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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Chapitre 3. Les outils de modélisation

Texte intégral

Mais ne simplifions pas à l’excès, car le savoir décontextualisé représenté sous une forme relativement peu asservie à ses utilisations passées ou futures, porte en lui un pouvoir considérable.
J.-S. Bruner (1972)

  • 31 – Nous n’avons pas les moyens, ici, d’approfondir une telle analyse épistémologique de la notion de (...)

1On peut considérer que la construction de modèles – la modélisation – est l’une des composantes fondamentales de la démarche scientifique. Cette modélisation a pour objet, en premier lieu, le monde qui nous entoure et que nous cherchons à expliquer. Mais, plus largement, elle concerne tout système que nous cherchons à maîtriser en le connaissant mieux (ainsi le mathématicien construit des modèles de systèmes mathématiques issus eux-mêmes d’une modélisation antérieure qui elle-même...). Un modèle possède deux caractéristiques principales : il est une simplification d’un système donné et il permet une action sur ce système. L’idée de simplification est essentielle dans la notion de modèle et c’est en ce sens qu’elle occupe une place centrale dans la démarche scientifique dont on a pu dire, sous forme de boutade, qu’elle “remplace du visible compliqué par de l’invisible simple” (J. Perrin). Le fait que cette simplification résulte d’une abstraction ou, au contraire, de la particularisation d’un système plus général est relativement secondaire de ce point de vue. En revanche, l’idée que cette simplification est orientée vers l’action est fondamentale. On modélise toujours pour agir ; par exemple : pour simuler le fonctionnement d’un système donné, pour soumettre à l’expérience une théorie, pour rendre opérationnelle un ensemble d’hypothèses, ... C’est-à-dire qu’on modélise pour apporter, d’une manière ou d’une autre, une solution à un problème identifié comme tel. C’est en ce sens que les modèles diffèrent le plus des théories ou des lois qui ont plus vocation à expliquer les choses qu’à agir sur elles31.

2On notera, d’ailleurs, que ces deux caractéristiques fondamentales des modèles scientifiques ne sont pas indépendantes des deux sens que le terme de “modèle” peut avoir dans le langage courant :

  • le sens de reproduction d’un objet (ou d’une réalité quelconque) sous une forme différente et généralement plus simple (au moins par la taille comme dans l’idée de “modèle réduit”),

  • le sens de référence pour décider de la forme que l’on va donner à une action ou à une manière de se comporter (comme dans l’idée de “prendre une personne comme modèle” que ce soit pour l’artiste ou pour celui qui cherche un guide spirituel).

3En ce qui concerne le fonctionnement cognitif en situation de résolution de problème qui nous intéresse ici, cette notion de modèle permet d’aborder sous un autre angle les questions liées aux processus de représentation. Une stratégie très efficace pour parvenir à une représentation opérationnelle du problème consiste, en effet, à travailler sur un modèle de la situation. Dans le problème du nombre de chemins (cf chapitre 1), par exemple, rechercher la solution dans le cas d’un réseau à quatre cases pour trouver ensuite la solution dans le cas plus complexe qui est proposé revient à travailler sur un modèle de la situation initiale. De même, dans le problème de RESTEE (cf chapitre 2), désigner les deux problèmes dont il est question par les lettres A et B (ou par un code numérique : problème 1 et problème 2) revient à mettre en œuvre un outil (un code dans le cas présent) qui permet de modéliser la situation et facilite ainsi l’opérationnalisation de la représentation.

  • 32 – La “théorie des modèles mentaux” proposée par JOHNSON-LAIRD est souvent considérée comme l’ensemb (...)
  • 33 – Il faut souligner toutefois, dès maintenant, le fait que les connaissances enseignées dans une di (...)

4Ainsi que le font certains psychologues, on pourrait donc, tout aussi bien, parler de “modèle mental” ou de “modèle interne” tant il est vrai que, dans une situation finalisée par une tâche, la représentation que l’on se construit repose, dès le départ, sur une simplification de cette situation orientée vers une action. Cependant, le terme de représentation particularisée semble préférable car il est plus général et a l’avantage de s’appliquer aux cas où la construction n’est pas encore opérationnelle et n’a donc pas vraiment le statut d’un modèle32. Nous allons nous intéresser de près, en revanche, au processus de modélisation en le considérant comme une forme particulière d’opérationnalisation de la représentation. Cette forme particulière se caractérise par la mise en œuvre de ce que nous appellerons un outil de modélisation. Cet outil peut être très simple et peu spécifique comme dans le cas du problème de restee. Il peut aussi être beaucoup plus puissant comme celui qui permet, par exemple, de modéliser le problème du nombre de chemins en termes de combinatoire. Ainsi, du point de vue des processus de résolution de problèmes, on peut considérer l’ensemble des savoirs dont l’humanité dispose à un moment donné comme autant d’outils pouvant servir à modéliser les situations auxquelles nous sommes confrontés et, au moins pour une part, c’est à ce titre qu’ils sont enseignés dans une discipline comme les mathématiques33.

5Nous ne nous poserons pas, dans l’immédiat, la question de l’apprentissage des outils c’est-à-dire des conditions à remplir pour que des savoirs comme ceux enseignés en mathématiques acquièrent effectivement ce statut d’outils pouvant servir à modéliser des problèmes. Les questions qui vont nous intéresser, dans ce chapitre, restent de nature très fonctionnelle : quelles sont les conditions de la mise en œuvre d’un outil de modélisation dans un problème particulier ? et quelle est la fonction exacte d’un tel outil dans la construction d’une représentation plus performante de ce problème ? Nous aborderons ces questions déterminantes pour toute démarche d’aide en mathématiques à partir de l’étude de deux exemples concernant deux outils de modélisation très différents.

Modélisation et traduction

6La modélisation mathématique est souvent associée à l’idée de traduction. Dans une telle perspective, les mathématiques auraient la fonction d’un langage servant à exprimer autrement, à traduire les données du problème. Et cette idée de traduction est souvent associée, elle-même, à celle de formalisation : si la traduction mathématique est efficace, c’est parce qu’elle s’appuierait sur un langage formel permettant de traiter le problème à un niveau plus général et plus abstrait.

  • 34 – POLYA G. – Comment poser et résoudre un problème, Paris, Dunod, 1965.

7Cette manière de voir les choses est particulièrement nette pour un outil comme la mise en équation. Le mathématicien G. Polya, par exemple, définit ainsi son rôle dans la résolution de problèmes34 (en faisant référence, d’ailleurs, à Newton qui défendait cette même idée) : “Mettre en équation, c’est exprimer à l’aide de symboles mathématiques une condition formulée en mots, c’est traduire le langage ordinaire en formules mathematiques. Les difficultés que nous pouvons avoir pour mettre un problème en équation sont identiques à celles d’une traduction.”

8Il prend l’exemple du problème :

Trouver deux nombres dont la somme soit 78 et le produit 1 296.

9et en propose l’analyse suivante :

“Divisons verticalement la page en deux. D’un côté, écrivons l’énoncé en distinguant les diverses parties ; sur l’autre, portons les signes algébriques correspondant à chaque partie de l’énoncé. L’original est à gauche, la traduction en symboles à droite.

Dans ce cas, l’énoncé se divise presque automatiquement en parties successives dont chacune peut être immédiatement transcrite en symboles mathématiques.”

  • 35 – MIALARET G. – L’apprentissage des mathématiques, Bruxelles, C. Dessart, 1967.

10En fait, cette manière d’analyser la démarche de résolution est celle du mathématicien qui sait résoudre le problème et ne rend aucunement compte de ce qui se passe au niveau des processus cognitifs. D’ailleurs, la remise en cause de cette notion de traduction pour décrire et analyser les démarches de résolution de problèmes ne date pas d’aujourd’hui ; un psychopédagogue (G. Mialaret) se posait déjà la question dans un ouvrage35 datant des années 60 : “La “traduction” présente en mathématiques de nombreux visages et l’on verra que savoir correctement traduire, c’est souvent poser correctement le problème. Quand un problème est correctement posé, il est à moitié résolu. Mais on est en droit de se demander si savoir traduire correctement n’est possible qu’à partir du moment où l’on domine la question, c’est-à-dire où L’ON EST CAPABLE DE LA RESOUDRE” .

11En se référant à la notion de représentation particularisée et aux processus décrits dans le chapitre précédent on peut tenter, aujourd’hui, d’aller un peu plus loin dans la formulation de cette question fondamentale pour l’enseignement des mathématiques. En effet, l’idée de la traduction comme moyen d’accéder directement à l’objet que l’on doit se représenter (qu’en mathématiques on appelle souvent la structure du problème) n’est pas en accord avec ce que l’on sait actuellement sur la manière dont se met en place la représentation du problème. Non seulement la traduction ne peut se situer qu’au niveau du processus d’opérationnalisation et suppose donc l’existence d’une représentation déjà structurée (c’est-à-dire que “l’on domine la question” comme dit Mialaret) mais surtout la traduction qui a un véritable intérêt du point de vue de la résolution du problème consiste, en fait, en une modélisation de ce problème. Si l’outil que l’on met en œuvre sert seulement à formaliser la situation (à la mettre sous une autre forme), on aura transformé les données du problème mais il n’est pas sûr que l’on ait beaucoup avancé dans sa résolution. L’intégration d’un outil de modélisation dans le processus d’opérationnalisation, en revanche, est généralement un facteur décisif du point de vue de la résolution du problème : il renforce la structuration de la représentation, il amplifie son caractère opérationnel (conduisant ainsi plus vite à une action), il permet une explicitation et donc un contrôle de cette représentation beaucoup plus performant.

Le problème constance et sa mise en équation

  • 36 – Ce problème est cité dans : PEREC G. – La vie mode d’emploi, Paris, Hachette, 1978.

12L’énoncé du problème constance est le suivant36 (s’il ne le connaît pas, le lecteur a tout intérêt à le résoudre avant de lire la suite) :

Problème constance

Constance a 24 ans. Elle a le double de l’âge qu’avait son mari quand elle avait l’âge que son mari a maintenant. Quel âge a son mari ?

13Cet énoncé évoque plusieurs relations qu’il est nécessaire de prendre en compte pour résoudre le problème. La plus simple, parce qu’elle apparaît sous la forme d’une donnée, est la relation “double” entre les âges des deux protagonistes. Les deux autres sont évoquées implicitement et nécessitent une interprétation plus poussée de l’énoncé ; il s’agit, tout d’abord, de la relation entre l’âge de Constance et celui de son mari à un moment donné (écart constant) ; il s’agit, ensuite, de la relation entre le vieillissement de Constance et le vieillissement de son mari (c’est le même pour un intervalle de temps donné). La prise en compte de l’une ou l’autre de ces deux relations implicites est nécessaire pour résoudre le problème et c’est à ce niveau que réside la difficulté principale. Le fait que ces relations concernent des variables liées au temps accentue encore cette difficulté que l’on ressent bien lorsqu’on cherche à se représenter la situation décrite dans l’énoncé. Il faut noter, en outre, qu’un élément non pertinent est souvent intégré à la représentation ainsi que nous le verrons par la suite : le fait que le mari devrait, “normalement”, être plus vieux que sa femme.

14Ce flou qui caractérise notre représentation initiale du problème ne permet donc pas, pour la plupart d’entre nous, de raisonner directement à partir de l’énoncé et le réflexe, pour quelqu’un qui connaît un peu de mathématiques, est alors de mettre le problème en équation avec l’idée que la mise en œuvre d’un tel outil devrait rendre les choses plus claires...

Qu’apporte effectivement la mise en équation du problème ?

15Pour tenter de le savoir, nous avons soumis, en passation collective, ce problème constance à 75 étudiants en 2e année d’université dans la filière la plus mathématique (DEUG A – option “mathématiques, physique, informatique”). Il a été soumis, également, en passation individuelle cette fois, à différents sujets et nous examinerons quelques-uns des protocoles recueillis. Parmi les 75 étudiants de mathématiques pris en compte, 61 recourent à la mise en équation (soit 81 % de la population) et on peut répartir ces 61 étudiants en trois groupes.

16Le premier groupe correspond à ceux qui parviennent à l’équation canonique x – 12 = 24 – x dans laquelle x est l’âge du mari. On notera qu’il existe deux manières de parvenir à cette équation suivant l’invariant que l’on prend en compte : la différence d’âge entre Constance et son mari ou bien le vieillissement de chacun d’eux sur une période donnée. Si nous schématisons la structure relationnelle qui caractérise le problème de la manière suivante, l’égalité exprimée dans l’équation peut correspondre soit à l’invariant d, soit à l’invariant v :

17On retrouve bien, dans les procédures des étudiants, ces deux interprétations de l’invariant. Il est possible, d’ailleurs, qu’une partie des difficultés que l’on rencontre pour bien se représenter ce problème provienne du fait que nous ne réussissions pas bien, dans un premier temps, à différencier ces deux invariants et donc à en choisir un comme base de notre raisonnement.

18Un second groupe est celui des étudiants qui parviennent à une équation non canonique ; par exemple ceux qui prennent comme inconnue le temps écoulé (v dans le schéma précédent) en exprimant l’invariant que constitue l’âge du mari : 24 – v = 12 + v.

19Le troisième groupe est celui des étudiants qui échouent dans la mise en équation du problème ; les traces écrites montrent qu’ils ont tenté de mettre en œuvre cet outil mais ils n’ont pas résolu le problème à l’issue des 25 minutes imparties.

20La répartition entre les trois groupes est la suivante :

mise en équation canonique réussie :

23/61

(38 %)

mise en équation non canonique réussie :

21 / 61

(34 %)

mise en équation non réussie :

17/61

(28 %)

21Le taux d’échec est donc important (un peu plus du 1/4 de ceux qui recourent à une mise en équation) pour une population composée d’étudiants avancés en mathématiques et maîtrisant bien, a priori, l’outil mise en équation. Le nombre important de mises en équation non canoniques confirme la difficulté de représentation qui semble caractériser ce problème.

D’autres moyens pour résoudre le problème

22Nous dirons un mot des 14 étudiants qui ne recourent pas à la mise en équation pour résoudre le problème. Ils se répartissent de la manière suivante :

procédure arithmétique :

5/14

essai de plusieurs valeurs :

5 / 14

procédure non explicite :

2/14

échec :

2/14

23La mise en équation n’est pas nécessaire, bien sûr, pour résoudre le problème. On peut tout simplement essayer plusieurs valeurs ainsi que le font 5 étudiants. On peut aussi mettre en œuvre un raisonnement qui conduit à situer l’âge demandé au milieu de l’intervalle 12/24 en raison de l’invariant vieillissement :

24Voici, à titre d’illustration, un extrait de protocole verbal où une telle procédure basée sur l’idée de partage de l’intervalle apparaît nettement (les sujets qui n’appartiennent pas à la population d’étudiants évoquée jusqu’ici étaient invités à s’exprimer à haute voix pendant la recherche du problème et le protocole est la transcription de ce qu’ils disent) :

Protocole 1

25(il s’agit d’un homme de 48 ans qui n’a jamais fait d’algèbre – niveau certificat d’étude)

Bon. De 12 jusqu’à son âge, il y a autant que de son âge à 24.
Donc on fait 24 12, çà fait 12, on prend la moitié donc 6 et on ajoute à 24. Son mari a 30 ans.
Bon, je vérifie. Quand il avait 12 ans, elle avait... Ça ne marche pas. C’est bizarre !
Qu’est-ce j’ai fait déjà ?
Bon. De 12 jusqu’à son âge, on a bien la même chose que de son âge jusqu’à 24. Donc on divise bien 12 par 2 pour avoir la durée : ça fait 6. Donc on ajoute cette durée à l’âge qu’il avait. Ha ! Ça y est : 12 + 6 donc 18 ans. Ce n’est peutêtre pas ça encore car le mari serait 6 ans plus jeune que la femme. Enfin peutêtre.
Quand il avait 12 ans, la femme avait 6 ans de plus que lui donc 18. C’est bien l’âge de mari aujourd’hui. Ça marche. Donc l’âge du mari est 18 ans.”

26Nous pouvons remarquer, dans cet extrait de protocole, la mise en place d’une représentation très performante du problème qui permet, en particulier, de rejeter rapidement l’élément non pertinent “le mari doit être plus âgé que sa femme”. Cette représentation ne fait pourtant appel, d’aucune manière, à l’outil mise en équation que le sujet ne maîtrise d’ailleurs pas.

27Il est intéressant, enfin, de noter que 4 étudiants seulement, parmi les 75 pris en compte dans l’expérience précédente, recourent à un outil graphique (dessin, schéma...) pour modéliser le problème. Dans tous les cas il s’agit d’un axe correspondant à la dimension temporelle et faisant apparaître l’invariant vieillissement. Ces quatre sujets ont mis, en outre, le problème en équation et l’ont résolu. Il faut noter également que dans ce groupe des étudiants qui résolvent le problème au moyen d’une mise en équation, plusieurs se sont appuyés sur un schéma faisant apparaître de manière plus ou moins explicite les relations entre l’inconnue et les données 12 ans et 24 ans (du type de celui que nous avons utilisé précédemment). Mais il s’agit moins, dans ce cas, d’un outil graphique que d’une première écriture de l’équation elle-même.

Modéliser n’est donc pas seulement traduire

28Les résultats précédents montrent bien qu’il ne suffit pas d’avoir pris la décision de mettre le problème en équation pour qu’il soit résolu : on observe que le quart d’une population d’étudiants avancés en mathématiques (19 sur 75) ne parvient pas à résoudre le problème et que la plupart de ces étudiants qui échouent (17 sur 19) ont pourtant tenté de le mathématiser. On peut supposer alors que ces 17 étudiants échouent parce qu’ils n’ont pas réussi à se construire une représentation suffisamment opérationnelle du problème et que la mobilisation de l’outil mathématique n’a pas eu de rôle décisif dans la mise en place d’une telle représentation.

29Il existerait donc bien des conditions très fortes pour qu’un outil de modélisation puisse être mis en œuvre et toute une part de ces conditions relèverait directement des processus de représentation. Un outil, aussi puissant soit-il, ne donne pas accès, en lui-même, à l’objet du problème et ne rend pas sa structure plus transparente comme on le croit souvent. En tous cas, pas au moment de la recherche du problème ; car après coup, une fois le problème résolu, la formalisation permet effectivement d’avoir une toute autre représentation de ce problème (au point, d’ailleurs, de ne plus pouvoir penser le problème autrement que sous sa forme mathématique tant elle est plus simple et plus claire). Ces conditions de la modélisation ne sont pas indépendantes, non plus, de la stratégie mise en œuvre. La mise en équation n’est pas une condition nécessaire pour parvenir à une représentation opérationnelle dans le cas du problème constance. Or peu d’étudiants, parmi ceux qui ne parviennent pas à le mathématiser, renoncent à une telle démarche ; la durée dont ils disposent (25 mn) permet pourtant de tenter d’autres approches (comme le fait cet étudiant qui a procédé par essais successifs et qui explique ainsi sa démarche : “je n’ai pas réussi avec les équations, donc je teste différents âges du mari – quand le mari a 18 ans, cela marche”). De la même manière, le fait que très peu d’étudiants cherchent à isoler la difficulté propre à la dimension temporelle dans le problème constance (en dessinant un axe par exemple) peut être interprété comme une carence au niveau des heuristiques et des stratégies qu’ils sont capables de mettre en œuvre.

Les fonctions de la mise en équation dans le problème Constance -analyse de deux protocoles

30On peut essayer d’aller un peu plus loin, maintenant, en complétant l’analyse précédente centrée sur les conditions de mise en œuvre de l’outil de modélisation par une analyse des fonctions de cet outil. L’étude de deux protocoles verbaux va servir de point de départ pour aborder cette question du rôle de la mise en équation dans la résolution d’un problème comme celui de constance.

31Le protocole 2 correspond à un cas où l’opérationnalisation de la représentation s’effectue de manière très laborieuse. Même après l’énoncé de la solution, la représentation semble rester instable et peu structurée. Le sujet ne se sent pas capable, d’ailleurs, de vérifier sa réponse et de contrôler la représentation qu’il s’est donnée du problème.

Protocole 2

(le sujet est une élève de 18 ans en terminale scientifique)
““
24 ans. Elle a le double de l’âge, le double donc ça fait 12. Qu’avait son mari : donc son mari avait 12 ans. Qu’avait son mari, il avait 12 ans, quand elle avait l’âge. Ah, je ne comprends plus rien.
Quand elle avait l’âge.... elle avait l’âge. Ah ! elle avait l’âge que son mari a. Elle avait 12 ans. Ah ! non ! Si elle avait l’âge, elle avait 12 ans, mais son mari n’a pas 12 ans...
Elle a le double de l’âge qu’avait son mari. Mais quand ? Il faut que je comprenne ça.
Elle avait l’âge, donc elle avait l’âge que son mari a, donc que son mari a c’est maintenant. Elle avait l’âge, donc elle est plus vieille puisque elle avait l’âge que son mari a c’est au passé. Un renseignement : elle est plus vieille que son mari. Bon, mais pourtant elle a le double de l’âge... ah oui, qu’avait son mari donc il a 48 ans. J’essaie s’il a 48 ans, c’est n’importe quoi mais on peut toujours essayer.
Quand elle avait l’âge que son mari a, donc : elle avait 20 ans. Elle avait 20 ans et... elle a le double de l’âge que... avait mais on ne sait pas la différence qu’il y a entre les 2.
J’étais bien partie au début...
Admettons qu’elle avait 20 ans... Ah non, il ne se marie pas si vite que ça, je suis bête. Il se serait marié à... ça ferait combien de différence, ça ferait 8 ans de différence. Cafait 16 ans. Non, il ne se serait pas marié à 16 ans. Elle avait 18 ans. Il s’est marié à 18 ans. Déjà c’est pas souvent des femmes qui sont plus vieilles que le mari...
Constance a 24 ans, ça c’est une donnée. Il faut faire par donnée comme ça et le traduire en trucs simples.
Quand elle avait l’âge de son mari, actuellement, donc elle... Elle avait l’âge de son mari donc avait le nombre que je veux trouver, ... soit H, soit n cet âge. Quand l’homme avait 12 ans, elle, elle avait n ans. On ne sait pas.
On a autrement comme données que... elle a 24 ans, qu’elle a le double de l’âge... maintenant elle a le double de l’âge qu’avait son mari... Il avait 2 fois 12 ans lui... n’importe quoi ! Elle a le double de l’âge qu’avait son mari, il avait 6 ans ! On va voir si ça colle, peutêtre que ça colle. Elle a le double de l’âge qu’avait son mari quand elle avait l’âge que son mari a. A nouveau, je ne comprends plus rien... Bon ! Ils ont 6 ans de différence, ça fait... son mari a 30 ans. Non, il est plus jeune, il a... 18 ans. C’est ça, j’ai pas envie de vérifier mais c’est ça.
Donc je ne revérifie pas mon truc parce que je n’ai pas envie, je ne comprends plus rien. Même en relisant ça, je n’arrive pas à comprendre ce que j’ai fait.
J’ai pas concrétisé le problème en trucs mathématiques. J’aurais dû faire ça. C’est trop tard maintenant...”

32On observe, dans le protocole, une tentative d’écriture littérale qui est tout de suite abandonnée. Surtout, le sujet exprime bien le besoin qu’il ressent de “traduire (les données) en trucs simples” et le regret de ne pas avoir “concrétisé le problème en trucs mathématiques”. Remarquons bien ceci : ce n’est pas d’une traduction dans un langage plus abstrait dont elle ressent la nécessité mais plutôt d’un outil qui simplifierait et qui concrétiserait sa représentation.

33Pourquoi ce sujet ne parvient-il pas à mettre le problème en équation ? Peut-être en raison d’une maîtrise insuffisante de l’outil lui-même bien qu’il s’agisse d’une élève de terminale scientifique. Surtout, semble-t-il, parce que sa représentation est trop peu structurée pour pouvoir être opérationnalisée au moyen d’un tel outil. On peut penser, d’ailleurs, qu’un autre outil de modélisation aurait pu contribuer de manière plus efficace à cette opérationnalisation ; au moment où elle cherche à mathématiser le problème en désignant l’inconnue par une lettre (H puis n), le recours à un dessin par exemple, aurait sans doute renforcé une structuration de la représentation qui commençait tout juste à se mettre en place.

34Quant au protocole 3, il fait bien apparaître l’interaction étroite qui existe, quand tout se passe bien, entre la mise en place d’une représentation de plus en plus structurée et la mise en œuvre de l’outil de modélisation. La volonté de formaliser le problème et de le mettre en équation est manifeste dès le départ (introduction d’une première inconnue x qui devient xm puis d’une seconde inconnue ym qui est rapidement abandonnée – choix stratégique explicite : “il faut que je fasse des équations”).

Protocole 3

(Une étudiante scientifique de 19 ans)
“...
Je cherche l’âge de son mari aujourd’hui... Quand elle avait l’âge x alors elle a le double de l’âge qu’avait son mari qui avait 12 ans.
Son mari avait 12 ans quand elle avait l’âge que son mari a aujourd’hui... Aujourd’hui son mari a x ans donc quand elle avait x années elle avait le double de l’âge de son mari. Or il avait 12 ans, donc x = 12. Son mari a 12 ans. Ce n’est pas ça, c’est totalement ridicule...
Je recommence. 24 ans, elle a deux fois plus qu’à l’âge qu’avait son mari qui avait 12 ans quand elle avait l’âge que son mari a aujourd’hui. Aujourd’hui son mari a x ans... D’accord, je lisais à l’envers. Quand elle avait xm, elle a le double de l’âge qu’avait son mari... Aujourd’hui son mari a x années... Non ce n’est pas ça, je recommence. Il faut que je fasse des équations.
Constance a 24 ans, elle a le double de l’âge quand elle avait l’âge de son mari. Son mari avait ym ans... Donc 2 x ym24, donc son mari avait 12 ans. Erreur dans les équations.
12 ans c’est l’âge qu’avait son mari quand elle avait l’âge que son mari a aujourd’hui. Donc son mari avait 12 ans quand elle en avait xm. Elle a le double de l’âge... Donc son mari a xm années. Donc quand elle avait xmannées son mari avait 12 ans. Aujourd’hui elle a 24 ans, lui xm ans. Donc quand elle avait xm ans, lui il avait 12 ans. 12 ans c’est l’âge qu’avait son mari quand elle avait l’âge que son mari a aujourd’hui. Donc quand elle avait xm années son mari avait 12 ans... C’est bien ça. Là, elle en a 24, lui xm. Avant il en avait 12, elle xm, ceci à une même date. Donc l’âge qu’a Constance aujourd’hui moins l’âge qu’elle avait avant est égal à l’âge qu’il a aujourd’hui moins l’âge qu’il avait avant. Il s’est écoulé le même temps, d’où xm – 12 = 24 – xm et xm18. Donc son mari a 18 ans.
Je récapitule 24 18 = 6, donc il y a 6 ans. Deux fois l’âge qu’avait son mari. Quand elle avait 18 ans son mari avait donc 12 ans. 2 x 12 = 24, ça marche, c’est bien cela.”

35On voit, ici, que c’est bien une interprétation de plus en plus poussée des données du problème (le discours du 5e paragraphe est très significatif de ce point de vue) qui permet au sujet de prendre en compte l’invariant vieillissement (“... Il s’est écoulé le même temps...”) et de structurer sa représentation autour de cette idée nouvelle. Alors seulement, la formalisation adoptée précédemment prend tout son sens et permet une modélisation du problème. Cette modélisation renforce de manière spectaculaire la structuration de la représentation (la conclusion très assurée “Donc son mari a 18 ans” traduit une stabilisation complète de celle-ci) et permet de contrôler sa validité. La mathématisation du problème accompagne donc et amplifie le processus qui conduit à une représentation plus structurée et plus opérationnelle mais sans être à l’origine de cette représentation et sans être la source de la compréhension du problème.

A quoi sert la modélisation ?

36La modélisation est autre chose qu’une traduction ou une simple formalisation du problème. Du point de vue du fonctionnement cognitif, on peut considérer qu’elle est soumise aux mêmes conditions de fonctionnement que le processus d’opérationnalisation de la représentation, c’est-à-dire qu’elle ne peut intervenir qu’à partir d’un certain niveau de structuration de la représentation. Ce n’est pas l’outil de modélisation qui nous “donne” la compréhension du problème c’est-à-dire qui structure notre représentation. En revanche, un tel outil a une fonction bien précise et souvent essentielle que nous pouvons essayer de décrire de la manière suivante.

37La première fonction d’un outil de modélisation comme la mise en équation est de rendre notre représentation plus opérationnelle et de permettre ainsi un passage à l’action plus performant. En parlant d’outil, c’est bien à cette fonction que l’on pense en priorité : amplifier les possibilités d’agir en apportant toute l’expérience acquise au cours de notre histoire culturelle et démultiplier la puissance des procédures et des stratégies que nous pouvons élaborer. Cette facilitation opératoire que permet la mise en œuvre d’un outil de modélisation a des conséquences au niveau de la structuration de la représentation. Nous avons vu, précédemment, comment le fait d’agir contribue à structurer la représentation ; dans le cas de la mobilisation d’un outil puissant, comme la mise en équation, cet effet peut être considérablement accentué. Nous avons pu constater, pour le problème constance, que peu d’étudiants renoncent à cet outil alors qu’il ne les conduit pourtant pas à la solution. C’est là une des conséquences négatives de l’effet structurant de l’action (le risque d’hyper-structuration que nous avons évoqué dans le chapitre précédent). Mais nous avons vu également, dans le cas du protocole 3, comment l’intégration de l’outil au processus d’opérationnalisation conduit à un renforcement tout à fait bénéfique de la représentation.

38L’outil de modélisation contribue aussi à structurer la représentation d’une autre manière : par la simplification qu’il permet. C’est là une fonction essentielle du modèle et nous avons vu, dans le cas du protocole 2, que le sujet comptait effectivement sur la mathématisation du problème pour voir les choses plus simplement et plus concrètement. Cette simplification que permet l’outil de modélisation est différente, du point de vue du fonctionnement des représentations, d’une formalisation ou d’une abstraction. Une fois mis en équation, le problème constance, n’est pas plus abstrait au niveau de notre représentation ; il est même plus concret, plus consistant pourrait-on dire, parce que plus simple et plus facile à appréhender (au sens où la représentation permet plus facilement de faire quelque chose, d’agir).

39L’outil de modélisation a, enfin, une fonction importante dans la construction de la représentation : il permet de contrôler plus facilement et plus efficacement la pertinence de celle-ci par rapport au but à atteindre. L’analyse des deux protocoles concernant le problème constance a montré comment la mise en équation, par l’explicitation de la représentation qu’elle permet, joue ce rôle (un rôle effectif dans le cas du protocole 3 et un rôle anticipé dans le cas du protocole 2). L’outil de modélisation, en conduisant à la mobilisation d’un langage et à une formalisation de la situation, contribue ainsi, de manière souvent déterminante, au contrôle de la représentation, à sa remise en cause éventuelle et à son évolution.

La mobilisation des outils et ses conditions

40L’exemple du problème constance et de la mise en équation que nous venons d’examiner constitue un cas particulier du point de vue de la modélisation. D’une part, il s’agit d’un outil très général servant surtout à formaliser le problème, d’autre part les sujets pris en compte maîtrisent bien cet outil et le mobilisent immédiatement. Le but de cet exemple était de faire apparaître la nature du processus de modélisation et la différence avec une simple traduction du problème dans un langage donné. Dans la plupart des cas, cependant, ce n’est pas ainsi que les choses se présentent : les outils sont beaucoup plus spécifiques, ils ne sont pas directement mobilisables et, surtout, ils sont associés à des connaissances qui conditionnent leur mise en œuvre comme outils de modélisation. L’exemple du tableau de proportionnalité et de son utilisation dans la résolution du problème erreur va nous permettre d’illustrer ces différents aspects de la mobilisation d’un outil dans la construction d’une représentation particularisée. Nous nous rapprochons, avec cet exemple, de questions concernant de près l’enseignement des mathématiques mais ce sont pourtant les aspects liés au fonctionnement des représentations en situation de résolution de problème qui vont continuer à nous intéresser en priorité.

Le problème erreur et la question du tableau de proportionnalité

  • 37 – Les premières expériences ont été présentées dans : JULO J. – Acquisition de la proportionnalité (...)

41Le problème erreur a fait l’objet de nombreuses expérimentations37 en classe de 6e. Il existe plusieurs versions de ce problème qui diffèrent par les valeurs numériques, le contexte sémantique et la forme de l’énoncé. Un exemple d’énoncé est présenté ci-contre (LES CREPES). La tâche qui caractérise ce problème consiste à reconnaître une relation de proportionnalité qui est définie par le scénario (l’aspect mathématique de la proportionnalité n’est jamais directement évoqué) puis à rechercher le couple aberrant (la “petite erreur”) afin de calculer la valeur qui permettrait à la relation d’être vérifiée dans tous les cas. Plusieurs procédures correspondant à des représentations du problème très différentes sont possibles.

42La proportionnalité, telle qu’elle est enseignée en mathématiques, se veut avant tout un outil de modélisation devant servir à résoudre les nombreux problèmes de type proportionnalité auxquels nous pouvons être confrontés. L’enjeu de cet outil est particulièrement important au niveau socio-économique car toutes les études réalisées montrent qu’une grande majorité d’adultes rencontre des difficultés dans la résolution de ce type de problèmes. Mais l’enjeu est important, également, au niveau de la formation mathématique des élèves car il constitue la première notion mathématique qui est explicitement présentée comme un outil de modélisation.

Problème des crèpes

Pour la Chandeleur, quelques élèves d’une classe décident de préparer des crêpes

Ils trouvent la recette suivante dans un livre de cuisine :

"Pour quatre personnes, préparez une pâte avec :

6 œufs,

10 cuillerées à soupe de farine,

8 verres de lait,

20 g de beurre,

16 g de sucre ordinaire,

6 cuillerées à café de sucre vanillé"

Mais comme ils sont nombreux, ils décident d’augmenter les quantités qui sont indiquées dans la recette. Ils préparent une pâte avec :

15 œufs,

25 cuillerées à soupe de farine,

20 verres de lait,

50 g de beurre,

35 g de sucre ordinaire,

15 cuillerées à café de sucre vanillé.

Les crêpes risquent donc de ne pas être très bonnes car les élèves ont fait une petite erreur ; ils n’ont pas respecté exactement la recette.

Pour quel produit les élèves se sont-ils trompés ?

Quelle quantité de ce produit auraient-ils dû mettre pour respecter la recette du livre de cuisine ?

  • 38 – Pour une analyse de cette question voir : BOISNARD D., HOUDEBINE J., JULO J., KERBŒUF M.-P. & MER (...)

43Toute la question, au niveau didactique, est de savoir comment procéder pour que cette notion soit effectivement acquise comme un tel outil38. Après les excès d’une approche purement algorithmique de la proportionnalité (l’ancienne règle de trois), on est tombé, à partir des années 70, dans les excès d’une approche très formelle de la notion (celle des opérateurs). Actuellement, c’est une approche par la résolution de problèmes et par la modélisation qui prévaut bien que les conceptions et les pratiques d’enseignement soient loin d’être stabilisées et qu’un grand flou existe au niveau de la manière d’introduire le modèle (en particulier au niveau des classes de CM2, de 6e et de 5e où cette introduction a lieu). Comme outil de modélisation, la forme la plus simple sous laquelle peut se présenter la proportionnalité est le tableau de proportionnalité. Il s’agit du premier langage dans lequel on pourra expliciter et définir mathématiquement certaines propriétés de la notion. Il s’agit aussi de la première formalisation qui pourra être mise en œuvre en vue de modéliser des problèmes de proportionnalité.

44Dans le cas du problème des crepes, par exemple, la relation que définit l’énoncé du problème peut être écrite sous la forme d’un tableau de correspondance comme celui-ci.

45La tâche proposée revient alors à modifier l’une des valeurs de la seconde ligne du tableau pour qu’il s’agisse d’un tableau de proportionnalité et plusieurs propriétés des tableaux de proportionnalité peuvent être prises en compte dans ce but (l’existence d’un opérateur multiplicatif ou d’un cœfficient de proportionnalité mais aussi certaines propriétés d’additivité et de multiplicativité qui caractérisent un tel tableau ou encore la propriété du produit en croix).

46Le tableau de proportionnalité comme outil pour la modélisation des problèmes de proportionnalité est enseigné en tant que tel au niveau des classes de 6e et de 5e (et même souvent avant). La question qui nous a intéressés, au début des années 80, à une époque où l’on consacrait beaucoup de temps à l’étude de ce tableau et de ses propriétés (environ un trimestre en classe de 6e) fut celle des conditions qui doivent être réunies pour qu’il soit effectivement utilisé comme outil de modélisation dans une situation comme le problème erreur. Ce sont certaines de ces conditions que nous allons évoquer ici à partir des résultats de la première étude réalisée et de résultats plus récents.

Une première condition : l’accès a l’outil

47La première question est de savoir si les élèves recourent effectivement à l’outil tableau pour résoudre le problème erreur. Dans une étude récente portant sur trois versions de ce problème (l’énoncé crepes ci-dessus et deux autres énoncés qui ne diffèrent que par le contexte sémantique), on observe que 19 % d’une population d’élèves de 6e réalisent spontanément un tel tableau. La passation a lieu au cours du troisième trimestre. Le problème est donné par le professeur de mathématiques dans des conditions de classe normales. Cette passation ne fait pas suite à un enseignement concernant la proportionnalité et aucune indication n’est donnée sur les liens qui peuvent exister entre le problème et cette notion. Il existe très peu de différences entre les trois versions et très peu de différences par rapport à des études plus anciennes portant sur le même problème. La fréquence du recours spontané à un tableau est donc relativement faible compte-tenu de l’importance accordée à cet outil dans l’enseignement de la proportionnalité. Notons, par ailleurs, que le problème est résolu par un peu moins d’un élève sur deux (44 %) dans le temps imparti (25mn).

Peut-on inciter les élèves à faire un tableau ?

48Une seconde condition expérimentale est prise en compte dans cette même étude. Dans cette condition, la consigne qui accompagne l’énoncé comporte une indication formulée de la manière suivante :

Indication de méthode : commence par faire un TABLEAU

49On observe alors que 64 % des élèves réalisent un tableau correct (les élèves sont issus des mêmes classes que ceux qui ont à résoudre le problème sans cette indication, la répartition entre les deux conditions de passation étant aléatoire dans chacune des classes). La plupart des tableaux correspondent à la forme standard que nous avons évoquée précédemment (2 lignes, 6 colonnes) mais sont également considérés comme des tableaux tous les cas où les données numériques sont retranscrites et où la correspondance entre les deux suites est nettement explicitée (par une flèche le plus souvent). Le fait que les unités apparaissent ou non n’est pas pris en compte. Un seul cas de tableau incorrect du point de vue de la mise en correspondance a été observé.

50Il ne fait donc aucun doute que des élèves qui sont a priori capables de mettre en œuvre l’outil tableau pour formaliser le problème ne le font pas dans la condition normale (énoncé seul sans l’indication de méthode). L’outil est connu et potentiellement utilisable mais il n’est pas accessible : l’élève ne pense pas à y recourir ou ne prend pas la décision de le faire. Il faut retenir, également, le fait que plus du tiers des élèves (36 %) ne réalisent pas de tableau malgré l’indication donnée dans la consigne. Ceci peut signifier deux choses : ou ces élèves préfèrent résoudre le problème sans tableau ou ils ne réussissent pas à mettre le problème sous la forme suggérée.

Quelques résultats concernant les liens entre tableau et réussite

51Si nous comparons (figure 1) les performances des élèves qui font un tableau à celles des élèves qui n’en font pas dans chacune des conditions “sans indication” et “avec indication”, nous pouvons observer un progrès dans les deux groupes mais ce progrès est sensiblement du même ordre que les élèves réalisent effectivement un tableau ou non.

52L’indication de méthode a donc bien un effet non seulement sur la formalisation du problème mais aussi sur la réussite. Il est probable que cette amélioration de la performance soit due, en partie, à la mise en œuvre de l’outil tableau mais le fait que les élèves qui ne font pas de tableau réussissent aussi mieux dans la condition “avec indication” conduit à envisager une autre hypothèse : la seule présence de l’indication de méthode pourrait, par exemple, informer l’élève sur le type de problème qu’il a à résoudre (mobilisation d’un schéma de problèmes) et induire une procédure qui n’implique pas nécessairement la réalisation d’un tableau. On observera, en outre, que la différence de performance entre ceux qui font un tableau et ceux qui n’en font pas est loin d’être aussi importante que celle que l’on pourrait attendre si on considérait que le problème est quasiment résolu lorsque les données sont mises sous la forme de tableau.

fig 1 – Réussite au problème erreur pour les élèves qui font un tableau et pour ceux qui n’en font pas dans les conditions “sans indication” et “avec indication”

La représentation comme condition pour accéder à l’outil

53En restant dans la perspective d’une analyse des processus de représentation (les questions plus didactiques concernant l’intérêt de cette forme d’aide que constituent des suggestions méthodologiques seront discutées par la suite), on peut donc retenir les faits suivants qui complètent ceux mis en évidence à partir du problème constance. Il existe, très vraisemblablement, des conditions liées à l’accessibilité des outils. On observe, en effet, qu’un outil comme le tableau de proportionnalité n’est pas mobilisé par tous les élèves qui sont capables, a priori, de le mettre en œuvre pour formaliser le problème erreur. De très nombreux facteurs contribuent à définir cette accessibilité dont certains relèvent de l’outil lui-même et de son apprentissage (il existe par exemple des différences notables entre les classes au niveau de la fréquence des tableaux) et certains de la représentation que l’élève se donne du problème. Ainsi, comme dans le cas de constance et de la mise en équation, certains élèves sachant pourtant qu’il est souhaitable de faire un tableau (en particulier quand ils sont dans la condition “avec indication”) ne le font pas parce que leur représentation du problème ne permet pas une telle opérationnalisation. Notons toutefois qu’il existe aussi, dans le cas présent, d’autres raisons pour ne pas mettre en œuvre l’outil tableau alors que cela est fortement suggéré : leur représentation du problème peut conduire certains élèves à élaborer des procédures qui ne nécessitent pas l’usage d’un tel tableau et certains élèves peuvent ne pas maîtriser suffisamment l’outil pour le mettre en œuvre.

54Une question importante qu’il nous faut maintenant soulever est celle des élèves qui font un tableau correct et qui échouent. Leur représentation du problème leur a permis d’accéder à l’outil tableau (spontanément ou à la suite de l’indication) et de le mettre en œuvre pour formaliser le problème. Pourquoi alors ne parviennent-ils pas à la solution ?

Une seconde condition : la connaissance de l’outil

55La condition importante pour parvenir à la solution du problème erreur est de prendre en compte la relation de proportionnalité définie par l’énoncé. La prise en compte de cet objet essentiel dans la représentation du problème peut se faire sans aucune référence au formalisme mathématique de la proportionnalité (la relation n’est pas énoncée mathématiquement et peut donc être traitée à un niveau intuitif, par exemple celui des proportions à respecter dans une recette). Inversement, le recours à un formalisme comme le tableau n’implique aucunement que l’élève ait bien pris en compte la relation de proportionnalité : il peut écrire un simple tableau de correspondance qui ne le conduit pas à “penser” le problème sous la forme d’un tableau de proportionnalité. C’est-à-dire que la mise en œuvre de l’outil n’implique pas qu’il y ait vraiment opérationnalisation de la représentation au moyen de cet outil ; cette mise en œuvre peut conduire seulement à une formalisation du problème (traduction sous la forme d’un tableau) et à une modélisation très partielle dans laquelle seul l’aspect mise en relation de deux grandeurs est pris en compte.

56Des résultats mis en évidence lors de la première recherche menée à propos du problème erreur vont nous permettre d’illustrer ceci.

La connaissance des propriétés mathématiques de l’outil

  • 39 – Pour plus de précisions concernant la typologie établie, voir : JULO J. – Acquisition de la propo (...)

57L’idée est d’évaluer la connaissance que les élèves ont des propriétés mathématiques qui caractérisent l’outil tableau de proportionnalité à l’issue d’un enseignement concernant ces propriétés (en classe de 6e). Nous ne nous attarderons pas, ici, sur les conditions de cette évaluation39 qui pourraient largement être discutées (comme, d’ailleurs, toutes les démarches d’évaluation des connaissances complexes).

58L’évaluation, effectuée au moyen d’un questionnaire écrit, avait pour but principal de repérer un premier groupe d’élèves (niveau 1) dont on peut raisonnablement penser qu’ils connaissent ces propriétés mathématiques et qu’ils ont, en particulier, une conception correcte des invariants qui caractérisent la relation de proportionnalité (ils savent reconnaître une relation de proportionnalité et savent exprimer les caractéristiques de la situation qui permettent de décider s’il s’agit d’une situation de proportionnalité ou non). Deux autres niveaux de connaissance sont également différenciés à partir des réponses au questionnaire :

  • celui des élèves qui ont une connaissance que l’on peut qualifier de “floue” et une conception des invariants très peu stabilisée (niveau 2),

  • celui des élèves qui ont des connaissances incorrectes à propos de la relation de proportionnalité, par exemple : confusion avec une fonction croissante ou non distinction entre les cas où l’opérateur est multiplicatif et celui où il est additif (niveau 3).

59La première question à envisager est celle de savoir si les élèves qui connaissent les propriétés mathématiques de l’outil mobilisent celui-ci plus souvent lorsqu’ils ont à résoudre le problème ERREUR. Le pourcentage des élèves qui font un tableau dans chacun de ces trois niveaux est le suivant :

niveau 1 :

46 %

(effectif total : 24)

niveau 2 :

23 %

(effectif total : 43)

niveau 3 :

21 %

(effectif total : 56)

60(plusieurs versions du problème erreur sont utilisées dans cette étude mais les valeurs numériques sont les mêmes que celles du problème des crepes – la population est constituée de plusieurs classes de 6e et les conditions d’enseignement de la proportionnalité sont celles du début des années 80).

61Les élèves qui possèdent, à la suite de l’enseignement, une certaine connaissance de la proportionnalité comme modèle mathématique (sans faire d’hypothèse plus précise sur la nature exacte de cette connaissance) recourent donc plus souvent que les autres à un tableau dans la résolution du problème erreur. Mais on remarque que ceux qui le font ne représentent, encore, que la moitié environ de l’échantillon pris en compte.

La connaissance de l’outil et la modélisation du problème erreur

62Le résultat le plus important concerne la réussite des élèves qui font un tableau comparée à celle des élèves qui n’en font pas et ceci en fonction de leur niveau de connaissance (figure 2).

fig 2 – Réussite au problème erreur pour les élèves qui font un tableau et pour ceux qui n’en font pas en fonction de leur connaissance des propriétés mathématiques du tableau de proportionnalité.

63Ces résultats montrent l’existence d’une interaction entre l’effet d’une mobilisation de l’outil tableau et les connaissances mathématiques que les élèves possèdent à propos de cet outil. Plus cette connaissance est précise, plus l’effet de l’outil sur la résolution du problème est nette ; ce sont les élèves de niveau 1 faisant un tableau qui réussissent le plus souvent (bien qu’ils ne réussissent pas tous, notons-le, même dans ce cas très favorable) ; inversement, pour les élèves de niveau 3, le fait de réaliser un tableau ou non n’a aucune incidence sur leur performance. On notera également, à un niveau plus global, le lien relativement faible qui paraît exister entre les connaissances mathématiques évaluées dans cette expérience et la capacité de résoudre le problème erreur : les élèves de niveau 1 sont un peu plus nombreux à trouver la solution (46 % contre 35 % et 39 % pour les élèves des niveaux 2 et 3) mais la différence est peu importante. C’est bien seulement dans le cas où ces élèves ont une bonne connaissance mathématique de l’outil tableau et le mettent effectivement en œuvre que l’écart se creuse.

64Que retenir de l’ensemble de ces résultats concernant la résolution du problème erreur ? Tout d’abord le fait qu’on peut très bien mettre le problème sous une forme mathématique (sous la forme d’un tableau dans le cas présent) et ne pas l’avoir modélisé pour autant. On retiendra, en outre, le fait que ce lien entre l’outil mis en œuvre et l’opérationnalisation de la représentation dépend des connaissances que l’élève est capable de mobiliser avec l’outil : si ces connaissances sont suffisamment précises et solides, elles permettront une opérationnalisation plus efficace de la représentation que dans le cas contraire où l’élève n’aura fait que traduire le problème. Mais ces résultats font apparaître, surtout, un fait nouveau concernant la fonction de l’outil de modélisation : des élèves qui ont, a priori, les connaissances nécessaires pour opérationnaliser efficacement leur représentation ne les mobilisent pas parce qu’ils ne mettent pas le problème sous une forme telle que cette mobilisation devienne possible. C’est là, vraisemblablement, le cas des élèves du niveau l qui ne font pas de tableau et qui échouent beaucoup plus souvent que ceux du même niveau qui modélisent le problème au moyen de cet outil.

En résumé

  • 40 – Les travaux concernant les images mentales se sont beaucoup développés au cours de ces dernières (...)

65Le processus de modélisation occupe une place centrale dans la construction de notre représentation du problème et a un rôle déterminant dans la manière dont nous résolvons le problème. En renforçant la structuration de cette représentation et en fournissant des possibilités nouvelles d’explicitation, la modélisation permet, tout d’abord, un contrôle plus efficace sur cette représentation. Nous avons vu, dans le cas du problème constance et de sa mise en équation, comment un tel processus d’explicitation et de contrôle pouvait intervenir dans la construction d’une représentation plus performante. Soulignons le fait que ce processus n’est pas propre aux outils de modélisation les plus élaborés. Des recherches ont montré, par exemple, que si on demande à des sujets de parler pendant la résolution d’un problème pour expliciter leurs actions (situation dite de verbalisation) ou si on leur demande d’essayer de se représenter le problème sous la forme d’une image mentale40, on observe une augmentation de la performance ; il est très probable que cette influence positive des consignes de verbalisation ou d’imagerie résulte également d’une possibilité de contrôle plus grande au niveau de la représentation du problème.

66La fonction principale de la modélisation reste, cependant, le renforcement considérable du processus d’opérationnalisation et l’amplification des possibilités d’action qu’il permet. En permettant d’agir, non seulement l’outil de modélisation conduit à des transformations immédiates de la représentation mais il entraîne la mobilisation d’autres connaissances soit sous la forme d’outils de modélisation plus puissants soit sous la forme de connaissances opératoires contribuant à une nouvelle étape dans l’opérationnalisation de la représentation et la résolution du problème. Dans le cas du problème erreur, par exemple, nous avons vu que c’est l’outil tableau qui permet effectivement une mobilisation des connaissances mathématiques que les élèves ont acquis à la suite de l’enseignement. Ces connaissances peuvent servir soit à structurer plus fortement la représentation (et donc à “mieux comprendre” le problème) soit à élaborer une procédure de résolution en rappelant toute l’expérience opératoire acquise en matière de proportionnalité.

67Toutefois, et nous nous sommes beaucoup attardés sur cette idée, il existe des conditions pour la mise en œuvre d’un outil de modélisation donné dans une situation donnée. Certaines de ces conditions concernent la manière dont l’outil a été acquis et la maîtrise que nous en avons ; ce sont elles qui ont surtout été étudiées jusqu’à présent et nous reviendrons plus longuement, par la suite, sur les aspects didactiques de cet apprentissage des outils de modélisation (chapitre 7). Mais il existe aussi des conditions au niveau de la représentation que nous nous faisons du problème à résoudre et c’est sur celles-ci que nous avons surtout insisté ici car elles sont, vraisemblablement, déterminantes. En premier lieu, cette représentation conditionne, pour une large part, l’accès aux outils de modélisation. Nous avons vu, par exemple, que certains élèves “pensent” à faire un tableau et d’autres “n’y pensent pas” alors qu’ils sont capables de réaliser un tel tableau comme le montre l’effet de la consigne donnant une indication méthodologique. Mais ce n’est pas tout : il apparaît clairement qu’un processus de modélisation ne peut se mettre en place que si la représentation est déjà en cours de structuration. Nous avons pu le constater à la fois dans le cas de la mise en équation du problème constance et dans celui de la réalisation d’un tableau pour le problème erreur. Contrairement à l’intuition que nous pouvons avoir, ce n’est pas l’outil qui va structurer notre représentation c’est-à-dire nous donner la compréhension du problème et une vision plus claire des choses. La modélisation est bien un processus à part entière qui participe de l’activité de représentation et qui entretient les mêmes liens complexes avec les processus d’interprétation et de structuration que ceux décrits dans le chapitre précédent à propos de l’opérationnalisation de la représentation. C’est là certainement l’idée la plus importante car tant que l’on considère l’outil comme le point de départ (ou la base) de la représentation du problème, on ne peut pas bien comprendre les difficultés propres à la résolution de problèmes ni aider véritablement les élèves.

68Insistons, pour terminer, sur le fait que cette idée de la traduction/formalisation du problème considérée comme la source de sa compréhension a des répercussions importantes au niveau de l’enseignement des mathématiques. Il s’agit d’une véritable illusion métacognitive qui conduit les enseignants à transmettre (involontairement bien sûr) des idées fausses sur la fonction des outils qu’ils demandent à leurs élèves d’acquérir. L’origine d’une telle illusion est assez simple à comprendre. Elle réside dans un phénomène dont on ne cesse de découvrir les effets négatifs au niveau de l’enseignement : la vraie compréhension n’a pas de mémoire. Dès que nous avons compris quelque chose, nous oublions comment nous sommes parvenus à cette compréhension ou, plus exactement, nous interprétons la démarche qui nous a conduits à l’état actuel de notre compréhension à la lumière de ce nouvel état. Ceci est vrai pour la compréhension des concepts, par exemple, et explique pourquoi nous avons tant de mal à nous placer du point de vue de celui qui ne comprend pas le sens d’un concept donné pour lui donner une explication adaptée à sa propre conception. Mais ceci est vrai, également, pour la résolution d’un problème particulier : la mise en œuvre d’un outil de modélisation nous permettant de traduire le problème et de le penser de manière plus abstraite à une étape déjà avancée du processus de résolution (au moment de rédiger la solution par exemple) va occulter complètement les étapes précédentes, en particulier toutes celles qui relèvent des processus d’interprétation et de structuration. Nous aurons tendance, alors, à analyser notre activité de représentation à partir de notre compréhension actuelle et nous aurons cette illusion que c’est l’outil qui nous a permis de comprendre et de résoudre le problème.

Notes

31 – Nous n’avons pas les moyens, ici, d’approfondir une telle analyse épistémologique de la notion de modèle. Le point le plus important est sans doute le fait que la modélisation doit être bien différenciée de la théorisation car elle n’implique pas nécessairement un processus d’abstraction. L’épistémologue GRANGER insiste bien sur ce point : “Considérant la visée scientifique en général, nous l’avons souvent caractérisée comme proposant de l’empirie des “modèles” ou schémas abstraits. Nous nous plaçons maintenant d’un autre point de vue, pour envisager une théorie (abstraite) comme corrélative de représentations plus concrètes (souligné par nous) que l’usage des logiciens qualifie aussi de “modèles”, et qui se présentent alors comme des substituts virtuels plus ou moins imparfaits de l’empirie. L’ambivalence du mot ne doit pas nous inquiéter, dès lors que l’on aura compris l’idée fondamentale qu’il véhicule. A savoir celle d’une fonction de représentation de toute pensée saisie comme corrélation obligée d’objets et de systèmes opératoires, l’accent étant mis selon les cas sur l’un ou l’autre des deux pôles.” (GRANGER G.-G. – La vérification, Paris, O. Jacob, 1992). A propos de cette notion de modèle on peut aussi consulter l’article de N. MOULOUD dans l’Encyclopedia Universalis.

32 – La “théorie des modèles mentaux” proposée par JOHNSON-LAIRD est souvent considérée comme l’ensemble d’hypothèses le plus élaboré pour rendre compte de ce qui se passe, au niveau cognitif, lorsque nous cherchons à “comprendre une situation” (JOHNSON-LAIRD J.-H. – Mental models : Towards a cognitive science ol langage, inference and consciousness, Cambridge, Cambridge University Press, 1983). Pour une présentation de travaux récents basés sur cette théorie voir : EHRLICH M.-F. & al (eds) – Les modèles mentaux, Approche cognitive des représentations, Paris, Masson, 1993.

33 – Il faut souligner toutefois, dès maintenant, le fait que les connaissances enseignées dans une discipline comme les mathématiques ne peuvent être ramenées seulement à des outils pour la résolution de problèmes. Ces connaissances sont aussi des objets culturels qui ont une histoire et un statut dans le développement du savoir ; elles sont caractérisées, en particulier, par des langages (ou des signifiants) qui permettent de les exprimer et de les conceptualiser. L’approche didactique accorde une large place à l’étude de cette connaissance en termes d’objets de savoir et à la manière dont l’enseignement peut la développer. R. DOUADY a proposé, par exemple, d’aborder cette question à partir de l’idée de “dialectique outil/objet” qui correspond à un processus didactique dans lequel on cherche à favoriser, pour une même notion mathématique, cette double connaissance : sous la forme d’outil et sous la forme d’objet (DOUADY R. – Jeux de cadre et dialectique outilobjet dans l’enseignement des mathématiques. Thèse, Université de Paris VII, 1984). Le chapitre 7 reprend et développe cette discussion à propos des connaissances vues comme des outils.

34 – POLYA G. – Comment poser et résoudre un problème, Paris, Dunod, 1965.

35 – MIALARET G. – L’apprentissage des mathématiques, Bruxelles, C. Dessart, 1967.

36 – Ce problème est cité dans : PEREC G. – La vie mode d’emploi, Paris, Hachette, 1978.

37 – Les premières expériences ont été présentées dans : JULO J. – Acquisition de la proportionnalité et résolution de problème, IREM de Rennes, 1982. D’autres expérimentations concernant ce problème Erreur sont présentées dans le chapitre 5 du présent ouvrage.

38 – Pour une analyse de cette question voir : BOISNARD D., HOUDEBINE J., JULO J., KERBŒUF M.-P. & MERRI M. – La proportionnalité et ses problèmes, Paris, Hachette, 1994.

39 – Pour plus de précisions concernant la typologie établie, voir : JULO J. – Acquisition de la proportionnalité et résolution de problème, IREM de Rennes, 1982.

40 – Les travaux concernant les images mentales se sont beaucoup développés au cours de ces dernières années. Il est admis aujourd’hui que le code imagé constitue l’une des formes sous lesquelles nous pouvons conserver certaines informations (cette capacité n’étant d’ailleurs pas propre à notre espèce) et il est admis, également, que nous avons la possibilité de rappeler et de traiter ces informations sous la forme de ce que l’on convient d’appeler des images mentales. Ainsi, dans le cas de certains problèmes faisant référence à des données spatiales (par exemple : “Arrivant à un carrefour, un automobiliste venant de l’est veut se diriger vers Tarascon. La route à sa gauche va vers une autre ville. La route qui est en face aboutit à un étang. Quelle est la direction de Tarascon ? Nord ? Sud ? Est ? Ouest ?”), on a pu montrer que des sujets qui, spontanément ou à la suite d’une consigne, se construisent une telle représentation figurative du problème, trouvent plus facilement la solution. On peut considérer, avec DENIS que “cette efficacité est vraisemblablement attribuable, pour la plus grande part, au rôle de modèle que joue l’image dans le traitement du problème” (DENIS M. – Image et cognition, Paris, Presses Universitaires de France, 1989). C’est la raison pour laquelle nous n’accordons pas, ici, un intérêt particulier à ces images mentales qui ne constituent que l’une des formes possibles de modélisation et qui n’ont pas le rôle privilégié qu’on leur suppose parfois.

Table des illustrations

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Légende fig 1 – Réussite au problème erreur pour les élèves qui font un tableau et pour ceux qui n’en font pas dans les conditions “sans indication” et “avec indication”
URL http://books.openedition.org/pur/docannexe/image/140997/img-5.jpg
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Légende fig 2 – Réussite au problème erreur pour les élèves qui font un tableau et pour ceux qui n’en font pas en fonction de leur connaissance des propriétés mathématiques du tableau de proportionnalité.
URL http://books.openedition.org/pur/docannexe/image/140997/img-6.jpg
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