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Miroirs

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Jackie Pigeaud

Mirum non est mirum. La gauche et la droite au miroir des mathématiques

Jean Dhombres

Texte intégral

  • 1 Tel est le titre dont Galilée se pare dans l’ouvrage publié chez Mascardi à Rome en 1623, Il Saggi (...)
  • 2 En 1610, après les observations rapportées dans le Sidereus nuncius, Galilée devient pensionne par (...)
  • 3 Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometri (...)

1Comme les moralistes n’ont cessé de le déplorer, l’admiration peut être cette attitude d’esprit qui ne propose l’admirable qu’en le réfléchissant sur celui qui admire. Il est en effet plus rare de la considérer en tant que réflexion sur la capacité d’admirer l’admirable. Peut-être est-ce contre ce premier effet miroir de l’admiration qu’un savant mathématicien s’interrogeait sur ce qui est admirable dans la possibilité pour les mathématiques de refléter le réel. Mirum non est mirum, écrivait-il en 1624 à même une image de géométrie. Vulgairement, et pourquoi l’oublier dans un texte savant de cette époque du baroque, cela pourrait aussi vouloir dire qu’on en recevait plein les mirettes. Puisque le réel se trouvait cerné par l’expression, apparemment réductrice, mais étonnamment impressionnante à nos yeux encore, d’une loi de la nature dite par le moyen des mathématiques. Du moins si l’on ne cherchait pas à mieux voir, et à distinguer dans l’image présentée la part réflexive de discussion qui doit accompagner toute bonne philosophie, laquelle se différencie ainsi du dogmatisme. Ce que je vois n’est pas nécessairement ce que je peux, je veux ou je dois admirer, l’admiration ne pouvant pas être admise comme attitude scientifique, le doute devant être le moteur de l’interrogation jusqu’à satisfaction raisonnable. La preuve de cette admiration mesurée de la connaissance scientifique, s’il en fallait donner une, est que la science vit de démonstrations. Elles peuvent quelquefois être des « monstrations », comme je voudrais l’évoquer par cette scène habilement montée dans un recueil intitulé Theoremata mathematica scientiae staticae, et qui n’a pas eu jusqu’à présent les honneurs de la renommée. Puisque c’est une « thèse », elle induisait normalement à son époque un sentiment d’admiration pour un acte académique public. Mais l’acte est en miroir, dans la mesure où ses auteurs n’avaient pas le droit de délivrer des thèses au sens universitaire d’un diplôme qui crée le docteur et le fait admirer de ses pairs auxquels il s’agrège parce qu’ils sont admirables. La scène que j’ai décrite faisait en effet partie d’un exercice d’exhibition savante au collège jésuite de Louvain et cet exercice ne s’inscrivait donc pas dans le cérémonial de la célèbre université qui refusait son aula aux jésuites. Par ailleurs, c’était une année à peine après la publication du Il Saggiatore de Galilée, ouvrage dans lequel le « philosophe et premier mathématicien du grand duc de Florence1 », ayant remisé sa fonction universitaire2, et en impromptu au milieu de beaucoup de polémique sur les admirables comètes, avait annoncé que « la philosophie (naturelle) est écrite en langue mathématique » au moyen de « caractères » géométriques3. soyons sûrs que cette phrase de Galilée n’avait pas suscité l’admiration chez les universitaires et lettrés auxquels elle était destinée, et pour qui la mathématique restait une science de l’enfance et de la préparation, non de la réflexion. Ne la voit-on pas comme illustrée dans le recueil jésuite de 1624, en particulier lorsque trois panneaux par lesquels ces caractères se manifestent chaque fois par des figures, se font le miroir d’un savoir daté ou référencé (ill. 1). Celui de Pappus est reflété sur la gauche, celui de stevin sur la droite, et le savoir qu’il faut retenir se trouve, comme de bien entendu, au centre, désigné par le magistral putto dont la règle est pointée sur les figures géométriques qui, au premier regard comme à la première réflexion, ne paraissent pas devoir susciter, ni non plus mériter, toute cette rhétorique sur l’admiration qui se trouve inscrite de façon non symétrique en caractères latins en bas de deux des panneaux. Le panneau dédié à Pappus ne porte en effet pas d’inscription commentaire, et offre ce que beaucoup voyaient comme la sécheresse d’une figure géométrique, car non discursive et dépourvue des apprêts rhétoriques.

Illustration 1. Vignette accompagnant le théorème 7 des Theoremata mathematica scientiae staticae, Louvain, Haestens, 1624.

2Mais j’ai aussi parlé de miroirs en ce sens indirect que le savoir qui s’exhibe sur les deux panneaux latéraux, et apparemment se nie ou se critique par l’effet optique de la confrontation, n’est que le reflet de ce que le spectateur est censé déjà savoir. Ces deux savoirs latéraux, incomplets ou paradoxaux, doivent se résoudre dans la connaissance centrale. C’est une connaissance nouvelle. Et pourtant le commentaire qui y est mis en dessous, poursuit le genre de l’expression attribuée à Aristote dans les « Problèmes sur les mécaniques », affirmant que ceux qui ignorent le mouvement tel qu’on l’apprend en philosophie naturelle, ignorent la nature. Ce qui devient en l’occurrence du panneau central : unde de motus inclinati naturam ignorant, qui de eo… (C’est pourquoi ils ignorent la nature du mouvement incliné, ceux qui…). La réintégration d’un discours pourtant figuré par des mathématiques dans une forme scolastique, pouvait apparaître comme rassurante, du moins pour ceux qui étaient devenus inquiets en percevant le jeu indépendant des figures mathématiques.

Le dépassement admirable d’un effet miroir non moins admirable

  • 4 L’image géométrique ici produite sur le panneau de gauche (ill. 1) reproduit celle qui est fournie (...)
  • 5 Comme en bien des instances de l’imagerie scientifique, nous ne disposons pas d’études fiables sur (...)
  • 6 Le triangle ne devrait pas paraître droit, au nom de la généralité même de ce qui est en cause, à (...)

3Regardons de plus près cette configuration tripartite. Deux noms ornent les panneaux latéraux, celui de Pappus à main gauche, auteur de la fin du iiie siècle après Jésus Christ, qui fournit une connaissance purement géométrique ; elle est figurée par des tracés sans épaisseur, porteurs en eux-mêmes d’une démonstration à laquelle répond comme attestation la « Collection mathématique », et en l’occurrence son livre VII sur la notion d’allègement du poids supporté par un plan incliné4. Tel le représente le grand cercle, en fait une boule glissant sur un plan incliné réduit à un triangle rectangle, selon une stylisation qui devait être déjà connue de l’Antiquité5. À main droite pour nous, il y a le nom de Simon Stevin, décédé depuis à peine quatre ans au moment de la préparation de la thèse, et une utilisation graphique d’une théorie de boules enchaînées autour de deux des côtés d’un triangle géométrique, s’inscrivant selon une courbe pesante au-dessous du troisième côté. Ces boules ne se réduisent pas aux cercles de la géométrie, car elles ont un poids, mais ne l’attestent pas des ombres portées à même le dessin, comme c’était souvent le cas à cette époque de l’art baroque. Le dessin est géométrique ! Cependant pour ces boules est très notable leur enchaînement, représenté par des segments, quoique le dessin ne respecte pas l’exigence technique : l’angle supérieur de la chaîne reproduit l’angle supérieur du triangle6, au lieu de s’arrondir pour souligner la liaison qui allait devenir mouvement comme s’il y avait une poulie que l’on voit dans l’illustration 2. Le dessin de l’illustration 1 est censé montrer que ces boules ont sur chacun des deux plans inclinés représentés par les deux côtés non horizontaux du triangle, un autre poids que leur vrai poids, un poids apparent, staltwicht écrivait Stevin en flamand en 1586. Il tenait en effet cette langue pour bien meilleure que la langue grecque lorsque l’objectif était d’exprimer les réalités du monde. Et en particulier exprimer la réalité, bien connue de tous ceux qui ont à porter des charges, qu’il est moins lourd de faire rouler une boule sur un plan incliné que de la soulever, et que la pente du plan joue quelque rôle dans cet effet d’allègement apparent, donc phénoménal. En fait, au-delà de ces mots, l’admirable est que l’image contienne tout ce qu’il faut pour un calcul exact de ce poids apparent. Quoique la lisibilité de ce résultat soit autre, sinon opposée, à celle de la figure nue de Stevin qui lui fait face. Nous voilà donc confrontés par ces panneaux à la qualification d’image géométrique, ou même de figure, voire de symbolisme, alors qu’il y a deux lectures différentes et pourtant univoques.

  • 7 La représentation géométrique du panneau droit est évidemment tirée de la Statique flamande (De Be (...)

4Ne parlons pourtant pas en termes d’énergie dépensée pour lever la boule : cette énergie dépend de la hauteur verticale soulevée en la multipliant par le poids réel, pour obtenir ce que nous appelons en mécanique d’un mot remarquablement bien choisi au xixe siècle, le « travail ». Mais on peut encore le calculer en multipliant par le poids apparent la longueur parcourue par la boule sur tout le plan incliné. Si ceci n’a été compris que bien plus tard en ces termes d’énergie, le raisonnement fait par Stevin peut être interprété en ces nouveaux termes, par lesquels il ne faut pas s’étonner d’un poids apparent moins grand qu’un poids réel, car de fait on le fait rouler sur une plus grande distance, celle de l’inclinaison. L’énergie dépensée est bien la même dans les deux cas, et la conservation du travail détruit le paradoxe ou l’étonnement possible, celui dont parle Aristote et qui est générateur de science. Pour ne pas commettre cet anachronisme formel sur l’énergie, des commentateurs tiennent compte de l’insertion de la figure de Stevin dans sa « Statique » de 1586, pour parler d’une théorie du poids apparent qui proviendrait d’une composition des forces, et donc imposerait une réaction du plan incliné, non nommée pourtant par Stevin. Elle le sera par Newton, un siècle après Stevin, dans une de ses lois du mouvement des Philosophiae naturalis Principia mathematica7. L’expression de Stevin n’en est pas moins efficace, montrant une liaison de proportion exacte entre les poids apparents et deux longueurs. De sorte que qui le savait en 1624, voyait aussi bien la proportion inverse entre les sinus des angles d’inclinaison. Mais si la langue mathématique des proportions est réservée à quelques-uns, elle s’impose visuellement à un bien plus grand nombre : ici le nombre de boules sur chaque côté doit être pensé comme étant proportionnel à la longueur de ce côté, donc donne une mesure de cette longueur. L’image exprime, numériquement mais comparativement, le poids apparent sur une pente.

5Alors qu’il fait face à celui de Stevin, le poids apparent de Pappus est immédiatement lisible à gauche de la vignette à laquelle nous revenons. Puisqu’il se lit comme le poids de la boule supposée homogène, encore que diminué de celui de la lentille d’axe vertical que l’on voit ici dessinée. L’opposition des deux images, qui au premier regard pouvaient paraître d’une géométrie uniforme, est dans la grammaire même du dessin du poids apparent : à gauche il y a une soustraction à faire, à droite c’est une proportion de géométrie du triangle qui doit être pensée en comptant numériquement les boules. Pour le moment, si je puis ainsi dire pour marquer le temps de la réflexion lié à l’exhibition en confrontation des trois figures, c’est selon un autre effet miroir que le spectateur savant reçoit en retour la phrase choc. Celle qui figure au bas de la figure centrale, et par cette phrase l’ignorance est accusée de fausser l’admiration.

Quid mirum quod ignoret mirum, cui mirum, non est mirum.
Pourquoi s’étonner que s’étonne celui qui ignore l’admiration car ce qu’il admire n’est pas l’admirable.

6On comprend mon questionnement en début de mon intervention. Selon la traduction que j’ai adoptée, cette phrase en interrogeant le lieu de l’admiration fait usage des deux sens possibles du mot « mirum » : l’étonnement dont parle Aristote dans les « Problèmes sur les mécaniques », ouvrage si prégnant comme arrière fond des textes ici en cause, et l’admiration que l’on peut avoir pour un succès scientifique, admiration qui n’est pourtant pas dénuée d’une erreur possible. Si de philosophie naturelle nouvelle il s’agit bien ici, elle n’a rien perdu de la verve amusée du texte antique, verve peu à peu perdue au fur et à mesure que l’enseignement scolastique se répétait, et désespérément perdue avec les textes du scientisme.

  • 8 J’avoue avoir utilisé le mot « infini » ici par la seule force de l’habitude, après Alexandre Koyr (...)

7Le lecteur de 1624, ou le regardeur, était d’autant plus étonné ou surpris qu’au centre de l’image, et réunissant sans ambages les deux aspects, gauche et droite, il voyait un cercle et le savait représenter la Terre, dont l’attraction faisait le poids apparent des corps sur un plan incliné à la façon de Stevin. Le lecteur voyait aussi des lignes géométriques qui partent de cette Terre et découpent chaque fois une lentille à la façon de Pappus, cependant non symétrisée dans la boule qui roule, représentée sans plus d’effort par un cercle, comme la Terre devenue simple boule parmi d’autres. L’image centrale dit en outre, à qui veut bien lire jusqu’au bout la leçon philosophique, que la géométrie qui porte le sens mécanique d’une théorie sur la Terre, le porte tout aussi bien dans l’infini des cieux, même s’il faut adapter à l’effet de distance la théorie du poids apparent, qu’elle soit celle de Pappus ou celle de Stevin8.

Illustrations 2, 3 et 4. Détail d’une vignette des Theoremata mathematica scientiae staticae, Louvain, Haestens, 1624, montrant une « expérience » possible de mesure du poids apparent, et par conséquent un moyen de vérifier les « hypothèses » de Stevin ou de Pappus ; à droite, représentation « réaliste » de la même opération de mesure dans « la Statique » de Stevin ; au-dessous, vignette du théorème 6 des Theoremata mathematica scientiae staticae, une image saisissante de lien cosmologique, puisque le grand cercle du fond représente la circonférence terrestre, et que les putti expérimentent avec des simples boules.

  • 9 Il faut ici ajouter que le poids apparent que Stevin donne selon son dessin est celui adopté par l (...)
  • 10 J. Dhombres, P. Radelet-De Grave, Une mécanique donnée à voir. Thèses illustrées de statique défen (...)
  • 11 J. Dhombres, « La mathématique comme langue du monde intelligible. Interprétations de la phrase de (...)

8Outre cette adaptation, qui ne prend pas vraiment parti entre les deux doctrines ou positions sur le poids apparent9, le lecteur ne pouvait que conclure qu’il ne devait pas y avoir de différence entre le monde sublunaire et le monde supra lunaire10. Le tableau central de la vignette des Theoremata mathematica scientiae staticae est, en ce sens, l’opposé des deux miroirs latéraux où admirer les connaissances déjà établies : il devient le lieu où se détruit le savoir issu d’Aristote, dogmatisé avec talent par la scolastique. Remarquons, ce que l’on ne fait pas assez souvent, que même à rester dans le cadre d’une pensée scolastique, par un effet miroir d’inversion, l’effacement de la différence entre les deux zones du cosmos aristotélicien favorisait directement la mathématisation. En ce sens qu’Aristote ayant concédé au monde éthéré la présence mathématique, dans la mesure où elle fournirait une description valide « sauvant les apparences », si l’on permettait à la mécanique de la Terre de valoir dans ce même monde, on autorisait ipso facto à la mécanique terrestre d’être dominée par les seules mathématiques, devenant causes en elles-mêmes des apparences. La dissolution du principe anti-mathématique de la pensée scolastique provient de ce que l’expérimentation dirigée, et forcément terrestre, puisse être gérée par les mathématiques. Ces sciences fournissent les concepts universellement valables, en l’occurrence le poids apparent ou la composition des forces, qui deviennent alors des phénomènes. Ils sont aussi à l’image des « phénomènes » du calcul mathématique, qui n’est donc pas une abstraction. Ces concepts peuvent même être suffisants, non seulement pour la description, mais encore pour expliquer la façon dont les phénomènes se produisent. À condition de les voir ainsi définis. Au sens où, en substituant ces concepts à ces phénomènes, on ne perd rien de ceux-ci qui importent au regard du savant, de l’artisan comme de l’artiste, quoiqu’en ressentent cependant le poète et le métaphysicien. Les caractères « géométriques » dont parlait Galilée, juste un an avant les « thèses » que nous regardons, sont devenus des fondations, non sans doute des causes au sens métaphysique ancien, mais des récits logiquement écrits qui font la syntaxe d’une multitude d’effets11. L’expérience nouvelle de la syntaxe mathématique a modifié la notion même de causalité aristotélicienne. Objectivement aussi l’image obtient un nouveau statut discursif.

  • 12 Ces documents expérimentaux, pourtant publiés par Favaro dans les œuvres de Galilée, ont fait l’ob (...)

9Avec la vignette (ill. 1), l’expérimentation, celle qui est effectivement active depuis 1585 sous les doigts de Galilée comme nous le savons par ses manuscrits12, n’est-elle pas fortement suggérée par le plan incliné que Stevin stylise par un triangle ? Ce plan incliné est une « machine », qui ne fait pourtant pas partie de l’arsenal déployé dans les « Problèmes sur les mécaniques » ; il devient un outil conceptuel de la mécanique, ne serait-ce que comme modèle réduit de l’effet de pesanteur. Mais l’on doit voir autrement l’expérience qui met en jeu le poids apparent (ill. 2 et 3), car on peut vouloir la « spiritualiser » comme on disait autrefois dans une certaine philosophie, en la considérant comme une « expérience de pensée ». Si l’expression a beaucoup plu un temps chez les épistémologues, avant que le mot « modèle » ne la détrône, ne faudrait-il pas omettre de voir l’expérience de pensée comme un miroir du phénomène et qui en donnerait le double, mais comme un reflet sélectif de ce que l’on veut penser ? Ce reflet de ce que du phénomène on veut seulement considérer peut se comparer à la manière métaphorique d’une peinture qui, par certains procédés, des reflets, met sur un plan ce que l’on sait par ailleurs être dans l’espace. On peut parler d’un effet perspectif dans ce que l’on appelle à la légère la « réduction » mathématique des phénomènes, ou l’abstraction au sens propre du terme, celle qui coupe dans le réel. Au sens où la qualité plane du miroir s’étend à l’image reflétée, alors qu’il faut sauver les phénomènes par les règles de la perspective aérienne qui joue sur les teintes mathématiques, ou celles du dessin perspectif. On peut agrandir la liste à d’autres règles et on peut les qualifier de conventions, à condition de ne pas oublier qu’elles sont liées aux apparences par un souci de rendu.

10Deux images scientifiques confrontées me sont alors utiles pour comparer la représentation qui est donnée du phénomène de la réflexion dans un miroir : à gauche, le dessinateur a sorti dans l’espace la tête de celui qui se regarde de face (et dessiné en perspective un triangle qu’il veut isocèle pour indiquer la propriété mathématique de la réflexion optique) ; à droite, estime-t-on, le dessinateur a préféré garder le miroir plan, et dessiner plane une tête reflétée, ayant choisi d’abaisser le miroir où se voit la tête. Mais en y regardant de plus près, on voit en fait la tête renversée, donc un effet de lentille, et non une réflexion. N’oublions pas que ces dessins sont faits pour nous, spectateurs de la science exhibée plus que des phénomènes eux-mêmes, et le montrent très bien dans les deux cas les mollets cassés de l’homme central qui se promène dans l’eau, et ne peut les voir ainsi.

Illustrations 5 et 6. Deux frontispices pour l’édition au xvie siècle de livres d’optique ancienne. À gauche, « l’Optique » (1535) de Vitellion (xiiie siècle) ; à droite le « Trésor de l’optique » (1572) d’Alhazen (autour du xe siècle).

  • 13 Cette représentation du monde universitaire offre bien des surprises ; sous le nom de « style jésu (...)
  • 14 A. Koyré, Études galiléennes, Paris, 1939 ; A. Koyré, La révolution astronomique, Hermann, Paris, (...)

11Reste-t-on surpris, en revisitant la vignette des Theoremata mathematica scientiae staticae, que le docte qui enseigne le vrai savoir, soit un enfant ailé et dodu ?13 On a un cas de figure assez nouveau, puisque la droite et la gauche sont toutes les deux réfutées au profit d’un centre révolutionnaire. L’explication centrale ne tranche pas sur les deux théories, largement mathématiques toutes les deux, mais leur apporte un correctif majeur, non un relativisme, mais le sens cosmologique que peut prendre une mathématisation réaliste d’itinerarium mentis in veritatem. Ce qu’Alexandre Koyré, comme historien épistémologue, a remarquablement su saisir14. L’admiration bien placée qui est demandée au spectateur de cette image, ne doit-elle donc pas aussi porter sur l’effort qu’il a fallu faire pour abandonner la tradition scolastique ? C’est l’autre leçon que tirent Auguste Comte et avec lui le positivisme au xixe siècle. Miroir des temps cette fois, on ne peut que penser à la lettre que Kepler envoyait le 13 octobre 1597 à Galilée dont le sens était : ne crains pas d’être pris pour ridicule en disant sur le mouvement de la Terre ce que tu sais être vrai et ne peux démontrer, mais au moins montrer. À la façon dont est montrée, dans cette vignette d’une « thèse » présidée par Grégoire de Saint-Vincent en 1624, la réalité du poids apparent, aussi loin que l’on veut dans le cosmos, et donc l’extension illimitée de l’esprit humain par les mathématiques. Tel est l’infini au reflet de la mathématique euclidienne.

Le miroir qu’est l’isocèle donne le sens d’une équivalence générale de la gauche et de la droite.

  • 15 Voir pour cette traduction chinoise le livre de P. M. Engelfriet, Euclidin China. The Genesis of t (...)

12Le jeu métaphorique qui porte sur une gauche et sur une droite, mais cette fois équivalentes, ou plus exactement symétriques, donc vues l’une par l’autre dans un miroir, n’est évidemment pas indifférent à la pratique et à l’exhibition baroque de la connaissance scientifique. J’en veux pour preuve un texte en chinois travaillé15 à partir de 1607. Il juxtapose deux figures, l’une sur laquelle il y a symétrie, donc équivalence d’un côté droit de la figure à son côté gauche, et l’autre sur laquelle il y a dissymétrie entre les deux côtés.

13Il me faut donner quelques explications, quand bien même chacun aura reconnu dans la figure de gauche le théorème de Pythagore, tel qu’il figure à la proposition 47 du livre I des « Eléments » d’Euclide. On dessine un triangle rectangle et isocèle ABC, rectangle en B et les deux côtés BA et BC sont égaux (Ill. 8). On le complète par des carrés, d’abord le carré ABCD, puis les carrés ACEF, AGHB et BIJC selon des alignements faciles à concevoir, et qu’Euclide bien sûr explicite. L’axe de symétrie de la figure plane, la droite qui est portée par BD, paraît établir que les deux rectangles AKLF et KLEC, d’aires évidemment égales, ont aussi pour aire celle commune des carrés AGHB et BIJC. On le prouve aisément, ou plutôt on le démontre en décomposant respectivement le carré AGHB et le rectangle AKLF en quatre triangles rectangles, qui ont tous la même aire (aisément calculable comme le quart du carré de a, où a désigne la longueur commune des côtés BA et BC). Voilà la propriété de Pythagore raisonnablement prouvée pour les triangles rectangles isocèles.

Illustration 7. Version du théorème de Pythagore dans le Jihe Yuanben, ouvrage préparé à Pékin à partir de 1605 par Matteo Ricci et Xu Guangqi, à partir du commentaire de Clavius du livre I des « Éléments » d’Euclide sorti dans une première version en 1574.

  • 16 Voir à ce propos J.-C. Martzloff, Recherches sur l’œuvre mathématique de Mei Wending (16331721), M (...)

14Pour autant la technique ne paraît pas généralisable au cas d’un triangle rectangle quelconque ABC, rectangle en B, en ce sens que la hauteur issue de B n’est plus un axe de symétrie (ill. 9). Pourtant l’énoncé qui ne retient rien de l’hypothèse particulière de l’égalité des longueurs des deux côtés du triangle rectangle (le caractère isocèle), suggère la propriété générale, mais non sa preuve. Encore que l’idée puisse venir de montrer seulement l’égalité de deux aires, celle du rectangle AKLF et celle du carré AGHB. Car si celle-ci est établie, par « symétrie », au sens cette fois d’une symétrie intellectuelle sur la figure, c’est-à-dire d’une indifférence entre la gauche et la droite, et non d’une symétrie géométrique réelle, viendra évidemment l’égalité de l’aire du rectangle KCEL à celle du carré BIJC. La preuve d’Euclide au livre I des « Éléments » consiste à établir la première égalité des aires, en traçant la diagonale FK, la droite FB et la droite GC : on vérifie successivement l’égalité des aires des triangles AFK et AFB, puis des triangles AFB et GAC, et enfin celle des triangles GAC et GAB. Ce qui par multiplication par 2 suffit pour établir le résultat d’égalité de l’aire d’un rectangle à celle d’un carré. La preuve euclidienne du théorème de Pythagore n’est complète en effet que lorsqu’on aura référé toutes ces propriétés énoncées à des propriétés antérieures, dont cette multiplication par 2, aux notions communes, et aux définitions. Euclide pourtant ne se contente pas de faire la démonstration, à gauche si l’on peut dire, et il la reprend à droite, avec l’égalité des aires du rectangle KCEL et du carré BIJC. Cette répétition d’une preuve peut intriguer. Il me faut préciser que la démonstration d’Euclide ne passe pas par l’étape intermédiaire d’un triangle isocèle qui n’est donc pas plus présentée comme une preuve d’origine que comme une preuve de principe. Clavius, le maître mathématicien du Collegium romanum, a introduit la démonstration préparatoire. Il le fait à la fin du xvie siècle en intervenant directement dans le texte d’Euclide, et non seulement en commentaire. La méthode plut beaucoup, et lorsque le jésuite Matteo Ricci se rendit en Chine, et entreprit de traduire les six premiers livres d’Euclide, après force discussions philologiques et mathématiques passionnées avec un mandarin chinois, Xu Guangqi, l’intrusion fut maintenue. Nul doute que la démonstration du cas isocèle parlait en plus aux Chinois, habitués à ces déplacements de figures pour jouer en géométrie à la façon d’un puzzle16. L’introduction d’une symétrie dans la première figure indiquait en effet le rôle clef de la hauteur, la raison de son tracé en premier qu’Euclide n’expliquait pas, et la possible omission d’une moitié de la preuve, au nom même de la géométrie. Car en géométrie euclidienne, la position sous forme de gauche, droite, haut, bas, ne peut servir d’argument et si l’égalité d’un côté a été « bien » démontrée, ipso facto elle vaut pour l’autre côté. Des manuels mathématiques témoignent de cette considération, et ne donnent pas la figure euclidienne complète, mais une moitié seulement. C’est ce qui a été fait à l’illustration 9.

15Il est possible de traquer encore un autre effet miroir, celui de la réflexion optique et donc celui de l’inversion, cette fois dans l’ordre même des énoncés d’Euclide, ou jeu de la « symétrie intellectuelle ». Ce qu’on appelle le théorème de Pythagore, et qui fut l’attestation de preuve par excellence dans un monde ancien comme on le constate jusque sur des images de propagande astrologique, peut certes être dit effet de tout ce qui précède, mais ce tout, par sa forme plurielle qui ne contribue pas intégralement au résultat de Pythagore, ne peut pas être qualifié de cause. Ajouté à la 47e proposition, le résultat produit sa réciproque, qui est rarement, sinon jamais, sortie de son contexte mathématique. Ce livre se termine fort habilement en effet par un revirement, qui serait musicalement l’inverse d’un da capo. On pourrait retourner la suite des démonstrations, pour que la nouvelle cause, entendue cette fois comme la proposition 48 prise en tant qu’hypothétique définition de l’angle droit, prouve au moins certaines des propriétés précédemment établies en chemin. La proposition 48 indique en effet que si, dans un triangle les carrés construits sur deux côtés ont comme somme des aires celle du carré construit sur l’autre côté, l’angle formé par les deux premiers côtés est ipso facto droit. Cette proposition sert donc de caractérisation de l’angle droit.

Illustrations 8 et 9. Le théorème de Pythagore dans un cas particulier et dans le cas général.

16La démarche d’inversion a été tentée, et par exemple en 1667 dans les Nouveaux Éléments de Géométrie dus à Antoine Arnauld, le célèbre théologien janséniste. S’il établit une géométrie de l’évidence sensible, considérée comme probante, néanmoins l’angle droit provient d’une définition par la distance et l’oblique, donc par utilisation de la relation pythagoricienne, passée d’ailleurs de sa valeur géométrique (somme d’aires de carrés géométriques) à une expression algébrique. À examiner les équivalences chez le mathématicien, nous ne risquons pas le cercle vicieux, mais la magnifique et inquiétante mise en abîme que deux miroirs face à face peuvent provoquer. Pour au moins la canaliser, la mathématique découpe dans le matériau qui s’offre à elle des pans organisés, véritable progression dont les « Éléments d’Euclide » offrent un exemple remarquable. La réalisation d’Arnauld est un autre exemple qui a plu, mais n’a pas duré plus d’un siècle. Si un exercice d’apprentissage mathématique consiste à déranger l’ordre précisément établi dans un cours en le déroutant – c’est le jeu de démontrer ceci en ne supposant pas cela – il n’y a plus guère d’effet miroir. Car on voit bien que le nouveau jeu a un objectif architectural d’organisation des façons de penser mathématiquement ; il crée du réel là où le miroir ne peut qu’offrir un complément virtuel. En architecture, les miroirs, plus que tout autre architecture, reflètent le ciel, comme à Versailles dans la galerie des glaces, ou sur des gratte-ciel dont les fenêtres sont faites de vitres réfléchissantes.

La propriété miroir de la parabole de Galilée devient concept

17On n’a pourtant pas assez mesuré à quel point les mathématiques, par l’exploitation abstraite de certaines symétries comme celles de la gauche et de la droite, peuvent donner à penser au physicien. Ce serait aussi un effet miroir, du moins pour ceux qui pensent que les mathématiques tirent toutes leurs ressources du réel. Un exemple tient à la parabole de Galilée, celle des lancers de projectiles, qui est la trajectoire d’une pierre dirigée à l’oblique vers le haut, ou celle d’une bombe, voire plus concrètement un jet d’eau. La trace de ce jet subsiste dans l’œil, à la différence de la trajectoire fugitive d’un projectile. Il importe que les deux phénomènes soient liés par le même mot, « jet », utilisé dans les deux cas depuis des siècles. Que Galilée ait reconnu très tôt la courbe parabole comme trajectoire d’un lancer oblique, et qu’il l’ait réalisée expérimentalement, n’empêche pas qu’il ait attendu sa vieillesse, et même sa condamnation, pour « déduire » publiquement la forme parabolique de ce mouvement de la loi naturelle de la gravitation. Il le fait en 1638 dans la Quatrième journée des Discorsi e Dimonstrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, un ouvrage imprimé à Leyde, si loin de la catholique Florence. Si l’on peut penser qu’en fait Galilée a aussi induit ladite loi de la constatation de la forme parabolique, il faut cependant souligner la longue maturation, pratiquement toute une vie, qui le conduisit finalement à la voie déductive. Ce qui ne nous empêche pas, bien au contraire, de considérer quelques résultats que Galilée a pu déduire de la forme parabolique reconnue, acceptée ou seulement supposée, et en particulier de la propriété de cette courbe d’avoir un axe de symétrie. Alors que cet axe n’est pas forcément perceptible du premier coup d’œil sur la trajectoire d’une bombe, ou même sur un jet d’eau (ill. 10 à 15). Ce qui se voit, et qui a été remarqué dans l’Antiquité, est le sommet de la trajectoire. La question 32, dans les « Problèmes sur les mécaniques » du pseudo-Aristote, interroge la raison du repos auquel parviendrait en son maximum de hauteur un projectile lancé. Très elliptique, le texte se termine par la question de l’absurdité d’une telle considération lorsque le principe nous échappe. C’est ce principe que Galilée trouve justement en annulant l’idée d’un repos en ce point maximum, la ridiculisant même. Pour ce faire, la symétrie de la parabole a pu jouer un rôle.

Illustrations 10 et 11. Une photographie du xxe siècle du bassin des Tritons à Versailles, dans laquelle l’œil doit mentalement compléter l’image afin de percevoir la symétrie des trajectoires paraboliques ; frontispice pour les fables de Houdard de la Motte, où dans un cadre délibérément symétrique, le dessinateur au xviie siècle n’a pas toujours respecté la symétrie des courbes représentées, et par ailleurs imposé d’impossibles verticales à d’autres courbes effectivement symétriques.

Illustrations 12 et 13. Vue perspective du bosquet des trois fontaines à Versailles, d’après Plans, Profils et Élévations du château de Versailles en 1714 (planche 38) ; Fontaine d’Apollon et Daphné à Versailles, selon un dessin de Charles Lebrun, dans Recueil de divers dessins de Fontaines et de Frises maritimes (planche 10), où le dessinateur a abandonné la symétrie pourtant réelle des paraboles sur le côté gauche afin de compenser l’espace pris par la composition humaine sur la droite.

Illustrations 14 et 15. Frontispice de la Nova Scientia de Nicolo Tartaglia, où la courbe tracée de la trajectoire d’un boulet tiré par un mortier, dans l’enceinte gardée par Euclide, n’a pas de symétrie apparente, et donne même l’impression d’être une courbe gauche (non plane) ; Schéma classique avant Galilée du mouvement d’un projectile, décomposé en trois parties physiquement différentes, n’ayant de ce fait aucune symétrie, dans Platica manual de artilleria de Luys Collado (publié à Milan, en 1592).

18La symétrie est d’autant moins susceptible d’être perçue, lorsque l’on se contente de voir la figure que reproduisent la plupart des textes de mécaniciens expliquant au cours du XVIIe siècle la loi de la chute des corps « selon l’hypothèse de Galilée » (ill. 16). Certes la propriété en jeu de la parabole d’axe vertical est celle d’un diamètre comme AP, mais elle doit être complétée par l’axe de symétrie de la parabole. D’autres mécaniciens le donnent à voir, à commencer par Marin Mersenne en 1647 (ill. 17), et bien sûr avant lui, et de façon cruciale, le découvreur de cette symétrie qui fut Galilée.

Illustrations 16 et 17. À gauche, dessin (figure 335), dans le Nouveau Cours de Mathématiques de Bernard Forest de Belidor paru en 1725, qui exprime la génération de la parabole trajectoire par composition de deux mouvements, l’un uniforme selon la tangente AE (intervalles égaux) et l’autre de chute verticale, selon EF, GH, IK, BD. Figure géométrique de Mersenne, portant explicitement sur un phénomène, dans Novarum observationum physico-mathematicarum, où l’on voit le jeu symétrique sur les paraboles d’axe vertical, toutes enveloppées par une même parabole, dite parabole de tir, qui est la courbe allant de B, milieu de AC, à D, dernier sommet du carré en bas de la figure.

19S’il faut parler ici d’un nouvel effet miroir, le reflet des mathématiques en physique, c’est parce que Galilée déduit quelque chose d’essentiel en renversant à proprement parler le mouvement du projectile. En effet, par la pensée il place en I le boulet qui était en A (ill. 20), avec la même vitesse numérique initiale que celle en A, mais dirigée de façon symétrique ou miroir selon ce qui serait la droite IC si elle était dessinée sur la gravure choisie. Dès lors le boulet arrivera en A. Ce qui se dit si bien, dépend cependant de la notion de vitesse numérique initiale, qui est une nouveauté radicale de la pensée de Galilée, et de la hausse du jet (ou angle entre l’horizon AI et la ligne AE), une donnée bien connue des artilleurs. La symétrie a également pu permettre de penser que toute la trajectoire en fait ne dépendait que de ces données initiales, indépendamment de la masse. Ce sont des concepts auxquels il restait à trouver une formalisation mathématique, mais qui est révolution de la philosophie naturelle et fonde la physique moderne.

Illustrations 18, 19 et 20. Gravure assez gauche par Galilée sur une de ses lunettes astronomiques de la symétrie de la trajectoire parabole ; dessin indiquant les propriétés de symétrie des tangentes opposées à la parabole grâce à la propriété du milieu ; le dessin qui joue de la symétrie, sans tracer la droite IC, en ajoutant des valeurs numériques, dans le Traité de mécanique de Philippe de la Hire, en 1695 (p. 430).

  • 17 L’erreur peut même provenir du point de vue analytique, car si l’on admet très aisément que l’équa (...)

20Si un symbole atteste l’importance que Galilée attachait à la symétrie de la parabole (ill. 18), on peut se demander en quoi les mathématiques aidèrent à sa découverte ? D’autant que le dessin de l’illustration 16 peut donner l’impression que la seule propriété en jeu pour la parabole tient non particulièrement à la propriété de l’axe, mais seulement à la propriété des diamètres, ces droites certes parallèles à l’axe, et lieu des milieux L, M, N et O de cordes toutes parallèles à AB, non complètement représentées sur la figure (ill. 16). S’il y a bien une symétrie oblique avec le diamètre, l’erreur serait de penser qu’il existe aussi des paraboles « obliques », ou de travers.17 Il n’en est rien, toutes les paraboles sont semblables, et donc toutes possèdent un axe de symétrie qui passe par son sommet. Il existe pourtant des dessins géométriques de paraboles au xviie siècle où ce dernier fait paraît improbable (ill. 20) ; le défaut analogue dans des dessins de peintres (ill. 21) peut provenir du fait que l’on pensait devoir incliner l’axe de symétrie, pour tenir compte de l’effet de la résistance de l’air. Cet aspect, qui pourrait avoir valeur physique réaliste, est en fait une erreur, ou plutôt une simplification dépendant des seules mathématiques : incliner a priori l’axe de la parabole évite d’avoir à faire le calcul de la trajectoire en tenant compte de cette résistance, donc d’introduire une équation différentielle non triviale.

  • 18 J. Dhombres, Méditations sur des phénomènes mathématiques, Actes du colloque de Tunis en l’honneur (...)

21Mais on pouvait, également à tort, penser les conditions de la représentation plane d’une parabole prise dans un plan vertical, mais plan de biais par rapport au plan du tableau. Or une perspective respectant la verticale d’une parabole d’axe vertical donne toujours une parabole. Je ne suis pas sûr que n’ait pas joué une autre idée, selon laquelle la symétrie droite appartiendrait au monde idéal dans lequel doivent se trouver les mathématiques, tandis que l’aspect gauche relève mieux du réel qu’il est du devoir du peintre de représenter fidèlement. À moins que la fantaisie, jusqu’au faux, ne soit de mise pour représenter des jeux d’eau chargés d’animer les jardins, par ailleurs conçus de façon rectiligne à Versailles notamment. En ce cas, et contrairement à ce qu’un regard historien trop rapide envisage, ces dessins attesteraient la connaissance assez large de la parabole de Galilée, que ce dernier avait placée au final dans le vide pour éliminer les effets dus à la résistance de l’air. La volonté du peintre, qu’elle soit de réalisme comme de fantaisie, diffère de l’exactitude mathématique qui était devenue icône de la physique18.

Illustrations 20 et 21. À gauche, une parabole donnant l’impression de ne pas avoir d’axe de symétrie, chez John Wallis en 1656 ; faux effets de perspective, et parabole fantastique sur la droite du dessin, dus à Louis de Chastillon en 1683, dans sa Vue du Char d’Apollon dans les jardins de Versailles (0,44x0,66).

Qu’est la gauche à la droite ? Les jeux et les dangers de l’effet miroir

  • 19 Des historiens de l’art veulent prouver que Le Caravage peignit avec l’aide d’un miroir son Bacchu (...)

22C’est ainsi pour éviter l’impression de maladresse qui résulte de l’observation scrupuleuse de la symétrie miroir, que des autoportraits de peintres, connus pour être droitiers, mais connus aussi pour utiliser un miroir les aidant à se peindre, changent pour la pose leur main gauche en main droite afin que celle-ci paraisse tenir effectivement le pinceau (ill. 22 et 23). Il y a aussi bien des cas de choix délibéré d’apparaître avec une main gauche tenant le pinceau (ill. 24). Et le cas se présente d’un croisement des mains, qui empêche que l’on se pose la question (ill. 25). L’affaire se complique si l’on songe au jeu d’inversion symétrique de la gravure par rapport au dessin, et sans imaginer que le putto se soit dessiné lui-même dans l’image donnée en premier (ill. 1), on ne peut manquer de le voir avec une main gauche tenant le bâton magistral. Dans tous les cas, il y a intention du peintre, et non pas ignorance de l’effet miroir19.

Illustrations 22, 23, 24 et 25. Autoportrait de Salvatore Rosa, Metropolitan Museum of Art ; autoportrait de Salvatore Rosa (1,00x0,80), Galleria degli Uffizi, pouvant prouver qu’il est droitier ; Autoportrait de Hyacinthe Rigaud, Galeria degli Uffizi, qui porte à gauche ses pinceaux ; autoportrait de Nicolas Poussin,

23Aussi bien la symétrie, issue du principe de raison suffisante, rend malicieuse une gravure (ill. 27) où l’on voit Mersenne et Descartes, les yeux tournés vers le ciel après le jet vertical d’un boulet : « retombera-t-il ? » N’ont-ils pas tous les deux l’air d’être gauches ? Cependant l’étonnement provoqué par leur interrogation est preuve qu’il y a quelque chose à penser (la satellisation et sa mathématisation avec tout son cortège d’équations), alors que toute personne censée d’alors, et n’ayant évidemment aucune expérience des fusées spatiales, savait voir retomber le boulet. Mais où ? Ne fallait-il pas tenir compte du mouvement de rotation de la Terre, une expérience devenue commune comme le raconte joliment Cyrano de Bergerac, qui joue habilement de la désorientation qu’elle provoque, et jusque de l’ambiguïté de l’adjectif de « nouvelle » France où atterrit son voyageur espérant aller vers la Lune ? L’indécision, qui est celle de la droite et de la gauche sur la représentation plane de l’expérimentation où figurent Mersenne et Descartes, ou effet miroir, est aussi bien celle de l’âne Buridan ; mais en fait l’indécision est spatiale. La preuve défie le sens commun, Bachelard ne cessait de le répéter et déduisait ce qu’il appelait un obstacle épistémologique, qui fait obligatoirement intervenir une psychologie collective datée. Il est assez joli que ce soit la figure du cercle, celle qui annule la possibilité cohérente d’une gauche et d’une droite pour chaque droite dans le plan, qui ait servi à la démonstration de ce même mouvement de la Terre. Car elle se trouve dans la vue des oscillations du pendule de Foucault (ill. 26), suspendu au Panthéon, et venant parcourir au sol un cercle complet en laissant des traces mesurables que contemplent les curieux et badauds rassemblés, véritables miroirs de notre propre étonnement comblé.

Illustrations 26 et 27. À droite, vignette publiée par Pierre Varignon en 1690, représentant Descartes et Mersenne, le gentilhomme et le clerc, imaginant une expérience de lancement vers le haut d’un boulet et touchant aux mouvementx de la Terre ; à gauche gravure donnant l’expérience historique du pendule de Foucault telle qu’elle représentée aussitôt dans l’Illustration d’avril 1851, prouvant le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même.

24On voit simplement le rôle de la symétrie si l’on représente le cercle trigonométrique orienté comme un serpent qui se mord la queue selon le symbolisme classique, et son image miroir qui correspond au passage d’un imaginaire à l’imaginaire conjugué (ill. 29). L’orientation mathématique du plan devient une question de géométrie, à laquelle répond le choix d’un cercle orienté pour la trigonométrie ; cette orientation a même été algébrisée par l’introduction de l’imaginaire, avec le nombre i (dont le carré vaut moins 1 et qui est placé en haut du cercle trigonométrique, donnant ainsi une gauche et donnant une droite) : la multiplication par ce nombre revient à faire une rotation d’un angle droit dans le sens positif du cercle trigonométrique. Je m’attarderai trop à expliquer ce que je viens de dire, et par exemple à préciser en quoi cette algébrisation a donné une preuve du théorème fondamental de l’algèbre (existence d’une racine complexe pour tout polynôme non constant à coefficients réels) et me contente de donner une figure (ill. 28) qui parut en 1806, dans le livre qui fournit la représentation géométrique des nombres complexes (alors qualifiés de quantités imaginaires), avec son entourage explicatif sur l’ordre spatial. Ce qui établit en particulier que la conception du négatif a dû passer par le spatial pour se légitimer autrement que comme opération de calcul. Une géométrie des grandeurs dirigées se mit en place, enrichissant donc la géométrie euclidienne.

Illustrations 28 et 29. Figure 4 de l’Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques en 1806, de Jean-Robert Argand (réédition 1968) ; dessin sur le conjugué d’un cercle orienté.

  • 20 Énoncé de la question 23 des « Questions mécaniques » du pseudo-Aristote, Mekanika (854b17-20, d’a (...)
  • 21 Cette question est discutée au chapitre 28 de Alexandro Piccolominei In mechanicas quaestiones Ari (...)
  • 22 Je crois que l’on aurait une assez jolie perspective intellectuelle en multipliant les interprétat (...)

25Je reviens à Aristote, ou plutôt à un élève de son école, qui avant même Euclide nous a laissé une question où la symétrie miroir de la gauche et de la droite aboutit à un paradoxe. Cet aboutissement paradoxal est dans le goût des « Problèmes sur les mécaniques », dont l’auteur a d’emblée dit qu’ils constituaient difficilement une science, puisqu’il y avait deux sources contradictoires, la source abstraite avec les mathématiques, et la source concrète, avec la physique. Nous avons vu comment fut transformé avec Galilée le rapport entre les deux connaissances, et il vaudrait mieux appeler en l’occurrence la physique ancienne, comme le proposait un auteur du xviie siècle, la « Naturelle », pour parler de physique avec le xviie siècle, justement pour son lien inéluctable avec les mathématiques. Je donne le texte grec20 de la question 23, puis la leçon grecque21 simplifiée avec la traduction latine qu’adoptait le professeur royal Henri de Monantheuil en 1599, et une traduction française ainsi qu’une version latine sans ligature. Les suit sans hiatus une « traduction » du début du xixe siècle, fournie par Daniel Encontre, celui qui fut le professeur de mathématiques d’Auguste Comte à Montpellier. Il dit s’être servi de l’original grec publié à Genève par Pacius22.

  • 23 Le mot rhombe en grec francisé, traduit généralement par losange, connaît la même spécificité que (...)

Pourquoi se fait-il que, lorsque deux extrémités d’un même rhombe se meuvent par deux mêmes mouvements, ils ne décrivent pas une même longueur, mais que l’un en parcoure une bien plus longue que l’autre23 ?

  • 24 H. De monantheuil, Aristotelis Mechanicagraeca, emendata, latinafacta, et commentariis illustrata, (...)

Cur in Rhombo alterum punctorum extremorum non aequalem rectam transit24.

  • 25 D. Encontre, Nouvelles recherches sur la composition des forces. 1er mémoire, n° XXVII, Recueil de (...)

Pourquoi, si deux points sont poussés chacun par deux forces égales selon les côtés d’un même losange ne parcourent-ils pas des droites égales, mais l’un des deux faits plus de chemin que l’autre25 ?

26Avant de résoudre le paradoxe, le texte grec poursuit le questionnement, ce que Daniel Encontre ne traduit pas.

  • 26 Mechanica, 854b. Ma traduction n’est pas fidèle au texte reçu, mais je n’aurais pas plus de mal à (...)

C’est seulement une autre façon de poser la même question que de chercher la raison pour laquelle le point se mouvant sur une résultante parcourt une distance qui soit moindre que celle d’un côté quelconque du rhombe. car l’un parcourt la diagonale qui est la plus petite longueur, et l’autre la plus grande, et cependant le second ne résulte que d’un seul mouvement, et le premier de deux26.

  • 27 J’ai renoncé aux lettres grecques A, B, C, D pour des raisons pratiques d’inscription sur la figur (...)
  • 28 J’adopte le vocabulaire des forces de Daniel Encontre, mais accepte tout aussi bien celui du mouve (...)

27Le dessin d’un losange avec quatre sommets A, B, C et D établit la situation27 : le sommet A est poussé par deux forces égales en intensité, mais non en direction, puisque l’une est selon AB et l’autre suivant AC (ill. 30). Evidemment, le texte grec ne parle pas de force, mais de mouvement, et il faut entendre que chaque mouvement est rectiligne, à vitesse uniforme, la chose étant précisée un peu plus loin dans l’original28. Dès lors, on imagine que le sommet B est la situation miroir, ou gauche, de la situation droite pour A. En effet, le point B serait poussé par deux forces égales encore en intensité, ou égales aux précédentes (en valeur absolue ajouterions-nous aujourd’hui) qui agissent sur le point de droite A. Si donc on admet, ou l’on a démontré, que le point A doive en fait se mouvoir suivant la diagonale AD du losange, il semblerait que l’on doive automatiquement en déduire que dans ces conditions dites analogues alors qu’elles sont symétriques, B se meuve suivant l’autre diagonale du losange, à savoir BC. Le paradoxe naît de ce que les longueurs des deux diagonales, ces longueurs qui mesurent de fait les mouvements composés, ne sont pas égales. Puisque l’on a affaire à un vrai losange, c’est-à-dire à un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux, mais qui n’est pas un carré, par définition du mot rhombe. Dans la figure ci-dessous, AD dépasse CB, et plus l’angle en A de CAB diminue, plus la différence des longueurs des deux diagonales s’accroît.

Illustrations 30, 31 et 32.

28Je ne doute pas qu’on ne voie mieux le risque pris par le paradoxe aristotélicien en juxtaposant les deux losanges qui interviennent comme un seul losange mentionné dans les Questiones mechanicae. c’est-à-dire que l’on distingue une gauche d’une droite, au lieu de les considérer comme équivalentes par effet miroir. Il suffit de redessiner le losange ABCD, en AB’D’C, en portant à gauche sur la même droite une longueur AB’ égale à AB (ill. 31). On voit mieux les diagonales inégales qui doivent intervenir, et pourquoi la situation de droite n’est pas celle de gauche, puisque les deux forces d’intensités certes égales, ne sont pas inclinées de la même façon l’une par rapport à l’autre. Les deux angles au sommet A, diront les géomètres, les angles CAB et CAB’, sont supplémentaires et non égaux. Ils ne sont égaux que si l’on a un angle droit, c’est-à-dire si l’on a la symétrie droite du carré (ill. 32), alors qu’en général, dans le cas d’un rhombe précisément, on a seulement une symétrie oblique. Un dessin, en 1585, le dit aussi bien (ill. 33), récupérant cependant une symétrie des situations, qui fait voir que la même résultante, deux fois la longueur ou, est obtenue à partir d’un angle obtus (aoc) ou aigu (eoi), et donc une différence notable dans les longueurs ei et ac.

Illustration 33. Le texte de Giovanni Battista Benedetti entourant sa figure dans Diversarum Speculationum mathematicarum, ouvrage publié à Turin en 1585 (p. 161).

29La dissemblance que l’on voit entre les diagonales et les côtés du rhombe, peut se mesurer et l’on passe à la figure plus générale du parallélogramme et à l’écriture analytique, c’est-à-dire à un calcul qui joue peu de la figure. L’outil sera un peu plus élaboré du point de vue algébrique que celui que Descartes mit en place pour fonder la géométrie analytique en 1637, à l’occasion du Discours de la méthode. En fait, j’ai besoin non seulement d’exprimer la longueur d’un segment, mais aussi d’exprimer l’angle que font deux segments, et pour cela du produit scalaire. Du coup, au lieu de segments, je vais prendre des vecteurs, selon la notion enseignée dans les lycées depuis les années 1950 en classe de seconde et que je ne crois pas nécessaire de rappeler devant une audience autrement cultivée. On a bien remarqué que les deux diagonales du parallélogramme correspondent à la somme et à la différence des vecteurs X et Y, ce qui éclaire bien le soi-disant paradoxe des « Problèmes sur les mécaniques », où est d’abord faite la confusion entre Y et – Y. Donc je suppose connu le produit scalaire <X, Y> de deux vecteurs X et Y, sa constance lorsque l’on échange X et Y, mais aussi la linéarité de ce produit scalaire, aussi bien pour la variable X que pour la variable Y, et enfin l’expression de la longueur de X, notée, ou son carré qui est le produit scalaire, <X, X>. Et je vais calculer sur un parallélogramme dont deux côtés adjacents sont respectivement X et Y.

30||X + Y||2 = < X + Y, X + Y> = < X, X> + 2 < X, Y> + < Y, Y> = ||X||2 + ||Y||2 + 2 < X, Y >

31Changeant symétriquement, ou Y en —Y, et éliminant les produits scalaires, on constate

32||X + Y||2 + ||X + Y||2 = 2 (||X||2 + ||Y||2)

xxe(ab)cm2222Y-YX+YdXYt fonction dXYXY
  • 29 J. Aczél, J. Dhombres, FunctionalEquations in Several Variables, cambridge University Press, 2008, (...)

33Qui plus est, si au lieu de l’espace euclidien de la géométrie plane, on adopte un espace vectoriel normé dont la norme satisfasse la propriété dite d’Apollonius, cet espace est nécessairement un espace dont tous les sous-espaces de dimension 2 (tous ses plans) sont exactement les espaces euclidiens de la géométrie plane, ce que l’on dit être un espace euclidien généralisé. une relation métrique particulière sur un espace dont on ne considère que la structure vectorielle lui fait donc avoir les propriétés des angles de la géométrie euclidienne. on peut démontrer plus, avec le fait que la seule existence d’une valeur minimum de la longueur d’un côté pour un rhombe tel que considérée précédemment dans cette structure vectorielle, la rend euclidienne au sens généralisé. ce sont deux célèbres physiciens mathématiciens, Pascual Jordan et John von Neumann en 1935, qui ont ainsi justifié l’usage des espaces euclidiens généralisés complets (appelés espaces de Hilbert) en mécanique quantique29. Ainsi le paradoxe bien maîtrisé d’Aristote, par une extraordinaire ironie de l’histoire, justifiait la présence de type phénoménal de la mathématique en physique, contrairement à l’idée que se faisait le stagirite.

Conclusion sur la compréhensible, mais néanmoins admirable liaison en miroir des mathématiques et de la physique

34La première image, par laquelle se montrait une opposition entre une droite et une gauche, toutes les deux pourtant mathématiquement bien aménagées, rappelait qu’à admirer le latéral, on omettait l’essentiel situé au centre. Les deux côtés oubliaient en effet d’inscrire leur théorie dans l’ordre du véritable réel, en l’occurrence le réel cosmologique, quand bien même il serait éloigné du réel pragmatique. En abandon notable de la pensée platonicienne, cette image d’une physique de l’approximation du début du xviie siècle, établissait que la mathématique n’était pas admirable en tant que reflet du réel, mais bien plutôt pour son inscription dans un réel qu’elle contribuait à construire en tant que représentation pour la pensée humaine.

35En second lieu, la parabole, dont j’ai cherché ici à dire l’intérêt d’une propriété miroir, celle d’une symétrie, peut illustrer aussi bien le sens très difficile de l’inscription des mathématiques dans le réel. Les dessinateurs de jets d’eau la dédaignèrent, au nom du plaisir du regard de la fantaisie, et donc d’une représentation de l’esthétique des jardins. Mais la photographie, une imagerie pourtant puisqu’elle est mise sur une surface plane, a inéluctablement inscrit la parabole dans notre vision commune d’un jet d’eau. La physique, qui est née de la parabole de Galilée bien avant la photographie, a permis d’abandonner aussi bien le préjugé aristotélicien, celui du sens commun dogmatisé, selon lequel la mathématique ne pouvait, par abstraction au sens propre, qu’enlever au réel sa part essentielle. c’était aussi le préjugé qui faisait que la mathématique ne pouvait pas ontologiquement être un miroir du réel, le miroir ne donnant que des images virtuelles. Tout change lorsque l’on conçoit que la mathématique explique la façon dont on passe du réel, en fait du réel en trois dimensions, à l’image effective dans le miroir plan. Ainsi on pourrait constater comment la perspective liée à l’optique du xviie siècle est inéluctablement liée à la révolution scientifique ; bien plus tard, l’ambiguïté algébrique à deux valeurs de la racine carrée (sous la forme de la racine carrée de -1) n’est comprise qu’en l’associant à la double orientation possible du plan topologique et à la géométrisation des quantités imaginaires. Juste retour des choses, ou effet miroir, la géométrie de type euclidien (espaces de Hilbert) apparaît comme fondamentale pour la représentation de la mécanique quantique. On voit donc beaucoup mieux mathématique et physique comme gauche et droite, ce qui me fait interpréter la première image présentée comme une prémonition de la physique mathématique : j’imagine ainsi avoir pu répondre au jeu auquel Jackie Pigeaud nous a demandé de participer en proposant ces vagabondages sur les miroirs.

Notes

1 Tel est le titre dont Galilée se pare dans l’ouvrage publié chez Mascardi à Rome en 1623, Il Saggiatore, et est dédicacé au nouveau pontife romain, le pape Urbain VIII, ancien cardinal Barberini, dont les armoiries en forme d’abeilles apparaissent au frontispice et vont s’imprimer dans tant d’ouvrages de cette période baroque. « Il contient des investigations sur ces splendeurs célestes, qui ont coutume d’étonner le monde » écrit Galilée dans cette dédicace, en bon lecteur d’Aristote, Mais pourquoi ajoute-t-il que le pontife a une âme « qui s’orne des vraies lumières et aspire héroïquement aux plus hautes entreprises » ? Serait-ce pour suggérer au pape, qui avait été une sorte d’ami autrefois au sens de l’amitié à intérêts partagés dans la république des Lettres, d’avoir le courage de supprimer l’interdiction d’enseigner le nouveau système du monde de Copernic ?

2 En 1610, après les observations rapportées dans le Sidereus nuncius, Galilée devient pensionne par le souverain de Florence, et s’il garde un titre a l’université de Pise, il n’y a aucune obligation d’enseignement. Reste de savoir si Galilée n’a pas perdu une protection universitaire au profit d’une protection princière, forcement douteuse dans une Italie que domine la papauté. Protégé par le monde des collèges jésuites, le texte ici illustre n’a pas subi les foudres des inquisiteurs.

3 Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola (Il Saggiatore, p. 232 de l’édition par Favaro des Opere de Galilée). Une traduction française est disponible, Françoise Chauviré, L’Essayeur de Galilée, Annales littéraires de l’université de Besançon, n° 234, Les Belles Lettres, Paris, 1980.

4 L’image géométrique ici produite sur le panneau de gauche (ill. 1) reproduit celle qui est fournie dans l’édition latine datant de la Renaissance de la « Collection mathématique », due à Commandino, et publiée par Guidobaldo del Monte à Pise en 1588 (Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones a Federico Commandino in latinum conversae et commentariis illustratae). On y remarque la forme en lentille à l’intérieur du cercle, désignant une sphère, essentiellement symétrique par rapport à la direction verticale : cette forme donne précisément l’allègement du poids dû à la pente, en étant retirée à la forme sphérique supposée homogène (comme en toute bonne géométrie appliquée à la réalité physique).

5 Comme en bien des instances de l’imagerie scientifique, nous ne disposons pas d’études fiables sur les représentations de phénomènes mécaniques, des Grecs à la Renaissance, en passant par les manuscrits arabes. On peut penser que la réduction géométrique soit la plus ancienne, à la manière supposée d’Euclide ou d’Archimède, mais on ne sait rien de la présence éventuelle d’effets d’ombres ou de hachures, destinés notamment, au nom d’Aristote, à rendre réalistes ces représentations. Les Mécaniques portent de toutes façons sur des objets bien réels. J’ai essayé de décrire de tels effets au moins en géométrie dans l’espace dans « Shadows of a circle, or what is there to be seen ? », in L. MASSEY (ed.), The Treatises on Perspective ; published and unpublished, Yale University Press, 2003, p. 177-211. Par exemple, les éditions des « Problèmes sur les mécaniques », ouvrage attribué longtemps à Aristote, ou bien réinventent des figures (qui ne pouvaient pas ne pas exister dans le texte original car y sont indiquées des lettres et des positions géométriques, ainsi des losanges), ou bien reproduisent les dessins qui figurent dans des éditions du xvie siècle dont nous parlerons plus loin. À cette époque, le savoir ne pouvait pas ne pas être informé par celui des machines, réelles ou imaginaires, qui ont donné lieu à tant de théâtres d’instruments, assez bien étudiés aujourd’hui pour les explications, mais moins pour les techniques de représentation en liaison avec la théorie du fonctionnement de ces machines. Là réside pourtant l’essentiel d’une nouvelle description, celle qui fait fi de l’admiration au profit d’un savoir comment faire. Voir W. Lefèvre, J. Renn, U. Schoeplin (ed.), The Power of Images in Early Modern Science, Basel, Birkhäuser, 2002.

6 Le triangle ne devrait pas paraître droit, au nom de la généralité même de ce qui est en cause, à savoir l’action des plans inclinés sur le poids, mais à la réflexion, peu importe, puisque l’on a aussi bien toutes les pentes possibles, même avec un angle droit. Ce genre de remarque sur la généralité d’une figure pourtant particulière, est, je crois, typique de la géométrisation de la physique, mais on ne les trouve pas souvent dans les textes de l’époque, sans doute parce qu’on a pas assez prêté attention à l’utilisation des images dans ces textes, les voulant simple décalque d’un texte dont l’exégète dit pourtant les ambiguïtés.

7 La représentation géométrique du panneau droit est évidemment tirée de la Statique flamande (De Beghinselen der Weeghkonst ; les Eléments de l’art pondéraire) de Simon Stevin, ouvrage publié en 1586 (p. 41 de l’édition originale), et Stevin s’émerveillait tellement du résultat qu’il déduisait de cette chaîne de boules, qu’il se servit du dessin emblème, à titre d’armoirie. Cependant, Grégoire de Saint-Vincent dans les « thèses » dont une première vignette vient d’être montrée, ou plutôt le graveur Jan Ciermans, modifie la figure de Stevin. En ce qu’il empêche la correspondance horizontale deux à deux des boules de la chaîne qui pend sous le côté horizontal, en ne mettant qu’un nombre impair de boules, là où Stevin avait un nombre pair. Pour que le raisonnement par l’absurde que développe Stevin fonctionne à cette occasion et dont ne peut pas rendre directement compte la figure présentée, il faut pouvoir négliger cette partie de la chaîne, et ne conserver que les boules sur les côtés inclinés, leur nombre étant proportionnel à la longueur de chaque côté. Voir l’explication fournie dans les Œuvres par E. J. Dijksterhuis, The Principal Works of Stevin, vol.1, General introduction. Mechanics, Amsterdam, C. V. Swets & Zeitlinger, 1955, qui conclut à la démonstration par Stevin de la loi de composition des forces selon la loi du parallélogramme, dont nous allons bientôt parler en revenant à Aristote.

8 J’avoue avoir utilisé le mot « infini » ici par la seule force de l’habitude, après Alexandre Koyré et son célèbre titre, Du monde clos à l’univers infini (Paris, PUF, 1962, trad. fr. par R. TARR de l’original américain de 1958). De fait l’explication que j’induis à partir d’une représentation que je juge extraordinaire mais représentative (ill. 1), n’a pas plus besoin de l’infini que la géométrie d’Euclide, laquelle trace des segments de droite, et suppose seulement que l’on puisse les poursuivre aussi loin que l’on en a besoin. Il me semble que la présence de l’infini pour la révolution scientifique, en dehors des pensées exceptionnelles d’un Giordano Bruno, sont bien plus à voir dans le continu et le borné, avec la compréhension de la façon dont peuvent s’accroître de façon continue les vitesses d’un corps qui tombe le long d’un plan incliné, donc aussi bien mais paradoxalement, d’une manière instantanée. C’est l’accélération qui est le véritable lieu de l’infini pour l’époque baroque, qui ne sera mathématisée que par le calcul des infinis ou analyse des infinis (analysis infinitorum), pour laquelle on a préféré retenir le nom de calcul différentiel et intégral. L’ouvrage des « thèses » dont il est ici question élude un tel problème, en adoptant l’attitude aristotélicienne sur les mathématiques décrivant les phénomènes célestes : la loi de la chute sur un plan incliné est en « proportion uniformément difforme », sans se poser la question de ce qui « cause » cette difformité. L’intrigant est-il que cette notion ait d’abord été pensée dans le cadre théorique de la théorie des proportions, avant d’être expérimentée ? J’en resterai à l’interrogation des thèses qui porte sur ce qu’il faut admirer.

9 Il faut ici ajouter que le poids apparent que Stevin donne selon son dessin est celui adopté par la mécanique rationnelle, alors qu’est inexact le poids apparent attribué à Pappus dans la thèse de 1624. Toutefois, la critique faite en 1624 par le panneau central, concerne aussi bien les deux théories. Elles négligent en effet le point de vue cosmologique, à savoir le caractère d’un centre de la gravité, qui ne peut être le fait de directions parallèles comme les verticales, aussi bien dans le dessin de Stevin que dans celui attribué à Pappus.

10 J. Dhombres, P. Radelet-De Grave, Une mécanique donnée à voir. Thèses illustrées de statique défendues à Louvain le 29 juillet 1624 sous la présidence de Grégoire de Saint-Vincent, Brepols, Turnhout, 2009.

11 J. Dhombres, « La mathématique comme langue du monde intelligible. Interprétations de la phrase de Galilée en 1623 dans Il Saggiatore », in P. David (dir.), Interprétation(s), PUR, 2010, p. 23-64.

12 Ces documents expérimentaux, pourtant publiés par Favaro dans les œuvres de Galilée, ont fait l’objet de nouvelles lectures à partir des années 1950 qui ont considérablement amélioré notre connaissance des façons de procéder du Pisan. Voir S. Drake, Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 3 vols, Toronto, University of Toronto Press, 1999 ; J. Renn, Galileo in Context, Cambridge University Press, 2001.

13 Cette représentation du monde universitaire offre bien des surprises ; sous le nom de « style jésuite », Taine parlait aussi bien de grotesque que d’un caractère animé et enjoué. Ce qui étonne est la longue durée de la représentation par des putti dans les illustrations de science, puisqu’on la trouve encore largement au xviiie siècle. Voir J. Dhombres, Les savoirs mathématiques et leurs pratiques culturelles. Du Baroque à la moisson des Lumières (1585-1749), Paris, Fayard, à paraître.

14 A. Koyré, Études galiléennes, Paris, 1939 ; A. Koyré, La révolution astronomique, Hermann, Paris, 1961.

15 Voir pour cette traduction chinoise le livre de P. M. Engelfriet, Euclidin China. The Genesis of the First Translation of Euclid’s Éléments in 1607 and its Reception up to 1722, Brill, Leyde/ Boston/Koln, 1998.

16 Voir à ce propos J.-C. Martzloff, Recherches sur l’œuvre mathématique de Mei Wending (16331721), Mémoires de l’Institut des Hautes Études Chinoises, XVI, Paris, 1981.

17 L’erreur peut même provenir du point de vue analytique, car si l’on admet très aisément que l’équation cartésienne y2= 2px donne une parabole en axes rectangulaires, la même équation, dans des axes ne faisant pas un angle droit (comme AP et AB de l’illustration 16) aura l’aspect de la courbe de l’illustration 20, que l’on peut oublier de ramener à la forme symétrique.

18 J. Dhombres, Méditations sur des phénomènes mathématiques, Actes du colloque de Tunis en l’honneur d’Angèle Kremer-Marietti, L’Harmattan, 2010, p. 29-59.

19 Des historiens de l’art veulent prouver que Le Caravage peignit avec l’aide d’un miroir son Bacchus des Offices de Florence du fait que le jeune dieu tient la coupe de vin de la main gauche. Mais pourquoi le miroir prouverait-il que le tableau est un autoportrait ? Ne serait-il pas remarquablement baroque que Le Caravage ait intentionnellement donné à voir l’effet miroir sur sa peinture, hors tout autoportrait ?

20 Énoncé de la question 23 des « Questions mécaniques » du pseudo-Aristote, Mekanika (854b17-20, d’après W. S. Hett, Aristotle, Minor Works, with an English translation, Mechanical problems, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1963 ; traduction italienne avec le texte grec, a cura di M. E. bottechia Dehô, Aristotele, Problemi meccanici, Rubbettio, 2000 ; il n’existe pas actuellement de version française, mais une bonne version espagnole datée de la fin du xixe siècle.

21 Cette question est discutée au chapitre 28 de Alexandro Piccolominei In mechanicas quaestiones Aristotelis paraphrasis paulo quidem plenior, texte publié en 1567, mis en italien à Rome par Francesco Zanetti en 1582 ; elle est numérotée comme question 22 par d’autres auteurs, ou question 14 dans le Diversarum specularum liber de Benedetti.

22 Je crois que l’on aurait une assez jolie perspective intellectuelle en multipliant les interprétations de cette question du pseudo-Aristote. Laissons de côté, dans ce passage, la signification de la superposition de deux mouvements et contentons-nous de citer Encontre qui se plaint des obscurités apportées par les traducteurs. « Je ne doute pas que le tort qu’on a fait aux Anciens ne vienne de ces versions obscures et infidèles, dont les auteurs ne savoient autre chose que du grec, et ignoroient absolument la matière traitée dans le texte. »

23 Le mot rhombe en grec francisé, traduit généralement par losange, connaît la même spécificité que la plupart des mots euclidiens d’exclure les cas particuliers pour lesquels il existe un autre mot : ainsi un losange ne peut pas être un carré. Cette habitude peut produire un paradoxe logique, celui bien connu des logiciens chinois, selon lesquels un cheval blanc n’est pas un cheval, et donc un carré n’est pas un rectangle, comme l’accepte volontiers la langue usuelle. Dans le présent texte, le fait qu’un rhombe ne soit pas un carré est essentiel pour saisir le sel du paradoxe, et en donne la solution aussi par la considération de l’angle.

24 H. De monantheuil, Aristotelis Mechanicagraeca, emendata, latinafacta, et commentariis illustrata, Paris, Jérôme Périer, 1599.

25 D. Encontre, Nouvelles recherches sur la composition des forces. 1er mémoire, n° XXVII, Recueil des bulletins publiés par la Société libre des sciences et belles-lettres de Montpellier, tome deuxième, an XIV (1805), p. 259-274.

26 Mechanica, 854b. Ma traduction n’est pas fidèle au texte reçu, mais je n’aurais pas plus de mal à me justifier par les deux traductions anglaises disponibles, opposées et qui ne font guère sens, ayant préféré accentuer ce qui me paraît faire sens pour la question sur la symétrie qui doit faire surgir un paradoxe.

27 J’ai renoncé aux lettres grecques A, B, C, D pour des raisons pratiques d’inscription sur la figure, regrettant le radinisme de l’informatique des traitements de textes, par ailleurs si riches en possibilités.

28 J’adopte le vocabulaire des forces de Daniel Encontre, mais accepte tout aussi bien celui du mouvement : on verra que cela n’a aucune importance, et n’est qu’un nom donné aux phaïnomena.

29 J. Aczél, J. Dhombres, FunctionalEquations in Several Variables, cambridge University Press, 2008, chapter 11.

Table des illustrations

Légende Illustration 1. Vignette accompagnant le théorème 7 des Theoremata mathematica scientiae staticae, Louvain, Haestens, 1624.
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Légende Illustrations 2, 3 et 4. Détail d’une vignette des Theoremata mathematica scientiae staticae, Louvain, Haestens, 1624, montrant une « expérience » possible de mesure du poids apparent, et par conséquent un moyen de vérifier les « hypothèses » de Stevin ou de Pappus ; à droite, représentation « réaliste » de la même opération de mesure dans « la Statique » de Stevin ; au-dessous, vignette du théorème 6 des Theoremata mathematica scientiae staticae, une image saisissante de lien cosmologique, puisque le grand cercle du fond représente la circonférence terrestre, et que les putti expérimentent avec des simples boules.
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Légende Illustrations 5 et 6. Deux frontispices pour l’édition au xvie siècle de livres d’optique ancienne. À gauche, « l’Optique » (1535) de Vitellion (xiiie siècle) ; à droite le « Trésor de l’optique » (1572) d’Alhazen (autour du xe siècle).
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Légende Illustration 7. Version du théorème de Pythagore dans le Jihe Yuanben, ouvrage préparé à Pékin à partir de 1605 par Matteo Ricci et Xu Guangqi, à partir du commentaire de Clavius du livre I des « Éléments » d’Euclide sorti dans une première version en 1574.
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Légende Illustrations 8 et 9. Le théorème de Pythagore dans un cas particulier et dans le cas général.
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Légende Illustrations 10 et 11. Une photographie du xxe siècle du bassin des Tritons à Versailles, dans laquelle l’œil doit mentalement compléter l’image afin de percevoir la symétrie des trajectoires paraboliques ; frontispice pour les fables de Houdard de la Motte, où dans un cadre délibérément symétrique, le dessinateur au xviie siècle n’a pas toujours respecté la symétrie des courbes représentées, et par ailleurs imposé d’impossibles verticales à d’autres courbes effectivement symétriques.
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Légende Illustrations 12 et 13. Vue perspective du bosquet des trois fontaines à Versailles, d’après Plans, Profils et Élévations du château de Versailles en 1714 (planche 38) ; Fontaine d’Apollon et Daphné à Versailles, selon un dessin de Charles Lebrun, dans Recueil de divers dessins de Fontaines et de Frises maritimes (planche 10), où le dessinateur a abandonné la symétrie pourtant réelle des paraboles sur le côté gauche afin de compenser l’espace pris par la composition humaine sur la droite.
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Légende Illustrations 14 et 15. Frontispice de la Nova Scientia de Nicolo Tartaglia, où la courbe tracée de la trajectoire d’un boulet tiré par un mortier, dans l’enceinte gardée par Euclide, n’a pas de symétrie apparente, et donne même l’impression d’être une courbe gauche (non plane) ; Schéma classique avant Galilée du mouvement d’un projectile, décomposé en trois parties physiquement différentes, n’ayant de ce fait aucune symétrie, dans Platica manual de artilleria de Luys Collado (publié à Milan, en 1592).
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Légende Illustrations 16 et 17. À gauche, dessin (figure 335), dans le Nouveau Cours de Mathématiques de Bernard Forest de Belidor paru en 1725, qui exprime la génération de la parabole trajectoire par composition de deux mouvements, l’un uniforme selon la tangente AE (intervalles égaux) et l’autre de chute verticale, selon EF, GH, IK, BD. Figure géométrique de Mersenne, portant explicitement sur un phénomène, dans Novarum observationum physico-mathematicarum, où l’on voit le jeu symétrique sur les paraboles d’axe vertical, toutes enveloppées par une même parabole, dite parabole de tir, qui est la courbe allant de B, milieu de AC, à D, dernier sommet du carré en bas de la figure.
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Légende Illustrations 18, 19 et 20. Gravure assez gauche par Galilée sur une de ses lunettes astronomiques de la symétrie de la trajectoire parabole ; dessin indiquant les propriétés de symétrie des tangentes opposées à la parabole grâce à la propriété du milieu ; le dessin qui joue de la symétrie, sans tracer la droite IC, en ajoutant des valeurs numériques, dans le Traité de mécanique de Philippe de la Hire, en 1695 (p. 430).
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Légende Illustrations 20 et 21. À gauche, une parabole donnant l’impression de ne pas avoir d’axe de symétrie, chez John Wallis en 1656 ; faux effets de perspective, et parabole fantastique sur la droite du dessin, dus à Louis de Chastillon en 1683, dans sa Vue du Char d’Apollon dans les jardins de Versailles (0,44x0,66).
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Légende Illustrations 22, 23, 24 et 25. Autoportrait de Salvatore Rosa, Metropolitan Museum of Art ; autoportrait de Salvatore Rosa (1,00x0,80), Galleria degli Uffizi, pouvant prouver qu’il est droitier ; Autoportrait de Hyacinthe Rigaud, Galeria degli Uffizi, qui porte à gauche ses pinceaux ; autoportrait de Nicolas Poussin,
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Légende Illustrations 26 et 27. À droite, vignette publiée par Pierre Varignon en 1690, représentant Descartes et Mersenne, le gentilhomme et le clerc, imaginant une expérience de lancement vers le haut d’un boulet et touchant aux mouvementx de la Terre ; à gauche gravure donnant l’expérience historique du pendule de Foucault telle qu’elle représentée aussitôt dans l’Illustration d’avril 1851, prouvant le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même.
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Légende Illustrations 28 et 29. Figure 4 de l’Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques en 1806, de Jean-Robert Argand (réédition 1968) ; dessin sur le conjugué d’un cercle orienté.
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Légende Illustrations 30, 31 et 32.
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Légende Illustration 33. Le texte de Giovanni Battista Benedetti entourant sa figure dans Diversarum Speculationum mathematicarum, ouvrage publié à Turin en 1585 (p. 161).
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