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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Chapitre 6. Comment aider ni trop ni trop peu

Texte intégral

J’ai montré mon chef-d’œuvre aux grandes personnes et je leur ai demandé si mon dessin leur faisait peur. Elles m’ont répondu : "Pourquoi un chapeau ferait-il peur ?”. Mon dessin ne représentait pas un chapeau. Il représentait un serpent boa qui digérait un éléphant. J’ai alors dessiné l’intérieur du serpent boa, afin que les grandes personnes puissent comprendre. Elles ont toujours besoin d’explication.
A. de Saint-Exupéry (1946)

1Il est important que les élèves soient actifs et partie prenante (acteurs) dans la construction des connaissances qu’ils doivent acquérir. Cette idée générale que la qualité d’un apprentissage est directement liée à l’activité de celui qui apprend est très ancienne, largement admise par la communauté enseignante et est à la base de ce courant maintenant dominant de la pédagogie active. En revanche, deux questions sont restées, pendant longtemps, sans réponses satisfaisantes : comment l’activité influence-t-elle le processus d’apprentissage ? et comment déclencher une activité qui soit source d’apprentissage ?

2On a d’abord évoqué le rôle que pourrait avoir l’intérêt ou la motivation des élèves pour tenter d’apporter des éléments de réponse à ces deux questions. Il a fallu attendre les débuts de la psychologie cognitive (et tout particulièrement les travaux de Piaget) pour comprendre à quel point l’action est partie intégrante non seulement du processus d’apprentissage mais de la connaissance elle-même. L’action est au point de départ de la connaissance et l’activité est plus que le moteur de l’apprentissage : elle est le matériau même à partir duquel se forme la connaissance. Quand ces données nouvelles se sont imposées aux chercheurs, la seconde question, celle qui concerne le déclenchement de l’activité, a pris une toute autre dimension et son enjeu est apparu encore plus clairement. Contrairement à ce qu’avaient pu croire certains pédagogues, intéresser les élèves et les rendre actifs ne sont pas suffisants pour qu’il y ait véritablement acquisition d’un savoir. Les relations entre l’activité de celui qui apprend et les connaissances à acquérir sont des choses complexes et mettre en œuvre un enseignement basé sur l’activité de l’élève n’est pas seulement une affaire de choix pédagogiques et de principes généraux, c’est aussi, et surtout, une affaire d’ingénierie concernant les situations d’apprentissage ; celles-ci ne sont pas seulement le support d’une Pédagogie qui serait le véritable canal de la transmission du savoir ; elles forment au contraire l’outil essentiel dont dispose l’enseignant pour déclencher une véritable activité et permettre ainsi une implication de l’élève dans la construction de ses connaissances.

  • 61 – C’est BROUSSEAU qui a apporté la contribution la plus significative du point de vue de la notion (...)
  • 62 – A propos de cette idée de problèmes sémantiquement “riches” ou “pauvres” voir : WEIL-BARAIS A. –  (...)

3La notion de situation didactique est ainsi devenue centrale dans l’analyse des processus d’enseignement et, en mathématiques tout particulièrement, elle a permis de repenser complètement la fonction des problèmes que l’on donne à résoudre aux élèves61. Deux questions fondamentales ont ainsi été posées. La première concerne le sens des problématiques et des tâches que l’on propose aux élèves : il existe à l’évidence des problèmes sémantiquement “plus riches” que d’autres62 c’est-à-dire qui possèdent un contenu mathématique plus intéressant et qui donnent accès de manière plus “naturelle” à ce contenu, à sa signification profonde et donc au savoir mathématique lui-même. Un objectif important pour la recherche en didactique des mathématiques est donc de mieux connaître ces problèmes particulièrement riches sur le plan des connaissances en jeu et qui ont effectivement peu de choses à voir avec les problèmes classiquement étudiés par les psychologues (problèmes souvent pauvres sur le plan des connaissances mathématiques comme l’étaient ceux que nous avons étudiés dans le chapitre 2). La seconde question concerne les processus qui permettent de faire de ces problèmes intéressants en soi de véritables situations didactiques. Il ne suffit pas, en effet, qu’un problème ait beaucoup de sens pour qu’il déclenche automatiquement une activité de résolution de problème ni, a fortiori, d’appropriation du savoir mathématique auquel il renvoie. Tout un ensemble de conditions doivent être réunies pour qu’un tel phénomène d’apprentissage se produise et les didacticiens ont commencé l’analyse de ces conditions dont la maîtrise est essentielle pour tout progrès dans la manière d’enseigner les mathématiques.

  • 63 – Les didacticiens cherchent actuellement à clarifier d’une part les rapports entre ingénierie dida (...)

4Ces questions largement traitées dans les travaux menés ces dernières années en didactique des mathématiques ne recouvrent pas, pour autant, l’ensemble des questions qui se posent lorsqu’on se situe au niveau de la conception et de la validation des situations que l’on met effectivement en œuvre c’est-à-dire lorsqu’on se situe dans une perspective d’ingénierie didactique63. En particulier, les questions directement liées au fonctionnement cognitif en situation et aux processus de représentation deviennent cruciales. Ce sont, en tous cas, des arguments allant dans ce sens que nous avons envisagés dans les chapitres précédents mais la hantise d’une approche trop psychologique des questions d’enseignement (“psychologisante” disent certains) fait que cet aspect essentiel de la démarche d’ingénierie propre à la didactique des disciplines a été très peu pris en compte jusqu’à présent (au moins dans notre pays). Pourtant, lorsqu’on se place au niveau du fonctionnement des situations elles-mêmes et dans une perspective de type ergonomique, non seulement les risques d’une psychologisation excessive n’existent plus, mais l’apport de la psychologie cognitive devient, à notre avis, tout à fait incontestable et pratiquement incontournable.

  • 64 – Nous utilisons ici ce concept d’ergonomie cognitive dans un sens un peu plus large qu’on ne le fa (...)

5Ce sont quelques aspects de cette approche des problèmes mathématiques en termes d’ergonomie cognitive que nous allons présenter maintenant. La caractéristique principale d’une telle approche est de chercher à prendre en compte le mieux possible les relations entre une tâche donnée (ici un problème à résoudre) et le fonctionnement cognitif induit par cette tâche (ou, plus généralement, par la situation dans laquelle elle s’insère). Le but est que ces relations soient les plus fructueuses possibles du point de vue d’un objectif donné64. En psychologie du travail où une telle démarche est largement utilisée, cette définition de l’objectif va généralement de soi mais dans le cas d’une situation d’apprentissage scolaire les choses se compliquent nettement car il serait absurde de considérer celle-ci comme une simple situation de “travail scolaire”. C’est bien là que la notion de situation didactique, en renvoyant à toute une réflexion sur sa finalité et sa nature profondes (par rapport au savoir en jeu) est indispensable pour ne pas tomber dans ce réductionnisme psychologique qui fait si peur à certains didacticiens. En fait, la conception d’un problème qui ait à la fois un intérêt didactique et une réalité cognitive est une démarche globale et l’approche centrée sur le fonctionnement cognitif et les représentations que nous évoquons ici ne peut être séparée d’autres approches centrées sur d’autres aspects de la situation. Le chapitre suivant, en revenant sur la question des outils de modélisation et de leur acquisition, nous permettra d’aller plus loin dans cette réflexion concernant les relations entre le fonctionnement cognitif en situation et l’ensemble des processus qui permettent de s’approprier le savoir propre à une discipline donnée. Dans l’immédiat, nous allons partir de l’idée d’aide à la représentation comme forme particulière de l’aide à la résolution de problèmes pour évoquer, ensuite, quelques aspects plus techniques de cette démarche d’aide dans le cas des problèmes mathématiques.

Qu’est-ce qu’une aide à la représentation ?

  • 65 – PERENNET J. & GRŒN W. – A hint is not always a help, Educational Studies in Mathematics, 1993, 25 (...)

6Une indication n’est pas toujours une aide (“A hint is not always a help”) ainsi que l’affirme justement le titre d’un article récent65. Et c’est encore moins souvent une aide à la représentation du problème. La pratique pédagogique n’apporte quasiment aucune compétence quant à la manière d’aider un élève à mieux se représenter les problèmes. Tout enseignant sait donner une indication ou une explication, bien sûr, mais si on analyse de près le rôle de cette “aide” au niveau du processus de résolution, on peut observer deux faits : d’abord elle ne vise presque jamais la représentation du problème, ensuite elle a un impact très faible (sinon nul ou même négatif dans certains cas). Spontanément, nous ne savons pas aider quelqu’un à comprendre un problème ; nous savons, tout au plus, lui suggérer plus ou moins habilement la solution.

7Il n’existe donc pas d’autres moyens que d’expérimenter longuement pour mettre au point des aides qui, sans tuer le problème, permettront autant que possible d’éviter l’échec. De telles aides seront toujours spécifiques d’un problème donné mais elles ont quelques caractéristiques communes que l’on peut énoncer avant de les décrire plus précisément.

Aide ou apprentissage ?

8Il est important, en premier lieu, de bien différencier deux logiques dans la manière d’agir sur les représentations : celle de l’aide et celle de l’apprentissage. La première, qui caractérise la démarche présentée ici, se situe au niveau d’une situation particulière et vise en priorité la maîtrise de cette situation (la compréhension et la résolution du problème). Mais pour rendre les élèves plus aptes à se représenter les problèmes on peut aussi envisager de procéder à un apprentissage. Il s’agit même là de la réaction la plus spontanée, pour un pédagogue, lorsqu’il constate une lacune ou une inaptitude quelconque. Nous ne nous attarderons pas ici sur la question des apprentissages généraux (outils ou compétences) qui est discutée par ailleurs mais nous ferons quelques remarques à propos d’une autre démarche souvent évoquée dans les travaux récents : celle qui consiste à entraîner les élèves à se représenter des classes de problèmes bien déterminées.

9Cette démarche s’est développée récemment avec la mise en évidence de deux sortes de résultats :

  • des résultats concernant les difficultés propres à certaines catégories de problèmes et l’intérêt qu’il y a à bien différencier des catégories que l’on avait tendance à traiter de la même manière ; le cas typique est celui des problèmes additifs dont la connaissance a progressé de manière spectaculaire ces dernières années en révélant l’existence de classes distinctes du point de vue de la compréhension que les élèves peuvent en avoir ;

  • des résultats concernant la notion de schéma de problèmes dont l’un des intérêts les plus évidents est justement de rendre compte des différences qui peuvent exister dans le traitement et la compréhension de ces problèmes qui paraissent pourtant relever des mêmes outils de résolution.

  • 66 – Voir par exemple : FISCHER J.-P. – La résolution des problèmes arithmétiques verbaux : propositio (...)

10Il était tentant de chercher à utiliser ces données nouvelles pour mettre en place un apprentissage qui pallierait les difficultés de représentation propres à certains types de problèmes en permettant la mise en place de schémas plus performants. Plusieurs formes d’apprentissage ont ainsi été imaginées, les plus nombreuses s’appuyant sur une traduction graphique de l’énoncé à partir d’un outil spécifique que l’on apprend aux élèves à utiliser. En ce qui concerne les problèmes additifs, en particulier, plusieurs recherches font état de résultats encourageants66. Il est probable qu’une telle démarche permette effectivement de lever des difficultés de représentation propres à certaines classes de problèmes. Elle constitue donc, d’une certaine manière, une forme d’aide à la représentation et est étudiée d’ailleurs comme telle.

11Cependant, on est conduit à se poser deux questions à propos de cette démarche reposant sur un entraînement plus ou moins systématique. Tout d’abord, avons-nous vraiment identifié les catégories de problèmes pertinentes du point de vue de l’apprentissage que l’on va mettre en œuvre ? Dans le cas des problèmes additifs, il existe maintenant de nombreuses données qui rendent assez fiables les catégories retenues mais ce cas reste exceptionnel et le travail de recherche à accomplir pour les autres problèmes est encore très important. Mais surtout quel risque prenons-nous en orientant ainsi la formation des schémas de problèmes et en imposant une forme particulière de représentation ? Cette seconde interrogation rejoint celle que nous avons déjà discutée à propos de la traduction (chapitre 3) lorsque celle-ci est vue comme le moyen privilégié de se représenter les problèmes. La seule différence est que l’on se situe, dans le cas présent, au niveau de classes de problèmes bien définies et que l’efficacité des outils risque d’être plus grande en permettant une association beaucoup plus forte entre les connaissances opératoires nécessaires pour résoudre les problèmes et les schémas qui vont pouvoir se former. Mais nous ne sommes plus très loin, alors, des problèmes de Luchins c’est-à-dire d’une standardisation des problèmes et des manières de les résoudre risquant de les transformer en simples exercices. On voit bien, en outre, comment le risque au niveau de l’activité cognitive et des connaissances que l’on induit par un tel apprentissage est amplifié par le peu de données existant à propos des classes de problèmes pertinentes.

12La démarche d’aide telle que nous l’envisageons ici permet d’éviter ce risque mais elle est aussi moins volontariste sur le plan de la formation des connaissances. Le but poursuivi est plus local et plus modeste : il s’agit de faire en sorte qu’un problème donné soit compris et résolu. L’hypothèse de base est que c’est la maîtrise de cette situation particulière et l’activité développée dans ce but (activité de construction de représentation et d’élaboration de procédure en particulier) qui vont contribuer à la formation de connaissances plus générales, y compris les schémas de problèmes eux-mêmes. En fait, les démarches d’aide et d’apprentissage ne sont pas vraiment opposées et nous verrons, dans le prochain chapitre, comment on peut chercher à les concilier en se plaçant du point de vue de la modélisation. Ce qui est important, toutefois, c’est de bien les différencier au départ afin qu’il n’y ait pas de confusion au niveau de l’objectif poursuivi lorsque l’on décide d’intervenir sous la forme d’une aide à la représentation. L’objectif prioritaire concernera toujours dans ce cas la résolution d’un problème donné et le fonctionnement cognitif propre à la représentation de ce problème.

L’aide conçue comme un environnement

13Une bonne manière de concevoir ce qu’est une aide à la représentation est sans doute de la penser comme un environnement. On peut considérer que l’on a, au point de départ, une problématique c’est-à-dire quelque chose d’abstrait qui associe un objet (de nature mathématique dans le cas présent) et une tâche particulière (voir chapitre 1). L’objectif, lorsqu’on fabrique un problème, est de transformer cette problématique en une situation de résolution de problème c’est-à-dire, en fait, un environnement avec lequel les élèves puissent interagir pour accéder à la problématique et la traiter. Il existe plusieurs façons de décrire et de modéliser un tel environnement : du point de vue de son contenu mathématique, par exemple, ou du point de vue des processus didactiques qui le caractérisent ou encore du point de vue du fonctionnement cognitif lié aux interactions qu’il permet. C’est dans ce dernier cas que l’on parlera d’une approche de type ergonomique, l’objectif étant à la fois d’analyser la nature de ces interactions et de chercher à les améliorer en modifiant l’environnement dans lequel on place l’élève. Toute prise en compte, au sein d’une telle démarche, des processus de représentation et des caractéristiques de l’environnement qui leur sont liées peut alors être considérée comme une aide à la représentation du problème. L’intérêt d’aborder de cette manière la question de l’intervention dans les processus de représentation est de n’exclure, a priori, aucune variable et aucune modification possible de la situation.

14Nous décrirons un peu plus loin quelques-unes de ces variables au niveau desquelles il est possible d’intervenir mais nous pouvons, dès maintenant, les classer en trois grandes catégories qui constituent aussi trois environnements assez bien différenciés du point de vue des processus de résolution de problèmes.

15La première catégorie de variables relève ce que l’on peut appeler l’environnement immédiat du problème. Il est formé de l’ensemble des éléments fournis en même temps que l’énoncé de la problématique. Il s’agit en premier lieu de ce que l’on appelle couramment les données du problème mais aussi de tous les éléments que l’on peut ajouter à ces informations principales concernant le problème à résoudre et qui ont la particularité d’être immédiatement accessibles. Il peut s’agir, par exemple, d’une consigne ou d’une indication fournie en même temps que l’énoncé du problème lui-même ; il peut s’agir aussi d’un matériel mis à la disposition de celui qui doit résoudre le problème ou encore d’une figure, d’un schéma, ... Notons que des variables comme l’attitude de celui qui donne le problème ou l’ambiance de la classe ou encore le mode de travail imposé font aussi partie de cet environnement immédiat. Nous nous limiterons ici aux variables qui relèvent d’une intention d’aide (le but n’est pas de décrire de manière exhaustive toutes les variables qui ont un rôle dans la résolution du problème) et qui concernent le plus directement les processus cognitifs liés à la représentation du problème.

16Un second environnement que l’on est conduit à prendre en compte est constitué de tous les éléments disponibles pour résoudre le problème mais qui ne sont pas présents dans l’environnement immédiat. Il s’agit, par exemple, de toutes les aides que l’on peut solliciter : les réponses à des questions que l’on pose, les éléments que l’on trouve en relisant son cours... Dans le cas d’un dispositif d’aide à la résolution conçu comme tel, il s’agira surtout de tous les éléments mis explicitement à notre disposition et auxquels on pourra accéder soit à partir d’une fiche d’aide, soit, dans des environnements plus sophistiqués, à partir d’un support informatique. Cet environnement disponible n’est pas nécessairement différent, par nature, de l’environnement immédiat ; c’est seulement son degré de disponibilité qui le caractérise et le fait que son accès est lié à l’activité de celui qui résout le problème et donc à une décision de sa part. Une catégorie de variables que l’on peut aussi considérer comme appartenant à cet environnement disponible est celle des éléments directement en rapport avec le problème à résoudre mais qui font partie du passé c’est-à-dire qui ont été présentés avant le problème lui-même. Il s’agit, par exemple, d’un ou plusieurs problèmes analogues résolus peu de temps auparavant ou d’une phase de travail préliminaire dont le but est de préparer la mise en place de la représentation. Cette catégorie de variables est très large et on pourrait y englober toutes les démarches d’apprentissage que nous avons évoquées précédemment. Mais nous n’inclurons dans cet ensemble, ici encore, que des éléments relevant directement de l’idée d’environnement et d’aide à la représentation du problème (un entraînement spécifique à une classe de problèmes ne relève pas d’une telle logique ainsi que nous l’avons dit).

17Le troisième environnement qu’il nous semble important de distinguer est composé, quant à lui, d’éléments qui ont une fonction d’aide et qui n’interviennent que lorsque certaines conditions sont réunies. C’est là, en fait, le cas auquel on pense d’abord et auquel renvoie naturellement l’idée d’aide : si on constate un blocage ou une difficulté, on va intervenir pour secourir celui qui est en panne ou qui se trompe. C’est pourtant l’environnement le plus difficile à mettre au point si on veut dépasser la simple intuition pédagogique pour fonder les choix concernant le moment de l’intervention et la nature de celle-ci sur des données solides. Il existe de très nombreuses manières d’intervenir dans le processus de résolution, à des niveaux et sous des formes divers. Or il ne faut pas se tromper car la particularité de cet environnement est qu’il a un impact très fort : celui à qui est destinée l’aide va nécessairement accorder une grande importance à ces éléments nouveaux que l’on place délibérément dans son environnement. C’est pour la gestion d’un tel environnement conditionnel (il se manifeste lorsqu’un certain nombre de conditions sont réunies) que l’utilisation de dispositifs sophistiqués comme les tutoriels peut constituer un atout considérable (on appelle ainsi un logiciel qui assure une fonction de tutorat et donc d’aide dans la réalisation d’une tâche complexe). On imagine mal, en effet, comment un enseignant pourrait à la fois recueillir toutes les données nécessaires à une prise de décision raisonnée et gérer toutes les aides possibles lorsqu’il s’occupe simultanément de deux ou trois dizaines d’élèves. Notons, cependant, que pour un problème qu’il connaît très bien, rien n’empêche l’enseignant d’élaborer un tel environnement conditionnel qui sera moins sophistiqué que celui géré par un système informatique mais qui pourra avoir d’autres qualités (la possibilité de prendre en compte certains cas non prévus par exemple).

18Insistons sur le fait que cette analyse ne dit rien quant à la nature de l’aide elle-même, question que nous aborderons un peu plus loin. Elle a surtout pour objectif de faire apparaître l’idée que l’aide à la représentation du problème peut être conçue, globalement, comme un environnement dont les caractéristiques ergonomiques ont une influence sur la qualité de la situation en tant que situation de résolution de problème. Le fait de distinguer trois sortes d’environnement correspondant à trois catégories de variables et d’aides permet de préciser les modes principaux d’interaction sur lesquels on pourra s’appuyer pour améliorer le fonctionnement des processus de représentation.

Le principe d’une aide minimale

19L’idée est en elle-même très simple : il faut aider “ni trop, ni trop peu” comme le dit Polya (voir introduction). Pourtant, les difficultés pratiques que l’on rencontre dans l’application de ce principe fondamental sont grandes car il n’existe pas de règle générale permettant de définir le niveau optimal d’incitation ou d’orientation pour une aide donnée. La seule certitude que nous pouvons avoir est que, spontanément, nous avons toujours tendance à aider trop et que cette aide se situe, presque toujours, du côté des procédures et non du côté des représentations : on donne des indices sur la manière de procéder, on suggère une direction dans laquelle chercher, un outil auquel il faudrait penser, ... Or, un tel guidage portant sur la manière de procéder est non seulement le moins intéressant sur le plan des acquis cognitifs (il réduit considérablement la part d’investissement personnel dans la solution du problème) mais il est aussi, le plus souvent, inefficace sur le plan de l’aide qu’il apporte effectivement.

  • 67 – IREM de Rennes – Les problèmes du M6, Fascicule 1, Université de Rennes I, 1986/87.

20Evoquons ici, à titre anecdotique et pour illustrer cette idée importante, les aides conçues par des étudiants dans le cadre d’une préparation à l’enseignement des mathématiques67 à propos d’un problème de géométrie bien connu (voir ci-dessous le problème diaminha). La solution de ce problème passe par la découverte de deux propriétés inhérentes à la situation géométrique : la distance EF est égale à la distance AM (il s’agit des deux diagonales du rectangle AEMF) et la position de M qui minimise la distance AM est le pied de la hauteur issue de A.

Problème Diaminha

On te donne un triangle (ABC) rectangle en A. Choisis un point M sur BC. La parallèle à (AC) passant par M coupe (AB) en F. La parallèle à (AB) passant par M coupe (AC) en E.

Où faut-il placer M pour que la distance EF soit la plus petite possible ?

21Les aides expérimentées consistent en deux exercices préliminaires ayant pour objectif de suggérer les propriétés importantes pour la solution du problème : le premier exercice demande à l’élève de se prononcer sur l’égalité des diagonales dans un rectangle (sous une forme de QCM) et le second demande de déterminer un point M sur une droite donnée tel que la distance à un point A donné soit la plus petite possible. Ces exercices sont proposés juste avant que les élèves aient à résoudre le problème diaminha. Or la comparaison entre des élèves qui ont reçu ces aides et d’autres qui ne les ont pas reçues (élèves en classe de 3e et de 2de) montre qu’il n’existe strictement aucune différence du point de vue de la découverte de la solution. Il semble difficile, pourtant, d’imaginer des aides plus directes du point de vue de la manière de procéder pour résoudre le problème puisque les éléments essentiels de cette procédure sont donnés par les exercices préliminaires. L’hypothèse que l’on peut avancer est que ces indications très fortes du point de vue de la solution que constituent les exercices ne servent en rien à la construction d’une représentation performante du problème et sont même, vraisemblablement, un obstacle pour réussir à le comprendre (les études réalisées montrent qu’il existe aussi une véritable difficulté mathématique liée à la notion de distance minimale d’un point à une droite).

22L’idée fondamentale est donc bien d’agir “aussi légèrement que possible” et de préserver de tout guidage le versant action du processus de résolution de problème. C’est lui qui entretient les liens les plus profonds avec la formation des connaissances et c’est lui qui est au cœur de l’activité de recherche. Rien ne détruit autant un problème qu’une solution que l’on souffle ou une procédure que l’on sqggère. Cibler l’aide sur le versant représentation est déjà, en soi, une manière de la minimiser : on aide à comprendre le problème, à mieux décoder et interpréter l’énoncé mais on ne donne pas la solution et on ne guide pas la mise en œuvre de telle ou telle procédure. Pourtant il faut essayer d’aller plus loin et chercher à minimiser cette aide elle-même en visant en priorité l’activité qui va permettre de se construire une représentation performante du problème. Une aide qui n’aurait aucun impact sur cette activité de représentation en servant seulement à compenser mécaniquement certains de ses défauts n’aurait que peu d’intérêt et peu d’efficacité.

23De telles exigences concernant une aide à la fois minimale, préservant toute la richesse d’un investissement important dans le problème et induisant cependant une activité de représentation suffisante pour conduire à la solution sont très fortes, bien sûr, par rapport à nos savoir-faire actuels en matière d’ingénierie didactique et d’ergonomie cognitive. La mise au point de telles aides ne peut donc être qu’un travail de longue haleine. Il faut non seulement les expérimenter longuement afin de tester leur validité et trouver les conditions optimales de leur mise en œuvre mais il faut aussi inventer de nouveaux modes d’intervention car ceux que l’on connaît et que l’on utilise naturellement sont loin d’être suffisants. Les aides minimales sont les plus difficiles à concevoir et à mettre au point. Elles n’ont, le plus souvent, rien d’extraordinaire : un simple mot en plus ou en moins dans l’énoncé peut être une aide à la représentation du problème ; celle-ci ne débloquera peut-être que quelques élèves ou ne contribuera que partiellement à la construction de leur représentation mais c’est en agissant au niveau de chaque dysfonctionnement que l’on finit par faire d’un problème intéressant mais infaisable un bon problème c’est-à-dire un vrai problème qu’un maximum d’élèves parvient à comprendre et à résoudre.

La présentation du problème

24C’est à la nature de l’aide apportée que nous allons nous intéresser maintenant en commençant par la question de la présentation du problème. Cette présentation relève de ce que nous avons appelé précédemment l’environnement immédiat du problème mais les variables de présentation sur lesquelles on peut agir sont si nombreuses et peuvent avoir une telle influence qu’il est souhaitable de les examiner de manière spécifique. Nous envisagerons, dans un second temps, la question des interventions tutorielles qui sont des variables relevant plutôt des deux autres environnements (le disponible et le conditionnel) et qui ont une fonction d’aide au sens où on l’entend généralement c’est-à-dire liée à un apport spécifique à un moment donné.

Les caractéristiques linguistiques de l’énoncé

25De nombreuses recherches ont été consacrées, ces dernières années, au rôle de l’énoncé dans la résolution de problèmes. Elles ont surtout contribué à faire apparaître l’importance de cette question apparemment secondaire de la lecture de l’énoncé mais aussi sa complexité. On peut montrer facilement la responsabilité de l’énoncé dans certaines formes de dysfonctionnement : une simple variation de formulation peut faire que l’on réussisse ou que l’on échoue et ceci indépendamment de toutes les autres variables.

  • 68 – EHRLICH S. – Sémantique et mathématique, Apprendre/enseigner l’arithmétique simple, Paris, Nathan (...)

26Certains termes, en particulier, ont un rôle déterminant dans la manière dont l’énoncé est interprété. Ainsi, une étude menée auprès d’élèves de CM1 et de 6e montre l’importance des “opérateurs sémantiques” dans la résolution de problèmes arithmétiques simples68. Il s’agit des mots ou des expressions verbales qui expriment la relation existant entre différentes mesures par exemple : acheter, vendre, gagner, perdre, dépenser, remplir, ... x de plus que y, x de moins que y, x fois plus que y, ... L’interprétation que l’élève fait de ces opérateurs est déterminante pour la construction de la représentation et on constate que le cas le plus difficile est nettement celui où l’opérateur sémantique et l’opérateur mathématique ne sont pas de même, signe. Dans le problème suivant, par exemple, “perdre” conduit beaucoup d’enfants à faire une soustraction :

Maintenant j’ai 5 F. Je viens de perdre 3 F. Combien en avais-je avant ?

27Il existe aussi des cas où l’opérateur sémantique n’est pas explicité :

La fermière a 39 poules et 23 canards. Combien a-t-elle d’animaux ?

28Un simple changement dans la formulation de la question peut rendre l’interprétation plus aisée : “Combien a-t-elle d’animaux en tout ?”.

  • 69 – DE CORTE E., VERSCHAFFEL L. & DE WIN L. – Influence of reworking verbal problems on children”s pr (...)

29De la même manière, on a observé chez de jeunes enfants (CP/CE1) des différences de performance assez nettes entre des énoncés plus ou moins explicites du point de vue des relations entre les données numériques. Les deux énoncés suivants, par exemple, ne conduisent pas aux mêmes taux de réussite, le premier étant plus facilement interprété par les enfants69 :

Énoncé 1

Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux. Trois de ces noisettes appartiennent à Tom. Le reste appartient à Anne. Combien Anne a-t-elle de noisettes ?

Énoncé 2

Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux. Tom a trois noisettes. Combien Anne a-t-elle de noisettes ?

  • 70 – Pour une synthèse des travaux concernant les questions de formulation dans les problèmes additifs (...)
  • 71 – Voir en particulier : LABORDE C. – Langue naturelle et écriture symbolique : deux codes en intera (...)

30Toutes les données dont nous disposons actuellement conduisent à supposer que les facteurs linguistiques ont un rôle important dans la construction de la représentation70. Et ceci n’est pas seulement vrai dans le cas des élèves les plus jeunes et des petits problèmes d’arithmétique comme ceux que nous venons d’évoquer. On a pu montrer aussi le rôle de la formulation dans des problèmes plus complexes. L’interaction entre le langage courant et le langage mathématique devient de plus en plus grande, en particulier, et peut être à l’origine de dysfonctionnements importants dans la compréhension de l’énoncé71. Beaucoup de ces difficultés relevant de la formulation de l’énoncé concernent, en fait, la question de l’explicitation que nous avons évoquée dans le chapitre 2 à propos du processus d’interprétation. De nombreuses expériences réalisées ces dernières années montrent, en effet, que plus l’objet que l’on doit se représenter est explicité, plus les chances de réussite sont grandes. Mais la prise en compte de cette variable peut relever soit d’une démarche de type apprentissage (on familiarise les élèves avec les principales formes linguistiques qui caractérisent une classe donnée de problèmes) soit d’une démarche de type ergonomique visant à réduire les dysfonctionnements au niveau de chaque problème. Seule cette seconde perspective est envisagée ici ainsi que nous l’avons déjà dit.

  • 72 – Il s’agit d’une adaptation faite par GABORIEAU d’un problème étudié par AUDIBERT (problème sim pr (...)

31Prenons l’exemple du problème simitri (cf ci-contre) pour bien préciser le rôle que peuvent avoir les variables linguistiques du point de vue de cet objectif d’explicitation de la problématique72.

32Cet énoncé est conçu pour conduire les élèves à s’engager le plus rapidement possible dans une activité de recherche et le choix a été fait, dans ce but, d’un texte aussi court et aussi explicite que possible :

  • une partie des données est fournie sous la forme d’une figure (triangle ABC, hauteur A’H’),

  • le but et les contraintes qui caractérisent le problème sont exprimés en une seule phrase,

  • surtout, le choix de l’expression “de même forme” permet de formuler de manière concise et rapidement compréhensible la contrainte principale à prendre en compte : celle de la similitude des deux figures.

Problème Simitri

Construire un triangle A’B’C’“de même forme que le triangle ABC et dont A’H’ est une hauteur.

  • 73 – Une approche qui s’est placée délibérément dans cette perspective est celle du problème ouvert. O (...)

33Cette expression “de même forme” est critiquable sur le plan formel, bien sûr, car on ne sait pas ce qu’est la “forme” d’un triangle. Mais la question importante, du point de vue de la résolution du problème, n’est pas celle-là ; elle est surtout de savoir si cet énoncé est compris par les élèves, c’est-à-dire si la problématique est suffisamment explicite pour que les élèves interprètent correctement les données. Or les expériences réalisées montrent que c’est effectivement le cas jusqu’à la classe de 2de. Au-delà, les élèves commencent à discuter le contrat que représente cet énoncé ; ils comprennent parfaitement ce qui est demandé mais n’acceptent plus la formulation, ce qui est normal puisqu’une référence explicite à la notion de similitude est alors possible. Le point important à souligner, à propos de cet exemple, est le décalage important qui peut exister entre un problème que les élèves sont capables de résoudre très tôt (6e/5e) et la formulation de la contrainte principale du problème qui ne sera pas comprise si on veut qu’elle soit correcte sur un plan strictement formel. En fait, seule l’expérimentation permet de décider si le contrat que constitue un énoncé donné fonctionne bien, c’est-à-dire si la problématique est aussi claire que possible et si la formulation utilisée est la plus favorable du point de vue de la représentation du problème, le critère décisif étant la qualité de l’activité de recherche induite par cet énoncé73.

L’organisation de l’énoncé

  • 74 – Voir en particulier : FAYOL M., ABDI H. & GOMBERT J.-E. – Arithmetic problems formulation and wor (...)

34L’énoncé du problème est un texte et comme tel son organisation a un effet sur les processus de représentation. La place de la question, par exemple, est loin d’être neutre : chez de jeunes enfants, on a pu observer une amélioration de la performance lorsque la question est placée au début de l’énoncé plutôt qu’à la fin comme c’est le cas habituellement74. Il est probable que de tels effets relevant de la structure globale de l’énoncé (sa macrostructure) sont liés, très souvent, à la manière dont se met en place la représentation du but qui caractérise le problème.

  • 75 – Pour une présentation plus détaillée de cette recherche, voir : IREM de Rennes – Aides à la résol (...)

35Voici, à titre d’exemple, un énoncé construit en tenant compte de cet aspect important de la représentation du problème75. Il concerne la configuration bien connue du “quadrilatère des milieux dans un quadrilatère quelconque”.

Problème Micoqua

Etant donné trois points A, B, et C, écris un programme de construction pour obtenir le point D tel que le quadrilatère des milieux PQRS soit un carré.

Remarque 1 : si ABCD est un quadrilatère, on appellera quadrilatère des milieux le quadrilatère PQRS formé par les milieux des côtés du quadrilatère ABCD.

Remarque 2 : la construction ne doit pas faire intervenir les points P, Q, R et S.

36La procédure qui permet de résoudre ce problème consiste à tracer la diagonale AC du quadrilatère donné puis la seconde diagonale BD telle que celle-ci soit perpendiculaire à AC et de même longueur (notons que la tâche proposée ici est seulement de résoudre le problème – ce serait une autre tâche que de démontrer ce résultat c’est-à-dire de trouver pourquoi cette procédure de construction permet effectivement de réaliser le but proposé). L’énoncé retenu pour ce problème micoqua se présente sous une forme un peu inhabituelle : il est composé d’une phrase qui formule de la manière la plus simple possible le but proposé et de deux “remarques” qui explicitent les contraintes et qui précisent le contrat :

  • la première remarque définit ce qu’on appelle le “quadrilatère des milieux” (il est intéressant du point de vue de l’analyse de la configuration de faire appel à cette notion plutôt que de parler seulement des milieux des côtés) ;

  • la seconde remarque a pour fonction de bien spécifier le sens de l’expression “écrire un programme de construction” qui situe le travail demandé au niveau de la configuration ; les premières observations réalisées ont montré, en effet, que de nombreux élèves mettent en œuvre une procédure qui consiste à tracer directement le carré (à partir du côté connu) puis à “construire” D à partir de ce carré (cette procédure n’est pas absurde en soi mais elle a l’inconvénient de ne pas conduire les élèves à une analyse de la configuration géométrique, aucun élève ne se posant spontanément la question de savoir, par exemple, si les quatre sommets du carré qu’ils ont construit sont bien les milieux des côtés du quadrilatère ABCD...).

37Cette présentation du problème s’est avérée satisfaisante du point de vue de l’activité qu’elle induit chez les élèves. Le fait d’énoncer le but dès le départ et de manière aussi concise que possible est bien, dans ce cas, de nature à rendre plus performante la représentation initiale du problème.

Le contexte sémantique

38Nous avons souligné, dans le chapitre 2, le fait que les informations concernant l’objet du problème et la tâche à réaliser sont transmises par tout un ensemble d’éléments qui forment ce que nous avons convenu d’appeler le contexte sémantique du problème. Certains de ces éléments sont assez faciles à identifier au niveau linguistique (par exemple les opérateurs sémantiques ou la place de la question dont nous venons de parler) mais d’autres relèvent du sens global de l’énoncé. Est-il possible alors de s’appuyer sur certaines variables liées à ce contexte sémantique global pour faciliter la mise en place de la représentation initiale du problème ?

39Peu de recherches se sont directement intéressées à cette question, la plupart se contentant de mettre en évidence l’effet (négatif le plus souvent) de telle ou telle variation du contexte. L’idée, par exemple, qu’une formulation faisant référence au vécu de l’élève ou à une pratique sociale réelle (problèmes “concrets”) conduirait à une meilleure compréhension qu’une formulation plus mathématique est loin d’avoir été montrée bien que l’on sache parfaitement que de telles variations dans la formulation du problème peuvent effectivement modifier la représentation que nous nous en faisons.

  • 76 – BRISSIAUD R. & ESCARABAJAL M.-C. – Formulation des énoncés : classique vs récit, Revue Française (...)

40Prenons l’exemple des deux énoncés suivants pour montrer à quel point cette question du rôle joué par le contexte sémantique est complexe76.

Problèmes des pétards et des billes – énoncé 1

C’est mercredi, Ivan et Sébastien n’ont rien à faire, ils se promènent dans le quartier.

Il me reste 25 F de mon anniversaire. Si on achetait quelque chose ? dit Ivan.

Moi aussi J’ai 13 F répond Sébastien.

Ils rentrent dans le magasin de jouets. Ils ne savent pas trop ce qu’ils veulent acheter. Ils n’arrivent pas à voir tous les prix. Le marchand s’impatiente un peu.

Toi tu as 13 F, tu peux avoir un sac de billes et un paquet de pétards

A toi maintenant, tu as 25 F ! Je te donne un sac de billes et 3 paquets de pétards

Les garçons n’y comprennent rien. Ils essaient de calculer combien coûtent un paquet de pétards et un sac de billes, et ils y arrivent !

Fais comme eux, trouve le prix d’un paquet de pétards et d’un sac de billes.

Problème des pétards et des billes – énoncé 2

Chez le marchand de jouets, un enfant achète un sac de billes et un paquet de pétards et paie 13 F.

Un autre enfant achète un sac de billes et 3 paquets de pétards et paie 25 F.

Quel est le prix d’un paquet de pétards et le prix d’un sac de billes ?

  • 77 – Notons que le contexte sémantique qui caractérise la situation peut avoir des implications beauco (...)

41Il s’agit bien du même problème (même objet et même tâche) mais le contexte sémantique diffère d’un énoncé à l’autre, le premier racontant une véritable histoire alors que le second est plus classique dans sa formulation, se contentant d’évoquer la situation qui est supposée donner du sens à l’énoncé. On pouvait faire, a priori, deux hypothèses différentes : ou le premier énoncé (“énoncé-récit”) serait moins souvent réussi parce que plus long et plus difficile à traiter ; ou bien, inversement, il serait mieux réussi parce que plus riche sur le plan du contexte sémantique. En fait, aucune de ces hypothèses n’est compatible avec les résultats obtenus dans cette recherche (dans laquelle d’autres énoncés que ceux-ci ont été expérimentés) car les performances sont identiques pour les deux sortes d’énoncés. Mais un fait intéressant apparaît au niveau des procédures mises en œuvre : il existe des différences dans la manière de résoudre les problèmes, l’énoncé-récit conduisant plus souvent les élèves à procéder par tâtonnement. La représentation construite à partir d’un contexte sémantique riche est donc, dans le cas présent, aussi performante en termes de réussite que celle construite à partir de l’énoncé habituel mais incite moins à mettre en œuvre des outils mathématiques pourtant bien connus77.

42Notons que plusieurs modalités didactiques ont été expérimentées au cours de ces dernières années en vue de sensibiliser les élèves au rôle que peut avoir le contexte sémantique dans la résolution de problèmes mais l’objectif poursuivi dans ces travaux est plus de type apprentissage que de type ergonomie du problème. Citons, par exemple, la modalité qui consiste à faire rédiger des énoncés par les élèves eux-mêmes à partir de “squelettes” de problèmes (données numériques et relations entre ces données). Une telle démarche est sans doute intéressante de manière ponctuelle mais elle contient aussi un risque important : celui de renforcer l’idée que le contexte sémantique n’est qu’un simple “habillage” (qui cacherait un squelette...).

  • 78 – JULO J. – Surfaces features, représentations and tutorial interventions in mathematical problem-s (...)

43Une modalité intéressante, en revanche, est celle des situations que nous avons appelées précédemment de multiprésentation (voir chapitre 5). L’exemple suivant correspond à un autre cas où l’expérimentation montre une nette amélioration de la performance par rapport à la situation habituelle78.

Problème de partage inégal en multiprésentation

Tu choisis l’un des trois problèmes suivants et tu le résous.

Problème 1

Judith, Catherine et Anne ont 126 ans à elles trois.

Judith est la plus âgée et Anne la plus jeune.

Judith est 4 fois plus âgée que Anne.

Catherine est 2 fois plus âgée que Anne.

Quel est l’âge de chacune ?

Problème 2

On a trois ficelles : une grande, une moyenne et une petite.

Mises bout à bout elles mesurent 126 cm.

La grande ficelle est 4 fois plus longue que la petite.

La moyenne est 2 fois plus longue que la petite.

Quelle est la longueur de chacune des ficelles ?

Problème 3

La somme de trois nombres A, B et C est 126.

Le nombre A est le plus grand et le nombre C le plus petit.

Le nombre A est 4 fois plus grand que le nombre C.

Le nombre B est 2 fois plus grand que le nombre C.

Quels sont les nombres A, B et C ?

44Une telle modalité de multiprésentation est surtout utile pour mettre en évidence et étudier les dysfonctionnements pouvant résulter de l’interprétation du contexte sémantique. Mais l’idée d’utiliser des problèmes isomorphes pour stimuler l’activité de représentation et aider les élèves à se représenter un problème donné est certainement à retenir, ces problèmes isomorphes pouvant figurer, d’ailleurs, dans l’environnement immédiat du problème mais aussi dans les environnements disponible et conditionnel.

Les commentaires de la tache

45Cette variable concerne toutes les informations annexes par rapport à l’énoncé lui-même et qui ont pour but de faciliter sa compréhension, le plus souvent en précisant le contrat qu’il constitue (on parle quelquefois de consigne à propos de ces informations annexes mais l’idée de commentaires est plus large et englobe des informations qui n’ont pas nécessairement un caractère prescriptif). Ces commentaires constituent une sorte de méta-énoncé qui peut être aussi important que l’énoncé lui-même. Nous avons vu, précédemment, comment une indication non pertinente figurant dans l’environnement de la tâche pouvait très facilement conduire les élèves en difficulté à mettre en œuvre une procédure erronée dans un problème qu’ils sont pourtant, a priori, capables de résoudre (problème de la BOBINE – chapitre 5). Nous avons vu également, à propos du problème erreur (chapitre 3), qu’une indication de méthode accompagnant l’énoncé pouvait apporter une aide mais la comparaison entre les élèves en difficulté et les autres montre que seuls ces derniers améliorent leur performance quand ils disposent d’une telle indication. Tous les commentaires n’ont donc pas la même fonction ni le même intérêt et leur mise au point doit relever d’une démarche d’expérimentation et d’une analyse approfondie. Les commentaires concernant la manière de résoudre le problème (procédure ou nature de la solution) sont les plus simples à mettre en œuvre mais sont aussi les moins intéressants du point de vue didactique car ils ont pour conséquence, le plus souvent, d’annihiler l’activité de recherche. En revanche, l’utilisation de commentaires visant la mise en place d’une représentation opérationnelle du problème est beaucoup plus délicate à manipuler mais aussi plus intéressante. Pour illustrer ceci, prenons l’exemple de l’énoncé ci-contre.

  • 79 – On trouvera un exposé de ces choix dans : JULO J. & HOUDEBINE J. – Concevoir de “bonnes” fiches d (...)

46Dans cet énoncé, les commentaires ont une fonction précise : celle de développer, dès le départ, une activité conduisant à bien se représenter la situation complexe qui est l’objet du problème. Cette première étape dans la résolution du problème doit permettre aux élèves, par la suite, de modéliser cette situation sous la forme d’un graphique dans un repère orthonormé et de pouvoir répondre, alors, à une seconde question concernant l’heure et le lieu des rencontres (une fiche d’aide est prévue pour ceux qui ne parviennent pas à réaliser le premier but proposé). Il s’agit sans doute, parmi les énoncés sur lesquels nous avons eu l’occasion de travailler, de celui qui a été le plus longuement réfléchi et qui a fait l’objet du plus grand nombre d’observations. Nous n’expliciterons pas, ici, tous les choix faits au niveau de l’énoncé du problème lui-même79 (nature du but, valeurs numériques, présentation des données, formulation). Nous nous attarderons, en revanche, sur les choix concernant les commentaires annexés à l’énoncé du problème lui-même.

47On peut remarquer, tout d’abord, que ceux-ci sont bien séparés du problème par un procédé d’encadrement. L’objectif du travail demandé est annoncé avant la présentation du problème puis il est rappelé sous la forme d’une consigne à la suite de l’énoncé. La nature de la tâche est ainsi rendue aussi explicite que possible et différenciée du but du problème (trouver le nombre de croisements et de doublements entre le promeneur et les camions). Dans le cas présent, les commentaires servent à orienter l’élève vers un type particulier d’activité et de production (“faire un schéma ou écrire un texte” – cette formulation n’est pas due au hasard et résulte des observations effectuées) ; ils ont, par là-même, une

Problème des rencontres

48Voici un problème. Le travail demandé est de réaliser des schémas ou d’écrire un texte qui permettent d’expliquer facilement les réponses aux questions du problème.

1) Réalise un schéma ou écris un texte qui permette d’expliquer facilement la réponse à ces deux questions.

49fonction d’aide dans la construction d’une représentation opérationnelle du problème. Cette représentation initiale doit servir, par la suite, à la mise en œuvre d’un outil de modélisation afin de réaliser la tâche plus complexe qui fait l’objet de la seconde question.

50On voit donc que la mise au point des commentaires qui accompagnent l’énoncé pose des problèmes d’ingénierie au moins aussi sérieux que ceux que l’on rencontre dans la mise au point de l’énoncé lui-même (sinon plus car le risque didactique est plus grand en raison de l’impact important que ces méta-énoncés peuvent avoir) et il est clair qu’elle ne peut relever que de la même approche prudente et expérimentale.

Les taches sur-ajoutées

51La dernière modalité que nous envisagerons est celle qui consiste à associer à l’énoncé une ou plusieurs tâches annexes par rapport à la tâche principale (celle qui caractérise la problématique). Ces tâches sur-ajoutées portent le plus souvent sur le traitement des informations contenues dans l’énoncé. Tous les enseignants savent, par exemple, que le simple fait que l’élève lise cet énoncé à haute voix peut en faciliter la compréhension. Une modalité didactique souvent utilisée est également de poser des questions sur l’énoncé (les fameuses “questions de lecture”). Ces tâches peuvent constituer, effectivement, des aides pour la construction de la représentation mais cela est loin d’être automatique et une telle démarche comporte de nombreux risques.

52Le premier risque est celui d’être tenté par la systématisation. Ces tâches destinées à faciliter le traitement des informations contenues dans l’énoncé ne doivent surtout pas être considérées comme des techniques ou des règles que les élèves devraient utiliser systématiquement. On a vu, par exemple, se développer l’idée d’apprendre aux élèves à souligner de couleurs différentes “ce qu’il faut trouver” et “ce qui est donné” dans un énoncé de problème. Une fois encore, une telle approche en termes d’entraînement nous semble plus dangereuse qu’une approche de type ergonomique car elle ne prend pas vraiment en compte les difficultés liées à la représentation du problème. Mais il existe également un autre risque inhérent cette fois à l’approche ergonomique elle-même : celui d’alourdir considérablement la tâche principale (le problème à résoudre) au point quelquefois de la faire apparaître comme secondaire par rapport à la tâche sur-ajoutée. L’exemple suivant illustre bien ceci.

  • 80 – Nous ne connaissons pas l’origine exacte de cette activité. La version et les résultats évoqués i (...)

53Il s’agit d’une fiche de travail comportant un énoncé de problème et une consigne qui demande à l’élève de réaliser trois tâches distinctes80 :

  • remplir un tableau correspondant à une analyse des données du problème (le tableau figure sur la fiche),

  • réécrire le texte du problème en enlevant les données inutiles,

  • résoudre le problème.

54L’énoncé du problème est le suivant :

Un pétrolier est parti d’ALGER le 21 septembre 1991 à 15h30 avec un chargement de 260 000 tonnes de pétrole. Arrivé au HAVRE le 26 septembre 1991 à 5h45 il en a déchargé 75 250 en 5 heures. Poursuivant son voyage il est arrivé à DUNKERQUE où il a déchargé encore 87 900 tonnes de pétrole en 6 heures, il doit décharger le reste à ANVERS.

Combien de tonnes de pétrole seront déchargées au cours de cette dernière escale d’ANVERS ?

55Deux tâches surajoutées sont donc associées à ce problème la première consistant à classer les différentes informations contenues dans l’énoncé (par exemple : “temps passé au Havre”, “vitesse du pétrolier”, “quantité de pétrole au départ d’Alger”, ...). Trois catégories sont proposées dans le tableau :

  • est un renseignement contenu dans le texte du problème,

  • est un résultat qui peut être calculé à partir des renseignements contenus dans le texte,

  • est un renseignement nécessaire pour répondre à la question du problème.

56Cette idée d’amener les élèves à différencier plusieurs sortes d’informa-tions est intéressante et la tâche proposée est plus riche que les traditionnelles questions de lecture. Pourtant l’observation montre qu’elle a un effet plutôt négatif : elle est trop lourde et décourage de nombreux élèves au point, d’ailleurs, que plusieurs l’abandonnent pour passer directement à la résolution du problème. On constate, en outre, que de nombreux élèves (un tiers dans une expérience menée auprès de jeunes en formation dans un Centre de Formation d’Apprentis) réussissent parfaitement à résoudre le problème alors qu’ils ont commis des erreurs dans le classement des informations, y compris dans la troisième colonne du tableau qui concerne les renseignements nécessaires pour répondre à la question du problème. L’analyse de l’énoncé qui doit être faite pour cette tâche de classement des informations n’a donc, vraisemblablement, que peu de liens avec l’analyse qui permet de se construire une représentation du problème lui-même. Il s’agit d’une tâche à part, plus difficile et plus fastidieuse que la résolution du problème. Sa fonction ne peut donc être celle d’une aide à la représentation.

  • 81 – TEULE-SENSACQ P. & VINRICH G. – Lire et comprendre des énoncés de problèmes au cycle des approfon (...)

57Une fois soulignés ces risques, il reste à concevoir et à expérimenter des tâches sur-ajoutées susceptibles d’aider véritablement à la construction de la représentation initiale. Nous donnerons, pour terminer, un exemple d’une telle tâche qui semble bien avoir cette fonction d’aide d’après l’étude réalisée81. Il s’agit du problème de la bougie (cf ci-dessous). Sa particularité est le fait que les données numériques ne sont pas insérées dans le texte du problème. Cet énoncé est accompagné de la consigne suivante : “Répondre aux questions posées dans le problème ci-dessous. Attention !... Les nombres ont été déplacés et mis “en vrac” au dessus de l’énoncé.”

Problème de la bougie

On allume à ……… h une bougie qui mesure………cm de hauteur. Le même jour, on éteint la bougie à………h, elle ne mesure plus que………cm.

- De combien la bougie a-t-elle diminué ?

- Quelle est la hauteur de cire consommée en une heure ?

58Il s’agit, en fait, d’une tâche adaptée de la situation bien connue du puzzle (reconstituer un énoncé présenté sous la forme de vignettes) mais qui est plus intéressante car moins lourde qu’une reconstitution de puzzle et risquant moins, ainsi, de faire perdre de vue le problème lui-même.

59Les variables de présentation et les modalités d’aide évoquées ici sont loin de constituer une liste exhaustive de tout ce qui pourrait contribuer à améliorer l’ergonomie d’un problème donné. Signalons, par exemple, la modalité qui consiste à préparer l’énoncé du problème. En géométrie, en particulier, une phase préliminaire permettant de se familiariser avec la configuration sur laquelle va porter le problème peut être une aide considérable (une telle modalité a été expérimentée avec succès dans le cas du problème micoqua évoqué ci-dessus) mais, encore une fois, celle-ci est difficile à mettre au point, les risques étant à peu près les mêmes que ceux que nous avons signalés pour les tâches sur-ajoutées. Rappelons également que nous nous sommes limités ici aux variables les plus directement liées au problème à résoudre. Mais l’environnement immédiat comporte de nombreux éléments qui peuvent avoir un rôle plus ou moins important : des éléments matériels (le support du problème en particulier : énoncé copié par l’élève, figurant sur une fiche de travail ou présenté à l’écran d’un ordinateur, ...) et surtout des éléments de nature socio-didactique (travail individuel ou en groupe, discours de l’enseignant, ...).

Les interventions tutorielles

60Il n’existe pas de coupure nette entre les variables de présentation sur lesquelles on agit en vue d’améliorer le fonctionnement des processus de représentation et les interventions tutorielles que l’on va utiliser dans le même but. Les premières relèvent plutôt de l’environnement immédiat et concernent la mise en place de la représentation initiale alors que les secondes relèvent plutôt des deux autres environnements et concernent l’évolution de la représentation dans les cas où il y a dysfonctionnement. Mais le contenu et la fonction de l’aide ne sont pas fondamentalement différents. Nous partirons d’un exemple et de l’analyse de quelques résultats expérimentaux puis nous donnerons un aperçu des différentes formes que peuvent avoir ces interventions tutorielles avant de reprendre, dans le chapitre suivant, l’analyse du même exemple mais en nous situant, cette fois, du point de vue d’une intervention tutorielle finalisée par un objectif didactique particulier.

Effet de quelques aides dans le cas des ficelles

61L’exemple que nous allons examiner concerne un problème de type partage inégal dont l’énoncé est le suivant :

Problème des ficelles

On a une grande ficelle qui mesure 240 cm.

On doit la couper en 3 morceaux A, B et C.

A doit être 3 fois plus long que B.

C doit être 4 fois plus long que B.

Quelle doit être la longueur de chacun des morceaux ?

  • 82 – JULO J. – Surfaces features, représentations and tutorial interventions in mathematical problem-s (...)

62Ce problème, proposé sans aucun apprentissage préalable et sans aide, est peu réussi par les élèves au début du collège. Dans le cadre d’une démarche cherchant à améliorer l’ergonomie de ce problème, une augmentation de la performance a été observée avec une modalité de multiprésentation, ainsi que nous l’avons dit précédemment. Lors d’une autre expérimentation, ce sont les effets de diverses interventions au cours de la résolution du problème qui ont été étudiés82, l’objectif étant, à terme, la réalisation d’un dispositif d’aide géré par un tutoriel.

63Trois interventions (voir page suivante) ont ainsi été étudiées lors d’une séance de travail menée avec des élèves en classe de 6e, le déroulement de cette séance étant le suivant :

  • chaque élève reçoit une fiche avec le problème à résoudre ;

  • si l’élève n’a pas fourni les réponses attendues au bout de 15 mn, une aide lui est fournie sous la forme d’une fiche et sans aucune explication supplémentaire (un expérimentateur suit le travail de 2 ou 3 élèves) ;

AIDE A Indique pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse d’après le texte du problème.

AIDE A Indique pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse d’après le texte du problème.

Indique le numéro du bon schéma

Regarde bien ces 3 problèmes. L’un d’eux ressemble beaucoup au problème proposé. Lequel ? (Ecris le numéro choisi).

  • 10 minutes après, l’élève reçoit une seconde aide s’il n’a toujours pas résolu le problème, puis une troisième 10 minutes plus tard ;

  • le travail est arrêté 15 mn après la troisième aide ;

  • quand l’élève a résolu le problème, un second problème du même type mais un peu plus difficile lui est proposé, puis, éventuellement, un troisième encore plus difficile.

64Chaque élève ne reçoit pas les trois aides dans le même ordre (toutes les combinaisons possibles sont utilisées). Précisons bien que la démarche mise en œuvre a pour seul but de tester l’effet des interventions tutorielles et ne correspond aucunement à une séquence didactique type (dans le dispositif final, d’ailleurs, les aides retenues comme pertinentes sont présentées sous une forme optionnelle c’est-à-dire intégrées à un environnement disponible).

65Les trois aides expérimentées ont, volontairement, des contenus assez différents :

  • l’aide A (Affirmations) est la plus neutre : elle incite seulement l’élève à relire l’énoncé en attirant son attention sur les relations et les contraintes à prendre en compte pour la résolution du problème ;

  • l’aide G (Graphiques) correspond à une tâche de reconnaissance mettant en jeu les schémas classiques que l’on utilise pour modéliser ce type de problème ;

  • l’aide E (Egalités) s’appuie aussi sur une tâche de reconnaissance mais portant, cette fois, sur des expressions de type algébrique (désignation des valeurs inconnues par des lettres et écriture d’égalités).

66Les trois interventions correspondent donc à ce que nous avons appelé précédemment des tâches sur-ajoutées mais elles diffèrent au niveau de leur contenu, deux d’entre elles (les aides G et E) orientant vers l’un ou l’autre des deux outils de modélisation bien adaptés pour ce type de problème. Toutefois, rappelons que l’élève qui ne parvient pas à résoudre le problème reçoit successivement les trois aides (dans un ordre aléatoire pour cette expérience) ; l’étude de l’impact que peut avoir un tel cumul de trois interventions de nature très différente était le but principal de l’expérimentation.

67Le tableau 6.1 permet d’analyser l’effet de chacune des interventions en fonction de sa position (1e, 2e ou 3e position) ainsi que le cumul de ces effets (le critère pris en compte est la réussite complète c’est-à-dire l’exactitude des trois valeurs numériques demandées).

Tableau 6.1 – Répartition des élèves qui réussissent le problème des "ficelles" en fonction du nombre d’aides reçues et de l’ordre de présentation de ces aides (les effectifs correspondent aux élèves qui donnent les réponses correctes après une aide donnée).

68Nous ne ferons pas une analyse complète de ce tableau mais nous soulignerons trois faits qui nous intéressent particulièrement du point de vue des interventions tutorielles qui peuvent contribuer à faire évoluer la représentation des élèves :

  1. les trois interventions ne sont pas équivalentes du point de vue de leur effet sur la réussite : l’aide G est celle qui a l’effet le plus important et l’aide
    A l’effet le plus faible (de manière globale, 17 élèves donnent les réponses attendues après une aide G, 13 après une aide E et 5 après une aide A – on a le même ordre si on regarde l’effet de la première aide donnée) ;

  2. le fait le plus remarquable est cependant qu’aucune des trois interventions n’a un effet massif et que toutes peuvent avoir un impact à la fois quand elles sont en première position et quand elles arrivent après une autre aide (deux élèves, par exemple, réussissent le problème après l’aide A alors qu’ils ont reçu auparavant l’aide G et que celle-ci ne les a pas conduits à la solution du problème) ;

  3. la variété et le cumul des interventions, loin d’être une source de perturbation, comme on pourrait l’imaginer si on pense l’aide en termes de guidage vers une procédure particulière, sont, au contraire, des facteurs décisifs ; ainsi, on peut noter que 10 élèves ne réussissent à résoudre le problème qu’après une troisième aide (sans qu’il soit possible de dire, à partir de ces seules données, si c’est cette troisième aide spécifiquement qui a un effet ou si c’est le cumul des trois aides reçues).

69L’ensemble de ces faits est donc compatible avec l’hypothèse qu’il est possible d’intervenir au niveau de la représentation du problème pour la faire évoluer vers un niveau de structuration et d’opérationnalisation plus grand. On peut penser qu’en agissant à la fois sur l’activité de représentation (le fait que les aides soient des tâches est important de ce point de vue) et sur le contenu de la représentation, les différentes interventions permettent une structuration de plus en plus forte de celle-ci chez des élèves qui ne parvenaient pas, auparavant, à comprendre le problème. Le changement de point de vue qu’imposent la variété et le cumul des aides pourrait, au moins dans certains cas, être le facteur déterminant dans ce processus de structuration.

70Il faut souligner, toutefois, qu’après 50 minutes de travail et trois interventions tutorielles, près de la moitié des élèves ne parvient toujours pas à résoudre le problème. Mais rappelons également qu’il s’agit d’un problème difficile n’ayant fait l’objet d’aucun apprentissage préalable. Le dispositif d’aide tel qu’il a été expérimenté ici est donc trop peu élaboré pour conduire tous les élèves à une représentation performante du problème et à une procédure de résolution qu’ils sont, visiblement, tous capables d’élaborer. Le prochain chapitre nous permettra de revenir sur cette classe de problèmes et sur l’intérêt didactique d’une séquence visant le développement d’une activité de modélisation à partir de tels problèmes de partage.

La définition du contenu des interventions

71Dans le cadre de la démarche que nous proposons ici, il est clair que le contenu de l’aide est très spécifique et dépend de ce que l’on sait des difficultés qui caractérisent la représentation d’un problème donné. La définition précise de ce contenu ne peut donc résulter, comme pour les variables de présentation, que d’une analyse précise de ces difficultés et de nombreuses expérimentations. Il n’existe même pas, dans le cas des interventions tutorielles, une classification des variables telle que celle proposée pour la présentation du problème car les possibilités sont quasiment infinies et les travaux cherchant à les recenser quasiment inexistants. Nous nous contenterons donc d’évoquer les trois directions principales dans lesquelles la réflexion devrait s’engager à propos de cette question fondamentale du contenu des interventions dans une démarche d’aide à la représentation des problèmes.

72La première idée, et sans doute la plus importante, est celle qui concerne la pluralité et la diversité des éléments que l’on apporte. C’est là sans doute le fait le plus surprenant que mettent en évidence toutes les expériences et toutes les observations que nous avons menées dans ce domaine : une aide à la représentation ne doit pas être conçue comme quelque chose de cohérent ou de logique. Ainsi que le fait bien apparaître l’exemple ci-dessus où trois aides très différentes sont apportées pour le problème des ficelles, le contenu de l’intervention peut très bien être composé d’éléments qui n’ont pas de rapport entre eux et qui correspondent même à des manières totalement différentes d’aborder le problème. Non seulement cela ne sera pas une gêne pour celui qui cherche à le résoudre mais cela garantira que l’aide se situe bien du côté des représentations ; ce sont, en effet, les aides à la solution (c’est-à-dire guidant vers une procédure particulière) qui ont besoin d’être cohérentes et logiques et c’est bien pour cela que ce sont les seules que nous sachions mettre en œuvre spontanément.

73La seconde question importante qui se pose à propos du contenu de l’aide que l’on apporte est celle de savoir si celle-ci doit être présentée sous la forme d’une tâche sur-ajoutée ou sous la forme d’une information nouvelle. Nous avons déjà évoqué cette notion de tâche sur-ajoutée à propos de la présentation du problème ; la seule différence, dans le cas d’une intervention tutorielle, est que ces tâches sont proposées au cours de la recherche du problème soit à la suite d’une demande d’aide (environnement disponible) soit à la suite d’une décision tutorielle comme pour les interventions décrites précédemment à propos du problème des ficelles (environnement conditionnel). Les informations nouvelles que l’on apporte peuvent être très diverses mais diffèrent des tâches sur-ajoutées par le fait qu’elles ne sont pas liées à une action de celui qui reçoit l’aide. Il peut s’agir tout simplement de la définition d’un mot contenu dans l’énoncé et non compris ou de quelques problèmes isomorphes à celui que l’élève doit résoudre ou encore de plusieurs pages d’un dialogue fictif entre des personnes échangeant des idées à propos du problème. Les tâches sur-ajoutées ont un intérêt majeur que nous avons déjà souligné : celui de solliciter l’élève et donc d’induire une activité. Dans le cas où l’élève est bloqué en raison d’une représentation trop peu structurée pour être opérationnelle, cette fonction de l’aide est essentielle. Elle sert, en quelque sorte, à amorcer l’activité. Toutefois, les tâches sur-ajoutées ont un inconvénient que nous avons aussi évoqué : celui d’alourdir la tâche principale et de perturber ainsi, dans certains cas, l’activité de recherche. L’élève peut perdre de vue le but principal en passant trop de temps sur la tâche secondaire. Un simple apport d’information n’a pas cet inconvénient et constitue, souvent, un coup de pouce déterminant dans la construction de la représentation sans alourdir la charge cognitive que constitue la résolution du problème. Cette information nouvelle peut, par exemple, avoir un effet au niveau du contrôle de la représentation en contribuant directement à la remise en cause et à la restructuration de cette représentation. En revanche, l’inconvénient de cette forme d’aide, outre le fait qu’elle ne sollicite pas directement l’activité de celui qui cherche le problème, est l’impact très fort qu’elle peut avoir. Une information nouvelle que l’on apporte est nécessairement perçue par l’élève comme une indication concernant la manière de résoudre le problème ou même une incitation à procéder d’une manière déterminée. Une tâche sur-ajoutée n’a pas un impact socio-didactique aussi fort car elle renvoie l’élève à sa propre activité. On voit donc que le choix entre ces deux grandes options n’est pas simple et qu’une fois encore il sera spécifique non seulement du problème en jeu mais aussi de l’ensemble des composantes didactiques de la situation.

  • 83 – Dans la recherche consacrée au problème Rencontres, par exemple, l’aide apportée en cas de blocag (...)

74La troisième question, enfin, que nous ne ferons qu’évoquer car elle sera reprise dans le prochain chapitre, est celle des outils de modélisation. Jusqu’à quel point est-il souhaitable d’inciter à mettre en œuvre tel ou tel outil qui pourrait apporter une aide au niveau de la modélisation du problème. Nous avons longuement insisté dans les pages précédentes (voir chapitre 3 en particulier) sur le fait que ce n’est pas l’outil de modélisation en lui-même qui peut apporter la compréhension du problème et être à la source de la représentation que nous en avons ; mais il est vrai aussi qu’à une certaine étape de la construction de cette représentation (en particulier pour son opérationnalisation), un outil auquel on n’avait pas pensé peut s’avérer une aide considérable et permettre une évolution déterminante de la représentation. La principale question qui se pose est donc celle de savoir quand et sous quelle forme proposer un tel outil, la réponse à cette question renvoyant directement à notre capacité de repérer et d’analyser les dysfonctionnements liés à la représentation du problème. Lorsque cette capacité est faible, comme c’est généralement le cas actuellement, il n’existe pas d’autres moyens que de miser sur la diversité et la pluralité des éléments que l’on apporte. Nous avons vu, dans l’exemple présenté ci-dessus, que le fait de suggérer deux outils de modélisation différents (schémas et écriture d’égalités sous une forme littérale) loin de constituer un handicap pour les élèves était, au contraire, une source de progrès. Multiplier et diversifier au maximum les outils que l’on suggère est le seul moyen, lorsque l’on connaît trop peu la nature exacte du dysfonctionnement, de ne pas faire “plus de mal que de bien” c’est-à-dire de ne pas enfermer l’élève dans une approche du problème qui ne serait pas compatible avec la représentation qu’il avait commencé à se construire83.

Le choix de l’environnement et la question des décisions tutorielles

75L’idée fondamentale défendue ici est donc celle d’une amélioration de l’ergonomie des problèmes passant par un enrichissement de l’environnement dans lequel celui-ci est proposé plutôt que par une intervention directe et massive dans le processus de résolution. De ce point de vue, la priorité sera donnée à la mise au point de l’environnement immédiat (la présentation du problème en particulier) et d’un environnement auquel l’élève peut accéder facilement en fonction du besoin d’aide qu’il ressent, ce que nous avons appelé l’environnement disponible. Dans le cas d’une gestion informatisée de la situation, cet environnement disponible se présentera le plus souvent sous la forme d’un “menu” donnant accès à différentes aides possibles. La caractéristique principale de ce mode d’intervention est le fait que c’est celui qui résout le problème qui décide s’il demande une aide ou non, le moment auquel cette aide intervient et sa nature. Le choix de cette forme d’environnement peut reposer soit sur une option pédagogique (s’appuyer au maximum sur l’activité et l’initiative de celui qui cherche le problème) soit sur le souci plus pragmatique de minimiser les risques que comporte, nécessairement, la mise au point d’un environnement conditionnel.

76Cette troisième sorte d’environnement est définie, rappelons-le, par l’existence d’une décision tutorielle liée à la réalisation d’un certain nombre de conditions (c’est seulement lorsque l’on observe tel ou tel phénomène dans telle ou telle circonstance que l’on décide d’apporter une aide donnée). Or, quel que soit le support du tutorat (personne physiquement présente ou logiciel informatique), il lui faut des informations précises et des connaissances fiables concernant la situation présente et les dysfonctionnements particuliers qui appellent une intervention. On touche là, une nouvelle fois, aux limites imposées par la faiblesse de nos connaissances actuelles en matière de fonctionnement des représentations dans des situations particulières. C’est pourquoi la distinction entre ces trois sortes d’environnement que nous évoquons ici correspond aussi aux trois étapes qu’il semble raisonnable de respecter dans toute amélioration de l’ergonomie des problèmes : d’abord la mise au point de l’environnement immédiat le plus performant possible, ensuite la définition d’un ensemble d’aides présenté, dans un premier temps, sous une forme optionnelle (environnement disponible) puis, dans un second temps (et seulement si certaines contraintes didactiques l’imposent) la réalisation d’un tutoriel basé sur un modèle solide du fonctionnement cognitif propre à la situation en jeu et sur un système de prise de décision validé par de nombreuses expériences.

77Remarquons, pour terminer, qu’à chacune de ces étapes la question essentielle reste celle de la nature de l’aide que l’on apporte et que c’est d’abord les choix faits à ce niveau qui déterminent la qualité ergonomique de l’environnement mis au point. Les questions liées au mode de gestion de ces aides (jusqu’où aller dans la complexification de l’environnement ? quel rôle attribuer à l’informatique dans cette gestion ?...), pour importantes qu’elles soient, restent très secondaires dans l’état actuel de nos connaissances.

En résumé

78Nous avons tenté, dans ce chapitre, de catégoriser et de caractériser aussi précisément que possible les formes d’aide qui paraissent, à l’heure actuelle, les plus adaptées du point de vue de la construction de la représentation dans le cas d’une situation de résolution de problème. Nous insisterons seulement, ici, sur deux résultats importants que mettent en évidence les travaux actuels et sur les limites d’une telle approche.

79En premier lieu, la conception et la mise au point des aides doivent nécessairement s’appuyer sur de nombreuses observations et expérimentations concernant spécifiquement le problème auquel on s’intéresse. Les données présentées dans ce chapitre et dans ceux qui précèdent constituent un cadre général pour réfléchir aux actions que l’on va mettre en œuvre mais nous ne possédons pas, à l’heure actuelle, de règles générales permettant de décider quelles actions sont les plus performantes pour une situation donnée. De plus, en l’absence de véritables modèles du fonctionnement cognitif correspondant à ces différentes situations ou classes de situations, il est illusoire de vouloir faire reposer le choix de l’aide sur une analyse des difficultés de représentations propres à un individu donné dans un problème donné (de type “diagnostic”). C’est bien l’idée d’une ergonomie des problèmes correspondant à la mise en place d’un environnement aussi riche et stimulant que possible qui semble la plus adaptée à nos connaissances actuelles en matière de représentation du problème et à notre maîtrise des modes d’intervention au niveau de cette représentation.

80Le second fait qu’il nous semble important de retenir est que c’est l’impact sur l’activité de représentation qui constitue le critère décisif de toute démarche d’aide. Si une intervention, quelle qu’elle soit, a un effet positif sur cette activité, on peut considérer que l’on a progressé. Mais ce que l’on considérait, a priori, comme une aide peut aussi n’avoir aucun impact sur l’activité de représentation ou même un effet négatif (c’est le cas de la décomposition du problème en sous-problèmes ou des tâches sur-ajoutées trop lourdes par exemple). Il faut alors chercher autre chose. Le contenu de l’aide a aussi un rôle important, bien sûr, en modifiant le contenu de la représentation, en favorisant sa structuration ou en provoquant sa remise en cause et sa restructuration. Mais un tel impact sur la représentation elle-même n’est jamais direct et automatique ; il implique toujours l’activité de celui qui cherche à comprendre le problème. C’est certainement là le principe le plus important de la démarche (qui n’est d’ailleurs que le principe de base de toute pédagogie active) : avoir toujours le souci de stimuler et de développer cette activité de représentation. Et ce principe est encore plus impératif dans le cas d’élèves (ou d’adultes) en situation d’échec, toute démarche cherchant à intervenir autoritairement sur la représentation pour la guider dans une direction donnée et lui imposer une certaine forme n’ayant aucune chance de succès.

81L’approche décrite ici a aussi des limites, bien sûr. Nous en évoquerons deux parmi les plus importantes.

82Tout d’abord, cette approche suppose résolues les questions concernant la nature profonde et la finalité du problème que l’on cherche à mettre au point : celui-ci a-t-il “vraiment” un intérêt d’un point de vue mathématique ? quel “sens” peut avoir, pour un élève, le fait de le comprendre et de le résoudre ?... Ces questions ne sont pas forcément préalables au travail d’expérimentation et d’analyse ergonomiques ; elles sont plutôt complémentaires dans le cadre d’une démarche qui envisage le problème sous divers points de vue.

83La seconde limite se situe au niveau des caractéristiques sociales de la situation. Bien qu’ils ne soient pas pris en compte ici, ces facteurs sociaux ont un rôle essentiel. L’étude des situations de résolution de problèmes et plus généralement des situations didactiques ne saurait les exclure en se limitant à la seule analyse de l’interaction entre des caractéristiques formelles d’une tâche ou d’un domaine de connaissances et le fonctionnement cognitif de l’élève. De multiples données expérimentales issues de la psychologie sociale permettent de faire état de différences très sensibles dans les performances en fonction de variations affectant le contexte dans lequel est réalisée une tâche ou un apprentissage et la position sociale occupée par le sujet dans cette situation. Les recherches en didactique des disciplines ont commencé à intégrer certaines de ces données mais il faudra sans doute attendre de mieux comprendre quand et comment interviennent ces déterminants sociaux de la performance cognitive avant d’envisager de les prendre en compte de manière systématique dans la conception et la mise au point des situations de résolution de problèmes.

Notes

61 – C’est BROUSSEAU qui a apporté la contribution la plus significative du point de vue de la notion de situation didactique ; voir par exemple : BROUSSEAU G. – Problèmes de didactique des décimaux, Recherches en Didactique des Mathématiques, 1981, 2, 3 ; ainsi que : BROUSSEAU G. – Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, 1986, 7, 2. Cette notion est définie ainsi dans un manuel récent : “Il y a situation didactique chaque fois que l’on peut caractériser une intention d’enseignement d’un savoir par un professeur à un élève, et que des mécanismes socialement définis sont institués pour ce faire. Ce qui caractérise la perspective constructiviste, c’est la volonté de mettre l’élève en situation de produire des connaissances (en général en reformulant – et en luttant contre – des connaissances anciennes) en référence d’abord au problème, et non d’abord en référence à l’intention d’enseignement” (JOSHUA S. & DUPIN J.-J. – Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques, Paris, Presses Universitaires de France, 1993)

62 – A propos de cette idée de problèmes sémantiquement “riches” ou “pauvres” voir : WEIL-BARAIS A. – Résolution de problèmes – in : ROSSI J.-P. (ed) – La recherche en Psychologie (domaines et méthodes), Paris, Dunod, 1991.

63 – Les didacticiens cherchent actuellement à clarifier d’une part les rapports entre ingénierie didactique et recherche en didactique, d’autre part les rapports entre ingénierie didactique et innovation (ou recherche-action). ARTIGUE introduit ainsi un article portant sur ces questions : “La notion d’ingénierie didactique a émergé en didactique des mathématiques au début des années 1980. Il s’agissait d’étiqueter par ce terme une forme du travail didactique : celle comparable au travail de l’ingénieur qui, pour réaliser un projet précis, s’appuie sur les connaissances scientifiques de son domaine, accepte de se soumettre à un contrôle de type scientifique mais, dans le même temps, se trouve obligé de travailler sur des objets beaucoup plus complexes que les objets épurés de la science et donc de s’attaquer pratiquement, avec tous les moyens dont il dispose, à des problèmes que la science ne veut ou ne peut encore prendre en charge.” ; elle poursuit un peu plus loin : “... c’est avec cette double fonction que la notion d’ingénierie didactique va tracer son chemin dans l’édifice didactique, en arrivant à désigner à la fois des productions réalisées pour l’enseignement à l’issue de recherches ayant fait appel à des méthodologies externes à la classe et une méthodologie de recherche spécifique.” (ARTIGUE M. – Ingénierie didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques, 1988, 9, 3). Les critères pour définir une démarche de type ingénierie sont effectivement ceux-là : l’existence d’un produit (ou d’une production) et une validation par la recherche. Les questions qui se posent, à notre avis, sont surtout celles de la taille du produit et de son degré de reproductibilité. Une véritable démarche d’ingénierie telle que l’entendent de nombreux didacticiens doit porter sur des productions assez vastes correspondant à l’ensemble d’un processus didactique. Nous avons défendu, quant à nous, l’idée d’une ingénierie portant sur des productions plus restreintes (de type fiches de travail) mais plus exigeantes du point de vue ergonomique (voir JULO J. & HOUDEBINE J. – Concevoir de “bonnes” fiches d’activité en mathématiques, Repères Irem, 1992, 8). Une telle analyse ergonomique vise l’adaptation de la situation au fonctionnement cognitif de celui à qui elle est destinée, cette adaptation prenant compte, bien sûr, les caractéristiques didactiques et les finalités de la situation.

64 – Nous utilisons ici ce concept d’ergonomie cognitive dans un sens un peu plus large qu’on ne le fait en psychologie de travail où il désigne principalement l’étude des “interfaces entre les conditions cognitives du travail et ses conditions physiques” HOC J.-M. – L’ergonomie cognitive : un champ pluridisciplinaire dans les sciences cognitives – in : VERGNAUD G. (ed) – Les sciences cognitives en débat, Paris, Editions du CNRS, 1991.

65 – PERENNET J. & GRŒN W. – A hint is not always a help, Educational Studies in Mathematics, 1993, 25, 4.

66 – Voir par exemple : FISCHER J.-P. – La résolution des problèmes arithmétiques verbaux : propositions pour un enseignement pro-actif, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 1993, 5.

67 – IREM de Rennes – Les problèmes du M6, Fascicule 1, Université de Rennes I, 1986/87.

68 – EHRLICH S. – Sémantique et mathématique, Apprendre/enseigner l’arithmétique simple, Paris, Nathan, 1990.

69 – DE CORTE E., VERSCHAFFEL L. & DE WIN L. – Influence of reworking verbal problems on children”s problem représentation and solutions, Journal of Educational Psychology, 1985, 77, 4.

70 – Pour une synthèse des travaux concernant les questions de formulation dans les problèmes additifs voir : FAYOL M. – L’enfant et le nombre, Neuchâtel, Delachaux et Niestlé, 1990. Un article de référence du point de vue de cette question est celui de KINTSCH W. & GREENO J.-G. – Understanding and solving word arithmetic problems, Psychological Review, 1985,72-1.

71 – Voir en particulier : LABORDE C. – Langue naturelle et écriture symbolique : deux codes en interaction dans l’enseignement des mathématiques, Thèse d’état, Grenoble, Imag, 1982. L’analyse des énoncés de problèmes en termes de “congruence sémantique” que propose DUVAL apporte également un éclairage intéressant à ce niveau (voir par exemple : DUVAL R. – Ecarts sémantiques et cohérence mathématique : introduction aux problèmes de congruence, Annales de didactique et de sciences cognitives, 1988, 1). La grande difficulté que nous pouvons avoir à penser un même “signe” à des niveaux de signification différents est bien illustrée par ce problème maintenant très connu et popularisé par un roman récent (WERBER D. – Le jour des fourmis, Paris, Albin Michel, 1992) :
Quelle est la ligne suivante par rapport à cette série :
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72 – Il s’agit d’une adaptation faite par GABORIEAU d’un problème étudié par AUDIBERT (problème sim présenté dans : AUDIBERT G – Démarches de pensée et concepts utilisés par les élèves de l’enseignement secondaire en géométrie euclidienne plane, Publication de l’APMEP n° 56, 1984).

73 – Une approche qui s’est placée délibérément dans cette perspective est celle du problème ouvert. On désigne ainsi, en France, un courant qui s’est développé à la fin des années 70 et dont l’objectif fut de donner une place centrale à la résolution de “vrais problèmes” dans l’enseignement des mathématiques. Ce courant n’a pas réussi vraiment à trouver son identité, tiraillé entre les travaux américains sur l’heuristique, les travaux des didacticiens français sur les situations-problèmes et la mode des compétitions mathématiques (genre “rallye”) qui s’est développée également dans les années 80. En revanche, l’accent mis sur la forme de l’énoncé dans le cas d’un problème ouvert a contribué, de manière indéniable, à la réflexion concernant les questions de formulation dans le cas où le but est de développer une véritable activité de résolution de problème ; voir par exemple : ARSAC G, GERMAIN G. & MANTE M. – Problème ouvert et situationproblème, IREM de Lyon, 1988.

74 – Voir en particulier : FAYOL M., ABDI H. & GOMBERT J.-E. – Arithmetic problems formulation and working-memory load, Cognition and Instruction, 1987,4.

75 – Pour une présentation plus détaillée de cette recherche, voir : IREM de Rennes – Aides à la résolution de problème, Mise au point et expérimentation de quelques séquences avec utilisation de l’informatique, Tome 1, Problèmes de géométrie en 4eme, Université de Rennes I, 1988.

76 – BRISSIAUD R. & ESCARABAJAL M.-C. – Formulation des énoncés : classique vs récit, Revue Française de Pédagogie, 1986, 74.

77 – Notons que le contexte sémantique qui caractérise la situation peut avoir des implications beaucoup plus vastes que celles évoquées ici. La psychologie sociale du fonctionnement cognitif montre, en particulier, que les performances cognitives d’une personne dépendent aussi des conditions sociales dans lesquelles elle effectue une tâche ou tente de résoudre un problème. Ces données de contexte concernent aussi bien le cadre formel dans lequel est réalisée la tâche, les enjeux qui y sont attachés et le statut que l’élève occupe dans la situation. Un résultat expérimental parmi d’autres montre que des bons élèves réussissent moins bien la reproduction d’une figure complexe lorsque l’exercice est effectué dans le cadre d’un cours de dessin que lorsqu’il est réalisé dans le cadre d’un cours de géométrie ; l’inverse est observé pour des élèves faibles : la figure complexe est mieux rappelée dans le cours de dessin qu’elle ne l’est dans le cours de géométrie ; voir : MONTEIL J.-M. – Eduquer et former, perspectives psychosociales, Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble, 1989 ; ainsi que MONTEIL J.-M. – Soi et le contexte, Paris, A. Colin, 1993.

78 – JULO J. – Surfaces features, représentations and tutorial interventions in mathematical problem-solving, European Journal of Psychology of Education, 1990, 5, 3.

79 – On trouvera un exposé de ces choix dans : JULO J. & HOUDEBINE J. – Concevoir de “bonnes” fiches d’activité en mathématiques, Repères Irem, 1992, 8 ; et dans le document de l’IREM de RENNES : Développer l’activité de représentation. Université de Rennes I, 1990.

80 – Nous ne connaissons pas l’origine exacte de cette activité. La version et les résultats évoqués ici sont extraits de : IREM de Rennes – L’apprentimath, Enseignement des mathématiques au niveau V, Université de Rennes I, 1992.

81 – TEULE-SENSACQ P. & VINRICH G. – Lire et comprendre des énoncés de problèmes au cycle des approfondissements (811 ans), Fascicule 1, Réorganisation de données numériques, IREM de Bordeaux, 1992.

82 – JULO J. – Surfaces features, représentations and tutorial interventions in mathematical problem-solving, European Journal of Psychology of Education, 1990, 5, 3.

83 – Dans la recherche consacrée au problème Rencontres, par exemple, l’aide apportée en cas de blocage est une fiche qui propose quatre outils de modélisation différents correspondant aux quatre types de productions que l’on observe pour répondre à la première question du problème. C’est la possibilité de retrouver sa propre “idée” et de la comparer avec d’autres représentations du même problème qui constitue l’apport essentiel de cette aide (voir : IREM de RENNES – Développer l’activité de représentation, Université de Rennes I, 1990).

Table des illustrations

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Titre AIDE A Indique pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse d’après le texte du problème.
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Titre AIDE G
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Titre AIDE E
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Légende Tableau 6.1 – Répartition des élèves qui réussissent le problème des "ficelles" en fonction du nombre d’aides reçues et de l’ordre de présentation de ces aides (les effectifs correspondent aux élèves qui donnent les réponses correctes après une aide donnée).
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© Presses universitaires de Rennes, 1995

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