1Voici quelques années, c’est avec circonspection que fut accueillie la multiplication des découvertes de cadastres romains, notamment en Gaule du Sud, et ce d’autant plus que l’on constatait que plusieurs centuriations se disputaient souvent un même territoire. On pensait au temps que devait requérir l’élaboration d’un carroyage, à l’absurdité de renormationes successives, aux difficultés techniques afférentes à l’arpentage… On pensait aussi qu’autant de mouvements nuisaient à la gestion des terres et cela convenait mal à l’idée d’une certaine rationalisation de l’agriculture liée à la mise en place des centuriations. La rigidité, le nombre et l’impact des réseaux restitués pouvaient-ils sérieusement être mis en regard d’une technicité préindustrielle ?

2Dans un contexte de discussions vives, sous-tendues par les implications historiques et idéologiques d’un tel constat, de nouvelles découvertes allaient, si ce n’est emporter l’adhésion de tous, du moins confirmer définitivement la maturité des techniques mises en œuvre1. En effet, M. Clavel-Lévêque et A. Pérez, démontrèrent indépendamment le caractère réfléchi et préconçu des opérations de division des terres : dans le Biterrois-Narbonnais la voie domitienne entrait en diagonale dans quatre carroyages cadastraux2. Une telle configuration ne pouvait qu’avoir été pensée ; elle invalidait déjà quelque peu l’idée d’un quelconque « bricolage » en matière de construction cadastrale. D’une part il était inconcevable qu’un tel schéma fût le fruit du hasard. D’autre part il venait d’être montré que le tracé rectiligne de la voie avait servi de base de triangulation pour la visée des différents systèmes. Il avait immanquablement fallu que les géomètres eussent préconçu leur œuvre : on entrait dans une autre dimension de l’ars agrimensoria.

3L’étude des cadastres de l’Uzège nous permet aujourd’hui d’aller plus loin. Là, en effet, il est possible d’observer des figures de construction médites dont l’élaboration d’amont a nécessairement mis à contribution les ressources de la mathématique antique et une maîtrise certaine de techniques complexes. Car en Uzège ce ne sont plus seulement les voies, ou tel axe cadastral, qui sont utilisés pour construire les réseaux, mais l’intégralité d’un maillage centurié préexistant et plus uniquement tel ou tel axe rectiligne3 : c’est-à-dire que la trame même d’une première pertica, dans toute son extension, a fourni les repères nécessaires à la construction d’une seconde pertica4. De plus les différentes combinatoires induites par cette technique de construction documentent plusieurs questions importantes, telle celle de l’implantation successive de plusieurs réseaux sur un même territoire, ces renormationes évoquées par Siculus Flaccus au sujet des limitations de Nota, telle encore la présence de subdivisions internes aux centuriations, les saltus, attestés par Varron et par Hygin le Gromatique5, telle aussi celle de la détermination des orientations et celui des modules. Autant de points que nous allons aborder.

Les limitationes de l’Uzège

4Plusieurs réseaux ont été mis en évidence en Uzège6. Quatre d’entre eux nous intéressent plus particulièrement ici. Il s’agit de :

• « Orange-Nîmes » ; la restitution de ce réseau résulte d’un travail conduit en collaboration avec A. Pérez7. Il représente une centuriation classique de 20 x 20 actus orientée entre ~NG 5°2’ W à Uzès et développe un module évalué à 705-706 mètres. Le système se déploie sur le littoral entre la vallée du Vidourle et Nîmes. Il atteint également les hautes garrigues gardoises d’Anduze, d’Alès, et d’Uzès. On le retrouve au nord de Bagnols-sur-Cèze et jusque sur la rive gauche du Rhône, dans les régions d’Avignon, d’Orange, et de Saint-Paul-Trois-Châteaux.

• « Uzès A » ; un parcellaire orienté autour de NG 14° W avait déjà été reconnu par J. Benoit et J. Soyer dans la vallée de l’Alzon et dans la région de Théziers8. Nous avons établi qu’il relevait d’une centuriation classique de 20 x 20 actus, orientée à ~NG 14°2’ E à Uzès et dont le module est évalué à 705-706 mètres. Elle occupe la plaine d’Uzès, mais également la région d’Anduze dans laquelle elle trouve sa limite occidentale avec les premières hauteurs cévenoles. Au sud, elle s’empare de la région de Lédignan en deçà du Gardon d’Anduze puis se heurte au cours du Gardon d’Alès. Vers l’est, elle ne franchit pas le Rhône. Vers le nord, enfin, cette centuriation norme les dernières plaines en deçà des massifs montagneux et s’étend notamment jusqu’au sud de la ville d’Alba dans la région de Bourg-Saint-Andéol.

• « Uzès-B-Nîmes » ; cette centuriation classique de 20 x 20 actus développe un petit module, de l’ordre de 706 mètres, est inclinée à – NG 28°2’ E. Vers le nord, elle connaît une aire d’extension comparable à celle de « Uzès A ». En revanche, et contrairement à la précédente, sa présence dans l’urbanisme ucétois reste très discrète. Vers le sud, elle structure les garrigues nîmoises et la Vaunage puis s’empare de la plaine de Vauvert. Suivant ensuite la vallée du Vidourle, la pertica regagne les garrigues du sud de Quissac et du nord Montpelliérais. Vers l’ouest, sa course s’interrompt au contact des premières hauteurs cévenoles. Vers l’est elle atteint Nîmes et échoue sur le cours du Rhône à la latitude de Marguerittes.

• « Uzès-C-Nîmes » ; cette dernière centuriation, de 20 x 20 actus, développe un module évalué à environ 707 mètres, et est orientée à ~NG 16°4’ W. Elle présente, vers le nord, une aire d’extension relativement restreinte eu égard aux autres réseaux de l’Uzège. Elle est, en effet, cantonnée à la plaine d’Uzès et de Lussan, au Malgoirès et à la plaine d’Anduze. Les traces les plus septentrionales voisinent, sans le franchir, le cours de la Cèze. Vers l’est, la dernière coïncidence relevée correspond à un tronçon de la route nationale N. 86 dans sa traversée du village de Pouzilhac sur la feuille de Remoulins. A l’Ouest, elle se heurte également aux avant-monts cévenols. Vers le sud, la pertica connaît une aire d’extension comparable à celle de « Uzès B-Nîmes » : elle norme les garrigues nîmoises et la plaine, jusqu’à la latitude de Manduel toutefois, la Vaunage, et pénètre dans la plaine de Vauvert.

5Ces quatre systèmes sont étroitement associés au développement de l’agglomération antique d’Uzès : trois voies principales d’accès à la bourgade antique, et distribuées en étoile autour d’Uzès, représentent des axes de « Uzès A », « Uzès B-Nîmes » et « Uzès C-Nîmes » (figures 1 et 2). De même la présence dans l’urbanisme ucétois de « Orange-Nîmes », « Uzès C-Nîmes » et « Uzès A », est à rapprocher d’une volonté d’aménagement de la ville. En outre des liens géométriques particuliers unissent ces centuriations.

Les constructions géométriques en Uzège

Les cas de triangulation pro hypothenusa

6En Uzège l’examen des restitutions cadastrales laisse distinguer deux cas de figures géométriques.

7Dans le premier cas, un axe rectiligne (qu’il s’agisse d’une voie ou d’un limes) sert de base, ou d’hypoténuse, à la triangulation d’un autre réseau. Ce cas a été parfaitement mis en lumière par M. Clavel-Lévêque et A. Pérez qui a recensé et traduit les occurences relatives à ce procédé qui dormaient dans le corpus gromatique9.

8Il concerne en Uzège les réseaux « Uzès A » et « Uzès B-Nîmes » d’une part et « Uzès B-Nîmes » et « Uzès C-Nîmes » d’autre part.

9Ainsi la voie antique d’Uzès à Alès orientée à environ NG 28°2’ E représente l’hypoténuse d’un triangle rectangle d’une dimension de 1 centurie sur 4 centuries orienté à @ NG 14°2’ E (figure 1).

10De même, la voie antique d’Uzès à Alès orientée à environ NG 28°2’ E représente l’hypoténuse d’un triangle rectangle de dimension 1 centurie sur 1 centurie orienté à @ NG 16°4’ W (figure 2).

11Avant d’être explicités par M. Clavel-Lévêque et par A. Pérez, de tels rapports avaient été déjà plusieurs fois observés ailleurs. Le cas le plus fréquemment signalé est celui où un axe (voie ou limes) « entre » en diagonale dans la maille d’une seule centuriation10. Pour G. Chouquer, étudiant les exemples du sud de la Gaule, il fallait voir là une insertion de la voie dans le cadastre11. Cette interprétation se fondait toutefois d’une part sur un inventaire partiel des réseaux, et d’autre part sur une méconnaissance des rapports géométriques qu’ils entretenaient. Sans la rejeter totalement A. Pérez a démontré les faiblesses de cette hypothèse : si elle peut être soutenue lorsque l’axe n’est en relation qu’avec un seul cadastre il en va autrement dans le cas des figures du Narbonnais-Biterrois où la voie « entre » en diagonale, selon différents rapports, dans plusieurs centuriations12. Ainsi entre Béziers et Cessero, la voie domitienne « s’intègre » dans quatre centuriations distinctes, « Béziers A », « B », « D », et « E »13. Dans ces conditions il est évidemment nécessaire de penser qu’au moins trois d’entre elles sont postérieures à la voie14.

12En Uzège cependant il existe, entre les centuriations, des rapports de triangulation de nature différente, rapport que l’on peut qualifier de « superposition géométrique ».

Les cas de superposition géométrique

13Dans le second cas, qui nous intéresse plus particulièrement ici, les rapports géométriques concernent l’ensemble du maillage de deux centuriations, et les limites de l’une entrent en diagonale selon un rythme régulier dans la trame de l’autre. Ils concernent deux couples de centuriation, « Uzès B-Nîmes » et « Orange-Nîmes » d’une part et « Uzès A » et « Uzès C-Nîmes » d’autre part.

14– Soit « Uzès B-Nîmes » (figure 3) ; on constate que toutes les cinq centuries, les limites de ce réseau entrent en diagonale dans le carroyage de « Orange-Nîmes » et plus précisément dans des rectangles de deux centuries sur trois. Cela est valable pour les axes décumans et pour les axes cardinaux ; -soit le réseau « Orange-Nîmes » ; on constate que de même, ses limites, toutes les cinq centuries, entrent en diagonale dans le carroyage de « Uzès B-Nîmes » et ce dans un même rapport de deux centuries sur trois. Cela est également valable pour les decumani et pour les cardines.

15– Soit « Uzès A » (figure 4). Toutes les sept centuries, les limites décumans et cardinaux de « Uzès A » traversent en diagonale le carroyage de « Uzès C-Nîmes », et ce dans un rapport de trois centuries sur cinq ; -soit « Uzès C-Nîmes ». Toutes les sept centuries les limites de « Uzès C-Nîmes », decumani et cardines, entrent en diagonale dans le carroyage de « Uzès A » selon le même rapport.

16Nous appréhendons mieux maintenant la portée des questions que soulève l’étude des réseaux de l’Uzège. Ils s’articulent entre eux non seulement en des rapports de triangulation simple mais encore ces articulations ne sont-elles pas exclusives d’autres figures : les rapports de superposition géométriques. Ce sont ces rapports qu’il convient maintenant d’essayer d’analyser.

Les applications mathématiques mises en œuvre ou les constructions géométriques en chiffres

17Il convient, avant toute chose, d’essayer d’expliquer avec des outils contemporains, comment de telles figures ont été réalisées. Ce n’est qu’ensuite, après que l’on ait compris les mécanismes mis en œuvre que l’on pourra se demander comment ceux-ci ont pu être construits par les arpenteurs avec les moyens conceptuels dont ils disposaient.

L’opération de superposition géométrique

18C’est, selon nous, en usant des propriétés des « nombres plans semblables » que les géomètres ont pu parvenir à un tel degré de perfection. Le carroyage d’une centuriation, en effet, peut être considéré comme un système orthonormé divisible, dans une phase préliminaire effectuée « en laboratoire », à l’aide d’une figure par exemple, en une série de « rectangles semblables »15 :

19– soit deux axes perpendiculaires, qui peuvent être le cardo maximus et le decumanus maximus, mais tout aussi bien n’importe quels autres limites d’une centuriation : si l’on relie des points sélectionnés, on peut dessiner un rectangle d’une longueur de deux unités et d’une largeur de trois (figure 4). On ajoute ensuite à chacun des côtés une longueur qui lui est proportionnelle et on obtient ainsi par voie de croissance gnomonique, c’est-à-dire par un agrandissement de la figure géométrique qui n’en altère pas les formes, une série de rectangles semblables.

20Une telle figure est, en fait, des plus faciles à concevoir. Elle constitue, dans notre hypothèse, la première étape nécessaire. La deuxième consiste à tracer les diagonales de chacun des rectangles semblables. Ceux-ci ayant été ʺconstruitsʺ par voie de croissance gnomonique, les diagonales ont la propriété d’être, entre elles, équidistantes16. La distance qui les sépare est donnée par la hauteur d’un triangle de dimension 2/3 (et donc de surface égale à la moitié de celle du rectangle de dimension 2/3) (figure 5).

21Or, et c’est là la troisième étape du calcul, on sait ici, connaissant la valeur des deux cathètes (2 et 3) que la valeur de la diagonale est égale à 3,6 ou peu différente, et donc que la valeur de la hauteur du triangle est égale à 1,6 ou peu différente. Notons que cette hauteur, représentée ici par une ligne, est, par définition, perpendiculaire à l’hypoténuse donc à l’ensemble des diagonales. Il reste à multiplier cette valeur, ici 1,6 donc, pour obtenir une série dérivée dans laquelle on cherchera la valeur la plus proche d’un nombre entier. Dans ce cas on obtient la série suivante : 1,6 – 3,3- 4,99- 6,6- 8,3 – 9,98 – 11,6 – 13,3 – 14,97. C’est ici 4,99 qui constitue la meilleure valeur approchée d’un nombre entier : 517. On l’obtient en multipliant la hauteur, 1,6 par 3. On retient alors dans ce cas que l’intervalle qui sépare quatre diagonales est divisible par cinq unités. On sait donc, désormais, que si on matérialise, dans une série de rectangles semblables de dimension 2/3, une diagonale sur quatre on obtiendra des lignes distantes d’une valeur très peu différente de cinq. L’erreur induite par l’utilisation d’une valeur approchée, 4,99 au lieu de 5, est dans ce cas très faible : en effet si 1 (une centurie) = 706 mètres (module de la centurie) alors 4,99 x 706 mètres = 3524,57 mètres et 3524,57 : 5 = 704,91 mètres. On obtient, par unité, un module inférieur de 1,08 mètres seulement18.

22Pour obtenir ensuite les perpendiculaires de ces lignes telles qu’elles soient également équidistantes de cinq unités toutes les quatre diagonales, il suffit de reproduire la construction de la figure en inversant l’axe des abscisses et celui des ordonnées. On réalise ainsi un carroyage parfait, de – 5 x 5 unités dont les lignes entrent en diagonale toutes les cinq unités, dans celui du système orthonormé : système représenté, dans notre hypothèse par une première centuriation.

23Cet exemple nous a permis d’étudier le cas, observé en Uzège, de deux centuriations, « Orange-Nîmes » et « Uzès B-Nîmes », articulées dans un rapport de 2 x 3 centuries toutes les cinq centuries. Prenons maintenant le cas des centuriations « Uzès A » et « Uzès C-Nîmes », articulées quant à elles dans un rapport de 3 x 5 centuries toutes les sept centuries.

24La série dérivée obtenue par multiplication de la valeur de la hauteur d’un triangle 3 x 5, dont la valeur de la diagonale est égale à 5,83 ou peu différente, sera : 2,5636 – 5,1273 – 7,6910 – 10,2547 – 12,8184 – 15,3821 – 17,9457 – 20,5094 – 23,0731. C’est ici 17,9457 qui constitue la meilleure valeur approchée d’un entier : 18. On l’obtient tous les sept intervalles ou toutes les huit diagonales. L’erreur induite par l’utilisation d’une valeur approchée est dans ce cas très faible : en effet 17,9457 x 706 mètres = 12669,733 mètres et 12669,733 : 18 = 703,8740 mètres. On obtient, pour chacune des sept centuries, un module différent et seulement inférieur de 2,1259 mètres. Nous verrons que cette erreur, comme celle affectant les mesures du cas précédent sont facilement réductibles.

25Avant de montrer comment ces procédés pouvaient être mis en œuvre par les arpenteurs « sur le terrain » et quels avantages ils présentaient, deux autres points d’ordre mathématique doivent être présentés. Ils ont trait à la détermination des orientations d’une part et à celle des modules d’autre part.

La détermination des orientations

26En effet, à chaque rapport d’articulation observé ou virtuel (1 x 2 ; 3 x 4 etc.) correspond forcément un écart angulaire constant, lequel détermine l’orientation des cadastres construits par triangulation ou par superposition géométrique. Des tables, dont nous donnons ici deux exemples, permettent d’appréhender immédiatement les liens trigonométriques virtuels que pouvaient entretenir différents réseaux.

Exemple 1

Exemple 2

27L’orientation des centuriations construites par triangulation ou par superposition géométrique est donc déterminée par l’écart angulaire correspondant à la tangente de l’angle choisi sur un premier cadastre de référence19.

La détermination des modules

28De la même façon l’élaboration de ces figures n’est pas étrangère à la détermination des modules utilisés.

29La question des modules, on le sait, a été particulièrement débattue et controversée. Rappelons rapidement, pour mémoire, l’enjeu de la question. Dès 1981, G. Chouquer remarquait qu’en Emilie-Romagne quatre centuriations, dont la datation était par ailleurs documentée, présentaient une évolution morphologique caractérisée par une augmentation tendancielle de la valeur métrique du pied. Il l’attribuait au cours du temps20. Cette affirmation fut prise en considération et fonda l’essentiel des hypothèses de datation y compris en Gaule du Sud21. On sait aujourd’hui qu’il faut abandonner le critère que constituait la mesure de la valeur modulaire des centuries. Trop de contre-exemples ont montré, en effet, que l’utilisation systématique d’un tel indice était absolument à rejeter22.

30Il reste que les variations modulaires sont un fait observé qu’il s’agit d’expliquer. La mise en évidence de ce procédé peut y contribuer.

31Le tableau suivant montre comment on peut calculer la valeur métrique des modules dans les différents rapports que nous avons jusque là retenus. Soit, par exemple, le rapport 1/1 : en multipliant la hauteur d’un triangle rectangle dont les cathètes mesurent 1 et 1 par un nombre compris entre 1 et 9, la meilleure valeur obtenue est 4,9497. On multiplie cette valeur par 703 ou par 704 (etc.) et on divise cette nouvelle valeur par 5 : on connaît ainsi la valeur modulaire la plus proche du module utilisé dans la première centuriation.

32L’examen de ces exemples impose plusieurs constats :

• l’utilisation de modules différents peut permettre de corriger les erreurs induites par les valeurs approchées, valeurs retenues pour la construction des centuriations par superposition géométrique.

• à l’inverse, dans certains rapports tel 3/4, il est absolument nécessaire, pour réaliser au mieux la superposition géométrique de deux centuriations, que l’une et l’autre aient le même module.

33On a donc ici la démonstration qu’à des périodes différentes (nous travaillons en effet sur des réseaux superposés et de ce fait non contemporains), on a dû, pour construire de telles figures, utiliser des modules identiques, ou si peu différents que nous les donnons pour identiques, après restitution théorique. Inversement l’utilisation du procédé contribue à expliquer le fait que des centuriations développent des modules différents.

34De ce fait nous sommes loin, on l’aura compris, de l’hypothèse d’une évolution tendancielle croissante du pes monetalis.

35Demandons-nous maintenant comment les géomètres antiques ont pu mettre en œuvre ces constructions.

Les modes de calcul et les procédés de réalisation antiques

Calculer

36Nous disposons aujourd’hui d’un mode de calcul utilisant les valeurs irrationnelles et surtout d’un système de notation de ces valeurs. Utilisé jusqu’ici pour essayer de comprendre au mieux le jeu des finitores, et les possibilités qu’il autorisait, il faut maintenant l’abandonner et confronter ces résultats aux réalités de la mathématique ancienne et à celles des techniques de l’ars agrimensoria.

37La reconnaissance, par la mathématique antique, de l’existence des nombres irrationnels est certes acquise dans le courant des Ve et IVe siècles av. J.-C. Elle marqua même, autour des écoles de Pythagore, de Platon et d’Euclide, un progrès décisif, ou pour reprendre une expression de P.-H. Michel "une victoire de la raison”23. Une telle notion, en effet, contrevenait à l’idée d’un monde pythagoricien, régi par les vertus du nombre, puisque aussi bien les grandeurs irrationnelles, inexprimables, et les Entiers n’étaient plus commensurables. On pouvait désormais contester que l’Unité fut principe de toutes choses. Mais si les contributions des pythagoriciens eux-mêmes, de Théodore de Cyrène, de Théétète, d’Eudoxe et d’Euclide, permirent de démontrer l’existence des irrationnels, la résolution de telles grandeurs ne pouvait être exprimée qu’en nombres fractionnaires. En conséquence, dans la plupart des cas, la valeur obtenue était une approximation : Platon24 donne par exemple « 7/5 » comme approximation de √2, et cela est une bonne approximation, mais il ne pouvait noter : √2 = 1,4142. Il faut donc renoncer à l’idée que les anciens géomètres aient pu se livrer aux exercices mathématiques illustrés par nos tableaux et aient calculé la différence nécessaire entre deux modules par exemple.

38Ils ont pu, en revanche, travailler sur les approximations autorisées par l’utilisation des nombres fractionnaires. Mais pour le calcul des multiples de la hauteur d’un triangle rectangle, comme pour celui, central, des hypoténuses, ce système de notation induit des « erreurs », qui, si légères soient-elles, risquaient d’être fatales, sur le terrain, à la réussite d’une figure géométrique.

39Il reste que les mathématiciens, les géomètres, comme les architectes25, pouvaient et devaient avoir recours à l’expérimentation, à savoir ici au dessin et à la mesure empirique de telles constructions. Et ce, surtout lorsque l’on sait la place occupée par les procédés expérimentaux, « l’évidence » et « l’intuition » dans l’élaboration de la mathématique antique26 : « Si tu ne peux calculer montre donc27 » conseillait Platon dans le Ménon. Dans le monde romain, au Ier siècle avant notre ère, Vitruve, pour avoir quant à lui oublié bien des significations de l’enseignement académique et euclidien, n’omettait pas néanmoins de recourir aux principes de Platon : « Si l’on a un emplacement ou un champ carré, et qu’on veuille le doubler, comme cela exige une sorte de nombre que les multiplications ne permettent pas de trouver -genus numeri quod multiplicationibus non invenitur- des tracés linéaires corrects amènent la solution28 ». Et nous avons vu ici comment, en laboratoire, les géomètres pouvaient, à l’aide de simples dessins, appréhender et définir au préalable une figure à accomplir « sur le terrain », en tester les avantages, en visualiser les erreurs dans certains cas..., s’aider de tables élaborées par l’expérience. Car à grande échelle la seule épaisseur d’un trait de crayon dissimulerait les décalages minimes que nous avons calculés. Et il est probable qu’en bien des fois l’erreur dut apparaître dans la phase de réalisation du réseau et que l’on ait alors, et alors seulement, cherché à la réduire, grâce aux adaptations du module des centuries.

Réaliser

40Le procédé que nous pensons avoir été utilisé en Uzège, qu’il résulte d’une démonstration scientifique ou d’un constat empirique, offrait de multiples avantages.

• En se déplaçant en effet sur une trame orthonormée préexistante, et à condition bien sûr qu’elle-même ne comportât pas d’inexactitudes, on retrouvait des points déjà bornés et surtout tous les points les plus délicats à établir, ceux desquels allait découler le succès de l’opération puisqu’ils balisaient l’ossature du réseau.

• De la sorte, les jalonnements qu’il restait à effectuer avec la groma, concernaient des distances plus courtes. Dans un premier temps il suffisait, en effet, de relier les angles de centuries désignés par des comptages liminaires pour former les lignes diagonales aux emplacements voulus29. L’utilisation d’un instrument permettant de déterminer les écarts angulaires n’était donc pas nécessaire, ceux-là étant automatiquement induits par le choix d’une figure.

• Ce travail accompli, il restait seulement, dans un second temps, à subdiviser chacun des carrés obtenus par le nombre de centuries auquel leurs dimensions correspondaient.

• De cette façon, et cela est essentiel, les « erreurs » -dont nous avons apprécié la portée dans les tableaux précédents- ne se cumulaient pas chaque fois que l’on traçait une diagonale : elles étaient entièrement assumées par les variations des modules.

41C’est plus que l’impression, la preuve d’une maîtrise assurée de la mesure de l’espace et des espaces géométriques qui l’emporte ici. On pouvait, par un jeu élaboré, dont les règles étaient sans doute énoncées par des tables -sinon comment se souvenir de tout et pourquoi risquer le recommencement de longues démonstrations- user de la variété des rapports géométriques pour composer au sol de tels agencements. En outre on pourrait bien trouver, dans les textes gromatiques l’écho d’un tel procédé.

L’écho des textes gromatiques

42Les références aux textes gromatiques sont souvent d’emploi malaisé30. Et c’est à trop de propos que l’on note malheureusement l’indigence de leur contenu. Les cas de superposition des trames sont néanmoins bien attestés31, notamment par Siculus Flaccus, même si peu de passages leur sont consacrés. De même les allusions à l’existence de saltus, mode de division interne des centuriations, peuvent constituer un indice textuel tangible afférent aux cas de superposition géométrique observés en Uzège.

Le témoignage de Siculus Flaccus

43Les traités agrimensoriques attestant formellement, ou évoquant l’existence de renormationes, restent peu diserts. Rares sont en effet les fragments éclairant les techniques employées, ou les difficultés de réalisation ou de gestion des territoires, ayant subi des renormationes successives. Il faut toutefois remarquer que la plupart des mentions se rapportent à l’Italie et que la péninsule n’est pas le lieu où l’on a repéré le plus de superposition de trames sur un même territoire. Nous présentons ici un passage extrait du de condicionibus agrorum de Siculus Flaccus susceptible d’être rapproché de la situation ucétoise32.

« Evenit aliquando, ut in Nolano comperimus, idemque33... divisio non ab uno puncto concessit, sed ex diversis limitibus, qui oblique inter se concurrunt. Ergo videndum est qua significantia linearum regio dinosci possit, ut intelligi possit DEXTRA aut SINISTRA DECIMANUM DEXTERIOREM, aut, DEXTRA, aut SINISTRA DECIMANUM SINISTERIOREM. »

que l’on peut proposer de traduire par :

« Cela advient quelquefois, comme on le reconnaît dans la région de Nola, que de la même façon... la division ne soit pas extraite d’un point, mais (extraite) de limites différents qui se croisent de manière oblique. Il faut donc voir par la signification des lignes comment il est possible de distinguer une région pour que soit compris A DROITE ou A GAUCHE DU DECUMANUS LE PLUS A DROITE, ou, A DROITE, ou A GAUCHE DU DECUMANUS LE PLUS A GAUCHE ».

44Dans le premier cas la division s’opère de manière classique à partir du locus gromae, dans le second elle s’opère « en faisant se croiser les axes de manière oblique ». « Ex diversis limitibus... » ne correspondrait donc pas à une description sommaire de la structure mais bien à une technique d’arpentage.

45De plus, on retrouve dans le cas précis de l’Ager Nolanus une configuration cadastrale tout à fait susceptible d’illustrer ces cas de superposition géométrique ! En effet les trames dites de « Nola II » et de « Nola III » pourraient bien ici être en cause. De fait, ces deux centuriations présentent un écart angulaire de ≅ 33°3’. Or cela correspond à un rapport géométrique de 2/3. Le module de « Nola II » est évalué à 707-706 mètres, celui de « Nola III » est évalué à 707 m. Donc a priori la mesure des angles, et celle des modules, ne s’oppose pas à la reconnaissance d’un cas de superposition géométrique dans l’ager Nolanus.

Le mode de division par saltus.

46L’écho, sans doute le plus lancinant, que trouvent dans les textes nos cas de superpositions géométriques est relatif au mode de division interne des centuriations. On a pu en effet constater que la construction d’une centuriation par superposition géométrique passait par la délimitation première d’unités, unités dont la centurie constitue une partie aliquote (c’est-à-dire que ces unités sont divisibles par un nombre entier de centuries). Cela nous conduit naturellement à constater qu’une telle technique de construction induisait, et ce de façon intrinsèque, une division liminaire de la centuriation par saltus.

47Or ce mode de division est plusieurs fois évoqué par les auteurs. D’après Hygin le Gromatique c’est même la première tâche à laquelle devaient se livrer les géomètres, et parmi les plus délicates :

« Decimanum m. autem et kardinem optimi mensores agere debebunt, idem et quintarios ad singula claudere, nequis error operi fiat, quod post amplum actum emendare sine rubore difficile est34 ».

« Le decumanus et le cardo majeurs doivent être tirés par les meilleurs des arpenteurs, de même ils devront fermer isolément (un à un) les quintarii, parce que si l’on fait dans l’œuvre une erreur dommageable, il est difficile de la corriger sans rougir après un grand avancement (des travaux). »

48L’auteur évoque ici la réalisation d’une centuriation effectuée selon les techniques classiques, à savoir par la visée d’axes perpendiculaires depuis un locus gromae. Il nous apprend cependant que le découpage des saltus (quintarios claudere) doit être confié aux plus expérimentés des géomètres. C’est que l’art est difficile et que de lui dépend l’orthogonalité de la centuriation et donc la réussite de l’œuvre. Or ce risque est automatiquement éliminé lorsque l’on procède par superposition géométrique de trames. En effet dans ce cas l’exactitude des mesures de la première centuriation garantit celle de la seconde : il n’y a donc plus matière à rougir.

49Le terme « saltus » ne connaît en fait, dans les textes gromatiques, que peu d’occurrences. G. Chouquer et F. Favory opposent, sur le sujet, les témoignages, jugés contradictoires, de Varron d’une part et de Siculus Flaccus d’autre part. Le premier en effet leur accorde une dimension de 4 x 4 centuries tandis que le second précise qu’ils contiennent 5 x 5 centuries. On a voulu voir dans « l’agrandissement » des saltus une valeur chronologique35. Cette question nous semble trop peu documentée pour donner lieu à un tel constat. Notons que dans les cas de superposition géométrique -cas qui nous intéressent ici- la dimension des saltus est seulement fonction du rapport géométrique employé.

50Selon nous, il n’est donc pas prouvé que les deux témoignages se rapportent à des périodes différentes : ils ont pu, tout aussi bien, correspondre simplement à la mention des formes les plus communément usitées.

51« Chez les Grecs la géométrie fut en grand honneur, ainsi ont-ils eu d’illustres mathématiciens – chez nous on a réduit cette science à l’arpentage et au calcul ». En dépit du témoignage sarcastique que livre Cicéron au début des Tusculanes, on ne peut manquer de remarquer, au terme de cet exposé, combien les techniques de l’arpentage ont pu constituer une voie de transmission de la mathématique grecque. Mais il est bien difficile d’évaluer la qualité de ce que l’ars agrimensoria a emprunté et apporté à ce domaine. L’œuvre des agrimensores, en effet, ne pourrait représenter que l’application stéréotypée de formules spécifiques. Pourtant, en Uzège, la complexité des articulations renvoie à l’hypothèse de conceptions et de calculs possiblement actifs : en effet, on a dû et su construire ici des figures en fonction des formules utilisées dans la réalisation de centuriations précédentes. Et, si l’on retrouve parmi elles des relations relevant du « cas d’école » -comment d’ailleurs n’en retrouverions nous pas dans une telle diversité- dont on peut penser qu’elles correspondaient à une application quelque peu mécanique, il reste que certaines réalisations doivent sans doute à une réelle recherche ou, en tous cas, à la résolution de problèmes précis. C’est dire que les agrimensores ont utilisé des ressources théoriques relativement complexes. Euclide ne répondit-il pas s’adressant à Ptolémée Sôter -lequel se demandait s’il n’y avait pas un moyen plus simple d’apprendre cette science que celui que le mathématicien lui enseignait- : « Il n’y a pas de voie royale en géométrie ».

52La reconnaissance, en Uzège, d’un procédé inédit utilisé pour la matérialisation des trames cadastrales par « superposition géométrique » et dont on retrouverait plusieurs échos dans les sources gromatiques, éclaire donc un certain nombre de difficultés afférentes aux questionnements suscités par la construction, sur un même territoire, de centuriations différemment orientées. Nous avons vu comment des arpenteurs pouvaient, en sélectionnant sur une première centuriation des repères déjà implantés, jalonner prestement l’armature d’une seconde limitatio. C’est déjà dire et montrer que la hardiesse gromatique pouvait s’adapter rapidement à la plus capricieuse des logiques politiques36. En outre, on s’aperçoit que certaines caractéristiques morphologiques des centuriations construites par « superposition géométrique », et parmi les plus énigmatiques, dimension des saltus, orientation et module, sont directement induites par l’application de ce procédé et partant intrinsèquement liées à la genèse même du cadastre. C’est, en tous cas, ce qui ressort de l’étude des centuriations de l’Uzège. Il reste que l’utilisation d’un tel procédé devrait maintenant pouvoir être détectée ailleurs : nous avons signalé le cas des centuriations « II » et « III » de Nola qui pourraient bien représenter une mise en œuvre de cette technique en Italie centro-méridionale. Mais on comprend l’intérêt qu’il y aurait d’en rechercher d’autres occurrences, non seulement dans des régions où des réseaux virtuels n’auraient pas encore été recensés bien sûr, mais encore dans celles où de nombreux systèmes ayant été identifiés, on pourrait maintenant, en décelant les traces d’une utilisation de ce procédé, mieux connaître leur genèse et leur chronologie.