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Transmettre les savoirs dans les mondes hellénistique et romain

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Frédéric Le Blay

Deuxième partie. Artes et savoirs techniques

Quels rapports entre les agrimensores romains et la science grecque ?

Jean-yves Guillaumin

Texte intégral

Le corpus gromatique

  • 1 F Blume, K. Lachmann, A. Rudorff, Gromatici veteres. Die Schriften der römischen Feldmesser, Berli (...)
  • 2 K. Lachmann a placé en tête de son édition un Index auctorum qui présente la liste des textes grom (...)

1Quatre textes fondamentaux, les plus complets, les mieux structurés et les mieux conservés, essentiels pour notre connaissance théorique des pratiques romaines d’organisation des sols, constituent le noyau ou en tout cas l’élément le plus connu du corpus des textes d’arpentage transmis par le monde romain. Ces quatre traités majeurs, de différentes époques de l’empire (les années 75 à 120, puis 300, constituent une fourchette qui n’a pas à être ici affinée davantage), sont ceux d’Hygin le Gromatique, de Frontin, d’Hygin et, pour les années 300, de Siculus Flaccus, personnages qui ne sont pas autrement connus, sauf Frontin. Ces écrits sont qualifiés de « gromatiques », du nom de la groma, l’instrument qui permettait au technicien de terrain de tracer des alignements et de prendre des angles droits. Mais les quelques dizaines de pages qu’ils représentent, témoignant d’une relative cohérence interne dans les problèmes abordés, dans la manière de les traiter et dans le vocabulaire utilisé, sont loin de rendre compte à elles seules de l’ensemble du corpus gromatique. Celui-ci, en effet, comprend encore bien d’autres éléments épars et hétéroclites, par les sujets, par les auteurs, par les époques. Textes de lois, catalogues de bornes avec représentation schématique de chacune, fragments de géométrie pratique, listes d’abréviations avec leur signification, commentaires de différentes époques... Textes fragmentaires dont la datation est souvent incertaine et traités mieux conservés constituent donc ce que l’on appelle aussi le corpus agrimensorum, les agrimensores étant ces spécialistes romains de la cadastration sous toutes ses formes et des questions juridiques qui y sont liées. Prenant en référence la seule édition relativement complète qui en ait jamais été donnée, celle de K. Lachmann1, on peut estimer grossièrement le volume de ce corpus à environ 500 pages, si l’on ne parle que de ce qui a été conservé et/ou de ce qui a été édité2.

  • 3 L. Toneatto, Codices artis memoriae. J manoscritti degli antichi opuscoli latini d’agrimensura (V- (...)
  • 4 L'Arcerianus (Wolfenbüttel, Herzog-August-Bibliothek, Guelferb. 36.23 Aug. 2°) tire son nom du fai (...)
  • 5 Le Palatinus latinus 1564, sans doute copié entre 810 et 830 en Basse Rhénanie, s’est d’abord trou (...)
  • 6 Wolfenbüttel, Herzog-August-Bibliothek, Guelferb. 105 Gud. lat. 2°. Originaire de Corbie. Avant de (...)
  • 7 E : Erfurt, Wissenschaftliche Allgemcinbibliothek, Amplon. 4° 362. Il s’agit du quatrième ensemble (...)

2Sur la tradition manuscrite, on dispose depuis peu (1994-1995) de l’étude de référence, qui est celle de L. Toneatto3. On peut distinguer trois familles : une première représentée par les deux composantes du ms. Arcerianus (B, fin Ve siècle, et A, début VIe : c’est l’époque de Théodoric et de Boèce, donc, qui voit la mise au net du premier état de la collection gromatique4), une seconde comprenant les deux mss. carolingiens P (Palatinus, 1er quart du IXe siècle5) et G (Gudianus, 3e quart6), et une troisième dite « mixte » parce qu'elle manifeste des points communs avec chacune des deux premières (E = Erfurtensis, F = Florence, N = Nansianus ou Scriverianus conservé à Londres7).

  • 8 C. Thulin, Corpus agrimensorum Romanorum, Leipzig, 1913, repr. Stuttgart, 1971. Cette édition n’es (...)
  • 9 Marcus Iunius Nypsius, dont les bribes avaient été éditées à moindres frais par Lachmann (p. 285-2 (...)
  • 10 Le Podismus a été édité par Lachmann (p. 295-301), mais non les extraits d’Épaphrodite et de Vitru (...)
  • 11 Ce commentaire occupe les p. 59-90 de l’édition Lachmann.

3Le volume occupé dans le corpus par les textes à préoccupations juridiques est considérable. Toutefois certains passages, ou les bribes conservées de certains traités, ressortissent aux mathématiques au sens large et à la géométrie. On les trouvera, si l’on suit un ordre chronologique approximatif, chez Hygin le Gromatique (Constitutio limitum, vers 75-77 ? Ce traité décrit le système d’établissement d’un carroyage de limites sur une zone centuriée), Frontin (l’auteur des Aqueducs de Rome ; ici, nous nous intéressons aux bribes intitulées De arte mensoria par l’éditeur suédois Thulin8), Marcus Iunius Nypsius9 (extraits d’un ouvrage dans lequel il s’agit prioritairement de retrouver des systèmes centuriés construits sur une diagonale mais qui ne sont plus parfaitement apparents), Balbus (premières années du IIe siècle ; traité géométrico-gromatique dont on a conservé la partie consacrée aux définitions), le Podismus et les extraits d’Épaphrodite et de Vitruvius Rufus (ceux-ci inspirés, pour certains de leurs chapitres, des Nombres polygonaux de Diophante ; matière : petits problèmes, calcul de surfaces, de périmètres, de longueur des côtés, portant sur triangle, rectangle, trapèze10), et Agennius Urbicus11 (vraisemblablement IVe siècle ; subit, parmi d’autres influences, celle du néoplatonisme ; d’où deux loci mathematici de saveur néopythagoricienne dans l’ouvrage de ce professeur que l’on peut définir d’abord comme un rhéteur et un juriste).

4Il y a donc une certaine variété dans les passages « mathématiques » que l’on découvre dans le corpus gromatique latin et elle permet d’organiser dans plusieurs directions la rapide présentation qui va suivre et qui prendra en compte aussi les textes grecs parallèles.

Méthodes géométriques de terrain et de bureau

  • 12 Frontin 4, 1 dans l’édition CUF (Les Arpenteurs romains, vol. 1 : Hygin le Gromatique – Frontin, é (...)

5Le mensor doit pouvoir faire face à toutes les situations et il ne risque d’être pris au dépourvu par aucune s’il est maître de toutes les ressources de son art, qui lui en offre plus d’une : c’est ce que Frontin12 appelle anis copia.

  • 13 Voir notamment l'article d’A. Roth Congés, « Questions d’arpentage dans La dioptre », Actes du col (...)

6Il y a toute une série de procédures géométriques de terrain que les textes gromatiques évoquent de manière plus ou moins précise, à inscrire dans une fourchette qui va de la description assez fine d’un procédé géométrique (c’est rare) à l’allusion (c’est le plus fréquent) éventuellement obscure (cela se produit), les textes grecs parallèles étant dans tous les cas plus précis. Nous donnerons ici des exemples de ces textes latins avec leurs correspondants grecs, sans chercher l’exhaustivité puisque ces textes ont fait l’objet, au cours des dernières années, d’un certain nombre d’analyses précises13.

  • Calcul de la hauteur d’un point inaccessible. Problème emblématique des opérations des géodètes, mentionné par Balbus (expugnandorum montium altitudines, « la hauteur des montagnes à prendre d’assaut14 »), mais pour lequel aucun mode de résolution n’est lisible dans le corpus gromatique ; et pour cause, parce que la groma ne suffirait pas à effectuer les opérations nécessaires. Héron, Dioptre, chapitre 12, donne la solution, qui fait intervenir les propriétés des triangles semblables15.
  • -Replacer des bornes qui ont disparu ou qui ont été déplacées. C’est un problème qui est résolu géométriquement (il reste deux bornes en place, il faut retrouver l’emplacement des autres) par Héron, Dioptre, chapitre 25, et auquel il est fait allusion dans le « livre II » du Pseudo-Frontin (p. 40 l. 22-p. 411.5 Lachmann). Pour ce problème, on a un texte clair et détaillé en grec16, mais une simple allusion17, assez obscure, en latin – comme si elle suffisait à évoquer chez le lecteur la totalité et les détails du processus à appliquer : a-t-il appris le procédé de manière empirique par de nombreuses répétitions sur le terrain, est-il capable d’en enchaîner mécaniquement toutes les étapes à la seule évocation de la démarche ? On percevrait alors ici de manière très suggestive la différence entre le monde des mensores et celui du géomètre Héron.
  • Calculer la distance entre deux points inaccessibles ; et mener une parallèle au segment joignant ces deux points. Ce problème est traité chez Hygin le Gromatique18 comme chez Héron, Dioptre, chapitre 10 (la solution d’Hygin le Gromatique correspond à la première des trois solutions données par Héron19).
  • Calcul de la largeur de la rivière : allusion (sans résolution) chez Balbus20, car c’est encore un problème emblématique de la géodésie ; résolution chez Nypsius21 et chez Héron, Dioptre, chapitre 9 (qui est une application de la démarche générale exposée au chapitre 8, « Deux points étant donnés, l’un proche de nous, l’autre éloigné, prendre à l’horizontale la distance qui les sépare, sans s’approcher du point éloigné ») ; Hygin le Gromatique (passage précité), sans parler de rivière, fournit aussi une solution pour le calcul de la distance d’un point inaccessible, qui peut être appliquée au problème de la rivière. Chez Balbus (et sans doute chez Héron : c’est ce que suggère le chapitre 2 de La dioptre), ce sont les troupes du génie qui opèrent, car il est question de construire un pont et donc de connaître la largeur de la rivière alors que l’ennemi tient la rive opposée22 ; d’autre part, le procédé héronien, par des triangles semblables homothétiques, est rapide, avec économie de moyens, et la précision est suffisante s’il s’agit de construire un pont. Chez Nypsius, ce sont les Ponts et Chaussées, car on est dans le cadre de l’installation d’une centuriation régulière, qu’il faut poursuivre au-delà d’un cours d’eau : ce qui intéresse Nypsius est donc bien davantage de reprendre des repères rigoureusement exacts de l’autre côté de la rivière pour continuer sans erreur son quadrillage (on ne peut tolérer une erreur, même minime, car tout le réseau s’en trouverait faussé), que de connaître la largeur du fleuve. Héron et Hygin le Gromatique opèrent au moyen de triangles semblables homothétiques ; Nypsius s’épargne tout calcul en utilisant des triangles non seulement semblables, mais égaux, à angle droit, et opposés par le sommet (il est vrai qu’il lui faudra une zone plane assez étendue pour tracer son triangle rectangle sur la rive où il se trouve).
  • Levé d’un plan à l’échelle et mesure d’une aire irrégulière : il existe deux méthodes communes à Frontin23 et à Héron dans la Dioptre, et une troisième qui se trouve chez Héron mais non pas dans les textes latins. On a affaire soit à un territoire de cité, soit à un domaine. La difficulté réside dans l’irrégularité et la sinuosité de la ligne d’extrémité de ce genre de terre, que la terminologie latine des condiciones agrorum (« catégories de terres ») désigne par l’expression ager mensuraper extremitatem comprehensus, « terre embrassée par la mesure en suivant l’extrémité », c’est-à-dire « terre arpentée par son périmètre24 ». Ce sont les enclaves qui ne sont pas quadrillées dans un territoire, par exemple les domaines privés, les loca sacra, les subsécives à l’intérieur de la pertica ; ce peut être également le territoire globalement assigné à une cité, les domaines de l’État... ; et aussi, dans certains cas, bien qu’elles en soient en principe distinguées par le même Frontin, les terres dites « arcifinales » (avec des limites naturelles ou anthropiques autres que des lignes de centuriation), quand elles sont « vectigaliennes », c’est-à-dire soumises au paiement d’un impôt.
  • 25 Frontin 4, 1 ( = p. 31-32 Lachmann). Pour des commentaires de détail, voir les notes dont j’ai acc (...)
  • 26 Ce cadre orthonormé peut être inscrit (pour économiser le travail de mesure), ou circonscrit (si l (...)

7Je commence par la méthode qui apparaît la première quand on lit Frontin, lequel lui consacre un passage relativement long, mais assez obscur25. On transforme la ligne périmétrale sinueuse et irrégulière en une succession de segments rectilignes d’approximation, puis on les englobe dans un cadre orthonormé que l’on construit sur le pourtour de Faire26. À partir d’un point pris sur la limite, on trace une série de segments perpendiculaires qui permettent de transformer tous les côtés du polygone auquel on a ramené Faire irrégulière objet du travail, soit en hypoténuses de triangles rectangles, soit en côtés de rectangles, toutes figures ou segments mesurables et mesurés. Frontin dit que l’on « calcule la superficie enfermée entre les lignes grâce à la méthode des angles droits » (modum autem intra lineas clusum rectorum angulorum ratione subducimus). C’est que, dit-il encore, « même la plus petite partie d’un territoire ne doit pas échapper à l’arpenteur et, traitée par la méthode des angles droits, doit se soumettre à ses exigences » (4, 2 : Debet enim minima quaeque pars agri in potestate esse mensoris et habita rectorum angulorum ratione suapostulatione constringt). 11 n’y a donc pas réellement description de la méthode, mais évocation allusive (par l’expression rectorum angulorum ratio) en direction d’un lectorat qui la connaît. Ce qui soulève encore cette question d’importance : pourquoi le lecteur connaît-il la méthode au point qu’il est inutile de la lui décrire précisément ? Il a pu l’apprendre de manière empirique et automatique par des démonstrations de terrain ou de bureau, par des exercices mécaniquement répétés ; mais il a pu aussi la lire dans des documents que nous n’aurions plus et qui pourraient avoir ressemblé... aux manuels héroniens, c’est-à-dire qu’il a pu l’étudier en grec. Car la méthode est en effet expliquée nettement dans le chapitre 25 de la Dioptre.

  • 27 Frontin 4, 3 = p. 33 1. 7-13 Lachmann.

8Deuxième méthode de mesure d’une aire irrégulière connue de Frontin : par le rectangle inscrit27. Le texte, qui renvoie effectivement à cette méthode, ne l’expose pas clairement et se contente plutôt, une nouvelle fois, à une évocation allusive. Pour un exposé clair de la même méthode, il faut aller chez Héron, Dioptre, chapitre 23. On trace à l’intérieur de la zone à estimer le rectangle le plus grand possible, dont les angles sont placés autant que possible (l’un d’eux, au minimum) sur la ligne périmétrale irrégulière de la figure. Cette ligne sinueuse est transformée par approximation en une succession de segments rectilignes. Depuis les sommets constitués par les brisures de ces segments, on abaisse sur les longueurs et sur les largeurs du grand rectangle central des perpendiculaires qui permettent de découper la « couronne » située entre ce rectangle central et la ligne d’extrémité en un certain nombre de triangles ou de trapèzes parfaitement mesurables. L’addition de ces petites parcelles et du grand rectangle central donne la superficie d’ensemble de faire irrégulière. On a également, de cette manière, un système de références commode pour localiser à l’intérieur de cette aire tout point intéressant.

9La troisième méthode de mesure d’une superficie irrégulière procède à partir d’une droite axiale : les textes gromatiques latins ne la présentent nulle part et elle n’est que chez Héron, Dioptre, chapitre 24. Ce fait peut être considéré comme un témoignage du caractère plus systématique, plus complet, des textes géométriques grecs par rapport aux textes gromatiques latins. Mais plus profondément, c’est un indice de la différence de perspective entre les mensores latins et le géomètre alexandrin. Ce dernier travaille au niveau du domaine et la « méthode de la ligne axiale » peut convenir quand l’objet de l’opération est un champ ; tandis qu’elle ne sera certainement ni la plus commode, ni la plus efficiente dans le cas de l’évaluation du territoire d’une cité, beaucoup plus étendu, et qui est la réalité à laquelle s’attache l’ouvrage frontinien qui nous est parvenu – ce qui n’entraîne pas qu’il n’ait existé aussi des textes techniques latins consacrés à l’évaluation de la surface plus réduite d’un champ, textes qui auraient présenté la méthode de la droite axiale, mais qui ont disparu, s’ils ont jamais existé.

Récupération de spéculations mathématico-philosophiques grecques

  • 28 J’ai consacré un article à ce sujet : « Géométrie grecque et agrimensorique romaine : la science c (...)

10On a peu prêté attention à la manière dont certaines spéculations philosophiques grecques à propos de certains êtres géométriques ont pu servir à la justification a posteriori des pratiques romaines de centuriation28. Le système de la centuriation se ramène à l’établissement d’axes orthonormés, faisant intervenir seulement des tracés géométriques de base : la ligne droite, l’angle droit, la perpendiculaire, le carré. Un tel système est évidemment très facile à mettre en œuvre par des procédés techniques qui ne demandent à l’arpenteur de terrain – ni même au concepteur du projet – aucune connaissance théorique en géométrie. Cependant, au cours de la durée de fonctionnement du système, on ne peut que trouver de l’intérêt à lui découvrir des fondements scientifiques et même, si j’ose dire, métaphysico-mystiques et moraux. Dans la littérature mathématique grecque, il y a un certain nombre de textes qui pourraient fonder, de ce point de vue, la pratique romaine d’organisation des terres.

  • 29 Vol. 4 de l’éd. Heiberg des œuvres d’Héron d’Alexandrie, p. 154 1. 12-15 : Σύμβολον δ’ ή μὲν εὑθεῖ (...)

11Le principe de la centuriation se trouve évidemment dans la ligne droite. Or, à côté des textes grecs qui en traitent de manière strictement horistique et scientifique (par exemple la définition euclidienne des Eléments 1, défi 4), d’autres l’envisagent sous un aspect tout à fait différent, à la manière de l’extrait suivant de Proclus : « La ligne droite est le symbole de la Providence inflexible, invariable, incorruptible, inépuisable, toute-puissante, qui est présente à toutes choses29... »

  • 30 Ibid., p. 142 1. 9-10 :'H ὀρθὴ γωνία σύμβολόν ἐστι τῆς ἀκλινῶς συνεχομένης ἐνεργείας τῇ ἱσότητι κα (...)
  • 31 Ibid., ρ. 148 1. 23 - ρ. 150 1. 2 : Τελειότητος ἄρα καὶ ἀκλινοῦς ἐνεργείας καὶ ὅρου νοεροῦ καὶ πέρ (...)

12On peut poursuivre avec l’angle droit, lui aussi élément caractéristique de la technique de la centuriation romaine. Du même genre de texte, le même Proclus nous fournit encore un bon exemple : « l’angle droit est le symbole de la force inflexible qui s’unit à l’égalité, à la limite et au terme30 » ; et encore : « Nous poserons que la rectitude des angles rectilignes est l’image de la perfection, de l’énergie qui ne dévie pas, de la limite intelligible, du terme, etc.31 »

13Quant à la perpendiculaire, c’est toujours Proclus qui parle :

  • 32 Ibid., p. 118 1. 26 - p. 120 1. 6 : Συ 'μβολον οὖν καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας, καθαρότητος ἀκράν (...)

« La perpendiculaire, donc, est aussi un symbole de l’équilibre, de la pureté sans souillure, de la puissance inflexible, etc. C’est aussi le symbole de la mesure divine et idéale : car c’est grâce à la perpendiculaire que nous mesurons de bas en haut les hauteurs des figures, et c’est par rapport à l’angle droit que nous définissons les autres angles rectilignes...32 »

14Ainsi se trouve formé le carré de la centurie. Voici encore Proclus :

  • 33 Ibid., p. 152 1. 1-4 Εκ πάντων τῶν σχημάτων μόνον τò τετράγωνόν ὲστιν ἴσας ἔκοντὰς πλευρὰς καὶ ὀρθ (...)

« De toutes les figures planes, le carré est la seule à avoir ses côtés égaux et ses angles droits : voilà pourquoi on dit qu’il est le plus précieux. C’est la raison pour laquelle les pythagoriciens y voient l’image du divin...33 »

  • 34 Rappelons par exemple qu'un Héraklès grec, héros typiquement pythagoricien, est venu à cette époqu (...)

15Les spéculations de ce genre, attribuées « aux pythagoriciens », sont anciennes. Et elles ont pu être connues en Italie à date relativement haute. On peut dater du Ve siècle au moins la remontée du pythagorisme vers Rome depuis les régions grecques de l’Italie34. Cicéron, qui prouve que Numa n’a pu être disciple de Pythagore (Rép. 2, 15), est pourtant conscient de cette influence. On ne voit guère comment les amateurs d’hellénisme de la Rome du IIe siècle avant J.-C. (que l’on pense simplement au « cercle des Scipions ») auraient pu ignorer ces idées. Des personnes comme les Gracques les ont forcément entendues. C’est ainsi qu’une partie de la théorie « mathématique » grecque a pu se prêter à une utilisation idéologique, même sous-jacente et non-dite, pour la justification et même la glorification des pratiques romaines d’organisation des sols. La centuriation n’était pas (qu) un système arbitraire imposé à des régions soumises par un vainqueur arrogant... Maîtresse du monde, Rome se conformait aux volontés de la Providence, dont elle n’était au fond que l’exécutrice des desseins. « Les campagnes mathématiques de Romagne », le campagne matematiche di Romagna, évoquées par Carlo Levi à la fin de son roman Cristo si è fermato a Eboli, étaient en réalité la marque d’une divine géométrisation des sols.

Balbus et les définitions géométriques euclidiennes en latin

  • 35 Lachmann, p. 97 1. 14 - p. 104 1. 2.

16Un certain nombre de définitions du premier livre d’Euclide (point, ligne, extrémités de la ligne, parallèles, surface, extrémités de la surface, perpendiculaire), entrecoupées de définitions agrimensoriques (extremitas, rigor, decumanus, cardo), figurent chez Balbus35. On peut les présenter, pour plus de clarté, dans le tableau suivant :

Balbus

Euclide

p. 971. 15 Lachmann : Signum est cuius pars nulla est

1, déf. 1 : Σημεῖου ἐστιυ οῦ μέρος οὐδέυ, « Le point est ce qui n’a pas de partie »

p. 98 1. 15-16 Lachmann : Linea est longitudo sine latitudine ; lineae autem fines signa

1, déf. 2 : Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές, « La ligne est une longueur sans largeur » ; 1, déf. 3 : Γραμμὴ δὲ πέρατα σημεῖα, « Les extrémités de la ligne sont des points »

p. 98 1. 16 - p. 99 1. 2 Lachmann : Ordinatae rectae lineae sunt quae in eadem planifia positae et eiectae in utramquepartem in infinitum non concurrunt

1, déf. 23 : Παράλληλοι εἰσιυ εὐθεῖαι αἴτιυες ἐυ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐσαι καὶ ἐκβαλλόμευαι εὶς ἄπειρου ἐφ’ ἐκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιυ ἀλλήλαις, « Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l’infini de part et d’autre, ne se rencontrent ni d’un côté ni de l’autre »

p. 99 1. 11-14 Lachmann : Summitas1 est secundum geometricam appellationem quae longitudinem et latitudinem tantummodo habet ; summitatis fines lineae. Plana summitas est quae aequaliter rectis lineis est posita

1, déf. 5-7 :’Επιφάυεχα δέ ἐστιυ ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόυου ἔχει. ’Επιφαυείας δὲ πέρατα γραμμαί. ’Επίπεδος ἐπιφάυειά ἐστιυ ἤτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἐαυτῆς εὐθείαις κεῖται.

p. 100 1. 11-14 Lachmann : Quotiens autem recta super recta linea stans ex ordine angulos pares fecerit, et singuli anguli recti sunt, et stans perpendicularis ems lineae super quam insistit est, « Toutes les fois qu’une droite élevée sur une ligne droite fait des angles successifs égaux, chacun de ces angles est droit, et la droite que l’on a élevée est dite perpendiculaire à la ligne sur laquelle elle est placée »

1, déf. 10 : ὄταυ δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαυ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωυίας ἴσας ἀ λλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωυιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἑφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἢν ἐφέστηκεν.

p. 104 1. 1-2 Lachmann : Forma est quae sub aliquo aut aliquibus finibus continetur

1, déf. 14 : Σχῆμα ἐστι τò ὐπό τιυος ἢ τιυωυ ὅρωυ περιεκόμευου, « une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs limites »

17Le manuel de Balbus renferme clairement la première tentative de traduction systématique des définitions euclidiennes en latin, dans l’état de la documentation que nous avons conservée. On n’est pas plus tard que les toutes premières années du IIe siècle après J.-C. La contribution des gromatiques à la diffusion de l’outil conceptuel en matière de géométrie mérite donc d’être signalée. Ils ont certes reçu l’héritage grec euclidien, ici de manière particulièrement nette, mais ils ont aussi contribué à sa transmission. Ils ont également joué un rôle dans la fixation du vocabulaire géométrique latin : signum pour le point (σημεῖον), punctum pour le centre du cercle (κέντρον) ; utilisation de chorauste, grec κορυφή, pour désigner la ligne supérieure d’une figure, par exemple la petite base d’un trapèze, etc.

Arithmétique « néopythagoricienne » chez Agennius Urbicus

18Il y a chez Agennius Urbicus, commentateur gromatique d’époque tardive (IVe siècle ?), deux passages « mathématiques » qui méritent d’être cités parce qu’ils sont des choses rares dans la littérature latine.

  • 36 Lachmann, p. 64 1. 24 - p. 65 1. 12 ; Thulin, p. 25 1. 15 - p. 26 1, 2 ; le texte édité est le mêm (...)
  • 37 « La médiété est un groupe de trois nombres inégaux, tels que deux de leurs différences sont entre (...)

19Dans un éloge de la mathématique36 qui s’incrit dans la tradition de Quintilien (surtout Institution oratoire 1, 10), Agennius écrit : Quin et geometrica<m> analogia<m> aut armonica<m> aut arithmetica<m> aut contraria<m> aut quinta<m> aut sexta<m> et ceteros ordines exercemus, « Bien plus, nous pratiquons les proportions géométrique, harmonique et arithmétique, ainsi que la proportion contraire, la cinquième et la sixième, et les autres séries ». Même si la définition de chacune, ni même la définition générale, n’est pas donnée, on a ici une allusion claire aux « médiétés » qui constituent le couronnement de l’arithmétique pythagoricienne37, et cette allusion se trouve dans un texte antérieur à Boèce. Témoignage de la manière dont est reçue, même si elle n’est pas pleinement dominée, la théorie des médiétés dans le monde intellectuel du Bas empire ; marque, également, de la part prise par les commentateurs de cette époque dans la transmission, même fragmentaire et allusive, de cet héritage.

  • 38 Lachmann, p. 65 1. 22 et p. 66 1. 3 ; Thulin, p. 26 I. 14-20 ; le texte des deux éditeurs est iden (...)

20Abordant, presque aussitôt après, la classification des controverses sur les terres, le même Agennius écrit ceci38 :

« Quemadmodum unum extra positum est, quo separate a cetero numero duoprimum numerantur, in hoc quoque numero controuersiarum depositione terminorum ad unius omnino condicionem respicit, et quamuis sit origo quaedam litium, minime taynen adiungi materialibus controuersiis uidetur posse, quoniam singulariter omnium litium anticipalis existit. »

« De même que l’unité occupe une place à part et que, une fois l’unité séparée du reste du nombre, c’est 2 qui est le premier nombre, de même ici, à propos du nombre des controverses, celle qui porte sur la position des bornes relève très exactement de la condition de l’unité, et bien qu’elle soit comme l'origine des litiges, il semble pourtant absolument impossible de la mettre sur le même plan que les controverses matérielles, parce qu’à la façon de l’unité, elle est préalable à tous les litiges. »

  • 39 Cf. Aristote, Top. 1,18, 108 b 26 ; 7, 4, 141 b 8.
  • 40 Nicomaque, Introduction arithmétique 1, 8, 2, p. 141. 18-19 Hoche, écrit : ἀρχὴ ἄρα φυσικὴ ἠ μόνας
  • 41 Proclus, Théologie platonicienne 2, 1, p. 8 1. 12 de l’édition CUP (livre 2, 1974) de H. D. Saffre (...)
  • 42 Asclépius, In Nic. 1, 72, p. 37 1. 20-21 Tarán, justifiant que l’unité soit exclue de la série num (...)
  • 43 Commentaire sur le Songe de Scipion 2, 2, 8 : « Monas numerus esse non dicitur, sed origo numeroru (...)
  • 44 Noces de Philologie et de Mercure 7,745 : « Monas quidem numerus non est », « L’unité, quant à ell (...)
  • 45 Sur la dyade et la monade comme sources des nombres, voir A. J. Festugière, La Révélation d’Hermès (...)

21L’auteur prétend donner à la controverse gromatique depositione terminorum, par rapport à toutes les autres controverses, le même statut d’antériorité logique et ontologique que possède l’unité par rapport au nombre, dans la doctrine « pythagoricienne » de l’arithmétique. L’affirmation selon laquelle l’unité n’est pas un nombre, mais le principe du nombre, ce qui entraîne que le premier nombre est le nombre 2, est classique dans l’arithmétique « pythagoricienne » reprise par les commentateurs néoplatoniciens ; on pourrait dire qu’ils la présentent tous dans quelque passage de leurs traités. Elle est d’ailleurs ancienne : on la trouve dès Aristote39. On l’a, toujours dans le domaine grec, dès le IIe siècle chez Nicomaque40, au Ve siècle chez Proclus41, puis chez Asclépius, commentateur alexandrin de Nicomaque au début du VIe siècle42 ; et je ne donne là que quelques exemples. En latin, et là encore ce ne sont que quelques exemples, on pourrait citer Macrobe43 et Martianus Capella44, qui écrivirent le premier sans doute vers la fin du premier tiers et le second plus vraisemblablement au début du dernier tiers du Ve siècle45.

Questions de chronologie et conclusion

  • 46 Lachmann, p. 192 1. 8.

22Une fois reconnue – et illustrée à travers ces quelques exemples – la parenté qui existe indiscutablement entre la masse de connaissances et de pratiques gréco-alexandrines, et même leur mise en forme, d’une part, et d’autre part les passages « géométriques » du corpus gromatique, est-il possible de suggérer des parentés et des paternités ? La chronologie ne s’oppose évidemment pas à ce que Balbus (début IIe siècle ap. J.-C.) se soit fait traducteur d’Euclide. Pas davantage ne s’oppose-t-elle à ce que le même auteur ait pu avoir en main et adapter en latin telle ou telle composante de l’œuvre héronienne, si Héron est à placer à la fin du règne de Néron. Nypsius lui-même, que l’on hésite à situer à la fin du Ier siècle ou à une époque nettement plus tardive, a très bien pu lire la Dioptre. Les expressions techniques se répondent d’une langue à l’autre : lineam extendemus, dit Hygin le Gromatique46, « nous tendrons le cordeau », alors qu’on lisait chez Héron σχοιιΛον ἐκτείνειν ; manente groma, écrit Nypsius (« ayant bloqué la groma »), alors que revenaient fréquemment dans la Dioptre d’Héron des expressions comme l’absolu équivalent grec μενούσης τῆς διόπτρας (chapitre 6, p. 206 Schöne).

23Pour autant, on ne peut faire d’Héron la source de tout ce qui est géométrie et applications techniques de la géométrie dans le corpus gromatique latin. Car on ne peut tenir hors du débat un auteur comme Columelle, dont le début du livre V présente une série de problèmes tout à fait comparables, par la forme et par le fond, aux problèmes qui apparaissent dans le corpus héronien. Or, il n’est guère possible de faire de Columelle, qui écrit sous Claude, un lecteur, je ne dis même pas des parties tardives du corpus héronien, mais même des traités authentiques de l’Alexandrin comme la Dioptre.

  • 47 Voir l’art. précité (supra, n. 13) d'A. Roth Congès dans les MEFRA, p. 299 sq. puis 328 sq.

24D’autre part, il faut bien souligner que, si les auteurs du corpus gromatique exposent (même sommairement et par allusion) certaines méthodes géométriques à mettre en œuvre sur le terrain, ils le font dans des traités qui, pour être les premiers que nous possédions, ne sont pas cependant des ouvrages fondateurs. Les pratiques décrites sont de beaucoup antérieures. Les Romains pratiquent la « limitation » depuis le IIIe siècle avant J.-C. La construction d’un cadastre sur la diagonale est attestée dès avant 118 avant J.-C. sur le territoire de Narbonne, avant la fondation de cette ville, selon A. Perez47. La mise en forme « littéraire » des pratiques des mensores reflète l’influence de la science alexandrine, mais cette influence s’était exercée beaucoup plus tôt, et au fond les techniques employées par les ingénieurs romains se ramenaient à un petit nombre. Quant aux manuels gromatiques latins d’époque impériale que nous connaissons parce que nous les avons conservés fût-ce sous la forme de fragments, ont-ils été précédés, dans la période républicaine, d’ouvrages qui auraient pu être des traductions de traités grecs, mais dont nous n’aurions pas conservé la trace ? Ou bien les praticiens latins s’initiaient-ils directement sur des manuels grecs ? C’est une question à laquelle il est difficile de répondre.

25En tout état de cause, on a affaire à un fond commun de connaissances, évidemment partagées par le monde alexandrin au monde romain, mais qui se sont appliquées à des problématiques qui n’étaient pas les mêmes pour l’arpenteur alexandrin et pour le mensor romain. Héron, avec sa dioptre, mesure un χωρίου, et le Romain, avec la groma et la pertica, un ager. Les deux termes, qui paraissent si proches, ne désignent pas la même réalité. Avec le χωρίου, on en reste aux dimensions d’un champ ou d’un domaine. L'ager désigne plus souvent un territoire (ager assignatus est toute une zone distribuée à des colons par assignation, ager Campanus est tout le territoire de Capoue...). Le Romain a donc affaire à des superficies plus vastes que son collègue gréco-égyptien. D’autre part, le Romain travaille souvent sur des zones régulièrement centuriées (même dans le cas où il s’agit pour lui de retrouver une centuriation dont les marques se sont effacées), tandis que l’Égypte, domaine impérial, n’est pas centuriée. Le Romain a donc besoin d’une précision extrême dans les mesures qui fondent la régularité de sa trame centuriée, tandis que l’approximation inévitable à laquelle aboutissent les méthodes héroniennes (avec les triangles semblables homothétiques, on mesure le plus grand par le plus petit) est admissible dans le contexte de l’évaluation de la surface d’une propriété privée, ce qui paraît être en général le cadre de travail d’Héron.

26C’est dans ce jeu complexe de similitude et d’altérité que se trouve la substance des relations entre la littérature gromatique romaine et la littérature (ou plus exactement une partie, surtout héronienne, de la littérature) géométrique grecque. Au-delà des simples pratiques de géométrie de terrain, il y a aussi la lente et sûre imprégnation d’un système de références culturelles et intellectuelles (différentes spéculations sur les êtres mathématiques, l’unité en arithmétique, la ligne droite en géométrie, pour reprendre des exemples que l’on a abordés précédemment) sans doute récupéré pour la justification des pratiques romaines d’organisation des sols. Enfin, on ne peut négliger la part, sans doute méconnue, prise par les textes gromatiques dans la modeste transmission des éléments de base de la géométrie euclidienne non seulement à l’Antiquité romaine et à l’Antiquité tardive, mais, par l’intermédiaire des nombreux manuscrits gromatiques utilisés dans l’école carolingienne, jusqu’aux débuts du Moyen Âge occidental.

Notes

1 F Blume, K. Lachmann, A. Rudorff, Gromatici veteres. Die Schriften der römischen Feldmesser, Berlin, vol. 1, 1848 (les textes), puis vol. 2, 1852 (commentaires et études) ; réimpression Hildesheim, 1967.

2 K. Lachmann a placé en tête de son édition un Index auctorum qui présente la liste des textes gromatiques édités. Ce sont : Frontin, avec en bas de page le commentum tardif qui lui est consacré ; Agennius Urbicus, De controuersiis agrorum ; Balbus ; Hygin ; Siculus Flaccus ; Hygin le Gromatique ; là se termine la série des grands traités. Puis l'édition Lachmann continue avec le Liber coloniarum ; quelques pages indépendantes sur les noms des arpenteurs, les appellations des bornes ; le Liber coloniarum II ; la lex Mamilia ; des extraits du Code Théodosien et des Sententiae de Paul ; un passage de sepulchris ; des extraits de Théodose et de Valentinien ; des extraits du Digeste relatifs à l'actio finium regundorum ; un ensemble intitulé Agrorum quae sit inspectio, que Thulin a par la suite rendu à Hygin ; les fragments de Marcus Iunius Nypsius sur la Fluminis uaratio et la Limitis repositio, suivis du Podismus que Lachmann refuse à cet auteur ; des extraits de Dolabella, puis une poussière d’extraits de Latinus, de Gaius, de Vitalis, de Faustus et Valerius, dTnnocentius, autant d'auctores qui parlent du bornage ; les Casae litterarum., définition par leurs éléments caractéristiques de domaines représentés par une lettre, de l’alphabet (plusieurs séries, avec alphabet latin, avec alphabet grec) ; les Litterae singulares, “abréviations” avec, en regard, leur signification (plusieurs séries) ; le De iugeribus metiundis·, ensemble de petits problèmes de calcul de surfaces ; des extraits des Etymologies d’Isidore de Séville ; de l'Euclide latin ; des extraits géométriques de Boèce ou du Pseudo-Boèce. Mais Lachmann n’a pas édité tous les textes : il a laissé de côté, notamment, des excerpta géométriques “d’Epaphrodite et de Vitruvius Rufus”, édités plus tard par N. Bubnov dans ses Gerberti opera mathematica (1899) ; ou encore, le De munitionibus castrorum édité par A. Grillone (mais sous le titre de De metatione castrorum) chez Teubner (1977) et par M. Lenoir dans la CUF (1979). Il a par ailleurs montré beaucoup de désinvolture dans l’édition de textes qui lui ont paru tardifs et trop abîmés, et qui pourtant sont d’un grand intérêt comme la uaratio de Marcus Iunius Nypsius.

3 L. Toneatto, Codices artis memoriae. J manoscritti degli antichi opuscoli latini d’agrimensura (V-XIX sec.), 3 vol. , Spoleto, 1994-1995.

4 L'Arcerianus (Wolfenbüttel, Herzog-August-Bibliothek, Guelferb. 36.23 Aug. 2°) tire son nom du fait qu’après une longue migration en Europe centrale, il entra en 1 566, à Utrecht, dans la bibliothèque du philologue hollandais Johannes Theodoretus Arcer (1538-1604). C’est le plus ancien parmi les mss. gromatiques et c’est aussi le plus ancien ms. latin contenant un texte technique.

5 Le Palatinus latinus 1564, sans doute copié entre 810 et 830 en Basse Rhénanie, s’est d’abord trouvé à Fulda. Il a ensuite été, en 1564, propriété de Metellus Sequanus à Cologne, avant de passer à Heidelberg. De la bibliothèque de Heidelberg, il est venu à Rome en 1623.

6 Wolfenbüttel, Herzog-August-Bibliothek, Guelferb. 105 Gud. lat. 2°. Originaire de Corbie. Avant de séjourner à Wolfenbüttel, le ms. avait été la propriété de Gudius, patronyme latinisé du Danois Marquard Gude (1635-1689), d’où son nom de Gudianus.

7 E : Erfurt, Wissenschaftliche Allgemcinbibliothek, Amplon. 4° 362. Il s’agit du quatrième ensemble constitutif de ce ms. du XIe ou du XIIe siècle, originaire d’Allemagne. F : Laurentianus Plut. XXIX 32, daté des environs de l’an 800 et originaire de Basse Rhénanie. N : Nansianus (Londiniensis Additional 47679) ; appelé aussi Scriverianus. Ce ms. du XIIe siècle (Ouest de l’Allemagne ou Est de la France), qui n’a été redécouvert qu’en 1952, est très proche de E et de F. Il a appartenu au juriste flamand Frans Nans (1525-1595), puis est passé, comme d’autres livres de ce personnage, à Pieter Schrijver (1576-1660).

8 C. Thulin, Corpus agrimensorum Romanorum, Leipzig, 1913, repr. Stuttgart, 1971. Cette édition n’est pas complète, Thulin étant mort avant d’avoir achevé son projet ; dans le premier volume de son édition, seul paru, il avait donné la priorité aux quatre traités considérés comme fondamentaux, ceux d'Hygin le Gromatique, de Frontin, d’Hygin et de Siculus Flaccus. Pour les autres composantes du corpus gromatique on est donc obligé d’avoir recours à l’édition plus ancienne, celle de Lachmann et al., mentionnée ci-dessus, n. 1.

9 Marcus Iunius Nypsius, dont les bribes avaient été éditées à moindres frais par Lachmann (p. 285-295), a été réédité récemment par J. Bouma (Marcus Iunius Nypsus Fluminis Varatio. Limitis Repositio, Francfort, Lang, 1993).

10 Le Podismus a été édité par Lachmann (p. 295-301), mais non les extraits d’Épaphrodite et de Vitruvius Rufus, pour lesquels je renvoie à ma traduction commentée : J.-Y. Guillaumin, Balbus, Expositio et ratio omnium formarum ; Podismus et textes connexes (extraits d'Epaphrodite et de Vitruvius Rufus ; De iugeribus metiundis), introduction, traduction et notes, Naples, jovene, 1996.

11 Ce commentaire occupe les p. 59-90 de l’édition Lachmann.

12 Frontin 4, 1 dans l’édition CUF (Les Arpenteurs romains, vol. 1 : Hygin le Gromatique – Frontin, éd. J.-Y. Guillaumin, 2005).

13 Voir notamment l'article d’A. Roth Congés, « Questions d’arpentage dans La dioptre », Actes du colloque international « Autour de la dioptre d’Héron d’Alexandrie » (Saint-Étienne, 17-19 juin 1999), édités par G. Argoud et J.-Y. Guillaumin, Saint-Etienne, Publications de l’Université Jean-Monnet, 2000, p. 107-147. Du même auteur, voir aussi « Modalités pratiques d’implantation des cadastres romains : quelques aspects », MEFRA 108 (1996), p. 299-422.

14 Lachmann, p. 93 1. 1-2.

15 5. Cf. A. Roth Congés, « Questions d’arpentage... », art. cit., p. 136, avec figure 19.

16 Commenté par A. Roth Congés, art. cit., p. 134.

17 Texte du Pseudo-Frontin, loc. cit. : « Si uero in alio loco terminus translatas est usurpandi finis causa..., eritin prouidentia mensoris secundum angulorum finitimorumpositionem arbitrari in quantum sit terminus translatus et qua ratione sit in locum suurn restituendus... Nunquam non concurrentimn inter se finium anguli, non tantum recti, uerum etiam hebetes aut acuti, habent aliquant rationem in qua, si non dissimulemus, facile quod imperiti turbauerunt artificio restituemus », « Mais si une borne a été transportée ailleurs pour usurper les confins..., il relèvera de la compétence du mensor de juger, d’apres la position des angles des confins, de combien la borne a été déplacée et selon quel rapport (angulaire) elle doit être remise à sa place... Les angles des confins qui se rencontrent – non seulement les angles droits, mais aussi les angles obtus ou aigus – ont toujours un rapport suivant lequel, à condition d’en tenir compte, nous restituerons facilement grâce à notre technique ce que des ignorants ont mis en désordre » (trad. A. Roth Congés). L’allusion au procédé de replacement des bornes grâce aux angles quelles forment entre elles, angles retrouvés par le rapport des côtés des triangles semblables qui les définissent (Héron, deuxième partie du ch. 25 de La dioptre), se trouve dans le mot ratio.

18 Lachmann, p. 192 1. 17 et p. 193 1. 15.

19 Cf. A. Roth Congès, art. cit., p. 132.

20 Balbus, p. 92 1. 17 - p. 93 1. 1 : « Nam quod ad synopsim pontium pertinet, fluminum latitudines dicere, etiamsi hostis infestare uoluisset, ex proxima ripa poteramus », « En ce qui concerne les plans d’un pont, nous pouvions, même si l’ennemi avait voulu s’y opposer, dire la largeur d’un cours d’eau depuis la rive que nous occupions > ».

21 Lachmann, Fluminis uaratio, p. 285-286.

22 Lachmann, Etiamsi hostis infestare uoluisset, p. 92 1. 18.

23 Frontin 4, 1-2 dans la CUF = p. 31-32 puis p. 33 1. 7-13 Lachmann.

24 Frontin lui-même définit l'ager mensura per extremitatem comprehensus comme la seconde des catégories de terres qu’il distingue, dès le début de son traité gromatique (1,1 puis 1, 3 CUF = p. 1 1. 4 puis Lachmann, p. 4 1. 3 et p. 51.5).

25 Frontin 4, 1 ( = p. 31-32 Lachmann). Pour des commentaires de détail, voir les notes dont j’ai accompagné le texte dans l’édition CUF précitée.

26 Ce cadre orthonormé peut être inscrit (pour économiser le travail de mesure), ou circonscrit (si l’on ne peut pénétrer sur le terrain), ou pour partie inscrit, pour partie circonscrit (A. Roth Congès, art. cit., p. 127).

27 Frontin 4, 3 = p. 33 1. 7-13 Lachmann.

28 J’ai consacré un article à ce sujet : « Géométrie grecque et agrimensorique romaine : la science comme justification d’une idéologie », Dialogues d’Histoire Ancienne 20, 2 (1994), p. 279-295.

29 Vol. 4 de l’éd. Heiberg des œuvres d’Héron d’Alexandrie, p. 154 1. 12-15 : Σύμβολον δ’ ή μὲν εὑθεῖα τῆς ἀπαρεγκλίτου προνοίας καὶ ἀδιαστρόφου καὶ ἀκράντου καὶ ἀνεκλείπτου καὶ παντοδυνάμου καὶ πᾶσι παρούσης. Tous les extraits de Proclus que je cite ici viennent de son commentaire sur le 1er livre des Eléments d’Euclide. Si je les cite dans l’édition Heiberg du pseudo-Héron, c'est qu’ils y sont commodément regroupés sous forme de scolies, ce qui a également l’intérêt de montrer comment ces spéculations ont été considérées comme formant un ensemble cohérent.

30 Ibid., p. 142 1. 9-10 :'H ὀρθὴ γωνία σύμβολόν ἐστι τῆς ἀκλινῶς συνεχομένης ἐνεργείας τῇ ἱσότητι καὶ ὅρῳ καὶ πέρατι.

31 Ibid., ρ. 148 1. 23 - ρ. 150 1. 2 : Τελειότητος ἄρα καὶ ἀκλινοῦς ἐνεργείας καὶ ὅρου νοεροῦ καὶ πέρατος καὶ τῶν τούτοις όμοὶων εἱκόνα θησόμεθα τὴν ὀρθότητα τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν.

32 Ibid., p. 118 1. 26 - p. 120 1. 6 : Συ 'μβολον οὖν καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας, καθαρότητος ἀκράντου, δυνάμεως ἀκλινοῦς. πάντων τῶν τοιούτων. ’Εστι δὲ καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ σύμβολον διὰ γὰρ καθέτου καὶ τὰ ὔψη τῶν σχημά των ἀναμετροῦμεν, καὶ πρòς τὴν ὀρθὴν ἀναφορῇ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους γωνί ας ὀρίζομεν.

33 Ibid., p. 152 1. 1-4 Εκ πάντων τῶν σχημάτων μόνον τò τετράγωνόν ὲστιν ἴσας ἔκοντὰς πλευρὰς καὶ ὀρθὰς τὰς γωνίας διὰ τοῦτο καὶ τιμιώτερον λέγεται. 'Οθεν οἰ Πυθαγόρειοι τῶν θείων παρεικάζουσιν.

34 Rappelons par exemple qu'un Héraklès grec, héros typiquement pythagoricien, est venu à cette époque de Grande-Grèce à Rome : cf. J. Bayet, Les Origines de l’Hercule romain, p. 10 sq., cité par J.-P. Néraudau, La Jeunesse dans la littérature et les institutions de la Rome républicaine, Paris, 1979, p. 50.

35 Lachmann, p. 97 1. 14 - p. 104 1. 2.

36 Lachmann, p. 64 1. 24 - p. 65 1. 12 ; Thulin, p. 25 1. 15 - p. 26 1, 2 ; le texte édité est le même. Mais ce texte édité par Lachmann puis par Thulin est fautif : les corrections légères qui étaient nécessaires (addition de -m finaux) n’ont pas été faites ; en revanche, devant contraria, un aut (bien visible pourtant dans le seul ms. qui présente ce passage, à savoir X Arcerianus B, col. 74 ligne 13) est malencontreusement devenu ut : Quin etgeometrica analogia aut armonica autarithmetica ut contraria aut quinta aut sexta et ceteros ordines exercemus. j’ai consacré une étude à ce passage d’Agennius Urbicus : « L’éloge de la geometria chez Agennius Urbicus », REA 104, 3/4 (2002), p. 433-443.

37 « La médiété est un groupe de trois nombres inégaux, tels que deux de leurs différences sont entre elles dans le même rapport qu’un de ces trois nombres avec lui-même ou avec l’un des deux autres » : telle est la définition proposée par P.-H. Michel, De Pythagore à Euclide. Contribution à l’étude des mathématiques préeuclidiennes, Paris, 1950, p. 369, ouvrage auquel on se reportera pour un exposé exhaustif sur les médiétés.

38 Lachmann, p. 65 1. 22 et p. 66 1. 3 ; Thulin, p. 26 I. 14-20 ; le texte des deux éditeurs est identique.

39 Cf. Aristote, Top. 1,18, 108 b 26 ; 7, 4, 141 b 8.

40 Nicomaque, Introduction arithmétique 1, 8, 2, p. 141. 18-19 Hoche, écrit : ἀρχὴ ἄρα φυσικὴ ἠ μόνας.

41 Proclus, Théologie platonicienne 2, 1, p. 8 1. 12 de l’édition CUP (livre 2, 1974) de H. D. Saffrey et I. G. Westerink, et 2, 2, p. 16 1. 17-18.

42 Asclépius, In Nic. 1, 72, p. 37 1. 20-21 Tarán, justifiant que l’unité soit exclue de la série numérique dont il est en train de traiter, écrit : « c’est parce qu’elle est le principe et non pas un nombre », ἀρχἠ καὶ μὴ οῦσα ἀριθμόν.

43 Commentaire sur le Songe de Scipion 2, 2, 8 : « Monas numerus esse non dicitur, sed origo numerorum », « On dit que la monade n’est, pas un nombre, mais l’origine des nombres » ; et déjà 1, 6, 7 : « Ipse non numerus, sed jons et origo numerorum », « Celui-ci (sc. 1) n’est pas un nombre, mais la source et l’origine des nombres. »

44 Noces de Philologie et de Mercure 7,745 : « Monas quidem numerus non est », « L’unité, quant à elle, n’est pas un nombre » ; à rapprocher de 731 : « ... omniumque numerorum solam seminarium esse », « ... elle seule contient la semence de tous les nombres ».

45 Sur la dyade et la monade comme sources des nombres, voir A. J. Festugière, La Révélation d’Hermès Trismégiste, Paris, Les Belles Lettres, t. 4, p. 6 sq., 26-32, et passim.

46 Lachmann, p. 192 1. 8.

47 Voir l’art. précité (supra, n. 13) d'A. Roth Congès dans les MEFRA, p. 299 sq. puis 328 sq.

© Presses universitaires de Rennes, 2010

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