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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Récapitulatif des problèmes et de leurs solutions

Texte intégral

Problème du nombre de chemins (page 18)

1L’énoncé

2Dans le réseau ci-dessous, on part du point D pour atteindre le point A.

3On se déplace sur les lignes et deux directions sont autorisées :

4– de gauche à droite,

5– de bas en haut. (les "retours" vers D sont interdits)

6Combien de chemins différents existe-t-il pour ce déplacement ?

7La solution : 126 chemins.

8Une justification (d’autres figurent dans le texte) :

9Pour chaque nœud du réseau, le nombre de chemins permettant de l’atteindre est la somme des chemins qui mènent aux deux nœuds qui le précèdent (ou le même nombre lorsqu’il n’est précédé que d’un seul nœud – c’est le cas pour les "bords" du réseau).

Problème du mélange eau/vin (page 31)

10L’énoncé

11On dispose d’une jarre de vin et d’une jarre d’eau.

12On prend un verre de vin dans la jarre de vin et on le verse dans la jarre d’eau. Puis on prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la jarre de vin (le verre est le même pour les deux opérations).

13Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste :

il y a plus de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin
il y a plus d’eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d’eau
il y a autant de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin

14(autres versions : Melange eau/huile et Mélangé billes rouges/billes vertes – page 33).

15La solution : il y autant de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin.

16Une justification (d’autres figurent dans le texte) :

17(on désigne par V et E les volumes de vin et d’eau dans les jarres – on désigne par a le volume du verre et par x le volume d’eau que l’on ramène dans sa jarre.

18Illustration dans un cas particulier avec support figuratif :

Problème de l’échiquier mutile (page 35)

19L’énoncé

20On dispose d’un échiquier de 64 cases que l’on a "mutilé" en supprimant deux cases opposées sur une diagonale comme dans la figure ci-contre.

21L’échiquier ne comporte donc plus que 62 cases.

22On dispose également de 31 dominos.

23Chaque domino couvre exactement deux cases de l’échiquier.

24Est-il possible de recouvrir entièrement l’échiquier avec ces 31 dominos ? Si OUI expliquer comment disposer les dominos. Si NON, expliquer pourquoi cela n’est pas possible.

25La solution : NON

26Une justification :

27Un domino doit nécessairement couvrir une case blanche et une case noire. Le nombre de dominos disponibles correspondant exactement à la moitié des cases à recouvrir, il est nécessaire que celles-ci comportent autant de cases noires que de cases blanches. Or ceci n’est pas le cas puisque la "mutilation" porte sur deux cases blanches.

Problème des 9 points de Maier (page 42)

28L’énoncé

29Réunir les 9 points ci-dessous par 4 segments de droite tracés sans lever le crayon.

Problème de la mouche (page 44)

30L’énoncé

31Une diligence va de Coyote-City à Fly-City distantes de 60 km à l’allure de 12 km à l’heure. Une mouche qui vole à 20 km à l’heure part de Fly-City et se dirige vers Coyote-City. Quand elle rencontre la diligence, elle fait demi-tour et revient à Fly-City ; elle repart aussitôt à la rencontre de la diligence et quand elle la rencontre de nouveau, fait demi-tour... et ainsi de suite jusqu’à l’arrivée de la diligence à Fly-City.

32Quelle distance la mouche a-t-elle parcourue ?

33La solution : 100 km

34Une justification :

35La diligence met 5 heures pour parcourir la distance entre les deux villes (60 km à 12 km/h). La mouche vole donc pendant 5 heures à la vitesse de 20 km/h et parcourt ainsi 100 km.

Problème du franc qui manque (page 48)

36L’énoncé

37Trois voyageurs arrivent à l’auberge pour y passer la nuit. Il ne reste plus qu’une seule chambre à trois lits pour laquelle l’aubergiste demande 30 F. Chaque voyageur débourse donc 10 F. Plus tard, en mettant la somme en caisse, l’aubergiste se rappelle que le prix de la chambre n’est pas de 30 F mais de 25 F. Il envoie alors le garçon porter 5 pièces de 1 F aux voyageurs. Mais le garçon décide de prélever son pourboire au passage et ne redonne qu’une seule pièce de 1 F à chaque voyageur, gardant 2 F pour lui.

38Chaque voyageur a donc payé son lit 9 F, soit 27 F en tout. Le garçon a gardé 2 F pour lui. Le total est donc de 29 F (27 + 2). Où est passé le franc qui manque ?

39La solution : la question posée n’a pas de sens.

40Une justification :

41Coût final de la chambre : 30 F – 3 F = 27 F (y compris les 2 F dérobés). C’est tout.

42Bien sûr, on peut aussi vérifier que : 27 F + 3 F = 30 F...

Problème de Restle (page 50)

43L’énoncé

44Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci, est-ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci était plus difficile que celui-ci ?

45La solution : OUI

46Une justification :

471ercodage : "le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci" est remplacé par "le problème A".

48Nouveau texte :

49"Si le problème A était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème A, est-ce que le problème A était plus difficile que celui-ci ?"

502e codage : "le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème A" et "celui-ci" sont remplacés par "le problème B".

51Nouveau texte :

52"Si le problème A était plus difficile que le problème B, est-ce que le problème A était plus difficile que le problème B ?"

Problème des fausses pièces (page 52)

53L’énoncé

54Vous appartenez au Service des Fraudes spécialisé dans la fausse monnaie.

55Vous êtes en présence de 12 sacs contenant chacun plusieurs centaines de pièces de 5 F. Vous savez que l’un de ces sacs ne contient que des fausses pièces. Vous savez également :

  • que les pièces authentiques pèsent 30 g,
  • que les fausses pièces ne pèsent que 29 g.

56Comment pouvez-vous déterminer, en une seule pesée, le sac où se trouvent les fausses pièces ? (vous pouvez peser ce que vous voulez mais vous n’avez le droit d’utiliser qu’une seule fois la balance et donc de ne faire qu’une seule mesure)

57La solution : elle n’est volontairement pas fournie pour ce problème (voir texte).

Problème Constance (page 66)

58Lénoncé

59Constance a 24 ans. Elle a le double de l’âge qu’avait son mari quand elle avait l’âge que son mari a maintenant. Quel âge a son mari ?

60La solution : 18 ans

61Une justification (d’autres figurent dans le texte) :

62Soit A l’âge actuel du mari et l’âge de Constance quand son mari avait 12 ans.

63Leur différence d’âge étant constante (ou leur "vieillissement" durant une période donnée étant le même), on peut écrire l’égalité : 24 – A = A – 12. D’où A = 18.

Problème des crêpes (page 77)

64L’énoncé

65Pour la Chandeleur, quelques élèves d’une classe décident de préparer des crêpes.

66Ils trouvent la recette suivante dans un livre de cuisine :

67"Pour quatre personnes, préparez une pâte avec :

6 œufs,
10 cuillerées à soupe de farine,
8 verres de lait,
20 g de beurre,
16 g de sucre ordinaire,
6 cuillerées à café de sucre vanillé"

68Mais comme ils sont nombreux, ils décident d’augmenter les quantités qui sont indiquées dans la recette, ils préparent une pâte avec :

15 œufs,
25 cuillerées à soupe de farine,
20 verres de lait,
50 g de beurre,
35 g de sucre ordinaire,
15 cuillerées à café de sucre vanillé.

69Les crêpes risquent donc de ne pas être très bonnes car les élèves ont fait une petite erreur ; ils n’ont pas respecté exactement la recette.

70Pour quel produit les élèves se sont-ils trompés ?

71Quelle quantité de ce produit auraient-ils dû mettre pour respecter la recette du livre de cuisine ?

72(autre version L’eau sucrée – page 132)

73La solution : c’est pour le sucre ordinaire que les élèves se sont trompés ; ils auraient dû en mettre 40 g.

74Une justification :

75Pour que la recette soit "respectée", il faut augmenter les quantités d’ingrédients dans la même proportion, c’est-à-dire appliquer un cœfficient de proportionnalité (ou un opérateur fonctionnel si l’on modélise la situation sous la forme d’un tableau de proportionnalité). On ne connaît pas ce cœfficient mais on peut partir du fait que pour deux ingrédients (les œufs et le sucre vanillé) les quantités sont identiques dans la recette (6) et dans la pâte préparée (15). Puisqu’il y a une seule erreur, elle ne peut pas concerner ces deux ingrédients et on peut en conclure que le cœfficient multiplicateur est 2,5 (15/6). En appliquant ce cœfficient aux quantités données dans la recette pour les quatre ingrédients restant, on détermine qu’il aurait fallu mettre 40 g de sucre ordinaire dans la pâte.

Problème Andrew (page 93)

76L’énoncé

77Les membres de l’orchestre de la West High School travaillent d’arrachepied afin d’être prêts pour la fête annuelle de l’école. Tout d’abord ils essayent de marcher en rangs de 12, mais Andrew se retrouve tout seul pour fermer la marche. Le responsable de l’orchestre est ennuyé parce que cela ne fait pas bien d’avoir un rang composé d’une seule personne et, de plus, Andrew n’est pas content. Pour résoudre ce problème, le responsable demande aux membres de l’orchestre de se mettre par 8. Mais Andrew se retrouve encore tout seul. Même quand l’orchestre marche en rangs de 3, Andrew est exclu. A la fin, exaspéré, celui-ci propose au responsable qu’ils se mettent par 5. Il a raison. Cette fois tous les rangs sont complets et il n’est plus tout seul.

78Sachant qu’il y a au moins 45 musiciens sur le terrain, mais moins de 200, combien y a-t-il d’étudiants dans l’orchestre de la West High School ?

79La solution : 145

80Une justification :

81Le nombre recherché doit répondre à trois conditions :

  1. être supérieur à 45 et inférieur à 200,
  2. être un multiple de 5,
  3. être tel que, diminué de 1, il soit un multiple à la fois de 12, de 8 et de 3.

82On définit d’abord l’ensemble des nombres qui satisfont à cette 3e condition :

  • on détermine le plus petit commun multiple (PPCM) à 12, 8 et 3 : il s’agit de 24 (23 x 3),
  • le nombre recherché est donc un multiple de 24 augmenté de 1 : 24 + 1, 48+1,72+ 1,...

83Le seul nombre de cet ensemble des multiples de 24 augmentés de 1 qui satisfait aussi aux conditions 1 et 2 est 144 + 1.

Problème du jardin (page 93)

84L’énoncé

85M. et Mme Renshaw pensent à la façon dont ils vont disposer les plants de végétaux dans leur nouveau jardin. Ils sont d’accord sur le nombre total de plants à acheter, mais pas sur le nombre de chaque sorte. M. Renshaw veut avoir seulement quelques espèces de végétaux et 10 de chaque sorte. Mme Renshaw veut plus d’espèces différentes de végétaux et donc elle suggère d’en avoir seulement 4 de chaque sorte. M. Renshaw ne partage pas cette idée parce que si quelques-uns des plants ne prennent pas, il en restera peu de chaque sorte. Ils se mettent donc d’accord pour avoir 5 plants de chaque espèce. Leur fille fait remarquer, à ce moment, qu’il y a encore de la place pour 2 plants supplémentaires dans le jardin mais qu’alors il n’y a plus le même nombre de chaque espèce. Pour y remédier, elle suggère d’acheter 6 plants de chaque espèce. Tout le monde est satisfait de cette idée. Etant donnés ces renseignements, quel est le plus petit nombre de plants de végétaux que les Renshaw pourront avoir dans leur jardin ?

86La solution : 42

87Une justification (il s’agit de celle donnée dans une expérience portant sur ce problème et décrite dans le texte) :

88Puisqu’au départ, M. et Mme Renshaw sont d’accord sur le nombre total de plants à acheter, 10, 4 et 5 doivent tous les trois être des diviseurs de ce nombre, quel qu’il soit. Par conséquent, la 1ère chose à faire est de trouver le plus petit nombre qui est divisible par ces 3 nombres : c’est 20. Donc le nombre initial de plants de végétaux que les Renshaw pensent acheter peut être n’importe quel multiple de 20 (c’est-à-dire 20, 40, 60, 80, etc). Mais ensuite ils décident d’acheter 2 plants supplémentaires ; donc le nombre total de plants qu’ils finissent en fait par acheter doit être un multiple de 20 augmenté de 2 (c’est-à-dire 22, 42, 62, 82, etc.). Cela signifie que 10, 4 et 5 ne seront plus des diviseurs du nombre total de plants. Finalement, le problème dit qu’ils se mettent d’accord pour acheter 6 plants de chaque espèce ; donc le nombre total de plants doit être divisible par 6. Le plus petit nombre total de plants qui est divisible par 6 est 42. C’est donc la solution.

Problème du zoo (page 104)

89L’énoncé

90Une école de 75 élèves veut organiser une sortie. A ce moment de l’année, il y a dans la caisse de l’école 525 F. De plus, le conseil municipal donne 20 F par élève. Pour le transport, il faut 2 cars et le prix de location d’un car est de 965 F. La visite du zoo coûte 50 F.

91Y a-t-il assez d’argent pour la sortie ?

92(autre version : la donnée "525 F" est remplacée par "4 150 F" – page 104)

93La solution : une donnée n’est pas assez précise ("la visite du zoo coûte 50 F") ; suivant l’interprétation que l’on en fait, la solution est OUI ou NON.

94Une justification :

95Argent disponible pour la sortie : 525 F + (20 F x 75) = 2 025 F

96Coût de la sortie :

  1. si la visite du zoo coûte 50 F pour l’ensemble des élèves : (965 F x 2) + 50 F = 1 980 F,
  2. si la visite du zoo coûte 50 F par élève : (965 F x 2) + (50 F x 75) = 5 680 F.

97Dans l’hypothèse 1, il y a assez d’argent mais pas dans l’hypothèse 2.

Problème Diaminha (page 151)

98L’énoncé

99On te donne un triangle (ABC) rectangle en A.

100Choisis un point M sur BC.

101La parallèle à (AC) passant par M coupe (AB) en F, la parallèle à (AB) passant par M coupe (AC) en E.

102Où faut-il placer M pour que la distance EF soit la plus petite possible ?

103La solution : M est le pied de la hauteur issue de A.

104Une justification :

105AFME est un rectangle (quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux et qui possède un angle droit). Les distances EF et AM sont donc égales (diagonales du rectangle AFME).

106Or le point de BC qui minimise la distance AM est le pied de la hauteur issue de A.

107Il s’agit donc aussi du point qui minimise la distance EF.

Problème Simitri (page 155)

108L’énoncé

Construire un triangle A’B’C’ "de même forme" que le triangle ABC et dont A’H’ est une hauteur.

109Une procédure de construction (il en existe beaucoup d’autres possibles) : On trace la hauteur AH dans le triangle ABC. On reporte les angles BAH et CAH en A’ pour obtenir les droites (D1) et (D2) passant par A’. On trace la droite (D3) passant par H’ et perpendiculaire à A’H’. Elle coupe les droites (D1) et (D2) en B’ et C’.

Problème Micoqua (page 156)

110L’énoncé

111Etant donnés trois points A, B, et C, écris un programme de construction pour obtenir le point D tel que le quadrilatère des milieux PQRS soit un carré.

112Remarque 1 : si ABCD est un quadrilatère, on appellera "quadrilatère des milieux" le quadrilatère PQRS formé par les milieux des côtés du quadrilatère ABCD.

113Remarque 2 : la construction ne doit pas faire intervenir les points P, Q, R et S.

114La solution : la condition pour que le "quadrilatère des milieux" dans un quadrilatère quelconque soit un carré est que les diagonales de celui-ci soient perpendiculaires et de même longueur ; le programme de construction consiste donc à déterminer un point D qui satisfasse à cette double condition.

115Une justification de lexactitude de cette construction (qui n’est pas demandée dans le problème) :

116D’après le théorème des milieux dans un triangle quelconque, les côtés du quadrilatère PQRS sont parallèles deux à deux aux diagonales du quadrilatère ABCD et leurs longueurs égales à la moitié de celles de ces diagonales. Les diagonales de ABCD étant orthogonales et de même longueur, les côtés du quadrilatère PQRS seront donc perpendiculaires deux à deux, de longueurs égales et ce quadrilatère sera un carré.

Problème des pétards et des billes (page 157)

117L’énoncé

118C’est mercredi, Ivan et Sébastien n’ont rien à faire. Ils se promènent dans le quartier. "Il me reste 25 F de mon anniversaire. Si on achetait quelque chose ?" dit Ivan. "Moi aussi, j’ai 13 F" répond Sébastien. Ils rentrent dans le magasin de jouets. Ils ne savent pas trop ce qu’ils veulent acheter. Ils n’arrivent pas à voir tous les prix. Le marchand s’impatiente un peu. "Toi tu as 13 F, tu peux avoir un sac de billes et un paquet de pétards" "A toi maintenant, tu as 25 F ! Je te donne un sac de billes et 3 paquets de pétards" Les garçons n’y comprennent rien. Ils essaient de calculer combien coûte un paquet de pétards et un sac de billes, et ils y arrivent !

119Fais comme eux, trouve le prix d’un paquet de pétards et d’un sac de billes. (autre version : probleme des petards et des billes, énoncé 2 – page 158)

120La solution : le prix d’un paquet de pétards est de 6 F et celui d’un sac de billes de 7 F.

121Une justification :

122Ivan peut acheter 2 paquets de pétards de plus par rapport à ce que peut acheter Sébastien. Comme il dispose de 12 F de plus, on peut calculer le prix d’un paquet de pétards : 12 F/2 = 6 F.

123Sébastien peut acheter un paquet de pétards et un sac de billes avec 13 F. Le prix d’un sac de billes est donc : 13 F – 6 F = 7 F.

Problème des rencontres (page 161)

124L’énoncé

125Voici un problème. Le travail demandé est de réaliser dos schémas ou d’écrire un texte qui permettent d’expliquer facilement les réponses aux questions du problème.

1) Réalise un schéma ou écris un texte qui permette d’expliquer facilement la réponse à ces deux questions.

126La solution : le promeneur est croisé deux fois par le camion Cl et deux fois par le camion CII ; il est doublé une fois par le camion Cl et une fois par le camion CII.

127Uneexplication” (c’est le terme utilisé pour définir le but proposé dans cette fiche – nous donnons ici un exemple de schéma qui permet de répondre à ces deux questions mais qui ne correspond pas, volontairement, à la représentation graphique canonique, celle utilisant un repère orthonormé – c’est là une étape ultérieure de la fiche de travail) :

128Ce schéma permet de déterminer que le promeneur sera certainement doublé une fois par le camion Cl et une fois par le camion CII. Il permet aussi de déterminer avec certitude qu’il sera croisé (retour des camions) deux fois par Cl et deux fois par CII.

129Il peut y avoir un doute pour le départ du promeneur et pour son arrivée. Lorsqu’il démarre, le camion CII est déjà parti depuis 5mn et puisque le camion se déplace plus vite que le promeneur, celui-ci ne peut le rattraper. En ce qui concerne l’arrivée maintenant : si le camion Cl avait doublé le promeneur avant qu’il n’arrive au chantier, ce camion serait arrivé avant lui, ce qui n’est pas le cas.

Problème de la bougie (page 164)

130Lénoncé

131Répondre aux questions posées dans le problème ci-dessous. Attention !... les nombres ont été déplacés et mis "en vrac" au-dessus de l’énoncé.

132On allume à h une bougie qui mesure cm de hauteur. Le même jour, on éteint la bougie à h, elle ne mesure plus que cm.

  1. De combien la bougie a-t-elle diminué ?
  2. Quelle est la hauteur de cire consommée en une heure ?

133La solution : la bougie a diminué de 8 cm et la hauteur consommée en une heure est de 2 cm.

134Une justification :

135Le seul texte possible est : "On allume à 18h une bougie qui mesure 33 cm. Le même jour, on éteint la bougie à 22h, elle ne mesure plus que 25 cm".

136La bougie a donc diminué de 8 cm (33 – 25) et la hauteur consommée en une heure est de 2 cm (8/4).

Problème des ficelles (page 165)

137L’énoncé

138On a une grande ficelle qui mesure 240 cm. On doit la couper en 3 morceaux A, B et C.A doit être 3 fois plus long que B.C doit être 4 fois plus long que B.

139Quelle doit être la longueur de chacun des morceaux ?

140(autres versions pages 159 et 182)

141La solution : morceau A : 90 cm ; morceau B : 30 cm ; morceau C : 120 cm. Une justification :

142On peut écrire trois égalités à partir des données :

143A + B + C = 240

144A = 3B

145C = 4B

146On peut alors obtenir une nouvelle égalité en remplaçant les inconnues A et C par leur expression en fonction de B :

1473B + B + 4B = 240

148D’où : 8B = 240 et B = 30

149On obtient ainsi la mesure du plus petit morceau (B) : 30 cm et on peut calculer la mesure des morceaux A et C : respectivement 3 x 30 cm et 4 x 30 cm.

Table des illustrations

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Titre La solution :
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Légende Construire un triangle A’B’C’ "de même forme" que le triangle ABC et dont A’H’ est une hauteur.
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Légende 1) Réalise un schéma ou écris un texte qui permette d’expliquer facilement la réponse à ces deux questions.
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© Presses universitaires de Rennes, 1995

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