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    Plan

    Plan détaillé Texte intégral Introduction Quelques bases théoriques pré requises Reformulations de la mécanique Le déterminisme laplacien et la physique La théorie électromagnétique de Maxwell La théorie de la relativité restreinte La Thermodynamique Développement des techniques Conclusion Notes de bas de page

    Physique théorique et réalité

    Ce livre est recensé par

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    Table des matières

    Chapitre III. Apogée de la physique classique

    Triomphe du continu et du déterminisme

    p. 87-128

    Texte intégral Introduction Quelques bases théoriques pré requises Quelques compléments mathématiques Nombres complexes Quelques définitions concernant les nombres complexes Représentation d’un nombre complexe par un vecteur Exponentielles et logarithmes Développement en série convergente des fonctions Relation entre fonctions exponentielle sinus et cosinus Les logarithmes népériens Dérivées partielles Eléments d’analyse vectorielle Vecteurs unitaires Produit scalaire de deux vecteurs Produit vectoriel D de deux vecteurs A et B Opérateurs nabla▼et laplacienߡ Opérateurs gradient et divergence Opérateur rotationnel L’analyse de Fourier et les transformées de Fourier Analyse de Fourier Transformées de Fourier Transformées de Fourier miroirs Analogie entre série de Fourier et théorie des sphères homocentriques Quelques applications en physique La loi de la conservation du moment cinétique Définition du moment cinétique Explicitation du produit vectoriel Conservation du moment cinétique Le potentiel de gravitation et la loi de Poisson Rappel sur l’énergie potentielle de gravitation Equation aux dérivées partielles de Poisson L’équation des cordes vibrantes de D’Alembert Equation aux dérivées partielles des cordes vibrantes Les solutions de l’équation des cordes vibrantes sont des sinusoïdes Importance à venir des équations des cordes vibrantes Reformulations de la mécanique Remodelage de la mécanique de Newton L’énergie prend le pas sur la force Le principe de moindre action La philosophie de Leibniz à l’origine du principe de Maupertuis Le principe de Maupertuis Formulation de la mécanique lagrangienne Coordonnées généralisées Espace de configuration La fonction de Lagrange ou lagrangien Le principe d’Hamilton Présentation intuitive du principe de moindre action Expression m du principe de moindre action Les N équations du second ordre de Lagrange Les équations de Lagrange Les équations de Lagrange ont les mêmes résultats que celles de Newton L’impulsion, moment conjugué de la position Invariance des équations de Lagrange relative à un changement de coordonnées Avenir important du lagrangien et des équations de Lagrange Formulation de la mécanique hamiltonienne Les 2N coordonnées généralisées La fonction d’Hamilton ou hamiltonien Les 2N équations dynamiques du premier ordre d’Hamilton Transformations canoniques Changement de coordonnées destinés à faciliter les calculs Les transformations mélangent position et d’impulsion Une transformation où positions et impulsions s’échangent Equation d’Hamilton-Jacobi Hamilton, précurseur de la mécanique ondulatoire Le déterminisme laplacien et la physique Réversibilité des équations de la dynamique La cause efficiente en mécanique classique Caractère réciproque des causes efficiente et finale Physique des milieux continus Attracteurs étranges en mécanique La théorie électromagnétique de Maxwell Les pionniers de l’électromagnétisme Les équations électromagnétiques de Maxwell Force électrique et force magnétique Des grandeurs physiques spécifiques à l’électromagnétisme. Force subies par une charge électrique dans un champ électrique Force subie par une charge en mouvement dans un champ magnétique Le concept de champ électromagnétique Postulat de la conservation de la charge électrique Maxwell postule un terme manquant dans les équations Equations d’Ampère (équations de la partie gauche du tableau) Maxwell postule les équations de la partie droite du tableau Matériau expérimental utilisé par Maxwell Les quatre équations de Maxwell Equations de Maxwell dans le vide Découplage des champs E et B Les équations régissant les champs sont celle des cordes vibrantes Interprétation des équations par Maxwell Etudes portant sur la lumière antérieures aux travaux de Maxwell Séparation des couleurs de l’arc en ciel Premières théories ondulatoires et corpusculaires de la lumière Travaux expérimentaux de Young Fresnel et la fondation de l’optique Théorie de la lumière sur laquelle s’appuiera Maxwell Nature ondulatoire du champ électromagnétique Champs électromagnétiques oscillants Propagation des deux champs à la vitesse de la lumière Hypothèse électromagnétique de Maxwell concernant la lumière Le large spectre des ondes électromagnétiques La lumière et les ondes électromagnétiques Synthèse en laboratoire des ondes électromagnétiques hertziennes Découverte progressive du spectre électromagnétique Substantification du support des champs électromagnétique : l’éther Potentiel scalaire et potentiel vecteur La jauge de Coulomb et la jauge de Lorentz Formulation électromagnétique lagrangienne Lagrangien électromagnétique Différence entre impulsion et quantité de mouvement La théorie de la relativité restreinte Crise qui fut à l’origine de la théorie relativiste Expériences de Michelson Hypothèse de l’éther Mise en évidence de la constance de la vitesse de la lumière Les transformations de Lorentz Equation d’un front d’onde lumineux dans un premier référentiel fixe Equation du front dans un second référentiel de vitesse relative v°z Transformations de Lorentz Les transformations de Galilée, limites de celles de Lorentz Les transformations de Lorentz sauvent les phénomènes Vitesse mesurée dans le premier référentiel Vitesse mesurée dans le second référentiel Vitesse V’z dans le second référentiel, quand Vz = c dans le premier Diagnostic physique opéré par Einstein Incompatibilité entre mécanique et électromagnétisme Incompatibilité entre mécanique et électromagnétisme Mise en cause physique des transformations de Galilée Stratégie méthodologique d’Einstein Trois aspects théoriques à passer au crible de la critique Conserver intact l’électromagnétisme de Maxwell Remplacer la transformation de Galilée par celles de Lorentz Remettre en cause les principes de la mécanique classique Quadri-scalaires et quadri-vecteurs relativistes Espace-temps de Minkowski L’espace-temps à quatre dimensions Le quadrivecteur relativiste de base et sa norme Le temps propre, invariant de l’espace de Minkowski Un invariant : le temps propre ou temps local Temps propre différentiel Les quadrivecteurs position, impulsion et force Quadrivecteur position Les quadrivecteurs relativistes vitesse et impulsion Le quadrivecteur force relativiste dit de Minkowski Dynamique postulée en physique relativiste Obtention heuristique de l’équation d’Einstein Au départ un quadri-scalaire nul Expressions des produits intervenant dans le produit scalaire Explicitation des deux membres de l’équation L’équation d’Einstein reliant masse et énergie Energie cinétique et composante temporelle de l’impulsion relativiste Une équation qui sera le point de départ de la mécanique quantique relativiste Paradoxe des jumeaux de Langevin Importance des fondements de la théorie relativiste Fondements positivistes de la théorie de la relativité Abandon définitif de l’éther Fragilisation des formes a priori (kantiennes) de la sensibilité L’électromagnétisme en théorie relativiste Les quadrivecteurs électromagnétiques Expression des quadrivecteurs Mélange des potentiels vecteurs et scalaires lors d’une pseudo rotation Trois quadri scalaires électromagnétiques Equations de Maxwell explicitement invariantes La Thermodynamique Les prémices de la thermodynamique Les intuitions de Mayer et les expériences de Joule Les investigations théoriques de Carnot Le premier principe de la thermodynamique Le concept d’états thermodynamiques Variables d’état thermodynamique Equations d’état thermodynamique Fonctions d’état thermodynamique Etats thermodynamiques La notion d’état appelée à un grand avenir en physique théorique Formulation du premier principe de la thermodynamique La fonction d’état énergie interne Expression mathématique du principe Le premier principe, extension de la conservation de l’énergie Second principe : entropie et flèche du temps Amélioration du rendement des machines thermiques Le second principe de la thermodynamique Une nouvelle fonction d’état : l’entropie Le second principe, une loi sous la forme d’une inéquation Importance de l’inverse de la température Possibilité de prévoir la direction d’une évolution irréversible Croissance de l’entropie, dégradation de l’énergie Croissance de l’entropie, irréversibilité et flèche du temps L’irréversibilité en physique est spécifique à la thermodynamique Le troisième principe de la thermodynamique Un zéro absolu pour la température Formulation du troisième principe Equation de diffusion irréversible de la température Invariance relativiste de la thermodynamique Développement des techniques Industrialisation de l’Europe Elaboration d’appareils de mesure Conclusion Notes de bas de page

    Texte intégral

    Sub quodam specie necessitatis. Spinoza

    Introduction

    1A la fin des temps modernes, i.e à partir de la fin du 18ème siècle, la physique va se développer et s’approfondir dans plusieurs directions, tout en restant fidèle au mécanisme et aux grandes intuitions de Newton alliant mathématiques et expérience dans le cadre de la continuité.

    2Il va y avoir d’abord de nouvelles formulations de la mécanique newtonienne, plus puissantes et fécondes, quoi qu’équivalentes quant aux prévisions théoriques issues des calculs. Ce sont les mécaniques lagrangienne et hamiltonienne qui constituent avec celle de Newton, ce que l’on appelle la mécanique classique.

    3Il va y avoir à côté de ces disciplines l’avènement de l’électromagnétisme synthétisé par les célèbres équations de Maxwell dont Einstein réalisera plus tard qu’elles sont incompatibles avec les principes de la mécanique classique, ce qui le conduira à repenser cette dernière dans le cadre de sa théorie de la relativité restreinte.

    4Il y aura en outre cette théorie de la relativité restreinte qui va substituer à l’espace à trois dimensions de la géométrie d’Euclide et au temps de nos horloges, un espace-temps à quatre dimensions.

    5Il y aura enfin la mise en place de la thermodynamique, qui avec l’électromagnétisme enrichira les grands concepts physiques, ce dernier en introduisant les champs et la première en faisant appel aux fonctions d’état (une notion vouée à un grand avenir).

    6Quoi qu’il en soit de la spécificité de ces nouvelles disciplines apparaissant au 19ème siècle, elles auront en commun de s’enraciner dans un strict déterminisme et de postuler une continuité spatio-temporelle.

    7Toutes, en outre se désintéresseront (à quelque rares exceptions près) des propriétés spécifiques différenciant les divers aspects des réalités inertes (non vivantes).

    8L’objet du présent chapitre est de donner un aperçu de ces nouvelles disciplines qui conduiront à ce qui sera l’apogée de la physique classique.

    Quelques bases théoriques pré requises

    Quelques compléments mathématiques

    9Avant d’étudier les développements de la physique au 19ème siècle, il est bon de donner quelques compléments mathématiques concernant la procédure d’intégration d’une différentielle et les éléments les plus importants de l’analyse vectorielle introduite en physique vers la fin du 19ème siècle. Ces compléments qui devraient permettre d’aborder au mieux ce chapitre peuvent être sautés par ceux qui ont une culture mathématique adéquate.

    Nombres complexes

    Quelques définitions concernant les nombres complexes

    10Un nombre réel est un nombre positif ou négatif, fractionnaire ou non.

    11L’italien Bombelli (1522-1572) fut le premier à introduire les nombres imaginaires dans les racines d’équations, introduisant ainsi une extension de la notion de nombre. Le nombre imaginaire pur est le nombre dénoté i, tel qu’une fois élevé au carré il soit égal à moins un (i2 = -1).

    12Un nombre complexe C est donné par la somme de deux nombres, dont le premier a est réel (partie réelle) et le second imaginaire multiple d’un nombre réel b par i (partie imaginaire). C = a+ib

    Représentation d’un nombre complexe par un vecteur

    13L’anglais Walis (1616-1707) fut le premier à proposer en 1673 de représenter un nombre complexe au moyen de deux axes perpendiculaires, l’un portant la composante réelle, et l’autre l’imaginaire.

    14Depuis, on représente un nombre complexe sous la forme d’un vecteur appartenant à un plan dont l’axe des x (ordonné) est réel, et l’axe des y (abscisse) imaginaire :

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    Exponentielles et logarithmes

    Développement en série convergente des fonctions

    15La fonction exponentielle d’une variable x, que l’on écrit ex, est susceptible d’être représentée par une somme (développements en série) de termes de plus en plus petits en nombres infinis, de même qu’on peut le faire pour la fonction sin x :

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    16Ces développements en série sont convergents, à la manière de ce qui a été vu plus haut concernant la méthode d’exhaustion d’Archimède permettant de calculer le périmètre d’un cercle en fonction de son rayon.

    Relation entre fonctions exponentielle sinus et cosinus

    17L’argument d’une fonction exponentielle peut être imaginaire. Dans ce cas, on a démontré la relation apparaissant dans la partie gauche du tableau suivant, entre la fonction exponentielle imaginaire et les fonctions sinus et cosinus :

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    18Cette relation conduit quand x= π à ce que l’on appelle la formule d’Euler apparaissant ci-dessus. Cette expression réunit les deux nombres transcendants e et π le nombre imaginaire i et les nombres 0 et 1. Depuis Euler, son inventeur, elle n’a jamais cessé de susciter chez de nombreux mathématiciens un étonnement mêlé d’admiration.

    Les logarithmes népériens

    19Le logarithme népérien est l’inverse de la fonction exponentielle, comme on peut le voir par l’examen des deux équations apparaissant sur la gauche du tableau suivant :

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    20L’expression de droite indique la relation simple existant entre le nombre e et le nombre 1 via la fonction exponentielle.

    Dérivées partielles

    21Venons-en maintenant aux dérivées partielles qui sont une extension du concept de dérivée à des fonctions de plusieurs variables.

    22Considérons pour cela une fonction F(x, y) des deux variables x et y. Les dérivées partielles de F(x, y) par rapport à x et y sont les dérivées de cette fonction pour lesquelles on procède séparément, en prenant x puis y constants, ou vice-versa. Illustrons cela par l’exemple suivant :

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    23Le dernier terme dF intervenant dans la dernière ligne exprime la différentielle de la fonction de deux variables.

    Eléments d’analyse vectorielle

    24L’allemand Grassmann (1807-1877), puis à sa suite l’américain Gibbs (1839-1903) et le britannique Heaviside (1850-1925) ont posé les bases de l’analyse vectorielle portant sur le traitement des vecteurs dont nous avons donné un aperçu dans le chapitre précédent.

    Vecteurs unitaires

    25Il faut d’abord définir les vecteurs unitaires ex, ey et ez orthogonaux (les trois équations de gauche ci-dessous indiquant que leurs produits scalaire sont nuls) et normalisés à un (les trois équations de droite) :

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    Produit scalaire de deux vecteurs

    26On peut alors à l’aide de ces vecteurs unitaires écrire le produit scalaire de deux vecteurs A et B de composantes respectives Ax, Ay et Az, et Bx, By et Bz. sous la forme suivante :

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    Produit vectoriel D de deux vecteurs A et B

    27Tous les vecteurs que nous avons rencontrés plus haut au chapitre II sont des vecteurs polaires dont les produits sont des grandeurs scalaires, d’où leur nom de produits scalaires. Mais il existe d’autres sortes de vecteurs qui sont les vecteurs axiaux que l’on obtient à partir de produits non plus scalaires mais vectoriels.

    Par définition, le produit vectoriel de deux vecteurs polaires A et B est un vecteur axial D représenté sur la figure de droite, dont la direction est perpendiculaire au plan défini par ces deux vecteurs polaires. Ses composantes le long des axes cartésiens x, y et z, en fonction de celles de A et de B le long de ces mêmes axes sont données ci-après :

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    Opérateurs nabla▼et laplacien ߡ

    28L’opérateur gradient, dit aussi nabla (noté ▼), est un opérateur (de nature vectorielle) de dérivée partielle par rapport aux trois variables d’espace (première équation du tableau suivant). Le produit scalaire de cet opérateur par lui-même est le laplacien ߡ qui est un opérateur de dérivation partielle du second ordre (équation de gauche de la seconde ligne du tableau). Son action sur une fonction scalaire f des coordonnées d’espace x, y et z, est une équation aux dérivées partielles du second ordre (équation de droite de cette même ligne).

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    Opérateurs gradient et divergence

    29L’opérateur vectoriel gradient agissant sur une fonction scalaire f (x, y, z) des trois variables d’espace conduit à une somme de trois dérivées partielles pondérées chacune par le vecteur unitaire correspondant à la variable (termes centraux de la ligne) qui correspond à un vecteur polaire F (dont les composantes le long des axes cartésiens sont données par l’avant dernier terme :

    Image 1000000000000238000000405576CEBD1E1C1EFF.jpg

    30Par ailleurs le produit scalaire de l’opérateur gradient par un vecteur polaire E, qui porte alors le nom de Divergence de E, est un scalaire V(x, y, z) défini par l’équation centrale :

    Image 1000000000000158000000426842C53CD185633D.jpg

    Opérateur rotationnel

    31L’opérateur rotationnel est le produit vectoriel d’un vecteur polaire A par l’opérateur vectoriel gradient (nabla) agissant sur lui. Les propriétés du rotationnel de B sont indiquées dans les équations suivantes :

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    L’analyse de Fourier et les transformées de Fourier

    32Venons-en maintenant au traitement mathématique permettant de décomposer n’importe quel mouvement périodique sur un certain intervalle selon une superposition de mouvements sinusoïdaux. Ce traitement, c’est l’analyse de Fourier.

    Analyse de Fourier

    33Un signal périodique F(t) peut être analysé sous forme d’une somme de fonctions trigonométriques en sinus et cosinus :

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    Transformées de Fourier

    34Le temps t et la fréquence angulaire w sont des grandeurs dites conjuguées, de même que la position x et la quantité de mouvement p. On peut passer d’une fonction F(t) à sa transformée F(w) par une transformation de Fourier, et inversement on peut passer de F(w) à F(t).

    35De même, on peut passer par transformée de Fourier d’une fonction F(p) à sa représentation en position F(x), et inversement passer de F(x) à F(p).

    Transformées de Fourier miroirs

    36F(t) et F(w) sont des fonctions miroirs l’une de l’autre, de même que F(x) et f(p). Ces transformations de Fourier miroirs sont les suivantes :

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    37Dans les deux dernières transformées de Fourier, h° est une constante quelconque ayant les dimensions d’une action.

    38Les transformations de Fourier peuvent être généralisées à trois dimensions, voire à quatre en théorie relativiste.

    Analogie entre série de Fourier et théorie des sphères homocentriques

    39Remarquons que le principe de l’analyse de Fourier reposant sur la décomposition d’un mouvement en une superposition de mouvements sinusoïdaux n’est pas sans évoquer la théorie antique des sphères homocentriques qui interprétait le mouvement apparent des planètes en termes d’une combinaison de sphères homocentriques roulant sur elles-mêmes.

    Quelques applications en physique

    40Donnons quelques applications des concepts mathématiques que nous venons de passer en revue à quelques questions importantes de physique relevant de la mécanique de Newton.

    La loi de la conservation du moment cinétique

    Définition du moment cinétique

    Commençons par le concept de moment cinétique. Dans le cas le plus simple consistant en un corps en rotation autour d’un centre fixe, son moment cinétique L est un nouveau vecteur défini comme étant le produit vectoriel du rayon vecteur instantané r (reliant le corps en rotation à l’origine des coordonnées cartésiennes) par le vecteur définissant la quantité de mouvement instantanée P.

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    Explicitation du produit vectoriel

    41Compte tenu de ce qui a été dit plus haut sur les propriétés du produit vectoriel, il apparaît que les trois composantes Lx, Ly et Lz du produit vectoriel définissant le moment cinétiques sont :

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    42Dans ces équations, rx, ry et rz sont les composantes cartésiennes de r, et px, py et pz, celles du vecteur P.

    Conservation du moment cinétique

    On peut démontrer dans le cadre de la physique de Newton que le moment cinétique total d’un système physique donné se conserve au cours du temps t :

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    43Ce théorème physique sera appelé à un aussi grand avenir théorique que celui concernant la conservation de l’énergie totale.

    Le potentiel de gravitation et la loi de Poisson

    Rappel sur l’énergie potentielle de gravitation

    44Venons-en maintenant à l’énergie potentielle de gravitation U (r) qui affecte un corps de masse m1 situé à une certaine distance r d’un autre corps de masse m2.

    Elle est inversement proportionnelle à la distance r qui les sépare et dépend directement de la constante de gravitation G :

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    45La force de gravitation postulée par Newton dérive de cette énergie potentielle, dont elle est le gradient (cf. le chapitre précédent).

    Equation aux dérivées partielles de Poisson

    46Le physicien et mathématicien français Poisson (1781-1840) démontra au 19ème siècle que l’énergie potentielle, conçue comme une fonction U(x, y, z) des trois variables x, y et z de l’espace de gravitation, peut être écrite sous la forme d’une équation aux dérivées partielles du second ordre, lorsque la masse est répartie sous la forme d’une densité locale p variant de manière continue en chaque point de l’espace (la densité est la masse par unité de volume) :

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    47Cette équation, où G est la constante de gravitation, et dont le premier membre correspond au laplacien de U(x, y, z), sera généralisée plus tard par Einstein lorsqu’il forgera sa théorie de la relativité générale.

    L’équation des cordes vibrantes de D’Alembert

    Equation aux dérivées partielles des cordes vibrantes

    48Le physicien français D’Alembert (1717-1783) a établi l’équation aux dérivées partielles du second ordre, dite des cordes vibrantes, qui régit l’écartement F (x, y, z) d’une corde tendue élastique par rapport à sa position d’équilibre, lequel est une fonction continue des variables d’espace x, y et z :

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    Les solutions de l’équation des cordes vibrantes sont des sinusoïdes

    49Quand on impose aux extrémités de la corde de demeurer fixée, la solution est celle d’une vibration de fréquence angulaire w, se propageant à la vitesse vx.

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    Importance à venir des équations des cordes vibrantes

    50Ces deux équations des cordes vibrantes joueront un rôle important dans l’interprétation que donnera plus tard Maxwell de certaines équations aux dérivées partielles découlant de sa théorie et présentant la même structure (vide infra).

    Reformulations de la mécanique

    51Tandis que la physique des phénomènes électriques et magnétiques se développait, à cheval sur le 18ème et le 19ème siècle (vide infra), la mécanique newtonienne fût repensée dans un cadre de plus en plus abstrait, d’abord au 18ème par le physicien français d’origine piémontaise Lagrange (1736-1813), puis vers le milieu du siècle suivant par le mathématicien et physicien irlandais Hamilton (1805-1865). Leurs travaux théoriques conduisirent à deux présentations différentes de la mécanique newtonienne connues respectivement sous les noms de mécanique lagrangienne, et de mécanique hamiltonienne, ces deux mécaniques contenant grosso modo les mêmes informations théoriques que la mécanique initiale.

    Remodelage de la mécanique de Newton

    L’énergie prend le pas sur la force

    52Dans ces deux nouvelles formulations, la notion physique d’énergie joue un rôle fondamental. Ce concept clef de la mécanique classique avait été dégagé nous l’avons vu par Leibniz dans le cas particulier de l’énergie cinétique de mouvement (la force vive, selon sa terminologie). Il comprend à titre de cas particulier les différentes énergies potentielles, telle par exemple celle que nous avons rencontrée plus haut, dont dérive la force de gravitation, telle encore l’énergie d’interaction électrostatique ; tel encore le travail effectué par une force qui s’exerce contre une autre qui lui est opposée. Il apparut progressivement que l’énergie totale d’un système isolé se conserve au cours du temps, d’où l’importance de ce concept qui prit le pas sur celui de force qui était central dans la physique fondée par Newton.

    Le principe de moindre action

    La philosophie de Leibniz à l’origine du principe de Maupertuis

    53Par ailleurs, le point de départ des nouvelles formulations lagrangienne et hamiltonienne de la mécanique classique remonte au principe de moindre action formulé par Maupertuis (1698- 1759), le fils d’un corsaire de Saint Malo, qui avait été inspiré par la pensée de Leibniz, lequel plaçait le principe de finalité au cœur de sa métaphysique.

    En effet, le grand philosophe allemand Leibniz qui fonda le calcul différentiel en mathématique, considérait que le principe de finalité jouait avec le principe de raison suffisante, un rôle central dans tous les domaines. Il se trouvait en cela quelque peu disciple d’Aristote dont il fut à son époque l’un des seuls à apprécier, à leur juste mesure, les intuitions. C’est cette finalité que brocarda sans finesse Voltaire dans son roman Candide.

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    Le principe de Maupertuis

    54Le principe de Maupertuis postule que la trajectoire suivie par un corps soumis à des forces peut être déterminée théoriquement par minimisation d’une nouvelle grandeur physique (portant le nom d’action), obtenue par multiplication par le temps d’une grandeur énergétique portant le nom de lagrangien. A partir de ce principe, réaménagé en principe d’Hamilton, on peut retrouver tous les résultats de la mécanique newtonienne, mais on ne trouve rien de foncièrement nouveau. Si ces nouvelles expressions de la mécanique se virent approfondies puis utilisées, c’est parce qu’elles présentaient de grands avantages méthodologiques quant à la mise en œuvre des calculs. C’est sur ce principe de moindre action que se fondent les mécaniques lagrangienne et hamiltonienne dont il vient d’être question.

    Formulation de la mécanique lagrangienne

    55Commençons par la mécanique lagrangienne qui est la plus ancienne des deux. Nous allons pour cela présenter les linéaments permettant de passer du principe de moindre action aux équations de Lagrange dont l’un des grands mérites relatifs à l’égard des équations de Newton réside dans les facilités qu’elles apportent au traitement théorique des systèmes physiques constitués d’un grand nombre N° de corps en interaction.

    Coordonnées généralisées

    56Chacun de ces N° corps a la possibilité a priori de se déplacer selon les trois directions de l’espace, en sorte qu’il y a pour le système complet 3N° possibilités de déplacement. Cependant, ce système est généralement soumis à N°° contraintes physiques susceptibles d’être régies par N°° équations. Dans ces conditions il ne reste plus que N= 3N°-N°° possibilités de libres déplacements (dits degrés de liberté), à chacun desquels peut être assignée une coordonnée rn dite généralisée qui est une fonction des N° coordonnées initiales.

    Espace de configuration

    57Pour décrire des systèmes à N degrés de liberté, on utilise un espace dit de configuration ayant N dimensions au lieu des trois de l’espace géométrique, au sein duquel sont représentées les N coordonnées généralisées rn (t) dépendant toutes du temps t.

    58A chacune des coordonnées généralisées de l’espace de configuration est associée une vitesse instantanée qui s’écrit :

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    59Observons que la notation utilisée ici pour les vitesses est celle introduite par Newton, (celles utilisées précédemment et couramment l’ayant été par Leibniz).

    La fonction de Lagrange ou lagrangien

    60Le lagrangien L (rn (t), ṙn (t)) est une nouvelle fonction physique dépendant des rn (t) et des ṙn (t) que l’on définit comme étant la différence entre l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle V du système qui dépendent toutes deux du temps via les coordonnées généralisées et les vitesses instantanées correspondantes :

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    61Le lagrangien évolue comme un tout au sein de l’espace de configuration en y traçant en quelque sorte son chemin.

    Le principe d’Hamilton

    62Le postulat fondamental de la mécanique lagrangienne est le principe d’Hamilton, dit encore principe de moindre action36 qui procède de la manière suivante :

    63On considère une trajectoire quelconque allant d’un point A à un point B se déroulant dans un potentiel quelconque au cours d’un intervalle de temps compris entre deux valeurs t1 et t2.

    64A chaque instant cette trajectoire est définie par les coordonnées généralisées et les vitesses correspondantes.

    65On introduit alors le lagrangien L, fonction du temps via ces positions et vitesses instantanées.

    66On définit ensuite l’intégrale d’action hamiltonienne, i.e. l’intégrale du lagrangien fonction des positions et des vitesses instantanées sur l’intervalle de temps considéré entre t1 et t2.

    Présentation intuitive du principe de moindre action

    67Dans ces conditions, le principe d’Hamilton postule que la trajectoire qui doit se dérouler physiquement est celle qui, parmi l’infinité de toutes les trajectoires possibles, optimise l’intégrale d’action hamiltonienne.

    68La figure de droite illustre cela en représentant à côté de la trajectoire réalisée différentes autres trajectoires possibles a priori, mais ne satisfaisant pas le principe.

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    Expression m du principe de moindre action

    69Le postulat s’exprime en écrivant que, entre deux instants successifs t1 et t2, la variation infinitésimale (notée δ) de l’intégrale d’action est nulle de part et d’autre de la trajectoire physique :

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    70On parle généralement de la trajectoire physique comme correspondant au minimum de cette intégrale de chemin. Or il s’agit en fait d’un extremum de cette intégrale, i. e. d’un minimum ou d’un maximum.

    Les N équations du second ordre de Lagrange

    Les équations de Lagrange

    71Considérons un système physique faisant intervenir N degrés de liberté,

    on déduit du principe de moindre action N équations de Lagrange qui régissent chacune l’un des N degrés de liberté du système.

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    Les équations de Lagrange ont les mêmes résultats que celles de Newton

    72La résolution des équations de Lagrange qui sont des équations aux dérivées partielles du second ordre, requiert deux intégrations successives. Les solutions de ces équations conduisent pour l’évolution dynamique d’un système physique aux mêmes résultats que les postulats de Newton. Elles présentent cependant l’avantage par rapport aux équations découlant de ces derniers de se prêter à des calculs beaucoup plus commodes, dès lors qu’il y a un grand nombre de degrés de liberté à traiter pour le système physique étudié.

    L’impulsion, moment conjugué de la position

    73On introduit à partir de chacune des N dérivées partielles du lagrangien par rapport aux vitesses ṙn (t), une impulsion pn(t) conjuguée de ṙn (t) de la manière suivante :

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    74Dans les cas simples, comme ceux étudiés initialement par Newton, l’impulsion ainsi calculée se réduit à la quantité de mouvement mv, produit de la masse m par la vitesse v ; mais dans le cas général, impulsion et quantité de mouvement deviennent différentes, l’impulsion étant physiquement la plus fondamentale. (vide infra la partie consacrée à l’électromagnétisme)

    Invariance des équations de Lagrange relative à un changement de coordonnées

    75Les équations de Lagrange présentent l’avantage de garder la même forme quels que soient les systèmes de coordonnées utilisés ; en effet, en passant au sein de l’espace de configuration d’un jeu de N coordonnées (pour les différents degrés de liberté) à un nouveau où les coordonnées de position et de vitesse ont été transformées, les équations de Lagrange gardent la même structure.

    Avenir important du lagrangien et des équations de Lagrange

    76Les équations de Lagrange seront promises à un grand succès. D’abord elles permettront de rendre beaucoup plus aisés les calculs de mécanique céleste. Ensuite elles seront aptes à être introduites naturellement dans le domaine de l’électromagnétisme. Plus tard, dans le cadre de la théorie de la relativité, on sera amené à introduire un lagrangien relativiste. Surtout, lagrangien et équations de Lagrange deviendront incontournables à la fin du vingtième siècle dans le domaine de la physique des particules élémentaires.

    Formulation de la mécanique hamiltonienne

    77Après la théorie lagrangienne de la mécanique, est advenue une nouvelle formulation de la physique de Newton qui est la mécanique hamiltonienne appelée plus tard à servir de cadre conceptuel à la future mécanique quantique. C’est elle que nous allons aborder maintenant.

    Les 2N coordonnées généralisées

    78Considérons un système physique complexe ayant N degrés de liberté. La mécanique hamiltonienne utilise pour l’étudier un espace abstrait à 2N dimensions connu sous le nom d’espace des phases. Cet espace est sous-tendu par les 2N coordonnées généralisées de ce système, à savoir les N impulsions {p1, p2 … pn… pN} apparaissant dans le cadre de la mécanique lagrangienne, et les N positions correspondantes {r1, r2… rn… rN}.

    La fonction d’Hamilton ou hamiltonien

    79La fonction scalaire d’Hamilton H(t) dépendante du temps t (dite hamiltonien) est alors introduite à partir du lagrangien à l’aide de ce que l’on appelle une transformation de Legendre. H(t) se présente sous la forme d’une somme sur les N degrés de liberté des produits deux à deux des positions par les impulsions de laquelle le lagrangien est retranché :

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    80Comme on le voit sur la seconde équation, l’hamiltonien prend la forme d’une énergie totale qui est la somme de l’énergie cinétique T(t) et de l’énergie potentielle V(t).

    Les 2N équations dynamiques du premier ordre d’Hamilton

    81Au lieu de se trouver comme en mécanique lagrangienne en face des « N » équations du second ordre que sont les équations de Lagrange, on rencontre en mécanique hamiltonienne « 2N » équations du premier ordre qui sont les équations d’Hamilton.

    Les N premières expriment que les N vitesses sont données chacune, par la dérivée partielle de l’hamiltonien par rapport à l’impulsion correspondante.

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    Les N suivantes expriment que les N dérivées par rapport au temps des impulsions sont données par la dérivée partielle de l’hamiltonien par rapport à la coordonnée de position correspondante.

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    82La résolution des équations d’Hamilton permet de déterminer l’évolution d’un système, dès lors que l’on connaît les conditions aux limites (conditions initiales, et conditions aux frontières) des coordonnées de position et de leurs moments conjugués.

    Transformations canoniques

    83Les transformations canoniques sont des transformations permettant de passer d’un système de coordonnées généralisées initial plus ou moins évident à un nouveau se prêtant mieux au traitement théorique du système physique étudié. Parmi les transformations possibles, l’une d’entre elles conduit à l’équation d’Hamilton-Jacobi qui est un outil théorique très important pour de nombreux calculs portant sur des systèmes physiques compliqués.

    Changement de coordonnées destinés à faciliter les calculs

    84A la base des transformations canoniques, il y a l’idée d’appliquer le principe d’Hamilton minimisant l’intégrale d’action à deux lagrangiens d’un même système physique écrits dans deux systèmes de coordonnées généralisées {pi, dqi/dt} et {Pi, dQi/dt} impliquant par conséquent deux écritures différentes H et K de l’hamiltonien.

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    Les transformations mélangent position et d’impulsion

    85On démontre que les deux conditions d’extremum conduisent à relier les deux lagrangiens par le biais de la dérivée par rapport au temps d’une fonction F (susceptible de dépendre d’une partie ou de la totalité des coordonnées généralisées de départ et d’arrivée) dont le choix préside aux propriétés du nouveau système de coordonnés généralisées requis.

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    Une transformation où positions et impulsions s’échangent

    Dans le cas particulier où l’on prend pour la fonction F dépendant du temps (via les coordonnées dont elle dépend), l’expression donnée dans la première ligne ci-contre, sa dérivée par rapport au temps prend les deux formes successives apparaissant dans les deux lignes suivantes :

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    86En introduisant l’expression de dF/dt dans l’équation découlant du principe d’Hamilton, on trouve alors : Par identification, on obtient une relation entre les deux hamiltoniens qui est donnée par la première des trois équations suivantes, ainsi que deux relations entre les positions et impulsions de départ et d’arrivée (seconde et troisième équation.

    Or, la transformation canonique a changé toutes les impulsions en positions, et vice-versa toutes les positions en impulsions.

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    87Ce point est à souligner, car la transformation canonique qui n’a rien modifié dans la physique revient dans le cas présent à échanger les coordonnées de position et les quantités de mouvement.

    Equation d’Hamilton-Jacobi

    88Parmi les différentes transformations canoniques, il y en certaines où il est décidé de considérer comme nul l’hamiltonien K (seconde équation du tableau suivant). Dans ces conditions, un choix spécial pour la fonction F (troisième équation de ce même tableau) conduit à la quatrième expression du tableau qui est l’équation d’Hamilton-Jacobi.

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    89L’équation d’Hamilton-Jacobi est l’une des équations théoriques de base qui a été le plus utilisée dans les calculs de mécanique céleste faisant intervenir plus de deux astres, car elle se prête bien à la mise en place d’approximations successives via la méthode des perturbations.

    Hamilton, précurseur de la mécanique ondulatoire

    90Ajoutons qu’Hamilton trouva une transformation canonique qui conduit à une description de la mécanique susceptible d’être interprétée en termes ondulatoires. Ce point ne passera pas aux théoriciens pour très fondamental, jusqu’au jour où Louis L. de Broglie le reprit à son compte pour fonder ce qui sera la mécanique ondulatoire (1924).

    Le déterminisme laplacien et la physique

    91En mécanique classique (newtonienne, lagrangienne ou hamiltonienne, peu importe), la résolution des équations différentielles régissant une situation physique quelconque conduit après prise en compte des conditions aux limites, à des solutions qui sont parfaitement déterministes. Cela a conduit par extrapolation à une thèse que l’on appelle le déterminisme laplacien du nom de celui qui l’a formulée.

    92Affirmation de Laplace.

    93Laplace (1749-1827), en s’appuyant sur les équations régissant la mécanique a affirmé qu’une connaissance à un instant donné de la situation exacte de l’univers devrait permettre à l’aide des équations de Newton de prévoir jusque dans les moindres détails son évolution au cours de l’infinité des temps :

    « Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de ce qui va suivre. »

    « Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome. »

    « Rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux ».

    94Déterminisme des solutions des équations différentielles.

    95Ce qui pour Laplace justifiait ses affirmations était le fait que les équations différentielles mises en œuvre dans le cadre de la mécanique font intervenir des solutions uniques (une fois définies les conditions aux limites, initiale et aux frontières) évoluant au cours du temps de manière strictement déterministe. Mais il y avait aussi chez lui une confiance absolue dans l’idée que toutes les réalités sans exception sont passibles d’équations différentielles du même type que celles qu’on rencontre en mécanique de Newton. Et c’est un fait que pendant longtemps les « certitudes » de Laplace semblèrent confirmées par les développements de la théorie des équations différentielles dans les différentes branches de la mécanique classique.

    96Le déterminisme laplacien, extrapolation d’ordre philosophique.

    97Dans la perspective du déterminisme laplacien où tout s’écoule de manière inexorable, la raison de toute réalité se situe dans ses antécédents car toute l’évolution des phénomènes se trouve résider dans les conditions initiales. Il en résulte que le nouveau, quel qu’il soit, disparaît, le déroulement du temps ne pouvant rien produire qui ne soit déjà là ; dès lors le changement devient illusoire, le dynamique se réduit au statique, et la causalité se réduit à l’identité.

    98En fait le déterminisme de Laplace est de nature métaphysique et non pas physique. Il est en fait une transposition dans le domaine de la nature de la conception selon laquelle Dieu qui est l’auteur du temps, comme de tout ce qui est créé voit sa création dans une sorte d’éternel présent.

    Réversibilité des équations de la dynamique

    La cause efficiente en mécanique classique

    99La force newtonienne semble mettre un terme à la cause finale.

    100Comme nous l’avons fait observer plusieurs fois, il y a une tendance très répandue à considérer qu’il n’y a de changement que s’il y a initialement une cause efficiente pour le susciter. En introduisant en physique la force, comme causant une accélération, autrement dit une modification de la vitesse, la physique de Newton a semblé longtemps, par suite de ses succès, à avoir mis un terme définitif au concept aristotélicien de cause finale.

    101Effacement de la cause efficiente en physique classique.

    102Or, une conséquence commune aux mécaniques lagrangienne et hamiltonienne est que s’efface la notion de force si présente dans la formulation newtonienne, car on se trouve en effet chez elles en présence d’équations où l’on a remplacé des forces par les potentiels dont elles dérivent, lesquels sont intégrés au lagrangien ou à l’hamiltonien.

    103La cause efficiente en tant que ce qui précède dans le temps.

    104On pourrait cependant conserver la cause efficiente en la considérant37, comme étant ce qui précède partout et toujours un évènement donné dans la succession ininterrompue des phénomènes, ce qui était nous l’avons vu le point de vue des stoïciens. En effet, cela pourrait s’appliquer aux phénomènes en tant que régis par les équations dynamiques des différentes mécaniques newtonienne, lagrangienne ou hamiltonienne, peu importe.

    Caractère réciproque des causes efficiente et finale

    105Inversion de l’évolution physique par inversion du temps.

    106Mais alors, il faut remarquer que, quelle que soit la formulation de cette mécanique, qu’elle soit newtonienne, lagrangienne, ou hamiltonienne, si on inverse le signe de la variable temps intervenant dans les équations dynamiques, l’évolution des systèmes physiques régie par ces équations s’inverse. Tout se passe dans ces conditions comme si les systèmes physiques remontaient alors le temps au lieu de le descendre. Cette symétrie de la dynamique déterministe par rapport à une inversion du temps implique une conclusion importante.

    107Par inversion du temps, la cause efficiente devient la cause finale.

    108En effet, si l’évènement qui suit est causé par celui qui le précède, autrement dit, si la cause est ce qui précède, alors, après inversion du temps dans les équations, l’évènement que l’on qualifiait de cause efficiente parce qu’il précédait alors l’effet, lui succède après inversion du temps, de telle sorte qu’il est maintenant devenu la cause finale. C’est ce que Bergson (1859- 1941) fit remarquer en soulignant que dans le cadre du déterminisme le plus strict, cause efficiente et cause finale sont symétriques l’une de l’autre.

    109Objection : les phénomènes physiques réels sont irréversibles.

    110Observons que les évolutions réelles des phénomènes sont non pas réversibles, mais irréversibles, comme l’a bien pris en compte la thermodynamique avec son second principe. C’est ce que nous verrons un peu plus loin quand nous aborderons cette discipline.

    Physique des milieux continus

    111Tout ce que nous avons dit sur la mécanique classique traitait de systèmes à plusieurs degrés de liberté distincts. C’est pourquoi, afin d’étudier les systèmes physiques non plus discrets mais continus, la mécanique s’est développée dans deux directions parallèles. Ce sont deux spécialités difficiles et délicates qui sont la mécanique des milieux continus et la mécanique des fluides.

    112Si la première ne semble pas impliquer des conséquences concernant l’objet du présent ouvrage, il n’en va pas de même de la mécanique des fluides qui a conduit vers la fin du vingtième siècles à des découvertes dont il nous faut maintenant dire rapidement quelques mots.

    Attracteurs étranges en mécanique

    113On rencontre expérimentalement dans certains domaines expérimental de la mécanique des systèmes physique liquides où interviennent des températures et des concentrations variant en chaque point du fluide qui conduisent à des mouvements de convection déplaçant les masses présentes. Or, pour étudier théoriquement de telles situations, on doit faire appel à la mécanique des fluides. On est alors conduit à écrire, pour déterminer théoriquement la dynamique de tels systèmes, des équations aux dérivées partielles non linéaires couplées d’un type particulier.

    114Dans ces cas, l’irréversibilité découle du caractère non linéaire des équations différentielles, et non d’un nombre très élevé de degrés de liberté.

    115Ces situations finales qui sont les mêmes quelles que soient les conditions initiales, semblent donc se comporter comme si elles attiraient inexorablement le système. C’est pourquoi on leur a donné le nom d’attracteurs, ce qui n’est pas sans évoquer philosophiquement la finalité. Où c’est ce qui est au terme qui se comporte comme la cause du phénomène38.

    La théorie électromagnétique de Maxwell

    Les pionniers de l’électromagnétisme

    116Vers la fin du 18ème et au cours du 19ème siècle, la mécanique servit de modèle pour le développement des nouvelles branches de la physique dont en particulier l’électromagnétisme.

    La personnalité qui émerge de beaucoup dans ce domaine est le grand théoricien britannique Maxwell (1831-1879), presbytérien convaincu de l’Eglise d’Ecosse, qui est considéré généralement avec Newton et Einstein comme l’un des trois plus grands physiciens de tous les temps. Précisons qu’il participa par ailleurs à la création de la mécanique statistique appelée par la suite à jouer un rôle fondamental dans le renouvellement des grandes idées théoriques en physique.

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    117Avant d’aborder les travaux de Maxwell, il faut le situer au préalable parmi les physiciens expérimentateurs les plus importants qui posèrent les jalons expérimentaux dont se servit leur cadet.

    118Volta (1745-1827), italien. Il construisit la pile électrique en 1800.

    119Coulomb (1736-1806), français. Il mesura la force d’attraction coulombienne à l’aide d’une balance de torsion et en établit l’expression mathématique.

    120Ampère (1775-1836), français. Il inventa le télégraphe et, avec Arago l’électroaimant.

    121Oersted (1777-1851), danois. Il découvrit l’existence du champ magnétique induit par un courant électrique.

    122Faraday (1791-1867), britannique. Il détermina les propriétés magnétiques des courants.

    123Ohm (1789-1854), allemand. Il établit les lois expérimentales reliant l’intensité de courant au voltage via la résistance, elle-même fonction de la résistivité du fil conducteur (grandeur qui lui est spécifique), de sa longueur et de la surface de sa section.

    124Lenz (1804-1865), russe. Il établit en 1833 la loi qui donne le sens des courants induits.

    125Joule (1818-1889), britannique. Il étudia la chaleur dégagée par les courants électriques.

    126Maxwell (1831-1879), enfin qui fonda l’électromagnétisme unifiant les phénomènes électriques et électromagnétiques.

    127Maxwell fonda une nouvelle théorie destinée à synthétiser les résultats épars établis par ces pionniers en posant axiomatiquement des équations qui sont maintenant connues sous le nom d’équations de Maxwell. Ce sont elles que nous allons exposer maintenant.

    Les équations électromagnétiques de Maxwell

    Force électrique et force magnétique

    Des grandeurs physiques spécifiques à l’électromagnétisme.39

    128Les phénomènes électromagnétiques font intervenir des grandeurs physiques étrangères à la mécanique. Les trois fondamentales de base sont la charge électrique de nature scalaire, ainsi que les champs électriques E et magnétiques B qui sont de nature vectorielle. Mais pour E et B, il s’agit de champs qui sont des grandeurs d’un type particulier que Maxwell définira avec soin, comme nous allons prochainement le voir.

    129Il y a deux lois d’origine empirique décrivant la force subie par une charge se déplaçant dans ces champs. Ce sont celles que nous allons citer en premier lieu.

    Force subies par une charge électrique dans un champ électrique

    130Des expériences réalisées en laboratoire montrent qu’une charge électrique e placée dans un champ électrique E est soumise à la force suivante F :

    Force subie par une charge en mouvement dans un champ magnétique

    131D’autres expériences montrent qu’une charge e se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B est soumise à une force F d’un type particulier connue sous le nom de force de Lorentz qui est donnée par le produit vectoriel de la vitesse de la particule portant la charge par le vecteur B. Les équations régissant cette force F et ses composantes selon x, y et z sont les suivantes :

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    132Dans ces équations Fx, Fy et Fz sont les composantes de la force de Lorentz selon les axes cartésiens x, y et z, tandis que vx, vy et vz, et Bx, By et Bz sont respectivement les composantes de la vitesse v et du champ magnétique B.

    Le concept de champ électromagnétique

    133Les équations de Maxwell reposent toutes sur une représentation spatio-temporelle où la notion de continuité joue comme en mécanique un rôle fondamental. Le concept central est ici celui de champ électromagnétique : chaque point de l’espace géométrique est défini par deux grandeurs physiques de nature vectorielle, l’une de nature électrique et l’autre de nature magnétique, dotées chacune de trois composantes correspondant aux trois directions de l’espace, et se comportant donc chacune comme des vecteurs. La différence avec les vecteurs de la mécanique newtonienne réside ici en ce que les vecteurs des champs électromagnétiques sont en nombre infini et varient de manière continue en fonction du temps et de leur situation dans l’espace.

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    134On a donné à ces vecteurs dont les expressions varient de manière continue le nom de champs de vecteurs.

    135Compte tenu de la nature vectorielle des champs, ce sont chacune des trois composantes selon x, y et z, qui sont susceptibles de varier en chaque point de l’espace, ce qui conduit à écrire :

    1361. Ex (x, y, z), Ey (x, y, z) et Ez (x, y, z) pour les trois composantes locales du champ E(x, y et z). 2. Bx (x, y, z), By (x, y, z) et Bz (x, y, z) pour les trois composantes locales du champ B(x, y et z).

    Postulat de la conservation de la charge électrique

    137Maxwell eut l’intuition que, pour rendre cohérentes les différentes propriétés électriques et magnétiques, il fallait postuler que la charge électrique devrait se conserver. Ce nouveau principe de conservation venait ainsi rejoindre les autres grandeurs physiques considérées alors comme devant se conserver, à savoir la masse, l’énergie totale et le moment cinétique total.

    138Cette conservation s’écrit sous forme locale en fonction de la densité de charge scalaire p (x, y, z, t) et de la densité de courant J (x, y, z, t), lesquelles sont des grandeurs physiques variant au cours du temps en chaque point de l’espace, tout comme les champs électriques et magnétiques :

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    139Bien entendu la vérification de ce postulat est a posteriori, une fois ce dernier intégré dans le reste de la théorie électromagnétique.

    Maxwell postule un terme manquant dans les équations

    Equations d’Ampère (équations de la partie gauche du tableau)

    140Maxwell partit de la loi expérimentale d’Ampère.

    Celle-ci peut s’écrire sous la forme de trois équations aux dérivées partielles ci-contre reliant les composantes locales du champ magnétique Bx (x, y, z), By (x, y, z) et Bz (x, y, z) aux composantes locales de la densité de courant Jx (x, y, z), Jy(x, y, z) et Jz (x, y, z), via la perméabilité magnétique du vide µ :

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    Maxwell postule les équations de la partie droite du tableau

    141Cependant, en lien avec les contraintes liées à la conservation de la charge, Maxwell remarqua qu’il manquait quelque chose aux trois équations de gauche pour qu’elles soient cohérentes avec le postulat de la conservation de la charge électrique.

    Maxwell émit alors l’hypothèse qu’il fallait ajouter à l’équation d’Ampère, des termes supplémentaires faisant intervenir également les composantes locales du champ électrique Ex (x, y, z), Ey (x, y, z) et Ez (x, y, z) via la perméabilité magnétique du vide µ et la constante diélectrique du vide ε (voir équations ci-contre)

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    142Cela le conduisit à compléter respectivement chacune des trois composantes d’Ampère, par chacune de ces trois nouvelles équations

    143Les quatre équations fondamentales de Maxwell.

    Matériau expérimental utilisé par Maxwell

    144Maxwell synthétisa les différentes lois expérimentales concernant les propriétés électriques et magnétiques en quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre reliant les champs électriques et magnétiques aux densités de charge et de courant, via deux constantes mesurées expérimentalement en laboratoire, à savoir la constante diélectrique du vide ε° et la perméabilité magnétique du vide µ°.

    145Maxwell intégra dans sa première équation, la loi de Gauss, écrivit sa seconde, de manière à rendre compte de l’absence de charge magnétique, et reprit dans sa troisième la loi de Faraday-Lenz. Enfin, pour formuler sa quatrième, il fit l’hypothèse hardie de compléter la loi d’Ampère par un terme dépendant du champ électrique (voir tableau ci-dessous).

    Les quatre équations de Maxwell

    146Dans ces conditions, les quatre équations de Maxwell sont les suivantes :

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    Solutions des équations de Maxwell.

    Equations de Maxwell dans le vide

    147Dans le vide, i.e. en l’absence de charge électrique (e=0), et après avoir posé c2=1/µ °ε °, les équations de Maxwell deviennent :

    Image 10000000000002CF000000966481BA66F142340B.jpg

    Découplage des champs E et B

    En combinant entre elles ces équations aux dérivées, Maxwell obtint, après quelques transformations deux jeux d’équations aux dérivées partielles du second ordre découplées ayant la même structure, dont l’une régit exclusivement le champ électrique, et l’autre le magnétique. (voir ci-contre)

    Image 100000000000011E000000785CE129F553546E15.jpg

    La constante c est reliée à la perméabilité magnétique du vide µ° et à la susceptibilité électrique ε° du vide par la relation ci-contre :

    Image 1000000000000065000000462A1609000FAD56B5.jpg

    Les équations régissant les champs sont celle des cordes vibrantes

    148Maxwell observa alors que ces équations aux dérivées partielles du second ordre ont la même structure que celle des cordes vibrantes obtenue par D’Alembert (rencontrée au début de ce chapitre) régissant l’amplitude de vibration F(x, y, z, t) d’une corde susceptible de se déplacer dans les trois dimensions de l’espace. Rappelons-la ici :

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    149Solution de l’équation des cordes vibrantes.

    150Or, comme nous l’avons vu, la solution de l’équation de D’Alembert est celle d’une vibration se produisant à la fréquence angulaire w et se propageant à la vitesse v le long d’une direction perpendiculaire à la vibration.

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    151Maxwell observa que le terme c intervenant dans les équations régissant les champs électriques et magnétiques, joue le rôle de la vitesse de propagation v dans l’équation des cordes vibrantes. Il en conclut que le terme c pourrait donc être la vitesse de propagation des vibrations des parties transversales à cette vitesse des champs E et B.

    Interprétation des équations par Maxwell

    152Avant de donner les conclusions que tira Maxwell de ces résultats concernant la vitesse de déplacement longitudinale des champs électriques transversaux oscillants, il est bon de réaliser un bref détour sur les recherches qui avaient jusqu’alors porté sur la lumière, où deux théories s’étaient affrontées l’une corpusculaire et l’autre ondulatoire.

    Etudes portant sur la lumière antérieures aux travaux de Maxwell

    Séparation des couleurs de l’arc en ciel

    Les différentes couleurs (allant du violet au rouge en passant par les différentes couleurs de l’arc-en-ciel) peuvent être séparées de la lumière blanche à l’aide d’un prisme utilisant le fait que les couleurs différentes ont des indices de réfraction différents.

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    Premières théories ondulatoires et corpusculaires de la lumière

    153Fermat (1601-1655) est un parlementaire français mathématicien, qui pour rendre compte du phénomène empirique de la diffraction de la lumière, postula que le chemin brisé emprunté par la lumière traversant successivement deux milieux transparents différents serait celui qui lui demanderait le moindre temps pour parcourir son itinéraire complet (principe de Fermat).

    154Huygens (1629-1695) est un physicien néerlandais qui proposa pour la première fois une explication de la réflexion et la diffraction de la lumière par une théorie ondulatoire.

    155Newton (1642-1727) étudia la diffraction de la lumière à l’aide de prismes permettant de séparer les couleurs de l’arc en ciel, et formula une théorie corpusculaire de la lumière.

    156Römer (1644-1710) est un astronome danois qui fut le premier à avoir mesuré la vitesse de la lumière grâce à l’interprétation du retard et de l’avance des éclipses des satellites de Jupiter. Il l’évalua aux alentours de 300.000 kilomètres à la seconde.

    Hooke (1635-1703), de nationalité britannique, reprit à son compte la théorie ondulatoire de la lumière émise par Huygens.

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    Selon cette théorie, la lumière est constituée d’une superposition de composantes lumineuses vibrant au cours du temps à des fréquences bien définies, et susceptibles de conduire à des interférences constructives ou destructives (voir figure ci-contre).

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    Travaux expérimentaux de Young

    157Young (1773-1829) est un physicien britannique qui étudia expérimentalement la lumière. Il sépara à l’aide de primes les composantes lumineuses de l’arc en ciel. Ensuite, il fit passer de la lumière issue d’une même couleur par deux fentes étroites taillées dans un premier écran plat.

    158Le physicien français Fresnel (1788-1827) développa et améliora les appareils utilisés en optique géométrique (initiée aux siècles précédents), et mit au point des systèmes40 perfectionnés de lentilles.

    159Il améliora par ailleurs l’optique physique qui devint alors une nouvelle spécialité à part entière venant compléter l’optique géométrique.

    160C’est ainsi qu’il réalisa sur la lumière des expériences précises d’interférence (du type de celles déjà réalisées par Young), et d’autres de diffraction où la lumière passe par un minuscule orifice avant de parvenir sur un écran.

    161Les figures d’interférence et de diffraction qu’il obtint, il les interpréta en faisant appel comme Young, à l’hypothèse ondulatoire de la lumière.

    162Grâce à ses expériences, Fresnel fut à même de mesurer les fréquences des composantes colorées de la lumière.

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    163Young observa alors que la lumière issue des deux fentes qui venait éclairer un second écran se manifestait sous la forme d’une alternance régulière de bandes lumineuses et obscures. Afin de rendre compte de ses résultats il fit appel à la théorie ondulatoire de la lumière émise par Hooke. Et c’est ainsi qu’il interpréta les bandes lumineuses comme provenant d’une addition des amplitudes de vibration (interférences constructives), et les bandes obscures comme résultant d’une soustraction des amplitudes de vibration (interférences destructives) des ondes lumineuses de fréquence donnée.

    Fresnel et la fondation de l’optique

    Théorie de la lumière sur laquelle s’appuiera Maxwell

    164Les travaux indépendants de Young et Fresnel mettant en évidence figures d’interférence et figures de diffraction qu’ils interprétaient tous deux dans le cadre de l’hypothèse ondulatoire, convainquirent définitivement les physiciens contemporains de Maxwell de renoncer à la théorie corpusculaire de la lumière proposée par le grand Newton, pour adopter la nouvelle théorie ondulatoire, étant entendu que conformément aux mesures de Römer les ondes lumineuses se déplaçaient à la vitesse de 300.000 kilomètres à la seconde. C’est cette vision théorique de la lumière qu’adopta Maxwell quand il tenta d’interpréter le contenu de ses équations.

    Nature ondulatoire du champ électromagnétique

    Champs électromagnétiques oscillants

    165Maxwell émit l’hypothèse que, dans le vide (impliquant l’absence de charge et de densité de courant), les champs électrique et magnétique devraient osciller l’un et l’autre à la même fréquence, leur mouvement de vibration se propageant à la même vitesse c perpendiculairement à leur vibration :

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    Propagation des deux champs à la vitesse de la lumière

    166En combinant les valeurs numériques des deux constantes intervenant dans la grandeur c (c2=1/µ°ε°) mesurées maintes fois avec précision, Maxwell remarqua que cette nouvelle constante était égale à 300.000 kilomètres par seconde, ce qui était exactement la même valeur que celle mesurée pour la propagation de la lumière par Römer puis d’autres.

    Hypothèse électromagnétique de Maxwell concernant la lumière

    167Maxwell en conclut que la lumière pourrait être de nature électromagnétique.

    Dans cette hypothèse les différentes couleurs dont on peut déterminer les fréquences d’ondulation, ne seraient autres que des champs électriques et magnétiques orthogonaux oscillant à des fréquences voisines et se déplaçant (longitudinalement par rapport à ces champs transversaux) à la vitesse de c de 300.000 kilomètres par seconde.

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    Le large spectre des ondes électromagnétiques

    La lumière et les ondes électromagnétiques

    168Les équations de Maxwell n’imposant aucune contrainte quant aux fréquences de vibration du champ électromagnétique, l’hypothèse fut donc rapidement émise qu’il pourrait y avoir une infinité de champs électromagnétiques, les ondes électromagnétiques, se déplaçant toutes à la vitesse de la lumière avec des fréquences différentes de vibration.

    Synthèse en laboratoire des ondes électromagnétiques hertziennes

    169Cette hypothèse conduisit le physicien allemand Hertz (1857-1894) à tenter de synthétiser en laboratoire des ondes électromagnétiques de très basse fréquence par rapport à celles de la lumière. Il y réussit, produisant des ondes dites hertziennes (du nom de son auteur) fournissant ainsi une confirmation spectaculaire des intuitions de Maxwell.

    Découverte progressive du spectre électromagnétique

    170Des physiciens de laboratoire, exploitant ces découvertes, montreront plus tard que la lumière et les ondes hertziennes ne sont que quelques-unes des multiples manifestations du spectre des radiations électromagnétiques, les rayonnements ultraviolets et infrarouges venant encadrer le spectre lumineux du côté des hautes et des basses fréquences.

    171Seront par la suite découvertes des radiations électromagnétiques de fréquences plus élevées comme les rayons X (par le physicien allemand Röntgen (1845-1923), qui obtint pour sa découverte le premier prix Nobel délivré), puis les rayons gamma mis en évidence en 1896 dans le cadre de la radioactivité, par les français H. Becquerel (1852-1908) et Marie Curie (1867-1934) lesquels obtinrent tous deux en 1903 le troisième prix Nobel délivré.

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    172Seront encore synthétisées plus tard d’autres radiations électromagnétiques de fréquences intermédiaires entre celles des ondes infrarouges et hertziennes, à savoir les micro-ondes, et les ondes radar (pendant la seconde guerre mondiale).

    Substantification du support des champs électromagnétique : l’éther

    173Dans les années qui suivirent, l’espace absolu de Newton fut considéré sous-tendre les champs électromagnétiques et fut assimilé à un support physique réel auquel on donna le nom d’éther. Ce concept s’effondrera quelques années plus tard sous les coups que lui porta la théorie de la relativité d’Einstein (vide infra).

    Potentiel scalaire et potentiel vecteur

    174On introduit en électromagnétisme à partir des champs électrique et magnétique deux nouveaux champs, à savoir le potentiel scalaire ɸ et le potentiel vecteur A.

    175Potentiel électromagnétique scalaire ɸ

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    176Potentiel électromagnétique vecteur A.

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    177Ces potentiels seront par la suite appelés à jouer un rôle majeur en théorie de la relativité et en mécanique quantique.

    178Différentes jauges possibles et invariance de Jauge de l’électromagnétisme.

    179Changements de jauge sur les potentiels scalaires et vecteurs.

    180Du fait que ces grandeurs A et ɸ sont obtenues par dérivation, il y en a une infinité de possibilités susceptibles d’être construites à partir de valeurs bien définies de E et de B.

    Ce sont toutes celles qui peuvent être obtenues de la manière ci-contre, où X(r, t) est une fonction scalaire de l’espace et du temps :

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    181Il faut donc préciser pour chacun des deux potentiels une référence d’origine laquelle ne peut être que conventionnelle. Ces références à définir correspondent à ce que l’on appelle une jauge.

    La jauge de Coulomb et la jauge de Lorentz

    182Les deux jauges importantes utilisées en physique sont respectivement la jauge de Coulomb employée en électromagnétisme classique et la jauge de Lorentz dont il sera question plus loin à l’occasion du traitement de la théorie restreinte de la relativité.

    183Ces deux jauges différentes qui conduisent, insistons-y, aux mêmes champs physiques E et B, et par conséquent aux mêmes équations de Maxwell, sont respectivement (en utilisant la notation nabla intervenant dans la divergence) :

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    Formulation électromagnétique lagrangienne

    Lagrangien électromagnétique

    184Sans rien changer à la physique, on peut reformuler l’électromagnétisme dans le cadre du formalisme lagrangien. Nous avons vu que le lagrangien L est la différence entre les énergies cinétique T et potentielle U, cette dernière étant en électromagnétisme une fonction des potentiels scalaires ɸ et vecteurs A, ainsi que de la charge e en interaction avec ces potentiels.

    185Pour un degré de liberté, le lagrangien électromagnétique s’écrit de la manière suivante :

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    186Avec ce lagrangien, il est possible après avoir choisi une jauge adéquate d’exprimer théoriquement l’ensemble de l’électromagnétisme.

    Différence entre impulsion et quantité de mouvement

    Dans ces conditions, utilisant la définition de l’impulsion intervenant dans le formalisme lagrangien (introduite plus haut), on obtient :

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    187Ce dernier résultat important montre qu’il faut distinguer l’impulsion p de la quantité de mouvement mv, dès lors qu’est présent un potentiel vecteur, une distinction que n’opérait pas la mécanique newtonienne qui les confondait, mais qui est, comme nous allons le voir dans les chapitres suivants, d’une importance capitale en mécanique quantique.

    La théorie de la relativité restreinte

    188Venons-en maintenant à la théorie de la relativité restreinte qui va bouleverser la mécanique classique pour des raisons qui ne sont pas étrangères à l’électromagnétisme. Et pour commencer relatons la crise qui fut à l’origine de sa création.

    Crise qui fut à l’origine de la théorie relativiste

    Expériences de Michelson

    Hypothèse de l’éther

    189Vers la fin du 19ème siècle, tous les physiciens admettaient la rotation sur elle-même de la Terre en un jour, ce qui avait été démontré par le physicien Foucault (1819-1868) lors d’une expérience mettant en évidence la rotation en 24 heures de la direction de l’oscillation d’un pendule (dont l’interprétation repose sur la conservation du moment cinétique, un théorème de mécanique indépendant de toute théorie astronomique). Tous admettaient également la rotation de la Terre autour du Soleil en un an.

    190En outre, nombreux étaient les physiciens qui considéraient que l’éther, autrement dit l’espace substantifié supposé (comme nous venons de le voir il y a un instant) être le siège des déplacements absolus de la lumière en électromagnétisme, était précisément l’espace de Newton au sein duquel se déroulaient le mouvement des astres.

    Mise en évidence de la constance de la vitesse de la lumière

    191Le physicien américain Michelson (1852-1931) réalisa une série d’expériences dans le but de vérifier les mouvements de rotation diurnes et annuels de la Terre, en tentant de mettre en évidence des différences de vitesses de déplacement de la lumière, suivant qu’elle se meut dans le même sens que les mouvements diurnes et annuels, ou bien en sens inverse.

    192Or, les résultats furent négatifs, et ce malgré le renouvellement des expériences et l’affinement des protocoles expérimentaux. Ce résultat hautement surprenant semblait accréditer l’idée que Copernic et Galilée auraient peut-être eu tort. Vue l’importance du résultat expérimental, Michelson obtint en 1907 le prix Nobel pour ses mesures importantes et reproductibles.

    193L’Irlandais Fitzgerald (1851-1901) proposa alors de rendre compte du résultat surprenant de Michelson en supposant que les longueurs se contracteraient le long des déplacements à très grande vitesse ; mais cela restait peu convainquant (il faudra attendre la théorie de la relativité pour réaliser la véracité de cette hypothèse).

    Les transformations de Lorentz

    194Larmor en 1900, et à sa suite le physicien néerlandais Lorentz (1853-1928) ont cherché à rendre compte des expériences de Michelson, sous une forme phénoménologique plus approfondie.

    195Ils remplacèrent les transformations de Galilée par de nouvelles transformations subtiles mélangeant les coordonnées de temps et d’espace de manière à ce que la vitesse de la lumière soit perçue expérimentalement comme étant la même dans deux systèmes de coordonnées se déplaçant relativement à de très grandes vitesses de l’ordre de celle de la lumière.

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    196Lorentz

    Equation d’un front d’onde lumineux dans un premier référentiel fixe

    197Présentons ces nouvelles transformations. Et pour cela, considérons une onde lumineuse sphérique progressant depuis sa source à la vitesse de la lumière c. Cette source peut servir à définir l’origine d’un référentiel. Pour un observateur se trouvant dans celui-ci, l’équation du front d’onde sphérique de rayon R(t) dépendant du temps t, et se déplaçant à la vitesse de la lumière c, s’écrit en fonction des coordonnées x(t), y(t) et z(t) de R(t)41 sous la forme suivante :

    Dans le 1er référentiel : R2(t) = x(t)2 + y(t)2+ z(t)2= c2t2

    Equation du front dans un second référentiel de vitesse relative v°z

    198Considérons maintenant un second référentiel se déplaçant le long de l’axe des z à la vitesse constante v°z par rapport au premier référentiel. Compte tenu des expériences de Michelson un observateur situé dans ce second référentiel en déplacement constatera que le front d’onde se déplace lui aussi à la vitesse c.

    199Cela implique que l’équation du front d’onde ait dans le second référentiel (où les coordonnées sont x(t)’, y(t)’ et z(t)’) la même forme que dans le premier, à savoir :

    Dans le 2nd référentiel : R2(t) = x’(t)2 + y’(t)2+ z’(t)2= c2t’2

    Transformations de Lorentz

    200Pour que les équations régissant le rayon R(t) du front d’onde aient, conformément à l’expérience de Michelson, la même forme, il faut des lois de passages transformant de manière adéquate les coordonnées {x, y, z, t} du premier référentiel dans celles {x’, y’, z’, t’} du second. Les transformations de Lorentz ont été postulées à cette fin pour permettre de respecter cette exigence vis-à-vis de laquelle les transformations de Galilée sont défaillantes.

    201Ces transformations postulent que les coordonnées d’espace et de temps, des deux référentiels se déplaçant relativement l’un à l’autre à très grande vitesse selon la direction z à la vitesse v°z, se mélangent de la manière suivante :

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    Les transformations de Galilée, limites de celles de Lorentz

    202Quand la vitesse relative v°z devient très faible devant celle de la lumière, les termes (v°z /c2) et β = (v°z/c) deviennent négligeables, d’où ʏ =1. La transformation de Lorentz concernant la coordonnée z se réduit alors à la transformation de Galilée, tandis que celle concernant le temps se réduit au temps habituel :

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    203Il en résulte que les transformations de Lorentz préservent comme requis la transformation de Galilée quand les vitesses relatives des deux repères sont négligeables devant celle de la lumière. Il faut maintenant vérifier comment elle sauve les phénomènes en rendant compte des résultats de Michelson.

    Les transformations de Lorentz sauvent les phénomènes

    204Montrons pour cela que les transformations de Lorentz permettent de prouver que l’on doit observer la même valeur pour la vitesse de la lumière dans les deux référentiels.

    Vitesse mesurée dans le premier référentiel

    205Dans le premier référentiel, un observateur étudiant la vitesse de déplacement instantanée d’un objet, la définit par la dérivée habituelle suivante :

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    Vitesse mesurée dans le second référentiel

    206Dans le second référentiel, un observateur étudiant la vitesse de ce même corps s’appuiera sur la définition de la vitesse instantanée exprimée cette fois en terme de z’ et de t’ provenant des transformations de Lorentz, et présentant une structure analogue à celle usée dans le 1er référentiel.

    207Exprimée maintenant en fonction des coordonnées z et t du premier référentiel, cette vitesse instantanée prend alors une forme plus compliquée qui peut s’exprimer de proche en proche de la manière qui suit :

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    Vitesse V’z dans le second référentiel, quand Vz = c dans le premier

    208Supposons maintenant que l’objet dont on mesure la vitesse dans le premier référentiel soit celle de la lumière.

    209Compte tenu du résultat précédent, l’observateur appartenant au second référentiel trouvera pour elle la même valeur c pour la vitesse de la lumière.

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    210Ce dernier résultat implique donc que si on mesure la vitesse de la lumière dans un certain référentiel, sa mesure dans un nouveau référentiel en mouvement uniforme par rapport au premier donnera toujours et partout le même résultat42.

    211L’approche utilisant les transformations de Lorentz, si elle sauva les phénomènes en rendant compte de la constance de la vitesse de la lumière observée par Michelson, n’en fut pas moins d’abord perçue par la majorité des savants de l’époque comme artificielle. Il fallut Einstein pour interpréter à leur juste valeur ces transformations ad hoc.

    Diagnostic physique opéré par Einstein

    Incompatibilité entre mécanique et électromagnétisme

    Incompatibilité entre mécanique et électromagnétisme

    212Ce fut en effet Einstein qui établit le diagnostic des difficultés soulevées par les expériences de Michelson, ce qui le conduisit à construire la théorie de la relativité restreinte.

    Remarquons que les contributions d’Einstein ne se limitèrent pas à cette théorie dont il généralisa les principes d’invariance aux mouvements accélérés conduisant à sa théorie de la relativité générale. On lui doit aussi l’interprétation de l’effet photoélectrique pour laquelle il obtient le prix Nobel, d’importantes contributions en physique statistique et enfin sa théorie des coefficients d’absorption et d’émission spontanée et induite.

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    213Einstein remarqua qu’il y a une contradiction entre les principes de la mécanique classique et ceux de l’électromagnétisme de Maxwell. En mécanique classique la transformation de Galilée suppose l’addition des vitesses quand on passe d’un référentiel immobile à un autre en mouvement. Au contraire, la vitesse de la lumière dans le vide, qui est au centre des équations de Maxwell, ne peut être qu’une constante, puisque la perméabilité magnétique du vide µ° et la constante diélectrique du vide ε° dont elle est une simple fonction sont deux constantes mesurées en laboratoire qui n’ont pas de raison de changer quand on passe d’un référentiel à un autre en mouvement relatif par rapport à lui.

    Mise en cause physique des transformations de Galilée

    214Insistons sur cela. Si donc on part du principe que les valeurs mesurées pour ces deux constantes sont indépendantes du fait que les laboratoires dans lesquels on les mesure sont ou non en mouvement relatif, cela implique que la vitesse de la lumière mesurée dans le vide, sera trouvée la même quel que soit le référentiel. Cela peut se récapituler ainsi :

    ε° et µ° sont toutes deux des constantes mesurées en laboratoire, dont les valeurs ne peuvent qu’être trouvées les mêmes au sein de deux laboratoires se déplaçant relativement l’un à l’autre à une vitesse constante :

    On peut en conclure que c ne peut être qu’une constante.

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    215Il apparaît donc que les transformations de Galilée impliquant que la vitesse de la lumière est nécessairement modifiée par le choix du laboratoire référentiel choisi pour la mesurer doivent être remises en cause, si l’électromagnétisme est une théorie à l’abri de toute critique.

    Stratégie méthodologique d’Einstein

    Trois aspects théoriques à passer au crible de la critique

    216Comme nous l’avons dit, c’est Einstein (1879-1955)43 qui sera le premier à déceler cette contradiction puis à la résoudre. Il examina trois aspects théoriques qu’il passa au crible de la critique. D’abord les transformations de Galilée. Ensuite les principes de la mécanique de Newton. Enfin l’électromagnétisme de Maxwell. Voici comment il procéda :

    Conserver intact l’électromagnétisme de Maxwell

    217L’électromagnétisme de Maxwell a l’avantage d’être en prise directe avec l’expérience, étant essentiellement une synthèse mathématique des différentes lois expérimentales établies en laboratoire. C’est pourquoi Einstein décida de ne pas le remettre en cause, ce qui impliquait de considérer la vitesse de la lumière comme ne pouvant qu’être une constante.

    Remplacer la transformation de Galilée par celles de Lorentz

    218Einstein choisit de remplacer pour les grandes vitesses relatives, la transformation de Galilée incompatible avec la constance de la lumière, par les transformations de Lorentz préservant cette constance.

    Remettre en cause les principes de la mécanique classique

    219Comme les transformations de Galilée sont l’une des pièces maîtresses de la mécanique newtonienne, et qu’il paraissait nécessaire d’y renoncer, Einstein fit le choix de remettre radicalement en question le postulat newtonien de la mécanique dont la validité n’avait été vérifiée qu’a posteriori pour des situations où les vitesses qui y interviennent sont négligeables devant celle de la lumière.

    Quadri-scalaires et quadri-vecteurs relativistes

    220Pour exposer la nouvelle mécanique proposée par Einstein, il est commode (bien que légèrement anachronique) de faire appel à l’espace abstrait que Minkowski qui en simplifie la présentation. Ce nouvel espace qui est à quatre dimensions, fait intervenir des vecteurs à quatre composantes au lieu de trois, les quadrivecteurs dont les produits scalaires conduisent à des invariants qui sont les quadri scalaires.

    Espace-temps de Minkowski

    L’espace-temps à quatre dimensions

    221Minkowski (1864-1909), qui fut l’un des anciens professeurs d’Einstein, proposa pour la physique relativiste d’Einstein le cadre conceptuel d’un espace à quatre dimensions orthogonales les unes aux autres, dont les quatre composantes sont les suivantes :

    1. Les trois composantes en usage dans l’espace euclidien, qui sont réelles.

    2. La quatrième en lien avec le temps newtonien, qui est imaginaire (le temps t de Newton y est multiplié par la vitesse de la lumière c et par le nombre imaginaire pur i, tel que i2 = - 1).

    222Cet espace est l’espace-temps, dit encore espace de Minkowski, dans le cadre duquel la nouvelle mécanique proposée par Einstein se présente de la manière la plus commode.

    Le quadrivecteur relativiste de base et sa norme

    223On peut définir dans cet espace à quatre dimensions des vecteurs à quatre composantes q (cf. la première ligne du tableau suivant), des quadrivecteurs dont la norme est indifférente au référentiel utilisé, (cf. les deuxième et troisième expressions)44 :

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    224La norme de ce quadrivecteur, qui a été écrite sur la troisième ligne sous la forme condensée (ct)2 est nécessairement invariante vis-à-vis des rotations ou des transformations de Lorentz (pseudorotations), au même titre que celle d’un vecteur dans l’espace d’Euclide à trois dimensions à la suite d’une rotation.

    225Comme la vitesse c est constante, cela signifie que t qui a les dimensions d’un temps est lui aussi un invariant à la différence du temps usuel t qui se modifie dans une transformation de Lorentz.

    Le temps propre, invariant de l’espace de Minkowski

    Un invariant : le temps propre ou temps local

    226Après être passé des coordonnées d’espace et de temps aux vitesses correspondantes, le temps local t prend les trois formes successives équivalentes suivantes :

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    227Ce temps t qui est invariant quand on passe d’un référentiel en mouvement à un autre, est propre à chacun d’entre eux, d’où son nom de temps propre, ou encore de temps local.

    228Les temps locaux qui sont propres aux référentiels sont ceux qu’on doit utiliser pour l’étude de la dynamique en vigueur dans chacun d’entre eux.

    Temps propre différentiel

    229Par différentiation du temps local invariant t on obtient à partir de la troisième équation ci-dessus le résultat suivant accompagné des définitions des grandeurs qui y interviennent (Cf. les transformations de Lorentz.)

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    230Cette expression différentielle invariante du temps local est celle qui sert à définir les évolutions temporelles invariantes.

    Les quadrivecteurs position, impulsion et force

    Quadrivecteur position

    Reconsidérons les quatre composantes du quadrivecteur position dont la norme est invariante vis-à-vis d’une transformation de Lorentz.

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    Les quadrivecteurs relativistes vitesse et impulsion

    231La dérivation par rapport au temps invariant local de chacune de ces composantes, conduit aux quatre composantes uµ du quadrivecteur vitesse u, puis aux quatre composantes pµ du quadrivecteur impulsion p, après multiplication par la masse m (colonne de gauche du tableau suivant).

    232Les expressions des trois composantes d’espace de ces quadrivecteurs sont précisées dans la colonne centrale du tableau, tandis que celles de la composante temporelle le sont dans la colonne de droite (où le terme dt intervenant au numérateur et au dénominateur a disparu après simplification).

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    233Ecrites en fonction des vitesses vk .les trois composantes d’espace pk du quadrivecteur impulsion sont bien évidemment :

    Image 1000000000000072000000220DDAEB8BA43C7248.jpg

    Le quadrivecteur force relativiste dit de Minkowski

    234On définit ensuite le quadrivecteur force K de composantes Kµ, connu sous le nom de force de Minkowski :

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    235Deux invariants relativistes fondamentaux.

    236Les normes des quadrivecteurs vitesse et impulsion sont invariantes, puisque de nature scalaire. Leurs expressions qui découlent directement de celles de leurs composantes données un peu plus haut sont précisées dans le tableau suivant, où a été utilisée l’expression reliant ʏ2 (apparaissant au dénominateur de ces invariants) aux vitesses v et c :

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    Dynamique postulée en physique relativiste

    237Tout ce que nous venons maintenant de voir traitait des propriétés cinématiques de la théorie relativiste. Reste maintenant à en présenter les aspects dynamiques qui supposent de remplacer le postulat de la dynamique énoncé par Newton, par un nouveau postulat que nous allons maintenant présenter sous une forme heuristique étrangère à toute démonstration.

    Obtention heuristique de l’équation d’Einstein

    Au départ un quadri-scalaire nul

    Considérons une situation particulière, où le quadrivecteur force de Minkowski est orthogonal au quadrivecteur vitesse.

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    Expressions des produits intervenant dans le produit scalaire

    238A l’aide des expressions des composantes de la force de Minkowski et de celles du quadrivecteur vitesse, on obtient respectivement pour les composantes spatiales et pour la composante temporelle de ces produits les résultats reportés respectivement dans les colonnes de gauche et du centre du tableau suivant.

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    1. Les termes F et V qui apparaissent dans l’encadré de gauche sont respectivement la force et la vitesse intervenant en mécanique newtonienne.

    2. L’expression du produit scalaire apparaît dans la colonne de droite de ce même tableau (après élimination de 1/ʏ2 intervenant dans les deux termes de l’addition, sans influence sur l’exigence requise par l’équation l’égalant à zéro).

    Explicitation des deux membres de l’équation

    239Chacun des deux termes de la somme intervenant dans l’expression du produit scalaire peut être explicité.

    1. Le premier, qui ne fait apparaître que la vitesse v et la force F intervenant en mécanique non relativiste, peut être transformé en une dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique T, via la quantité de mouvement mV.

    2. Le second peut être explicité en remplaçant ʏ par son expression en fonction de β.

    240On obtient alors les résultats suivants :

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    L’équation d’Einstein reliant masse et énergie

    241Cas particulier des petites vitesses.

    242En identifiant les deux dernières équations de droite du tableau précédent, qui sont toutes deux des dérivées par rapport au temps t, on obtient pour l’énergie cinétique T, la première expression située à gauche :

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    243Quand la vitesse v est très faible devant celle de la lumière, autrement dit quand β est très petit devant l’unité, on peut développer en série convergente l’énergie cinétique T en utilisant la seconde équation centrale, ce qui conduit au résultat apparaissant ci-dessus à droite.

    244On voit apparaître dans cette nouvelle expression de T, non seulement l’énergie cinétique habituelle mv2/2, mais aussi une énergie colossale mc2 (dite énergie au repos) dépendant de la masse.

    Energie cinétique et composante temporelle de l’impulsion relativiste

    245Compte tenu des expressions de T et de p4, que nous avons obtenues plus haut (rappelées par les deux équations de la ligne suivante), il apparaît une relation entre ces deux grandeurs physiques donnée dans la partie droite de ce même tableau :

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    Une équation qui sera le point de départ de la mécanique quantique relativiste

    246Cette dernière équation, ainsi que celles définissant les trois composantes spatiales pi du quadrivecteur impulsion p, permettent de réécrire l’invariance du quadrivecteur impulsion p sous les quatre formes équivalentes suivantes :

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    247L’équation de droite de la seconde ligne à laquelle conduisent les équations précédentes, est le point de départ de l’équation de Klein Gordon intervenant en mécanique quantique relativiste. (Cf. chapitre VII).

    Paradoxe des jumeaux de Langevin

    248Parmi les conséquences de la théorie relativiste il y a la nécessité de renoncer à la notion d’une simultanéité de deux évènements susceptible d’être vérifiée dans tous les référentiels. Ce dernier point est en lien avec le fait que le temps n’avance pas au même rythme dans deux référentiels se déplaçant relativement l’un à l’autre à grande vitesse. C’est ce qui a donné lieu au paradoxe des jumeaux de Langevin (1872-1946), où l’un des deux, parti pour un voyage cosmique à grande vitesse retrouve à son retour son frère beaucoup plus vieilli que lui. Outre ce vieillissement, le paradoxe réside par symétrie dans le fait que chacun des deux jumeaux est plus vieux que l’autre.

    Importance des fondements de la théorie relativiste

    Fondements positivistes de la théorie de la relativité

    249Est à souligner l’inspiration positiviste de la théorie de la relativité, à la base de laquelle il y a le postulat de l’impossibilité expérimentale45 de distinguer parmi deux corps se déplaçant relativement l’un à l’autre en ligne droite, et à vitesse constante, celui qui serait immobile de celui qui serait en mouvement, ce qui implique que le mouvement non accéléré est purement relatif.

    Abandon définitif de l’éther

    250Par ailleurs, la théorie de la relativité a ruiné définitivement le concept de l’éther, autrement dit, celui d’un espace géométrique absolu et substantifié, supposé être le siège des déplacements absolus de la lumière et des astres.

    Fragilisation des formes a priori (kantiennes) de la sensibilité

    251Enfin, en niant ainsi le caractère absolu de l’espace et du temps qui se mélangent quand on passe d’un référentiel de Lorentz à un autre, la théorie de la relativité rompt avec les idées de la philosophie critique de Kant concernant les formes a priori de la sensibilité.

    252Le paradoxe est que la théorie relativiste dont l’esprit est positiviste retrouve d’une certaine manière avec cet abandon, l’intuition d’Aristote selon laquelle temps et espace ne sont pas des absolus, mais des auxiliaires permettant de penser les différentes réalités individuelles.

    L’électromagnétisme en théorie relativiste

    253C’est pour préserver les quatre équations de Maxwell, où la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels, qu’Einstein a modifié la physique de Newton. Comme nous l’avons vu plus haut, la mécanique relativiste, en choisissant de conserver la constance de la vitesse de la lumière, a sacrifié la mécanique classique sur l’autel de l’électromagnétisme, en sorte que les transformations de Lorentz n’ont aucune raison d’affecter les équations de Maxwell. Cependant, l’invariance relativiste de ces équations n’est qu’implicite. Pour la rendre explicite, il faut introduire deux quadrivecteurs électromagnétiques qui sont respectivement le potentiel A et la densité de courant J ayant bien entendu tous deux quatre composantes.

    Les quadrivecteurs électromagnétiques

    Expression des quadrivecteurs

    254Plus précisément, ces deux quadrivecteurs sont construits respectivement de la manière qui suit :

    1. Le quadrivecteur potentiel A, à partir du potentiel scalaire et des trois composantes du potentiel vecteur.

    2. Le quadrivecteur densité de courant J, à partir de la densité de charge et de la densité de courant.

    255Ecrivons les quatre composantes de ces quadrivecteurs électromagnétiques à la suite de celles des deux quadrivecteurs position et gradient.

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    Mélange des potentiels vecteurs et scalaires lors d’une pseudo rotation

    256Lors d’une pseudo rotation dans l’espace-temps, les potentiels scalaire et vecteur se mélangent, de manière similaire à ce qui se produit pour les coordonnées de temps et d’espace. Et comme le potentiel scalaire dérive du champ électrique, de même que le potentiel vecteur dérive du champ magnétique, cela implique que les champs électriques et magnétiques voient leur poids respectifs se modifier lors d’une transformation de Lorentz. Bref les champs électriques et magnétiques se mélangent lors d’une transformation de Lorentz, sans toucher à l’invariance relativiste des équations de Maxwell.

    Trois quadri scalaires électromagnétiques

    257Les trois invariants explicites de l’électromagnétisme sont les trois quadri scalaires suivants obtenus respectivement à partir des produits scalaires des quadrivecteursprécédents :

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    Equations de Maxwell explicitement invariantes

    258Les équations de Maxwell exprimées en fonction du potentiel vecteur à quatre dimensions, en présence de la densité de courant, et en son absence (c’est-à-dire, dans le vide) sont respectivement données par les deux premières expressions du tableau suivant. Les deux dernières expressions de ce même tableau en sont les notations condensées correspondantes (utilisant le symbole  du dalembertien) :

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    La Thermodynamique

    259Comme nous l’avons noté plus haut, le sens de l’évolution des phénomènes décrits par les équations de la mécanique classique, de l’électromagnétisme et de la physique classique s’inverse si on change le signe de la variable temps. Or ce n’est absolument pas ce que l’on constate dans la vie concrète, le temps s’y déroulant irréversiblement.

    260La prise en compte de l’irréversibilité du temps sera l’un des points centraux mis en relief par la thermodynamique, une nouvelle branche de la physique qui s’est développée au cours du 19ème siècle, et dont nous allons maintenant présenter rapidement les principes.

    Les prémices de la thermodynamique

    261Comme la physique newtonienne ou l’électromagnétisme, la thermodynamique a été construite de manière axiomatique. Mais celle-ci ne fut pas l’œuvre d’un seul savant, comme la mécanique avec Newton, ou l’électromagnétisme avec Maxwell. En effet cette nouvelle construction axiomatique ne s’est mise en place que progressivement au terme de nombreux approfondissements conceptuels dûs à différents savants.

    Les intuitions de Mayer et les expériences de Joule

    262C’est lors de la période où les propriétés qualitatives des couleurs furent réduites à des grandeurs quantitatives (les champs électromagnétiques oscillants) que s’est constituée la thermodynamique qui réduit quant à elle les qualités du chaud et du froid à des modalités d’échange d’énergie via le concept de chaleur.

    263A la base de cette nouvelle discipline, il y eut les travaux du physicien britannique Joule (1818-1889) qui démontra expérimentalement que l’on peut échauffer de l’eau en lui fournissant du travail. Mais il faut aussi noter qu’il y eut aussi un peu plus tôt les intuitions du médecin de marine allemand Mayer (814-1878) qui fut le premier à anticiper la nécessité d’élargir le concept mécanique de la conservation de l’énergie, après avoir remarqué l’échauffement de l’âme des canons provoqué par le frottement des boulets.

    Les investigations théoriques de Carnot

    264Carnot (1796-1832), (fils de l’organisateur de la victoire lors des guerres de la Révolution) réfléchit sur la manière de concevoir des machines permettant de transformer en travail, et ce de manière continue, de la chaleur fournie par un combustible (comme le bois ou le charbon). Ses préoccupations allaient dans le sens des ingénieurs de son époque cherchant à minimiser le combustible des machines à vapeur conçues initialement par Denis Papin (1647-1712), et qui étaient à l’œuvre dans l’actionnement des pompes à eau utilisées dans les mines, et aussi dans le fonctionnement des premières locomotives roulant dans les mines et sur les chemins de fer.

    Le premier principe de la thermodynamique

    Le concept d’états thermodynamiques

    Variables d’état thermodynamique

    265On forgea par la suite en thermodynamique des concepts physiques relativement simples, issus pour certains de l’expérience de tous les jours, mais qui vont être dotés de propriétés mathématiques bien définies, que l’on appelle les variables d’état. Ce sont principalement le volume, la pression et la température. Parmi ces grandeurs on distingua celles qui sont additives (dont les quantités respectives de chacune sont susceptibles d’addition) comme le volume, dont on dira qu’elles sont extensives, et d’autres, dites intensives qui ne sont plus additives, mais susceptibles de caractériser des situations d’équilibre comme par exemple la température ou la pression.

    Equations d’état thermodynamique

    266Les équations d’état de la thermodynamique sont des expressions mathématiques découlant de mesures expérimentales reliant entre elles les différentes variables d’état. La plus simple et la plus connue est l’équation des gaz parfaits régissant de manière approchée le comportement des gaz dilués, laquelle stipule que le produit de la pression P d’un gaz par son volume V est proportionnel à sa température absolue T. Cette équation s’écrit :

    267PV = KT

    268où K est une constante de proportionnalité dont on montrera plus tard dans le cadre de la théorie moléculaire qu’elle est égale au produit d’une constante dite de Boltzmann par le nombre de molécules présentes dans le gaz (cf. le chapitre suivant).

    Fonctions d’état thermodynamique

    269En outre, on introduisit le concept mathématique de fonction d’état. C’est une fonction de plusieurs variables indépendantes (autrement dit de fonctions susceptibles de varier indépendamment les unes des autres). Sa différentielle est totale exacte, ce qui signifie que le résultat de son intégration est indépendant de l’ordre utilisé dans les intégrations relatives aux différentes variables. Par exemple la pression P d’un gaz est une fonction d’état qui peut être fonction de son volume V et de sa température T :

    270P = f (V, T)

    271Or, que l’on change le volume puis la température, ou bien inversement la température puis le volume, ou bien encore qu’on les change simultanément, la variation de pression au cours de ces différents processus demeure la même, dès lors que les conditions initiales (dénotées par l’indice i) et finales (dénotées par l’indice f), tant pour la température que pour le volume, sont respectivement les mêmes :

    272Pf – Pi = f (Vf, Tf) - f (Vi, Ti)

    273C’est ainsi que la pression peut être dite une fonction d’état. Pression P, température T et volume V sont des fonctions d’état thermodynamiques.

    Etats thermodynamiques

    274L’état thermodynamique d’un gaz, dans une situation physique bien déterminée, est défini comme étant l’ensemble des valeurs numériques des différentes variables d’état indépendantes qui le caractérisent. Cet état peut être indifféremment représenté par plusieurs jeux de valeurs numériques { }, du fait de la loi expérimentale reliant leurs valeurs.

    275{P, V, T}, {P, V, n}, {P, n, T}, {n, V, T}

    276Dans les trois dernières expressions, n est une grandeur intensive précisant la quantité de matière présente dans l’échantillon. Dans la pratique, c’est le nombre de mole de molécules (cf. Chapitre IV). Bref, connaître l’état thermodynamique d’un système dans une situation concrète, revient à préciser les valeurs numériques intervenant dans l’un de ces quatre jeux de variables. Un point, c’est tout.

    La notion d’état appelée à un grand avenir en physique théorique

    277Comme nous le verrons plus loin au chapitre V, la notion d’état introduite en thermodynamique via le concept de fonction d’état sera appelée (après une transposition radicale en état quantique) à jouer un rôle de premier plan en mécanique quantique.

    Formulation du premier principe de la thermodynamique

    La fonction d’état énergie interne

    278La formulation du premier principe requiert d’introduire l’énergie interne U qui est une fonction d’état susceptible d’être écrite indifféremment sous l’une des quatre formes suivantes :

    279U (P,V,T) ; U (P,V,n) ; U (P,n,T) ; U (n,V,T)

    Expression mathématique du principe

    280Le premier principe de la thermodynamique postule que, lors d’un processus où un système échange simultanément de manière infinitésimale du travail différentiel W et de la chaleur Q, la variation infinitésimale (qui est une différentielle totale exacte) de son énergie interne dU, est égale à la somme des échanges différentiels de travail et de chaleur :

    281d U = δ Q + δ W

    282Les notations δ W et δ Q sont utilisées dans cette équation au lieu de celles dW et dQ, parce que travail W et chaleur Q ne sont pas des fonctions d’état.

    Le premier principe, extension de la conservation de l’énergie

    283Le premier principe est un élargissement de la conservation de l’énergie étendue aux phénomènes calorifiques.

    284Il vint généraliser celui de la conservation de l’énergie mécanique, somme des énergies cinétiques et potentielles, mais arriva avant la découverte relativiste (vide supra) de l’énergie de masse au repos mc2 (où m est la masse et c la vitesse de la lumière).

    Second principe : entropie et flèche du temps

    Amélioration du rendement des machines thermiques

    285Comme on pouvait transformer en travail de la chaleur dégagée par combustion de bois ou de charbon, des ingénieurs cherchèrent à mettre au point des machines thermiques capables de convertir en continu et au mieux la chaleur en travail. C’est dans cet esprit que Carnot schématisa théoriquement comment devaient fonctionner de telles machines en continu, ce qui conduisit à son fameux cycle de Carnot. Or ce cycle qui mène à conclure à l’impossibilité de transformer intégralement en continu de la chaleur, permit de définir un rendement maximum pour les machines thermiques. Cette conclusion apportait donc une limite infranchissable aux efforts des ingénieurs visant à améliorer les rendements de leurs machines.

    286Une réflexion approfondie sur le rendement maximum des machines thermiques conduisit à introduire en physique un nouveau postulat fondamental connu sous le nom de 2nd principe de la thermodynamique, qui soutient comme impossible de transformer en continu de manière intégrale de la chaleur en travail. Cette réflexion doit beaucoup au physicien allemand Clausius (1822-1888).

    Le second principe de la thermodynamique

    Une nouvelle fonction d’état : l’entropie

    287La formulation du second principe requiert d’introduire une nouvelle fonction d’état S appelée entropie (dont la différentielle est donc totale exacte) qui est une fonction des différentes variables d’état (volume, température, pression), et qui peut comme l’énergie interne être indifféremment écrite sous l’une ou l’autre des formes suivantes qui ne sont pas exhaustives :

    288S(P, V, T) ; S(P, V, U) ; S(P, U, T) ; S(U, V, T)

    Le second principe, une loi sous la forme d’une inéquation

    289Le second principe qui repose sur la distinction due à Clapeyron (1799-1844) entre transformations physiques réversibles et irréversibles, stipule que la variation différentielle d’entropie dS est égale ou supérieure à l’échange différentiel de chaleur divisé par la température absolue. Cela se présente mathématiquement de la manière suivante :

    290dS ≥ δ Q/T

    Si le processus est réversible :
    d S = δ Q/ T

    Si le processus est irréversible :
    d S > δ Q/ T

    Importance de l’inverse de la température

    291La température T de la thermodynamique est une grandeur absolue régie par le troisième principe de la thermodynamique dont il sera dit quelques mots dans un instant. Le terme 1/T qui multiplie δ Q est connu sous le nom de facteur intégrant. En multipliant δ Q, il transforme cette différentielle qui n’est pas totale exacte (Q n’étant pas une fonction d’état) en dS qui en est une.

    Possibilité de prévoir la direction d’une évolution irréversible

    292Le second principe permet de prévoir ce que va devenir la situation d’équilibre d’un système thermodynamique, dès lors qu’il est isolé du monde extérieur. Dans ce cas, le système ne peut pas recevoir de chaleur, autrement dit δQ = 0, en sorte que le second principe se décline alors pour l’entropie totale (que nous dénoterons ici STot) sous la forme suivante :

    293d STot ≥ 0

    Si le processus est réversible :
    d STot = 0

    Si le processus est irréversible :
    d STot > 0

    Croissance de l’entropie, dégradation de l’énergie

    294L’une des conséquences du second principe est le phénomène de la dégradation de l’énergie selon lequel l’énergie noble qu’est le travail tend spontanément à se transformer progressivement et irréversiblement en l’énergie vile qu’est la chaleur.

    295Etendue à tout l’univers, cette évolution irréversible se vit attribuer le nom imagé de mort thermique, ce qui fût pour déplaire profondément à tous ceux qui, comme Spencer (1820- 1903) étaient imprégnés des idées d’un progrès de l’univers allant naturellement du simple vers le complexe.

    Croissance de l’entropie, irréversibilité et flèche du temps

    296On peut remarquer que le second principe de la thermodynamique qui implique l’irréversibilité, reconnaît le sentiment constant que nous avons tous d’un temps qui s’écoule sans que l’on puisse le remonter, ni même le suspendre dans son vol. Le second principe est la flèche du temps, comme on le dit et l’écrit souvent de manière imagée.

    L’irréversibilité en physique est spécifique à la thermodynamique

    297Cette irréversibilité foncière du temps qu’implique le second principe est en contradiction avec la réversibilité des équations dynamiques intervenant dans les autres branches de la physique alors établies (mécaniques newtonienne, lagrangienne ou hamiltonienne, électromagnétisme…), où, comme nous l’avons vu à l’occasion de la remarque de Bergson une inversion du signe du temps dans les équations dynamiques de la physique inverse le déroulement des phénomènes qu’elles régissent.

    Le troisième principe de la thermodynamique

    Un zéro absolu pour la température

    298Le troisième principe présuppose que la température est une grandeur absolue impliquant un zéro. Son unité est le degré Kelvin, nom qui lui fut attribué en l’honneur de W. Thomson (1824-1907), qui fut ennobli par la reine Victoria en lord Kelvin en raison de son importante contribution au développement de la thermodynamique. Précisons que Kelvin tenta de calculer l’ancienneté de la terre à partir de ce que l’on savait concernant son rayonnement d’énergie. Et ajoutons qu’il trouva un âge trop faible pour être compatible avec les hypothèses évolutionnistes de Darwin, mais dont on a compris plus tard que sa sous-estimation était liée à ce qu’on ignorait alors la source d’énergie d’origine nucléaire provenant du cœur de la Terre. La température absolue impliquant un zéro, Il y a eu de nombreuses tentatives tendant à s’en rapprocher expérimentalement de plus en plus avec succès. Et c’est dans le cadre de ce type de recherche que le physicien néerlandais Kamerlingh Onnes (1853-1926) a obtenu le prix Nobel en 1913, pour ses études des phénomènes physiques se produisant au voisinage du zéro absolu de température.

    Formulation du troisième principe

    299Le troisième principe de la thermodynamique stipule que l’entropie de tous les systèmes physiques sans exception, devient nulle quand la température absolue tend vers zéro. Ce postulat ne pourra être compris dans toute sa clarté que plus tard, lorsque la théorie atomique aura été adoptée et interprétée dans le cadre de la mécanique quantique (cf. chapitre V).

    Equation de diffusion irréversible de la température

    300Il existe une équation phénoménologique régissant la diffusion de la température T au cours du temps t dans un milieu homogène, qui est la suivante (où K est une constante qui dépend de différentes propriétés physiques du milieu).

    Image 100000000000010400000046F3D8C20BFA962272.jpg

    301Cette équation de diffusion décrit un processus irréversible au cours duquel la température initialement centrée dans une zone restreinte va progressivement s’étaler pour s’homogénéiser.

    302Cette équation de diffusion ressemble beaucoup à l’équation de Schrödinger dépendante du temps que nous allons rencontrer plus loin au chapitre V traitant de la mécanique quantique, à cela près que dans cette dernière, le nombre imaginaire pur y précède la partie temporelle, ce qui modifie profondément la dynamique.

    Invariance relativiste de la thermodynamique

    303Il est important de souligner que les relations mathématiques exprimant le premier et le second principe de la thermodynamique sont invariantes par rapport à une transformation de Lorentz. C’est pourquoi, à l’encontre de la mécanique newtonienne, la thermodynamique n’a jamais eu à être modifiée afin de la rendre compatible avec les principes d’invariance relativiste.

    Développement des techniques

    304Il ne faudrait pas quitter cette partie consacrée aux développements théoriques de la physique classique, entre la fin du 18ème siècle et les débuts du 20ème, sans avoir rien dit des progrès techniques qui les ont accompagnés (en mécanique, optique, électromagnétisme et chimie) et soutenus après en avoir été initialement de simples applications.

    Industrialisation de l’Europe

    305Il y a ensuite l’industrialisation croissante de l’Europe et des Etats Unis au 19ème siècle, reposant sur le travail préparatoire d’un grand nombre d’ingénieurs initiés aux découvertes mathématiques, physiques et chimiques, puis sur celui de millions d’ouvriers travaillant le plus souvent dans des conditions déplorables. Donnons quelques exemples d’industrialisation reposant sur le progrès des connaissances scientifiques.

    306Creusements de profondes et immenses mines, pour l’extraction du charbon, comme en Grande Bretagne et dans le nord de la France, et pour celle du fer, comme en Lorraine, reposant sur le travail de centaines de milliers de mineurs.

    307Fabrications de locomotives à vapeur et de wagons pour les mines puis pour les chemins de fer.

    308Constructions de longues lignes de chemin de fer permettant de faciliter les déplacements de personnes et de marchandises en Europe et aux Etats Unis.

    309Développements des réseaux routiers impliquant la construction de grands ponts et le percement de longs et souvent larges tunnels.

    310Creusements de longs et larges canaux accessibles à de grandes péniches exigeant la construction de nombreuses écluses.

    311Implantations de puissants complexes sidérurgiques produisant dans des hauts fourneaux fonctionnant en continu de l’acier à partir du fer et du charbon.

    312Constructions de moteurs électriques, puis de moteurs à essence.

    313Constructions navales de grands bateaux en acier propulsé par des moteurs à roues, puis à hélices.

    314Agrandissements gigantesques des ports accompagnés de la construction de puissantes grues.

    315Constructions de machines compliquées au service des industries de transformation.

    316Implantations d’importantes filatures industrielles et d’usines de tissage en Angleterre et dans le nord de l’Europe.

    317Implantations de puissants complexes d’industries chimiques (cf. pour la chimie le chapitre suivant).

    318Industries d’armement au service des infanteries, des artilleries et des marines de guerre.

    Elaboration d’appareils de mesure

    319Il y a d’abord la fabrication d’appareils de mesure de plus en plus précis reposant sur les connaissances acquises en mécanique, optique et électromagnétisme. Donnons quelques exemples :

    320La machine d’Atwood (1746-1807) permettant de mesurer la valeur de l’accélération de la pesanteur (voir figure ci-contre).

    321Les voltmètres, ampèremètres et les galvanomètres permettant de mesurer respectivement les voltages (différences de potentiel électrique) et les intensités des courants électriques.

    322Les tubes cathodiques de Braun (1850-1918), prix Nobel en 1905, qui serviront plus tard aux mesures concernant les premières particules élémentaires.

    323Les interféromètres pour mesurer avec grande précision la vitesse de la lumière.

    324Les spectrographes de résolution des spectres atomiques et moléculaires

    325Les puissants télescopes mis à la disposition des astronomes dans les observatoires, qui reposent sur des perfectionnements techniques en mécanique et en optique.

    326Les microscopes à grand pouvoir de résolution.

    327Des appareils de pesée et des thermomètres de plus en plus précis.

    328Les colonnes de distillation à grand pouvoir séparateur.

    329Les appareils d’électrolyse (voltamètres) mis à la disposition des chimistes.

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    Conclusion

    330Nous avons commencé ce chapitre par passer en revue les branches de la physique qui se sont développées au 19ème, puis dans les premières années du 20ème siècle, dans le prolongement de la mécanique fondée par Newton.

    331C’est ainsi que nous avons examiné comment la mécanique newtonienne a été repensée sous des formes plus abstraites mais aussi plus performantes, pour donner les mécaniques lagrangienne et hamiltonienne, où le principe de moindre action devient le postulat dynamique de base.

    332Nous avons vu ensuite comment les travaux expérimentaux portant sur les phénomènes électriques et magnétiques ont débouché sur les équations de Maxwell qui les récapitulent. Il est alors apparu un élargissement conceptuel faisant intervenir les champs, des grandeurs vectorielles variant de manière continue en chaque point de l’espace. En outre il a été relaté comment les équations de Maxwell mènent à assimiler la lumière à des ondes électromagnétiques.

    333L’étude s’est poursuivie en indiquant comment Einstein a pris conscience de la contradiction existant entre l’électromagnétisme et la mécanique, puis s’est prolongée par un exposé succinct de la mécanique relativiste construite par Einstein de manière à ce qu’elle soit compatible avec les transformations de Lorentz et les lois de l’électromagnétisme.

    334Enfin ont été rapidement exposés les principes de la thermodynamique étendant la conservation de l’énergie aux phénomènes calorifiques, principes dont on peut montrer qu’ils respectent l’invariance relativiste des mouvements relatifs non accélérés.

    335Toutes ces branches de la physique que nous venons de passer en revue se situent dans l’esprit du mécanisme cartésien reposant sur la figure et le mouvement. En outre toutes ont en commun de s’inscrire dans le cadre d’un strict déterminisme, de raisonner dans celui d’une continuité sans faille, et d’ignorer généralement le caractère spécifique des choses qu’elles abandonnaient aux chimistes.

    Les trois grands piliers de la physique

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    Notes de bas de page

    36  On parle d’intégrale d’action hamiltonienne, parce que la multiplication du lagrangien qui a les dimensions d’une énergie par un temps est ce que l’on appelle en physique, une action, laquelle a les mêmes dimensions qu’un moment cinétique.

    37  Comme cela se fît à différentes époques, pensons par exemple aux stoïciens, aux scolastiques nominalistes ou aux empiristes du 18ème siècle.

    38  On observe la même chose en thermodynamique (vide infra) des processus irréversibles, lorsqu’on étudie la dynamique de plusieurs réactions chimiques couplées.

    39  Comme pour la présentation de la physique de Newton, il sera fait appel à des notations vectorielles qui ne seront introduites dans la théorie de Maxwell qu’ultérieurement par le physicien britannique Heaviside (1850-1925).

    40  C’est Fresnel qui mit au point les systèmes optiques perfectionnés qui furent implantés dans les premiers phares à grande portée des côtes de la Manche et de l’Atlantique.

    41  Le rayon r de cette onde concentrique croît linéairement avec le temps selon la relation r = ct. Utilisons la relation entre r et ses trois composantes selon les trois coordonnées cartésiennes x, y, z, à savoir r2 = x2 + y2 + z2. Dans ces conditions, l’équation du front d’onde sphérique de rayon r se déplaçant à la vitesse de la lumière c, devient : x2 + y2 + z2 = c2t2.

    42  Une mesure effectuée en laboratoire de la vitesse de photons se déplaçant dans le même sens que des mésons qui les émettaient en se déplaçant quant à eux à une vitesse proche de celle c de la lumière, a donné un résultat identique à c. (T. Alväger et al, Physics Letters 12, 260, 1964)

    43  Einstein est considéré comme le créateur de la théorie de la relativité, mais nombreux sont ceux qui pensent que le grand mathématicien Henri Poincaré (1854-1912), le frère ainé du président de la république Raymond Poincaré, en a également dégagé les principes de base.

    44  Dans les présentations plus modernes de la relativité restreinte, on utilise non plus l’espace de Minkowski mettant en jeu un temps imaginaire (ict), mais un langage dit covariant.
    1. Les quatre composantes covariantes du quadrivecteur y sont xµ {x° = ct, x1= -x, x2 = -y, x3= -z}.
    2. Les quatre composantes contravariantes y sont xµ {x°=ct, x1= x, x2=y, x3= z}.
    Cela permet d’écrire de manière plus satisfaisante la norme du quadrivecteur sous la forme suivante :
    q.q = Σ xµ xµ = c2t2 – (x2+y2+z2) = (cτ)2.

    45  Galilée l’avait déjà remarqué, mais cela avait été sous-estimé sinon oublié.

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    36  On parle d’intégrale d’action hamiltonienne, parce que la multiplication du lagrangien qui a les dimensions d’une énergie par un temps est ce que l’on appelle en physique, une action, laquelle a les mêmes dimensions qu’un moment cinétique.

    37  Comme cela se fît à différentes époques, pensons par exemple aux stoïciens, aux scolastiques nominalistes ou aux empiristes du 18ème siècle.

    38  On observe la même chose en thermodynamique (vide infra) des processus irréversibles, lorsqu’on étudie la dynamique de plusieurs réactions chimiques couplées.

    39  Comme pour la présentation de la physique de Newton, il sera fait appel à des notations vectorielles qui ne seront introduites dans la théorie de Maxwell qu’ultérieurement par le physicien britannique Heaviside (1850-1925).

    40  C’est Fresnel qui mit au point les systèmes optiques perfectionnés qui furent implantés dans les premiers phares à grande portée des côtes de la Manche et de l’Atlantique.

    41  Le rayon r de cette onde concentrique croît linéairement avec le temps selon la relation r = ct. Utilisons la relation entre r et ses trois composantes selon les trois coordonnées cartésiennes x, y, z, à savoir r2 = x2 + y2 + z2. Dans ces conditions, l’équation du front d’onde sphérique de rayon r se déplaçant à la vitesse de la lumière c, devient : x2 + y2 + z2 = c2t2.

    42  Une mesure effectuée en laboratoire de la vitesse de photons se déplaçant dans le même sens que des mésons qui les émettaient en se déplaçant quant à eux à une vitesse proche de celle c de la lumière, a donné un résultat identique à c. (T. Alväger et al, Physics Letters 12, 260, 1964)

    43  Einstein est considéré comme le créateur de la théorie de la relativité, mais nombreux sont ceux qui pensent que le grand mathématicien Henri Poincaré (1854-1912), le frère ainé du président de la république Raymond Poincaré, en a également dégagé les principes de base.

    44  Dans les présentations plus modernes de la relativité restreinte, on utilise non plus l’espace de Minkowski mettant en jeu un temps imaginaire (ict), mais un langage dit covariant.
    1. Les quatre composantes covariantes du quadrivecteur y sont xµ {x° = ct, x1= -x, x2 = -y, x3= -z}.
    2. Les quatre composantes contravariantes y sont xµ {x°=ct, x1= x, x2=y, x3= z}.
    Cela permet d’écrire de manière plus satisfaisante la norme du quadrivecteur sous la forme suivante :
    q.q = Σ xµ xµ = c2t2 – (x2+y2+z2) = (cτ)2.

    45  Galilée l’avait déjà remarqué, mais cela avait été sous-estimé sinon oublié.

    Physique théorique et réalité

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    Henri-Rousseau, Olivier. « Chapitre III. Apogée de la physique classique ». In Physique théorique et réalité. Perpignan: Presses universitaires de Perpignan, 2018. https://doi.org/10.4000/books.pupvd.40266.
    Henri-Rousseau, Olivier. « Chapitre III. Apogée de la physique classique ». Physique théorique et réalité, Presses universitaires de Perpignan, 2018, https://doi.org/10.4000/books.pupvd.40266.

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