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La couleur, les couleurs

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Jackie Pigeaud

Les couleurs du point, les pointillés de la ligne et les ombres des figures

Jean Dhombres

Texte intégral

  • 1 Le passage au tableau blanc, ou au rouleau de papier blanc, a contraint de noircir les côtés d’un (...)

1On se souvient peut-être vaguement de ces anciens cours de géométrie lorsque, muni de craies aux couleurs différentes, le professeur les faisait crisser sur le tableau noir afin de faire comprendre une démonstration. L’on se souvient de la question de tout élève indocile sur la raison du rouge pour telle hauteur d’un triangle, du jaune pour une bissectrice ou encore du bleu pour une médiane, les côtés d’un triangle étant toujours en blanc sur le tableau alors noir. Il y a l’analogie des voyelles de Rimbaud. La réponse du professeur à cette question était invariablement la même : le raisonnement mathématique n’a pas de couleur. Mais la couleur aide à bien distinguer. La réponse serait venue de même, à propos de lignes brisées de certaines preuves, ou des pointillés dans les manuels, voire des ombres portées par certaines figures géométriques sans pour autant que les raisonnements n’en subissent de dommages1. La réponse à l’interrogation sur les couleurs, ou sur des succédanés comme le pointillisme ou les ombres, montre que la distinction visuelle est un plus de l’analytique mathématique, et non une nécessité. C’est la nature de ce plus dont nous cherchons ici à comprendre les ressorts en parcourant l’histoire des représentations mathématiques. Commençons par ce qui peut le plus surprendre, puisque l’on parle de la couleur du point. Les mathématiciens ont d’ailleurs inventé l’expression de nombre chromatique.

La simple distinction par la couleur, ou le rôle élémentaire du point coloré

2Avec les surprenantes couleurs mathématiques, n’interviennent même pas les conventions d’une autre discipline scolaire, la géographie, alors que les zones d’altitude sont dûment répertoriées, jusqu’au blanc si rare des sommets andins ou himalayens. La carte plane, justement, et pour permettre la distinction des régions, a donné lieu à l’un des problèmes modernes les plus fameux, devenu le théorème des quatre couleurs. Car il est aujourd’hui résolu, grâce à l’intervention in fine des possibilités de calcul des ordinateurs. Quatre s’avère le nombre suffisant de couleurs différentes, et peu importe lesquelles bien sûr, pour que l’on puisse distinguer les pays en zones colorées telles qu’en aucune ligne frontière de part et d’autre ne se trouve la même couleur. Ce sont les zones qui sont distinguées par des taches de couleur, et non les lignes : la frontière est éventuellement visualisée par un trait noir pour souligner le passage d’une couleur à l’autre.

3Le problème des quatre couleurs n’est pas tellement ancien, signalé à une réunion de la London school of mathematics par l’algébriste britannique Arthur Cayley en 1878, aussitôt « résolu » par A. B. Krempe dans le premier numéro de l'American Journal of Mathematics. Mais la preuve fut démolie douze ans plus tard, encore que P. J. Heawood qui établissait l’erreur, parvenait à montrer que le nombre chromatique ne pouvant dépasser pour les cartes planes, du moins par le vocabulaire, la couleur était détachée de la géométrie de l’étendue pour être attachée à un nombre sous la forme d’un point :la zone colorée, un pays, se voyait en effet réduite à un point numéroté, et la ligne frontière entre deux pays représentée alors par un segment, ou arête, joignant les deux numéros représentatifs. On créait ainsi ce qu’on appelle un graphe. Sous ces définitions et conventions, le nombre chromatique γ (G) d’un graphe G est le plus petit nombre des couleurs nécessaires pour colorier les sommets, de sorte que deux sommets directement reliés par une arête ne soient pas de la même couleur. Retour extraordinaire de la géométrie du plan, dans cette conception des points colorés d’un graphe quelconque, et si l’on appelle graphe plan un graphe tel que deux arêtes quelconques ne se coupent pas en dehors des sommets, 4 est bien le nombre chromatique d’un tel graphe. K. Appel et W. Haken prouvèrent ce résultat en 1976, réduisant habilement le problème des quatre couleurs à l’examen de plus d’un millier de configurations différentes, et laissant à l’ordinateur le soin de les vérifier.

4Assurément, la couleur a ici la distinction comme usage principal, sans que telle couleur serve plus que telle autre : la désignation d’une couleur sert comme une numération qui serait dégagée de la notion d’ordre que comporte l’emploi des nombres. Les couleurs correspondent donc seulement à la distinction des éléments d’un ensemble.

  • 2 Benoît Mandelbrojt, Les objets fractals : forme, hasard et dimension, Paris, Flammarion, 3e éditio (...)
  • 3 Il faudrait bien sûr montrer de tels exemples, mais lorsqu’ils sont en couleur les droits de publi (...)

5On remarque la même propriété lorsque des couleurs sont sorties des ordinateurs pour illustrer des travaux sur l’itération. Dans les années de la fin de la première guerre mondiale, Gaston Julia et Pierre Fatou avaient remarqué des séparations très étranges dans le plan, à partir de fonctions aussi élémentaires que des fractions rationnelles, ou même des polynômes d’une simple variable complexe : si l’on étudie l’action d’une fonction f (z) et que l’on itère f (f (z), f (f (f (z))), etc., il peut y avoir différents comportements selon que la suite des points itérés va à l’infini, reste bornée sans atteindre de limite, ou même converge. Ces différents comportements déterminent des zones de points du plan, et les frontières entre ces zones s’avèrent être des lignes stupéfiantes, auxquelles Benoît Mandelbrojt a donné avec succès le nom de fractales en 1975. Il les liait à un tout autre problème de dimension fractionnaire, issu de questions du calcul intégral et de la théorie de la mesure du début du xxe siècle. C’est que les ordinateurs donnèrent des possibilités de visualisation de ces lignes, et les couleurs furent justement mises à contribution pour distinguer les différentes zones. Même avec des choix arbitraires de couleurs, il en est résulté des images qui font aujourd’hui partie de notre patrimoine visuel, dont le plus célèbre sans doute est l’ensemble de Mandelbrojt2, avec une cardioïde en rouge entourée de cercles aussi en rouge venant comme des pousses à l’infini. Le plus sensationnel sans doute est que ces images parfaitement construites selon des règles déterministes de calcul provoquent des sensations visuelles de déjà-vu dans des phénomènes essentiellement fluctuants ou aléatoires comme la forme des nuages ou les striures de la planète Jupiter. A donc été mise en évidence la formation de stabilités spatiales. Un exemple célèbre est celui de la coloration en rouge et bleu des molécules interagissant dans une réaction de Belousov et Zhabotinski3.

6L’interrogation du pourquoi de telle couleur reste sans autre réponse que celle de la distinction non ordonnée. La distinction peut alors être jouée par deux couleurs seulement, et l’exemple le plus significatif est celui des algébristes chinois anciens : ils mettaient en rouge les nombres négatifs dans les écritures algébriques, les distinguant ainsi des nombres positifs écrits en noir. C’est une coloration du livre de comptes à double entrée.

7Une distinction plus radicale encore peut-elle jouer avec une seule couleur, et ce serait celle de l’or qui intervient si souvent lorsque l’on conjoint art et mathématiques.

Le faux problème du nombre d'or et de la proportion

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Illustration 1 : La frivolité des «  explications » de la beauté mathématique dans l’art.

8La naturelle intervention du nombre d’or qui permet des schèmes itératifs répétitifs comme le signale son équation déjà fournie, ou son rôle dans le pentagone régulier, en font une habitude du regard géométrique qui repère aussitôt les analogies mathématiques. Aussi, le géomètre aura-t-il plaisir à reconnaître que, dans le découpage d’une diagonale d’un pentagone régulier par deux autres diagonales, il sait efficacement voir la proportion dorée. Le géomètre exprimera, plutôt comprendra la division en extrême et moyenne raison [illustration 2, à gauche]. Le géomètre historien pourra encore avec plaisir retrouver une construction possible du pentagone, et se souvenir du nom d’un géomètre comme Théétète, dont Platon parle si bien dans un dialogue portant ce nom.

9Certains restent néanmoins fascinés par le numérique, et ses noms comme ses représentations, donc en l’occurrence par le nombre 5 parce qu’il intervient dans l’étymologie de pentagone régulier et par sa racine dans le nombre d'or. Pour le courant maintenu qui associe symbole et nombre, la difficulté majeure subsiste de montrer, autrement que par l’ancienneté des associations, une forme artistique qui soit effectivement liée à ce symbolisme, et où se dise l’analogie entre le signe et la forme. Dans la Métaphysique, Aristote attaquait fondamentalement les « explications » numériques, et se gardait bien d’imaginer une quelconque analogie agissante :

  • 6 Aristote, La Métaphysique (1092 b 8), trad. Jean Tricot, Paris, Vrin, 1981.

On n’a pas non plus défini du tout de quelle manière les Nombres sont les causes des substances et de l’être6.

10J’ai autant de mal à ne pas trouver forcées, donc peu élégantes, les explications du « nombre d’or » x comme désignant la recherche d’un carré dont l’aire soit celle du carré unité à laquelle est ajoutée l’aire du rectangle dont les côtés font comme longueurs x et 1. C’est pourtant bien ce qu’indique l’équation déjà fournie sur le nombre d’or. Certains y voient une « quadrature algébrique » du rectangle [illustration 2, à droite], la réduction à un carré, et ils y trouvent un « beau » résultat mathématique inscrit dans le long terme d’une théorie de la quadrature. J’aime de tels jugements qui font rêver, mais je m’en méfie aussi. Il paraît difficile de ne pas saisir toute la subjectivité qui entre dans la qualification de beauté lorsque l’enjeu est l’efficacité mathématique. Un « rendu artistique », c’est là une leçon, ne peut se fonder que sur l’efficacité pour l’artiste. Cette efficacité n’est pas fournie avec le nombre d’or, faute d’une analogie explicite.

  • 7 Voir Jackie Pigeaud, « La nature du Beau et le Canon de Polyclète », in L'art et le vivant, Gallim (...)

11Tout autres apparaissent les données de proportion du corps humain, telles qu’on les voit par exemple chez Leonardo da Vinci. Et si cette fois on met en question une origine mathématique, c’est simplement que l’on a oublié combien la théorie des proportions a servi pour l’établissement de règles qui nous paraissent élémentaires, comme la règle de trois, mais qui longtemps ont paru relever de mathématiques savantes. C’est sur la notion de rapports numériques que se fonde Vinci, et tout une tradition artistique que l’on fait remonter à Polyclète7. Mais il y a inéluctablement avec cette tradition une comparaison de rapports (λόγοι), donc une analogie (άναλογία) qui est la théorie même des proportions, et elle permet l’analogie des parties du corps humain à celles des bâtiments, ou de la peinture à l’architecture.

Illustration 2 : À gauche, propriétés du découpage des diagonales du pentagone régulier par une autre diagonale, et à droite, une construction sur les carrés et le rectangle, l’aire du carré du haut valant celle du long rectangle du bas.

La ligne noire de Rubens

  • 8 E. C. Watson, « Reproduction of Prints, Drawings and Paintings in the Interest on the History of P (...)
  • 9 H. Pelliot, « La vision binoculaire dans l’optique d’Aguilonius », De gulden Passer, New Series, 5 (...)
  • 10 Moritz von Rohr, « Auswahl aus der Behandlung des Horopters bei Fr. Aguilonius um 1613 », Zeitschr (...)
  • 11 Francisci Aguilonii opticorum libri sex, Anvers, 1613, p. 111.

12Est alors tout à fait surprenante la présence en 1613 de lignes droites géométriques dans une gravure tirée d’un dessin dû à un artiste comme Rubens [illustration 3]. De science il est bien question pour la postérité, puisque des physiciens ont encore estimé utile au xxe siècle de montrer les images de Rubens, prises dans une Optique due à un savant jésuite par ailleurs architecte. Rubens as scientific illustrator écrira l’un8, alors qu’un9 autre fera du jésuite François de Aguilón un pionnier de la vision binoculaire, ou de l’explication de physiologie dans un Zeitschrift für ophtalmologische Optik10. La gravure que nous utilisons apparaît au livre II de cette Optique, et elle introduit, mais aussi accompagne, une discussion sur le « rayon optique » et « l’horoptère ». Ce dernier mot ne peut que faire peur, parce qu’il désigne un savoir de pédants, bien éloigné de la connaissance utile et agréable qu’un public cultivé pouvait attendre. Perpendiculaire aux deux axes optiques issus de chacun des deux yeux, le plan horoptère est censé discriminer la position des objets qui seraient vus en double. Si on la voit comme uniquement géométrique, donc réductrice, l’explication ne peut être convaincante. Mais de fait est exhibée une sorte de tableau diaphane, le plan horoptère, sur lequel viendraient se projeter les objets pour faire une « image » effectivement perçue par les yeux et interprétée ensuite par les nerfs optiques. Qu’en pense Rubens qui fit la vignette à cette occasion, et ne voulait pas que, sauf effet spécial, sur un tableau on puisse risquer de voir double ? Il ne pouvait qu’approuver ce que de Aguilón dit à l’encontre d’Aristote, à la proposition 76 de ce deuxième livre de l'Optique11, que l’on voit mieux avec deux yeux qu’un seul ! Sur le dessin, reproduit en gravure par Théodore Galle, on voit donc des lignes droites. Cinq lignes droites analogues à celles des figures géométriques, mais ce sont lignes inhabituelles chez un peintre. Je crois même que c’est une première.

13Issues de l’œil de l’observateur, en fait du seul œil visible sur la vignette, trois de ces droites rejoignent le haut du crâne du colosse ou ses deux pieds. On ne peut manquer de remarquer le colosse, car il a l’aspect inhabituel d’un Cupidon au-dessus de l’entrée du port de Rhodes, et par contraste, celui qui peut être qualifié d’observateur, habillé all'antica, est comme courbé sur ses instruments. Il fait percevoir la nouveauté d’expression d’un savant expérimentateur de la nature. À la mesure du savant inquisiteur prôné en 1605 dans le De augmentis scientiarum de Francis Bacon, general attorney à la date de composition de l'Optique. Les explications par les images (spectra) en optique étaient alors en complet changement, Kepler dans son Ad Vitelloniem paralipomena de 1604 ayant promu, par une conception d’optique géométrique, les idées d’images virtuelles. Il traitait de choses ajoutées à l’optique de Witelo, avec la partie optique de l’astronomie (quibus astronomiae pars optica traditur). François de Aguilón fait aussi de l’optique géométrique, avec une autre notion d’image, bien différente de celle de Kepler, auteur qu’il ne mentionne pas du tout.

  • 12 Je voudrais prévenir ici une fausse interprétation de ce qui vient d’être dit : je ne suggère pas (...)

14Les droites représentent les rayons optiques, ou plutôt elles les impriment dans le réel de l’image. Car ces rayons sont certes traités comme des objets géométriques, mais ne sauraient être des fictions : radij optici sunt verae formarum productiones, non autem imaginariae. La langue de François d’Aguilón est celle de la scolastique, et elle est éloignée des élégantes formes littéraires. Mais l’idée est en rupture avec le plus ancien point de vue selon lequel la mathématique ne fournissait à la physique que des objets imaginaires, ou des auxiliaires de la pensée. Rubens l’a bien saisi, qui fait voir des droites striant son dessin à la façon d’un réel, et les fait donc disparaître de la vue du spectateur lorsque les droites passent derrière un personnage, aussi fictif soit-il comme un putto, qui est un auxiliaire ici de l’expérimentateur. Une fiction n’est jamais pas cachée ! Là réside bien sûr l’engagement en science de Rubens12. Est-ce important ? L’importance concerne le statut de la connaissance scientifique dans la pensée.

Illustration 3 : Deuxième vignette de Rubens, gravée par Th. Galle au début du second livre d’optique consacré aux rayons optiques et à l'horoptère.

  • 13 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., p. 110.

15Mais, dans cette gravure ouvrant le livre De radio Optico et horoptere, voit-on effectivement l’horoptère ? François de Aguilón la décrit d’abord comme une droite et la définition est écrite selon le mode géométrique euclidien : Horopter recta est linea per axium opticorum congressionem, ei, quae centra visuum connectit, parallelws incedens13. On aura remarqué l’affectation lettrée d’un oméga accentué pour dire la ligne droite parallèle à celle joignant les centres de la vision et passant par le point où coïncident les deux axes optiques. « Horoptère » est formé sur le grec, de oros, « frontière », voire « limite », et opter, « celui qui voit ». L’horoptère fournit en effet un plan, planum horopteris illud vocetur, passant par la droite horoptère et orthogonal aux deux axes optiques venus des deux yeux.

16Alors qu’il figure les axes optiques comme des droites, mais issues d’un seul œil, Rubens ne donne à voir ni la droite horoptère, ni le plan de ce nom, dans ce que l’on risque alors d’appeler la profusion baroque de son dessin. Le peintre entre-t-il ainsi en désaccord avec François de Aguilón, lui-même un artiste en ce sens qu’il travailla sur des plans d’architecture ? Non ! Comme tant d’autres avant lui, Rubens n’a aucune gêne à dessiner une figure géométrique. Il dessine donc la figure de l’horoptère, mais il la montre à sa place épistémologique si l’on peut dire, c’est-à-dire sur un livre posé au sol. Cette figure de l’horoptère, une de celles que l’on trouve dans le texte, est donnée à voir comme une théorie référée par le livre dont elle fait citation. Remarquable connivence entre de Aguilón, qui ne joue pas le dogmatique à propos de son invention de l’horoptère, et Rubens, qui sait que les mathématiques, ayant leur idéalité, ne doivent pas venir se perdre dans un dessin qui joue de la réalité et de l’allégorie. Il y a en effet le réel des instruments d’observation bien représentés et il y a aussi le réel des lignes droites qui sont des rayons optiques. Mais il y a encore les allégories du Colosse ou des Cupidons et autres amorini.

17Dans cette vignette, Rubens donne à voir les trois instruments usuellement associés au géomètre, du moins selon l’usage de l'Iconologia de Ripa. Il y a le compas à pointes sèches et s’il sert à reporter les longueurs, je doute qu’il symbolise encore la théorie des proportions euclidiennes. Il y a la règle non graduée du dessinateur, et elle sert à tracer et à vérifier les alignements qui font l’originalité de l’horoptère. Il y a l’équerre pour l’angle droit, et l’orthogonalité est essentielle pour la notion même d’axe optique. Rubens fait se chevaucher ces objets, pour donner une impression de relief, donc de réel. Mais ce n’est pas une référence à la théorie géométrique de l’espace ! Il y a de fait contraste avec la double réduction à la géométrie plane opérée par l’horoptère. D’une part, par la figuration imagée des objets sur le plan de l’horoptère comme nous allons le voir. D’autre part, parce que simplement dessinée sur la feuille plane d’un livre dans la vignette. Sur l’image de Rubens, ou plutôt image dans l’image et dans le livre de François de Aguilón, la droite horoptère se désigne par elle-même, sans symbolisme autre que géométrique, et sans allégorie autre qu’une théorie physique des rayons optiques et de la vision. C’est toute cette construction de symboles, d’allusions, et d’explications, de juxtapositions aussi de physique et de mathématiques, que j’appelle une imagerie de science à laquelle Rubens participe.

  • 14 Cette orthogonalité ne tient donc pas compte de la réfraction dans l’œil des rayons lumineux, ce q (...)

18On peut bien sûr la déconstruire presque ligne par ligne, selon les analyses de symboles, mais on perd la cohérence intellectuelle et visuelle d’une vignette conçue pour un livre de science bien particulier. Il ne faut donc pas l’oublier lorsque je mets à plat le dessin plan par Rubens de l’horoptère [illustration 4]. Et pour ne pas risquer cet oubli, je vais le commenter en utilisant le vocabulaire de physique du livre Optique, donc user même en géométrie d’une terminologie réaliste. Mon objectif est de parler de la modélisation que réussit l’horoptère, en donnant un sens épistémologique à cette réalisation, bien proche de celui des modelletti des artistes de la Renaissance. Que les points A et B désignent l’emplacement des yeux de l’observateur que l’on voit sur la vignette, et AB la droite joignant les deux points [illustration 4]. Soit C la rencontre des deux axes optiques des deux yeux, et donc DE la droite horoptère. L’axe optique a comme propriété d’être une droite qui arrive orthogonalement sur le centre de la vision (axis opticus recta in centrum visus penetrat). De sorte que, dans certains dessins, de Aguilón met en place des yeux deux cercles en A et B. Ce qui donne à comprendre le sens de l’orthogonalité puisque toute droite orthogonale à un cercle passe par son centre14, et dès lors on conçoit la convergence des deux axes optiques en C. La définition est bien mathématique. Parce qu’il est unique, le point C sur l’horoptère est déclaré distinctement vu. Quant au point E, il est projeté en deux points G et H sur l’horoptère. Ce sont des « images », donc E est vu indistinctement, car doublement vu. De même que le point I, qui quoique dans une autre position, soit projeté en deux points K et L sur l’horoptère. L’image optique comme projection plane est une invention de François de Aguilón que ne retiendra pas la postérité de l’optique géométrique.

Illustration 4 : À gauche, le modèle de l’horoptère lu sur la vignette de Rubens et à droite, le dessin géométrique dans le texte de François de Aguilón.

19Le dessin de Rubens, s’il figure aussi dans le texte de l'Optique, ne comporte pas de lettres et est plus simple encore. Mais il contient l’essentiel qui fait le modèle. En ce qu’est établie la nette distinction entre ce qui est jugé physiquement vrai, et ce qui tient à la représentation de la vision, donc à l’hypothèse selon le mode propre du mathématicien. En l’occurrence, c’est par les axes optiques que l’on voit des « images » sur l’horoptère. Ces « images » sont fausses, car ce sont des représentations, mais elles sont fournies par les néanmoins vrais axes optiques, ces droites que la vignette de Rubens donne à voir in situ. L’œil ne voit pas les rayons optiques, mais il voit les « images » produites. Aujourd’hui, l’horoptère a une définition purement optique, comme lieu des points de l’espace dont les images se forment en des points homologues des deux yeux, et la mathématique vient ensuite pour étudier ce lieu. C’est en le précisant ainsi qu’on situe la nature de l’investissement mathématique de l’Optique de 1613. Les alignements et leurs conséquences font l’objet des démonstrations, à partir de l’hypothèse de l’image par projection.

20Le dessin proprement géométrique le plus simple en 1613 ne comporte que les alignements. Ils font les « images », mais le dessin est appelé à se combiner dans une longue suite de théorèmes, aboutissant au dessin plus compliqué fourni en illustration 4, mais à bien d’autres encore. Ils sont poursuivis sur le mode de l’empilement. De Aguilón tient à cette enfilade proprement baroque car vertigineuse, qui prend sa source chez Clavius, l’auteur jésuite du Collegio Romano. Dans ses Éléments d’Euclide, Clavius avait donné en 1574 le genre de la démonstration et du commentaire mathématique probant mais long. « Notre Clavius » est-il écrit d’ailleurs dans l’Optique, pour rappeler une longue façon démonstrative de procéder, qui devient un genre. Il faut ajouter que les notes de Clavius venaient d’être publiées dans une nouvelle édition à Lyon en 1613 du Theoremata de lumine et umbra, ad perspectivam et radiorum incidentiam facientia de Maurolico, dont le titre même montre l’insistance sur les rayons optiques. Aussi faut-il prendre les remarques de la préface, très élaborée, pour une dénégation manifestement rhétorique : crudis illis et insipidis Mathematicorum demonstrationibus. La déclaration de rigueur est dans la longueur proprement invraisemblable du texte, dont l’auteur doit se justifier. Il le fait avec un certain esprit d’ironie moqueuse pour mieux faire accepter cette longueur. Le plus difficile, sans doute, est d’interpréter cette forme d’ironie chez un savant jésuite. On doit éviter le rapprochement avec le scepticisme de Montaigne, mais pourquoi ne pas accepter une position cicéronienne, un enjouement pour le savoir, pourtant mis à distance, alors même qu’il est hypertrophié dans son déroulement démonstratif.

  • 15 Je pense évidemment à l'Origine de la géométrie, un texte fascinant de Husserl, commenté et tradui (...)
  • 16 De Aguilón a si bien réussi son affaire d’un déroulement théorique, que Martin Kemp, dans son étud (...)

21On constaterait, si besoin était, le goût baroque de la lourdeur explicative en présentant d’abord une modeste proposition qui intervient à la page 241 de l'Optique. Selon la tradition française des manuels de géométrie, il s’agit tout simplement de l’énoncé du théorème de Thalès qui est quasiment un axiome pour la géométrie [illustration 5 en haut]. Pour de Aguilón, c’est bien autre chose. Ce n’est pas un récit fondateur, au sens où Husserl a pu vouloir le dire15. C’est le modèle à partir duquel la géodésie peut se faire. Haec propositio praecipium est Geodesiae fu ndam en ta. Tout le monde l’a ainsi entendu par allégorie à partir du fameux récit d’Hérodote sur l’ombre de la pyramide et du bâton que le dessin peut symboliser. Par une longue théorie de théorèmes, de Aguilón veut logiquement prouver l’enrichissement de cette figure de départ, indéfiniment répétée et combinée à la manière d’un algorithme16. Il parviendra à des figures aussi riches que celle du milieu ci-après [illustration 5, au milieu]. L’interprétation de cette figure pour le dessin se lit dans un tout autre contexte chez un autre auteur, Hans Vredeman de Vries, dans une Perspective publiée au début du xviie siècle [illustration 5 en bas].

Illustration 5 : un dessin très simple de proportion dans l'Optique en haut, d'ailleurs repris par Descartes, et sa lointaine suite au-dessous dans l’Optique, et en dessous encore, un dessin de la suite homographique dans la Perspective de Vredeman de Vries.

22On aura reconnu, surchargée, la figure clef de la prospettiva, celle de Viator ou d’Alberti, à laquelle Erwin Panofsky donna tant d’attention dans son essai de 1927 sur la perspective comme forme symbolique, renouvelant toute une critique, et ayant permis les nouvelles interprétations d’aujourd’hui. La figure explique mathématiquement comment on diminue en profondeur les pavages égaux pour les rendre exacts à l'œil quoique non égaux de fait. Le mathématicien parle de suite homographique, qui n’était pas du vocabulaire du début du xviie siècle, où l’on pouvait cependant lire une loi. C'était une loi de la nature, ou mieux, une loi de la vision. On retrouvera une transformation de cette figure chez Grégoire de Saint-Vincent, que l’on peut voir en prolongateur de François de Aguilón. Le point de distance est à l’infini, la suite devient géométrique, mais c’est encore un algorithme constructif comme celui de la suite homographique. Ici, des notations mathématiques seraient les bienvenues pour préciser les choses, mais je ne peux pas m’offrir le luxe d’être aussi lourd que de Aguilón.

Illustration 6 : la représentation de la suite et de la série géométrique chez Grégoire de Saint-Vincent en 1647, dans l'Opus geometricum.

  • 17 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., Proposition XXIX, p. 519.
  • 18 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., p. 144.
  • 19 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., Livre 6, p. 493
  • 20 De Aguilón s’en souvient, puisqu’il énonce en termes d’ombres là où le mot projection serait possi (...)

23La procédure assez lourde de Clavius, répétée par de Aguilón, ne fait pas toujours perdre la simplicité. Elle peut installer un certain réalisme au sein même de la géométrie. C’est ce réalisme dont se réclame de Aguilón, en revenant au mot pratique de « géodésie », ne pouvant conserver le mot de « géométrie » dont Euclide avait transformé la signification. Ainsi, lorsqu’il est question de la projection, on voit dans l’Optique un dessin, certes banal à nos yeux d’aujourd’hui, pour expliquer que les projections de droites parallèles sont encore parallèles17. Et ce dessin, analogue à l’illustration 6, alors qu’il ne fait qu’interpréter la tradition euclidienne des Éléments, avait été précédé d’une image inédite. On y voit en effet deux plans orthogonaux, et la double projection d’un point selon ce qui va faire la géométrie descriptive, mais avec un jeu de lignes droites pleines et en traits discontinus18. Le continu parce qu’il est vu (quand bien même il s’agit d’une droite, fiction mathématique), le discontinu parce qu’il est caché à la vue, font les conventions du dessin géométrique nouveau, et installent un certain réalisme en mathématiques. De Aguilón proposait effectivement une définition de la projection, dont il créait le mot, dans un splendide Quid sit proiectio19. Et déroulait une théorie mathématique plus ancienne où l’on reconnaît Maurolico et quelques autres, parlant des « ombres » plutôt que de projections20. Pour mieux dire le changement, il conviendrait de parler d’une théorie du dessin rectiligne fondé sur les projections. Le réalisme chez Rubens n’est donc pas une pure création du peintre, ou une allégorisation de la pensée géométrique de François de Aguilón. La démarche du savant jésuite était une démarche de dessinateur théoricien, que la pratique des plans d’architecture avait formé.

24Est-ce alors de cette formation que l’on peut déduire le ton discrètement ironique, contredit par l’accumulation de théorèmes et de figures géométriques. Est-ce plutôt un affect baroque ? Rubens aussi est profus dans sa vignette, et moque gentiment le savant observateur qui ne peut qu’être l’auteur du dessin géométrique fourni sur le livre dans la vignette. Ce dessin est laissé à son ordre respectable de preuve intellectuelle de type mathématique.

  • 21 Corpus Rubenianum Ludwig Burchard, Part XXI : Book Illustration and Title Pages, by J. Richard Jud (...)
  • 22 Les figures géométriques sont sur bois, selon la tradition du xvie siecle qui avait atteint des so (...)

25Ce ne sont pas des princes ou de riches bourgeois, mais bien les jésuites peu argentés dans les Flandres, qui voulurent la publication de l'Optica Aguilónii, présentée en préface comme relevant des seules sciences mathématiques. Ils la veulent avec des illustrations propres. Deux sortes d’illustrations en effet. Les vignettes de Rubens déjà vues, et les figures géométriques qui semblent fatiguer l’éditeur Plantin, peu habitué et même ironique, puisque dans son livre de comptes il indique des figurae lignae linearum etc.infinitae21.Et il y en a presque autant que de théorèmes, selon l’organisation de l’ouvrage more geometrico qui intitule théorème XXVIII de l’un des six livres, un énoncé comme : Lux et color proprium sunt obiectum visus. Zeste de décoration qui provient de la pratique des imprimeurs de la Renaissance22, notamment dans les dessins de livres de Oronce Finé par exemple pour ses manuels du Collège royal, les dessins géométriques sont assez souvent ornés de fines volutes ou arabesques, aussi abstraites toutefois que les lignes en jeu, mais aussi inutiles que des droites colorées [illustration 7]. Erreur sur ce dernier point : car une innovation de couleur apparaît, qui nous paraît pourtant banale. Une ombre est faite à même le dessin, avec le triangle hachuré OPS. On n’en voyait pas dans les dessins des éditions d’Euclide au xvie siècle, et on n’a pas vu de telles ombres dans les dessins géométriques jusqu’ici représentés, pas même sur le dessin de l’horoptère et pourtant sous la main d’un maître des ombres comme Rubens. L’ombre donne à voir un volume, et ici désigne judicieusement une projection : c’est une forme de réalisme pour la figure géométrique, ou un physicalisme de la géométrie.

Illustration 7: Des figures g駮m騁riques et leurs arabesques chez de Agui�n.

26La mathématique s’investit dans le réel pour des raisons de fond, et l'Optique de Aguilón fournit l’exemple du cadre aussi bien théorique que mondain de cet investissement.

La ligne brisée

  • 23 Otto van Veen, Amorum emblemata, (Anvers, 1609), Recueils d’emblèmes, Paris, Klincksieck, 2001.
  • 24 Cf. Jean Dhombres & Patricia Radelet-Degrave, Une mécanique donnée à voir : les thèses de statique (...)

27Les emblèmes d’Otto van Veen (Vaenius) publiées dans son recueil Amorum emblemata de 160923 ont été repris et réinterprétés par J. de Ciermans pour illustrer les thèses de statique défendues à Louvain24 dont voici un exemple.

  • 25 Tania C. Tribe, « Word and Image in Emblematic Paintings », in A. Adams, A. J. Harper (ed.), The E (...)

28Pour une thèse de mathématiques, en 1624, on voit le parti pris de taille exagérée du Cupidon présenté de profil, et le même environnement du paysage25, une forteresse massive avec des douves, un portique au milieu d’un pont de traverses en bois et une galerie en bois à l’italienne, la colline surmontée de ce qui ne peut qu’être une église, mais sans croix faîtière. L’arbre aux racines noueuses sur la gauche de l’image de van Veen a totalement disparu chez Ciermans ; le sol en avant-scène est tout autre. Sol de terre à peu près plat d’un côté, damier régulier et alterné à la mode des peintres de perspective de l’autre ; la verticalité cette fois est du côté du Cupidon de van Veen, renforcée par la corde tendue de l’arc, alors que l’enfant ailé aux rondeurs dodues de Ciermans est incliné en arrière. Car il est en mouvement. C’est ce mouvement qui fait le conflit voulu dans l’image : Statuas ambulantes cum miraris, quid admiraris ? Ego quod pondus statuam docens, seipsum deportet. « Quand vous vous étonnez des statues ambulantes, sur quoi porte cette admiration ? pour moi, c’est que le poids qui conduit la statue se transporte lui-même. »

  • 26 Roger Paultre, Les images du livre, emblèmes et devises, Paris, Herman, 1991, p. 142.
  • 27 Quinti Horati Flacci emblemata insignibus in aes notisque illustrata, Antverpiæ, 103 planches sur (...)
  • 28 Santiago Sebatián, Emblemática e historia del arte, Cátedra, Madrid, 1995, p. 142.
  • 29 Erwin Panofsky, Idea. Contribution à l’histoire du concept de l’ancienne théorie de l'art, trad. d (...)

29La présence indéniable des mathématiques est une ligne en pointillés qui vient diviser en deux l’image des thèses, la pictura de van Veen étant cette fois exempte d’une telle convention. Par contre la convention qu’est l’arc du Cupidon est remplacée par Ciermans en un compas à deux pointes sèches, symbolisation usuelle de la géométrie et même de la théorie. Il y a de fait une rectification constante des vingt-quatre vignettes de Ciermans sur les correspondantes de van Veen, prises dans un ensemble plus vaste d’images puisqu’il y en a cent vingt- quatre : jamais le carquois de Cupidon n’est repris par Ciermans. L’enfant ailé est devenu l’angelot, voire l’élève jusque dans son espièglerie, et il peuplera bien des illustrations de livres de science, surtout dans la tradition jésuite au xviie et au xviiie siècle. Roger Paultre souligne l’apparence religieuse de cet enfant ange gardien, tout en notant « le symbole équivoque d’un syncrétisme moral26 », pour un autre recueil d’images de Vaenius consacré à Horace27, mais avec les mêmes putti. Pour le même emblème de Vaenius, Santiago Sebatian préfère citer le poète Ramirez Puga de l’âge d’or espagnol, et l’« angel sancto, que da salva ribera a mi fortuna28 ». Mais il ne peut s’empêcher d’en référer à Ovide et son Ars amandi (II, 1-12). Il n’a certainement pas tort de replacer l’emblème qui représente la barque sur la mer se dirigeant vers le calme du large comme un rappel platonicien du désir de l’âme pour la félicité. Force est de constater que le désir ne joue aucun rôle dans l’image réinterprétée par Ciermans pour les thèses de Louvain. Et l’explication géométrique qui fait la « loi » de la chute des corps, ou l'idea, n’est pas au bout du voyage29. Elle est directement sur le bateau et sur sa poupe ; elle meut les corps, et c’est là une nouvelle forme du « réalisme » au sens platonicien cette fois.

Illustration 8 : Perfectus amor non est nisi ad unum, emblème page 3, Amorum emblemata ;

Illustration 9 : théorème 3 des thèses de statique de Louvain.

30Dans la transcription des images de van Veen, le gommage du carquois du Cupidon correspond à une diminution du symbolisme en faveur d’illustrations plus sensibles pour les thèses de Louvain. On peut voir le chemin parcouru depuis le compas branches en l’air, installé sur la tête de la Theoria dans l'Iconologia de Cesare Ripa pour indiquer symboliquement que le compas permet de penser jusqu’au compas à pointes que brandit le gigantesque putto de la statue ambulante. Car ce compas est un reste anodin du symbolisme ancien de la mesure, alors que dans la même image la ligne en pointillés fait voir la mesure rendue possible du mouvement. Le putto conserve néanmoins ses ailes, alors même que celles-ci peuvent gêner la compréhension scientifique de la cause du mouvement de la statue ambulante. Mais exhiber une telle contradiction fait partie de la sensibilité baroque.

Les couleurs de l'ombre

31Dans ses Regulae ad directionem ingenii, Descartes fait une remarque intéressante sur sa façon de concevoir les couleurs comme motifs de distinction dans l’étendue, au-delà de la seule opposition du noir au blanc. Il donne donc trois exemples de configurations géométriques distinctes qui, comme autant de motifs hachurés, pourraient remplacer les couleurs.

  • 30 René Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, trad. et notes par J. Sirven, Paris, Vrin, 1 (...)

Quel inconvénient en résultera-t-il donc, si en nous gardant d’admettre inutilement ou de former à la légère quelque nouvel être, nous ne nions pas certes de la couleur ce que les autres auront trouvé bon d’en penser, mais si, faisant abstraction seulement elle de tout le reste, sauf de ce qui constitue une figure, nous concevons la différence qui existe entre le blanc, le bleu, le rouge, etc., comme celle qui existe entre les figures ci-contre ou d’autres semblables, etc.30 ?

32Si les graduations, règles ou compas de proportion, sont des éléments matériels utiles pour saisir ce qu’a développé la Géométrie de Descartes, l’algèbre qui s’ensuivit et qui régla en outre bien plus tard ce qui pouvait se traiter à la règle et au compas seulement, n'eut plus besoin de symboles pour se représenter. Elle travaillait sur des symboles, les signes algébriques, et n’en avait pas besoin d’autres. L’exemple le plus net est la formule d’Einstein, devenue un symbole pour tous, n’utilisant que l’écriture algébrique E = mc2, alors que cette formule contient le fondement de la réaction nucléaire. Le « compas » représenté par les solides et quasi matérielles équerres de Descartes fut donc une simple représentation transitoire, la marque de l’étape d’une pensée qui inventait beaucoup plus.

33Le compas fin qui donne tout de suite à penser l’idéal, à la façon de Ripa et de la Contre Réforme, n’a pas été retenu par tous comme le bon symbole. C’est en effet le compas qu’on tient dans sa main pour dessiner, ou pour reporter les longueurs, qui s’installait dans la représentation, chez ceux pourtant chargés de diffuser les choses de l’intellect. La marque de l’éditeur Christophe Plantin à Anvers fournit à profusion l’exemple d’une main solide empoignant le haut d’un compas aux formes métalliques bien établies dans l’espace. Le plan géométrique d’une large planche de bois ou plutôt d’une pierre plate renforce l’indication de volume [illustration 10]. L’arrière-scène, ici en 1572, est une perspective courbe. Tirée par deux chevaux, une charrette bâchée en forme de wagon qui sera encore celui de la conquête de l’Ouest, s’achemine vers la ville ; l’avant-scène est une ornementation en forme d’écrin spatial avec deux figures légèrement incurvées, dans un florilège de volutes et d’orbes qui diminuent un peu le volume du compas, dont les deux branches sont alors données à voir dans le plan du dessin. N’est sans doute pas innocent le léger défaut à droite sur le cercle dessiné. C’est dans un contexte économique et matériel que se représente le compas dans ses deux rôles, instrument de dessin et instrument de mathématique, et il doit bien y avoir là une influence du calvinisme sur Plantin, quoiqu’il ait été responsable des publications jésuites dans les Pays-Bas méridionaux.

Illustration 10 : Marque de Christophe Plantin, 100x83, vers 1572.

  • 31 Hugh William Davies, Devices ofthe Early Printers 1457-1560, London, Grafton & Co, 1935, p. 678-67 (...)

34Une autre marque de la même maison, Plantin disparu ayant été remplacé par son gendre Jean Moretus qui poursuit la même œuvre, maintient indéniablement l’épaisseur matérielle au compas et sa solidité. La banderole publicitaire de la maison, Labore et Constantia, vient à cet effet s’enrouler entre les branches du compas, que l’on aimerait bien appeler des jambes. La surface plane que griffent les pointes du compas termine plusieurs planches serrées à droite et à gauche par des vis dans un appareillage protubérant. Un léger espace à l’avant allonge encore le relief. L'arrière-scène est effacée, et les deux personnages cette fois symétriques en haut de la gravure sur bois datant de 1591 sont rentrés dans le plan, si l’on peut dire. Ils ont perdu la splendeur graphique de l’image précédente. Le nom du dessinateur est en initiales tout en haut, PB, ou Peter van der Bocht31. L’épaisseur du compas est rendue plus réaliste encore par les ombres portées par les deux branches du compas, de petites hachures serrées au pied de chaque pointe, mais il y a aussi l’ombre de la banderole, et au- delà un fond de hachures parallèles selon un jeu devenu normal pour ce genre de planches sur bois.

35Est-il cependant bien réaliste qu’un cercle soit représenté sur la surface plane par le compas à deux pointes sèches ? Même l’œil exercé à la perspective ne reconnaît pas une ellipse, qui satisferait pourtant le géomètre dans cette représentation projective. Le jeu des hachures sur la surface plane paraît intrigant dans la première marque [illustration 10] : elles ne tiennent pas compte de la frontière que serait la courbe dessinée. Et il y a une surprise. À l’équerre au pied de la branche verticale du compas, il y a une ombre, faite de hachures, et aucune ombre du côté de la branche mobile du compas. Dans la seconde marque [illustration 11], la courbe tracée ne limite rien sur les hachures, et il y a deux ombres au pied des deux branches de l’épais compas représenté symétriquement. Ces deux ombres sont perturbées par d’autres ombres portées, mais apparaît bien plus faible l’ombre de la branche droite du compas, celle qui ne dessine rien. Cette dissymétrie du rôle des branches fut voulue par Plantin lui-même qui, dans un geste baroque, voulait opposer les deux branches de sa devise : constance et travail. Dans l’édition d’une Bible polyglotte, Christophe Plantin indiquait en 1555 que le point central du compas fixait la constance et le point mobile extérieur et traçant symbolisait le travail. Les deux personnages très différents de la marque [illustration 10] allégorisent ces deux valeurs, devenues symétriques en d’autres occasions [illustration 11].

Illustration 11 : Une marque de Plantin-Moretus en 1591

36Toute baroque était la contradiction donnée à voir entre ces attributions nettement dissymétriques, notamment par les ombres au pied des pointes, la pointe qui trace, et la pointe du centre, et l’indéniable symétrie circulaire de la courbe, quand bien même celle-ci serait représentée par une ellipse. Lorsque la représentation devient symétrique et les deux branches du compas également inclinées, donc lorsque le centre s’estompe, ce sont encore les ombres portées qui portent la dissymétrie. D’une façon estompée aussi, en ce sens qu’il y a bien deux ombres, mais elles ne sont pas parallèles, leurs directions à peu près droites font un angle. On en déduira simplement que le plan du compas n’est plus le plan de la feuille du livre sur laquelle figure cette marque. On verra donc que le plan du compas est variable. En ce cas est bien renforcée la matérialité du compas, quand même seraient fortement diminuées les deux attributions symboliques des pointes. On ne voit certainement pas le compas à la Ripa. Une troisième marque de la maison Plantin [illustration 12] mérite l’attention, car elle donne à voir un jeu savant : le compas paraît très fin, presque à la Ripa, et c’est le cadre qui par les volutes donne une idée de volume. Le centre du cercle est indiqué, les branches ne sont pas symétriques, pas plus que n’ont la même direction les ombres assez faibles au pied de chaque branche du compas. Les figures allégoriques sont quant à elles très différentes : la bêche sur l’épaule du paysan mélancolique fait antagonisme à la constance absorbée de la femme qui n’est pas prise par un travail manuel, car elle lit. Cela peut paraître normal pour une marque d’imprimeur, mais n’en fait pas moins sensation.

37Chez Euclide, la définition du cercle ne peut pas être référée au compas, dans la mesure où cette définition est plane, alors que le compas introduit un extérieur au plan, une troisième dimension qui est celle de l’espace, ou la solid geometry comme disent avec vigueur les Anglais. Même la dénomination du centre vient après coup chez Euclide (définition 16 du livre I des Eléments).

38Le centre, l’unique point désigné par la définition, n’est unique que par la convention de regarder les choses dans un seul plan. La main de Plantin, à moins que ce ne soit la main de Dieu sortie des nuages, est aussi bien que le centre (κέντρον) à égale distance de tous les points de la circonférence.

39Et certaines illustrations, par les ombres, nous ont données vraiment à voir le compas variable, et susceptible de tracer une trajectoire. La περιφέρεια, dont le nom désignait d’abord une trajectoire dans le vocabulaire astronomique grec, était devenue un contour chez Euclide. S’il y a dissymétrie entre centre et périphérie, est privilégiée chez Euclide l’égalité des diamètres et ils ne donnent à voir le centre que comme intersection commune.

Illustration 12 : Christophe Plantin, marque 12, 92x73.

40Par tous ces jeux de marque qui devaient être attendus de quelques connaisseurs, et de ceux de la Respublica litterarum, Plantin se débarrasse avec élégance de la perfection de l’Idea attribuée au cercle et au compas, perfection qui avait fourni bien des représentations du monde au Moyen Âge.

L’espace du compas

41Une autre marque d’éditeur contente le goût de la symétrie des branches du compas, mais elle le fait aux dépens du cercle qui disparaît. Le volume est pourtant indiqué comme pour le compas matériel, et les volutes de la banderole jouent des ombres.

Illustration 13 : Marque de Gilles Beys

42Sans empêcher le compas fin et idéal, par les ombres portées ou par les dessins des formes, Plantin et ses successeurs donnent une matérialité symbolique à la connaissance mathématique. Est remarquable un emblème d’un recueil de 1613, Selectorum emblematum centuria secunda dû à Gabriel Rollenhagen. La devise est en effet la même que celle des Plantin, Labore et Constantia, pour illustrer une moralité cette fois, et non comme marque d’imprimeur. Le sens moral de l’inscriptio est donné par une traduction « paraphrastiquement mise en ryme françoise » :

Quand quelqu’un entreprend de faire un bel ouvrage,
Il ne suffira pas de bien y labourer,
Mais il faut au labeur toujours persévérer,
La constance embellit le labeur d’avantage.

43Il faut forcer le sens de cette traduction pour le trouver dans la pictura, et c’est le métier d’imprimeur qui apparaît probable. La lourdeur de la force de la main gauche dont le pouce est caché, appuie en un lourd labeur sur le compas solide à la façon dont l’imprimeur travaille feuille après feuille. Dans l'inscriptio, le labeur ne serait-il pas plus élégamment représenté par les volutes de l’écriture ? La pictura de cet emblème est d’autant plus intéressante que nous y voyons nettement la version des compas donnant à voir le plan variable : les deux branches du compas solide sont symétriques, mais la pierre sur laquelle le cercle-ellipse est tracé est de biais. De sorte que le compas fait un plan qui n’est pas le plan de la feuille du livre où se trouve l’emblème, et les deux pointes ne sont pas sur une même ligne horizontale. La figure gagne ainsi de l’espace. Deux longues ombres en hachures croisées sont au bas de chaque pointe, mais l’ombre de droite est légèrement incurvée, et c’est celle qui correspond à la branche mobile du compas. L’arrière-scène est tout aussi intéressante. Un groupe de femmes est occupé à comprendre le sens d’une comète dans le ciel, qui avec un livre, qui avec une boule de cristal sur laquelle elle tient un compas, et l’une brandit un bâton de Jacob vers l’astre au firmament, à moins que ce ne soit une croix. Ce n’est pas un compas ! On le voit entre les mains de la femme assise sur la droite. Selon une habitude autrefois réservée au Créateur, la femme mesure la sphère du monde, qui n’est donc pas une boule de cristal. Les ombres que font sur la sphère les deux branches de ce compas sont dirigées l’une vers l’autre. Le compas intellectuel ou à la Ripa, fait une ombre contradictoire, et le compas ouvragé du centre de l’image fait des ombres réalistes, indicatrices de propriétés spatiales de l’instrument, néanmoins symboliques par une incurvation légère de l’ombre de la pointe mobile.

44Un tel dessin atteste la pratique récente de geometria practica, où jouent la mesure aussi bien que le dessin, et le jeu littéraire sur les symboles, mais un jeu que l’on tend à rendre discret. On sait que l’emploi du compas comme appareil de dessin s’effectue dans l’espace, mais on avait moins conçu que le report des longueurs fasse aussi jouer la sortie dans l’espace de ce qui normalement devrait rester dans le plan. On se mettait a priori à jouer de l’épaisseur du compas. Concevoir la géométrie plane et ses opérations d’une façon instrumentale, requiert l’espace.

  • 32 Maurice Merleau-Ponty, L’institution. La passivité. Notes de cours au Collège de France (1954-1955(...)

45Dans ses notes d’un cours au Collège de France en 1954, Maurice Merleau- Ponty lecteur de Husserl et alors fervent de la phénoménologie, faisait remarquer qu’avec « la généralisation mathématique, ou résolution de l’évidence privilégiée du cas de figure dans une évidence plus générale (géométrie plane = géométrie dans l’espace où l’on fait une dimension nulle) [...], le rapport n’est pas de conséquence à principe32... ». La phénoménologie de la géométrie plane aurait donc une origine spatiale, l’épaisseur du compas conservant en quelque sorte sa trace dans le cercle euclidien. La géométrie plane risquerait une exténuation de sens à se couper de ses origines, une Sinnenleerung. La perte actuelle presque complète de sens de la géométrie de l’espace dans l’enseignement secondaire, comme l’a manifestée une question catastrophique au baccalauréat de juin dernier, pourrait redonner une certaine actualité à la remarque de Merleau-Ponty et contraindre à revoir le cercle comme résultat d’un tracé du compas solide. Les dessins de compas dans les marques de Plantin que nous venons de voir rendent sensible la remarque que Merleau-Ponty exprime en ne voyant pas « l’engendrement des significations » comme un intemporel, ni le passage au tridimensionnel comme un τόπος νοητός. Il le voit comme une « sublimation d’une lumière du concret », et l’on est assez convaincu. Il y a quelque mélancolie à constater que cela contredit pourtant ce que nous avons établi, par les dessins aussi, à propos du compas de Descartes. Si l’équerre était bien visible, la règle graduée restait une affaire de tête, comme d’ailleurs l’ordre algébrique sur les courbes. L’invention ne résulte pas toujours de cette lumière que souvent nous voudrions trouver dans les choses pour rendre les mathématiques plus sensibles

Notes

1 Le passage au tableau blanc, ou au rouleau de papier blanc, a contraint de noircir les côtés d’un triangle, mais sans affecter la démonstration. L’utilisation des écrans d’ordinateurs n’a rien changé à l’arbitraire des couleurs choisies dans les représentations géométriques, sinon à leur multiplication. La géométrie en est-elle devenue plus facile ?

2 Benoît Mandelbrojt, Les objets fractals : forme, hasard et dimension, Paris, Flammarion, 3e édition, 1989.

3 Il faudrait bien sûr montrer de tels exemples, mais lorsqu’ils sont en couleur les droits de publication sont prohibitifs.

4 Sur le nombre d’or, la littérature est si grande qu’elle décourage, voir la bibliographie pourtant très sélectionnée de Jean Mawhin, « Au carrefour des mathématiques, de la nature, de l’art et de l’ésotérisme : le nombre d’or », Revue des Questions Scientifiques, 1998, 169 (2-3), p. 145-178. Mais aussi, Matila Ghyka, Le nombre d'or, 3 vol., Paris, Gallimard, 1931 ; Maurice Bonssavlievitch, Le nombre d’or et l'esthétique de l'architecture, Paris, A. Blanchard, 1963 ; d’Arcy Thompson, On Growth and Form, Cambridge University Press, new edition, 1971 ;H. E. Huntley, The Divine Proportion, A Study in Mathematical Beauty, New York, Dover Pub., 1970, et sur le traitement seulement mathématique, d’après les sources euclidiennes, Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio, Waterloo, Wilfrid Laurier University Press, 1987. On ne peut manquer ici de citer De divina proportion de Luca Pacioli, livre imprimé à Venise en 1509, avec des dessins de Leonardo da Vinci (trad. fr. G. Duchesne, M. Girard, avec la collaboration de M.-T. Sarrade, Divine proportion : œuvre nécessaire à tous les esprits perspicaces et curieux, 2e éd., Librairie du Compagnonnage, 1988).

5 Je tire la figure d’un ouvrage au beau titre, mais dont la lecture ne manque pas d’être pénible tant l’auteur prend son lecteur pour un niais, Robert Lawlor, Sacred Geometry, Thames and Hudson, London, 1982.

6 Aristote, La Métaphysique (1092 b 8), trad. Jean Tricot, Paris, Vrin, 1981.

7 Voir Jackie Pigeaud, « La nature du Beau et le Canon de Polyclète », in L'art et le vivant, Gallimard, Paris, 1995.

8 E. C. Watson, « Reproduction of Prints, Drawings and Paintings in the Interest on the History of Physics », American Journal of Physics, 16 (3) 1948, p. 183-184.

9 H. Pelliot, « La vision binoculaire dans l’optique d’Aguilonius », De gulden Passer, New Series, 5, Antwerp, 1927.

10 Moritz von Rohr, « Auswahl aus der Behandlung des Horopters bei Fr. Aguilonius um 1613 », Zeitschrift für ophtalmologische Optik 11 (1) 1923, p. 41-59.

11 Francisci Aguilonii opticorum libri sex, Anvers, 1613, p. 111.

12 Je voudrais prévenir ici une fausse interprétation de ce qui vient d’être dit : je ne suggère pas que Rubens aurait mieux compris le rayon optique que de Aguilón. Mais c’est lui qui a su utiliser le moyen pictural de la disparition pour traduire l’idée de la réalité du rayon optique.

13 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., p. 110.

14 Cette orthogonalité ne tient donc pas compte de la réfraction dans l’œil des rayons lumineux, ce qui fait peu moderne chez de Aguilon. Voir par exemple, James S. Ackerman, « Leonardo’s Eye », Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, 41(1978), p. 108-146.

15 Je pense évidemment à l'Origine de la géométrie, un texte fascinant de Husserl, commenté et traduit par Jacques Derrida, aux PUF en 1960, et dont l’idée fut élargie au pluriel par Hubert Damisch, Les origines de la perspective. Le titre de Husserl fut repris par Michel Serres dans une méditation mi-positiviste, mi-hallucinée. Elle correspond à la vieille histoire de la réaction dite humaniste face aux mathématiques, considérées comme aussi bien frivoles qu’essentielles.

16 De Aguilón a si bien réussi son affaire d’un déroulement théorique, que Martin Kemp, dans son étude (The Science of Art. Optical Themes in Western Art From Brunelleschi to Seurat, Yale University Press, New York-London, 1990, p. 103) pense que la vignette du second livre de l’Optique est faite pour illustrer la mesure de la hauteur du Colosse de Rhodes. Voir Wolfgang Jaeger, Die Illustrationen von Peter Paul Rubens zum Lehrbuch der Optik des Franciscus Aguilonius, Heidelberg, 1976.

17 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., Proposition XXIX, p. 519.

18 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., p. 144.

19 Francisci Aguilonii Opticorum libri sex, op. cit., Livre 6, p. 493

20 De Aguilón s’en souvient, puisqu’il énonce en termes d’ombres là où le mot projection serait possible : Circuli umbra plano obliquo excepta est vel Circulus, vel Ellipsis, vel Parabola, vel Hyperbola (proposition CLXVI, p. 675). Voir aussi Jean Dhombres, « Shadows of a Circle. What is there to be seen ? Some figurative Discourses in the Mathematical Sciences during the Seventeenth Century », in L. Massey (ed.), The Treatise on Perspective : Published or Unpublished, Studies in the History of Art, Center for Advanced Study in the Visual Arts, National Gallery of Art, Yale University Press, 2003, p. 177-211.

21 Corpus Rubenianum Ludwig Burchard, Part XXI : Book Illustration and Title Pages, by J. Richard Judson, Carl van der Velde, Harvey-Miller-Heyden and son, s.d., p. 432.

22 Les figures géométriques sont sur bois, selon la tradition du xvie siecle qui avait atteint des sommets de qualité dans l'imprimerie en Italie avec Federico Commandino. Alors que les vignettes et le frontispice sont sur cuivre, technique désormais plus appréciée des amateurs que les bois, grâce notamment à la finesse atteinte par un Dürer un siècle plus tôt.

23 Otto van Veen, Amorum emblemata, (Anvers, 1609), Recueils d’emblèmes, Paris, Klincksieck, 2001.

24 Cf. Jean Dhombres & Patricia Radelet-Degrave, Une mécanique donnée à voir : les thèses de statique défendues à Louvain en 1624, à paraître chez Brepols.

25 Tania C. Tribe, « Word and Image in Emblematic Paintings », in A. Adams, A. J. Harper (ed.), The Emblem in Renaissance and Baroque Europe. Tradition and Variety, Selected Papers of the Glasgow International Emblem conference 13-17 August 1990, E. J. Brill, Leiden/New York/Koln, 1992, p. 247-258.

26 Roger Paultre, Les images du livre, emblèmes et devises, Paris, Herman, 1991, p. 142.

27 Quinti Horati Flacci emblemata insignibus in aes notisque illustrata, Antverpiæ, 103 planches sur cuivre, 1607, et nombreuses rééditions.

28 Santiago Sebatián, Emblemática e historia del arte, Cátedra, Madrid, 1995, p. 142.

29 Erwin Panofsky, Idea. Contribution à l’histoire du concept de l’ancienne théorie de l'art, trad. de l’allemand par H. Joly, Gallimard, 1989.

30 René Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, trad. et notes par J. Sirven, Paris, Vrin, 1966, 4e édition, p. 74-75.

31 Hugh William Davies, Devices ofthe Early Printers 1457-1560, London, Grafton & Co, 1935, p. 678-679.

32 Maurice Merleau-Ponty, L’institution. La passivité. Notes de cours au Collège de France (1954-1955), Belin, 2003, p. 95.

Table des illustrations

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Légende Illustration 1 : La frivolité des «  explications » de la beauté mathématique dans l’art.
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Légende Illustration 2 : À gauche, propriétés du découpage des diagonales du pentagone régulier par une autre diagonale, et à droite, une construction sur les carrés et le rectangle, l’aire du carré du haut valant celle du long rectangle du bas.
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Légende Illustration 3 : Deuxième vignette de Rubens, gravée par Th. Galle au début du second livre d’optique consacré aux rayons optiques et à l'horoptère.
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Légende Illustration 4 : À gauche, le modèle de l’horoptère lu sur la vignette de Rubens et à droite, le dessin géométrique dans le texte de François de Aguilón.
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Légende Illustration 5 : un dessin très simple de proportion dans l'Optique en haut, d'ailleurs repris par Descartes, et sa lointaine suite au-dessous dans l’Optique, et en dessous encore, un dessin de la suite homographique dans la Perspective de Vredeman de Vries.
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Légende Illustration 6 : la représentation de la suite et de la série géométrique chez Grégoire de Saint-Vincent en 1647, dans l'Opus geometricum.
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Légende Illustration 7: Des figures g駮m騁riques et leurs arabesques chez de Agui�n.
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Légende Illustration 8 : Perfectus amor non est nisi ad unum, emblème page 3, Amorum emblemata ;
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Légende Illustration 9 : théorème 3 des thèses de statique de Louvain.
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Légende Illustration 10 : Marque de Christophe Plantin, 100x83, vers 1572.
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Légende Illustration 11 : Une marque de Plantin-Moretus en 1591
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Légende Illustration 12 : Christophe Plantin, marque 12, 92x73.
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Légende Illustration 13 : Marque de Gilles Beys
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© Presses universitaires de Rennes, 2007

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