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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Chapitre 4. Avons-nous une mémoire des problèmes ?

Texte intégral

1La perspective choisie dans cet ouvrage est celle d’une analyse de l’activité de résolution de problème en termes de processus, c’est-à-dire d’une approche qui privilégie les aspects les plus fonctionnels de cette activité et qui cherche surtout à rendre compte des dysfonctionnements propres à sa dynamique. Une telle perspective est surtout intéressante en raison de l’éclairage nouveau qu’elle apporte lorsque l’on s’intéresse, ainsi que nous le ferons par la suite, aux phénomènes d’échec et aux démarches d’aide qu’il est possible de mettre en œuvre. Il n’est pas question, pour autant, de nier l’intérêt et la nécessité d’une autre perspective : celle de l’analyse du fonctionnement cognitif en termes de connaissances. Les connaissances constituent, avec les informations disponibles dans notre environnement, le matériau à partir duquel et sur lequel agissent les processus. Elles orientent, pour une part importante, le fonctionnement de ces processus et interagissent sans cesse avec les données que nous extrayons de l’environnement pour déterminer notre manière d’agir.

2Dans les théories psychologiques actuelles, les connaissances sont souvent décrites comme des objets plus ou moins permanents et organisées en structures cognitives relativement stables qui composent ce que l’on appelle couramment notre mémoire. Mais les questions précises concernant la nature et la formation de ces objets qui sont à la base de notre activité mentale et qui nous donnent cette capacité formidable d’apprendre sont, pour le psychologue, les plus difficiles à étudier. Ainsi, à la question “quelles sont les connaissances qui interviennent dans la mise en place de la représentation du problème ?”, on pourrait répondre “toutes” car l’activité mentale impliquée dans la résolution d’un problème fait appel à plusieurs sortes, très différentes, de connaissances. De même que l’on sait maintenant que les différentes aires du cerveau ne correspondent pas à des spécialisations strictes du point de vue fonctionnel, on peut penser que notre base de connaissances n’est pas vraiment partagée en secteurs spécialisés dans tel ou tel aspect de l’activité mentale. Il est vraisemblable toutefois que, pour une fonction donnée, certains types de connaissances ont un rôle privilégié. Ainsi, on peut supposer que deux sortes de connaissances ont un rôle particulièrement déterminant dans la construction d’une représentation adéquate du problème. Il s’agit, en premier lieu, de toutes les connaissances directement liées aux outils de modélisation ; ces connaissances concernent des objets culturels existant en dehors de notre propre expérience et que nous avons la possibilité de nous approprier. Mais il existe aussi, très probablement, une autre sorte de connaissances qui contribue à déterminer la manière dont nous nous représentons un problème donné : celles qui sont liées directement aux situations particulières que nous avons rencontrées auparavant et à l’expérience représentationnelle que nous avons acquise à leur propos. Le terme de schéma de problèmes est assez largement utilisé, à l’heure actuelle, pour parler de ces connaissances. Ce terme a quelquefois un sens relativement étroit renvoyant à des théories précises qui se sont développées dans les années 70 et à l’utilisation qu’en ont fait les chercheurs en intelligence artificielle. Nous l’utilisons ici, comme le font beaucoup de psychologues, dans le sens plus large de traces laissées en mémoire par les situations rencontrées précédemment et organisées en objets structurés ayant un certain nombre de propriétés caractéristiques.

3Les schémas de problèmes pourraient avoir un rôle très spécifique dans le processus d’interprétation que nous avons décrit précédemment (chapitre 2) et surtout dans le processus qui va permettre à la représentation de se structurer. Il faut se garder, toutefois, de les considérer comme LE facteur déterminant tant les processus en jeu dans la compréhension du problème sont complexes et tant le statut même de ces objets est encore incertain. Nous partirons de deux questions distinctes pour donner un aperçu des idées actuelles concernant cette notion de schéma de problèmes : comment pourraient se former de telles connaissances ? sous quelle(s) forme(s) pourraient-elles exister en mémoire ?

Transfert analogique et formation de schémas

4Si les schémas de problèmes se forment, comme on le suppose, à partir des problèmes particuliers que l’on résout, on devrait pouvoir mettre en évidence un tel processus de formation en observant comment on passe d’un problème à un autre. Dans le cas de problèmes qui n’ont que peu de parenté, il est probable que nous n’observions rien d’intéressant ; mais si ces problèmes ont quelque chose en commun, s’il existe, d’une manière ou d’une autre, une analogie entre eux, il est possible que celle-ci soit prise en compte et que c’est à ce moment-là que se constituent les connaissances spécifiques qui serviront, par la suite, à se représenter un autre problème plus ou moins analogue. En fait, ce genre d’étude est plus difficile à mener qu’il n’y paraît et ce n’est que depuis peu que des travaux significatifs se développent dans ce sens. L’existence de phénomènes de transfert lors de la résolution successive de plusieurs problèmes est connue depuis longtemps mais les processus cognitifs qui sont à la base de ces phénomènes restent, quant à eux, difficiles à appréhender.

Quelques précisions sur le transfert analogique

5En psychologie de l’apprentissage, on parle de transfert chaque fois que la réalisation d’une tâche donnée a un effet sur la réalisation d’une tâche subséquente. La notion de transfert ne renvoie donc pas à un processus cognitif particulier mais à un constat empirique lié à un certain paradigme expérimental : on observe ou non un effet dû à la succession de deux tâches ayant un lien entre elles (cet effet pouvant être positif ou négatif).

6Dans les travaux concernant la résolution de problèmes, la méthode utilisée pour étudier les phénomènes de transfert est relativement simple : elle consiste à regarder si la résolution d’un problème donné a un effet sur la résolution d’un autre problème (ou de plusieurs) présenté peu de temps après. Rappelons-nous l’expérience des problèmes de Luchins décrite dans le chapitre 2. Les procédures qui permettent de résoudre la plupart des problèmes de la série sont très proches en ce sens que la suite des opérations qui les caractérise est la même. Or les sujets qui découvrent cette proximité tendent à automatiser leur manière de résoudre les différents problèmes c’est-à-dire qu’ils transfèrent systématiquement quelque chose de l’expérience acquise en résolvant un problème (ou plusieurs) dans l’activité développée pour résoudre un nouveau problème. Mais quelle est exactement la nature de ce “quelque chose” ? On peut être tenté de dire que ce qui est transféré c’est la solution commune aux problèmes que l’on exprimera, par exemple, sous la forme B-A-2C (A, B et C désignant les trois récipients rappelons-le). Mais en termes d’analogie, cette relation traduit-elle ce qu’il y a de commun entre les différentes procédures de résolution (la suite des opérations qui permet d’obtenir le résultat demandé) ou plutôt une sorte de schéma reflétant la ressemblance entre les problèmes du point de vue de leur objet ? Cette distinction est importante pour déterminer de quelle nature peuvent être les processus cognitifs qui déterminent le transfert observé : ces processus se situent-ils du côté de la procédure et de l’action ou plutôt du côté de la représentation ou bien, encore, les deux sont-ils tellement liés qu’il est impossible de les traiter séparément ?

7Ce n’est pas tout : on suppose dans cette analyse qu’il existe un traitement explicite de l’analogie par les sujets (que celle-ci concerne le versant action ou le versant représentation de l’activité de résolution). Mais est-ce bien le cas ? Lorsqu’on interroge les sujets qui transfèrent “quelque chose” d’un problème à l’autre dans l’expérience de Luchins (et qui tombent donc dans le piège final), la plupart disent qu’ils n’ont pas l’impression d’avoir vraiment explicité l’analogie et qu’ils n’ont pas, en tous cas, formalisé la méthode de résolution ou modélisé les problèmes pour les résoudre (au moyen de la formule B-A-2 C par exemple). Ils ont plutôt l’impression qu’à chaque nouveau problème ils “pensent directement” à le résoudre de la même manière que les précédents. Ceci ne nous éclaire pas beaucoup sur les processus en jeu mais une telle observation est bien compatible avec une interprétation en termes de prototype telle que nous l’avons évoquée dans le chapitre 2. C’est le premier problème résolu, avec sa procédure spécifique, qui servirait d’ancrage pour aborder le suivant et l’interpréter. Le fait de résoudre ce second problème et sa forte ressemblance avec le premier entraîneraient alors une modification du prototype en renforçant sa disponibilité et son effet structurant (sans que l’on sache exactement de quelle manière, peut-être par une simple transformation du prototype initial ou par la combinaison des deux problèmes résolus dans une nouvelle sorte de schéma).

  • 41 – Pour une présentation synthétique de ces travaux voir : CAUZINILLE – MARMECHE E. – Apprendre à ut (...)
  • 42 – NOVICK L.-R. & HOLYOAK K.-J. – Mathematical problem solving by analogy, Journal of Experimental P (...)

8Avec cette expérience de Luchins, nous sommes donc dans un cas extrême du point de vue du transfert analogique car on ne sait pas vraiment s’il repose sur un traitement explicite de l’analogie existant entre les problèmes. Les expériences actuelles recourent à un autre paradigme qui ne simplifie pas l’étude des processus en jeu mais qui a le mérite d’être beaucoup plus centré sur ce traitement de l’analogie et sur l’activité mentale qui permet sa prise en compte dans une véritable situation de résolution de problème (ce que ne sont pas les problèmes de Luchins). Dans ces expériences, le sujet est confronté à un premier problème (appelé problème-source) dont on lui donne la solution accompagnée éventuellement d’explications ; il est ensuite confronté au problème-cible qui est caractérisé par une relation d’analogie plus ou moins complexe avec le problème-source. On analyse alors comment la résolution de ce second problème est influencée par le problème précédent et par les conditions dans lesquelles il a été présenté. Plusieurs expériences de ce type ont été menées depuis 1980 et ont permis de recueillir des résultats intéressants à propos du fonctionnement des schémas dans la résolution de problèmes41. Celle qui va nous intéresser maintenant a la particularité de mettre en jeu des connaissances mathématiques et donc de soulever des questions intéressantes quant aux statuts respectifs des schémas, des outils de modélisation et des connaissances opératoires dans le transfert analogique. L’étude complète s’appuie sur deux expériences et la prise en compte de plusieurs variables en vue d’expliquer comment des sujets adultes utilisent l’analogie qui existe entre un problème-source et un problème-cible pour résoudre ce dernier puis généraliser ce qu’ils ont ainsi appris à un troisième problème sensiblement différent des deux premiers. Nous ne décrivons, ici, qu’une partie de l’étude et des résultats expérimentaux42.

Résoudre le problème Andrew par analogie

9Le problème qui est au centre de l’étude est le suivant. Il s’agit du problème-cible dans l’expérience que nous allons évoquer.

Problème Andrew

Les membres de l’orchestre de la West High School travaillent d’arrachepied afin d’être prêts pour la fête annuelle de l’école. Tout d’abord ils essayent de marcher en rangs de 12, mais Andrew se retrouve tout seul pour fermer la marche. Le responsable de l’orchestre est ennuyé parce que cela ne fait pas bien d’avoir un rang composé d’une seule personne et, de plus, Andrew n’est pas content. Pour résoudre ce problème, le responsable demande aux membres de l’orchestre de se mettre par 8. Mais Andrew se retrouve encore tout seul. Même quand l’orchestre marche en rangs de 3, Andrew est exclu. A la fin, exaspéré, celui-ci propose au responsable qu’ils se mettent par 5. Il a raison. Cette fois tous les rangs sont complets et il n’est plus tout seul. Sachant qu’il y a au moins 45 musiciens sur le terrain, mais moins de 200, combien y a-t-il d’étudiants dans l’orchestre de la West High School ?

1075 étudiants d’une université américaine ont eu à résoudre ce problème et 42 ont donné la réponse exacte au bout du temps imparti (15 minutes).

11Les résultats qui nous intéressent concernent le lien existant entre la résolution de ce problème-cible et celle du problème du jardin qui leur a été présenté auparavant avec sa solution.

Problème du jardin

M. et Mme Renshaw pensent à la façon dont ils vont disposer les plants de végétaux dans leur nouveau jardin. Ils sont d’accord sur le nombre total de plants à acheter, mais pas sur le nombre de chaque sorte. M. Renshaw veut avoir seulement quelques espèces de végétaux et 10 de chaque sorte. Mme Renshaw veut plus d’espèces différentes de végétaux et donc elle suggère d’en avoir seulement 4 de chaque sorte. M. Renshaw ne partage pas cette idée parce que si quelques-uns des plants ne prennent pas, il en restera peu de chaque sorte. Ils se mettent donc d’accord pour avoir 5 plants de chaque espèce. Leur fille fait remarquer, à ce moment, qu’il y a encore de la place pour 2 plants supplémentaires dans le jardin mais qu’alors il n’y a plus le même nombre de chaque espèce. Pour y remédier, elle suggère d’acheter 6 plants de chaque espèce. Tout le monde est satisfait de cette idée. Etant donnés ces renseignements, quel est le plus petit nombre de plants de végétaux que les Renshaw pourront avoir dans leur jardin ?

Solution du problème du jardin

Puisqu’au départ, M. et Mme Renshaw sont d’accord sur le nombre total de plants à acheter, 10, 4 et 5 doivent tous les trois être des diviseurs de ce nombre, quel qu’il soit. Par conséquent, la 1ère chose à faire est de trouver le plus petit nombre qui est divisible par ces 3 nombres : c’est 20. Donc le nombre initial de plants de végétaux que les Renshaw pensent acheter peut être n’importe quel multiple de 20 (c’est-à-dire 20, 40, 60, 80, etc). Mais ensuite ils décident d’acheter 2 plants supplémentaires ; donc le nombre total de plants qu’ils finissent en fait par acheter doit être un multiple de 20 augmenté de 2 (c’est-à-dire 22, 42, 62, 82, etc.). Cela signifie que 10, 4 et 5 ne seront plus des diviseurs du nombre total de plants. Finalement, le problème dit qu’ils se mettent d’accord pour acheter 6 plants de chaque espèce ; donc le nombre total de plants doit être divisible par 6. Le plus petit nombre total de plants qui est divisible par 6 est 42. C’est donc la solution.

12Ce problème-source était présenté parmi quatre problèmes très différents les uns des autres. La consigne demandait aux sujets d’analyser et de comprendre la solution proposée pour chacun d’eux sans préciser lequel leur servirait ultérieurement ni à quoi il servirait.

Comment les sujets explicitent l’analogie entre les problèmes

13Après la résolution du problème andrew, il est demandé aux sujets de mettre par écrit les “ressemblances” qu’ils voient entre les deux problèmes jardin et andrew, à la fois au niveau des problèmes eux-mêmes et au niveau de la manière de les résoudre. Ces productions écrites sont codées de la manière suivante (en fait, seules les réponses portant sur la manière de résoudre les problèmes ont pu être exploitées car les sujets ne semblent pas comprendre, d’après ce qu’observent les auteurs, ce qu’ils doivent faire quand on leur demande de décrire les ressemblances qui existent entre les problèmes et non plus entre les manières de les résoudre – ce fait est intéressant à noter) :

  • si la réponse explicite complètement l’analogie qui existe entre les deux procédures (en s’appuyant notamment sur la notion mathématique de PPCM – “plus petit commun multiple”), elle est classée dans la catégorie “bonne explicitation” ;

  • si la réponse n’explicite qu’une partie de l’analogie, (et ne fait pas référence en particulier au PPCM), elle est classée dans la catégorie “explicitation incomplète” ;

  • toutes les autres réponses relèvent de la catégorie “pas d’explicitation”.

14Notons que ce codage traduit à la fois l’analogie entre les deux problèmes telle que la perçoit le sujet mais aussi la capacité d’expliciter cette analogie d’un point de vue mathématique et donc le niveau de mobilisation de certains outils dans le processus de résolution (en particulier l’outil PPCM). Notons en outre, que cette mobilisation peut intervenir soit au moment de la résolution de andrew soit au moment où le sujet doit expliciter l’analogie qu’il voit entre les problèmes (les auteurs de l’étude ont cependant de bonnes raisons de supposer que le premier cas est le plus probable).

15Les effectifs correspondant à chacune de ces catégories de réponses retenues sont les suivants :

bonne explicitation :

24 sujets

explicitation incomplète :

22 sujets

pas d’explicitation :

29 sujets

La résolution du problème-cible

16Il est intéressant, tout d’abord, de regarder combien de sujets de chacune des trois catégories ci-dessus trouvent la solution du problème ANDREW :

bonne explicitation :

16/24 (67 %)

explicitation moyenne :

14/22 (64 %)

pas d’explicitation :

12/29 (41 %)

17Le lien entre la capacité d’analyser mathématiquement l’analogie entre les deux problèmes et la résolution du problème-cible est donc relativement faible. On pouvait attendre, en particulier, que les sujets qui ont vu que les deux problèmes mettent en jeu le même outil mathématique (ceux du groupe “bonne explicitation”) résolvent facilement andrew. Or il n’en est rien : un tiers d’entre eux ne trouve pas la solution du problème.

18Examinons maintenant le transfert de procédure entre les deux problèmes. Combien de sujets, dans chacun des groupes, mettent en œuvre une procédure analogue à celle décrite pour le problème-source pour résoudre andrew (avec succès ou non) ?

bonne explicitation :

21/24 (88 %)

explicitation moyenne :

14/22 (64 %)

pas d’explicitation :

8/29 (28 %)

19Le lien est beaucoup plus net ici. Les sujets qui ont cherché à transférer la procédure proposée pour le problème-source sont aussi, en majorité, ceux qui sont capables d’expliciter l’analogie entre les deux problèmes sous une forme mathématique.

20Un dernier résultat à prendre en compte est celui-ci : parmi les 21 sujets de la catégorie “bonne explicitation” qui ont transféré la procédure décrite pour le problème-source, seulement 14 parviennent à la solution du problème andrew c’est-à-dire parviennent à adapter la procédure pour ce nouveau problème.

En quoi consiste le transfert observé ?

21On observe donc bien, dans cette expérience, un phénomène de transfert analogique qui se traduit par le fait que la résolution du problème-cible (andrew) est influencée par le problème du jardin et par la solution proposée pour ce problème-source. Ainsi, 43 sujets au total tentent de résoudre ANDREW au moyen d’une procédure analogue à celle décrite pour jardin. L’idée des auteurs était de montrer que ce phénomène de transfert de procédure est lié à l’élaboration, par le sujet, d’un “schéma abstrait de solution” et le critère pris en compte est la capacité d’analyser mathématiquement l’analogie entre les deux problèmes (à partir de la notion de PPCM). Un tel lien entre le phénomène de transfert et la mise en œuvre de l’outil mathématique paraît effectivement exister : sur les 43 sujets qui transfèrent, 35 sont capables de faire, soit complètement soit partiellement, une analyse mathématique de l’analogie qui existe entre la procédure décrite pour jardin et celle qui permet de résoudre andrew.

22Mais quel lien existe-t-il entre l’élaboration de ce “schéma abstrait de solution” et la construction d’une représentation opérationnelle du problème andrew ? Si nous nous intéressons aux 21 sujets qui sont capables d’expliciter mathématiquement l’analogie entre les deux problèmes et qui essaient, en outre, de transférer la procédure décrite pour le problème du jardin, nous observons que le tiers d’entre eux (7 sujets) ne parvient pas à résoudre ANDREW. Il est raisonnable de supposer, pourtant, que ces sujets ont non seulement compris la procédure décrite mais ont su, en outre, l’analyser d’un point de vue mathématique et analyser de ce même point de vue l’analogie qui existe entre les deux problèmes. Or ces sujets qui ont une idée très claire quant à la manière de résoudre le problème andrew (ils ont acquis un “schéma abstrait de solution” correspondant à ce type de problèmes ainsi que le supposent les auteurs) ne le résolvent pourtant pas.

23On peut faire l’hypothèse, alors, que ces sujets échouent parce qu’ils ne parviennent pas à se construire une représentation opérationnelle du problème ANDREW ; ils savent quel outil mathématique mettre en œuvre pour résoudre ce problème mais ne parviennent pas à opérationnaliser leur représentation au moyen de cet outil et du schéma de solution qu’ils ont élaboré. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’un outil de modélisation n’est pas suffisant, en lui-même, pour permettre à la représentation de se structurer et de s’opérationnaliser. Nous observons ici que même associé à un schéma de solution élaboré à partir d’un problème analogue, il reste souvent insuffisant.

24Un autre résultat permet d’ailleurs de penser qu’une telle interprétation est plausible :

  • 3 sujets parmi ceux qui explicitent mathématiquement l’analogie entre les deux problèmes ne cherchent, d’aucune manière, à transférer la procédure décrite pour JARDIN (un sujet échoue dans la résolution de andrew mais les deux autres le résolvent avec une procédure différente de celle décrite pour le problème-source) ;

  • inversement, 8 sujets parmi ceux qui se sont avérés totalement incapables d’expliciter l’analogie entre les deux problèmes, essaient de transférer la procédure et 3 d’entre eux réussissent à résoudre ANDREW de cette manière.

25Il semble donc bien exister un décalage important entre la capacité d’élaborer ce que les auteurs appellent un “schéma abstrait de solution” et la construction d’une représentation opérationnelle du problème ANDREW.

26En fait, dans le cadre d’une interprétation centrée sur la manière dont les sujets se représentent le problème andrew, trois cas semblent devoir être différenciés :

  • le premier cas est celui des sujets qui se construisent une représentation spécifique pour le problème andrew, c’est-à-dire une représentation qui n’a pas de lien direct avec le problème jardin et la procédure suggérée ; que ces sujets soient capables ou non d’expliciter l’analogie qui existe entre les deux problèmes et qu’ils mobilisent ou non l’outil mathématique pour décrire cette analogie n’a pas d’incidence sur cette représentation ;

  • le second cas est celui des sujets qui se construisent une représentation du problème andrew prenant en compte le problème jardin et sa solution mais sans mobiliser d’outil mathématique et donc indépendamment de tout processus de modélisation au sens où nous l’avons défini précédemment ; ils transfèrent la procédure décrite indépendamment de tout schéma abstrait de solution ;

  • le troisième est le cas standard auquel s’intéressaient en priorité les auteurs de l’étude ; c’est celui des sujets qui prennent en compte dans leur représentation du problème andrew le schéma abstrait de solution qu’ils ont pu élaborer à partir du problème-source et de l’outil mathématique mobilisé (la notion de PPCM) ; la construction d’une telle représentation implique, nécessairement, un processus de modélisation tel que celui décrit dans le chapitre précédent.

27Dans chacun de ces cas, la représentation construite peut conduire ou non à la solution du problème.

La spécificité des schémas de problèmes

28L’idée la plus naturelle pour expliquer les phénomènes de transfert que l’on observe dans le domaine de la résolution de problèmes est bien celle qui est à la base de cette expérience concernant le problème andrew : à partir de la procédure qui permet de résoudre un problème donné, on se fabriquerait une sorte de canevas ou de moule que l’on pourra utiliser pour résoudre un problème analogue. Plus ce canevas est abstrait, plus il aura de chances de pouvoir être adapté au nouveau problème car moins les différences entre celui-ci et le problème analogue risquent de devenir des obstacles au transfert ; si, en particulier, la mise en place d’un tel canevas peut s’appuyer sur la mobilisation d’une connaissance générale (une notion mathématique par exemple), elle en sera d’autant plus performante. Une autre idée à propos de ces canevas appelés ici des “schémas abstraits de solution” est qu’il n’est sans doute pas indifférent que la procédure de départ (celle qui devra être transférée) soit élaborée par l’individu lui-même dans le cadre d’une véritable activité de résolution de problème ou qu’elle soit seulement montrée en donnant la solution du problème-source comme c’est le cas dans l’expérience décrite.

29Cette idée que le versant action de notre fonctionnement cognitif puisse s’appuyer sur de tels objets de connaissance a été développée depuis longtemps en psychologie (et avant par des philosophes tels que Kant). Elle a même conduit un théoricien comme Piaget à l’hypothèse que ce serait à partir de tels objets (les “schèmes d’action”) que se formerait l’ensemble des connaissances opératoires dont nous pouvons disposer à un moment donné. Une expérience comme celle que nous venons de décrire permet de penser que ces schémas situés du côté de l’action correspondent, effectivement, à une réalité psychologique mais qu’ils ne sont pas les seuls en jeu. Non seulement il existerait des processus spécifiques de la représentation des problèmes ainsi que nous l’avons vu dans les chapitres précédents, mais il existerait aussi des connaissances propres à la construction de cette représentation. Ce sont de telles connaissances que l’on désigne ici sous le terme général de schémas de problèmes.

30Les résultats obtenus à propos du problème andrew ne permettent pas de faire d’hypothèse quant à la nature exacte de ces connaissances spécifiques qui expliqueraient que certains sujets parviennent à se le représenter de manière performante et d’autres non. Les faits mis en évidence permettent de penser, toutefois, que les schémas de problèmes ne se forment pas suivant la même logique que les connaissances qui se situent du côté de l’action. Si de tels schémas étaient liés de manière forte et constitutive aux connaissances opératoires et aux outils de modélisation, on ne comprendrait pas pourquoi des sujets qui, non seulement ont mobilisé un outil mathématique adéquat, mais ont élaboré un schéma de solution adapté au problème à résoudre ne réussissent pas à se construire une représentation structurée et opérationnelle de ce problème. Il existe un décalage évident entre la capacité d’élaborer un tel schéma de nature opératoire et la capacité de se donner une représentation performante du problème.

31Il se pourrait alors qu’une situation de transfert analogique comme celle étudiée ici conduise, en fait, à la formation de connaissances de plusieurs sortes : certaines de type “schéma abstrait de solution” et d’autres de type schéma de problèmes mais il reste alors à comprendre le mécanisme de formation de ces dernières, leur nature et leur mode d’organisation en mémoire, c’est-à-dire presque tout...

Quelle mémoire pour les problèmes ?

32L’étude de la formation des schémas dans le cas particulier des situations de résolution de problèmes n’en est donc qu’à ses débuts. Qu’en est-il de ce que nous savons concernant leur nature et leur forme mnémonique ? C’est ce que nous nous proposons de voir maintenant en commençant par la présentation de quelques données plus générales sur la notion de schéma elle-même.

La notion de schéma dans l’étude de la mémoire

  • 43 – La première utilisation explicite de la notion de schéma en psychologie est attribuée à BARTLETT (...)

33Cette idée de connaissances qui pourraient se présenter sous la forme de schémas a été développée dès 1930 par un psychologue s’intéressant au fonctionnement de la mémoire et travaillant sur la manière dont les connaissances mémorisées nous servent dans les situations naturelles, de “tous les jours”. Cependant, il faudra attendre le milieu des années 70 pour que l’idée soit reprise et précisée à la fois par des informaticiens travaillant dans le domaine de l’intelligence artificielle (en particulier celui de la reconnaissance des formes), des psycholinguistes étudiant les questions de communication et de compréhension des récits ainsi que par des psychologues s’intéressant à la mémoire sémantique43.

L’exemple de la compréhension des récits

34Donnons, tout d’abord, l’idée de base qui est relativement simple. Quand on nous raconte une histoire ou que nous lisons un récit, nous n’avons, généralement, pas besoin d’analyser chaque élément de l’histoire ou du récit pour comprendre de quoi il est question. Rappelons-nous, par exemple, le texte de G. Pérec cité dans le chapitre 1. Quand l’auteur décrit, dans les deux premières phrases, la disposition du rez-de-chaussée où se trouvent l’appartement de Mme Marcia, son magasin, la loge de la concierge et l’entrée de service, nous avons très vite une idée assez précise de cette disposition. Or, cette représentation ne résulte pas seulement des informations plutôt succinctes données par l’auteur ni des concepts que l’on peut mobiliser pour comprendre chaque élément de la description (rez-de-chaussée droit, loge de la concierge...). Elle résulte surtout de l’expérience acquise à partir des immeubles que nous connaissons et cette connaissance que nous possédons des “rez-de-chaussée d’immeuble” pourrait bien se présenter sous la forme d’un schéma c’est-à-dire d’une connaissance mobilisée en bloc et servant à donner rapidement une signification aux informations fournies par l’auteur. Si nous n’avons jamais vu d’immeuble ni jamais lu auparavant des descriptions détaillées d’immeubles, nous ne disposerons pas d’un tel schéma et il est peu probable que nous puissions comprendre la disposition décrite.

  • 44 – Exemple cité dans : BADDELEY A. – La mémoire humaine, Théorie et pratique, Grenoble, Presses Univ (...)

35Ces connaissances particulières qui existeraient sous la forme de cadres ou de canevas ne concernent pas seulement la représentation des objets mais aussi celle des événements qui sont évoqués dans un récit. La phrase suivante, par exemple, n’est compréhensible que si nous avons un schéma correspondant à la suite des événements aller diner au restaurant : “Nous avons pris un poulet tandoori au Taj Mahal, hier soir. Le service était lent et nous avons failli manquer le début de la pièce”. Nous ignorons peut-être ce qu’est “un poulet tandoori” et ce qu’est le “Taj Mahal” ; de plus, nous n’avons aucune information sur le lieu et sur le moment de la journée où se situe l’action ; pourtant nous comprenons parfaitement que le récit évoque un dîner dans un restaurant44.

36L’idée que toute une part des connaissances que nous possédons à propos des objets et des événements habituels de notre environnement soit organisée sous la forme de ces objets particuliers que l’on appelle des schémas s’est ainsi progressivement imposée.

Les caractéristiques des schémas

37Une conception qui a longtemps prévalu, en particulier chez les informaticiens, est de considérer les schémas comme des ensembles organisés de variables. Chaque variable constituerait une case du schéma dont le contenu dépendrait du contexte particulier dans lequel le schéma est mobilisé. Les variables seraient reliées entre elles par des relations constituant la partie fixe du schéma ; c’est ce réseau relationnel qui permettrait de remplir certaines cases pour lesquelles nous ne disposons d’aucune information dans un contexte donné (nous pourrions ainsi donner des valeurs “par défaut” à certaines variables – par exemple dans la phrase “l’homme but le café” le schéma que l’on a de cet événement nous conduit à supposer que le café est chaud alors qu’aucune information n’est donnée à ce propos). Cette manière de concevoir la notion de schéma est très pratique pour la construction de systèmes en intelligence artificielle ; elle permet de décrire précisément certains schémas particuliers et de les représenter dans des programmes informatiques capables, comme nous, de répondre à des questions concernant les situations correspondant à ces schémas ou de comprendre des histoires qui évoquent ces situations sans en expliciter complètement toutes les caractéristiques. Le principal inconvénient de cette manière de concevoir les schémas est de privilégier une sorte de schéma parmi toutes celles qui existent vraisemblablement : celle qui se présente sous une forme relationnelle et abstraite.

38La tendance actuelle est de prendre la notion de schéma dans un sens plus large et de chercher à décrire les différentes formes que peuvent prendre ces connaissances. Les deux idées principales qui sont retenues pour caractériser les schémas sont alors les suivantes :

  • les schémas seraient des objets structurés mobilisés sous la forme de blocs indissociables (mais pas nécessairement disjoints ni exclusifs : un même élément pourrait appartenir à plusieurs schémas),

  • les schémas auraient une fonction assimilatrice : ils constitueraient des mécanismes actifs de reconnaissance et d’assimilation des informations.

Les schémas de problèmes

39Il existe des arguments, ainsi que nous l’avons vu dans le chapitre 2, pour donner une place importante à la notion de schéma dans l’analyse des processus de résolution de problèmes. Plusieurs travaux menés au cours de ces dernières années ont tenté de préciser en quoi pouvaient consister de tels schémas de problèmes. Pour cela il est possible, par exemple, de demander à des sujets de classer des problèmes (en les regroupant en fonction de leurs ressemblances ou en définissant des catégories) ou bien de construire des énoncés à partir de trames de problèmes, ou encore de résoudre des problèmes dans des conditions particulières (problèmes impossibles à résoudre ou contenant des données ambiguës par exemple). La conception la plus fréquente, dans ces recherches, est celle qui fait référence à la structure des problèmes.

Schémas et structures de problèmes

40La prise en compte de la structure des problèmes dans l’analyse des processus de résolution a constitué une étape décisive pour la compréhension de ces processus. Il est apparu, en effet, que de nombreuses difficultés rencontrées dans la maîtrise de certains types de problèmes relèvent moins des aspects opératoires eux-mêmes (la structure de la solution) que des caractéristiques relationnelles de ces problèmes. Des recherches ont ainsi été menées en vue d’identifier ces classes de problèmes qui sont caractérisées par une structure relationnelle particulière et qui, en outre, sont pertinentes du point de vue du fonctionnement cognitif.

  • 45 – Ces exemples sont extraits de la typologie proposée par RILEY M.-S., GREENO J.-G. & HELLER J.-I.  (...)

41Le champ des problèmes relevant de l’addition et de la soustraction, par exemple, est apparu d’une extraordinaire complexité. On a découvert qu’en dehors des techniques opératoires elles-mêmes, de très nombreux facteurs liés aux caractéristiques du problème interviennent pour déterminer le fait qu’un problème de type additif est compris ou non. Ainsi, les problèmes suivants correspondent à quatre classes différentes45.

Joe avait 3 billes. Puis Tom lui a donné 5 billes. Combien de billes a Joe maintenant ?

Joe a 8 billes. Tom a 5 billes. Combien Joe et Tom ont-ils de billes ensemble ?

Joe a 8 billes. Tom a 5 billes. Combien Joe a-t-il de billes de plus que Tom ?

Joe a 3 billes. Tom a 8 billes. Que doit faire Joe pour avoir autant de billes que Tom ?

  • 46 – WILLIS G.-B. & FUSON K.-C. – Teaching children to use schematic drawings to solve addition and su (...)

42L’hypothèse qui a été avancée, alors, est que les différences de réussite que l’on observe entre de telles classes de problèmes seraient dues à la performance des schémas correspondant à chacune de ces classes, certaines étant plus difficiles en elles-mêmes ou moins familières (c’est-à-dire moins prises en compte dans l’apprentissage). On a ainsi cherché à simuler la manière dont pourraient fonctionner de tels schémas correspondant à des structures de problèmes et on a envisagé, très vite, des applications possibles d’une telle approche dans l’enseignement. L’idée est généralement d’amener les élèves à différencier les classes de problèmes et les structures qui les caractérisent en leur fournissant un “mode de représentation” adapté. Dans le cas des problèmes additifs, on a pu proposer, par exemple, le formalisme utilisé par les chercheurs pour décrire la structure des problèmes ; ainsi pour le problème “Joe avait des billes. Il en a donné 5 à Tom. Maintenant Joe a 3 billes. Combien avait-il de billes ?”, on apprend aux élèves à utiliser le “schéma” suivant46 :

43Toutefois, de telles applications paraissent prématurées tant que nous savons si peu de choses sur la manière dont se forment les schémas de problèmes. En outre, cette conception dans laquelle le schéma est considéré comme un objet correspondant à la structure relationnelle d’une classe de problèmes semble beaucoup trop restrictive.

Tous les schémas correspondent-ils à des classes de problèmes ?

44L’analyse des apprentissages conceptuels en termes de classes de problèmes n’en est qu’à ses débuts. Il est certain qu’une telle approche conduira à prendre en compte les difficultés spécifiques de certains problèmes dont nous n’avons encore aucune conscience. Il n’est pas certain, en revanche, qu’elle conduise à des progrès décisifs au niveau de notre connaissance des processus impliqués dans la représentation du problème. Et ceci pour une raison simple : ces schémas qui correspondent à des classes de problèmes bien identifiables en termes de structures ne sont vraisemblablement pas les seuls à intervenir dans la construction de cette représentation. Ils pourraient même ne constituer qu’une toute petite partie de notre mémoire des problèmes.

  • 47 – BRISSIAUD R. – La lecture des énoncés de problèmes – in : INRP – Comment fontils ? L’écolier et l (...)

45Prenons l’exemple du problème suivant et des résultats obtenus lors d’une expérience47.

Problème du zoo

Une école de 75 élèves veut organiser une sortie. A ce moment de l’année, il y a dans la caisse de l’école 525 F. De plus, le conseil municipal donne 20 F par élève. Pour le transport, il faut 2 cars et le prix de location d’un car est de 965 F. La visite du zoo coûte 50 F.

Y a-t-il assez d’argent pour la sortie ?

46Cet énoncé se caractérise par une ambiguïté à propos de l’une des données : “la visite du zoo coûte 50 F”. Est-ce 50 F par élève ou pour l’ensemble du groupe ? Sans information supplémentaire concernant la nature exacte de la visite, les deux interprétations sont possibles. Si nous supposons que 50 F est le prix de la visite pour chacun des élèves, le coût total de la sortie est alors de 5 680 F, ce qui dépasse très largement le montant de la somme disponible pour cette sortie : 2 025 F. Dans une expérience auprès d’élèves de CM2, on observe, effectivement, que seulement 25 % d’entre eux interprètent la donnée ambiguë dans le sens “50 F par élève” ; les autres résolvent le problème en considérant que 50 F est le prix de la visite pour tout le groupe (la dépense totale est alors de 1 980 F).

47Mais que se passe-t-il, maintenant, si on change le montant de la recette ? Un second énoncé expérimenté indique qu’il reste dans la caisse de l’école 4 150 F (au lieu de 525 F). La somme disponible pour la sortie est alors de 5 650 F et cette fois 63 % des élèves interprètent 50 F comme étant le prix de la visite du zoo pour chaque élève (les élèves pris en compte pour le calcul de ces pourcentages sont uniquement ceux qui ne font pas état de l’ambiguïté existant à propos de la donnée “50 F”). Ce résultat surprenant conduit à penser que l’interprétation de la donnée ambiguë est liée, au moins pour une part, à une connaissance particulière que possèdent les élèves et à laquelle ils se réfèrent au moment où se met en place leur représentation du problème : “dans un problème de type recettes/dépenses comme celui-ci, le montant des recettes et celui des dépenses doivent s’équilibrer à peu près et être peu différents l’un de l’autre”. C’est effectivement ce qui justifie, habituellement, la question posée et les calculs à effectuer dans les problèmes scolaires : la détection d’un écart peu important. Il est donc remarquable que chez des élèves relativement jeunes, en l’absence de toute intention didactique et vraisemblablement sans que ces élèves en aient vraiment conscience, nous puissions observer l’intervention d’une connaissance concernant spécifiquement ce type de problèmes.

48Une hypothèse plausible est que cette connaissance a la forme d’un schéma de problèmes mais on voit ici que ce schéma ne correspond pas à une classe de problèmes aisément définissable. Les problèmes de recettes/dépenses ne sont pas caractérisés par une structure relationnelle bien définie qui pourrait constituer la base du schéma. Il s’agit plutôt d’un genre de problèmes que l’élève a rencontré plusieurs fois et le schéma intègre certainement des caractéristiques qui concernent autant le contexte sémantique et l’allure générale du problème que sa structure.

49Il en est de même, probablement, pour la plupart des problèmes-pièges que nous avons analysés dans le chapitre 2. Que ce soit l’idée de concentration dans le problème melange eau/vin ou l’idée de points de rencontre à déterminer dans le problème de la MOUCHE ou encore l’idée de carré dont il ne faut pas sortir dans le problème des 9 points, il semble difficile de supposer que les schémas de problèmes qui sont à la base de ces structurations de la représentation correspondent à des classes de problèmes définies en tant que telles. Quant à l’absence complète de schéma susceptible de structurer notre représentation du problème des fausses PIECES (pour la plupart d’entre nous), elle ne peut pas s’expliquer, non plus, en termes de classe de problèmes avec laquelle nous pourrions être plus ou moins familiarisés.

D’autres sortes de schémas de problèmes

50Les schémas de problèmes ne se structurent donc pas nécessairement de manière rationnelle et la performance d’un schéma n’est pas directement liée au caractère plus ou moins abstrait des liens que nous percevons entre les problèmes. On a pu avancer l’hypothèse, pourtant, que la maîtrise d’un domaine donné dépendrait de la qualité structurale des schémas dont nous disposerions ; des expériences dans lesquelles on demande de classer des problèmes montrent, en effet, que ceux qui connaissent bien un domaine (les experts de ce domaine) prennent en compte la structure “profonde” des problèmes (c’est-à-dire celle qui différencie les classes de problèmes à un haut niveau d’abstraction) alors que les novices ont plutôt tendance, quant à eux, à prendre en compte des indices de surface liés, par exemple, au contexte sémantique. Mais rien ne prouve, pour autant, que cette capacité d’analyser de manière abstraite l’analogie qui existe entre des problèmes ait un rapport avec les schémas que ces experts utilisent pour se représenter les problèmes quand ils ont à les résoudre (rappelons-nous les résultats de l’expérience décrite au début de ce chapitre à propos du problème ANDREW). De nombreux faits conduisent à penser, au contraire, que cette intuition dont semblent capables ceux qui maîtrisent bien un domaine pourrait correspondre à des schémas de problèmes très performants mais pas nécessairement très abstraits et ni très logiques comme on l’imagine souvent.

51Il se pourrait, par exemple, que de nombreux schémas soient de nature prototypique, c’est-à-dire qu’un ensemble de problèmes ayant des caractéristiques communes (celles-ci pouvant être très diverses) soit représenté en mémoire par un cas typique. Nous avons vu dans le chapitre 2 que c’est vraisemblablement la mobilisation d’un tel prototype qui provoque la structuration de la représentation dans un problème comme celui de la mouche et que c’est aussi la formation d’un schéma de cette sorte qui est induite dans l’expérience de Luchins.

52On peut même aller plus loin en imaginant que ces schémas de problèmes ne correspondraient pas vraiment, au niveau cognitif, à des objets en tant que tels. Des éléments très différents et très parcellisés seraient mémorisés au fur et à mesure que nous résolvons des problèmes et c’est seulement au cours de la recherche d’un problème nouveau et en fonction des éléments pris en compte par notre interprétation des données que le schéma se formerait (en utilisant une métaphore chimique, on pourrait voir les choses comme une sorte de phénomène de concrétion : des éléments indépendants s’assemblent, sous certaines conditions, pour former un corps ou un précipité qui n’existait pas auparavant). La performance du schéma mis en œuvre dépendrait surtout, alors, du nombre d’éléments mobilisés et de la nature des liens qui, auparavant, ont pu se constituer entre eux (ces éléments pouvant être de nature très différente, liés aussi bien au contexte sémantique qu’à la procédure de résolution ou à la structure relationnelle). Une telle conception revient, en fait, à assimiler la mobilisation d’un schéma au processus de structuration lui-même.

En résumé

  • 48 – On désigne quelquefois, par cet anglicisme, le processus global qui permet de mobiliser et de met (...)

53La mémoire que nous avons des problèmes déjà rencontrés a certainement un rôle décisif dans la manière dont nous nous représentons un nouveau problème à résoudre. Cette mémoire est complexe et son exploration commence tout juste. C’est l’idée de schéma de problèmes qui ouvre sans doute le plus de pistes actuellement à la fois du point de vue de la recherche et du point de vue des applications dans le domaine de l’aide à la résolution de problèmes. La fonction principale des schémas de problèmes serait de permettre le fonctionnement du processus de structuration. Nous avons vu, précédemment, que ce processus est au cœur de l’activité de représentation ; il est le noyau central de notre compréhension du problème et la souche à partir de laquelle les processus d’opérationnalisation, de modélisation et de contrôle de la représentation peuvent se développer. Une hypothèse plausible est alors, qu’en dernier ressort, ce pourrait être ces schémas de problèmes qui permettent Vinstanciation de connaissances plus générales et décontextualisées dans une situation donnée, c’est-à-dire leur accommodation à ce qui fait la spécificité de la situation48. Non seulement le caractère plus ou moins accessible de telles connaissances générales (par exemple des heuristiques ou des outils de modélisation) mais aussi leur caractère plus ou moins opérationnel seraient liés à la formation de tels schémas.

54Nous savons peu de choses concernant la forme exacte que pourraient avoir ces schémas de problèmes et la manière dont ils pourraient être organisés en mémoire. Ce qui semble admis, à l’heure actuelle, c’est que les schémas de problèmes se forment à partir des différents problèmes auxquels nous sommes confrontés, des représentations que nous nous en faisons pour les résoudre et des analogies que nous percevons entre eux. Plusieurs sortes de schémas existent vraisemblablement, ceux qui correspondent à une classe de problèmes caractérisée par une structure relationnelle particulière ne constituant qu’une petite partie de ceux qui peuvent se former. Les schémas de problèmes sont des objets structurés mais qui ne doivent pas, pour autant, être assimilés systématiquement à des structures de problèmes. Ces schémas peuvent très bien correspondre, par exemple, à des problèmes typiques. Il n’est même pas certain, d’ailleurs, qu’il faille penser aux schémas comme à des “objets” ayant une existence au sein de nos structures cognitives. D’autres formes de mémorisation de l’expérience acquise sont certainement à envisager et des modes de récupération de cette expérience dans lesquels c’est le processus de structuration lui-même qui créerait le schéma méritent sans doute d’être étudiés.

55Du point de vue de l’action didactique, la principale certitude sur laquelle on peut s’appuyer est le fait que la qualité des schémas de problèmes dont nous disposons à un moment donné est liée à la qualité des représentations que nous avons été amenés à nous construire auparavant. Si ce sont les schémas qui déterminent, pour une part importante, la représentation que nous nous faisons d’un problème donné, c’est certainement, en retour, la nature de cette nouvelle représentation particularisée qui va contribuer le plus à définir la forme des schémas dont nous disposerons à l’issue de ce problème. Deux questions importantes à la fois sur le plan théorique et sur le plan pratique doivent, alors, être évoquées avant de clore ce chapitre.

56Quelles relations existe-t-il entre les schémas de problèmes et les outils de modélisation ? Nous avons vu dans le chapitre précédent que ce ne sont pas les outils de modélisation qui sont à la base de la compréhension du problème, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas, en tant que tels, de fonction dans la structuration de la représentation. Mais que se passe-t-il lorsqu’un ensemble de problèmes conduit à mettre en œuvre plusieurs fois le même outil de modélisation ? Il est probable, alors, que les schémas mobilisés par le processus de structuration soient influencés eux-mêmes par l’outil ; mais ce lien nouveau conduit-il à la constitution d’un schéma plus abstrait intégrant les modèles construits au cours de la résolution des problèmes ou consiste-t-il simplement en un lien associatif qui permettra de mobiliser l’outil dès que le schéma sera lui-même mobilisé ?

  • 49 – La notion de schème a considérablement évolué depuis la présentation et l’utilisation qu’en a fai (...)

57Et de la même manière, quelles relations peut-il exister entre les schémas de problèmes et les connaissances opératoires ? C’est là une des questions théoriques cruciales à propos de la nature des schémas. Il existe, en effet, une autre notion, proche de l’idée de schéma : celle de “schème d’action”. Cette notion a été développée principalement par Piaget et reprise par plusieurs théoriciens49. Un schème d’action est aussi un objet structuré qui renferme une partie de l’expérience acquise à propos d’un ensemble de situations particulières. Il a aussi une fonction assimilatrice qui permet l’interprétation et la structuration d’informations concernant des situations nouvelles auxquelles l’individu doit s’adapter. Il a surtout, dans la conception piagétienne, une fonction opératoire importante : c’est dans l’action que se forme le schème et dans le schème que se trouve la source de nouvelles actions. Faut-il alors supposer que les schémas de problèmes intègrent progressivement des connaissances opératoires et des schémas de solution constituant ainsi ces schèmes d’action que décrit Piaget ou, au contraire, les schémas de problèmes et les connaissances opératoires se retrouvent-ils seulement associés de manière fonctionnelle en restant autonomes sur le plan des structures cognitives ?

Notes

41 – Pour une présentation synthétique de ces travaux voir : CAUZINILLE – MARMECHE E. – Apprendre à utiliser ses connaissances pour la résolution de problèmes : analogie et transfert, Bulletin de Psychologie, 1990, 399.

42 – NOVICK L.-R. & HOLYOAK K.-J. – Mathematical problem solving by analogy, Journal of Experimental Psychology, Learning, Memory and Cognition, 1991, 17/3.

43 – La première utilisation explicite de la notion de schéma en psychologie est attribuée à BARTLETT (BARTLETT F.-C. – Remembering : A study in experimental and social psychology, Cambridge, Cambridge University Press, 1932). Le renouveau de la notion est datée précisément de l’année 1975 avec la parution de trois articles qui présentent des concepts très voisins, ceux de “cadre”, de “schéma” et de “script” (MINSKY M. – A framework for representing knowledge – in : WINSTON P.H. (ed) – The psychology of computer vision, New York, Mc Graw Hill, 1975 ; RUMELHART D.E. – Notes on a schéma for stories – in : BOBROW D.G. & COLLINS A. (eds) – Représentation and understanding, New York, Academic Press, 1975 ; SCHANK R.C. – Conceptual information processing, Amsterdam, North-Hilland, 1975). On trouvera une présentation claire et une analyse critique de l’utilisation de cette notion de schéma pour rendre compte de la manière dont nous comprenons un récit dans : FAYOL M. – Le récit et sa construction. Une approche de psychologie cognitive, Lausanne, Delachaux & Niestlé, 1985. S’opposant à cette conception classique de la notion de schéma, une autre conception a été développée récemment dans le cadre de l’approche connexionniste. Cette conception du fonctionnement cognitif que nous avons déjà évoquée se différencie assez radicalement des théories de l’activité mentale vue comme un “traitement d’unités symboliques” et conduit à concevoir le schéma non plus comme un objet ou une case vide qui existerait a priori dans notre mémoire mais plutôt comme le résultat, à un moment donné et dans un contexte donné, d’un ensemble complexe de processus élémentaires (pour une présentation simple de cette conception et de son utilisation dans l’étude du schéma narratif, voir par exemple : DIGUER L. – Schéma narratif et individualité, Paris, Presses Universitaires de France, 1993).

44 – Exemple cité dans : BADDELEY A. – La mémoire humaine, Théorie et pratique, Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble, 1993. Le script du restaurant est, depuis l’ouvrage de deux chercheurs américains (SCHANK R.-C. & ABELSON R.-P. – Scripts, plans, goals and understanding, Hillsdale NJ, Elrbaum, 1977) l’exemple de référence pour illustrer ce que pourrait être un schéma intervenant dans la compréhension de récit.

45 – Ces exemples sont extraits de la typologie proposée par RILEY M.-S., GREENO J.-G. & HELLER J.-I. – Development of children’s problem-solving ability in arithmetic – in : GINSBURG H.-P. (ed) – The development of Mathematical Thinking, New York, Academie Press, 1983. D’autres classifications de ces problèmes additifs ont été proposées, celle de G. VERGNAUD étant généralement considérée comme la plus complète du point de vue de l’analyse des différentes structures relationnelles en jeu ; voir par exemple : VERGNAUD G. – L’enfant, la mathématique et la réalité, Berne, P. Lang, 1981 ; ou : VERGNAUD G & DURAND C – Structures additives et complexité psychogénétique, Revue Française de Pédagogie, 1976, 36.

46 – WILLIS G.-B. & FUSON K.-C. – Teaching children to use schematic drawings to solve addition and subtraction word problems, Journal of Educational Pyschology, 1988, 80.

47 – BRISSIAUD R. – La lecture des énoncés de problèmes – in : INRP – Comment fontils ? L’écolier et le problème de mathématiques, coll. Rencontres Pédagogiques, n° 4, 1984.

48 – On désigne quelquefois, par cet anglicisme, le processus global qui permet de mobiliser et de mettre en œuvre dans des situations particulières les connaissances générales et décontextualisées que possède l’individu. Ce processus renvoie à une problématique importante que nous ne faisons qu’évoquer ici, celle des relations entre connaissance et action (ou entre compétence et performance ou encore entre savoir et savoir-faire). Il ne fait aucun doute, de notre point de vue, que c’est dans le cadre de la théorie constructiviste dont PIAGET a jeté les fondements il y a un peu plus d’un demi-siècle maintenant, que ce problème de l’instanciation des connaissances générales est le mieux posé actuellement. Un effort considérable a été fait pour accommoder les hypothèses initiales qui concernaient en priorité le niveau macrogénétique (c’est-à-dire l’évolution de l’intelligence de l’enfant au cours de son développement) à l’étude des “microgénèses cognitives” c’est-à-dire du fonctionnement cognitif en situation. Toute la problématique des relations entre structures et procédures développée au cours de ces dernières années concerne directement cette question de la mise en œuvre des connaissances opératoires les plus générales construites par l’enfant dans des situations nouvelles, (“on étudiera comment le sujet élabore des modèles ad hoc qui constituent des accommodations de ses connaissances à des situations particulières” INHELDER B. &. de CAPRONA D. – Vers le constructivisme psychologique : structures ? procédures ? Les deux indissociables – in : INHELDER B. CELLERIER G. & al – Le cheminement des découvertes de l’enfant – Recherche sur les microgénèses cognitives, Neuchâtel, Delachaux et Niestlé, 1992). L’une des questions importantes, à l’intérieur de cette problématique, est celle de savoir si cette instanciation des connaissances générales relève seulement de processus spécifiques ou si elle relève aussi de connaissances spécifiques. En nous référant à la notion de schéma de problèmes, nous choisissons plutôt la seconde option sans que cela corresponde, toutefois, à une conviction théorique profonde. L’intérêt de parler du processus d’instanciation en termes de connaissances spécifiques est de rendre plus aisées à la fois l’analyse des dysfonctionnements qui peuvent intervenir dans ce processus et l’analyse des apprentissages à mettre en œuvre pour éviter de tels dysfonctionnements. Mais c’est là aussi le risque d’une telle conception qui peut conduire, dans certains cas, à oublier la complexité des processus sous-jacents à ces relations entre connaissances et résolution de problèmes.

49 – La notion de schème a considérablement évolué depuis la présentation et l’utilisation qu’en a fait PIAGET (voir : PIAGET J. – La psychologie de l’intelligence, Paris, A. Colin, 1947) mais elle reste une notion d’une grande valeur heuristique. Ainsi, l’idée de “schèmes présentatifs” avancée par PIAGET lui-même ou l’idée de “schèmes familiers” largement utilisées dans les travaux actuels peuvent rendre compte de la plupart des phénomènes que nous décrivons ici à partir de la notion de schéma de problèmes. On a pu montrer, également, que les décalages de performance dus à des effets de contexte et donc les différences dans les stratégies mises en œuvre pouvaient être interprétés dans le cadre d’un “modèle de schèmes” (BASTIEN C. – Schèmes et stratégies dans l’activité cognitive de l’enfant, Paris, Presses Universitaires de France, 1987). Enfin, cette notion de schème a été utilisée pour aborder les questions spécifiques que pose l’acquisition des concepts scientifiques enseignés à l’école. Ainsi, VERGNAUD part d’une conception du schème vu comme “l’organisation invariante de la conduite pour une classe de situation donnée” et propose de l’analyser à partir de quatre sortes d’éléments : “des invariants opératoires, des inférences ou calculs, des règles d’action, des prédictions ou attentes” ; cette idée est bien développée dans : VERGNAUD G. La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des Mathématiques, 1990, 10, 2/3.

Table des illustrations

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