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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Chapitre 5. Difficultés en mathématiques et représentations des problèmes

Texte intégral

Il ne semble pas – si l’on se réfère à nombre d’observations anecdotiques que l’antipathie à l’égard des mathématiques apparaisse habituellement lorsque les élèves apprennent les activités de base de la manipulation des symboles arithmétiques et algébriques pour additionner, soustraire, multiplier ou diviser. Elle semble plutôt se manifester le jour où le concept d’énoncé du “problème" est introduit pour la première fois : “Jean avait sept pommes, il en donna trois à Joë : combien lui en restaitil ?”. Ou : “Il y a trois ans, Marie était trois fois plus âgée que Stève. Aujourd’hui, elle est deux fois plus âgée que lui. Quel âge ont Marie et Stève ?”.
H.-A. Simon (1982)

1Comment reconnaît-on un élève qui réussit en mathématiques ? Tout simplement au fait qu’il n’échoue pas... Au-delà de la boutade, on peut essayer d’approfondir cette idée. L’un des critères importants de la réussite en mathématiques est la capacité de résoudre des problèmes. D’une manière ou d’une autre, quelles que soient la forme d’enseignement et la pédagogie mises en œuvre, on se retrouve toujours confronté à des problèmes en mathématiques. Or l’existence d’échecs que l’on peut qualifier de ponctuels ou de circonstanciels est inhérente à toute activité de résolution de problèmes. Il est normal de ne pas toujours parvenir à la solution. Mais ce qui est moins “normal” c’est le fait que ces échecs perdent, dans certains cas, leur caractère ponctuel et circonstanciel pour devenir plus ou moins systématiques. On se retrouve, alors, en échec.

2Cette situation, on le sait, a des conséquences nombreuses et fâcheuses à la fois au niveau social (on entre dans la catégorie de “ceux qui sont en échec”), au niveau affectif et émotionnel (sentiment d’infériorité, culpabilisation, ...) mais aussi au niveau cognitif. En effet, la réussite dans les situations de résolution de problèmes est nécessaire à l’acquisition du savoir. Les connaissances mathématiques trouvent leur source dans l’activité de résolution de problèmes mais une activité qui ne conduit jamais à la réussite ne peut engendrer de savoir véritable (même dans les cas où sont expliqués longuement l’erreur commise et “ce qu’il aurait fallu faire” pour réussir). Réussir en mathématiques, c’est donc bien, d’abord, ne pas échouer dans les situations de résolution de problèmes, sinon de manière circonstancielle.

3On peut considérer alors que la question générale de l’échec en mathématiques se ramène, au moins en partie, à la question de savoir pourquoi la fréquence des échecs circonstanciels se met à augmenter dans certains cas. C’est-à-dire : pourquoi certains individus échouent plus souvent que d’autres dans les situations de résolution de problèmes ? Les données psychologiques concernant les processus de représentation du problème que nous avons présentées dans les chapitres précédents conduisent à une première hypothèse : cette augmentation de la fréquence des échecs circonstanciels pourrait être liée à une augmentation de la fréquence des dysfonctionnements relevant de ces processus. L’observation attentive d’élèves et d’adultes en difficulté (ou “en échec”, nous utiliserons indistinctement les deux expressions) montre, effectivement, que leur activité de représentation est caractérisée par un certain nombre de défauts et que ce sont ces défauts qui, dans de nombreux cas, semblent provoquer l’échec. Ils interagissent avec de nombreuses autres caractéristiques de l’activité cognitive mais ils pourraient avoir une responsabilité toute particulière et que l’on a peut-être sous-estimée jusqu’à présent, dans les phénomènes d’échec. L’hypothèse avancée est que ces défauts de l’activité de représentation que l’on observe, loin de correspondre à des carences ou des handicaps importants au niveau des structures intellectuelles elles-mêmes, ne seraient, en fait, que des défauts fonctionnels très liés aux situations particulières auxquelles l’élève est confronté. La perspective adoptée ici est donc bien d’en rester à un niveau d’explication fonctionnelle sans se poser, dans un premier temps, la question des déterminismes plus lointains ou plus généraux de l’échec en mathématiques.

4Dans le cadre d’une telle approche, la question centrale devient celle de la manière dont “se fabrique” l’échec dans des situations particulières et de la manière d’intervenir sur ce processus de fabrication lui-même. Nous nous proposons, dans ce chapitre, de présenter quelques données qui permettent d’étayer cette hypothèse faisant de la représentation des problèmes et des dysfonctionnements qui lui sont spécifiques l’un des lieux privilégiés de fabrication de l’échec en mathématiques.

Les effets de contexte : comparaison entre les “bons” et les “faibles”

5Nous avons vu précédemment (chapitre 2) que le contexte sémantique qui caractérise un problème donné a un rôle important dans la construction de la représentation. C’est lui qui, par le biais des processus d’interprétation, de sélection et de structuration, nous permet d’accéder aux informations pertinentes pour la mise en place de cette représentation. On parle d’effet de contexte pour désigner l’influence que peut avoir une variation de ce contexte sémantique sur la résolution du problème.

6Si deux problèmes peuvent être considérés comme équivalents du point de vue procédural et que l’on observe une différence de performance liée à une différence de contexte, on considérera généralement que l’on est en présence d’un dysfonctionnement au niveau de la représentation du problème. C’était le cas, par exemple, avec les trois versions du problème melange analysées précédemment (chapitre 2). En fait, les choses ne sont pas aussi simples car l’équivalence entre des problèmes est toujours relative à une certaine analyse de ces problèmes. De plus, les connaissances opératoires peuvent, elles-mêmes, être plus ou moins contextualisées et l’effet du contexte peut être dû, dans certains cas, à la difficulté de mettre en œuvre ces connaissances dans un contexte particulier et non à la difficulté de bien se représenter le problème. Dans un grand nombre de cas, cependant, les effets de contexte résultent bien de dysfonctionnements propres aux représentations et ceci est particulièrement vrai lorsque ces effets sont liés à l’intervention de certains indices non pertinents comme dans l’expérience que nous allons présenter.

Analyse d’un effet de contexte : le problème de la bobine

7Les faits qui vont nous intéresser concernent la résolution du petit problème suivant.

Problème de la bobine

Un fil de métal pèse environ 3 grammes par mètre. Combien y a-t-il de mètres de fil dans une bobine pesant 75 grammes ?

Les conditions de l’expérience

  • 50 – SÄLJÖ R. & WYNDHAMN J. – The formai setting as context for cognitive activities. An empirical stu (...)

8Le problème la bobine est présenté par écrit et dans des conditions de classe normales50. Il est en quatrième position dans une fiche de travail qui comporte cinq problèmes en tout (les quatre autres problèmes de la fiche sont des problèmes conduisant à une multiplication).

9Le problème est toujours le même mais il est présenté dans quatre contextes différents.

10– Contexte I : il s’agit du contexte le plus neutre ; la fiche de travail porte seulement comme titre PROBLEMES MATHEMATIQUES et aucun indice particulier n’est fourni dans la consigne.

11– Contexte II : le sous-titre suivant est ajouté sur la fiche de travail :

12PROBLEMES MATHEMATIQUES MULTIPLICATION

13– Contexte III : le même sous-titre figure sur la fiche de travail mais sa prégnance est accentuée :

14PROBLEMES MATHEMATIQUES MULTIPLICATION

15– Contexte IV : la présentation de la fiche de travail est identique à celle du contexte III mais la consigne orale renforce encore la prégnance de l’indice multiplication en remplaçant la phrase neutre “Vous allez maintenant faire quelques problèmes mathématiques...” par la phrase suivante :

“Vous allez maintenant faire quelques problèmes de multiplication. Vous devez présenter vos réponses comme ceci : 8 x 12 = 96 ou comme ceci :Image 10000000000000470000005613C06B12D94968F0.jpg

16Les contextes II, III et IV fournissent donc un indice non pertinent et de plus en plus incitatif par rapport à la résolution du problème (la référence à une multiplication).

17La population étudiée est constituée de 206 élèves suédois d’âge moyen 12 ans. Ces élèves sont répartis en trois groupes en fonction de leur performance habituelle en mathématiques : les bons, les moyens et les faibles.

Les principaux résultats

18Les procédures observées peuvent être classées en trois grandes catégories auxquelles il faut ajouter les absences de réponses :

  • celles qui conduisent à poser l’opération 75/3 et donc au résultat attendu,

  • celles qui conduisent à poser l’opération 3x75 et donc à un résultat incorrect,

  • celles qui conduisent à poser l’opération 3x25 ; celle-ci contient déjà le résultat et est une manière de résoudre le conflit entre le résultat que l’élève pense juste et l’opération fortement suggérée par certains contextes.

19La répartition des élèves sur ces différentes catégories de réponses fait apparaître un effet de contexte très net : quand on passe du contexte I au contexte IV, le pourcentage d’élèves qui posent l’opération 75/3 passe de 75 % à 46 % tandis que le pourcentage d’élèves qui posent l’opération 3x75 passe de 17 % à 38 %.

20Mais le résultat le plus intéressant est celui qui concerne l’importance de cet effet de contexte en fonction du niveau des élèves. Les tableaux 5.1, 5.2 et 5.3 donnent les répartitions sur les différentes catégories de réponses pour chacun des trois groupes pris en compte, les bons, les moyens et les faibles.

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Tableau 5.1 – Répartition en pourcentages du groupe des “BONS” sur les catégories de réponses en fonction du contexte (les effectifs totaux sont indiqués entre parenthèses).

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Tableau 5.2 – Répartition en pourcentages du groupe des “MOYENS” sur les catégories de réponses en fonction du contexte (les effectifs totaux sont indiqués entre parenthèses).

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Tableau 5.3 – Répartition en pourcentages du groupe des “FAIBLES” sur les catégories de réponses en fonction du contexte (les effectifs totaux sont indiqués entre parenthèses).

21Les différences de comportement entre les trois groupes d’élèves sont donc très nettes. Le groupe des bons tient très peu compte de l’indice non pertinent : un seul élève effectue, dans le contexte IV, la multiplication 3x75. Ils sont un peu plus nombreux, cependant, à répondre 3x25 dans les contextes II, III et IV, échappant ainsi au dilemme provoqué par l’indice non pertinent. Dans le groupe des faibles, en revanche, l’effet de l’indice est très marqué surtout dans les contextes III et IV : les élèves sont respectivement 59 % et 69 % à mettre en œuvre la multiplication 3x75. Il faut noter, toutefois, qu’ils sont déjà 43 % à le faire dans le contexte I qui ne contient pas d’indice non pertinent (mais les quatre autres problèmes de la feuille conduisent à faire des multiplications, rappelons-le). Ils sont aussi assez nombreux à ne pas donner de réponse mais peu à répondre 3x25. Le groupe des moyens, tout en ayant une performance globale supérieure à celle des faibles (ils sont 78 % à faire la bonne opération dans le contexte I) apparaît également sensible à l’effet de l’indice : ils ne sont plus que 42 % à répondre 75/3 dans le contexte IV et ils sont aussi nombreux (42 %) à répondre 3x75. En ce qui concerne les contextes II et III, plusieurs s’en tirent, comme dans le groupe des bons, en répondant 3x25.

Que nous apprend cette expérience ?

22Nous avons présenté de manière assez détaillée les résultats de cette expérience car ils nous semblent très significatifs par rapport à ce que sont véritablement les phénomènes d’échec. Il est clair, dans le cas présent, que des élèves qui, potentiellement, savent résoudre le problème (c’est-à-dire disposent des connaissances opératoires nécessaires) échouent en raison du contexte et de l’interprétation qu’ils en font. C’est ce que concluent les auteurs de la recherche : les élèves des trois groupes ont la même compétence au niveau de la maîtrise de l’outil (l’algorithme) mais pas au niveau du décodage des problèmes (en particulier quand ceux-ci ne sont pas totalement “transparents”).

23En termes de représentation, on peut interpréter ainsi les faits mis en évidence. Plus l’élève est en situation d’échec, plus il a de difficulté à interpréter les différents éléments du contexte et à sélectionner les informations pertinentes par rapport à la tâche à réaliser. La représentation est alors structurée par le schéma qui s’impose avec le plus de force, celui qui est mobilisé par les différents indices contenus dans la situation : soit le thème annoncé dans le sous-titre, soit la consigne orale, soit la nature des autres problèmes de la série (celle-ci explique vraisemblablement le comportement des plus faibles dans le cas du contexte I). Le processus de contrôle qui conduit certains élèves (surtout dans le groupe des bons et des moyens) à donner une réponse de compromis (3x25) intervient sans doute peu dans le cas des élèves en difficulté. C’est ainsi tout le processus de construction de la représentation qui se trouve perturbé par un simple détail du contexte qui n’a de rapport direct ni avec l’objet du problème lui-même ni avec les connaissances nécessaires pour élaborer une procédure de résolution.

  • 51 – Cette notion de contrat didactique occupe une place importante dans les travaux actuels sur l’ens (...)

24Notons cependant qu’il est probable, dans le cas de cette expérience, que des phénomènes liés au fonctionnement du contrat didactique sont également en cause51. Cet indice qui détermine l’effet de contexte n’est pas neutre, en effet, du point de vue des relations contractuelles qui règlent les comportements respectifs des élèves et des enseignants : si l’indice multiplication est donné c’est “forcément” qu’il a un sens par rapport à ce qu’attend le maître et, comme élève, je dois “forcément” en tenir compte. Or celui qui est en échec ne gère sans doute pas les termes d’un tel contrat de la même manière que celui qui réussit. Ce dernier va s’en tirer avec la réponse 3x25 alors que le premier offrira moins de résistance à la pression sociale que représente l’indice non pertinent. Toutefois cette différence dans la manière de gérer le conflit cognitif qu’entraîne la présence d’un indice non pertinent ne peut expliquer, à elle seule, le comportement des élèves les plus faibles et il est vraisemblable qu’elle interagisse avec des difficultés relevant directement de la représentation du problème.

La nature des dysfonctionnements et leurs conséquences

25Certaines différences importantes entre ceux qui sont en difficulté et ceux qui ne le sont pas pourraient donc relever de l’activité développée en vue de se représenter le problème. Il existerait des défauts propres à cette activité de représentation que nous commençons à entrevoir ici (l’absence de contrôle dans la sélection des informations en particulier) et auxquels nous allons nous intéresser plus spécifiquement par la suite. Mais ces différences au niveau du fonctionnement cognitif ne sont pas indépendantes de la situation dans laquelle on place l’élève et de ses caractéristiques propres. L’expérience précédente montre bien comment une modification relativement mineure du contexte (renforcée il est vrai par une rupture de contrat) peut entraîner un dysfonctionnement important dans la construction de la représentation du problème.

Défauts et dysfonctionnements

26Une telle approche en termes de dysfonctionnements dans les processus de représentation nous semble fondamentale pour l’analyse des phénomènes d’échec car elle conduit à se centrer sur ce qui se passe dans des situations particulières. C’est là, en effet, que se situe le premier niveau de fabrication de l’échec. C’est quand un individu échoue de manière répétée et plus ou moins systématique dans la réalisation des tâches qu’on lui propose qu’il est considéré comme étant en difficulté. Bien sûr, en même temps que la fréquence de ces échecs circonstanciels augmente, apparaît un certain nombre de défauts de l’activité qui augmentent, à leur tour, la probabilité d’un dysfonctionnement et d’un échec. C’est l’effet circulaire (“boule de neige”) bien connu dans toute analyse des conduites d’échec.

27Ce qui est important, en se plaçant dans une telle perspective, c’est de ne plus considérer ces défauts de l’activité de représentation comme des carences ou des handicaps. La tentation a été forte, pendant longtemps, de les ramener à une cause globale et d’origine structurelle : il y aurait des “différences intellectuelles” importantes entre les individus car certains manifesteraient un retard lié à un déficit originel. On est passé ensuite, progressivement, à une conception plus médicale des difficultés scolaires : certains élèves auraient des “handicaps” ou des difficultés “chroniques” et il faudrait mettre en place des “remédiations”. L’élève en difficulté n’est pas plus quelqu’un de malade que quelqu’un d’inférieur (c’est pourquoi nous évitons, dans ce texte, tous les termes à connotation médicale pourtant très courants actuellement pour parler de l’échec scolaire). Il est essentiel de toujours ramener les difficultés aux situations dans lesquelles elles apparaissent. L’idée de dysfonctionnement, bien qu’évoquant le caractère un peu froid d’une mécanique, semble préférable car elle ne rejette pas toute la faute sur l’élève et suggère l’existence d’un processus complexe qui implique l’activité de l’élève mais aussi la tâche à laquelle il est confronté.

La sous-utilisation des connaissances opératoires

28Ces défauts de l’activité de représentation et ces dysfonctionnements trop fréquents qu’ils engendrent ont des répercussions importantes sur tout le fonctionnement cognitif de ceux qui sont en situation d’échec. Ils conduisent, en particulier, à une sorte de sous-utilisation des connaissances opératoires. Dans de nombreux cas, en effet, celui qui est en échec n’aura pas la possibilité de mettre en œuvre des connaissances opératoires qu’il peut posséder pourtant. Or, ceci a de nombreuses répercussions non seulement au niveau de la performance (et donc du jugement que l’on portera sur ses capacités) mais aussi, et surtout, au niveau de la formation et de la maîtrise des connaissances elles-mêmes. C’est, une nouvelle fois et à un autre niveau, un effet boule de neige qui se met en place, la maîtrise insuffisante de certaines connaissances opératoires conduisant à augmenter la probabilité d’un nouvel échec et donc à perturber un peu plus l’activité de représentation.

  • 52 – Voir par exemple : PAOUR J.-L. – Retard mental et aides cognitives – in : CAVERNI J.-P. & al (eds (...)

29Cette idée de sous-utilisation des connaissances opératoires correspond à une hypothèse plus générale partagée actuellement par certains chercheurs travaillant dans le domaine dit de la remédiation cognitive. Elle postule l’existence d’un décalage souvent important entre ce que l’individu en difficulté est potentiellement capable de faire et ce qu’il fait réellement à un moment donné et dans une situation donnée. L’hypothèse d’un tel décalage soulève des questions délicates sur le plan théorique (celles qui concernent la possibilité de différencier un niveau structurel et un niveau fonctionnel dans le système cognitif ou de différencier ce que l’on a pu appeler la “compétence” et la “performance”). Les manières de concevoir un tel décalage divergent d’ailleurs beaucoup. Pourtant, cette hypothèse conduit, sur le plan pragmatique, à une approche totalement nouvelle vis-à-vis de ceux qui sont en difficulté, y compris d’ailleurs dans le cas de ceux qui sont en très grande difficulté et qui présentent des retards très sévères dans leur développement mental52. L’approche en termes de représentations des problèmes, bien qu’elle ne fournisse qu’une description partielle des processus complexes qui sont à l’origine de ces phénomènes de sous-utilisation des connaissances opératoires (que certains appellent aussi de “sous-fonctionnement cognitif), nous semble d’un grand intérêt pour mieux comprendre comment, en mathématiques, on peut se retrouver enfermé dans une situation d’échec.

L’activité de représentation et ses défauts

30Un moyen pour comprendre mieux la nature des phénomènes d’échec est de procéder, comme dans l’étude précédente, à des comparaisons et à une analyse différentielle de l’effet de certaines caractéristiques de la situation. Un autre moyen est d’étudier directement l’activité que développent ceux qui sont en difficulté. Une observation prolongée et attentive de cette activité permet une autre approche, plus spéculative mais aussi plus globale et plus riche du point de vue de la compréhension de ce qui se passe vraiment “dans la tête” de celui qui échoue. Centrer l’analyse sur l’activité c’est partir de ce qui est observable (les comportements) mais en essayant d’appréhender ce qu’il y a entre les observables c’est-à-dire de reconstituer la logique fonctionnelle de la démarche. Une telle analyse permet une autre approche des processus cognitifs en les prenant dans leur globalité et en se situant plus, cette fois, du côté de l’individu que du côté de la situation.

  • 53 – Les observations auxquelles nous nous référons dans ce chapitre concernent à la fois des élèves e (...)

31Plusieurs recherches de terrain auxquelles nous avons participé se sont intéressées, ainsi, à l’activité que développent des élèves ou des adultes en difficulté quand ils sont confrontés à la nécessité de se représenter une situation plus ou moins complexe, ce que nous appelons ici l’activité de représentation53. Attardons-nous un peu sur une observation effectuée au cours de l’une de ces recherches avant de décrire de manière plus synthétique les défauts caractéristiques de cette activité de représentation et d’avancer quelques hypothèses concernant leur origine.

Analyse d’un exemple : la sortie scolaire

  • 54 – IREM de Rennes – Les difficultés des élèves : des activités, des progrès, Tome 1, Université de R (...)

32L’observation porte sur des élèves de 6e en difficulté et concerne une tâche qui consiste à lire un petit texte et à répondre à un certain nombre de questions portant sur les informations contenues dans le texte54. Celui-ci a été construit de manière à être aussi simple que possible au niveau lexical et au niveau syntaxique (cf ci-contre la sortie scolaire).

33Les élèves observés sont tous considérés comme étant en difficulté à la fois par leur professeur de mathématiques et par leur professeur de français. Ils bénéficient, dans le cadre d’une action expérimentale, de deux heures de soutien par semaine. Au cours de ces séances de soutien, les élèves travaillent toujours par groupe de deux ou trois à partir de fiches d’activité mises au point pour eux. Chaque groupe est suivi de manière continue par un observateur (l’un des membres de l’équipe de recherche) dont la fonction est, en priorité, de recueillir des observations et d’analyser les démarches des élèves mais aussi d’intervenir, dans certains cas, pour débloquer des situations critiques.

La sortie scolaire

On se bouscule pour entrer dans le car, chacun veut être devant, près de la fenêtre. Quand on est tous installés le maître compte : "1, 2, 3... 21". Il en manque 3. En vrai on est tous là, mais le maître n’a pas vu Dudule, allongé sous les sièges à la recherche de bonbons, Lolotte accroupie pour lacer ses souliers et Dédé, coincé par Bouboule qui voulait être à côté de la fenêtre. Le maître recompte. Ça y est, il a tout son monde et c’est parti pour St-Malo : 65 km.

On chante, on crie, on fait des grimaces à ceux qui nous doublent, on a aussi un peu mal au coeur. A 20 km de Rennes un croisement et le chauffeur décide de quitter la direction qu’il suivait pour éviter les embouteillages. Bouboule hurle : "Non ! Non ! Il y a des travaux, la route est coupée dans 5 km, c’est marqué". Mais comme il a un caramel dans la bouche et que de toute façon le chauffeur ne peut pas l’entendre tellement il y a du bruit dans le car... Il tourne à gauche... Et on a dû faire demi-tour.

Enfin la mer, le sable. On mange, du sable aussi parce qu’il y a beaucoup de vent et vite, pour se réchauffer, une petite balle aux prisonniers. Les filles contre les garçons. Comme il y a 4 filles de moins, le maître va dans leur équipe. Et les filles gagnent (forcément avec le maître...). Le maître lui est tout content et il décide de nous payer à tous une glace. A une boule, deux boules c’est trop cher ! Déjà que celle à une boule c’est 3 F !

Il faut rentrer "Au revoir – Merci chauffeur".

34Parmi les neuf questions posées dans la fiche de travail accompagnant ce texte, sept n’ont pas entraîné d’obstacle majeur (elles consistent toutes à extraire une information du texte, cette recherche pouvant nécessiter dans certains cas une lecture très attentive du texte). Deux questions, en revanche, ont provoqué un échec massif et nous allons nous intéresser à l’une d’elles. Il s’agit de la question suivante (toutes les questions sont à choix multiples et proposent trois solutions possibles) :

La distance parcourue en car par les enfants est de :

- 130 km

- 80 km

- 140 km

Une tâche qui fait obstacle

35Donnons, tout d’abord, un aperçu des performances correspondant à cette question. Sur les 23 groupes observés :

36– 7 groupes parviennent à la solution, sans aide et après un temps de recherche et de discussion relativement court (moins de 15 mn en général) ; on notera cependant que la réponse est toujours proposée sous l’impulsion d’un seul élève et qu’elle n’est, le plus souvent, acceptée par les autres membres du groupe qu’à la suite d’arguments d’autorité (dans 2 groupes seulement l’élève qui a trouvé la solution l’explique aux autres) ;

37– 6 groupes se mettent d’accord sur la réponse exacte après une longue recherche (plus de 15 mn) et une discussion intense suscitée par des points de vue très différents ; 4 de ces groupes sont conduits, au cours de la discussion, à représenter graphiquement le trajet ;

38– 10 groupes échouent totalement : ils se mettent d’accord sur une réponse erronée ou abandonnent ; dans ces groupes, l’observateur est intervenu quand le blocage devenait manifeste ; dans 4 groupes, une aide relativement légère (explication verbale avec incitation à faire un schéma ou à corriger celui qui a été fait) suffit pour provoquer une relance du travail qui aboutit après un temps plus ou moins long ; dans les 6 autres groupes, l’observateur doit pratiquement donner la solution sans avoir réussi véritablement à convaincre les élèves.

39Le protocole ci-contre illustre les difficultés rencontrées par certains groupes dans la reconstruction du trajet. On notera, en particulier, certaines caractéristiques de l’activité mise en œuvre pour se représenter ce trajet :

  • la prise en compte d’une information non pertinente (les 20 km parcourus avant la tentative de déviation) qui va contaminer le contenu de la représentation dès le départ et pendant toute la recherche concernant cette question ;

  • l’absence de véritable contrôle au niveau des informations retenues ; les schémas réalisés ne sont pas vraiment discutés ni confrontés au contenu du texte ;

  • l’absence de suivi et de cohérence dans la démarche et dans les idées avancées : la nécessité de prendre en compte le retour qui est affirmée dès le début par un élève (Henri) est ensuite complètement ignorée, même par cet élève : après 30 mn de travail, en effet, il propose comme solution : “65 + 10 = 75 km”.

40Au cours de l’observation réalisée, il apparaît nettement, en outre, que les explications apportées en cas de blocage n’ont que peu d’effet sur la représentation que les élèves se font du trajet parcouru ; et ceci même dans le cas où les explications fournies utilisent un support graphique (un dessin). Ce fait renforce l’hypothèse que les difficultés observées relèvent bien des processus de représentation eux-mêmes et qu’il ne s’agit pas d’une simple insuffisance méthodologique dans la manière d’organiser et de traiter les données (insuffisance que pourrait facilement pallier l’apport d’un outil comme un dessin ou un schéma).

41La sortie scolaire – Protocole d’observation (résumé)

Le groupe est composé de trois élèves : Anne-Sophie, Cécile et Henri

– après un temps de recherche individuelle, une 1ère discussion s’engage, très vite, à propos de l’information "A 20 km de Rennes un croisement..." ; le collège où ils se trouvent est lui-même à 20 km de Rennes et la confusion s’installe ;

– Une première proposition de solution est avancée par Henri : il pense au retour :Image 10000000000000D20000003FB0A985D40C3834D1.jpg

– Cécile conteste les 5 km de déviation : "ils ne les ont pas faits puisqu’ils reviennent au point de départ" ; elle propose de ne pas en tenir compte :

90 – 5 = 85 km

85x2= 170 km

– Cécile propose un schéma :

Image 10000000000002080000004C1D019F1F8B480340.jpg

– Anne-Sophie conteste ce schéma et en propose un autre :

Image 1000000000000127000000AC8493EA64B9206819.jpg

– Cécile et Henri approuvent ce schéma mais chacun propose une solution différente :

Anne-Sophie :

(65 – 20) = 45

45 x 2 = 90

90-10 = 80 km

Cécile :

65 + 20 + 10 = 95 km

Henri :

65 + 10 = 75 km

Après 30 minutes de recherche, la situation est donc complètement bloquée, les élèves se découragent et l’observateur doit intervenir. Il lui faudra expliquer en détail la solution, sans emporter véritablement la conviction des élèves, déçus et qui mettent leur échec sur le compte du "piège" que représente la donnée "20 km".

S’agit-il bien de difficultés liées aux représentations ?

42Les observations précédentes peuvent donc être interprétées, ainsi que nous avons été conduits à le faire, en termes de défauts caractérisant spécifiquement l’activité qui conduit à se représenter la situation en jeu. Mais il faut se demander s’il n’existerait pas d’autres interprétations susceptibles de rendre compte des faits observés ici. Quel rôle joue, par exemple, le fait que les informations nécessaires pour répondre à la question soient données dans un récit ? L’existence d’une difficulté liée à la recherche et au tri des informations pertinentes n’est-elle pas à envisager ? Pour le savoir, nous avons soumis à des élèves de 6e un petit problème qui implique la construction d’une représentation identique mais dans lequel toutes les informations utiles sont données sous la forme d’un énoncé de problème classique. Il apparaît que les difficultés sont les mêmes dans ce cas. Dans une population d’élèves en difficulté, deux élèves sur trois environ échouent dans la résolution du problème (les élèves qui ne sont pas en difficulté réussissent beaucoup plus souvent le problème bien qu’ils soient également assez nombreux à oublier le retour dans le calcul de la distance parcourue). Rappelons, en outre, que ces élèves en difficulté n’ont pas de difficulté pour répondre à des questions posées à propos du texte lorsque celles-ci impliquent seulement une recherche d’informations (par exemple : “A côté de Bouboule il y a : on ne peut pas savoir / Dédé / Dudule”). Ce type d’observations que nous avons pu multiplier nous a conduits à abandonner très vite l’hypothèse que ce sont des difficultés de lecture en tant que telles qui pourraient expliquer les échecs observés.

43Une autre interprétation possible est celle qui ferait référence au raisonnement logique. L’une des caractéristiques de la tâche étudiée par rapport à des tâches de simple recherche d’informations, est la nécessité de mettre en œuvre un traitement relativement complexe de ces informations. Ce traitement est de type numérique mais aussi logique : il faut inférer, à partir des éléments du récit, qu’à la suite des travaux rencontrés sur la route secondaire, le car est revenu à l’endroit où il a quitté la route principale, qu’il a ensuite continué en direction de St-Malo et que le soir il est bien revenu à Rennes. Se pourrait-il alors que les élèves en difficulté échouent parce qu’ils ne parviennent pas à faire ces inférences ? Il est clair, au niveau d’une tâche particulière comme celle-ci, que des dysfonctionnements au niveau de la représentation entraînent d’autres dysfonctionnements à des niveaux différents dont, probablement, celui du traitement des informations au moyen de raisonnements inductifs ou déductifs.

44Mais l’hypothèse d’une déficience du raisonnement logique considéré comme une compétence générale ne nous semble pas compatible avec un fait observé à plusieurs reprises : dans certaines situations, les élèves en difficulté se montrent tout à fait capables de conduire des raisonnements relativement complexes du point de vue des inférences qu’ils nécessitent. Citons, à titre d’exemple, l’énigme suivante proposée aux mêmes élèves.

Trois personnes de trois nationalités différentes habitent les trois premières maisons d’une rue : chaque maison a une couleur différente et chaque personne un métier différent :

A- le Français habite la maison rouge

B - l’Allemand est musicien

C - l’Anglais habite la maison du milieu

D - la maison rouge est à côté de la verte

E - l’écrivain habite la première maison à gauche

Quelle est la nationalité de l’écrivain et qui habite la maison jaune ?

45Les élèves que nous avons observés n’ont pas éprouvé, pour la plupart d’entre eux, de difficulté majeure pour résoudre cette énigme. Notre interprétation est que cette tâche est mieux réussie par les élèves en difficulté que d’autres tâches qui nous semblent pourtant, a priori, plus simples (comme la question sur la distance parcourue par le car dans la sortie scolaire) car elle ne nécessite pas une représentation très élaborée de la situation. Pour parvenir à la solution, il suffit que l’élève analyse un peu systématiquement les informations fournies par l’énoncé et fassent les bonnes inférences. Nous avons observé, d’ailleurs, que les élèves qui tentent de se représenter la situation dans son ensemble, quelquefois en faisant un dessin, réussissent moins bien que ceux qui procèdent en faisant des “raisonnements” successifs (l’impression de difficulté face à ce type de tâche que nous ressentons comme adultes provient également de notre souci d’analyser la situation dans son ensemble avant de commencer à relier de manière logique les informations). Nous avons ainsi retiré la conviction, à la suite de plusieurs observations de ce type, que les élèves en difficulté (de même que les adultes) ont des capacités de raisonnement logique identiques à celles des autres élèves mais que ces capacités sont, le plus souvent, rendues inopérantes par les dysfonctionnements intervenant dans la construction de la représentation. Une telle interprétation va dans le sens de l’idée évoquée précédemment d’une sous-utilisation des connaissances opératoires chez ceux qui sont en difficulté et de l’hypothèse que ce phénomène serait lié, au moins dans certains cas, à des dysfonctionnements mettant directement en cause l’activité de représentation.

La nature des défauts

46Pouvons-nous aller plus loin dans l’analyse de ces défauts de l’activité de représentation qui auraient un rôle déterminant dans l’apparition des situations d’échec en mathématiques ? Quel est leur nature exacte ? Quelle est leur origine ? Nous n’avons, malheureusement, que peu d’éléments pour répondre à ces questions. Nous envisagerons, dans le prochain paragraphe, quelques hypothèses compatibles avec les données que nous possédons à propos du fonctionnement des représentations dans les situations de résolution de problèmes. Auparavant, il est intéressant d’essayer de caractériser un peu plus précisément ces défauts que l’on observe.

  • 55 – Cette affirmation peut surprendre car on met souvent en avant la spécificité du fonctionnement ps (...)

47Un premier fait à noter est qu’il semble exister peu de différence, du point de vue de cette activité, entre les adultes et les plus jeunes55. Les deux différences majeures se situent au niveau du rythme de l’activité et du contenu des représentations :

  • les adultes réfléchissent plus longtemps avant d’agir et ont besoin de se donner des arguments avant de prendre une décision ; les plus jeunes, au contraire, se lancent très vite dans l’action ; mais cette différence de rythme a, paradoxalement, peu d’influence sur les représentations elles-mêmes ;

  • les adultes construisent des représentations dont le contenu est souvent plus riche et plus varié que celui élaboré par les plus jeunes ; ils intègrent de nombreux éléments issus de leurs connaissances pragmatiques et de leur environnement ; mais, ici encore, cette caractéristique a peu d’influence sur l’efficacité de l’activité elle-même car ces contenus enrichis par le vécu perturbent la mise en place de la représentation au moins aussi souvent qu’ils ne la facilitent.

48Les deux caractéristiques qui frappent le plus celui qui cherche à analyser les représentations que se construisent ces élèves ou ces adultes en difficulté sont leur rigidité et leur vulnérabilité. Ainsi que nous l’avons vu dans le cas du protocole analysé précédemment, ces représentations sont à la fois très structurées et très fragiles. On peut identifier, en fait, trois défauts majeurs de l’activité qui semblent à l’origine de ces caractéristiques.

L’instabilité des points de vue

49Au cours de la démarche qui doit les conduire à la solution du problème proposé, on voit les élèves changer brutalement d’idée et de point de vue sans que rien ne justifie ce changement. Ils peuvent être dans la bonne direction, avoir mis en œuvre une procédure qui les rapproche de la solution et puis, soudain, ils arrêtent tout ; quelquefois à la suite d’une réflexion entendue, d’un calcul qu’ils n’arrivent pas à faire ou, le plus souvent, sans raison apparente. Cette absence de “logique” et de linéarité dans l’activité est ce qui frappe le plus et qui amène à qualifier d’instable l’activité développée par ces élèves. On peut être tenté de rapprocher cette instabilité dans l’activité de représentation d’une instabilité générale du comportement assez fréquente chez les élèves en difficulté ainsi que de cette impulsivité qui a été mise en évidence dans de nombreuses études. En fait, l’instabilité des points de vue que nous évoquons ici paraît bien trouver sa source directement dans l’activité cognitive elle-même et dans le fonctionnement des processus de représentation.

L’incohérence des éléments pris en compte

50Un second défaut majeur de l’activité concerne la manière dont l’élève prend en compte les informations dont il a besoin pour construire sa représentation et agir à bon escient. Ici c’est l’impression d’incohérence qui domine : l’élève retient des informations dont il n’a pas besoin par rapport au but qui lui est proposé (des indices non pertinents, en particulier) et en ignore d’autres qui sont essentiels. Il s’attache aussi, très souvent, à des éléments de la situation qui nous semblent superficiels (les traits de surface) et paraît négliger les éléments concernant les caractéristiques plus profondes de cette situation. Le résultat est une représentation qui est incomplète, imprécise et influencée, en outre, par de nombreux éléments parasites. Notons que cette difficulté particulière liée à la prise d’informations est très souvent mise en avant dans les études portant sur les phénomènes d’échec.

L’insensibilité aux contradictions

51Ce qui frappe enfin l’observateur qui s’intéresse à l’activité de représentation dans le cas des élèves en difficulté est l’absence apparente de contrôle dans la démarche et de remise en cause des idées. On a l’impression d’une sorte d’insensibilité aux contradictions et aux incohérences. Le cas le plus décourageant pour l’observateur/tuteur qui veut apporter une aide est quand, donnant une explication ou désignant un élément de la situation qui devrait “à l’évidence” montrer aux élèves que leur interprétation de la situation est incorrecte, il constate n’avoir provoqué aucun doute, aucune prise de conscience ; les élèves abandonnent bien leur solution ou leur direction de recherche mais sans résistance, sans réflexion sur ce qui n’allait pas, sans remise en cause de leur point de vue et donc sans progrès dans la construction de la représentation. On observe le même phénomène quand des éléments nouveaux résultent de leur propre activité et de divers tâtonnements : les contradictions et les incohérences (issues par exemple d’un travail en groupe) ne jouent pas le rôle qu’elles devraient avoir en provoquant, par le biais d’un conflit cognitif, la remise en cause d’une interprétation erronée de la tâche ou d’une représentation inadéquate de la situation.

  • 56 – L’idée la plus importante, à ce niveau, est que les élèves en difficulté ne recourent pas plus qu (...)

52Ces trois défauts de l’activité de représentation – instabilité des points de vue, incohérence des éléments pris en compte et insensibilité aux contradictions – ont été retrouvés dans toutes les recherches que nous avons menées auprès de ceux qui sont en difficulté en mathématiques. Elles ne constituent qu’une description globale des caractéristiques de l’activité et peuvent prendre des formes très différentes suivant les tâches proposées. Elles interagissent, en outre, avec d’autres aspects de l’activité cognitive (les observations réalisées ont montré, par exemple, le rôle important des règles d’action et de la manière dont elles sont gérées par les élèves en difficulté56). Surtout, il reste à expliquer comment peuvent se former de tels défauts.

Quand les dysfonctionnements se multiplient

53Il est raisonnable, dans l’état actuel de nos connaissances, de supposer que ces défauts de l’activité de représentation que nous venons d’évoquer sont de nature fonctionnelle c’est-à-dire résultent directement des dysfonctionnements intervenus lors de la résolution de problèmes antérieurs. Ce serait la répétition de tels dysfonctionnements qui augmenterait peu à peu leur probabilité d’apparition et qui formerait ce qui nous apparaît comme un défaut constitutif de l’activité cognitive. La question qui reste posée est celle de savoir comment tout cela peut arriver. Pourquoi certains vont se retrouver en difficulté et d’autres pas ? Pourquoi la fréquence des dysfonctionnements et des échecs se met-elle à augmenter, dans certains cas, jusqu’à ce seuil critique qui caractérise les situations d’échec ? Une analyse purement fonctionnelle est insuffisante pour répondre à cette interrogation et une approche plus causale, centrée sur certains facteurs ayant un rôle déterminant, est nécessaire pour comprendre ces situations d’échec dans leur ensemble. Nous n’aborderons pas directement, ici, cette vaste question des déterminants de l’échec nous en tenant, ainsi que nous l’avons dit, à une approche fonctionnelle des phénomènes. En restant dans la logique d’une telle approche et d’une analyse en termes de dysfonctionnements, nous pouvons essayer, toutefois, d’aller un peu plus loin que nous ne l’avons fait jusqu’ici dans la recherche de l’origine des situations d’échec et imaginer le scénario suivant.

Un scénario dans lequel interviendrait le hasard

54Si les schémas de problèmes ont effectivement un rôle important dans la mise en place des représentations, ainsi que nous l’avons supposé dans les chapitres précédents, on peut penser qu’ils ont aussi une responsabilité particulière dans l’apparition des phénomènes d’échec. Il est probable que des dysfonctionnements et des échecs répétés perturbent sérieusement la formation de tels schémas et que ces schémas peu élaborés augmentent eux-mêmes la probabilité des dysfonctionnements et des échecs. C’est-à-dire qu’il suffit peut-être d’une série de circonstances et de conditions “favorables” pour que certains se retrouvent avec une mémoire des problèmes plus pauvre que d’autres, étant conduits ainsi à échouer plus souvent.

55Il suffit peut-être, au point de départ, d’une consigne mal comprise, d’un contrat mal explicité ou encore d’une règle que l’élève s’est construite et qui va bloquer tout le processus de résolution. Nous pensons, par exemple, à cet élève de CE2 qui décide que si la question est posée à la fin de l’énoncé du problème il fera une addition mais qu’il fera une soustraction si elle est posée au début. Nous pensons aussi à cette petite fille de 6e qui avait adopté une règle plus subtile encore et qu’il a fallu questionner plusieurs fois pour qu’elle parvienne à l’expliciter totalement : dans un problème “on n’a pas le droit d’utiliser deux fois le même nombre”. Où a-t-elle été chercher cela ? Comment, à partir d’une règle de ce type, aurait-elle pu se construire des représentations performantes et donc des schémas de problèmes utiles ?

  • 57 – Nous évitons d’entrer, ici, dans le grand débat concernant les différences individuelles, leur ex (...)

56En faut-il vraiment beaucoup plus, si certaines conditions se trouvent réunies (qu’elles soient de nature scolaire, familiale, affective, ...), pour fausser tout le mécanisme. Une simple représentation ratée dans certaines circonstances rend plus probable, certainement, le fait que la suivante soit ratée également, puis la suivante... C’est ainsi toute une classe de situations qui ne laissera en mémoire, au mieux, que quelques traces plus ou moins fortuites (une action qui a marché plusieurs fois, un mot qui a frappé, ...) mais pas de schémas élaborés. Bien sûr, l’élève peut repartir “à zéro” et sur de bonnes bases pour une autre classe de situations ; les dysfonctionnements resteront alors localisés et ponctuels. Mais si ce n’est pas le cas, leur fréquence pourra augmenter très vite jusqu’à devenir catastrophique (de la même manière que les climatologues nous assurent que le simple battement d’ailes d’un papillon dans une région du monde peut être à l’origine d’une catastrophe dans une autre région si certaines conditions se trouvent réunies). On aura compris qu’un tel scénario, à défaut d’être fondé sur une théorisation solide, se veut au moins optimiste quant à la nature profonde des situations d’échec et à nos possibilités d’action. En attendant des résultats et des modèles explicatifs plus élaborés concernant l’origine des différences individuelles que l’on observe dans ce fonctionnement cognitif, une telle conception en vaut sans doute bien une autre57.

Une hypothèse plausible : le rôle central de la structuration

57Une hypothèse liée au scénario précédent mais qui peut aussi être prise en compte pour elle-même concerne le rôle particulier du processus de structuration dans la formation de ces défauts de l’activité de représentation qui conduisent à l’échec. Nous avons vu, dans les chapitres précédents, comment cette structuration de la représentation se retrouve souvent à l’origine des échecs circonstanciels qui caractérisent toute activité de résolution de problème. Si les défauts qui caractérisent l’activité de représentation des élèves ou des adultes en difficulté sont liés à la formation de ces connaissances spécifiques que sont les schémas de problèmes, on pourrait attendre des répercussions importantes au niveau du processus de structuration qui s’appuie directement sur ce type de connaissances. Une telle interprétation est, effectivement, plausible. Que ce soit l’instabilité des points de vue, l’incohérence des éléments pris en compte ou l’insensibilité aux contradictions, ils peuvent aisément être interprétés comme le résultat de dysfonctionnements intervenant dans le processus de structuration. La représentation à la fois rigide et vulnérable à laquelle ils conduisent peut être vue comme une représentation structurée par des schémas trop peu nombreux ou trop peu élaborés pour permettre un fonctionnement satisfaisant des processus de représentation dans leur ensemble.

58Dans le cadre d’une stratégie visant à prendre en compte les difficultés de représentation propres à ceux qui sont en échec, il faut donc, vraisemblablement, accorder une attention toute particulière au fonctionnement de ce processus de structuration. On cherchera, tout d’abord, à l’optimiser dans chacune des situations proposées afin de réduire les répercussions d’une mémoire des problèmes trop peu développée. On cherchera également à enrichir cette mémoire elle-même en créant les conditions de la réussite dans chaque problème et en agissant, lorsque cela est possible, directement sur la formation des schémas. En fait, nos savoir-faire actuels en matière d’ingénierie des problèmes ne nous permettent pas, la plupart du temps, de viser des objectifs aussi précis. On ne parvient à maîtriser la formation des schémas, ainsi que nous l’avons vu dans le chapitre précédent, que pour des classes de problèmes limitées et très bien définies. On est loin également, pour la plupart des problèmes, de savoir identifier les schémas qui font défaut et de savoir créer les conditions permettant de combler ces manques. C’est donc l’activité de représentation dans son ensemble qui sera le plus souvent prise en compte dans les démarches d’aide avec le souci de neutraliser autant que possible les dysfonctionnements propres à la situation en jeu et de favoriser autant que possible la mobilisation de schémas susceptibles de structurer la représentation.

Pour empêcher les dysfonctionnements de se multiplier

59L’élément central d’une action didactique qui nous semble fructueuse dans le cas d’élèves ou d’adultes en difficulté est donc la prise en compte des dysfonctionnements propres à chaque problème que l’on propose. Encore faut-il prouver qu’il est possible de lutter contre de tels dysfonctionnements, de les empêcher de se multiplier, d’enrayer cet effet boule de neige qui semble conduire inexorablement certains à l’échec. Ceci revient à prouver qu’on peut provoquer de la réussite même dans le cas de ceux qui sont déjà en situation d’échec. Or, s’il est facile de provoquer des dysfonctionnements et des échecs ainsi que nous l’avons vu au début de ce chapitre, il est beaucoup moins évident de créer des conditions permettant aux plus faibles de mieux réussir dans la résolution d’un problème donné. C’est pourtant là l’objectif à poursuivre si l’on veut vraiment lutter contre les phénomènes d’échec et il faut apprendre à maîtriser ces savoir-faire et ces ingénieries sans lesquelles cette fameuse “pédagogie de la réussite” que l’on met si souvent en avant ne restera qu’une idée généreuse de plus.

60Avant d’évoquer, dans les chapitres suivants, plusieurs aspects de cette action didactique qu’il est possible de mettre en œuvre pour lutter contre les dysfonctionnements liés à la représentation des problèmes, examinons quelques résultats qui paraissent significatifs et encourageants.

Une modalité intéressante : la multipresentation

61L’idée à laquelle correspond cette modalité de multiprésentation est celle d’enrichir le contexte qui caractérise un problème donné en proposant simultanément plusieurs énoncés de ce problème. Une telle modalité a été imaginée et expérimentée, parmi d’autres, en vue de définir des formes d’aide prenant en compte le fonctionnement des représentations dans les situations de résolution de problèmes. Mais elle constitue, également, un argument important du point de vue de la question que nous souhaitons poser ici : est-il possible d’amener plus d’élèves en difficulté à la réussite en intervenant seulement sur la représentation qu’ils se font du problème ? Le principal intérêt de cette modalité de multiprésentation est d’être très peu directive au niveau du processus de résolution lui-même et de ne concerner, à l’évidence, que l’activité de représentation.

Trois versions du problème erreur

62La présente étude concerne le problème erreur déjà évoqué dans le chapitre 3. Trois versions de ce problème sont utilisées ici : celle des CREPES vue précédemment, celle de l’eau sucree (cf ci-dessous) et celle de la fusee (cette version met en scène deux dessins représentant la “même” fusée : le modèle proposé par un professeur de dessin et la reproduction “en plus grand” effectuée par un élève – six mesures sont données et il faut trouver l’“erreur” puis la corriger).

Problème de l’eau sucrée

Pour faire une expérience de chimie, le professeur demande à des élèves de préparer de l’eau sucrée dans plusieurs récipients qui contiennent de l’eau :

Jacques a un récipient qui contient
Pierre a un récipient qui contient
Didier a un récipient qui contient
Isabelle a un récipient qui contient
Benoit a un récipient qui contient
Laurence a un récipient qui contient

6 dl
10 dl
8 dl
20 dl
16 dl
6 dl

d’eau
d’eau
d’eau
d’eau
d’eau
d’eau

Le professeur donne alors le sucre aux élèves et leur dit de s’arranger entre eux pour que l’eau soit aussi sucrée dans tous les récipients.

Jacques met dans son récipient
Pierre met dans son récipient
Didier met dans son récipient
Isabelle met dans son récipient
Benoit met dans son récipient
Laurence met dans son récipient

15g
25 g
20 g
50 g
35 g
15g

de sucre
de sucre
de sucre
de sucre
de sucre
de sucre

Mais l’expérience risque de ne pas marcher car un des élèves a fait une petite erreur : dans son récipient l’eau n’est pas aussi sucrée que dans celui des autres élèves.

Quel élève s’est trompé ?

Quelle quantité de sucre aurait-il dû mettre ?

63Ces trois problèmes sont caractérisés par une forte analogie : la problématique est la même et les valeurs numériques à traiter sont également les mêmes. Seul le contexte sémantique qui sert à définir l’objet du problème (la relation entre les grandeurs et entre les valeurs numériques en jeu) diffère d’un problème à l’autre. Nous parlerons donc ici, par commodité, de trois versions du problème erreur mais cette formulation n’implique aucune hypothèse sur le fait que les élèves puissent ou non les considérer comme telles.

64La situation que nous appelons de multiprésentation consiste à proposer ces trois versions du problème simultanément, l’élève pouvant choisir celle qu’il veut résoudre. L’expérience a été menée avec deux populations différentes : une population d’élèves de 6e identique à celle décrite dans le chapitre 3 et une population de jeunes apprentis.

Résultats concernant les élèves de 6e

6576 élèves ont eu à résoudre le problème erreur dans une situation de multiprésentation avec choix, la consigne étant la suivante : “On te propose 3 problèmes. Tu les lis et tu choisis celui que tu veux résoudre”.

66Leurs résultats peuvent être comparés à ceux d’une population de 98 élèves qui ont eu à résoudre l’une des trois versions du problème en présentation simple. Dans cette condition contrôle, on observe peu de différences entre les trois versions au niveau de la réussite (le critère de réussite est toujours l’exactitude des deux réponses attendues et le temps imparti est de 25 mn) :

version crepes

41 %

version fusee

44 %

version eau sucree

47 %

67La différence entre les deux conditions expérimentales est, quant à elle, très nette :

présentation simple :

44 %

multiprésentation avec choix :

68 %

68Mais le résultat qui va surtout nous intéresser ici concerne la comparaison de deux sous-populations à l’intérieur de chacune de ces conditions : celle des élèves en difficulté et celle des élèves qui ne le sont pas. Ce sont les professeurs de mathématiques des classes concernées qui effectuent la répartition entre ces deux groupes que nous appellerons DIF (“en difficulté”) et NON DIF (le critère pris en compte est celui des résultats habituels en mathématiques et du besoin estimé par le professeur d’une action spécifique de soutien). Le tableau 5.4 permet de comparer l’effet de la condition de multiprésentation pour chacun de ces deux groupes.

groupe NON DIF

groupe DIF

présentation simple multiprésentation avec choix

54 % (69)
82 % (51)

21 % (29)
40 % (25)

Tableau 5.4 – Taux de réussite en pourcentages dans chacune des deux conditions expérimentales pour les élèves du groupe DIF et ceux du groupe NON DIF (les effectifs totaux sont indiqués entre parenthèses).

69L’effet de la multiprésentation est donc net dans les deux groupes. Cette situation permet, en particulier, aux élèves en difficulté (DIF) d’atteindre le taux moyen de réussite pour une population d’élèves de 6e (40 %) alors qu’ils en sont assez loin dans le cas où une seule version du problème leur est proposée (sur 7 élèves un seul réussit la version crepes par exemple).

70L’amélioration de la performance, dans le cas de ces élèves en difficulté, est confirmée par d’autres critères. Ainsi l’exactitude de la réponse à la première question du problème (l’identification du couple ne vérifiant pas la relation) qui semble un bon indicateur de la compréhension du problème est beaucoup plus fréquente dans la condition de multiprésentation : 24 % des élèves donnent une réponse correcte à cette première question en présentation simple et 56 % en mutiprésentation (pour l’ensemble des versions du problème). De même, sur les 25 élèves du groupe DIF, 11 font un tableau dans le cas d’une multiprésentation alors qu’ils ne sont que 3 sur 29 à le faire dans le cas d’une présentation simple.

71Quant aux élèves du groupe NON DIF, ils améliorent aussi nettement leur performance moyenne en situation de multiprésentation : ils sont plus de 8 sur 10 à résoudre l’un des problèmes présentés dans cette situation alors que seulement un peu plus de la moitié résout le problème quand il est présenté seul.

Résultats concernant les apprentis

  • 58 – Résultats extraits d’un document de l’IREM de Rennes : L’apprentimath – Enseignement des mathémat (...)

72Cette seconde population58 est composée de 134 jeunes en formation dans un Centre de Formation d’Apprentis (CFA). Ces jeunes ont entre 16 et 19 ans et ont quitté le collège avec des niveaux scolaires très différents (depuis le niveau SES jusqu’au niveau 3e pour quelques-uns). La plupart ont été en situation d’échec au collège et sont toujours en difficulté dans les disciplines d’enseignement général (mathématiques et français).

73Les mêmes versions du problème erreur ont été proposées dans trois conditions différentes :

  • une condition de présentation simple : chaque jeune n’a qu’une version du problème,

  • une condition de multiprésentation avec choix : cette condition est identique à celle expérimentée auprès des élèves de 6e,

  • une condition de multiprésentation sans choix : les trois versions du problème sont proposées mais cette fois elles doivent être résolues toutes les trois.

74Le tableau 5.5 donne les taux de réussite exprimés en pourcentages pour chacune de ces trois conditions et pour chacune des versions du problème.

Les crepes

L’eau sucrée

La fusée

Trois versions
ensemble

présentation simple multiprésentation avec choix multiprésentation sans choix

83 % (18)
68 % (31)
76 % (21)

57 % (21)
79 % (14)
67 % (21)

63 % (16)
82 % (11)
57 % (21)

67 % (55)
74 %* (58)
86 %** (21)

* deux jeunes ont fait les trois problèmes sans exprimer de choix
** ce total correspond au nombre de jeunes qui ont réussi au moins un problème parmi les trois
Tableau 5.5 – Taux de réussite en pourcentages dans chacune des conditions expérimentales pour la population des apprentis (les effectifs totaux sont indiqués entre parenthèses).

75L’effet global de la condition multiprésentation avec choix est moins net ici que dans le cas des élèves de 6e mais l’examen par version montre que ceci est dû essentiellement à l’une de ces versions, celle des crepes. Le taux de réussite en présentation simple est particulièrement élevé (83 %) pour cette condition et il est plus faible dans la condition de multiprésentation (68 %) ; or cette version est celle qui est le plus souvent choisie (par plus de la moitié des jeunes) et elle a les faveurs, en particulier, des jeunes qui sont le plus en difficulté.

76Pour les deux autres versions, en revanche, on retrouve un effet très net de la situation de multiprésentation avec choix. En outre, les résultats obtenus dans la troisième condition, celle où le jeune doit résoudre les trois problèmes, montrent un progrès très sensible au niveau global : 86 % de réussite pour l’une au moins des trois versions. Il faut noter, pourtant, que 10 jeunes seulement (sur 21) donnent les réponses correctes aux trois versions du problème dans cette condition (4 ne réussissent que deux problèmes et 4 un seul des problèmes). Beaucoup ne semblent donc pas avoir conscience qu’il s’agit de la même tâche et que les trois problèmes relèvent de la même procédure de résolution. Ceci explique vraisemblablement les taux de réussite assez faibles pour chacune des versions, la charge de travail étant plus importante dans cette condition que dans la situation de présentation simple.

Les dysfonctionnements ne sont donc pas inéluctables

77Le fait mis en évidence par ces résultats (qui ne sont pas spécifiques de ce problème ainsi que nous le verrons par la suite) nous semble important du point de vue des liens pouvant exister entre les phénomènes d’échec et le fonctionnement des représentations particularisées. En effet, l’aide apportée par la multiprésentation est l’une des plus neutres que l’on puisse imaginer par rapport à ce qui fait la difficulté profonde du problème erreur : la mise en œuvre de connaissances opératoires liées à la relation de proportionnalité. On peut donc penser, puisque l’effet de la multiprésentation ne se situe pas au niveau opératoire, qu’il concerne bien, de manière spécifique, la représentation que les élèves se donnent du problème. Ces élèves qui réussissent quand ils sont en présence de trois versions du problème et qui auraient échoué dans une situation normale sont donc des élèves qui ont les connaissances opératoires nécessaires pour résoudre le problème mais qui n’ont pas la possibilité de les mettre en œuvre en raison de dysfonctionnements propres aux processus de représentation (ce que nous avons appelé précédemment un phénomène de sous-utilisation des connaissances opératoires).

78Il reste à expliquer ce rôle particulier que joue la modalité de multiprésentation. Comment le fait d’être confronté à trois versions d’un problème peut-il intervenir dans les processus de représentation ? Une première explication met en avant le choix que l’on donne à l’élève : parce qu’il choisit la version sur laquelle il va travailler, l’élève aurait plus de chance d’être en présence d’un contexte sémantique qui lui convient c’est-à-dire qu’il comprend mieux ou qui le motive plus. Ainsi, la moitié des élèves choisit la version crepes, sans doute parce qu’elle renvoie à la réalité la plus familière pour eux (cette raison apparaît souvent dans l’explicitation du choix demandée après la résolution du problème). Pourtant, une telle explication est insuffisante au moins pour deux raisons. D’abord, la version préférée n’est pas nécessairement la mieux réussie ; c’est le cas, en particulier, de la version crepes avec la population des apprentis. De plus, l’effet de la multiprésentation semble plus fort quand l’élève doit résoudre les trois problèmes (condition de multiprésentation sans choix).

  • 59 – A notre connaissance, ce paradigme de multiprésentation n’a pas été utilisé jusqu’ici dans les tr (...)

79Il est donc probable que c’est bien le fait de disposer de plusieurs énoncés du même problème qui est déterminante. Quelques hypothèses peuvent alors être envisagées. On peut imaginer, par exemple, que les processus de sélection des informations et d’interprétation de la tâche fonctionnent mieux en présence des trois versions, le poids d’un contexte particulier et les risques de dysfonctionnement liés à ce contexte étant réduits par rapport à la situation normale. On peut imaginer aussi que la probabilité de mobiliser un schéma de problèmes adapté est plus grande dans la situation de multiprésentation ou encore que la mobilisation d’un plus grand nombre de schémas et une sollicitation plus forte de l’activité de représentation puissent avoir une influence positive sur le processus de structuration. L’idée que, d’une manière ou d’une autre, c’est par le contenu de la représentation initiale que cette modalité particulière influence le processus de résolution paraît, en tous cas, très plausible59.

80On retiendra enfin que cet effet de la multiprésentation bénéficie autant aux élèves qui ne sont pas en difficulté qu’à ceux qui y sont. Les phénomènes de sous-utilisation des connaissances opératoires ne sont donc pas propres à ces derniers et les dysfonctionnements qui sont à leur source sont, très vraisemblablement, de même nature dans les deux cas. Ceci renforce l’hypothèse que c’est seulement la fréquence de ces dysfonctionnements liée à certains défauts spécifiques de l’activité de représentation qui différencie ceux qui “réussissent habituellement” et ceux qui “échouent habituellement”.

81Quelles que soient la nature et l’origine de ces dysfonctionnements, il apparaît clairement qu’ils ne sont pas inéluctables. Ceci ne veut pas dire pour autant qu’il est simple de les neutraliser. N’importe quelle ingénierie et n’importe quelle aide ne sont pas efficaces de ce point de vue. On peut se rappeler, par exemple, l’effet de l’indication méthodologique étudié pour ce même problème erreur (la consigne incitait les élèves à réaliser un tableau – cf chapitre 3). Les résultats montrent qu’un tel effet se retrouve seulement dans le cas d’élèves qui ne sont pas en difficulté ; les autres, les plus faibles, ne bénéficient aucunement d’une telle suggestion dont nous avons vu qu’elle ne constitue véritablement une aide que si la représentation du problème est déjà suffisamment structurée.

82Les perspectives qui s’ouvrent sont donc claires à défaut d’être euphorisantes : c’est au niveau empirique que se joue, pour une part importante, la lutte contre les dysfonctionnements liés à la représentation du problème et l’aide à la constmction de cette représentation passe nécessairement par des ingénieries performantes du point de vue des difficultés particulières que peuvent rencontrer ceux qui risquent le plus d’échouer.

En résumé

83Ce chapitre a surtout pour but d’apporter des arguments en faveur d’une hypothèse sur laquelle nous travaillons depuis plusieurs années : c’est au niveau de la représentation des problèmes qu’il faut rechercher l’une des sources principales des situations d’échec en mathématiques. Dans le cadre d’une telle hypothèse, quelqu’un en échec est d’abord vu comme quelqu’un qui échoue trop souvent et cette fréquence trop élevée des échecs (par rapport aux échecs circonstanciels inhérents à toute activité de résolution de problèmes) est attribuée à des dysfonctionnements dans les processus de représentation. Les défauts que présente à l’évidence l’activité développée par ceux qui ont le plus de difficulté, quand ils doivent se représenter un problème, résulteraient de la multiplication de tels dysfonctionnements. Mais ces défauts de l’activité de représentation augmentent aussi, en retour, la probabilité d’un nouveau dysfonctionnement et d’un nouvel échec dans un problème donné. La formation des schémas de problèmes et le processus de structuration de la représentation pourraient bien être au centre de cette spirale de la non-réussite.

84Notons qu’une telle analyse en termes de dysfonctionnements rejoint, en fait, une conception partagée actuellement par certains chercheurs travaillant sur cette question des fondements cognitifs de l’échec. On serait en présence, dans de nombreux cas, d’une sorte de sous-utilisation des connaissances dont peut disposer l’individu. Une telle formulation renvoie à des questions difficiles au plan théorique et il existe, d’ailleurs, des manières très différentes de concevoir un tel fonctionnement cognitif qui serait “en-deçà” de ce que l’individu est potentiellement capable de faire. Mais cette formulation a au moins le mérite d’ouvrir une brèche dans ce pessimisme latent qui a marqué, de tout temps, notre manière de percevoir ceux qui sont en échec. Si c’est au niveau du fonctionnement en situation que beaucoup de choses se jouent, notre marge de manœuvre n’est peut-être pas aussi étroite qu’on le pense quelquefois.

85Dans le cadre d’une approche fonctionnelle comme celle proposée ici, on cherche à expliquer la manière dont se constituent les situations d’échec mais on ne se prononce pas sur la question des causes c’est-à-dire des facteurs ou des déterminismes plus globaux. Ces facteurs qui contribuent à engendrer une situation d’échec, on le sait maintenant, sont très nombreux et constituent un système complexe dans lequel le fonctionnement cognitif de l’individu n’est qu’une composante qui interagit avec d’autres. Au niveau de l’élève lui-même, les composantes affectives, relationnelles, socio-culturelles sont largement aussi importantes que les composantes intellectuelles et cognitives. Surtout, l’environnement scolaire, familial et socio-économique sont des composantes à part entière de la situation d’échec. Les recherches menées sont encore loin de fournir une description complète de l’ensemble des facteurs qui sont à l’origine des situations d’échec. Le plus urgent, en attendant de mieux connaître l’architecture globale de ce système complexe et fermé dont la vocation est de produire de l’échec, paraît d’ouvrir des brèches et de trouver des entrées qui permettraient de le déstabiliser de l’intérieur.

  • 60 – Les “entrées” envisagées jusqu’ici sont relativement peu nombreuses. Au cours de ces dernières an (...)

86L’entrée par les dysfonctionnements intervenant dans les situations et les tâches particulières est certainement l’une de celles qu’il faut envisager60. Jumelée avec le développement de savoir-faire en matière d’ingénierie des problèmes, elle pourrait constituer, à terme, un nouvel espoir dans la lutte contre ces phénomènes d’échec qui pénalisent les individus mais aussi, nous le voyons de plus en plus clairement, tout le fonctionnement des économies et des sociétés modernes.

Notes

50 – SÄLJÖ R. & WYNDHAMN J. – The formai setting as context for cognitive activities. An empirical study of arithmetic operations under conflicting prémisses for communication, European Journal of Psychology of Education, 1987,2-3.

51 – Cette notion de contrat didactique occupe une place importante dans les travaux actuels sur l’enseignement des disciplines (pour une synthèse voir : JOHSUA S. & DUPIN J.-J. – Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques, Paris, Presses Universitaires de France, 1993). Elle est utile, en particulier, pour interpréter certaines difficultés rencontrées par les élèves dans les situations de résolution de problème (voir par exemple : CHEVALLARD Y. – Sur l’analyse didactique. Deux études sur les notions de contrat et de situation, IREM d’Aix-Marseille, 1988). Pourtant peu de travaux se sont directement intéressés, jusqu’à présent, aux liens qui pourraient exister entre le fonctionnement de ce contrat didactique et l’apparition des situations d’échec.

52 – Voir par exemple : PAOUR J.-L. – Retard mental et aides cognitives – in : CAVERNI J.-P. & al (eds) – Psychologie cognitive, Modèles et méthodes, Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble, 1988.

53 – Les observations auxquelles nous nous référons dans ce chapitre concernent à la fois des élèves en situation d’échec (dans le cadre scolaire ou dans le cadre d’une formation professionnelle) et des adultes dits de “bas niveau de qualification” (dans des stages de pré-formation en particulier). Ces observations ont eu pour cadre plusieurs travaux menés depuis 1980 au sein de l’IREM de Rennes (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de l’université de Rennes I). Une première recherche, suite à la réforme instituant les classes hétérogènes au collège (dite “réforme Haby”), concernait l’aide et le soutien qu’il est possible d’apporter aux élèves de 6e ayant des difficultés en français et en mathématiques. La méthodologie et les résultats de cette recherche de terrain menée pendant quatre ans restent une référence importante pour les actions visant à combattre l’échec dans les premières années du collège (IREM de Rennes – Les difficultés des élèves : des activités, des progrès, Tomes 1 et 2, Université de Rennes I, 1985 ; HOUDEBINE J. & JULO J. – Les élèves en difficulté dans le 1er cycle de l’enseignement secondaire : pour une intervention didactique différenciée, Revue Française de Pédagogie, 1988, 84). L’approche interdisciplinaire, la différenciation des apports, le travail en groupe, le travail par fiches d’activité et par situations-problèmes, l’observation prolongée des élèves, l’analyse précise des tâches et des consignes : toutes ces composantes d’une démarche d’aide dans les apprentissages scolaires, aujourd’hui bien connues, ont été mises en œuvre avec succès par une équipe d’enseignants et de chercheurs particulièrement motivés. L’un des thèmes prioritaires de l’action concernait la lecture et c’est l’étude des obstacles rencontrés dans plusieurs tâches de compréhension de textes (y compris des énoncés de problèmes) qui a conduit l’équipe à accorder une attention particulière à la manière dont ces élèves en difficulté se représentent la situation évoquée dans un texte. Plusieurs recherches ont poursuivi, dans des directions variées, le travail accompli. Certaines se sont centrées sur l’étude d’autres populations caractérisées par des difficultés plus ou moins importantes en mathématiques : celles des lycées professionnels, des centres de formation d’apprentis, des stages de pré-formation. Une importante recherche a été consacrée, en particulier, à l’expérimentation de situations-problèmes visant à développer l’activité de représentation chez ces jeunes et ces adultes ayant des difficultés dans les apprentissages de base en mathématiques et en français (IREM de Rennes – Développer l’activité de représentation, Université de Rennes I, 1990). D’autres études, enfin, ont été consacrées plus spécifiquement à la résolution de problèmes en mathématiques et aux moyens d’aider les élèves à se représenter ces problèmes (diverses formes de gestion informatisée de ces aides ont été expérimentées en particulier). Plusieurs de ces actions et des résultats obtenus sont évoqués dans ce chapitre et les suivants.

54 – IREM de Rennes – Les difficultés des élèves : des activités, des progrès, Tome 1, Université de Rennes I, 1985.

55 – Cette affirmation peut surprendre car on met souvent en avant la spécificité du fonctionnement psychologique des adultes et la nécessité de modalités de formation adaptées à ce fonctionnement. Il est vrai qu’en apparence, les adultes ne se comportent pas comme les élèves mais au niveau du fonctionnement cognitif lui-même, les données dont nous disposons semblent plutôt montrer une remarquable similitude. PAOUR affirme également : “Le sous-fonctionnement s’observe en effet à tous les niveaux de développement et à tous les degrés d’intelligence et constitue vraisemblablement un mode de fonctionnement somme toute relativement fréquent et adapté chez l’adulte normal. Il est d’ailleurs intéressant de remarquer qu’à la diversité de ses causes (émotion, dépendance sociale, préjugés, nouveauté de la situation, représentation de soi, rapport parental ou hiérarchique, vieillissement, ...) correspond une surprenante homogénéité de ses manifestations. Ainsi retardés mentaux, élèves en échec scolaire, adultes en difficulté ponctuelle ou personnes âgées expriment, dans des contextes et à propos de contenus évidemment différents, les mêmes types de difficultés fonctionnelles.” (PAOUR J.-L. – Retard mental et aides cognitives – in : CAVERNI J.-P. & al (eds) – Psychologie cognitive, Modèles et méthodes, Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble, 1988).

56 – L’idée la plus importante, à ce niveau, est que les élèves en difficulté ne recourent pas plus que les autres à des règles d’action mais qu’ils gèrent différemment ces règles et surtout qu’ils contrôlent moins leur pertinence pour le problème à résoudre. Cette idée est développée dans : HOUDEBINE J. & JULO J. – Les élèves en difficulté dans le 1er cycle de l’enseignement secondaire : pour une intervention didactique différenciée, Revue Française de Pédagogie, 1988, 84.

57 – Nous évitons d’entrer, ici, dans le grand débat concernant les différences individuelles, leur existence, leur nature et leur origine. Pour une synthèse des données actuelles sur cette question, on pourra consulter : REUCHLIN M. – Les différences individuelles à l’école, Paris, Presses Universitaires de France, 1991. Quant au poids des facteurs de nature sociologique, notre intention n’est pas du tout de le minimiser, d’autant que l’évolution des idées conduit plutôt à rapprocher les points de vue : “Un point essentiel du débat sur l’échec scolaire est de savoir s’il faut traiter ce sujet sur le plan individuel ou sur le plan collectif. Aujourd’hui heureusement il s’est fait une relative unanimité pour ne plus considérer le psychologique et le social comme des alternatives ; l’accent est plutôt mis sur la compréhension des interactions entre ces deux dimensions. Ce qui n’enlève rien au fait que, selon le spécialiste, le regard se focalisera – sans qu’il y ait nécessairement une volonté de réduction – sur l’une ou l’autre de ces dimensions.” (PIERREHUMBERT B. – Egalité et différences à l’école – in : PIERREHUMBERT B. (ed) – L’échec à l’école : échec de l’école ?, Lausanne, Delachaux et Niestlé, 1992). C’est bien à une “focalisation” sur le fonctionnement cognitif que nous convions le lecteur sans vouloir, pour autant, réduire toute la question de l’échec à ce qui se passe à ce seul niveau. De plus, la notion même de dysfonctionnement telle que nous la concevons contient à la fois du psychologique et du social et pourrait aussi être vue comme une manière d’analyser certains des processus sociologiques qui sont à la base des phénomènes d’échec.

58 – Résultats extraits d’un document de l’IREM de Rennes : L’apprentimath – Enseignement des mathématiques au niveau V, Université de Rennes I, 1992.

59 – A notre connaissance, ce paradigme de multiprésentation n’a pas été utilisé jusqu’ici dans les travaux sur la résolution de problèmes et, dans l’état actuel de nos propres recherches, il est très difficile d’avancer une interprétation élaborée des effets observés. A partir de résultats concernant un autre problème proposé en multiprésentation, nous avons insisté sur le rôle que pourrait avoir un phénomène de stabilisation de la représentation (voir : JULO J. – Surfaces features, representations and tutorial interventions in mathematical problem-solving, European Journal of Psychology of Education, 1990, 5-3). En reprenant la métaphore chimique que nous avons utilisée pour décrire un mode d’intervention possible des schémas de problèmes dans la construction de la représentation (chapitre 4), on pourrait dire que la multiprésentation favorise un processus de type concrétion ou précipité en associant dans un même mélange divers éléments d’interprétation mobilisés par les différents contextes en jeu dans la situation. Intuitivement, l’idée est celle de quelque chose qui “prend”, d’une solution qui se stabilise et qui permet ainsi à la représentation de se structurer dans de meilleures conditions. Quant à traduire cette idée intuitive sous la forme d’une hypothèse théoriquement fondée, ceci est un autre problème...

60 – Les “entrées” envisagées jusqu’ici sont relativement peu nombreuses. Au cours de ces dernières années, c’est surtout l’idée de “programme de remédiation” qui a été au cœur de la réflexion dans ce domaine avec tous les risques associés à une telle démarche (voir conclusion). D’autres approches directement liées au développement de la didactique des disciplines comme secteur de recherche commencent à être envisagées mais elles sont trop rares (voir par exemple : PERRIN – GLORIAN M.-J. – Questions didactiques soulevées à partir de l’enseignement des mathématiques dans des classes “faibles”, Recherches en Didactique des Mathématiques, 13, 1/2, 1993).

© Presses universitaires de Rennes, 1995

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