1Que la mathématique, sous sa forme considérée alors comme la plus avancée et abstraite avec les courbes coniques, ait été la seule science apte à dire fondamentalement la loi de la chute des corps de Galilée, a certainement été le facteur objectif de déshérence de la physique de type aristotélicien. Elle permit à une autre philosophie naturelle de s’installer, qui devint profondément structurée par les mathématiques, au point de donner à cette science le pouvoir de conceptualiser le réel. Ce qu’avaient constamment et fondamentalement refusé toutes les formes d’aristotélisme qui estimaient supérieure la physique du raisonnement a priori sur les phénomènes. Cette nouvelle philosophie était certainement en gestation en tant que réaction aux MEXANIKA du pseudo-Aristote, les Questiones mechanicae qui furent tellement parcourues à la fin du xvi^e siècle, notamment par Galilée lors de son lectorat à Pise d’abord, puis avec son professorat à Padoue1. Si le titre des Philosophiae Naturalis Principia mathematica de Newton en 1687 semble achever ce processus, c’est qu’un genre encore nouveau était alors lancé, par lequel les mathématiques dominent d’autant plus que la science d’Euclide a elle-même été métamorphosée par l’invention d’un calcul, portant nom de calcul différentiel et intégral2, qui non seulement donne des moyens efficaces d’aborder la mécanique et l’optique mais en outre par l’infinitésimal paraît dire la structure intime des objets physiques, comme les courbes trajectoires. C’est un avant que nous voulons aborder, et comment il renia un autre avant, bien plus ancien.

La parabole devient un signe épistémologique

2En ce qui concerne le siècle qui précède, celui qui fait à proprement parler la révolution scientifique, le paradigme de la double chute, d’un corps et d’une philosophie, a été le mouvement uniformément accéléré. Il est manifesté par une parabole, premier exemple dessiné d’une trajectoire qui est aussi une théorie explicative. En ceci que cette parabole fait reconnaître le mouvement comme indépendant du poids et de la forme de ce qui tombe, et réduit la chose qui tombe à une valeur numérique. C’est ce qui se dit comme la « même vitesse » de deux corps. Cette description d’un « même » qui tombe fait pourtant omission de la forme géométrique que prend le numérique avec la parabole. Cette courbe permet tout autant, à qui veut bien et regarder et analyser, de reconnaître l’indépendance fondamentale du mouvement envers l’impetus initial. Le mouvement reste uniformément accéléré quel que soit l’impetus, lequel dépassait en outre son rôle seulement numérique ancien et acquerrait à la fois le sens d’un principe de conservation (principe d’inertie) et une forme spatiale (grandeur dirigée). Nous la reconnaissons désormais sous le nom de vitesse vectorielle, et la rangeons volontiers sous l’aile de l’algèbre en faisant intervenir les espaces linéaires3. Ce qui devrait constituer un autre exemple de métamorphose dans le domaine scientifique. Quant au principe de conservation, nous ne le reconnaissons plus incarné dans la parabole, mathématisé qu’il est par les équations différentielles installées après les lois de Newton.

3Nous allons bien sûr reprendre ces descriptions du développement physicomathématique, mais précisément par des images et non par des formules, afin de retrouver la genèse d’une révolution. Mais pour permettre de mieux voir, il faut aussi annoncer au moins un autre changement notable, qui scande tout autant la révolution scientifique. Si la parabole, une forme géométrique très anciennement reconnue, devenait emblématique d’une nouvelle pensée du mouvement, c’est que cette forme elle-même était métamorphosée. Elle devenait une trajectoire courbe, c’est-à-dire une forme spatiale qui se trouvait parcourue dans le temps suivant une loi où l’on ne retrouve pas la simple représentation du temps par une longueur uniformément parcourue, selon l’exemple du cercle décrit à vitesse uniforme4. Telle est la métamorphose dont j’entends ici rendre compte, profitant de la plus large réflexion occasionnée par le thème lancé pour les présents Entretiens de la Garenne Lemot, auxquels Jackie Pigeaud nous convie chaque année avec autant de bonheur.

4La question est néanmoins paradoxale pour une métamorphose entendue au sens ordinaire de changements de nature et de structure. Puisqu’il reste un même par la qualification maintenue de parabole, là où il y a eu modification conceptuelle et formelle, avec l’intervention d’un parcours sur une trajectoire. La métamorphose est au sens rhétorique qu’a donné Aristote, avec transfert d’un terme ancien pour nommer quelque chose de nouveau : la parabole désigne maintenant aussi bien le mouvement uniformément accéléré – une idée mécanique avant de devenir une idée mathématique par le biais ultérieur du calcul et de l’accélération comme dérivée seconde –, que sa trajectoire dont la courbe géométrique n’est qu’un des éléments, comme un simple support visuel d’une autre loi.

5N’est-on pas en droit de penser qu’historiquement la métamorphose de la parabole d’Apollonius – cet auteur du iii^e siècle avant notre ère nomma la courbe en raison de la forme de la relation qui liait les ordonnées, à la différence d’un plus ou d’un moins qui justifiait la dénomination métaphorique d’hyperbole ou d’ellipse – en trajectoire effectuée est une réalisation. Elle l’est au sens banalement physique du mot, et non au sens platonicien. La parabole s’inscrit dans le réel au même titre que les satellites de Jupiter observés par Galilée depuis 1610, mais aussi depuis les relevés topographiques permis par la trigonométrie, une science nommée en 1596, ou encore depuis les cartes marines sillonnées de lignes géométriques et jusqu’à ces courbes loxodromes qui, en s’enroulant à l’infini autour des pôles, avaient fait le voir scientifique de la Renaissance. Le mot mathématique maintenu de parabole assure une forte continuité dans le savoir, alors même qu’on pensait une révolution de ce dernier. Ou plus précisément encore, en utilisant le mot métaphore en son sens rhétorique strict qui est basé sur une analogie, laquelle doit nécessairement se révéler réversible, la parabole nouvelle réinterprète la parabole considérée comme section plane particulière d’un cône à base circulaire ; elle en dit la nature intrinsèque par l’équation qui l’établit comme trajectoire.

6Cette métamorphose est pourtant le plus souvent présentée par les épistémologues comme un déguisement malhonnête : ce serait celui de l’illusion d’un maintien géométrique jugé sensible et humain, parce que fruit des auteurs grecs que les Humanistes étudient avec passion, là où il y aurait fondamentalement calcul et algèbre, absence de forme, abstraction ordonnée invisible à l’œil, et ainsi désenchantement du monde par la sécheresse de la pensée. On dira donc volontiers que l’imagination analytique cartésienne, avec la Géométrie de 1637 qui faisait une place majeure à la notion de courbe donnée par une équation, fondait en fait la pensée du calcul algébrique, sans pli, sans besoin de référent autre que son nouveau déploiement historique. Et c’est ce qui la rendrait ipso facto « moderne », jusque dans le sens d’un oubli volontaire des formes géométriques anciennes, aussi bien d’ailleurs que des valeurs symboliques des nombres, à la manière pythagoricienne. Cette disposition d’un calcul pensant proviendrait d’un renouveau du platonisme, comme Alexandre Koyré s’est efforcé de le montrer il y a plus d’un demi siècle, et l’Idée, celle de la courbe parabolique parcourue dans le temps, serait ainsi une construction culturelle de la continuité. Elle impose la volonté du géomètre, car elle reste toujours la même. Alain disait avec élégance cette volonté poursuivie dans une lettre au docteur Mondor de 1923, faisant allusion bienvenue à la géométrie référencée de Descartes, et à l’ordre ainsi imposé.

Ainsi reparaît ce que j’écrivais d’abord et par anticipation, que nos idées sont des instruments pour approcher de la chose, et en vérité des références, comme sont leurs axes. Et que tout cela soit tracé et maintenu par la volonté du géomètre, c’est ce qui est assez visible5.

7Autre chose pourtant me paraît visible, au sens strict que des images le donnent à voir et c’est ce que je vais montrer. Mais d’abord la continuité historique d’un mot désignant une idéalité mathématique, peut aussi correspondre au caractère non moins mathématique que prend la loi, qui devient réaliste au sens philosophique, alors que son aspect ne pourrait qu’être toujours travesti par les aléas du réel : la parabole du mouvement d’un corps lancé ne se manifeste que dans le vide, lorsqu’il n’y a pas de résistance dû à l’air. De fait, la photographie donne de façon splendide la forme parabolique, et il suffit de regarder les deux premières illustrations de jets d’eau, fournies ci-dessous (ill. 1 et 2). On voit pourtant cette forme au xvii^e siècle, représentée dans la nature et non en laboratoire, pour la première fois figurée autrement que sur un cône abstrait, c’est-à-dire selon la courbe finalement abstraite que considérait le géomètre, et nous donnerons quelques exemples (voir ill. 5). De plus deviennent paraboliques les jets d’eau représentés dans les ouvrages scientifiques (voir ill. 3), mais aussi dans des peintures, comme si la représentation se trouvait contrainte par les idées mathématiques du temps. C’est cependant une des difficultés de l’image, de donner à voir à la fois ce qui advient par la science, et ce qui résulte d’une observation précise non nécessairement informée par cette science6. En tout cas, tous les jets d’eau représentés ne deviennent pas paraboliques une fois que Galilée les dit tels7. Car d’autres effets picturaux sont attendus que ceux de l’exactitude, comme il en a toujours été, ainsi qu’on le voit dans l’illustration 4, venue du Japon et d’ailleurs avant Galilée. La forme parabolique est ipso facto une approximation réductrice de ces mêmes jets, dont la présence se multiplie dans les jardins royaux ou aristocratiques. L’interprétation naturelle est que l’art des fontaines, des jardins d’Italie ou de Versailles, est autant apprécié pour la régularité des courbes paraboliques réparties dans l’espace permis par le bec des jets d’eau, que par les alignements d’ifs et de buis, ou par les tracés rectilignes de canaux. Une autre interprétation se fonde moins sur la régularité que sur les effets changeants des jets d’eau, utilisés quasiment comme des météores, artificiels et pourtant naturels, auxquels s’ajoutent les tumultes impétueux des eaux, le large panache blanc et l’éparpillement des gouttes.

Illustrations 1 et 2 : A gauche, les paraboles photographiées des jets d’eau de Versailles, visibles par la foule des spectateurs dans l’ordonnance du parc ; à droite les impressionnantes paraboles des jets d’eau de la place de la Concorde à Paris donnant à voir la variété ordonnée des paraboles.

8Il est notable, sur ces exemples de paraboles hydrauliques, que l’on peut tenir aussi bien que la courbe parabolique qui apparaît serait socialement construite. C’est ce que suggère encore Alain, comme amusé par ses propres jeux de mots, tellement ravi de se moquer du sens scientifique d’un vocabulaire pris dans le langage commun, et néanmoins informé par le Cours de philosophie positive d’Auguste Comte et la conception que ce dernier se faisait du rôle des fonctions mathématiques.

Nous disons que les corps célestes obéissent à la loi de Newton ; cela signifie qu’ils suivent des paroles comme les enfants sages. Mais ce n’est qu’une métaphore ? Sans doute, mais la métaphore est enfermée dans le mot loi. L’algébriste veut échapper à la métaphore, et retrouve la fonction, autre métaphore. Les métaphores nous pressent, comme les ombres infernales autour d’Énée8.

9Qu’en est-il alors des images, ces ombres autres qui ne peuvent pas paraître « infernales » ? À moins que, et quoiqu’il en soit de ces diverses leçons d’idéologie ou d’analyse dont il ne faut jamais exclure la jolie dérision, la loi de chute des corps symbolisée par la parabole continue d’être par beaucoup dite « abstraite », « mathématiquement vraie » mais ni exacte, ni réelle. Une ombre dans la mesure où elle n’était jamais parfaitement réalisée en tant que telle, seulement expérimentée sous la multiplicité des effets aléatoires. Ainsi, si la parabole ne fut certainement pas au centre de l’imagerie jésuite, bien plus soucieuse de la diversité complexe et paradoxale du réel que de la simplification mathématique à laquelle Galilée recourut, elle n’en fit pas moins une mode dans l’imagerie universitaire européenne. Au contraire, si l’on peut dire, le passage établi notamment par Guido Ubaldo del Monte, François de Aguilón collaborant avec Rubens, ou Desargues poursuivi par Abraham Bosse, de la perspective des peintres et des architectes en science de l’image projective, qui faisait usage aussi de paraboles, mais non de trajectoires, répondrait au processus d’abstraction à partir du réel qu’Aristote assignait à la mathématique, en donnant du merveilleux une image providentiellement rassurante. L’on comprendrait sans doute de cette façon le privilège accordé par l’imagerie jésuite à la perspective, si on veut la voir installée dans le cadre d’une défense d’Aristote, et d’une explication rationnelle des effets optiques. Ce n’est pas un thème que je vais poursuivre ici, mais il serait utile de le faire, et je me contente de montrer une image de jets d’eau nettement paraboliques, due à un père jésuite, élève de Athanasius Kircher (ill. 3).

Illustrations 3 et 4 : Frontispice de la Mechanica Hydro-pneumatica de Gaspard Schott, jésuite, ses paraboles multiples et bien tracées comme des tubes dont le meilleur effet relève de la perspective dans un paysage de machines, avec « l’irréaliste » mais bien réelle parabole centrale symétrique au-dessus du bassin de la fontaine aux pieds du putto ; une étrange et belle peinture sur soie du japonais Kano Monotobu, dont la parabole du début se termine dans le tohu-bohu d’un bouillonnement, après une chute devenue verticale.

10Ce sont les équilibres, ou plutôt les ajustements, entre les formes plus ou moins conflictuelles d’idées épistémologiquement bien différentes qui font de fait une période historique : il n’y a d’études possibles des mentalités savantes que si l’on considère avec quelque délicatesse les cohabitations qui nous paraissent impossibles au nom de la logique. Les difficultés sont cependant celles des historiens qui ont dû appeler « baroque » une période qu’ils voulaient établir entre Renaissance et classicisme ; ils ont localement raison mais les historiens des sciences et quelquefois d’autres historiens, voient les choses sur un plus long terme.

11Une question se pose dans cette enquête sur les images, celles qui servent à la science, celles qui servent aussi bien la science (frontispices, illustrations techniques, vignettes), celles qui reproduisent pour un plus vaste public les choses de science et qui la reflètent en quelque sorte, mais aussi les images qui deviennent communes, comme avec la représentation des jets d’eau. La question est de savoir ce qui fait parabole : entendons bien qu’il est facile de répondre lorsqu’une construction mathématique de la parabole est explicite. Que ce soit avec la propriété d’un foyer et d’une directrice, ou avec la construction au moyen de cercles. Mais en général, aussi bien dans les livres scientifiques, la construction par points n’est pas faite, et la courbe est tracée à la main. Quels sont alors les signes qui permettent de reconnaître la volonté parabolique, et non le hasard d’une incurvation ?

12La réponse n’est pas simple en général, d’autant qu’une technique aisée de construction de la parabole a longtemps été celle de la chaînette, la courbe que forme une chaîne pesante suspendue à deux extrémités. Ce n’est qu’à la fin du xvii^e siècle que l’on a mathématiquement établi la différence. Mais au moins pour les jets d’eau, pour lesquels la parabole a toujours un axe vertical, deux phénomènes graphiques sont à relever. D’une part la courbure n’est pas circulaire, et d’autre part la partie allongée de retour à la verticale vers le bas ne s’établit pas non plus comme une droite mais s’en éloigne toujours9. On le voit fort bien dans le frontispice de la mécanique hydro-pneumatique de Gaspard Schott : c’est même un moyen sans faille pour y reconnaître les paraboles des autres courbes qui ont aussi des effets hydrauliques causés par des machines (ill. 3). Aussi bien, et sans mathématique, peut-on être assuré de l’effet parabolique voulu sur l’illustration 9 comme sur l’illustration 11, et de l’inexistence d’une idée parabolique dans le dessin d’un perspectiviste comme Jan Vredeman de Vries (ill. 12), ou d’un dessinateur-graveur comme François de Poilly (ill. 13). Cette double phénoménologie étant faite, celle du jet d’eau et celle de sa représentation, nous pouvons reprendre le fil de l’histoire qui passe par Galilée.

Les paraboles de Galilée

13Une gravure de ce temps (ill.5) nous replace superbement dans la mentalité de la science baroque, alors que pour nous le mouvement en tant qu’il se mesure et se comprend, est devenu un sujet purement mathématique, ne supportant pas la représentation artistique, du moins quand elle n’utilise pas le cinéma. La gravure, le croira-t-on, orne une thèse, et une thèse scientifique ; elle fut soutenue en 1624 à Louvain, dans les Pays-Bas espagnols, au moment où la guerre reprenait, après une longue trêve de 12 ans, contre les provinces passées au calvinisme et surtout à l’indépendance. Faut-il préciser qu’en dépit de ces gravures, assez jolies d’ailleurs quoiqu’un savant historien les ait taxées de frivolité10, et fort éloignées de la guerre, la thèse se présente d’emblée et sans gêne aucune comme une suite organisée de théorèmes, le premier titre portant sans ambiguïté sur la science statique alors que les gravures excellent à montrer du mouvement : Theoremata mathematica scientiae staticae. Un second titre corrige de façon assez baroque, en parlant du « mouvement des poids sur une surface plane croisant l’horizon tout droit ou en oblique ». Le baroque du vocabulaire est en particulier l’usage d’un plan vertical… sur lequel glisserait un corps en chute libre : tel est souvent le cas lorsqu’un mathématicien évoque une situation limite en le présentant comme suite naturelle de ce qui précède

Illustrations 5 et 6 : Gravure sur cuivre due à Jan Ciermans, une mise en illustration du théorème 15 dans la « thèse » intitulée Theoremata mathematica scientiae staticae, publiée chez Haestens à Louvain en 1624 ; gravure qui accompagne le théorème 14 expliquant par des plans inclinés ce qui se passe au début d’une chute.

14Ce que nous voyons d’emblée est une chute d’eau, mais elle est référée par des lettres allant de A en haut à droite à B en bas à gauche ; cette annotation peut déréaliser la scène, encore qu’elle manifeste un début et une fin du mouvement que la thèse utilisera pour la théorie mécanique. Posé sur cette eau, quoiqu’en mouvement, un petit solide est dessiné au moyen de grosses rayures qui renforcent la ferme impression de réalité de la chute d’eau, traitée sans trop d’effet avec des traits plutôt droits. Des hachures font ombre du côté droit, ce qui ne se comprend que par contagion avec l’obscurité du rocher du dessous faisant grotte. Cet objet sur l’eau, qui n’est pas pensé bateau comme sa forme plate et oblongue le fait savoir et est ainsi délivré de l’idée de poussée d’Archimède, a une signification épistémologique. C’est celle de la forme courbe prise par l’eau qui tombe. Cette forme est désignée d’une main par un angelot, un putto ailé des peintres de la Renaissance comme Raphaël les aimait, tenant de l’autre main un compas. Cet autre objet ne nous surprend pas, et nous le voyons, aussi bien que les contemporains, comme un symbole d’exactitude mathématique, et non comme une surréaliste rencontre d’un compas et d’une cascade11.

15Il faut aussitôt s’interroger sur ce qui, dans l’image, pourrait être directement mathématique, et ne saurait se réduire aux deux lettres déjà indiquées. Le caractère expérimental de la vision procurée par la figure est bien sûr le petit solide ; il se trouve dans le prolongement précis du geste du putto. L’objet épouse la forme de la courbe de la chute d’eau, et celle-ci est alors reconnue comme mathématique. En atteste l’exagération même du dessin pour nous faire voir la courbe. Elle est pourtant dessinée dans un paysage de rochers, avec en toile de fond le réel d’une ville fortifiée sur une hauteur, et l’esquisse de bateaux sur l’étendue d’eau. Nous ne reconnaissons pas dans cette cascade les lignes usuelles des courants d’eau des gravures de ce temps : la pensée signalée par le compas est bien cette seule forme. Par un geste également classique dans l’iconographie, les doigts du putto sont déployés pour indiquer le maître qui, doctement, enseigne la vérité des choses. Notre question devient celle de comprendre cette vérité, rendue naturelle par son environnement et pourtant que les mathématiques dirigent.

16Le texte qui accompagne la figure sonne de façon assez étrange à nos oreilles, et la traduction française d’un latin plutôt emberlificoté n’arrange guère les choses au premier abord.

Toutefois, en même temps, ce mouvement se courbe, parce que les moments aspirent à l’asile de la pesanteur, et le mouvement n’empêche pas l’émanation de la virtus dont sont habituellement pourvus les objets qui sont descendus en roulant de façon rectiligne, virtus qui, bien qu’elle soit répandue dans la totalité de leurs entrailles, ne se refuse pas à l’action d’une autre dans la mesure où elle ne s’exerce pas à son détriment, pas plus d’ailleurs qu’à son avantage12.

17Une note est heureusement ajoutée à l’énoncé du théorème 15 de la thèse, et elle est bien plus courte, se référant explicitement à la figure dont elle donne, en parallèle du texte, ce que l’on pourrait appeler une interprétation mathématique, avec un début en A et une fin en B.

L’eau AB, après avoir recueilli de l’impetus le long du plan incliné, s’incurve quand s’offre à elle l’accès au mouvement libre13.

18L’incurvation va vers la verticale sans jamais s’y réduire à une droite ; l’incurvation n’est pas non plus réduite à un cercle que le compas ne manquerait pas de vérifier. Voilà les deux phénomènes notables ici reconnus. Cette note indique en outre que quelque chose n’a pas été dessiné : c’est ce qui arrive en A qui est la fin d’un avant (le long d’un plan incliné précise le texte), une libération qui provient d’une autre image, une image précédente dans la thèse (ill. 6). Le plan incliné dont il est question ne peut pourtant pas rester un plan réel et tout physique : il est devenu par l’effet de cette thèse une métaphore, pour un effet mathématique nouveau pourtant nommé par un mot ancien. Ce mot ici utilisé, impetus, relève du vocabulaire abstrait de la mécanique des scolastiques du xiv^e siècle ; il y a eu aussi dans le texte le mot virtus, et d’ailleurs encore le mot « moment » qui provient sans doute de Galilée. Ces mots font que nous avons forcément du mal aujourd’hui à leur donner une signification mathématiquement précise, mais non qu’ils n’ont pas de sens, bien au contraire. Nous remarquons bien, par l’image combinée à la note, que le mouvement est identifié à une courbe, que cette courbe naît à partir d’un mouvement qui est intellectuellement réduit à provenir d’un plan incliné. C’est ce que dit le texte, mais sur l’image seule nous voyons que l’eau arrive de quelque part avec un certain courant, une certaine direction, etc. Difficile de ne pas assimiler cette impression à l’impetus. Cette réduction d’un départ a été étudiée par l’auteur des thèses dans les théorèmes précédents, et il désigne seulement ce que nous appellerions volontiers la vitesse initiale du courant d’eau en A, représenté par quelques striures sur le dessin. Il ne s’agit pas d’une lecture à rebours depuis notre conscience d’aujourd’hui de la mécanique car c’est bien là l’effet majeur de la courbe parabole, dont la forme cache une mathématisation que dit le nom.

19Faisons maintenant attention au fait que notre impression visuelle, en parlant de vitesse, néglige la masse de ce qui tombe, d’autant que le dessinateur n’a pas représenté des gouttes d’eau, et seulement une chute continue. Le mouvement d’avant, le début de la chute si l’on peut dire, devrait suivre une ligne droite, or le théorème ajoute explicitement le mouvement dû à la pesanteur, c’est-à-dire un mouvement selon la verticale. Cette autre direction est visuellement suggérée par le petit axe du cadre elliptique de la gravure, qui n’apparaît pas aussi neutre qu’on pourrait le penser. Le texte n’en explique pas moins nettement que les deux mouvements, celui du départ de la chute d’eau et de son prolongement et celui de la chute verticale, sont indépendants (« ni à son avantage, ni à son détriment »). Et néanmoins, ils créent une seule incurvation.

20La courbe est ainsi une synthèse, et parce qu’il y a indépendance de deux « effets » – impetus et chute verticale – effets qui ont été préalablement analysés, cette synthèse est en fait une addition. Elle fait la parabole et nous allons analytiquement le voir un peu plus loin. Mais déjà l’idée devient celle d’un mathématicien moderne, à la fois analytique et synthétique. Néanmoins l’image seule ne peut qu’être synthétique. Non seulement la théorie décrit un phénomène naturel, mais elle en donne la structure, qui ne provient plus d’une seule cause et ne peut pas plus résulter d’une seule image. C’est pour cela que j’ai joint les deux figures des théorèmes 14 et 15. Ce que le dessin du théorème suggère fortement est que le petit corps dessiné sur l’eau descend selon la même et unique courbe que celle des particules d’eau et qu’il y a là une universelle loi chute qui déploie la parabole.

21La courbe représentée, ou plutôt les deux courbes plus ou moins parallèles puisqu’il y a deux bords du courant d’eau qui tombe, n’est certainement pas un cercle : nous savons depuis Galilée qu’il s’agit d’une parabole. Un jeune mathématicien comme Roger Cotes au début du siècle suivant écrira pour lui comme d’une chose fondamentale : Curva descripta motu corporis oblique projecti est Parabola14. Cette courbe était connue comme un exemple particulier de courbes appelées coniques depuis l’Antiquité. Il est sûr que cette courbe était connue de tous ceux qui avaient travaillé Archimède ; mais cet auteur n’était pas au programme des premières années d’Université, celles du quadrivium que les jeunes gens suivaient à partir de l’âge d’environ quinze ans. Pour expliquer, il ne faudrait donc pas se contenter de donner une définition de la parabole tirée de la tradition grecque : Galilée ajoute en effet quelque chose d’essentiel à la parabole antique. C’est ce que nous avons perçu avec l’image et que nous allons fixer en mathématiques, mais que nous ne verrions pas en plaquant la définition ancienne.

22Non nommée d’ailleurs dans l’explication accompagnant la vignette de la thèse, la parabole est la même courbe que suit le petit solide représenté, qui peut être pensé comme projeté du point A avec une certaine vitesse, et de fait indépendant de l’eau sur laquelle il se trouve. Si l’on accepte cette autre indépendance, la force des mathématiques est de faire que l’unique parabole, la même courbe, unisse le jet d’eau au lancer de projectiles. Descendre pour l’eau suivant une certaine courbe, est analogue à ce qui se passe pour un projectile lancé du point A. La liaison visuelle par une courbe est donc indépendante de la masse même de ce solide, comme de sa forme, ou de la masse des différentes gouttes d’eau dont la cascade est composée. Voilà que se finalise, certes par une interprétation de l’image, un résultat qui fut particulièrement étonnant pour la physique de cette époque, et il l’est encore pour la nôtre. Dans la chute, il y a quelque chose, la forme d’une courbe, qui ne dépend ni du poids, ni de la forme de ce qui tombe.

23De fait, il y a plus que la forme, et c’est la façon dont la courbe est parcourue. Ce que l’on dira d’une façon laconique comme la « même vitesse » des corps qui tombent, une expression maladroite dans la mesure où les vitesses varient justement. Mais on signifie la même vitesse au même temps et ce à tous les temps, et on retrouve la précision dans le manuscrit de Cotes déjà cité, qui s’arrime à la courbe. Cette expression ne prend donc sens qu’avec la parabole. C’est l’histoire de cette intervention de la parabole qu’il nous faut maintenant comprendre, car elle a été jugée exemplaire de l’esprit même de la révolution scientifique. Elle le fut d’abord par les acteurs eux-mêmes, puis par les premiers épistémologues. Ainsi Jean-Etienne Montucla a l’impression de dire une évidence dans son Histoire des mathématiques écrite en 1758 : il ne parle pourtant ni de vitesse initiale, remplaçant l’impetus de la thèse de 1624 par « impression communiquée », ni de mouvement libre dans cette même thèse car il parle de la « chute perpendiculaire ». De plus, il ne mentionne pas l’essentiel, qu’est l’indépendance de deux mouvements, pas plus qu’il ne mentionne l’indépendance d’avec la masse de ce qui tombe. Seule apparaît, si je puis dire pour un texte, la parabole, car elle résume tout ce qui précède, « comme tout le monde sait ».

Une des découvertes qui ont le plus contribué à la célébrité du nom de Galilée, est celle de la nature de la courbe, que décrivent les corps projetés obliquement. Il trouva, comme tout le monde sait, en comparant le mouvement oblique, effet de l’impression communiquée au corps, avec sa chute perpendiculaire, que cette courbe est une parabole ; la démonstration est trop connue des mécaniciens pour nous y arrêter15.

24C’est donc à comprendre la genèse de ce qui est « trop connu » qu’il nous faut maintenant procéder pour saisir la raison de cette transformation de la parabole en courbe signifiante pour la révolution scientifique. L’on peut être sûr à tout le moins de l’importance que Galilée lui-même attribuait au résultat parabolique, lorsqu’on lit la lettre peu amène qu’il écrivit à un ami du jésuate qu’était Bonaventura Cavalieri, ce dernier mathématicien venant en 1632 d’en parler brièvement dans un Traité sur les sections coniques.

J’ai des lettres du Père Bonaventura portant la nouvelle qu’il avait récemment porté à l’édition un traité sur le miroir brûlant dans lequel, comme il le dit, il introduisit à la meilleure occasion le théorème et sa preuve sur la trajectoire des projectiles expliquant qu’il s’agissait d’une courbe parabolique. Je ne peux vous cacher, cher Monsieur, que cette nouvelle me fut tout sauf plaisante. Puisque je vois comment les premiers fruits d’une mienne étude d’il y a plus de quarante ans, et confiée essentiellement dans le secret au dit Père, me seront violemment retirés, et comment cette fleur sera ôtée de la gloire que j’espérais acquérir après des efforts aussi longtemps soutenus. Car vraiment, ce qui me fit au tout début spéculer sur le mouvement était mon intention de trouver cette voie, qui, quoiqu’une fois trouvée, n’est pas très difficile à démontrer, mais dont moi, qui la découvrit, sait combien de travail il me fallut fournir pour trouver cette conclusion16.

25Galilée dit qu’une fois reconnue la voie qui conduit à la présence de formes mathématiques, la démonstration quant à elle n’est plus difficile. Ce dernier détail sur la démonstration proprement analytique ne peut être pris à la lettre, et par contre coup nous entrons de plain-pied dans la difficile gestation des raisonnements et des expériences qui ont fait la révolution scientifique, et jusque dans les problèmes majeurs de la mathématisation. Non seulement elle ne s’impose pas d’elle-même, juste par application des résultats sur la parabole que l’on connaissait bien par les textes d’Apollonius, mais le processus de mathématisation ne disposait pas du guide sûr qu’est un traitement axiomatique à la manière de ce qu’Archimède avait fait pour la statique du levier. Il n’y avait pas de modèle disponible pour penser le mouvement d’un projectile, et pire, il fallait se débarrasser des points de vue antérieurs. Notamment celui d’Aristote, poursuivi par la pensée scolastique, distinguant entre mouvement violent et mouvement naturel. Il nous est facile aujourd’hui de dire que le mouvement est un état : de sorte que la parabole n’est pas seulement une courbe, mais une trajectoire, c’est-à-dire le parcours précis d’une courbe dans le temps, sans autre liberté que celle même du lancement. Cette liberté désigne ce que la thèse de 1624 appelait l’impetus. La difficulté de compréhension fait la reconnaissance de la parabole.

26Justement, dans la péroraison de 1632 par laquelle il évoque un si grand temps mis pour comprendre le sens de la trajectoire parabolique, Galilée fait allusion à des travaux remontant à 1592 : à cette époque, il n’avait pas trente ans, et il venait juste de passer de Pise comme professeur à l’Université de Padoue, université nettement plus renommée. Il était alors chargé, selon une coutume en cette ville qui dépendait de la République de Venise, d’un cours où il devait commenter les Questions mécaniques. L’ouvrage était attribué à Aristote, et si nous le disons aujourd’hui écrit dans son entourage, nous ne pouvons manquer de voir sa nouvelle vogue dans la seconde moitié du xvi^e siècle17. Galilée écrit donc des notes pour des étudiants, un manuscrit intitulé Meccaniche, mais il ne publie pas. Il avait aussi écrit environ une année plus tôt un texte, un De Motu, dont on peut déduire qu’il pensait que la trajectoire d’un objet lancé obliquement en l’air suivait d’abord une ligne droite. Il y avait plusieurs descriptions possibles, avec des combinaisons de cercles et de droites. On est alors d’autant plus intéressé de trouver au verso puis au recto de deux feuilles successives les dessins suivants18, avec leur entourage de calculs, dans un manuscrit de Galilée de notes padouanes qui, grâce à l’étude du filigrane, est daté par Stillman Drake de l’année 1608 (fig. 7). Car la parabole est indéniablement présente comme seule courbe plusieurs fois représentée.

Illustration 7 et 8 : f.116v du volume 72 des manuscrits de Galilée de la Bibliothèque de Florence ; f.115r du volume 72 des manuscrits de Galilée de la Bibliothèque de Florence.

27À la différence du dessin de la thèse de 1624 avec la chute d’eau, le départ du mouvement stylisé de la figure 7 est explicitement horizontal, et c’est cela l’avantage d’un dessin mathématique. S’il y a plusieurs courbes dessinées, ce ne peut qu’être selon l’intensité de ce que nous appelons la vitesse horizontale de départ. Les indications de cette intensité dans le manuscrit de Galilée se lisent avec les données verticales, et il nous suffira de dire qu’elles sont une convention de chute verticale des corps, chute sur laquelle il travaillait aussi. Cette convention dans l’ordre numérique est nettement moins visuelle que celle de l’eau dévalant pour faire la cascade (ill. 5). Notre tendance serait alors de voir la courbe comme une simple exploitation numérique déployée dans le temps de la chute verticale. Une autre démarche est cependant en cause. À ces intensités différentes correspondent des résultats numériques, cinq précisément sur la droite horizontale du bas du dessin, à la manière des performances ou portées des balisticiens. Mais si pas plus que dans la thèse on ne peut être sûr que les courbes dessinées soient des paraboles mathématiquement construites, c’est qu’on ne regarde pas correctement le travail de Galilée. On ne peut plus douter de la parabolicité avec les deux dessins de la figure 8, qui viennent un feuillet plus loin dans son manuscrit et que Stillman Drake a remarquablement raison de tenir ensemble19. Pourquoi ? Voilà le regard mathématique à l’œuvre.

28Dans le dessin supérieur, les deux tangentes en b et en c à la courbe, qui correspondent horizontalement à des points h et d sur la ligne verticale coupent celle-ci respectivement en f et en un point non nommé, car trop haut sur la feuille du manuscrit, mais disons g, de sorte que a soit le milieu tant de fh que de gd. C’est la propriété qui est indiquée en latin sur la gauche : « soit la parabole… ». Cette propriété du milieu est démontrée par Apollonius, mais ici elle fait toute la phénoménologie de la courbure de la parabole à son sommet, en la mathématisant, et empêche la confusion avec un cercle. De fait, la propriété du milieu pour un point courant de la parabole la caractérise comme courbe, en tant qu’elle soit vraie pour toutes les tangentes à la courbe. Ce dernier résultat de caractérisation n’est pas dans l’ordre du démontrable par Galilée, car il lui faudrait pouvoir intégrer une équation différentielle. Nous la verrons résolue à la fin du siècle. Galilée ne pouvait cependant pas douter que cette propriété de milieu lié à la tangente caractérisait la parabole, dans la mesure où aucune autre courbe connue ne la possédait. Voilà donc une nouvelle définition, acceptable historiquement et mathématiquement pour la parabole, qui se voit par une forme et une construction qu’il suffit de vérifier pour certains points. Très probant donc de la courbe parabolique, le dessin du dessous de l’illustration 8, pris chez Galilée, pourvoit deux des courbes, et deux tangentes pour les points f et g sur la même horizontale passant par c, pied de la verticale. Ces deux tangentes doivent se rencontrer au point symétrique de c par rapport à b. Galilée a en outre dessiné en pointillés la tangente en s, et on peut vérifier à la vue qu’elle coupe la verticale en un point o, symétrique du point à l’horizontale de s sur la même verticale. On voit bien la liberté que l’on a de choisir l’horizontale, et donc l’importance de la symétrie de la courbe autour de son axe vertical. La parabole est « formellement reconnue ».

29Avant de la reconnaître par un calcul, restons dans ces propriétés de forme, et notamment celles que l’on voit mieux dans un dessin plus tardif, en 1640. Il figure dans un cours de mathématiques proposé à Louvain par Jan Ciermans, l’auteur officiel de la thèse de 1624 qui est présidée par Grégoire de Saint-Vincent, et qui est devenu un professeur. Il vient même de discuter de façon intéressante avec Descartes à propos de son Discours de la méthode, ou plutôt des Essais qui l’accompagnent.

Illustration 9 : Vignette illustrant la deuxième semaine de février dans « Les Disciplines mathématiques » de Jan Ciermans, 1640, une gravure de Jacques Neefs sur un dessin de Philip Fruytiers.

30L’intérêt de ce dessin est de montrer la symétrie d’une parabole, sans que la particularise le jeu visuel et automatique de la verticale. D’une part la tangente au départ de la boule, manifestée par le petit segment du tube, prolongé vers le bas par le bâton du putto. D’autre part le tube en position oblique qui reçoit le jet d’eau. Cependant l’obliquité apportée au plan de la parabole, due à la perspective, l’empêche d’être un plan vertical, ce qui est une erreur de physique. On ne peut alors s’empêcher de voir la réciproque : un jet d’eau qui partirait de la gauche, avec l’intensité réciproque de celle avec laquelle il tombe, reviendrait dans le segment qui prolonge le globe. L’eau permet l’expression de la symétrie que la balistique donne moins naturellement à voir parce que le temps ne se remonte pas, ou que le boulet ne revient pas dans la bouche du canon. La découverte de la symétrie semble avoir coûté à Galilée. Au point qu’il en ait fait en 1629 une sorte de signe de reconnaissance puisqu’il faisait graver le dessin de la parabole avec deux tangentes symétriques sur le tube d’une lunette astronomique. Nous avons vu que ces tangentes donnent la propriété du milieu. On sait combien Galilée tenait à la lunette qui, en 1610, lui fit découvrir un monde et changer la cosmologie : la parabole symétrique qu’il dessine est ainsi symboliquement associée à ce changement majeur, et il nous reste à voir qu’il n’y a pas seulement symbole, mais réalisme à le présenter ainsi.

De la symétrie parabolique au mouvement

31Avant même d’en venir aux calculs, à ceux qui seront présentés en 1632, puis en 1638 par Galilée dans ses deux œuvres majeures, il faut encore manifester, par des images, combien la symétrie que la parabole présente une fois donnée intégralement, s’oppose radicalement à ce que pouvait penser un esprit aussi novateur et doué que Bernardino Baldi en 1582. Il commentait, lui aussi avec des figures les « Questions mécaniques » d’Aristote, qu’il étendait à d’autres questions, ayant pourtant reconnu la nature curviligne, mais la déclarant aussitôt « mixte », c’est-à-dire non composée d’une seule courbe. Le mouvement n’était pas reconnu comme unique, mais paraissait composé d’étapes bien différentes, donc non réversibles. En particulier l’étape finale est une chute verticale, et on la voit souvent sur les représentations de jets d’eau avant Galilée. Elle ne correspond au regard que l’on peut avoir directement de ces jets d’eau que si l’on ne regarde pas précisément.

Deux de ces mouvements, le mouvement naturel et le mouvement violent, sont rectilignes ; le troisième mouvement, mélange de ces deux-là, est curviligne. En effet, que l’on projette violemment un corps grave A. Tandis que la violence est prédominante, ce corps se meut en ligne droite vers B ; lorsque la violence se met à faiblir peu à peu, on voit le mobile se porter en C par une ligne courbe mixte ; c’est à la violence, en effet, qu’il doit son transport en avant ; à la nature, son mouvement vers le bas ; une fois qu’il est parvenu en C, la violence ayant pris fin tandis que la nature demeure, le corps tombe verticalement suivant CD20.

Illustration 10 : Figure de Bernardino Baldi en 1582 pour décrire le mouvement d’un projectile lancé dans un commentaires aux « Questions mécaniques ».

32Peut-on tenir que pour autant qu’il y ait de belle mathématique, grâce à des propriétés déjà connues, il n’y a cependant pas preuve que cette courbe représente nécessairement le mouvement de chute d’eau ? S’il ne manque pas aux figures de Galilée dans ce manuscrit de 1608 la dépendance numérique à ce qui se passe au début de la chute de l’eau, que les « thèses » de 1624 donnent aussi mais par des figures, il paraît manquer la compréhension du parcours selon la parabole. La forme de la courbe est visuellement établie, mais insérée dans une trajectoire à certains points ou instants seulement, non dans un parcours qui fasse le mouvement. Or Galilée appartient à la race universitaire, à qui il faut à la fois des démonstrations et des liaisons intellectuelles avec des pensées antérieures, quitte à s’en débarrasser, mais aussi des preuves expérimentales, et un long parcours. Ces preuves sont construites mentalement, mais elles peuvent être réalisées. Ainsi, la symétrie qui bouleverse tout ce que l’on croyait savoir sur le mouvement avec l’opposition des deux formes, naturelle et violente, offre aussi des possibles. Car l’on pouvait désormais raisonner d’au moins deux façons afin de décrire et d’expliquer un même phénomène : ou penser la chute d’eau ou le projectile lancé. Pouvait-on expérimenter ? Non bien sûr en taille réelle, mais en utilisant une réduction.

33Galilée imagine des petites boules de papier chiffonné qui peuvent contenir plusieurs poids différents, et qui sont poussées d’une pichenette à partir d’un rebord horizontal que l’on peut imaginer à partir de l’illustration 7. Comme le papier entourant les petites boules a été trempé dans de l’encre, une trace apparaît sur un papier vertical blanc tendu, qui remplacerait le tableau de la même illustration 7. Or on constate la visualisation expérimentale des paraboles et jusqu’à la propriété du milieu21. Qu’a-t-on de plus sur le mouvement ? On ne peut mesurer la force avec laquelle on lance les boules de papier encré, toutes dessinant des paraboles de même axe vertical et de même tangente horizontale, semblables donc au sens mathématique du terme, mais bien distinctes. Il paraît normal de lier à cette poussée initiale inconnue la « taille » de la parabole, taille numériquement mesurée sur la deuxième horizontale dans cette figure du manuscrit de Galilée. La distinction mathématique des paraboles se voit donc par les valeurs numériques différentes données dans la figure de Galilée sur le deuxième axe horizontal : ces valeurs correspondent à des valeurs différentes de ce qu’on appelait en latin le latus rectum de la parabole, et qui peut se calculer en prenant la longueur AH²/BH (ill. 11), laquelle reprend avec d’autres lettres l’essentiel de la figure de Galilée. On l’appellera le paramètre de la parabole dans un texte de Claude Mydorge sur les coniques paru en 1632. La longueur AH a bien une valeur expérimentale, la demi portée du jet tiré du point 0, lorsqu’il est mesuré sur cette horizontale. Qu’indique d’autre cette longueur AH ? Dire qu’elle mesure l’impetus du jet en 0 n’implique pas beaucoup, puisqu’on ne sait rien expérimentalement de cet impetus, et par exemple s’il dépend ou non de la masse de la boule projetée. Visiblement, Galilée a en 1608 transformé cette information sur la taille des paraboles grâce à des valeurs numériques portées sur l’horizontale à partir du sommet b commun à ses paraboles dessinées (ill. 8). Et ses valeurs numériques sont seulement liées au mouvement de chute verticale, et reportées horizontalement, un mouvement dont il connaît la loi au moins depuis qu’il le décrit dans une célèbre lettre à Paolo Sarpi datée de 1604, et en particulier dont il sait par expérience qu’elle est indépendante de la masse du corps qui tombe. La preuve n’est donc pas dans les boules de papier, et cette indépendance est une hypothèse.

34Poursuivre l’enquête sur le lien qui a été établi entre une courbe, la parabole ayant plusieurs espèces, et un mouvement, fait jouer la versatilité de cette courbe, en l’occurrence sa symétrie. En effet, si on lance quelque chose depuis A (ill. 11) selon la direction de la droite AB, et que l’objet lancé se retrouve alors au point O comme étant celui de la plus grande hauteur qu’il puisse prendre, l’objet lancé redescendra nécessairement en C, point qui est à une distance double de A par rapport à celle de H. Contrairement à la plupart des suppositions faites antérieurement, se résumant à l’opposition aristotélicienne de deux mouvements donnant l’apparence du repos selon le media quies des scolastiques, l’objet ne restera pas immobile en O : il y possède un impetus, dirigé horizontalement, et qui permet la redescente. Mais au moins nous pouvons accepter par la forme géométrique de la courbe que cet impetus soit exactement le symétrique par rapport à la verticale de celui d’un corps en O, qui partirait de C, suivant la droite CA, ce qui le conduirait en A en suivant la parabole. Ces réflexions ont donné lieu à une très intéressante supposition ; nous ne savons précisément pas comment, mais la détermination complète de la parabole y a contribué. Est intervenue l’idée d’une conservation de cet impetus tout au long du mouvement.

35Ce qui conduit tout simplement à supposer que le mobile lancé de A suit sur la droite AB un mouvement uniforme, c’est-à-dire de vitesse constante. En d’autres termes, ce qui se mesure en AB est aussi bien une distance qu’un temps. De sorte que ce qui se lit en BO, s’interprète comme une chute verticale pendant le temps correspondant au parcours de AB. À l’idée aristotélicienne d’épuisement de l’impetus remplacé par un autre de retour vers le bas est substituée l’idée mathématique d’une addition algébrique des effets, c’est-à-dire d’une indépendance des mouvements, celui selon la droite AB et celui selon la verticale.

36Apparaît fondamentale l’expérience de pensée qui a consisté à enregistrer comme un temps ce qui était normalement perçu comme un espace : cet espace est le lieu lu sur la droite AB, lorsque le mobile est lancé obliquement vers le haut, ou aussi bien le jet d’eau sortant d’un bec droit orienté vers le haut est à son maximum de hauteur. Par symétrie maintenant acceptée, ce lieu correspond à la moitié de la portée, ce dernier point horizontal étant alors atteint avec une vitesse égale à celle de départ, mais dirigée exactement de façon symétrique (ill. 11). La demi-portée du lancement, lue comme la distance AH donne aussi le point H comme lieu qu’aurait atteint un mouvement uniforme sur l’horizontale, partant de A et animé, non de la « vitesse initiale » V qui est selon la droite AB, mais de sa projection Vh sur l’horizontale. En quel temps ? Le temps pour lequel il y a exacte égalité entre la vitesse du mouvement vertical vers le haut (avec l’impetus de départ dans sa composante verticale Vv) et la vitesse du mouvement de chute verticale correspondant au mouvement parvenu en BO. C’est le temps où se produit le soi-disant media quies, ce temps où la parabole a son sommet et atteint le maximum de la courbure.

37À ce point du raisonnement qui n’a rien d’axiomatique, mais fait de déductions successives et d’hypothèses enchevêtrées conduisant à des idées, plusieurs voies s’avèrent possibles, l’objectif étant d’arriver à des propositions dont il serait possible de repartir cette fois mathématiquement et par déduction pour obtenir non seulement la parabole, mais aussi bien la façon dont elle est parcourue dans un mouvement. Il est vraisemblable que Galilée a parcouru longuement toutes ces voies avant de parvenir à la situation qu’il expose par écrit dans la dernière partie de sa vie22.

Illustrations 11 et 12 : Deux figures de la parabole de la chute des corps, avec le sommet et dans le cas général

38Pourquoi ne pas considérer plus généralement sur la figure la composition de deux mouvements, s’additionnant à chaque temps parce qu’ils sont indépendants ? Il y aurait un mouvement uniforme selon la droite AD, comme en D ou D’ avec comme vitesse celle V de départ selon la droite AB, et un mouvement de chute verticale selon DE, ou D’E’ ; ce mouvement est en carré des temps, c’est-à-dire en carré de AD, qui est aussi bien en carré de AF. Pour le dire dans les termes qui pourraient être ceux de cette époque, DE est à D’E’ comme le carré de AD est au carré de AD’ ou encore comme le carré de AF est au carré de AF’. Un tel rapport implique que les points A, E et E’ sont sur une parabole d’axe vertical. En effet, on peut calculer au moyen de la théorie des proportions et de la théorie de la parabole selon Apollonius. Ce que je ne ferai pas ici, dans la mesure où j’ai préféré les images aux calculs. Mais la géométrie analytique élémentaire à la Descartes, assure aussi bien que lorsqu’une ordonnée est en carré de l’abscisse, quels que soient les axes, rectangulaires ou non23, on a nécessairement une parabole. Remarquons bien que cette démarche part de la loi en carré des temps pour une chute verticale ; la parabole apparaissant parce qu’on a pu inscrire le temps en géométrie moyennant la conservation d’un impetus.

39Une autre possibilité tient à l’observation expérimentale de la parabole, et moyennant la même inscription des temps, déduit que DE varie comme le carré de AD, donc déduit la loi de la chute verticale en carré des temps. Cette façon de faire n’élimine aucunement la partie expérimentale du travail de Galilée, pas plus qu’elle ne fait fi de son interprétation théorique de certains principes (inscription du temps devenant le principe d’inertie). C’est seulement la parabole qui semble jouer un plus grand rôle24.

Les images du calcul

Illustration 13 : Frontispice d’une thèse de mathématique soutenue au séminaire royal de marine à Toulon en 1699 ; agrandissement de la partie algébrique

40Un calcul est réversible selon les seules manières du calcul. Alors que pour être probante une figure géométrique requiert un autre discours, celui du texte qui l’accompagne. On l’a perçu avec la symétrie de la parabole comme courbe de chute, mais aussi bien avec les deux voies possibles pour Galilée. C’est ce garant de la réversibilité du calcul, généralisé et métaphorisé, qui est donné à voir, comme une signature d’authentification dans le frontispice d’une thèse soutenue à Toulon en 1699, et où l’on voit plusieurs paraboles en pointillés sur la figure en haut à gauche, et pour lesquelles la question de la symétrie se résout par un regard perspectif.

41L’image exhibe un lieu d’apprentissage scolaire, mais il est placé dans un paysage de travail professionnel, tant avec la construction navale qu’avec la guerre en mer : un bateau est en construction sur un chantier où s’affairent des ouvriers au long des lisses qui viennent enserrer les membrures déjà montées, et des trajectoires en pointillés manifestent la précision des tirs non tendus de boulets de canon. Toutefois le pavage perspectif qui établit une profondeur à la scène, sépare aussi du reste le lieu scolaire où évoluent les putti. Ils ont perdu les ailes des amorini qui les ont inspirés ou les carquois des cupidons, et sont devenus de gros bambins dénudés : ce sont des élèves. Telle est la convention baroque adoptée par les jésuites depuis les dessins de Rubens pour l’Optica de François de Aguilón en 1613, et elle sera reprise dans bien d’autres cas de situation d’enseignement, jusque dans l’art rococo. Est-ce ce qu’apprennent ces étudiants affairés sur le devant, maniant la sphère, les figures de géométrie, le bâton de Jacob pour la mesure des latitudes, ou le cercle du topographe pour la géodésie, qui leur permet de comprendre la forme parabolique remarquablement dessinée en perspective des trajectoires, selon la loi de Galilée, qui par ailleurs permet de comprendre pourquoi nous ne percevons pas les effets des mouvements de la Terre ? On ne peut manquer d’apercevoir une formule algébrique au premier plan sur une feuille déroulée, et je crois que c’est une première apparition dans une gravure : il est facile de la reconnaître puisqu’il s’agit d’une équation du second degré, z²+az - a² dont la racine positive est exprimée fort correctement avec un signe plutôt baroque de racine carrée qui est plutôt un V majuscule, le vinculum n’indiquant plus rien, alors qu’il est signifié, selon un calcul que l’on apprend encore aujourd’hui sur les bancs du lycée. C’est cette liaison entre une racine carrée et un carré qui fait la loi de Galilée. Faut-il, en commentaire particulier de l’image, signaler que la valeur absolue de la racine négative de cette équation, qui n’est pas indiquée, fournit la proportion dorée ? Puisque l’on aura, pour le rapport à la quantité a. Effectivement, le dessin géométrique qui est au-dessus de la formule est celui que l’on trouve pour le partage en moyenne et extrême raison, donné généralement avec la proposition 11 des « Eléments » d’Euclide au livre II. Ce dessin fixe la proportion dorée dans la mémoire, jusque dans la bonne division en deux parties égales par l’oblique partant du sommet du bas à droite du carré et allant sur le côté de gauche du même carré. Cette proportion a donné lieu à beaucoup de discussions sur le rôle des mathématiques pour gouverner le beau, souvent étranges mais n’en laissant pas moins de traces dans les mentalités.

42À se limiter à ce dernier commentaire, voire à le penser comme une preuve de la puissance esthétique des mathématiques, et compte tenu du lieu même de l’illustration, on manquerait quelque chose d’essentiel, qui est une autre preuve. Celle tout simplement de la réciproque, ou de la vérification par marche arrière qui est la force du calcul : en l’occurrence avec , on a et donc , soit l’équation de départ25. Mais à nouveau, si l’on restreignait l’interprétation à cette seule vérification d’une formule que les Babyloniens connaissaient déjà, on ne comprendrait pas que l’algèbre puisse garantir par ses preuves la science navale de cette fin du xvii^e siècle, et tout autant la science balistique dûment représentée par les paraboles de cette image. C’est pourtant ce qui reste comme le motif majeur de l’image ! En fait, l’algèbre est ici présentée pour dire que le calcul désormais gouverne jusqu’aux paraboles et leurs symétries, qui font le mouvement de Galilée.

Illustrations 14 et 15 : Les jets d’eau chez Vredeman de Vries dans la deuxième partie de sa Perspective latine, gravée par Hondius à Leyde en 1605 (planche 19) ; Le matin, dessin et gravure de François de Poilly, datée de 1643, où l’on voit Louis XIII devant son fils, le futur Louis XIV, et un jet d’eau descendant quasi verticalement, sans souci d’effet parabolique

Conclusion

43Pour la vaste question des changements de la philosophie naturelle sous l’effet des mathématiques, j’ai interprété quelques images, ou lu leur discours. Sous l’avalanche des effets visuels et épistémologiques de la parabole de la chute des corps, matérialisée par celle de jets d’eau, on a pu prendre conscience du changement, au point de parler de métamorphoses. La dernière n’est pas la moindre puisque le calcul algébrique remplace la courbe : il en fait une trajectoire. Mais cette transformation a un invariant qui justifie de parler de métamorphose : la forme géométrique est magnifiée par la forme algébrique.