? J’utilise les quatre figures (ill. 14) du manuel de Jacques Ozanam en les mettant sous forme de graphe totalement ordonné, ce qui est possible par la numérotation 1, 2, 3 et 4. Cet ordre disparaît-il dans les démonstrations mêmes de cet auteur qui allait entrer à l’Académie des sciences après une vie où le jeu et la pratique rémunératrice de l’astrologie ont eu leur rôle ? Ozanam « corrige » l’emploi traditionnel des relations géométriques venues au livre II des « Éléments d’Euclide » afin de prouver ladite puissance d’un point par rapport à un cercle. La chose se voit à peine sur ces figures (que je n’ai pas de peine à préciser comme toutes planes) : il lui suffit de tracer une projection orthogonale G du centre F du cercle sur deux droites AB et CD se croisant en E (ill. 14, en utilisant les deux figures du bas). Parce que les longueurs ED et EC s’expriment formellement comme respectivement une différence et une somme des mêmes longueurs GC ( = GD) et GE, le produit ED.EC est une différence de carrés de ces longueurs. L’algèbre reconnaît a2-b2 = (a-b)(a + b), indépendamment de toute figure. Cette forme suggère de retrancher encore un carré à chacun des deux carrés, profitant cette fois de la figure, et donc du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle FEG. Le résultat fait apparaître le rayon R du cercle au carré diminué du carré de FE.

26ED. EC = (GC-EG)(GC + EG) = GC2-EG2 = (FC2-FG2) - (FE2-FG2) = R2-FE2.

27Et établit ainsi l’égalité EB.EA = ED.EC, qui est la puissance par rapport au cercle du point E, a priori quelconque, avec comme valeur commune, R2-FE2, puisque le calcul mené sur la seule disposition alignée des quatre points C, G, E, D, vaudrait ipso facto pour celle de points A, G’, E, B, le point G’ étant la projection orthogonale du centre F sur AB, et l’emplacement de G’ avant ou après E n’ayant aucune importance, car n’a pas plus joué la place de G entre C et D dans le calcul de ED.EC, puisque l’on a raisonné avec par des identités remarquables. Le dessinateur n’a pas éprouvé le besoin de désigner G’ sur la dernière figure, mais a inversé la situation de G dans la dernière figure par rapport à l’avant dernière.

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Illustration 14. Les quatre figures au livre III des Éléments d’Euclide selon Jacques Ozanam, pour la puissance du point E par rapport à un cercle.

  • 14 Jean Dhombres, « Pratiques dogmatiques et antidogmatiques du raisonnement indirect », in Pascale H (...)

28Cette méthode de démonstration requiert plusieurs moyens, l’un est le théorème de Pythagore, qui n’intervient que parce que l’on a utilisé le centre du cercle, et les segments à partir de la projection de ce centre sur chacune des droites concernées. Dans les figures ultérieures de la tradition géométrique poursuivie, des pointillés viendront pour désigner les segments FG, FC et FB : les pointillés sont un dispositif remarquable parce qu’il met en place dans une figure des éléments dissemblables, cassant l’homogénéité des tracés et créant ce qu’on peut appeler un mouvement pour la pensée. L’autre moyen, que l’on pourrait peut-être dire intermédiaire, est un procédé de calcul, l’identité algébrique qui transforme un certain produit en une différence de deux carrés. Mais ce qui apparaît comme un véritable intermédiaire est l’expression commune de la puissance du point E par rapport au cercle lorsqu’elle est calculée sur chacune des deux sécantes : c’est la valeur R2-FE2. Elle est une tierce quantité, à laquelle les deux autres sont égales14. On ne tarde pas à lui trouver une signification géométrique, et d’ailleurs à la repérer dans le dessin. Cet unique dessin n’annule-t-il pas toute la procédure ordonnée ?

29Peut-on parler de l’« intermédiaire » que serait le calcul, alors qu’il est devenu la raison même de l’égalité des deux produits ? Au sens propre, puisque sa reconnaissance arrête le processus de calcul : il devient même inutile d’aller à l’autre sécante. Aussi bien le processus ainsi arrêté devient-il économique : le tiers est la démonstration. Une qualification de procédure indirecte n’aurait aucun sens. On a pu aussi bien décider que l’indépendance de cette expression par rapport au point G permet de conclure à l’égalité sur l’autre droite. Mais on peut encore décider de faire les calculs à l’envers, donc de donner à R2-EF2 un rôle d’intermédiaire :

30R2-FE2 = (FB2-FG’2)-(FE2-FG’2) = G’B2-G’E2 = (G’B-G’E)(G’A + G’E) = EB. EA

31Cette façon que l’on croyait pouvoir dire directe n’est pas la plus courte : elle est une duplication. Les répétitions ont quelquefois la faveur des enseignants – bis repetita placent –, car on évite ainsi le risque d’un court-circuit.

32À ce stade, un lecteur informé par la géométrie analytique de Descartes doit songer à ce que peut signifier une démonstration par cette méthode. Mais il n’a pas à la chercher chez Descartes qui économise son énergie et qui prend les résultats euclidiens et les utilise, sans chercher à les redémontrer par l’algèbre. La puissance d’un point par rapport à un cercle sert donc pour la construction des racines, et non l’inverse. C’est plus tard Auguste Comte qui entendit faire comprendre le sens de la géométrie analytique, et le type de généralité qu’elle permet aussi bien que celle qu’elle ne permet pas. En l’occurrence, on peut décider de prendre une seule sécante qui devient l’axe des abscisses, et un cercle quelconque écrit par son équation (x-a)2 + (y-b)2 = R2. Le point E est pris comme origine. Faire y = 0 permet de voir l’équation du second degré en x, dont le terme constant donne au signe près le produit EB.EA, car produit des racines. Comme ce terme constant est R2 -a2 -b2, on trouve dans tous les cas de figures EB.EA = R2-EF2, que E soit dans, sur ou hors du cercle. Cette voie requiert de justifier la généralité de ce qu’on a fait en choisissant de particulariser une droite quoique avec un cercle général. L’idée majeure est celle du choix d’un repère, ici le point E comme origine et l’axe des abscisses comme droite adoptée. Ce choix marque la finesse du calculateur, comme Descartes l’indique, mais ne pas faire le meilleur choix ne doit pas être dirimant.

33En ce sens que l’on pourrait prendre l’équation générale d’un cercle (x-a)2 + (y-b)2 = R2 et l’équation « générale » y = cx + d d’une droite, calculer le produit EA.EB en ayant pris E à l’origine des coordonnées. Si l’on note (x, y) les coordonnées d’un des points A, et avec des primes (x’,y’) l’autre point B, il suffira de calculer (x2 + y2) (x’2 + y’2). On peut exprimer en fonction seulement de x et x’, et tenant compte du fait que x et x’ sont les racines d’une équation du second degré. Mais à l’intention de ceux pour qui ce calcul est effrayant un succédané tient dans le fait qu’un changement de repère par rotation maintient la forme (x2 + y2), soit (X2 + Y2). On peut donc se ramener au cas où l’axe nouveau est celui des abscisses, celui où l’on repère X est ainsi la droite y = cx + d. Le calcul déjà fait dans ce cas fournit aussitôt le résultat cherché.

34Aussi bien, l’arborescence des preuves, comme dans le cas précédent de la puissance d’un point, pose problème en ce sens tout simple que l’ordre de présentation ne peut pas être total. Même si les propositions des Éléments d’Euclide sont numérotées, la quarante septième proposition du livre I de cet ouvrage, celle qui porte le théorème dit de Pythagore et est l’avant dernière du livre, n’impose pas à la première proposition du livre II de porter le numéro 49. Et à l’intérieur d’un même livre si les propositions se suivent, la dépendance n’est pas strictement d’une proposition à l’autre. Du coup il devient souvent nécessaire d’établir un arbre des dépendances : c’est ce à quoi Bourbaki lui-même fut forcé dans les éditions de ses ouvrages réunis en un ensemble. L’arbre devient la mathématique elle-même !

35Je voudrais terminer en évoquant les difficultés d’un tel ordre, à partir d’un exemple issu de François Viète, auteur que je ne peux pas ne pas mentionner en venant à Nantes, et qui va nous indiquer une utilisation surprenante d’un mot relatif encore à l’arbre.

Où la souche joue un rôle inattendu

  • 15 Francisci Vietae Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apollonii Pergaei ΠEPI EΠAΦΩN Geometria ad V. (...)
  • 16 Apollonius Gallus, 1646, p. 325. Voir Entrée Mathématiques, in Olivier Battistini, Pascal Charvet (...)

36Si François Viète inaugure un ouvrage de 1600 par l’évocation de « la résurrection de la géométrie des contacts15 » d’Apollonius de Perge, il ne prétend pas savoir comment faisait l’auteur ancien dont est perdu le texte au sujet de la construction d’un cercle tangent à trois cercles donnés. Ce thème allait se décrire en français comme la question des attouchements, et j’abandonne d’autres connotations moins aux psychanalystes qu’aux surréalistes. À tout le moins, Viète sait ce qu’il ne veut pas faire. Il n’utilisera pas une « méthode mécanique » (non Mechanica) : il va bien plus loin en excluant l’utilisation d’hyperboles à la façon de Ménechme, un prédécesseur d’Apollonius dans le travail sur les coniques, et assure avec dédain que « cela révolterait Euclide et son école » (reclamaret Euclides, & tota Euclideorum schola16). Notable est cette mention implicite d’écoles diverses pour l’Antiquité. Viète assure dès lors que les Anciens avaient « toujours redouté de décrire les coniques dans le plan », le tracé d’une hyperbole ne relevant en effet pas de la géométrie « au sens épistémologique du terme », et l’on pourrait même écrire au sens scientifique : ce qu’il tient à exprimer en grec (καὶ ἐπιστηµoνικòν λόγoν). Je laisse juger de la portée de ce qui vient d’être dit, après toutes les limitations que j’ai mises dans le présent article pour rester dans la représentation plane de l’arbre, celle également portée par la définition mathématique des graphes. Par contraste, Viète affirme que sa propre technique est « ingénieuse et scientifique » : τεχνικὴν καὶ ἐπιστηµoν χειρoυργίαν. Alors que l’historiographie traditionnelle exprime plutôt que la voie choisie par Viète est celle de la synthèse géométrique, celle qui exhibe sans discuter et suit donc un ordre linéaire tendu vers le but à atteindre, le Vendéen se contente de rappeler qu’il adopte sur ces attouchements la division en dix problèmes de la « Collection mathématique » de Pappus, un autre auteur antique généralement associé à l’intervention des méthodes par analyse, en tout cas un auteur qui sait critiquer. Indéniablement, en supposant de facto le problème résolu, ce sont les figures planes originales utilisées par Viète et conservées dans l’édition de ses œuvres par van Schooten quarante-six ans plus tard, qui permettent l’analyse de sa démarche et aussi bien l’analyse des attouchements. L’organisation des preuves pour les différentes étapes ou dix cas problématiques contraint Viète en ce qu’il doit suivre un ordre. Qui pourrait lui imposer la rigueur d’utiliser le résultat précédent pour chaque nouvelle étape. Il n’y réussit pas. Pourquoi cette contrainte d’un ordre déterminé des problèmes, qui est généralement présenté par Viète comme un facteur de réussite ? Viète obéit, avant la lettre, à la règle cartésienne d’aller du simple vers le compliqué : en l’occurrence, de partir du cas de trois points donnés pour lesquels il construit après Euclide le cercle les contenant, jusqu’au cas final de trois cercles donnés, en passant par des cas « intermédiaires » de deux points et d’une droite, et des attouchements de deux droites et d’un cercle. Le plus compliqué c’est l’attouchement à un cercle, le plus simple c’est le passage par un point, et l’on voit aussitôt la raison de neuf cas. Or Viète traite dix cas. Cet ordre peut contredire la décision de succession stricte dans l’enchaînement des preuves, comme pour le problème avec trois droites données, qui correspond à la détermination du cercle inscrit dans un triangle, et ne sera pas du tout réutilisé. Son absence serait une faute, non de la méthode, mais de l’exhaustivité géométrique car la preuve était chez Euclide.

37À chaque fois, Viète tire de l’ordre même, qui est une analyse, une construction forcément synthétique. Puisqu’elle ne peut partir que du donné des problèmes successivement posés. Toutefois cette synthèse est un leurre, car chaque construction explicite à chaque étape n’est pas reprise plus loin dans son effectivité géométrique : son usage si l’on veut est juste d’assurer la possibilité qu’elle administre. Le style linéairement enchaîné de propositions, d’ordre relativement contraint, et de constructions indépendantes, en tout cas exhibé au profit du lecteur par une numérotation de 1 à 10 et la mise en place de lemmes intermédiaires, va donc de pair avec une analyse qui est systématiquement reprise à chaque étape. Est exemplaire à cet égard le problème IV :

  • 17 Apollonius français, p. 31, légèrement modifié.

Deux droites et un point étant donnés, faire passer par le point donné un cercle auquel soient tangentes deux droites données17.

38Si Viète se donne le point A et les deux droites BC et DE sur la figure, est aussi tracé le cercle cherché et fixé son centre N, alors qu’il est pourtant une des choses à trouver. Certes, Viète se contente de tracer à partir de A la droite IH, et le point L symétrique de A par rapport à K, à partir de l’orthogonalité en K de la droite IH à la bissectrice des deux droites données BC et DE. Viète utilise ensuite l’étape non exactement précédente, mais juste deux rangs plus tôt, pour construire un cercle passant par A et L, et tangent à l’une des droites BC ou DE : N sera donc le centre de ce cercle ainsi construit. La construction précédente est admise mais non reprise, et c’est en cela que la résolution est de type analytique, sans attribuer à ce mot une signification de calcul. Viète énonce dès lors ce qu’il faut maintenant désormais prouver : « je dis que l’autre droite sera tangente au même cercle » (Dico eundem à reliqua contingi). La démonstration consiste à établir la similitude des triangles NHM et NIO, rectangles par construction de M et O, mais aussi l’égalité de ces deux triangles puisque NH = NI, et ainsi NO égale NM, qui est la valeur du rayon : la tangence est ainsi assurée des deux côtés.

  • 18 La traduction dans Apollonius français, 1998, p. 25, « corrige » Viète en quelque sorte, afin de l (...)

L’étape utilisée pour ce problème IV, la construction d’un cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée, est figurée sous une forme géométrique, mais le vocabulaire choisi par Viète est autre : il construit une certaine longueur à partir d’une certaine aire. Tel est l’objet du premier lemme « utile pour la suite » (ad id quod sequitur), et placé après le premier problème. Il s’agit en effet, le triangle ABC étant donné, ainsi que le point D pris sur AB de telle sorte que AD.AB = AC2 (ill. 16), de montrer que AC est une tangente en C au cercle passant par B, C et D. Une équation, en fait celle issue de la puissance d’un point par rapport à un cercle que nous avons vue précédemment pour le cas d’un point intérieur à un cercle, détermine une disposition géométrique. Viète, comme tous ses contemporains, n’écrit pas l’égalité au sens algébrique qui détermine D et qui serait pour nous, Image et pourrait aussi bien être mise sous la forme Image. Pour AB AB prononcer cette détermination de D, Viète parle d’une « souche » (crus) AD prise sur AB, et par définition telle que ce qui est « sous AD, AB est égal au carré de la souche (cruris) AC »18.

secetur autem crus AB in D, ita ut quod sit sub AB, AD æquale sit quadrato cruris AC…

39Viète ne s’embarrasse donc pas plus de faire la distinction entre une égalité d’aires (soit une « équivalence ») et une égalité en un sens large qui tire vers l’algèbre. Et de même que Galilée le fera en 1638 en reprenant la démonstration d’Apollonius pour la tangente à la parabole, Viète fait une démonstration par l’absurde pour la tangente au cercle. Alors qu’il pourrait utiliser directement la proposition 37 du livre III des Éléments d’Euclide (voir ill. 15 reprises de l’édition d’Euclide par Clavius). Viète la met en scène par une figure (ill. 16), en introduisant un point E, distinct de C, qui serait un second point de rencontre de la droite AC avec le cercle. Comme on a AC2 = AD.AB = AC.AE, on déduit AC = AE, ce qui contredit le fait que C soit distinct de E. Viète n’écrit pas ces égalités, ni la simplification par AC, mais les prononce.

  • 19 Apollonius Gallus, 1646, p. 326.

Hoc autem est absurdum, cum æquetur ipsum quadrato AC ex constructione, AC vero & AE proponuntur inæquales19.

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Illustrations 15 et 16. Les deux figures utilisées dans l’édition d’Euclide par Clavius pour la proposition 37 du livre III (1607) ; la figure utilisée par Viète pour le premier lemme de l’Apollonius Gallus (édition de 1646, p. 327).

40Le vocabulaire de la souche chez Viète, un vocabulaire jamais repris, a été sa manière d’éviter l’usage traditionnel d’une propriété euclidienne, pour lire une propriété algébrique, avec la simplification par l’introduction d’une grandeur.

Conclusion

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Illustration 17. Une forêt (au sens ordinaire), représentée dans une forêt (au sens des graphes) de figures, selon Samuel Marolois dans son Traicté practique de géométrie publié en 1661.

41Égrenés à partir de mots de l’arbre, différents exemples devaient faire saisir à quel point l’ordre indéniable que l’on suit en mathématiques, et que l’on peut en particulier rendre visuel par l’utilisation au sens de la théorie des graphes d’un arbre, sinon d’une forêt, dépend du point de vue que l’on se donne pour traiter une question. Ce que la théorie mathématique de la perspective métaphorise comme Erwin Panofski ou Merleau-Ponty ont su si bien dire, mais quelquefois au mépris de l’histoire effective des mathématiques. Car cet ordre n’est que rarement imposé par la chose elle-même sur laquelle porte la démonstration, et l’ordre s’inscrit dans une théorie. On l’a vu avec l’emploi du mot racine, qui ne s’est pas démenti jusqu’à nos jours. Mais il faut aussitôt ajouter qu’il existe plusieurs théories, sans pour autant qu’elles se contredisent, et que l’ordre n’est évidemment pas absolu ou total. Si, comme le proclamait Savigny dont la représentation en arbre a été exhibée en premier, « réduire en ordre » est pour « le soulagement et profit de la jeunesse », au moins par l’arbre sur une image plane évitait-il l’erreur d’un ordre nécessaire que comporte le mot au singulier de théorie. Ce mot revient à penser tige ou alignement, selon la pente la plus naturelle à l’enseignant dogmatique. Est-il si peu important que pour Savigny et son découpage en branches et feuilles, l’affaire ait concerné l’astrologie ? J’ai aimé montrer comment Viète utilisait le vocabulaire de la souche, quoique non repris plus tard, pour indiquer une nouvelle pensée de calcul sur la géométrie, une idée qui a fait son chemin jusqu’à nos jours, ne serait-ce que sous le nom de géométrie analytique.

42Par la spatialité encore, l’arbre joue d’une autre façon qu’avec l’ordre. Isolé, il sert pour critiquer la linéarité ordonnée finale du calcul. Disposer les calculs en tableaux ou en triangles, et des figures en graphes, c’est vérifier que l’analytique joue du mouvement des yeux pour pouvoir s’installer, et bénéficier ainsi de la distinction. Elle est permise par le passage au spatial plan. Le schéma dessiné peut aussi valoir comme calcul démonstratif dans un mouvement qui n’est pas de simple succession des différents cas de figures, comme pour la puissance d’un point par rapport à un cercle, et cette fois c’est l’arbre en collectivité qui s’impose, et si le mot naturel de forêt vient, c’est aussi bien au sens de la théorie des graphes. Le vocabulaire de l’arbre permet donc plusieurs recours différents au spatial, car de ce spatial différentes structures sont utiles, tant pour la notion de puissance dans un monôme que pour un tableau triangulaire, ou une mise en facteurs. Aussi bien, dans tous les cas ici envisagés, ce n’est pas l’arbre naturel qui a servi, mais la représentation plane de celui-ci, éventuellement celle donnée par les peintres. Cette enquête fait réfléchir tant sur le fait qu’une représentation a suscité un réel mathématique, que sur les conséquences qu’il y a à penser le geste d’abstraction comme étant le fait du peintre et celui de réalisation comme le fait du mathématicien.

Notes

1 Pour faciliter la lecture, mais aussi faute de polices adéquates, je ne note pas selon les signes de la translittération canonique de l’arabe, avec un trait horizontal sur chacun des i.

2 Matthieu, 7.17.

3 Trigonometria : sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus, dans Scultetus, Sphaericorum libri tres methodice conscripti et utilibus scholiis expositi, Heidelberg, 1595.

4 Je me permets de renvoyer pour plus d’explications au livre de Carlos Alvarez et Jean Dhombres, Une histoire de l’imaginaire mathématique. Vers le théorème fondamental de l’algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795, Hermann, Paris, 2011.

5 René Descartes, La Géométrie, essai qui vient en dernier avec le fameux Discours de la méthode, pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, 1637, p. 372, in Œuvres de Descartes, C. Adam, P. Tannery, (éd.), réédition Vrin, Paris, 1996, tome VI, p. 444. Voir aussi Discours de la Méthode et Essais, Tel, Paris, Gallimard, 2009.

6 Naturellement, je ne suis pas sûr de l’ordre des mots, et ne cherche pas à le retrouver. David Hilbert voulait faire allusion aux Bierstuben de Göttingen où il conviait ses étudiants pour discuter entre autres de mathématiques.

7 Je donne ici le titre latin du livre publié chez l’auteur à Paris, qui souligne, contrairement à Galilée en 1623, que les mathématiques ne sont pas une langue particulière car elles peuvent s’abréger par des notes universelles : Cursus mathematicus, nova, brevi et clara methodo demonstratus. Per Notas reales & vniversales, citra vsum cuiuscunque idiomatis intellectu faciles (par notes réelles ou universelles qui peuvent être entendues facilement sans l’usage d’aucune langue).

8 En parallèle des énoncés en français, l’écriture du Cours mathématique de Pierre Hérigone est donc latine, indispensable véhicule pour un passage du livre dans les mœurs universitaires européennes d’alors, et donc pour en favoriser la vente. Il est probable que Pierre Hérigone accédait aussi à un nouveau jeune public noble, fréquentant les académies militaires où l’on enseignait en français les mathématiques.

9 Jack Goody, La Raison graphique. La domestication de la pensée sauvage, trad. Jean Bazin et Alban Bensa, Les Éditions de Minuit, 1979.

10 Jean Dhombres, « L’enjeu épistémologique d’une mesure du savoir mathématique », in Pascale Hummel et Frédéric Gabriel (éd.), La Mesure du savoir. Études sur l’appréciation et l’évaluation des savoirs, Philologicum, Paris, 2007, p. 399-432.

11 Jean Dhombres, Jacques Sakarovitch (éd.), Desargues en son temps, Paris, Blanchard, 1994,

12 Sur le parallelisme ou Non-parallelisme des Rangées ou Allées d’Arbres, Histoire Acad. Sc., 1717, p. 48 sq.

13 La notion ne semble plus enseignée au lycée aujourd’hui, et peut-être n’a-t-elle été enseignée que dans ce court intermède de l’enseignement devenu obligatoire des mathématiques (officiellement à partir de 1802 en France pour ceux suivant une scolarité secondaire), pendant lequel on a pensé que le fonds euclidien suffisait grosso modo, quitte à l’amender par quelques rares règles algébriques. La rupture est manifestée dans les années 1960 par la réforme des mathématiques modernes, judicieusement dite au moins en ce qu’elle reprenait le débat sur les Anciens et les Modernes.

14 Jean Dhombres, « Pratiques dogmatiques et antidogmatiques du raisonnement indirect », in Pascale Hummel (dir), La Parole oblique, Vrin, Philologicum, 2010, p. 101-125.

15 Francisci Vietae Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apollonii Pergaei ΠEPI EΠAΦΩN Geometria ad V.C. Adrianum Romanum Belgiam, David Le Clerc, Paris, 1600. Cité d’après les Opera mathematica de Viète publiées par Frans van Schooten, Elzevir, Leyde, 1646, p. 325 sq. Cet ouvrage sera repéré par Apollonius Gallus, 1646. Une traduction française est disponible, d’ailleurs avec le texte latin et de nombreux autres textes dans Anne Rabu-Boyé, L’Apollonius Gallus et le problème des trois cercles comme défense et illustration de la géométrie synthétique, thèse sous la direction de Jean Dhombres, université de Nantes, 1998, tome II, p. 22-49. Sera référé par Apollonius français, 1998.

16 Apollonius Gallus, 1646, p. 325. Voir Entrée Mathématiques, in Olivier Battistini, Pascal Charvet (éd.), Alexandre le Grand, R. Laffont, Paris, 2004, p. 804-814.

17 Apollonius français, p. 31, légèrement modifié.

18 La traduction dans Apollonius français, 1998, p. 25, « corrige » Viète en quelque sorte, afin de le rendre plus fidèle à Euclide, à sa géométrie en synthèse, et à son maniement des grandeurs distinctes comme des longueurs ou des aires : « Soit un triangle ABC dont le côté AB est coupé en D de manière que le rectangle [construit] sur AB et AD soit équivalent au carré [construit] sur AC. »

19 Apollonius Gallus, 1646, p. 326.

© Presses universitaires de Rennes, 2013

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