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Représentation des problèmes et réussite en mathématiques

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Jean Julo

Chapitre 2. Comment se construit la représentation du problème

Texte intégral

Moi je lis d’abord bien l’énoncé, plusieurs fois. Quelquefois je le lis tellement que je ne sais même plus de quoi ça parle... plus je le lis, moins je comprends...
Un élève

1Une manière d’aborder l’étude des représentations particularisées est d’essayer de décrire les processus qui sont à la base de leur construction. Une analyse en termes de processus est une analyse qui cherche d’abord à comprendre “comment ça marche”, c’est-à-dire qui se situe à un niveau particulier de description des phénomènes. Lorsqu’on étudie quelque chose d’aussi complexe que le fonctionnement cognitif en situation de résolution de problème, on ne peut faire moins que de le considérer comme un système. Or, la particularité d’un système est qu’il ne peut pas s’analyser d’un seul point de vue : il est nécessaire d’utiliser différentes perspectives et de se placer à différents niveaux pour être en mesure de décrire et de comprendre son fonctionnement. L’analyse en termes de processus est la plus fonctionnelle qui soit. Elle cherche seulement à identifier et à décrire certains aspects du fonctionnement du système, certains rouages qui semblent importants. Elle se préoccupe surtout de savoir comment cela se passe dans tel ou tel cas, à tel ou tel moment. D’autres perspectives possibles que nous envisagerons par la suite sont celles qui se centrent plus sur les outils et sur les connaissances qui ont un rôle dans ce fonctionnement.

2Nous évoquerons, dans ce chapitre, les trois processus qui paraissent actuellement les plus importants du point de vue de la construction des représentations particularisées dans le cas des situations de résolution de problèmes : le processus d’interprétation et de sélection, le processus de structuration et le processus d’opérationnalisation. Ce découpage est relativement arbitraire. Il ne correspond pas, en particulier, à des étapes bien différenciées de la démarche de résolution. On a souvent voulu découper cette démarche en opérations successives : lire l’énoncé, comprendre le problème, définir un plan, ... Pourtant, ni la construction de la représentation, ni la résolution d’un problème en général, ne sont des processus linéaires. Il est admis, au contraire, que plusieurs processus interviennent simultanément et interagissent pour faire avancer notre compréhension et notre démarche de résolution. Le découpage retenu correspond surtout à la manière dont nous interprétons, actuellement, les obstacles et les dysfonctionnements qui peuvent survenir dans la recherche de la solution. Il se situe donc déjà dans la perspective d’une démarche d’aide à la représentation telle que nous l’évoquerons par la suite.

3La description de ces différents processus liés à la représentation du problème s’appuie sur un certain nombre d’exemples. Ceux-ci ont été choisis de telle sorte qu’ils puissent être cherchés et résolus par tous, que l’on connaisse beaucoup de mathématiques ou un peu moins. Ces exemples permettent de prendre conscience, de l’intérieur, des difficultés que l’on peut avoir pour parvenir à une bonne représentation du problème. Nous conseillons donc au lecteur de chercher vraiment ces petits problèmes s’il ne connaît pas déjà leur solution (celle-ci est donnée dans l’analyse qui suit l’énoncé du problème ainsi que dans le récapitulatif figurant à la fin de l’ouvrage).

Le processus d’interprétation et de sélection

4Intéressons-nous, dans un premier temps, au contenu de la représentation. On peut considérer que ce contenu reflète, pour une part, les données du problème c’est-à-dire un certain nombre d’informations concernant son objet et la tâche à réaliser. Or la première idée importante du point de vue du fonctionnement de la représentation est que ces informations concernant le problème à résoudre ne sont justement pas “données”. Pour pouvoir être assimilées au contenu de la représentation elles doivent préalablement être décodées. Ce serait une illusion de croire que les informations dont nous avons besoin pour comprendre le problème sont là, bien visibles, et qu’elles vont être automatiquement prises en compte et intégrées à notre représentation du problème. Ce qui est donné, c’est tout un ensemble d’éléments qui forment ce que nous conviendrons d’appeler un contexte sémantique et c’est l’interprétation de ce contexte qui nous donne accès aux informations concernant l’objet et la tâche qui caractérisent le problème. Le contenu de notre représentation est donc le résultat de ce processus d’interprétation qui est aussi, nécessairement, un processus de sélection des informations puisque l’une de ses fonctions est de nous permettre de repérer les éléments qui nous semblent pertinents du point de vue de la tâche à réaliser.

5Deux exemples vont nous servir à illustrer le rôle important de ce double processus d’interprétation du contexte sémantique et de sélection des informations dans les situations de résolution de problème.

Un premier exemple

Problème du mélange eau/vin

6On dispose d’une jarre de vin et d’une jarre d’eau.

7On prend un verre de vin dans la jarre de vin et on le verse dans la jarre d’eau. Puis on prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la jarre de vin (le verre est le même pour les deux opérations).

8Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste :

il y a plus de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin

il y a plus d’eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d’eau

il y a autant de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin

  • 13 – Ce problème est cité dans : DELEDICQ A. – Mathématiques buissonnières, Paris, Cedic, 1975. Il a é (...)

9Lorsque nous sommes confrontés à ce problème13 pour la première fois nous ressentons, inévitablement, l’illusion qu’il cherche à créer : il doit y avoir plus de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin car le premier transvasement concerne du vin pur alors que le second concerne un mélange de vin et d’eau. Pourtant la réponse correcte est la troisième affirmation : “il y a autant de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin”. On peut s’appuyer sur plusieurs sortes d’arguments pour s’en convaincre, par exemple ceux-ci qui sont basés sur des raisons logiques concernant soit l’invariance du volume transvasé (le verre) soit l’invariance des volumes de départ dans les jarres (le lecteur non convaincu trouvera dans le récapitulatif des problèmes une justification plus mathématique de la solution) :

1er argument : le volume du liquide transvasé étant constant (c’est le même verre), on peut ignorer le vin qui revient dans sa jarre et ne s’occuper que de l’eau contenue dans le verre ; or ce volume d’eau est strictement identique au volume de vin qui a fait l’aller mais pas le retour ;

2ème argument : le volume des jarres étant le même avant et après le transvasement, l’eau qui a remplacé le vin et le vin qui a remplacé l’eau dans leurs jarres respectives ont nécessairement le même volume.

10L’illusion qu’induit l’énoncé de ce problème est forte et peut persister au point de bloquer complètement la mise en place d’une représentation conduisant à la réponse correcte. Les résultats suivants en témoignent :

  • 14 – LEONARD F. – Obstacles cognitifs dans les processus de résolution de problèmes, Archives de Psych (...)

11– dans une expérience portant sur des élèves de terminale et de 1 ère année d’université (en Sciences Humaines), un psychologue14 obtient seulement 21 % de réponses correctes ; 72 % des sujets affirment que les quantités de liquide transvasé ne sont pas identiques dans les deux jarres (les autres renoncent à donner une réponse – l’effectif total est de 141 sujets) ;

12– dans une expérience que nous avons menée avec des étudiants en 2e année de DEUG scientifique (DEUG A Mathématiques/Physique), nous obtenons les taux de réussite suivants en fonction du temps de recherche laissé aux sujets :

1315 mn : 34 % (effectif total : 73)

1425 mn : 32 % (effectif total : 28)

1535 mn : 42 % (effectif total : 41)

16et les pourcentages des réponses “il y a plus de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin” sont les suivants :

1715 mn : 45 %

1825 mn : 50 %

1935 mn : 49 %

20(les autres sujets donnent la 3ème réponse possible ou ne répondent pas)

21On voit donc, dans cette seconde expérimentation, que le temps imparti a une légère influence sur la réussite mais qu’il ne modifie pas la proportion de sujets qui subissent l’illusion : un étudiant sur deux continue à affirmer, après 35 mn de réflexion, “qu’il y a plus de vin dans l’eau que d’eau dans le vin”.

  • 15 – Les énoncés présentés sont aussi légèrement différents, dans leur formulation, de ceux construits (...)

22L’observation des démarches mises en œuvre et l’analyse des explications données par écrit montrent que, d’emblée, ce problème est interprété comme un problème de concentration ; il s’agit de comparer des mélanges et la plupart d’entre nous pensons immédiatement à des rapports ou des proportions. Bien sûr, l’énoncé ne précisant pas les volumes de vin et d’eau dans les jarres, cela provoque un doute chez certains sujets (ils demandent souvent s’il ne manque pas des données dans l’énoncé) mais cette information importante qui permettrait de rejeter immédiatement une interprétation en termes de concentration n’est pas prise en compte dans la représentation que les sujets se font du problème. Inversement, une information non pertinente – le fait que le vin et l’eau soient des liquides miscibles – est retenue et renforce considérablement l’interprétation en termes de concentration. Le rôle de cette information concernant la nature physique des éléments que l’on mélange est attesté par la comparaison avec d’autres versions du problème telles que celles-ci15 :

Version mélange eau/huile

23On dispose d’une jarre d’huile et d’une jarre d’eau.

24On prend un verre d’huile dans la jarre d’huile et on le verse dans la jarre d’eau. Puis on prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la jarre d’huile (le verre est le même pour les deux opérations).

25Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste :

il y a plus d’huile dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre d’huile

il y a plus d’eau dans la jarre d’huile que d’huile dans la jarre d’eau

il y a autant d’huile dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre d’huile

Version mélange billes vertes/billes rouges

26Une boîte A contient des billes vertes et une boîte B contient des billes rouges.

27On prend une poignée de billes vertes dans la boîte A et on la verse dans la boîte B. Puis on prend une poignée de billes dans cette boîte B et on la verse dans la boîte A (on fait bien attention de remettre exactement autant de billes qu’on en avait retirées).

28Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste :

il y a plus de billes vertes dans la boîte B que de billes rouges dans la boîte A

il y a plus de billes rouges dans la boîte A que de billes vertes dans la boîte B

il y a autant de billes vertes dans la boîte B que de billes rouges dans la boîte A

29L’expérience citée précédemment et portant sur des élèves de terminale et des étudiants de Sciences Humaines met en évidence les résultats suivants pour les trois versions du problème :

  • les réponses d’égalité passent de 21 % pour la version eau/vin à 38 % et 39 % pour les versions eau/huile et billes vertes/billes rouges ;

  • les réponses d’inégalité passent quant à elles de 72 % à 38 % et 33 %, le nombre de sujets qui renoncent à se prononcer augmentant considérablement pour ces deux versions eau/huile et billes vertes/billes rouges (respectivement 24 % et 28 %).

30Il est manifeste que l’interprétation n’est pas indépendante de la nature physique des éléments évoqués dans l’énoncé bien que celle-ci ne joue aucun rôle dans la solution du problème. Une interprétation basée sur l’idée de concentration s’impose moins fortement dans le cas de liquides non miscibles (eau et huile) ou d’objets (billes) : on observe plus de réponses d’égalité et, surtout, moins de réponses d’inégalité dues à l’illusion des proportions différentes dans les deux échanges (l’augmentation des refus de se prononcer correspond à la prise de conscience de cette illusion sans que le sujet soit pour autant convaincu de l’égalité des quantités rapportées dans chacune des jarres).

31Nous avons donc, ici, un exemple assez remarquable de dysfonctionnement au niveau du processus de sélection des informations et c’est bien l’interprétation du contexte sémantique caractérisé, dans le cas présent, par la nature physique des objets qu’il évoque, qui en est à l’origine. Ce dysfonctionnement a des répercussions considérables sur la représentation que le sujet se construit et donc sur sa performance dans un problème qui ne fait appel, pourtant, qu’à des connaissances élémentaires.

Un second exemple

Problème de l’échiquier mutile

32On dispose d’un échiquier de 64 cases que l’on a "mutilé" en supprimant deux cases opposées sur une diagonale comme dans la figure ci-contre.

33L’échiquier ne comporte donc plus que 62 cases.

34On dispose également de 31 dominos.

35Chaque domino couvre exactement deux cases de l’échiquier.

36Est-il possible de recouvrir entièrement l’échiquier avec ces 31 dominos ? Si OUI expliquer comment disposer les dominos. Si NON, expliquer pourquoi cela n’est pas possible.

37Les deux stratégies les plus fréquentes pour ce problème sont les suivantes :

    • 16 – KAPLAN C.-A. & SIMON H.-A. – In search of insight, Cognitive Psychology, 1990, 22-3.

    première stratégie : on essaie différents pavages ; il suffirait, en effet, d’en trouver un seul qui marche pour répondre à la question posée ; toutefois, une simulation informatique réalisée dans une étude16 concernant ce problème conduit à dénombrer 758 148 déplacements de dominos avant de pouvoir conclure à l’impossibilité du pavage complet de l’échiquier... (cette simulation n’utilise que quelques règles simples pour minimiser les déplacements – il semblerait qu’avec des règles plus sophistiquées on puisse se ramener à quelques centaines de déplacements mais encore faut-il trouver ces règles) ;

  • seconde stratégie : on recourt à une mathématisation du problème mais celle-ci est loin d’être immédiate ; l’étude citée fait état d’un élève ingénieur qui a passé 18 heures sur ce problème et noircit 61 pages de cahier ( !) sans parvenir à mettre le problème en équation.

38Il existe, en fait, une solution très simple basée sur la parité des cases de l’échiquier. Un domino recouvre toujours une case blanche et une case noire de l’échiquier ; or, on a supprimé 2 cases blanches ; il est donc impossible de paver l’échiquier au moyen de 31 dominos.

39Pourtant cette solution simple n’est pas trouvée la plupart du temps et on peut se demander pourquoi. Pour penser à cette idée de parité, une information donnée par l’énoncé est essentielle : le fait d’être en présence d’un échiquier comportant des cases blanches et des cases noires. Si cette information particulière est sélectionnée et intégrée à la représentation que l’on se fait du problème, elle conduit, avec une probabilité élevée, à l’idée de parité et donc à la solution du problème. Or, justement, cette information essentielle n’est pas retenue par la plupart d’entre nous. La donnée “échiquier mutilé” est, le plus souvent, interprétée comme 62 cases à recouvrir ainsi que le montrent bien les dessins sur lesquels s’appuient les premiers tâtonnements des sujets.

40Les auteurs de l’étude citée précédemment ont eu l’idée, alors, de varier la saillance de cette donnée dans l’énoncé du problème. Quatre conditions ont ainsi été comparées.

Bread butter

41Si les cases ne sont pas différenciées (toutes les cases sont blanches) le problème est plus difficile qu’avec l’échiquier (la difficulté est mesurée par plusieurs paramètres dont le temps de résolution et le nombre d’aides nécessaires). En revanche, si les cases noires et blanches sont remplacées par des cases portant les inscriptions black et pink (en respectant la même disposition) le problème devient plus facile. Et si les inscriptions sont bread et butter le problème est encore plus facile. Dans ces deux dernières conditions, on peut difficilement ignorer l’information pertinente et celle-ci a plus de chance d’être sélectionnée et intégrée au contenu de notre représentation : la donnée black/pink, et plus encore la donnée bread/butter, ne peuvent pas se trouver dans l’énoncé par hasard, elles ont nécessairement une signification que l’on cherche à interpréter et qui conduit à une représentation du problème différente et plus performante que dans le cas de la version initiale.

Quelques éléments à propos de l’interprétation

42La représentation que nous avons d’un problème donné est, en premier lieu, le résultat d’un processus d’interprétation qui nous conduit à sélectionner certaines informations en leur accordant une signification particulière. Un tel processus ne peut fonctionner que parce que nous possédons des connaissances qui vont nous permettre de discriminer ce qui est important de ce qui l’est moins et nous permettre, surtout, de mettre en cohérence certaines informations en donnant un sens à la problématique énoncée. D’une certaine manière, ce sont les connaissances dont nous disposons, à un moment donné, qui guident notre interprétation. Si, par exemple, nous n’avions aucune connaissance en matière de concentration et de problèmes portant sur les proportions d’ingrédients dans des mélanges, nous ne subirions pas l’illusion que provoque le problème du melange eau/vin mais nous ne réussirions pas non plus, vraisemblablement, à comprendre le problème posé. Toutefois, ces connaissances qui vont induire notre interprétation et notre représentation du problème ne pourraient pas intervenir si elles n’étaient pas sollicitées et ce sont bien les informations présentes à un moment donné qui vont activer certaines connaissances et pas d’autres. C’est, en fait, l’existence de ce double mouvement des informations vers les connaissances et des connaissances vers les informations qui rend difficile l’analyse du processus d’interprétation et de sélection. Il s’agit, déjà, d’un processus de construction faisant intervenir des relations complexes entre nos connaissances et les informations issues de notre environnement. Nous allons surtout nous attacher, dans l’immédiat, au rôle que peut avoir la présentation du problème, et donc les informations données, dans le fonctionnement de ce processus car c’est lui qui nous intéressera particulièrement lorsque nous nous demanderons, par la suite, comment aider ceux qui ne parviennent pas bien à se représenter un problème donné.

La notion de contexte sémantique

43On fait quelquefois référence, dans le domaine de la résolution de problèmes, à l’idée que l’on pourrait faire une distinction entre la structure du problème et d’autres éléments formant ce que l’on a pu appeler un habillage ou des traits de surface. Comprendre le problème est vu, alors, comme le fait de traverser cette première couche, celle des éléments superficiels, pour accéder à la structure “profonde” du problème. Du point de vue du fonctionnement des processus de représentation, une telle conception est probablement erronée car l’énoncé du problème doit être vu comme un texte à part entière sa compréhension impliquant, comme pour tout texte, la prise en compte d’un ensemble très vaste d’éléments de nature différente que nous avons convenu d’appeler, ici, le contexte sémantique. Le processus qui permet d’interpréter ce contexte et de se représenter le problème n’a, très vraisemblablement, rien à voir avec l’idée de pénétrer au cœur d’un matériau pour en découvrir la structure.

  • 17 – Ces deux problèmes sont cités dans : MIALARET G. – L’apprentissage des mathématiques, Bruxelles, (...)

44Dire, par exemple, que les deux problèmes suivants ont la même structure mathématique et que si le premier est mieux réussi que le second c’est en raison de son “habillage concret” n’a pas de sens du point de vue de la manière dont nous nous les représentons17.

Énoncé 1

Pierre dit à Paul : J’ai 63 F. de plus que toi ; si nous réunissions notre argent, nous aurions ensemble 379 F. Quelle somme possède Pierre et quelle somme possède Paul ?

Énoncé 2

Calculer deux nombres connaissant leur somme et leur différence.

45Ces deux problèmes sont bien caractérisés par des contextes sémantiques différents ; le premier évoque une situation totalement irréaliste mais constituée d’objets familiers et d’actions connues (comparer des sommes d’argent, additionner des avoirs, ...) alors que le second évoque une situation mettant en jeu des objets et des actions de nature mathématique (des calculs sur des nombres, une somme, une différence, ...). Mais surtout ces deux problèmes sont caractérisés par des problématiques totalement différentes (à la fois les objets et les tâches qui caractérisent ces problèmes sont différents) et nous n’avons aucune raison de nous construire une représentation identique dans les deux cas (en supposant même que l’on soit un mathématicien chevronné...).

46Le contexte sémantique n’est donc pas quelque chose d’annexe, de sur-ajouté par rapport au problème. Un énoncé de problème, quel qu’il soit, est un texte caractérisé par une certaine forme mais aussi par un ensemble d’éléments qui lui donne son sens et qui nous permet d’accéder aux informations dont nous avons besoin pour construire le contenu de notre représentation. La question importante n’est donc pas, comme on l’a cru à une certaine époque, de savoir s’il faut “habiller” ou non le problème. Elle est plutôt de savoir quel rôle peut avoir un contexte donné dans le processus d’interprétation et, si l’on se place dans une perspective d’aide à la représentation, de savoir ce qui, dans un contexte donné, facilite ou perturbe la mise en place de cette représentation. Ainsi, les deux exemples analysés précédemment (le problème du melange eau/vin et celui de l’echiquier mutile) illustrent les deux principaux cas de dysfonctionnement lié à la manière dont nous interprétons le contexte sémantique qui caractérise un problème donné : des informations non pertinentes sont prises en compte dans la représentation ou, au contraire, des informations essentielles sont ignorées et ne sont pas intégrées au contenu de la représentation. C’est le premier de ces deux cas qui a surtout l’attention des psychologues car il est le plus spectaculaire. Toutes les expériences réalisées montrent à quel point il est facile de perturber, par des informations parasites, la construction de la représentation, même chez des sujets habitués à résoudre des problèmes et possédant toutes les connaissances nécessaires. Pourtant, dans le cas d’un problème normal (et non d’un problème piégé comme celui des melanges), le risque le plus grand n’est pas que le contenu de la représentation intègre des informations non pertinentes mais plutôt qu’il n’intègre pas une information essentielle, comme cela se passe pour l’echiquier mutile. La sélection ainsi opérée résulte du fait que l’interprétation que nous faisons du contexte sémantique ne contribue pas à donner un sens à certaines données du problème.

L’énoncé est aussi un contrat

47Ce qui complique encore le fonctionnement du processus d’interprétation, dans le cas des énoncés de problème, c’est le fait que le contexte sémantique n’a pas pour fonction d’expliciter complètement l’objet du problème. Les informations données doivent permettre de se construire une représentation de cet objet mais dans le cadre d’une tâche à réaliser c’est-à-dire à partir de notre propre activité et de notre volonté de découvrir la solution. L’énoncé du problème et le contexte sémantique qui le caractérise constituent, ainsi que nous l’avons dit dans le chapitre précédent, une sorte de contrat de communication entre celui qui donne le problème et celui qui cherche à le résoudre.

48Les deux énoncés suivants, par exemple, illustrent (de manière un peu caricaturale il est vrai) cette idée importante du point de vue des choix que l’on peut faire en matière de présentation du problème et d’aide à la résolution.

Énoncé 1

Un jour, le cuisinier d’un puissant personnage,

Afin de contenter trois filles du village.

Qui demandaient des oeufs, leur dit en les voyant :

"Je vais donner tous ceux que j’ai en ce moment"

Il donne la moitié d’abord à la première

Et la moitié d’un oeuf par faveur singulière ;

A la seconde il offre aussi, du meilleur cœur,

La moitié qui lui reste, avec la même faveur

De la moitié d’un oeuf dont la fille s’empare.

Enfin, continuant son partage bizarre

Il donne à la troisième, avec la même amitié,

De son troisième reste encore l’humble moitié,

Plus la moitié d’un œuf. Il eut donc l’avantage

De tout distribuer. Dans cet heureux partage,

Qui paraît singulier, combien en avait-il ?

Et comment a-t-il eu l’esprit assez subtil

Pour donner des moitiés à chaque jeune fille

Sans en casser un seul, ni s’échauffer la bile.

Énoncé 2

Un entier n est égal à la somme de 3 entiers n1, n2, n3 tels que :

Trouver n

  • 18 – Problème très connu que nous avons trouvé dans : EUREKA – Récréations mathématiques – 200 cassetê (...)

49Le moins que l’on puisse dire est que les contextes sémantiques sont, ici, très différents. Mais ils diffèrent surtout par leur degré d’explicitation d’un même objet : une relation arithmétique particulière entre plusieurs nombres entiers. Avec l’énoncé 1, on se trouve à l’un des extrêmes sur cet axe de l’explicitation : l’énoncé ne cherche en aucun cas à faciliter l’accès à l’objet du problème, ce n’est pas son but. Il est construit avec une logique de texte particulière (celle du texte poétique en vers), une syntaxe complexe et un vocabulaire riche18. Nous ne sommes quasiment plus, alors, dans le cas d’une situation de résolution de problème au sens où nous l’entendons ici. Mais le second énoncé, en se situant à l’autre extrémité de l’axe de l’explicitation, sort également du champ de la résolution de problèmes ; en exhibant l’objet du problème sous une forme mathématique, il modifie profondément la tâche et donc la problématique : il ne reste plus qu’un banal exercice consistant à déterminer une inconnue à partir de plusieurs expressions algébriques.

50Ce contrat particulier que constitue l’énoncé du problème (et plus généralement tous les éléments qui servent à le présenter) repose donc sur des relations complexes et subtiles entre d’une part les informations que l’on souhaite donner à propos de l’objet du problème et de la tâche à réaliser et, d’autre part, le contexte sémantique que l’on utilise pour communiquer ces informations. Dans le cas du problème de l’echiquier mutile, par exemple, on voit bien comment on peut rendre une information importante (la parité) plus ou moins saillante en modifiant le contexte ; mais plus on explicite le rôle de cette information, plus on tue le problème. C’est là un des dilemmes inhérents à toute démarche d’aide aux représentations sur lequel nous aurons l’occasion de revenir.

Le processus de structuration

51L’idée que le contenu de la représentation a un rôle important dans la résolution de problèmes et dépend de nombreux facteurs dont certains ne sont pas rationnels est relativement facile à admettre. Un phénomène plus difficile à imaginer, en revanche, est celui qui concerne la structuration. L’idée générale est la suivante. Si le contenu de la représentation se contentait de se transformer et de s’enrichir progressivement au cours de la résolution du problème, le fonctionnement des processus sous-jacents serait relativement simple à analyser et à influencer. Il suffirait, par exemple, qu’une information nouvelle soit intégrée à la représentation pour que celle-ci se transforme et nous fasse ainsi progresser dans la recherche de la solution. Or ce n’est pas ce qui se passe. Les représentations apparaissent le plus souvent comme des entités fortement organisées ; leur contenu n’est pas seulement un ensemble d’éléments disjoints et modifiables à volonté ; il est, au contraire, un ensemble structuré, c’est-à-dire que les éléments sont solidaires les uns des autres et constituent un tout qui a son fonctionnement et sa logique propres. Les principales questions qui se posent, à propos de ce processus, concernent la manière dont la représentation initiale que nous avons du problème se structure et la manière dont cette structuration est éventuellement remise en cause pour permettre une restructuration. Ces questions se posent à la fois au niveau théorique et au niveau pratique à propos de l’aide que l’on peut apporter dans la construction d’une représentation plus performante du problème posé.

52Nous allons nous appuyer, de nouveau, sur quelques exemples de dysfonctionnements qui paraissent spécifiques de ce processus de structuration de la représentation mais il faut souligner tout de suite que cette structuration ne constitue pas en elle-même, comme on l’imagine quelquefois, un défaut de fonctionnement. Elle est, au contraire, un rouage important du processus de résolution de problème.

Un premier exemple

Problème des 9 points de Maier

Réunir les 9 points ci-dessous par 4 segments de droite tracés sans lever le crayon

  • 19 – Voir par exemple : OLERON P. – Les activités intellectuelles – in : Traité de psychologie expérim (...)

53Il s’agit d’un problème classique dans les recherches psychologiques19 mais aussi d’un casse-tête que l’on rencontre souvent dans les magazines ou les livres de jeux. Toutes les observations effectuées montrent qu’il nous faut, généralement, beaucoup de temps et de nombreux essais pour trouver la solution lorsqu’elle n’est pas connue. La difficulté est facile à repérer : la solution suppose que les segments tracés pour relier les points ne soient pas limités par ces points ; il faut que ces segments “sortent” de la figure implicite (un carré) que forment les 9 points (cette indication devrait être suffisante pour mettre le lecteur qui ne l’a pas trouvée sur la voie de la solution). Or le contenu de la représentation que nous nous construisons n’intègre pas, le plus souvent, la donnée “on peut tracer des segments qui sortent du carré” (il ne s’agit pas d’une information fournie explicitement par l’énoncé mais, à partir du moment où le contraire n’est pas dit, il s’agit bien d’une donnée du problème). On s’enferme donc, dès le départ, dans une sorte de cadre issu de notre interprétation du problème et ce cadre a, dans le cas présent, une signification géométrique puisqu’il correspond à la portion de plan définie par les 9 points.

  • 20 – L’option structuraliste qui est à la base de la théorie de la Gestalt est présentée de manière tr (...)

54Le premier psychologue à avoir étudié ce problème, Maïer, accordait d’ailleurs une grande importance à ce support géométrique et perceptif. Il travaillait dans le cadre de la théorie de la Gestalt (cf introduction) qui supposait déjà l’existence de phénomènes de structuration dans le fonctionnement cognitif mais qui cherchait l’origine de ces phénomènes dans des structures (des formes) indépendantes à la fois des situations et de l’activité de l’individu. Maïer a cependant bien montré comment, dans ce problème des 9 points, il y a fixation sur une interprétation erronée et comment, pour le résoudre, il est nécessaire de repenser entièrement le problème c’est-à-dire de structurer autrement les données. Les gestaltistes mettaient en avant le caractère souvent brutal de cette restructuration ainsi que le sentiment d’évidence et de révélation soudaine qui l’accompagne (l’insight) pour prouver qu’il ne s’agit pas d’une transformation progressive de la manière de voir le problème mais bien d’une rupture correspondant à un changement radical d’organisation20. La conception gestaltiste des structures intervenant dans notre fonctionnement cognitif a été largement remise en cause mais l’idée que la représentation particulière que l’on se construit, à un moment donné et dans une situation donnée, résulte d’un processus de structuration s’avère, quant à elle, très utile pour comprendre le fonctionnement des représentations et pour interpréter des dysfonctionnements éventuels.

55En termes de représentation, on pourrait expliquer la difficulté que constitue la résolution de ce problème des 9 points de la manière suivante : l’interprétation que nous faisons du contexte sémantique nous conduit à introduire une contrainte très forte à la fois au niveau de l’objet du problème (en restreignant l’espace géométrique où est recherchée la solution) et au niveau de la tâche (en ne tenant pas compte d’une information implicite contenue dans l’énoncé du problème). Cette contrainte est vraisemblablement liée, d’une manière ou d’une autre, aux habitudes acquises en matière de tracé géométrique (“si on me parle de segments de droite et que l’on me donne des points, alors ces segments sont ceux qui sont définis par les points dessinés”). Le fait important est que cette contrainte ne contribue pas seulement à définir le contenu de la représentation mais contribue aussi à définir le cadre à l’intérieur duquel nous cherchons une solution et à structurer notre représentation.

56La question qui se pose, alors, est de savoir quelles conditions peuvent nous conduire à briser ce cadre afin de pouvoir modifier notre première représentation et la restructurer sur une autre base. On sait déjà qu’il ne suffit pas d’une simple information nouvelle qui s’intégrerait “en douceur” à la représentation : des expériences ont montré, par exemple, que le fait de donner une indication sur la nécessité de dépasser les limites du carré que forment les 9 points n’entraîne pas une découverte immédiate de la solution ; il faut encore plusieurs essais pour que les sujets parviennent à transformer le contenu de leur représentation et à le structurer différemment.

Un deuxième exemple

Problème de la Mouche

Une diligence va de Coyote-City à Fly-City distantes de 60 km à l’allure de 12 km à l’heure. Une mouche qui vole à 20 km à l’heure part de Fly-City et se dirige vers Coyote-City. Quand elle rencontre la diligence, elle fait demi-tour et revient à Fly-City ; elle repart aussitôt à la rencontre de la diligence et quand elle la rencontre de nouveau, fait demi-tour... et ainsi de suite jusqu’à l’arrivée de la diligence à Fly-City.

Quelle distance la mouche a-t-elle parcourue ?

  • 21 – Il s’agit d’un classique parmi les problèmes-pièges. On trouve une version un peu différente de c (...)

57Nous illustrerons un autre aspect du processus de structuration avec le piège que constitue ce petit problème21. Pour le résoudre, nous sommes tous tentés de mettre en œuvre une procédure qui consiste à déterminer tous les points de rencontre entre la diligence et la mouche alors qu’il existe une procédure beaucoup plus simple : la diligence roule pendant 5 heures (60 km à 12 km/h)) et la distance parcourue par la mouche pendant cette durée est donc de 100 km (5 x 20 km/h).

58Pourquoi ce choix de la procédure la plus complexe ? Parce qu’elle s’impose à la majorité d’entre nous à la lecture de l’énoncé : nous pensons immédiatement à un certain type de problèmes, ceux qui concernent des déplacements de mobiles et la recherche de leurs points de rencontre. Ainsi le problème est, d’emblée, interprété et codé. Ce codage semble d’autant plus rapide qu’il conduit à mettre en œuvre une procédure qui nous est plus ou moins familière et donc à agir. L’observation montre, d’ailleurs, qu’à partir du moment où cette procédure est mise en route, il est très peu probable que l’on pense à la solution plus simple car la représentation n’est plus remise en cause.

59Le piège qui caractérise ce petit problème correspond à un cas bien connu de dysfonctionnement : celui où la représentation est structurée en fonction d’un prototype de problème c’est-à-dire d’une connaissance qui se présente comme un problème rassemblant plusieurs traits caractéristiques d’un ensemble de problèmes. Quand le contexte est bien typé, comme c’est le cas ici, l’interprétation que nous en faisons évoque immédiatement un tel prototype qui structure la représentation et permet de s’engager rapidement dans la mise en œuvre d’une procédure.

60Une expérience classique en psychologie, celle dite des problèmes de Luchins fait bien apparaître comment les problèmes rencontrés antérieurement peuvent contribuer à la structuration de la représentation. Il s’agit, une fois encore, d’un cas extrême où le dysfonctionnement est provoqué délibérément et ceci afin de bien faire apparaître les processus en jeu.

Un troisième exemple : Les problèmes de Luchins

  • 22 – L’expérience que nous évoquons ici est une réplication de l’expérience de LUCHINS présentée dans  (...)

61Dans cette expérience22, les sujets doivent résoudre une série de problèmes de transvasement dans lesquels le but est toujours d’obtenir une quantité donnée de liquide à partir de trois récipients dont les contenances sont données. Pour le premier problème de la série, par exemple, on dispose de trois récipients : 21 litres, 127 litres et 3 litres ; le but est de mesurer 100 litres d’eau avec ces trois récipients. Il existe, dans ce cas, deux procédures optimales (qui minimisent le nombre d’opérations) :

  • on enlève 9 fois le récipient de 3 litres du récipient de 127 litres et il reste 100 litres dans celui-ci : 127 – (9x3) = 100 ;

  • on enlève une fois 21 litres du récipient de 127 litres et deux fois 3 litres : 127-21 – (2x3) = 100.

Le déroulement de l’expérience

62Ce premier problème sert d’entraînement et les deux solutions précédentes sont montrées aux sujets. On leur donne ensuite, sans correction cette fois, sept autres problèmes du même type à résoudre.

63La particularité de ces problèmes est que la procédure optimale pour les premiers de la série (problèmes 2, 3, 4 et 5) est analogue à l’une de celles qui a été montrée dans le problème d’entraînement : on enlève du plus grand récipient une fois le contenu du moyen et deux fois le contenu du petit ; en utilisant la dénomination adoptée dans le tableau, la procédure optimale correspond alors, pour ces quatre problèmes, à la suite des opérations : B-A-2C.

64Les trois derniers problèmes sont les problèmes-tests :

  • pour les problèmes 6 et 7, on peut utiliser la procédure qui a marché jusque-là (B-A-2C) mais il en existe une autre plus rapide : A-C pour le premier et A+C pour le second ;

  • pour le problème 8, la procédure B-A-2C ne marche plus mais il existe une procédure très simple : A-C.

Les résultats et leur interprétation

65Cette expérience est spectaculaire et peut être reproduite très facilement avec n’importe quelle population. Dans la recherche évoquée ici et portant sur des étudiants de psychologie, 55 % des sujets résolvent les problèmes 2 à 5 avec la procédure B-A-2C. Parmi ceux-ci, 88 % continuent à utiliser cette procédure pour les problèmes 6 et 7 et 36 % échouent dans la résolution du problème 8 !

66Ce résultat montre à quel point la structuration de la représentation est forte lorsqu’on peut se référer à un problème analogue. Il est vrai que l’analogie entre les cinq premiers problèmes est particulièrement prononcée puisque non seulement ils peuvent être résolus avec la même procédure mais qu’ils se présentent, en outre, exactement de la même manière. Si on ajoute la proximité de ces problèmes dans le temps, toutes les conditions se trouvent réunies pour que se constitue un prototype de problème qui va être immédiatement mobilisé pour structurer la représentation lors de la résolution des problèmes 6, 7 et 8.

67Le phénomène observé n’a rien de surprenant et ce que l’on a pu interpréter comme une sorte de rigidité psychologique n’a rien de scandaleux. Il est parfaitement normal d’automatiser une procédure dès que l’on est en présence d’une série de problèmes analogues. Dans le cas de l’expérience décrite, les sujets peuvent penser, en outre, que c’est là le but de l’expérience : voir s’ils réussissent à découvrir la méthode qui s’applique à tous les problèmes (une question intéressante est d’ailleurs de se demander quel comportement est le plus évolué d’un point de vue cognitif : découvrir cette méthode et l’appliquer systématiquement avec le risque de se faire piéger comme c’est le cas ici pour 36 % des sujets ou ne pas la découvrir comme c’est le cas pour 45 % d’entre eux). Ce phénomène conduit, en fait, à soulever une question importante : celle du contrôle que nous sommes capables d’exercer sur notre représentation. Dans un cas d’hyper-stmcturation de la représentation comme celle provoquée dans l’expérience de Luchins, on peut constater que ce contrôle semble devenir quasi inexistant.

Quelques éléments à propos de la structuration

68Au fur et à mesure que nous avançons dans l’interprétation du contexte sémantique et dans l’analyse du problème, le contenu de notre représentation tend à se structurer davantage. Nous avons surtout envisagé, dans ce paragraphe, des cas où la structuration de la représentation a un rôle massif dans la découverte de la solution car ce sont eux qui révèlent le mieux la nature du processus en jeu. Ils font bien apparaître, en outre, les limites importantes qui existent au niveau des moyens que l’on peut mettre en œuvre dans une démarche d’aide à la résolution de problème. Une évolution de la représentation du problème, dans le cas où celle-ci est déjà fortement structurée, ne peut résulter que d’un processus complexe impliquant à la fois une remise en cause de la représentation construite et une restructuration de celle-ci. Dans tous les cas, l’évolution de la représentation, sa structuration progressive ou sa restructuration, sont liées à de très nombreux facteurs dont certains, parmi les plus importants, relèvent du processus d’opérationnalisation que nous envisagerons par la suite mais dont certains relèvent aussi du contenu de la représentation lui-même et des connaissances mobilisées lors de l’interprétation du problème.

Le contenu de la représentation et sa structuration

69La manière dont le contexte sémantique peut intervenir dans la structuration de notre représentation apparaît bien dans le cas d’un problème comme celui des 9 points : c’est le support géométrique de ce problème qui détermine, au moins en partie, le cadre dans lequel nous nous enfermons (cette structuration perceptive étant renforcée, ainsi que nous l’avons dit, par des habitudes de tracé acquises en géométrie). Dans le cas du problème melange eau/vin, nous avons vu que le caractère miscible des éléments en jeu (vin et eau) contribue à renforcer l’interprétation en terme de concentration que nous avons tendance à faire et contribue certainement à nous enfermer dans une telle approche du problème. Nous avons pu vérifier dans une expérience où, après avoir réfléchi à ce problème, les sujets sont mis en présence des trois versions possibles du problème melange (eau/vin, eau/huile, billes rouges/billes vertes) qu’ils sont relativement peu nombreux à changer leur interprétation du problème ; et le plus surprenant est que beaucoup de sujets ne donnent pas la même réponse pour les trois versions du problème, la structuration imposée par le caractère miscible des éléments ne parvenant pas à être remise en cause par les versions où ce caractère n’est plus présent (eau/huile, billes).

70Citons un autre exemple qui illustre, également, le rôle du contexte sémantique et du contenu de représentation qu’il induit dans le processus de structuration. Il s’agit de cette énigme bien connue.

Problème du Franc qui manque

Trois voyageurs arrivent à l’auberge pour y passer la nuit.

Il ne reste plus qu’une seule chambre à trois lits pour laquelle l’aubergiste demande 30 F. Chaque voyageur débourse donc 10 F.

Plus tard, en mettant la somme en caisse, l’aubergiste se rappelle que le prix de la chambre n’est pas de 30 F mais de 25 F. Il envoie alors le garçon porter 5 pièces de 1 F aux voyageurs. Mais le garçon décide de prélever son pourboire au passage et ne redonne qu’une seule pièce de 1 F à chaque voyageur, gardant 2 F pour lui.

Chaque voyageur a donc payé son lit 9 F, soit 27 F en tout. Le garçon a gardé 2 F pour lui. Le total est donc de 29 F (27 + 2).

Où est passé le franc qui manque ?

71Lorsqu’on nous pose ce problème pour la première fois, nous mettons généralement un certain temps pour sortir de la contradiction dans laquelle nous enferme l’énoncé (surtout lorsque le problème est posé oralement et de manière un peu persuasive...). Cet énoncé est construit pour piéger notre représentation en la structurant d’une manière particulière. En fait, nous sommes en présence d’une double structuration : celle qui correspond au scénario des échanges tel qu’il est décrit dans l’énoncé et celle qui correspond aux traitements numériques tels qu’ils nous sont proposés. Nous comprenons parfaitement chacune de ces deux logiques mais le problème est qu’elles conduisent à une contradiction et qu’il faut donc remettre en cause l’une des structurations imposées par l’énoncé.

72Insistons, une nouvelle fois, sur le fait que ces cas où la représentation est structurée d’emblée et de manière forte (ce que nous avons appelé les cas d’hyper-structuration) sont relativement rares lorsque l’on cherche des problèmes pour apprendre, par exemple en mathématiques. Ce sont plutôt, alors, les procédures et les stratégies mises en œuvre qui vont, progressivement, structurer la représentation. Mais si la voie choisie s’avère une impasse, les difficultés pour restructurer cette première représentation peuvent être aussi grandes que celles décrites ici. Pourtant, le cas le plus fréquent et sans doute le pire est encore celui où la représentation reste insuffisamment structurée ainsi que nous le verrons par la suite.

Des connaissances spécifiques ?

73Le rôle que pourraient avoir certaines connaissances particulières dans la structuration de la représentation apparaît bien dans une expérience comme celle de Luchins ou dans un problème comme celui de la MOUCHE. La connaissance mobilisée par l’énoncé du problème semble correspondre, dans ces deux cas, à une sorte de prototype de problème. Avec l’expérience de Luchins, nous sommes dans un cas extrême : celui où le prototype s’est constitué à partir de problèmes dont l’analogie avec le problème en cours est très forte et permet la mise en œuvre immédiate d’une procédure de résolution ; mais nous ne sommes plus vraiment, alors, dans le cas d’une situation de résolution de problème puisqu’il y a simplement application d’une procédure apprise. Un cas un peu différent est celui où le prototype correspond seulement à un genre de problèmes que l’on a rencontré plusieurs fois dans le passé ; c’est ce qui se passe avec le problème de la mouche où nous sommes trompés par son allure générale. Un point important à souligner, à ce niveau, est le fait que plus un prototype permet la mise en œuvre rapide d’une procédure, plus il structure fortement la représentation. Les enseignants reconnaîtront certainement là les pièges dans lesquels tombent “si facilement” les élèves. Or, nous le voyons, ces pièges sont le plus souvent liés à ce qui s’est passé avant et à la forme du problème que l’on propose ; une série d’exercices stéréotypés ne peut produire autre chose qu’une connaissance de forme prototypique et mobilisable seulement par des situations typiques.

74Mais ces connaissances particulières qui interviennent dans le processus de structuration ne se ramènent pas uniquement à des prototypes de problèmes associés à des procédures de résolution automatisées. D’une manière générale, on peut penser que tous les problèmes que nous rencontrons sont mémorisés sous une forme ou sous une autre et peuvent intervenir dans la construction d’une nouvelle représentation. Ces problèmes peuvent être mémorisés et rappelés sous la forme d’une trace spécifique correspondant plus ou moins au cas particulier qu’ils ont constitué. Mais surtout, ils peuvent être mémorisés en tant que connaissances et intégrés comme telles à nos structures cognitives. Ils pourront, dans ce cas, être rappelés sous des formes très diverses que les psychologues cherchent actuellement à imaginer et à décrire. Nous utiliserons, ainsi qu’on le fait souvent, le terme de schémas de problèmes pour désigner globalement toutes les formes sous lesquelles cette mémoire des problèmes peut intervenir dans la construction d’une représentation particularisée. Nous verrons dans le chapitre 4 que nous savons encore peu de choses sur la manière dont se constituent ces connaissances particulières mais il est vraisemblable qu’elles ont une fonction essentielle, à la fois dans le processus de structuration de la représentation et dans le processus d’opérationnalisation que nous allons examiner maintenant.

Le processus d’opérationnalisation

  • 23 – La notion de connaissance opératoire à laquelle nous nous référons, ici, ne renvoie pas à une con (...)

75La représentation que nous construisons dans une situation de résolution de problème a pour fonction de nous permettre d’agir en vue d’atteindre le but proposé. Mais une représentation peut être plus ou moins opérationnelle c’est-à-dire rendre plus ou moins aisée l’élaboration d’une procédure ou d’une stratégie. Le processus d’opérationnalisation est celui qui permet le passage à l’action, qu’il s’agisse d’une action effective (commencer des calculs, faire un dessin, tâtonner...) ou d’une action mentale (faire des déductions, élaborer un plan, ...). Ce passage à l’action résulte de la mise en œuvre d’un certain nombre de connaissances que nous conviendrons d’appeler opératoires : ce sont toutes celles qui sont issues de notre expérience passée en matière de résolution de problèmes et qui nous permettent d’agir23. Quelles sont alors les conditions, au niveau de la représentation du problème, qui vont permettre la mise en œuvre de ces connaissances opératoires ? Et quel est le rôle exact du processus d’opérationnalisation dans la construction de cette représentation ?

76Nous partirons, ici encore, de deux petits problèmes et de la représentation que nous pouvons en avoir lorsque nous cherchons à les résoudre avant d’apporter quelques données psychologiques à propos de ce processus d’opérationnalisation.

Un premier exemple

Problème de Restle

77Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci, est-ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui-ci était plus difficile que celui-ci ?

  • 24 – Problème cité dans : NORMAN L. – Traitement de l’information et comportement humain – Une introdu (...)

78Restle est le psychologue américain qui a proposé ce problème24. Il illustre avec humour ce qui est, en fait, le cas le plus fréquent en résolution de problèmes : celui dans lequel notre représentation, peu structurée dans un premier temps, nous permet cependant, très vite, de mettre en œuvre une stratégie qui, en retour, améliore considérablement cette représentation initiale. Après une première lecture de l’énoncé, le contenu de notre représentation reste très flou, c’est le moins qu’on puisse dire. Nous comprenons qu’il est question de deux problèmes dont l’un a été fait avant l’autre et dont l’un est plus difficile que l’autre ; nous comprenons aussi le but : dire si l’un des problèmes est plus difficile que l’autre. Mais c’est tout : aucun processus de raisonnement ne peut véritablement se mettre en place tant que nous nous contentons de lire l’énoncé. Une deuxième puis une troisième lecture, même accompagnées d’un gros effort d’attention n’améliorent pas, en général, notre représentation du problème ; elle reste très instable : nous avons l’impression, à certains moments, de démêler les relations que décrit l’énoncé et puis tout se brouille l’instant d’après. Les observations montrent qu’il est pratiquement impossible de résoudre le problème de tête (bien que nous ayons l’intuition, assez vite, que la réponse est “oui” mais sans que cela résulte d’une véritable interprétation des données). Par contre, si nous codons les données en désignant chacun des problèmes par un symbole (A et B par exemple), la représentation se précise et se structure rapidement. Une autre action qui facilite, également, la résolution est de procéder à rebours en codant les problèmes à partir de la question posée et non à partir de la première relation donnée. On peut procéder, par exemple, de la manière suivante :

... est-ce que le problème que vous

avez résolu avant que vous ayez résolu

est-ce que le problème A était

celui-ci était plus difficile que celui-ci ?”

plus difficile que le problème B

?

79On remonte ensuite en traduisant chaque paraphrase au moyen du code adopté.

“... le problème que vous avez résolu

avant que vous ayez résolu celui-ci, ...”

le problème A

“... que le problème que vous avez

résolu après que vous ayez résolu...

le problème B

le problème A...”

80On peut alors énoncer entièrement le problème sous sa nouvelle forme :

“Si le problème A était plus difficile que le problème B, est-ce que le problème A était plus difficile que le problème B ?”

81Une première opérationnalisation de la représentation se traduit donc, dans le cas présent, par le recours à un outil particulier (le code symbolique qui sert à différencier les deux problèmes dont il est question dans l’énoncé) et par la mise en œuvre d’une stratégie qui consiste à transformer l’énoncé du problème pour le rendre plus clair. Cette transformation modifie le contenu de notre représentation, renforce sa structuration et permet de passer à un autre niveau d’opérationnalisation : la mise en œuvre d’une série de déductions (très simples d’ailleurs) qui conduit à la solution. Sans que nous sachions précisément comment cela se fait, nous n’avons aucune difficulté, pour ce problème, à décider du genre d’action qui va permettre au contenu de notre représentation de se préciser et de se structurer davantage (le “nous” désigne ici les lecteurs potentiels de cet ouvrage car il n’en sera pas de même, bien sûr, pour un enfant ou un adulte peu habile dans la maîtrise des langages symboliques).

82Toute la question est de savoir ce qui déclenche cette stratégie de simplification de l’énoncé au moyen d’une écriture symbolique. On évoque souvent, dans ce cas, l’existence possible de ces connaissances opératoires que nous avons déjà évoquées dans le chapitre 1 et que l’on appelle des heuristiques. Il s’agit de connaissances générales qui pourraient induire la mise en œuvre d’une stratégie quand un certain nombre de conditions se trouvent réunies. On peut imaginer, par exemple, que la transformation de l’énoncé, dans le problème de restle, est déclenchée par une heuristique du type “Est-ce que je ne pourrais pas énoncer le problème différemment ?”. Une autre heuristique très performante pour ce problème est de partir de l’état final et de procéder à rebours. Mais, à supposer que de telles connaissances existent bien, la question fondamentale, déjà soulevée dans le chapitre 1 à propos du problème du nombre de chemins, est celle des conditions qui vont rendre possible leur mobilisation et leur mise en œuvre dans une situation donnée.

Un second exemple

Problème des fausses pièces

Vous appartenez au Service des Fraudes spécialisé dans la fausse monnaie.

Vous êtes en présence de 12 sacs contenant chacun plusieurs centaines de pièces de 5 F. Vous savez que l’un de ces sacs ne contient que des fausses pièces. Vous savez également :

que les pièces authentiques pèsent 30 g,

que les fausses pièces ne pèsent que 29 g.

Comment pouvez-vous déterminer, en une seule pesée, le sac où se trouvent les fausses pièces ? (vous pouvez peser ce que vous voulez mais vous n’avez le droit d’utiliser qu’une seule fois la balance et donc de ne faire qu’une seule mesure)

  • 25 – Nous ne connaissons pas l’origine de ce problème qui semble faire partie du patrimoine des profes (...)

83Ce problème25 constitue un cas intéressant du point de vue de l’opérationnalisation. La solution est quelquefois donnée très vite soit parce qu’elle est connue soit, pour quelques personnes, parce qu’elle s’impose immédiatement ; mais, le plus souvent, elle n’est pas trouvée (même quand la durée n’est pas limitée) ; pire : on se retrouve vite dans une situation où on n’a plus aucune idée de solution possible ni aucune idée de la direction dans laquelle chercher cette solution. Pour ceux qui ont déjà résolu des problèmes de pesée (il en existe plusieurs sortes), quelques essais sont généralement faits à partir de schémas propres à ce type de problème (par exemple : partager ce qui est à peser en deux ou trois parties) ; pourtant, très vite, lorsque les données du problème et les contraintes ont été bien assimilées, nous avons le sentiment que le problème “n’a pas de solution”. En fait, nous ne parvenons même plus à opérationnaliser assez notre représentation pour tâtonner et tenter quelque chose. Or ceci est très désagréable et nous sommes immanquablement tentés d’arrêter la recherche et d’aller voir la solution...

84Malheureusement, le lecteur qui s’est trouvé dans cette situation a pu constater (en parcourant rapidement ce paragraphe des yeux) que la solution n’est pas donnée dans le cas présent ! Il est important, en effet, de la chercher le plus longtemps possible. D’abord parce que la solution peut surgir sans que l’on sache trop pourquoi et nous avons alors une belle expérience d’insight (“mais oui... comment n’y ai-je pas pensé plus tôt !” – la solution, précisons-le, est à la portée de tous et n’implique aucune connaissance mathématique particulière). Il est important aussi de ressentir cette frustration et ce découragement que provoque l’incapacité d’opérationnaliser sa représentation d’une manière ou d’une autre. C’est là, sans doute, ce que ressentent couramment ces élèves et ces adultes que l’on dit en difficulté et qui échouent dès qu’ils sont confrontés à une tâche nouvelle. Ne pas trouver la solution d’un problème ou donner une solution fausse, ce n’est rien ; mais ne pas réussir à opérationnaliser assez sa représentation pour au moins tenter quelque chose est une expérience douloureuse (qui conduira d’ailleurs certains élèves à faire plus ou moins n’importe quoi et à se lancer dans des actions qui n’ont pratiquement rien à voir avec le problème à résoudre).

85Ce problème est représentatif d’un certain type de casse-tête : ceux qui conduisent rapidement à un blocage important au niveau de l’action. Or cette absence d’action, non seulement est frustrante mais a également un effet très néfaste au niveau du processus de résolution en bloquant toute possibilité d’évolution de la représentation vers un état de plus grande structuration. On sèche vraiment ! La question importante est de savoir pourquoi. On peut remarquer, tout d’abord, que nous nous trouvons ici dans une situation inverse, du point de vue de l’opérationnalisation de la représentation, de celle examinée avec l’exemple précédent (le problème de restle) : la construction de la représentation ne semble pas, a priori, soulever de difficulté majeure mais le processus se bloque très vite car, à partir d’un certain moment, le niveau d’opérationnalisation de cette représentation devient si faible qu’il ne permet plus d’agir (ni matériellement ni mentalement) et de tendre ainsi vers la solution. Dans le cas du problème de restle, au contraire, on ne comprend rien au départ mais la représentation devient très vite opérationnelle.

86On voit donc, dans le cas de ce problème des fausses pieces, que l’évolution de la représentation ne pourra pas résulter des actions mises en œuvre. Ce qu’il faut changer c’est le contenu de notre représentation et son mode de structuration et pour cela il faut avoir des idées nouvelles, penser autrement. Or ceci correspond, très vraisemblablement, au fait de mobiliser un grand nombre de ces connaissances spécifiques que nous avons appelées des schémas de problèmes et qui, par un processus que nous ne savons pas encore décrire, vont conduire à la découverte de la solution. Ceux qui ne l’ont pas trouvée ne doivent donc pas se décourager : dans un problème comme celui-ci les conditions de cette découverte se trouvent toujours réunies à un moment ou à un autre, il suffit de chercher le temps nécessaire...

Quelques éléments à propos de l’opérationnalisation

87Nous pouvons le constater avec les exemples précédents : les choses se compliquent nettement dès que l’on cherche à comprendre la nature des relations fonctionnelles entre l’action et la représentation dans l’activité de résolution de problèmes. La raison en est simple : ce sont ces relations qui sont au cœur même des processus de compréhension et de découverte qui caractérisent l’activité de recherche dans un problème. L’une des questions fondamentales, de ce point de vue, est de savoir comment la représentation s’opérationnalise c’est-à-dire évolue vers un état permettant l’élaboration d’une procédure ou d’une stratégie. Mais avant d’aborder cette question difficile pour laquelle nous n’avons pas vraiment de réponse, précisons la fonction exacte de cette opérationnalisation et du passage à l’action qu’elle permet.

La fonction de l’opérationnalisation

88Un premier fait important est à noter : dès que notre représentation le permet c’est-à-dire dès qu’elle est opérationnelle, nous agissons. Il s’agit là d’un principe de fonctionnement très général et qui correspond, vraisemblablement, à des raisons profondes au niveau adaptatif. Ce “besoin d’agir” apparaît bien dans la frustration que nous avons signalée à propos du problème des FAUSSES PIECES et qui se manifeste lorsque nous n’avons plus aucune possibilité d’action. Il apparaît aussi dans tous les problèmes où nous avons la possibilité, très vite, de mettre en œuvre une procédure et où l’action sera presque toujours préférée à un traitement plus approfondi de la situation (les enseignants connaissent bien ce comportement qui consiste à se précipiter dans un calcul avant même d’avoir fini de lire l’énoncé du problème et il le déplore généralement comme un manque de réflexion ou d’attention).

89Le fait d’agir a de nombreuses répercussions sur la représentation et il est, vraisemblablement, l’un des moteurs essentiels de son évolution. La première de ces répercussions est de renforcer la structuration de la représentation. Plus on agit, plus notre représentation du problème se structure. Les exemples d’hyper-structuration que nous avons donnés précédemment sont là pour le confirmer. Rappelons seulement le cas de cet étudiant qui a passé 18 heures sur le problème de l’echiquier mutile et qui a rempli 61 pages de brouillon sans parvenir à la solution : il a changé plusieurs fois de stratégie mais sa représentation n’a que très peu évolué, la probabilité de prendre en compte l’information essentielle ne faisant que diminuer au fur et à mesure de ses tentatives et du renforcement de la structuration initiale. Nous avons tous vécu cet acharnement à poursuivre des voies de recherche qui ne mènent nulle part mais que nous ne pouvons nous résoudre à abandonner car la nécessaire restructuration de la représentation devient de plus en plus difficile (c’est ce qui se passe, par exemple, dans le problème du NOMBRE de chemins quand nous sommes engagés dans une procédure de dénombrement systématique – cf chapitre 1). Mais ce renforcement de la structuration lié au fait d’être engagé dans une action, s’il a des effets négatifs dans certains cas, a aussi des effets très positifs. En particulier quand l’opérationnalisation conduit à ne mettre en œuvre qu’une stratégie peu élaborée ou même un simple tâtonnement, le fait d’agir peut avoir un impact décisif sur la représentation en renforçant considérablement son contenu et son organisation. Il existe un véritable effet structurant de l’action (la condition est toutefois que cette action résulte bien d’une opérationnalisation de la représentation et non d’un activisme désespéré comme cela est parfois le cas pour les élèves le plus en difficulté : “je n’y comprends rien mais je fais quand même quelque chose, on ne sait jamais, ...”).

90Une autre répercussion de l’action à laquelle conduit une représentation opérationnelle du problème est la possibilité de prendre en compte des éléments nouveaux dans la représentation. En transformant la situation initiale (par des dessins ou des calculs par exemple) le fait d’agir transforme le contenu de la représentation initiale favorisant ainsi la mise en place d’une nouvelle structuration mais aussi la mobilisation de nouvelles connaissances. Il est probable que l’opérationnalisation de la représentation a, en outre, des répercussions au niveau du contrôle que nous pouvons exercer sur son contenu et sur la pertinence de celui-ci par rapport au problème à résoudre.

91La fonction du processus d’opérationnalisation est donc de permettre la mise en œuvre de nos connaissances opératoires en vue d’élaborer une procédure de résolution mais il est aussi de permettre à la représentation de se transformer et d’évoluer dans les cas où elle ne conduit pas immédiatement à une telle procédure. Cette fonction importante correspond au rôle bénéfique et bien connu du tâtonnement dans la résolution de problèmes. On sait qu’il vaut mieux essayer quelque chose que ne rien faire. Mais tout tâtonnement, on le sait aussi, ne conduit pas nécessairement à un progrès ; encore faut-il qu’il corresponde à une stratégie performante par rapport à la solution du problème c’est-à-dire à une certaine adéquation entre l’état de la représentation et la nature des connaissances opératoires qui sont à la base de son opérationnalisation.

La nature exacte du processus

92Nous ne connaissons pas bien la nature de ce processus qui va permettre à des connaissances opératoires de venir s’intégrer à la représentation du problème et autoriser ainsi un passage à l’action. C’est là, pourtant, une question essentielle si l’on veut comprendre comment nous élaborons des procédures et des stratégies et donc comment nous découvrons la solution du problème. Nous nous contenterons, ici, d’évoquer les trois principaux cas qui peuvent se présenter.

93Le premier cas, le plus simple mais aussi le moins intéressant du point de vue de l’activité de résolution de problèmes, est celui dans lequel les connaissances opératoires sont directement mobilisables sous la forme d’une procédure conduisant à la solution. Nous avons vu précédemment (en particulier avec l’exemple des problèmes de Luchins) que ce cas correspond, vraisemblablement, à la mobilisation d’un prototype de problème auquel se trouvent associées des connaissances opératoires immédiatement transformables en procédure de résolution. Cette première forme d’opérationnalisation est celle qui caractérise les problèmes faisant l’objet d’un entraînement spécifique (les exercices) et ne concerne donc que de très loin les questions que nous voulons examiner ici.

  • 26 – Cette notion d’espace du problème a été introduite dans un ouvrage qui fait date dans l’histoire (...)
  • 27 – La notion d’heuristique est inévitable dès que l’on parle de stratégie de résolution de problème. (...)

94Le second cas est celui des problèmes dans lesquels nous pouvons agir beaucoup, faire des essais, tâtonner. C’est dans ce cas que les travaux concernant l’évolution de la représentation en fonction des actions entreprises ont été les plus nombreux jusqu’à présent. Des chercheurs ont introduit, en particulier, une notion intéressante, celle d’espace du problème, pour tenter de rendre compte de la manière dont la représentation du problème et les stratégies évoluent dans certains problèmes dits de transformation d’états26. Il existe, en effet, des problèmes pour lesquels les connaissances opératoires pertinentes vont pouvoir être décrites comme des règles qui orientent l’action dans une direction ou dans une autre. Les heuristiques sont de telles règles d’action et nous avons vu, dans des exemples comme le problème du nombre de chemins ou le problème de restle comment on pouvait rendre compte de la mise en œuvre de certaines stratégies à partir de la mobilisation de connaissances de ce type27. Mais une telle description ne permet pas pour autant, nous l’avons dit, de savoir ce qui détermine la mobilisation de telles heuristiques et donc ce qui détermine l’opérationnalisation de la représentation dans le sens de telle ou telle stratégie. Ce sont très certainement des relations complexes entre le contenu de la représentation, la manière dont elle est structurée et les connaissances opératoires mobilisées qui sont à la base de ce processus d’opérationnalisation. Une hypothèse sur laquelle nous reviendrons par la suite est que le processus de structuration et les connaissances spécifiques qui interviennent dans ce processus (les schémas de problèmes) pourraient avoir un rôle important dans ce passage à une représentation opérationnelle.

95Le troisième cas, enfin, est celui des problèmes directement liés à l’enseignement d’une discipline comme les mathématiques. Les connaissances opératoires qui sont à la base du processus d’opérationnalisation ne peuvent plus, alors, être décrites seulement comme des règles d’action. Ces connaissances résultent, en particulier, de l’acquisition de certains outils de modélisation qui vont changer complètement les conditions dans lesquelles se met en place la représentation. Qu’est-ce qui fait par exemple, dans le problème du nombre de chemins, que notre représentation s’opérationnalise sous une forme permettant d’appliquer nos connaissances en matière de combinatoire ? On se doute bien qu’il ne suffit pas d’avoir appris les formules comme des règles mais qu’il faut surtout les avoir acquises comme des outils pouvant servir à mathématiser des situations très différentes et à élaborer des procédures de résolution adaptées à ces situations. C’est à ce cas que nous nous intéresserons tout particulièrement dans le prochain chapitre en cherchant à comprendre le rôle exact de ces outils de modélisation et les conditions de leur mise en œuvre dans un problème donné.

Un phénomène particulier

  • 28 – Voir par exemple : HADAMARD J. – Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathémat (...)

96Nous dirons un mot à propos d’un phénomène qui a fasciné plusieurs mathématiciens et dont nous avons tous l’expérience : nous avons réfléchi longtemps à un problème sans parvenir à la solution et il suffit de ne plus y penser pendant un certain temps (de faire autre chose ou de laisser passer une nuit, par exemple) pour que cette solution apparaisse avec clarté et évidence. Il s’agit de ce que l’on appelle le phénomène d’incubation. Tout se passe comme si la restructuration de la représentation et son opérationnalisation résultaient d’un travail subconscient, une sorte d’incubation qui opérerait pendant que les données du problème ne sont plus dans notre champ de conscience28.

97Ce phénomène, pour spectaculaire qu’il soit, n’a rien de mystérieux et ne concerne pas un processus particulier qui ne pourrait fonctionner que “libéré” du contrôle exercé par notre activité cognitive consciente. Plusieurs sous-phénomènes doivent, vraisemblablement, être distingués :

  • en cessant d’agir (on ne pense plus au problème), la structuration de la représentation qui permettait cette action peut diminuer, se relâcher en quelque sorte ;

    • 29 – “Seuls reviennent à l’esprit, transformés, les problèmes auxquels nous sommes passionnément attac (...)

    le contenu de la représentation peut alors se transformer plus facilement en intégrant, en particulier, de nouveaux éléments (des connaissances qui n’avaient pu être mobilisées auparavant, par exemple) ; cette transformation pourrait se dérouler, pour une part, hors du champ de la conscience (mais après avoir été préparée par un travail cognitif intense – toutes les observations s’accordent sur ce point29) ;

  • la restructuration de la représentation permettant une nouvelle opérationnalisation et la découverte de la solution s’effectueraient, quant à elles, au moment où le problème est ramené dans le champ de conscience pour y réfléchir à nouveau ; ou cette restructuration est immédiate (et donne alors l’impression que la solution surgit de notre “inconscient”) ou bien elle résulte d’une nouvelle activité cognitive pendant un temps plus ou moins long (c’est le cas le plus fréquent : on reprend le problème mais avec les idées beaucoup plus “claires”).

98Le lecteur qui n’a pas trouvé la solution du problème des FAUSSES PIECES et qui avait l’intention de ne plus penser qu’à ça jusqu’à sa découverte (?), a donc peut-être intérêt à changer de stratégie et à laisser travailler son subconscient pendant qu’il lit la suite...

En résumé

99Nous avons évoqué, dans ce chapitre, quelques-uns des processus qui permettent la construction d’une représentation particularisée dans le cas d’une situation de résolution de problème. D’autres processus interviennent, d’une manière ou d’une autre, dans cette construction, le fonctionnement cognitif en situation constituant un système complexe. Ceux que nous avons choisis de pointer, ici, ont une caractéristique majeure : ils forment le noyau actif de la construction de la représentation, celui où l’investissement personnel est déterminant. C’est pourquoi nous les désignerons fréquemment, par la suite, sous l’appellation globale d’activité de représentation. En effet, tous les apprentissages et toutes les aides que l’on pourrait imaginer n’auraient aucun sens et aucune efficacité s’ils ne visaient directement cette activité et la part d’autonomie fonctionnelle (d’initiative) qu’elle renferme.

100Nous avons tenté de faire apparaître ce qui est sans doute la caractéristique majeure de ces processus directement concernés par la construction des représentations particularisées : le double mouvement des opérations de traitement qui les composent. Il existe un mouvement “du bas vers le haut” qui rend l’activité de représentation très dépendante des caractéristiques de la situation et qui explique, en particulier, pourquoi une infime variation de la situation peut changer la représentation que nous en avons. Mais il existe, également, un mouvement “du haut vers le bas” qui, en impliquant de manière forte nos connaissances dans la construction de la représentation, en fait une véritable activité. C’est le processus de structuration qui est probablement au centre de ce double mouvement et qui constitue le noyau central de l’activité de représentation car c’est lui qui fait le lien entre d’une part le processus d’interprétation du contexte et de sélection des informations et, d’autre part, le processus d’opérationnalisation qui permet d’élaborer les procédures et les stratégies conduisant à la solution du problème. Mais c’est ce processus de structuration qui est aussi le plus vulnérable et qui pourrait être le lieu principal des dysfonctionnements conduisant aux phénomènes d’échec.

  • 30 – Les travaux concernant le contrôle que nous pouvons exercer sur les représentations que nous nous (...)

101En revanche, un processus qui a seulement été évoqué dans ce chapitre est celui qui permet à des outils de modélisation de venir s’intégrer à la construction de la représentation en modifiant de manière souvent radicale et déterminante les conditions dans lesquelles celle-ci se met en place. Le chapitre suivant est consacré à ce processus de modélisation tant son étude devient fondamentale dès que l’on se place du point de vue de la didactique d’une discipline comme les mathématiques. Son étude nous permettra d’aborder, en outre, la question importante mais encore peu étudiée du contrôle que nous pouvons exercer sur notre représentation du problème30.

102Notons qu’une analyse en termes de processus comme celle que nous venons d’envisager, si elle permet de se faire une idée assez précise de la dynamique fonctionnelle qui caractérise la construction des représentations, n’apporte pas de réponses à la question essentielle des connaissances qui sont à la base de ce fonctionnement : Quelle est leur nature ? Comment se forment-elles ? Comment sont-elles mobilisées ? Les connaissances directement liées à l’élaboration des procédures et des stratégies, que nous appelons ici opératoires, occupent une place centrale dans l’activité de résolution de problèmes. De nombreux travaux ont cherché, au cours de ces dernières années, à cerner leur nature exacte et la manière dont elles se constituent à partir de l’expérience opératoire acquise dans les différentes situations auxquelles l’individu est confronté. Ces connaissances concernent directement le versant action de l’activité de résolution de problèmes mais elles concernent aussi son versant représentation. Nous avons évoqué, par exemple, le rôle de ces règles d’action particulières que sont les heuristiques dans la mise en œuvre d’une stratégie pouvant conduire à améliorer la représentation que nous avons du problème. Il est de plus en plus évident, toutefois, que l’existence de telles connaissances opératoires ne peut expliquer, en elle-même, comment se met en place la représentation du problème. La notion de schéma de problèmes sur laquelle nous reviendrons plus longuement par la suite (chapitre 4) résulte de cette idée qu’il existe vraisemblablement des connaissances qui ont un rôle spécifique dans les processus de représentation décrits précédemment.

Notes

13 – Ce problème est cité dans : DELEDICQ A. – Mathématiques buissonnières, Paris, Cedic, 1975. Il a été utilisé par PIAGET avec un support différent (billes rouges et billes blanches) lors de l’une de ses observations sur le développement de l’intelligence (PIAGET J. – Recherches sur la contradiction, 2, Les relations entre affirmations et négations, Paris, Presses Universitaires de France, 1974). LEONARD a également mené plusieurs expériences à partir de ce problème : LEONARD F. – Obstacles cognitifs dans les processus de résolution de problèmes, Archives de Psychologie, 1978, 46-178 ; LEONARD F. – Equilibration et clôture dans un processus de résolution de problème, Bulletin de Psychologie, 1979, 32-340 ; LEONARD F. – “Décalages” et interruptions du processus d’équilibration chez l’adulte, Cahiers de Psychologie, 1979, 22 ; LEONARD F. – L’interprétation des effets de contenu : changement de réponse ou changement de raisonnement ?, Cahiers de Psychologie cognitive, 1984, 4-5.

14 – LEONARD F. – Obstacles cognitifs dans les processus de résolution de problèmes, Archives de Psychologie, 1978, 46-178. L’énoncé utilisé pour cette expérience est légèrement différent de celui proposé ici : “On dispose d’une jarre d’eau et d’une jarre de vin. On prend un verre de vin dans la jarre de vin et on le verse dans la jarre d’eau. Puis on prend un verre du mélange dans cette seconde jarre et on le verse dans la jarre de vin. Est-ce qu’il y a plus de vin dans l’eau que d’eau dans le vin ou l’inverse ?” (l’énoncé n’évoque pas la possibilité d’une égalité des deux volumes).

15 – Les énoncés présentés sont aussi légèrement différents, dans leur formulation, de ceux construits par LEONARD ; ils correspondent aux énoncés utilisés lors de l’expérimentation citée.

16 – KAPLAN C.-A. & SIMON H.-A. – In search of insight, Cognitive Psychology, 1990, 22-3.

17 – Ces deux problèmes sont cités dans : MIALARET G. – L’apprentissage des mathématiques, Bruxelles, C Dessart, 1967. L’auteur constate que le premier est réussi par 64,54 % des élèves et le second seulement par 18,83 % (dans des classes de 4e et de 3e) alors qu’ils lui paraissent “rigoureusement identiques du point de vue mathématique” ( !).

18 – Problème très connu que nous avons trouvé dans : EUREKA – Récréations mathématiques – 200 cassetête moins un, Paris, Dunod, 1982.

19 – Voir par exemple : OLERON P. – Les activités intellectuelles – in : Traité de psychologie expérimentale, Tome VII, L’intelligence, Paris, Presses Universitaires de France, 1969.

20 – L’option structuraliste qui est à la base de la théorie de la Gestalt est présentée de manière très synthétique dans : PIAGET J. – Le structuralisme, Paris, Presses Universitaires de France, “Que sais-je ?”, 1968. Quant à la notion d’insight, centrale dans cette théorie, elle a fait récemment l’objet de plusieurs études montrant que l’on peut interpréter autrement que ne le faisaient les gestaltistes les phénomènes dont elle cherche à rendre compte ; voir une synthèse de ces travaux et de la controverse qui s’est développée ces dernières années à propos du problème des “9 points de Maïer” dans : RICHARD J.-F. – La résolution de problèmes – in : RICHELLE M. & al (eds) – Traité de psychologie expérimentale, Tome 2, Paris, Presses Universitaires de France, 1994.

21 – Il s’agit d’un classique parmi les problèmes-pièges. On trouve une version un peu différente de celle présentée ici dans : JACQUET F. – Casse-tête et problèmes classiques, Mathécole, 1981, 98. Ce problème est cité également dans : RICHARD J.-F. – La construction de la représentation du problème, Psychologie Française, “Résoudre des problèmes au laboratoire, à l’école, au travail”, 1984, 29, 3/4.

22 – L’expérience que nous évoquons ici est une réplication de l’expérience de LUCHINS présentée dans : OLERON P. & BONNEAUD C. – Sur les rapports entre plasticité et abstraction, L’Année Psychologique, 1954, 54.

23 – La notion de connaissance opératoire à laquelle nous nous référons, ici, ne renvoie pas à une conception théorique particulière. Elle sert seulement à désigner globalement les connaissances qui servent à agir et qui résultent de l’expérience opératoire acquise dans les diverses situations rencontrées auparavant. Les données empiriques et théoriques concernant ces connaissances opératoires sont extrêmement nombreuses et nous ne chercherons pas à les évoquer de manière directe dans ce texte. Nous nous contenterons de faire référence, peu à peu, aux connaissances opératoires qui ont un rapport étroit avec les processus de représentation.

24 – Problème cité dans : NORMAN L. – Traitement de l’information et comportement humain – Une introduction à la psychologie, Montréal, Editions Etudes Vivantes, 1980.

25 – Nous ne connaissons pas l’origine de ce problème qui semble faire partie du patrimoine des professeurs de mathématiques sous la rubrique “problèmes de réflexion”. Nous remercions G. SAGUERRE qui nous l’a posé il y a quelques années.

26 – Cette notion d’espace du problème a été introduite dans un ouvrage qui fait date dans l’histoire des travaux psychologiques sur la résolution de problèmes : NEWELL A. & SIMON H.-A. – Human problem solving, Englewoods-Cliffs NJ, Prentice-Hall, 1972. Les auteurs partent, en fait, de l’idée d’espace de la tâche (task environment) qui est une manière de formaliser la nature de la tâche à réaliser à partir des notions d’états et d’opérateurs permettant de passer d’un état à l’autre. Ils différencient alors cet espace de la tâche correspondant à une analyse a priori et canonique du problème de l’espace du problème (problem space) qui résulte de l’interprétation des données du problème par un individu donné. Une telle formalisation qui a l’avantage de bien se prêter à une implémentation informatique est surtout adaptée à l’étude de certains problèmes que l’on appelle justement de transformation d’états. Le problème connu sous le nom de La Tour de Hanoi en est l’exemple typique et on pourra consulter utilement l’analyse qu’en fait RICHARD dans : RICHARD J.-F. – Les activités mentales, Comprendre, raisonner, trouver des solutions, Paris, A. Colin, 1990.

27 – La notion d’heuristique est inévitable dès que l’on parle de stratégie de résolution de problème. Pour POLYA qui a redonné un statut à ce terme, une heuristique est à la fois une opération mentale et l’une des composantes d’une méthode générale de résolution (“l’heuristique moderne s’efforce de comprendre la méthode qui conduit à la solution des problèmes en particulier les opérations mentales qui s’avèrent typiquement utiles à l’application de cette méthode” – POLYA G. – Comment poser et résoudre un problème, Paris, Dunod, 1965). La notion est reprise et formalisée par NEWELL & SIMON dans le cadre de leur modèle général de résolution de problème. “Une heuristique est une méthode de recherche d’un chemin qui a de meilleures chances d’atteindre l’état-but que les méthodes de recherche aveugles” (NGUYEN – XUAN A. – Traité de psychologie cognitive, Tome 2, Le traitement de l’information symbolique, Paris, Dunod, 1990). D’un point de vue plus strictement psychologique, on peut considérer une heuristique comme un cas particulier de règle d’action : celui dans lequel la règle ne nous conduit pas directement à la solution du problème (ce cas étant celui des algorithmes) mais augmente la probabilité de nous rapprocher de cette solution. Les règles d’action constituent l’une des formes que peut avoir une connaissance opératoire (VERGNAUD a cherché à donner un statut à cette notion de règle d’action dans le cadre d’une conception globale des concepts – voir par exemple : VERGNAUD G. – L’enfant, la mathématique et la réalité, Berne, P Lang, 1981 ; ou : VERGNAUD G. – Psychologie et didactique : quels enseignements théoriques et méthodologiques pour la recherche en psychologie – in : MONTEIL J.-M. & FAYOL M. (eds) – La psychologie scientifique et ses applications, Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble, 1989).

28 – Voir par exemple : HADAMARD J. – Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, Paris, Librairie Scientifique A. Blanchard, 1959.

29 – “Seuls reviennent à l’esprit, transformés, les problèmes auxquels nous sommes passionnément attachés ou ceux qui nous ont contraints à une tension d’esprit considérable ; l’effort conscient et la tension intellectuelle semblent nécessaires pour faire travailler le subconscient. S’il n’en était pas ainsi, la partie serait vraiment trop belle, car nous pourrions résoudre les problèmes les plus difficiles simplement en dormant ou en attendant l”’idée”. POLYA G. – Comment poser et résoudre un problème, Paris, Dunod, 1965.

30 – Les travaux concernant le contrôle que nous pouvons exercer sur les représentations que nous nous faisons du problème à résoudre et, plus généralement, l’étude des aspects métacognitifs de l’activité de résolution de problèmes sont encore trop peu développés pour qu’il soit possible d’en retirer des indications utiles et fiables du point de vue de l’aide à la résolution de problèmes. La plupart des tentatives actuelles se ramènent, en fait, à enseigner des heuristiques et ne semblent pas plus convaincantes que les démarches proposées, en son temps, par POLYA. Ainsi que le dit SILVER, l’un des spécialistes de la résolution des problèmes mathématiques : “Etant donné l’importance des processus métacognitifs, des travaux théoriques et empiriques beaucoup plus nombreux sont nécessaires sur cet aspect de l’activité de résolution de problème” (SILVER E.-A. – Foundations of cognitive theory and research for mathematics problem-solving instruction – in : SCHŒNFELD A.-H. (ed) – Cognitive science and mathematics éducation, Hillsdale NJ, Lawrence Erlbaum Associates, 1987). Sur ce sujet, on peut cependant consulter utilement le chapitre intitulé “Le contrôle de l’activité” dans : RICHARD J.-F. & al (eds) – Traité de psychologie cognitive, Tome 2, Le traitement de l’information symbolique, Paris, Dunod, 1990 ; ainsi que : GOMBERT J.-M. & FAYOL M. – Auto-contrôle par l’enfant de ses réalisations dans des tâches cognitives, Revue Française de Pédagogie, 1988, 82 ; et : ALLAL L. & SAADA-ROBERT M. – La métacognition : cadre conceptuel pour l’étude des régulations en situation scolaire, Archives de Psychologie, 1992, 60.

© Presses universitaires de Rennes, 1995

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