L’École combinatoire de Carl Friedrich Hindenburg (1741-1808) ou comment fonder l’infini
p. 203-220
Texte intégral
1En 1796, à la fin d’un recueil d’articles intitulé Le théorème du multinôme – le théorème le plus important de toute l’analyse (Der polynomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis, paru à Leipzig), Carl Friedrich Hindenburg pouvait conclure :
« L’analyse combinatoire [la théorie de Hindenburg P.S.] a enfin soulevé le voile, et plus rien désormais n’est abandonné au hasard aveugle qui déciderait si et quand il instaurera la Loi de la Nature. La voie empruntée par la déesse est indiquée partout bien clairement, et à partir de maintenant, on peut la suivre d’un pas ferme et sûr1. »
2Cette déclaration semble aujourd’hui bien téméraire, mais elle perd de son étrangeté une fois remise dans son contexte historique. En effet, on assiste à une accélération inédite de la connaissance scientifique, notamment depuis le xviie siècle, avec l’apparition du calcul infinitésimal, que l’on appelait à l’époque de Hindenburg « analyse de l’infini ». La recherche dans ce domaine est européenne, ou presque, puisqu’une grande nation comme l’Espagne ne participe pas à cet effort intellectuel. Au xviiie siècle, l’analyse est déjà un édifice monumental aux applications multiples, mais cet édifice n’est pas une cathédrale : les fondations ne sont pas solides. Cependant, les résultats des Euler, Lagrange et de beaucoup d’autres sont tellement riches que la recherche continue malgré les contradictions. Bien sûr, les mathématiciens étaient conscients des difficultés, et certains voulurent y mettre de l’ordre, et même parfois, comme Hindenburg, définitivement.
3Nous allons tenter de reprendre l’évolution de la pensée mathématique jusqu’à Hindenburg en sept points suivis d’une conclusion plus générale :
- Une expérience de pensée sans symbolisme
- Descartes et l’exposant
- Une accélération subite : Newton, Leibniz et la formule du binôme
- Un exemple : la série de Mercator
- Quelques doutes sur le bien-fondé de la méthode : le cas de Grandi
- Les tentatives de démonstration du binôme
- 1796 : l’année admirable de Hindenburg et la naissance de l’Ecole combinatoire
- Conclusion : le formalisme entre stérilité et fécondité
Une expérience de pensée sans symbolisme
4Voici à quoi pourrait ressembler la paraphrase en langue naturelle d’une formule bien connue, si l’on renonce aux bienfaits du symbolisme ayant contribué à la création des mathématiques telles qu’on peut les apprendre aujourd’hui à l’école :
« Si tu veux savoir ce que vaut la somme de la chose avec une quantité que tu multiplieras trois fois par elle-même, tu dois multiplier la chose trois fois par elle-même et l’ajouter à trois fois la chose multipliée deux fois par elle-même et multipliée par la quantité, à quoi tu ajouteras trois fois la chose multipliée par la quantité multipliée deux fois par elle-même, puis tu ajouteras la quantité multipliée trois fois par elle-même, et alors tu contempleras le résultat, pour la plus grande gloire de Dieu2. »
5Il s’agit bien sûr (?) du développement de (x+a)3, qui est égal à x3+3x2a+3xa2+a3. Ce qui apparaît comme évident dès lors que l’on dispose de la formule (x+a) et qu’on peut simplement la multiplier trois fois par elle-même, paraît inextricable sans le symbolisme et sans les parenthèses qui caractérisent l’algèbre d’aujourd’hui. Il est difficile de s’imaginer l’énorme travail d’abstraction qui fut accompli au cours de plusieurs siècles, pour symboliser l’inconnue x (la « chose »), la quantité connue a (la « quantité »), ce qui permet alors, quand on dispose du signe =, de poser par exemple X=x+a, c’est-à-dire d’opérer une substitution. Ce fut une des réalisations de Viète, et la possibilité de substitution est fondamentale pour la création de l’algèbre moderne. Mais que faire, si l’on ne peut pas ajouter des inconnues ou des quantités connues à leur carré ou à leur cube, tant que l’algèbre naissante ne s’est pas émancipée de la considération venant de la physique qu’une chose, son carré et son cube (etc.!) sont de nature différente, comme la ligne, le carré et le cube de la géométrie le sont ? Ce pas fut franchi au xviie siècle par Descartes.
Descartes et l’exposant
6Dans les Règles pour la direction de l’esprit n° 14 à 16, œuvre de jeunesse non publiée de son vivant, Descartes explique que toute grandeur peut être considérée comme un multiple de 13. Ainsi, a est un multiple de 1 de même que aa, et que aaa, et ces trois grandeurs n’appartiennent plus à des espèces différentes. Pour bien faire comprendre cette nouveauté, Descartes écrit « aaa » a3. On peut alors calculer aa×a3, ce qui donne a5, et il est clair que aa, a3 et a5 sont de la même espèce. On peut donc les combiner. Ainsi, avec les deux procédés de substitution et de combinaison qui caractérisent l’algèbre, on peut sans difficultés écrire : si a= x+b, alors a2= (x+b)2=x2+2xb+b2. Le calcul s’émancipe de la physique et on peut faire des mathématiques hors le sens, « à l’aveugle » dira Leibniz, « mécaniquement » selon Hindenburg, c’est-à-dire de façon purement formelle, avec l’espoir que cela puisse fonctionner tout seul. Descartes reprit sa création dans la Géométrie en 1637, elle fut adoptée immédiatement par les mathématiciens de son temps et contribua à accélérer fortement les progrès des sciences mathématiques. Cependant, le xviie siècle donna naissance à deux géants mathématiques, et les progrès se firent de plus en plus rapides et décisifs.
Une accélération subite : Newton, Leibniz et la formule du binôme
7Le binôme joua un rôle fondamental dans l’invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz. Partons d’une courbe, disons une parabole, dont l’équation simplifiée est y=x2. Pour trouver l’équation d’une tangente à cette courbe en un point x1 (ou la dérivée de cette courbe, ou la vitesse en ce point), on peut imaginer deux points très proches d’abscisses x1 et x2=x1+o (o n’est pas égal à 0, mais est infiniment petit). Il est bien clair que si l’on veut exprimer l’ordonnée y2 correspondant à x2, on trouve y2=x22= (x1+o)2. À partir du développement de ce genre de formule, en divisant y2-y1 par x2-x1 et en négligeant dans le résultat final un o qui n’avait plus d’importance calculatoire, on peut trouver l’équation de la tangente de la parabole. Mais pourquoi en rester là ? En effet, l’algèbre offre la possibilité de substituer un terme à un autre et de voir ce qui se passe, et c’est ainsi que Newton communiqua en 1676 à Leibniz dans sa lettre appelée communément Espistola prior le développement d’une formule équivalente, après beaucoup de simplifications de notre part, à (x+1)m/n, c’est-à-dire d’un binôme affecté d’un exposant non plus entier, comme cela avait été le cas auparavant, mais d’un genre tout à fait nouveau, puisqu’il était premièrement littéral, et deuxièmement fractionnaire. Or il est bien évident, même si l’on prend un cas beaucoup plus simple, par exemple (x+1)1/2, que multiplier l’expression x+1 une demi-fois par elle-même n’a pas de sens. Et pourtant, Newton présenta à Leibniz ce développement sans aucune explication, et celui-ci s’avéra déterminant pour le calcul infinitésimal naissant, puis pour toute l’évolution de ce qui devint l’analyse de l’infini jusqu’à la fin du xviiie siècle. Mais le nouveau développement était à la fois apparenté et surtout bien différent de ce que les mathématiciens connaissaient jusqu’alors. En effet, contrairement au triangle de Pascal, où les développements de (x+1)2=x2+2x+1, (x+1)3=x3+3x2+3x+1 etc. sont finis, celui de (x+1)m/n ne l’est pas. On peut l’écrire de la façon suivante, puisque (x+1) = (1+x) : (1+x)m/n=1+ax+bx2+cx3… etc., infiniment, les a, b, c, étant des coefficients à définir. Le membre de droite s’appelle la série infinie du binôme, ou encore développement en série entière, le terme « entier » désignant les exposants qui sont tous des nombres entiers positifs, contrairement à l’exposant de (1+x)m/n. Mais les initiateurs du calcul infinitésimal ne s’arrêtèrent pas en si bon chemin. Ne pouvait-on pas exprimer d’autres binômes, avec d’autres exposants, en séries entières beaucoup plus faciles à manipuler ? En voici un exemple célèbre.
Un exemple : la série de Mercator
La recherche d’un procédé indirect de résolution
8Une autre courbe bien connue était l’hyperbole, d’équation y=1/x. Les mathématiciens de l’époque de Newton et Leibniz connaissaient l’opération inverse de la dérivation, nommée intégration, et savaient que 1/x était la dérivée d’un nombre très utile pour des calculs compliqués, le logarithme de x. Et ils savaient également que le logarithme de x est l’aire comprise entre l’axe de l’abscisse et un segment d’hyperbole. Mais si la dérivation est une opération souvent simple, il n’en est pas de même de l’intégration, et en tout cas pas de l’intégration de l’hyperbole. Un contemporain de Newton et Leibniz, Nicolaus Mercator (à ne pas confondre avec le Mercator de la projection), eut alors l’idée suivante (mais il ne fut probablement pas le seul) qui fit sa notoriété : comme il ne pouvait pas calculer directement sur 1/x, il décala la courbe un tout petit peu en considérant 1/ (1+x), ce qui est toujours une hyperbole4, et n’est autre que le binôme (1+x)-1. Puis il manipula l’expression de départ d’une façon qui pourrait faire penser à un tour de passe-passe si l’on voit la chose négativement, à un tour de magie si l’on est prêt à s’émerveiller. En effet, on peut écrire (sans être vraiment fidèle à la démarche de Mercator) 1=1+x-x, pourquoi pas, puis 1/ (1+x) = (1+x-x)/ (1+x), ce qui semble toujours dénué de sens, puis, en séparant à droite au numérateur 1+x et -x, 1/ (1+x) ={ (1+x)/ (1+x)}-{x/ (1+x)}, ce qui est bien sûr équivalent à 1/ (1+x) ={ (1+x)/ (1+x)}-{x×1/ (1+x)}. Ce qui apparaît à un non initié comme une complication fait surgir chez le mathématicien de l’époque, à la recherche d’un procédé indirect de résolution, la possibilité de supprimer petit à petit (1+x) au dénominateur, ce qui est le but recherché. En effet, (1+x)/ (1+x) est égal à 1, donc en reprenant l’expression de départ et les manipulations successives, on trouve d’abord 1/ (1+x) =1-{x×1/ (1+x)}. Le deuxième membre de l’équation est équivalent au premier, (1+x) est toujours au dénominateur, mais on s’aperçoit que, comme par enchantement, mais en fait par une manipulation ciblée de l’expression de départ, on trouve celle-ci, 1/ (1+x), à la fois dans le premier et dans le second membre. Alors il ne reste plus, si l’on peut dire, qu’à réitérer le processus, c’est-à-dire à remplacer 1/ (1+x) dans le deuxième membre par 1-{x×1/ (1+x)}, puis à recommencer autant de fois que l’on voudra, et l’on trouve enfin la série dite de Mercator, 1/ (1+x) =1-x+x2- x3+x4… etc., à l’infini. De nouveau, on tombe sur un développement en série infinie de puissances entières. Or les différents termes 1, -x, x2, etc. sont facilement intégrables, et les mathématiciens de l’époque admettaient que la somme des termes intégrés était égale à l’intégrale de 1/ (1+x). On pouvait intégrer l’hyperbole !
La fécondité du symbolisme
9Voici un beau détour par l’infini pour calculer une expression finie, et bien sûr, les inventeurs du calcul infinitésimal ne s’arrêtèrent pas en si bon chemin : si l’on pouvait écrire par exemple x2, x-2, pourquoi ne pas essayer x1/2, x-1/2, x√2, x-√2, c’est-à-dire xn quel que soit n, et finalement, ce que fit Leibniz, y=ax, ce qui est l’équation de l’exponentielle, la fonction inverse de la fonction logarithmique x=log y ? Ce jeu purement symbolique, a priori sans rapport avec quelque réalité que ce soit, se révéla étonnamment fécond et applicable aux problèmes que se posaient les mathématiciens, par exemple en mécanique céleste. À la suite des découvertes des pionniers au xviie siècle, le xviiie siècle fut celui des applications multiples, et l’on calcula des aires, des trajectoires, des orbites, des pressions, tensions, oscillations, etc. Le pragmatisme régnait, les réussites de l’analyse de l’infini (rappelons-nous qu’il s’agissait d’accroissements « infiniment petits ») grâce aux manipulations algébriques, c’est-à-dire purement formelles, des développements en séries de puissances entières, pouvaient donner l’impression qu’il suffisait de calculer, et que la foi ne tarderait pas à venir. C’est ainsi que Euler, le plus grand mathématicien du xviiie siècle avec Lagrange, pouvait déclarer en 1748 dans la préface à l’Introductio ad analysin infinitorum que la série infinie du binôme était « un théorème universel », et en 1774 qu’elle était « la base de toute l’Analyse sublime », c’est-à-dire de l’analyse de l’infini5. C’est dans ce contexte qu’il faut resituer la déclaration de Hindenburg citée dans l’introduction : pour Euler et jusqu’à Hindenburg, l’analyse était la langue de la Nature. Ou en d’autres termes : la Nature s’exprimait en développements en séries infinies de puissances entières du binôme de Newton. Cela marchait presque toujours. « Presque », parce qu’il y avait des cas où ces développements donnaient des non-sens, à cause de leur caractère formel. Cependant, les mathématiciens de l’époque le savaient, et le succès de leur méthode était si incontestable qu’il n’y avait guère d’intérêt à se poser des problèmes de rigueur, de fondement. Mais, comme souvent dans la marche de la pensée scientifique, les doutes, qui se manifestèrent dès le début, s’imposèrent peu à peu, et nous allons examiner un cas particulièrement frappant par la simplicité de sa formulation.
Quelques doutes sur le bien-fondé de la méthode : le cas de Grandi
10Toute l’Europe intellectuelle se passionnait pour le nouveau calcul qui avait permis d’établir les lois de la gravitation, puis de prévoir le retour de la célèbre comète par Halley en 1758. Paris était aux premières loges grâce à l’Académie, et parce que Leibniz y avait fait ses débuts mathématiques fracassants, Newton et la Royal Society jouaient le même rôle à Londres, puis Voltaire et Émilie du Châtelet contribuèrent à la gloire de Newton dans leur pays. Mais les insuffisances théoriques posèrent très vite des problèmes d’exposition pour la compréhension et l’apprentissage, et l’un des premiers à aborder le sujet fut un ami de Leibniz, Varignon, mathématicien parisien, dès 1701 dans une lettre à Leibniz, puis en 1715 dans un article où il évoqua des « précautions à prendre » dans le maniement des séries infinies6. En Grande Bretagne, ce fut le philosophe Berkeley qui attaqua l’œuvre de Newton dans The Analyst en 1734. Il ne mettait pas les résultats en question, mais demandait tout simplement ce que signifiaient ces petits accroissements qui étaient tantôt quelque chose, tantôt rien. En Italie, un élève du grand géomètre Saccheri, Guido Grandi, mit en évidence les incohérences auxquelles pouvait mener la série de Mercator7.
11Grandi, partant de la série que nous connaissons, 1/ (1+x) =1-x+x2-x3+x4…, remplaça d’abord x par 1, ce qui donne 1/2=1-1+1-1+1… On peut alors interpréter cette étrange équation comme suit : ou bien l’on pose 1/2= (1-1) + (1-1) + (1-1) +… et le résultat est 1/2=0, ou bien l’on décale les parenthèses d’un cran et l’on trouve 1/2=1- (1-1)- (1-1)-…, ce qui donne 1/2=1. Ces incongruités viennent du fait que l’on ne peut pas inconsidérément placer un signe « = » entre deux expressions, l’une finie, l’autre infinie. Dans le domaine des nombres, cela ne marche pas. Mais, en algèbre, avec des lettres, c’est-à-dire « à l’aveugle », hors le sens, on peut s’adonner à ce genre de manipulation, en sachant que cette égalité entre les deux membres n’est que formelle, et qu’il faut prendre certaines « précautions » quand on passe au domaine des chiffres. Les mathématiciens étaient bien conscients de ce problème, mais finalement, on peut dire que dans toute l’Europe, que ce soit à Londres, à Paris, Berlin ou Saint-Petersbourg, et plus tard à Leipzig, tous les mathématiciens du xviiie siècle, les plus grands, Euler, Lagrange, et les moins grands, Hindenburg, pensaient que toute fonction, c’est-à-dire toute expression analytique, pouvait être développée en série de puissances entières. Le calcul infinitésimal était une méthode, il n’était pas une théorie, puisque ses bases étaient mal assurées. Mais bien sûr, la recherche d’un fondement solide se fit de plus en plus pressante à mesure que le siècle avançait, et les tentatives de la démonstration du binôme de Newton commencèrent à fleurir.
Les tentatives de démonstration du binôme
Le tableau de Michel Pensivy
12Dans son étude magistrale, Jalons historiques pour une épistémologie de la série infinie du binôme, Michel Pensivy ne recense pas moins de trente-huit tentatives de démonstration jusqu’en 1796, l’année de parution de la publication principale de Hindenburg8. Le mouvement continua jusqu’en 1826, l’année où Abel régla définitivement le problème, mais même après cette date, on peut encore trouver une démonstration dans un traité de Gudermann, le professeur de Weierstrass. Il est intéressant de noter quelques noms, pour rendre compte de l’intérêt que suscita cette démonstration. Commençons par un des frères Bernoulli, Jacques, en 1713. Puis, en faisant un choix parmi les auteurs célèbres et moins célèbres, on trouve : en 1736 John Colson, en 1742 Colin McLaurin, puis suivent en l’espace de quarante ans Clairaut, Fagnano, Euler, Kästner, John Landen, G. Fontana, l’abbé Girault de Keroudou, et de nouveau Euler, puis viennent Simon l’Huillier, un Portugais, Da Cunha, le futur directeur de thèse de Gauss, Pfaff, un des proches de Hindenburg, Rothe, et enfin Lagrange. Il faut souligner que Euler, lui qui usa (et un mathématicien d’aujourd’hui dirait « abusa ») des développements formels, ne présenta pas moins de quatre démonstrations en 1755, 1774, 1776 et 1779 en utilisant des méthodes différentes, mais qu’à chaque fois, il y découvrit lui-même l’erreur qu’il avait commise9.
13Hindenburg, quant à lui, examina la possibilité d’une démonstration dès les années 1770, mais en se démarquant notablement des autres tentatives.
L’approche de Hindenburg
14Contrairement à la plupart des autres mathématiciens, Hindenburg ne partit pas du binôme de Newton mais d’un polynôme infini (multinôme), un « Infinitinom », de la forme (a+bx+cx2+dx3+… etc.)n à la suite des travaux d’Abraham de Moivre. Il n’est guère aisé de trouver une raison interne aux mathématiques à la décision de Hindenburg. Si l’on posait aujourd’hui la question à un mathématicien, il y a de grandes chances qu’il considérerait toutes ces tentatives, à partir du binôme ou d’un polynôme infini, comme totalement dénuées de sens. Il faudrait dire à sa décharge que toutes ces démonstrations étaient vouées à l’échec, justement à cause de leur caractère formel, mais que les mathématiciens de l’époque, même les plus grands, n’avaient pas encore les outils, qui ne furent forgés qu’au xixe siècle, pour résoudre la question. Un professeur de lycée initiant aujourd’hui ses élèves aux rudiments du calcul infinitésimal (l’analyse), mais sans s’intéresser spécialement à l’histoire de sa discipline, serait certainement fort surpris d’apprendre qu’un géant comme Euler ne pouvait pas se dépêtrer des contradictions de la série de Grandi, alors que pour lui, ce genre de jeu avec le fini et l’infini peut servir à remplir quelques minutes à la fin d’un cours dans la bonne humeur avant Noël. Mais quand Hindenburg entra en scène, les mathématiques ne ressemblaient pas du tout à celles d’aujourd’hui, le problème des fondements commençait à se poser d’une façon aiguë et exigeait une prise de décision dépassant les mathématiques, donc de nature philosophique.
15Pourquoi Hindenburg se décida-t-il pour l’infini ? On peut évoquer plusieurs raisons, sans prétendre donner une réponse exhaustive :
- Hindenburg appartenait à la génération du Sturm und Drang, mais tandis que Werther ne rêve que de se fondre dans l’infini, l’infini est quelque chose que le mathématicien cherche à maîtriser par le calcul.
- Il commença à travailler sur son problème avant la parution de la Critique de la raison pure, et resta fidèle à une position leibnizienne : la recherche de l’unité dans les sciences.
- À cette fidélité à la pensée de Leibniz en général s’ajoutait sa fascination pour le très jeune Leibniz, celui d’avant Paris et de la création du calcul infinitésimal, l’auteur du De arte combinatoria, qu’il cite durant toute sa carrière10. C’est dans cette œuvre de prime jeunesse que Leibniz élabore la notion de « variatio », on dit aujourd’hui « permutation », qu’il évoque la création de signes, de lettres, d’une nouvelle langue (combinatoire) de signes, et qu’il assimile l’ars combinatoria à une ars inveniendi. On retrouve ces éléments dans tous les écrits de Hindenburg.
16Finalement, après vingt ans de publication, de création de revues scientifiques, d’une activité intense autour de l’hypothétique démonstration du théorème du multinôme, une suite d’événements eut lieu dans l’espace strictement mathématique qui sembla couronner les efforts de Hindenburg et en fit le chef d’une école.
1796 : l’année admirable de Hindenburg et la naissance de l’École combinatoire
Le travail théorique
17En 1793, un disciple de Hindenburg, Heinrich Rothe (1773-1842), démontra que si l’on a la fonction y=a+bx+cx2+…, alors on peut par une opération bien connue depuis Newton appelée « retour des suites », « Reihenumkehr » en allemand, exprimer x en fonction de y comme suit : x=A+By+Cy2+…, mais, ce qui était nouveau, non pas en exprimant les coefficients A, B, C… avec des coefficients tirés de la série du binôme, mais du multinôme11. Alors, de grandes espérances semblèrent s’ouvrir à Hindenburg et à sa ténacité : si l’on pouvait démontrer le théorème du multinôme, il serait possible d’exprimer toutes les fonctions en séries de puissances à coefficients multinomiaux, et par cela fonder l’analyse, et peut-être plus, les mathématiques en général, et peut-être même toutes les sciences, au moins celles exprimables en termes mathématiques, selon le précepte de Kant. Et si tout allait bien, il ne suffirait plus que de « soulever le voile » ! Ces espérances étaient-elles démesurées ? On peut lire aujourd’hui sur un site internet tout à fait sérieux qu’une telle conception vous fait « dresser les cheveux sur la tête12 ». Mais c’est faire bien peu de cas du développement historique des idées mathématiques que d’écrire cela.
18En 1795, Pfaff démontra que le théorème de 1793 généralisait un théorème fameux de Lagrange, que celui-ci utilisait en mécanique céleste13. Entre-temps avait paru en 1794 la Doctrine de la science de Fichte, donnant l’espoir aux jeunes exaltés romantiques fatigués de la critique destructrice d’unité de Kant de fonder sinon la science, dans une acception beaucoup plus générale que les « Naturwissenschaften », tout du moins les mathématiques sur une formule algébrique du type idéalisé A=A. Cet espoir fédéra les énergies et, en 1796, parut ce que le Dictionary of Scientific Biography considère certainement à juste titre comme l’œuvre principale de Hindenburg, Der polynomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis14.
19Le théorème du multinôme que publia Hindenburg n’a pas été rédigé uniquement par celui-ci, c’est un recueil d’articles de différents auteurs, contenant entre autres le théorème du retour des suites selon Rothe et une longue défense et apologie de ce que Hindenburg appela « l’analyse combinatoire » (« die kombinatorische Analysis »), c’est-à-dire sa propre théorie fondée sur le théorème du multinôme : il ne s’agissait pas d’une « méthode », comme l’était le calcul infinitésimal, mais d’une véritable théorie « autonome » (« selbständig »), comme pouvait le revendiquer l’arithmétique, ou la géométrie15. Mais, contrairement à ces deux dernières, l’analyse combinatoire devait donner les moyens de fonder « toute l’analyse » (« die ganze Analysis », voir le titre du recueil), c’est-à-dire aussi bien la manipulation des séries que le calcul des infiniment petits, et pourquoi pas, les lois qui régissent la nature.
L’enthousiasme fédérateur
20Il est difficile aujourd’hui de se représenter l’engouement que suscita le théorème du multinôme, d’autant plus que les mathématiques actuelles sont peut-être plus étrangères à celles de Hindenburg qu’à celles d’Euclide. On peut en tout cas affirmer qu’un mathématicien d’aujourd’hui sera prêt à admirer la beauté d’une démonstration d’Euclide mais qualifiera les prétentions de Hindenburg d’ineptes. Et pourtant, la parution du recueil de 1796 fut bien à l’origine de la formation d’une véritable école mathématique en Allemagne, comme le reconnaît volontiers Felix Klein16. Ce sont surtout des jeunes gens qui se regroupèrent autour de Hindenburg, même si l’on peut compter Pfaff parmi les « Kombinatoriker ». La plupart sont certes oubliés aujourd’hui, mais ce n’est pas le cas de Christian Kramp (1760-1826), l’auteur des Éléments d’arithmétique universelle parus à Cologne en 1808, et créateur de la notion et du symbole de la factorielle, « ! ». Factorielle 5 (5 !) par exemple est le nombre 1 × 2 × 3 × 4 × 5=120. Kramp et Pfaff furent de ceux qui collaborèrent au Théorème du multinôme, ainsi qu’une des grandes figures de l’époque, Georg Simon Klügel (1739-1812), auteur d’un monumental dictionnaire des mathématiques en trois volumes, paru à Leipzig entre 1803 et 1808. Et n’oublions pas Bernhard Thibaut (1775-1832), le titulaire de la chaire de mathématiques à Göttingen pendant que Gauss était chargé de la chaire d’astronomie, ni Christoph Gudermann (1798-1852), que nous avons déjà évoqué plus haut. Ce ne sont que les plus importants, il y en eut beaucoup d’autres.
21Un élément important dans la formation de l’École combinatoire fut l’enseignement de Hindenburg. En effet, le niveau des cours de mathématiques était très faible à l’université allemande, et il en fut ainsi même après 1810 et la réforme de Humboldt, comme l’évoque avec humour le physicien Franz Neumann17. Novalis se plaint des cours du professeur attitré de l’École des mines de Freiberg, qui n’enseignait même pas les rudiments du calcul infinitésimal, bien qu’il ait étudié chez Hindenburg18. Mais il devait estimer qu’un futur ingénieur des mines n’avait pas besoin de mathématiques aussi poussées. Hindenburg en revanche fut probablement le premier à présenter les résultats de sa recherche dans ses cours, devant un public d’étudiants qui, s’ils n’avaient pas eu eux-mêmes la possibilité d’assister aux cours de Reinhold, Schiller ou Fichte, savaient qu’il existait des professeurs dont les préoccupations étaient actuelles et qui en faisaient état officiellement à l’université.
22Enfin, il semble que la forte personnalité et l’énergie toute romantique de certains membres de cette école aient beaucoup contribué à l’attractivité de l’analyse combinatoire. Heinrich von Kleist comptait Hindenburg parmi les « précepteurs de l’humanité19 ». Kramp par exemple était non seulement mathématicien mais médecin, profession qu’il exerça en France et en Allemagne, il était membre de l’Académie des sciences de Berlin et de Paris. Les cours magistraux de Thibaut étaient réputés et son manuel d’arithmétique eut en Allemagne un énorme succès, comme l’arithmétique universelle de Kramp. Mais en fait, si l’on considère le phénomène de l’essor de l’École combinatoire d’un point de vue plus élevé, pour parler comme les jeunes intellectuels de cette époque, on s’aperçoit que l’École combinatoire n’était pas seule dans sa recherche de l’absolu.
Plus qu’une école ?
23À Berlin, un autre mathématicien dénommé Ernst Gottfried Fischer (1754- 1831) proposa en même temps que Hindenburg une théorie très proche de l’analyse combinatoire, et il s’ensuivit une querelle de priorité20. Mais la concurrence ne venait pas seulement de Berlin. L’engouement pour la recherche d’un fondement aux mathématiques à partir de développements en séries de puissances infinies passa le Rhin, et un Alsacien, Louis Arbogast (1759-1803), élabora lui aussi une théorie offrant des ressemblances avec celle de Hindenburg. Lui non plus n’était pas seul, on peut au moins mentionner les frères F. J. et J. F. Français, de Colmar, qui travaillaient dans la même direction, et ils furent eux aussi admis à l’Académie des sciences de Paris21. Bien sûr, ces mathématiciens étaient français, mais ils avaient accès aussi bien à la culture française qu’à la culture allemande, et l’effervescence postcritique ne leur était pas étrangère.
24Il est donc tout à fait justifié de parler d’une École combinatoire, mais il faut noter qu’elle s’inscrivait dans un mouvement plus général, et l’on peut dire que l’élan qui poussa ces jeunes mathématiciens dans leur recherche est, en modèle réduit, similaire à ce que connurent les Novalis, Schlegel et consorts après le choc de la lecture de Fichte. Schelling, dès 1800, ne donnait-il pas, à l’instar de Fichte, l’impression de vouloir fonder dans son Système de l’idéalisme transcendantal la philosophie sur une formule, A=A22 ? Ce signe « = » était-il absolument nécessaire ? Schelling n’aurait-il pas pu se contenter de « A est A » ?
« Trouver une langue » (Rimbaud)
25Enfin, un dernier point, essentiel, permet de mieux comprendre pourquoi Hindenburg crut parachever toute une évolution et lui donner un nouvel élan, alors qu’en fait sa conception uniquement formelle menait ses recherches dans une impasse. Il avait en effet, fasciné probablement par l’exemple de Leibniz, inventé à partir de lettres des alphabets latin et gothique de nouveaux symboles pour les coefficients binomiaux et multinomiaux, les permutations, combinaisons, arrangements, qu’il complétait d’une apostrophe à gauche ou à droite s’il y avait répétition ou non23. Il pensait avoir inventé (créé ?) une langue symbolique (eine « Zeichensprache ») définitive24, peut-être même en dépassant Leibniz, puisque celui-ci avait envisagé des coefficients formés de chiffres (les « nombres feints ») pour marquer la place d’un terme dans une série. Hindenburg cite la tentative de Leibniz en 1779, comme le rappelle John Neubauer25, et dans ses efforts répétés pour défendre sa théorie, semble avoir cru que les lettres étaient plus générales, donc plus pertinentes que les chiffres, de même qu’on pouvait considérer l’algèbre comme une généralisation de l’arithmétique.
26Ce qui est déroutant pour un mathématicien d’aujourd’hui l’était beaucoup moins à l’époque de Hindenburg. Sa prétention à avoir mené à sa perfection une évolution dont les grandes étapes menaient tout simplement de Viète à Lagrange en passant par Descartes, Leibniz, Newton, les frères Bernoulli, Euler, Lambert et beaucoup d’autres, doit être considérée dans son contexte historique, et il faut se rappeler que certains des plus grands savants de l’époque comme Condillac ou Condorcet voyaient dans l’algèbre la langue universelle, que Lagrange dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797) pensait avoir réduit l’analyse à des manipulations de séries entières, et que, dans un autre domaine, les « combinaisons » de Lavoisier donnaient enfin à la chimie une base scientifique.
Conclusion : le formalisme entre stérilité et fécondité
Stérilité mathématique ?
27La gloire de l’École combinatoire fut courte sur le plan de la recherche mathématique stricte. Il faut d’abord rappeler qu’elle n’eut que peu d’écho à l’étranger, c’est-à-dire, en cette fin de xviiie siècle, avant tout à Paris. Ce n’est pas seulement le symbolisme de Hindenburg qui rebuta les mathématiciens français, mais le fait que l’analyse combinatoire ne proposait aucun résultat nouveau pour résoudre des problèmes concrets, par exemple des problèmes de balistique et de fortification dont la solution était beaucoup plus intéressante, notamment pour l’entreprise napoléonienne. L’École polytechnique réclamait des mathématiques pour ingénieurs. Mais c’est en Allemagne même que les conceptions de Hindenburg furent totalement battues en brèche. En 1801 parurent les Disquisitiones arithmeticae, ouvrage révolutionnaire de Carl Ludwig Gauss (1777-1855). Elles furent traduites en français et parurent dès 1807 sous le titre Recherches arithmétiques, et leur succès fut immédiat dans l’Europe mathématique. Comme le titre l’indique, Gauss ne partait pas de l’analyse, mais du nombre, et même du nombre entier, revenant pour ainsi dire aux réflexions d’un Fermat. Ce faisant, il donnait une cohérence à de nombreux travaux réalisés au cours des deux derniers siècles. Legendre avait été le dernier à rédiger un grand traité d’arithmétique, mais il n’avait pas donné de nouvelle impulsion. Gauss, en faisant par exemple d’un fait bien connu un objet mathématique qu’il dénomma « congruence », réorganisa l’arithmétique et jeta les bases de ce qui allait devenir la théorie des nombres ; ce fut là le domaine des grands mathématiciens allemands du xixe siècle comme Jacobi, Kummer, Weierstrass, Kronecker, Dedekind, Cantor etc. De plus, contrairement à Hindenburg, Gauss ne tentait pas de fonder les mathématiques, mais de les organiser, de leur conférer une unité autour de quelques notions et de quelques théorèmes qu’il démontra même plusieurs fois au cours de sa vie, et cela de différentes façons26.
28Sur le plan de l’analyse, il fallut attendre le début des années 1820 pour que la méthode des développements formels en séries de puissances entières héritée de Newton et de Leibniz, portée à maturité par Euler et d’une certaine façon absolutisée par Hindenburg, soit écartée par une nouvelle conception élaborée à partir de la notion de convergence vers une limite. L’apport de Cauchy a été déterminant dans son Cours d’analyse pour l’École polytechnique paru en 1821. Avec lui commence l’arithmétisation de l’analyse, un processus de définition des nombres réels qui se termina en 1872, avec entre autres les travaux de Cantor et Dedekind.
29Vu de France et d’un point de vue positiviste et interne aux mathématiques, on pourrait dire que l’École combinatoire fut une sorte de parenthèse malheureuse dans l’évolution de la pensée mathématique, celle qui mena des grands mathématiciens grecs à Bourbaki. Vu d’Allemagne, celle qui a été très vite appelée « la prétendue école combinatoire » (« die sogenannte kombinatorische Schule ») n’a pas laissé de bons souvenirs aux mathématiciens et aux historiens des mathématiques27. Hilbert n’y voyait qu’un « formalisme stérile » (einen « öden Formalismus »)28.
30Cependant, c’est en dehors des mathématiques que l’on trouve le témoignage le plus parlant de la présence de la théorie de Hindenburg, et que l’on peut comprendre la pertinence du jugement de Kleist mentionné plus haut. La « série infinie » du binôme et celle du multinôme ont beaucoup marqué les esprits du premier Romantisme : elle avait pour nom à l’époque « Potenzenreihe29 », on dit aujourd’hui « Potenzreihe ».
Fécondité romantique : Novalis, la langue et la variation infinie
31Il suffit en effet de se plonger dans le Brouillon général de Novalis, cette tentative d’encyclopédie universelle combinatoire, pour y reconnaître deux idées-forces de Hindenburg, l’une une méthode, l’autre une langue :
- c’est d’abord ce que Novalis appelle « ordo inversus », que nous avons vu plusieurs fois à l’œuvre dans le rapport fini/infini de la série du binôme, dans les couples d’inverses dérivation/intégration, logarithme/exponentielle et surtout dans la méthode du retour des suites, et
- c’est aussi une langue que l’on peut appeler « analyse combinatoire » ou « algèbre » (« Algébriser c’est comme romantiser », écrit Novalis)30, qui grâce à son caractère uniquement formel, peut s’appliquer à toutes les situations, tous les arts et toutes les sciences.
32Avec comme modèles une méthode et une langue considérées comme « absolument modernes », pour parler comme Rimbaud, en cette fin de xviiie siècle dans un coin d’Allemagne entre Jena, Leipzig et Freiberg, Novalis put s’adonner au libre jeu de la combinaison sans limite pour donner naissance à une nouvelle théorie philosophico-littéraire, « l’idéalisme magique », que Daniel Lancereau introduit comme suit :
« Chez Hardenberg, l’inversion est de méthode. […] Mais elle-même n’est qu’un cas de figure de la variation des points de vue : […] pourquoi varier ? La variation est de rigueur si l’on veut épuiser les possibles. Autrement dit : il ne suffit pas d’inverser, il faut varier ; mais il ne suffit pas non plus de varier, il faut varier infiniment, sous peine d’incomplétude31. »
33C’est dans cette tentative de variation infinie que Novalis, le poète romantique, se retrouve « en état de créateur absolu32 », et c’est là qu’il se différencie de Hindenburg. Tandis que celui-ci, en tant que mathématicien, proposa un calcul pour établir sa théorie, Novalis s’affranchit du calcul et le remplaça par un saut (un coup de baguette magique) qui le propulsa aux limites de l’infini. Ayant lu Hemsterhuis et Fichte avant de s’intéresser à l’École combinatoire, il semble avoir espéré que celle-ci pouvait mener à la conquête de la totalité (« Totalität »)33, un terme que Hindenburg n’emploie jamais, et pourquoi pas à la « thèse de Dieu » (« die These Gott »)34. Grâce à l’infinie variation, Novalis fit hardiment le saut vers l’infini actuel, l’infini réservé traditionnellement au divin. Y croyait-il, ou bien s’adonnait-il en toute conscience à une expérience de pensée, sachant que la vraie vie était dans son métier d’ingénieur des mines ? Une lettre à une amie semble confirmer la deuxième hypothèse35.
34Ainsi, le grand rêve théorique de totalité et d’universalité resta fragment, de même que Heinrich von Ofterdingen, le roman où tout fonctionne tout seul, algébriquement, (« wie von selbst »)36, l’anti-Wilhelm Meister. Bien sûr, cet enthousiasme formel ne pouvait pas durer, une autre réalité intellectuelle devait assez vite faire valoir ses droits et faire oublier l’intense bouillonnement théorique de Novalis. Mais aujourd’hui, grâce au travail d’édition de Richard Samuel et de ses collègues, les textes théoriques de Novalis nous révèlent à quel point celui-ci, dans sa confrontation avec l’École combinatoire, a exploré le pouvoir d’une langue mathématique formelle. Hilbert, qui voyait dans la fécondité de sa méthode « axiomatique », que d’autres qualifiaient de « formaliste », la possibilité donnée aux mathématiques de s’appliquer à toutes les sciences, aurait peut-être été surpris en lisant dans un passage du Monolog :
« Si l’on pouvait faire comprendre aux gens qu’il en est de la langue comme des formules mathématiques – elles se font un monde pour elles-mêmes – elles ne jouent qu’avec elles-mêmes, ne font qu’exprimer leur nature merveilleuse, et c’est justement pour cela qu’elles sont si expressives – c’est pour cela que l’étrange jeu de rapports des choses s’y reflète » (trad. P.S.37).
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Bibliographie
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Notes de bas de page
1 Hindenburg Carl Friedrich, « Die combinatorische Analysis hat endlich den Schleyer aufgedeckt, und es bleibt hinfort nicht mehr dem blinden Ungefähr überlassen, ob und wenn es die Legem Naturae herbeyführen will. Die Spur, auf welcher die Göttinn wandelt, ist hier überall deutlich vorgezeichnet, und kann man sie nunmehr festen und sichern Fußes verfolgen » (Der polynomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis [Le théorème du multinôme], Leipzig, 1796, p. 304).
2 C’est notamment la fréquentation du séminaire de l’IREM-Paris 7 animé par Michel Serfati ainsi que la lecture de son livre La révolution symbolique – La constitution de l’écriture mathématique, paru à Paris aux éditions Pétra en 2005, qui m’a permis de formuler cet énoncé. Les trois premiers points de cet exposé doivent également beaucoup à cet ouvrage.
3 Descartes René, Règles pour la direction de l’esprit, traduction et notes de J. Sirven, Paris, Vrin, 2003, p. 106-134.
4 Mercator Nicolaus, Logarithmotechnia, Londres 1668, Hildesheim, réédition Georg Olms Verlag, 1975, p. 30.
5 Séguin Philippe, « La recherche d’un fondement absolu des mathématiques par l’École combinatoire de C. F. Hindenburg (1741-1808) », in Philosophia Scienciæ, cahier spécial 5, Paris 2005, p. 61-79, ici p. 67.
6 Pensivy Michel, « Jalons historiques pour une épistémologie de la série infinie du binôme », in Sciences et techniques en perspective, Nantes, 1987-1988, vol. 14, p. 142.
7 Reiff Richard August, Geschichte der unendlichen Reihen, Munich, 1889, p. 65-70.
8 Pensivy Michel, op. cit., p. 73-81.
9 Séguin Philippe, op. cit., p. 66.
10 Voir Jahnke Hans Niels, Mathematik und Bildung en der Humboldtschen Reform, Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1990, p. 177-178.
11 Voir Jahnke Hans Niels, op. cit., p. 199-208 pour tout ce passage.
12 Site internet réalisé par Betsch Gerhard : [http://www.mathematik.uni-halle.de/history/pfaff/index.html].
13 Jahnke Hans Niels, op. cit., p. 202-203.
14 Haas Karlheinz, « Hindenburg, Carl Friedrich », in Dictionary of Scientific Biography, édité par C.C. Gillipsie, New York, 1970-1980, vol. 6, p. 403.
15 Hindenburg Carl Friedrich, Le théorème du multinôme, op. cit., p. 153.
16 Klein Felix, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Berlin, Springer, 1926, vol. 1, p. 113.
17 Voir Meschkowski Herbert, Von Humboldt bis Einstein — Berlin als Weltzentrum der exakten Wissenschaften, Munich, Piper, 1989, p. 13.
18 Novalis, Schriften, Richard Samuel et alii (dir.), Stuttgart, Klett Cotta, 1977 etc., vol. 4, p. 259-260.
19 « Wir suchen uns in jeder Stadt immer die würdigsten auf, in Leipzig Plattner, Hindenburg, in Halle Klügel, in Göttingen Blumenbach Wrisberg etc. etc. Aber du kennst wohl diese Namen nicht ? Es sind die Lehrer der Menschheit » (Kleist Heinrich von, Sämtliche Briefe und Werke, Munich/Vienne, Carl Hanser Verlag, 1982, vol. 4, p. 656). « Dans toutes les villes, nous partons à la recherche des hommes les plus valeureux, Plattner, Hindenburg à Leipzig, Klügel à Halle, Blumenbach Wrisberg à Göttingen etc. etc. Mais tu ne connais certainement pas ces noms ? Ce sont les précepteurs de l’humanité » (trad. P. S).
20 Jahnke Hans Niels, op. cit., p. 201.
21 Friedelmeyer Jean-Pierre, Le calcul des dérivations d’Arbogast dans le projet d’algébrisation de l’analyse à la fin du xviiie siècle, in Cahiers d’Histoire & de Philosophie des Sciences, n° 43, Nantes, Presses universitaires de Nantes, 1994.
22 Voir Séguin Philippe, op. cit., p. 72-74, « Fichte et l’aspiration au fondement absolu ».
23 Pensivy Michel, op. cit., p. 95, et Cajori Florian, A history of mathematical notations, deux volumes, Chicago, La Salle, 1928-1929. Réédition New York, Dover Publications, 1993, vol. 2, p. 65.
24 Le théorème du multinôme, op. cit., p. 283-284.
25 Neubauer John, Symbolismus und symbolische Logik. Die Idee der Ars Combinatoria in der modernen Dichtung, Munich, Wilhelm Fink Verlag, 1978, p. 90.
26 Voir l’article de Boucard Jenny « Résidus et congruences de 1750 à 1850 », in Christian Gilain et Alexandre Guilbaud (dir.), Sciences mathématiques – 1750-1850 – continuités et ruptures, Paris, CNRS Éditions, 2015, p. 509-540, et plus généralement Goldstein Catherine, Schappacher Norbert et Schwermer Joachim (éd.), The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, New York, Springer, 2007.
27 Séguin Philippe, op. cit., p. 62.
28 Hilbert David, (1922-1923) : Wissen und mathematisches Denken. Vorlesung von Prof. D. Hilbert, WS 1922-1923, éd. Carl-Friedrich Bödigheimer (Mathematisches Institut), Göttingen, 1988.
29 Novalis, Schriften, vol. 2, p. 545.
30 « Algebraisiren ähnlich dem Romantisiren » (Novalis, Schriften, vol. 3, p. 242).
31 Lancereau Daniel, « Novalis et la question de la science. Des mathématiques à la terre : une écriture de l’intégration », in Augustin Dumont et Alexander Schnell (dir.), Einbildungskraft und Reflexion – Philosophische Untersuchungen zu Novalis, Münster, LIT Verlag, 2015, p. 193-233, ici p. 225.
32 Novalis, Schriften, vol. 3, p. 415.
33 Séguin Philippe, « Ars combinatoria universalis. Un rêve poético-mathématique de Novalis et C.F. Hindenburg », in Laurence Dahan-Gaida (dir.), Conversations entre la littérature et les sciences, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté, 2006, p. 59-72, ici p. 64-70.
34 Novalis, Schriften, vol. 2, p. 157.
35 Lettre à Rahel Just, Novalis, Schriften, vol. 4, p. 266.
36 Cf. Die Christenheit oder Europa, Novalis, Schriften, vol. 3, p. 517.
37 « Wenn man den Leuten nur begreiflich machen könnte, daß es mit der Sprache wie mit den mathematischen Formeln sei – Sie machen eine Welt für sich aus – Sie spielen nur mit sich selbst, drücken nichts als ihre wunderbare Natur aus, und eben darum sind sie so ausdrucksvoll – eben darum spiegelt sich in ihnen das seltsame Verhältnißspiel der Dinge » (Novalis, Schriften, vol. 2, p. 672).
Auteur
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Philippe Séguin
Dr. Phil., a pour domaine de recherches l’histoire culturelle des mathématiques, ainsi que les rapports entre mathématiques, philosophie et littérature. Il a publié récemment : « Von der Philosophie zur ars combinatoria : Novalis’ Erwartung an die Mathematik und die Folgen », in A. Albrecht, G. v. Essen et W. Frick (éd.), Zahlen, Zeichen und Figuren, Berlin, De Gruyter, 2011. « Hilbert, “die sogenannte kombinatorische Schule” und der Formalismus », in Gudrun Wolfschmidt (éd.), Festschrift - Proceedings of the Cristoph J. Scriba Memorial Meeting History of Mathematics, Hamburg, Tredition, 2017.
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