Version classiqueVersion mobile

L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Conclusion

Texte intégral

  • 1 Dans Chevalley Claude et Weil André, « Hermann Weyl (1885- 1955) », in L’Enseignement mathématique, (...)

1Comme dautres auteurs scientifiques s’étant mêlés de philosophie, Weyl a pu être été accusé ou bien d’être un touche-à-tout, suspecté d’éclectisme, piochant à tout va les éléments philosophiques dont il avait besoin pour illustrer son travail scientifique, ou bien d’être un inconstant, changeant de position philosophique à chaque ouvrage, au grès de l’évolution de ses intérêts scientifiques1. Certes, les personnes qui ont souligné son inconstance essaient d’y voir une conséquence de la réelle difficulté de la tâche, plutôt que le signe d’une superficialité de cet auteur. Mais est-on sûr que Weyl soit aussi bon philosophe qu’il est bon mathématicien ? Que nous apprend notre étude quant à la justesse de ces accusations et de ces doutes sur la portée et la cohérence du travail philosophique de Weyl ?

2Nous pensons que notre approche a été particulièrement fertile pour évaluer cette portée et cette cohérence, du moins pour ce qui est de la position philosophique développée autour de la notion d’espace pendant les années 1917-1923. En effet, en tant que nous n’avons pas tenté de tirer Weyl simultanément en direction des différents auteurs, scientifiques ou philosophes, qui sont ses sources d’inspiration, nous n’avons pas projeté sur lui des contradictions qui lui sont en grandes parties extérieures. Au lieu de cela, nous avons adopté ce qui est selon nous le seul point de vue acceptable pour défendre la pensée de Weyl : poser qu’il a été l’authentique auteur d’une pensée philosophique originale, construite par le biais d’une réflexion sur sa pratique scientifique, et éclairée par sa connaissance de la tradition philosophique. Nous avons vu comment les éléments (notions, thèses) empruntés à divers pans de la tradition philosophique étaient recomposés par Weyl pour former un système original dans lequel ces éléments prennent un sens nouveau, et où les contradictions apparentes disparaissent. Mais cette recomposition n’est-elle pas la seule façon de procéder en philosophie ?

3En acceptant ces déplacements de sens, et en les mettant à jour depuis l’intérieur des textes de Weyl, nous avons découvert une position philosophique sur l’espace-temps qui, si elle n’est pas sans difficulté, est cependant d’une cohérence et d’une justesse peu souvent égalée dans la période contemporaine. Nous avons découvert une pensée sur l’espace (-temps) non pas exagérément éclectique et inconstante, mais modérée et complexe. Weyl adopte une conception idéaliste de l’espace. Mais l’idéalisme n’est adopté qu’avec circonspection et prudence. Certains éléments de connaissance, que Kant ou certains de ses interprètes pensaient pouvoir placer sous le contrôle de la raison pure, sont désormais placés sous l’emprise de l’expérience. Être à la fois rationaliste et empiriste n’est pourtant pas une inconsistance quand ces positions sont défendues à propos d’éléments distincts de la connaissance. L’idéalisme transcendantal originel, celui de Kant, n’était-il pas lui-même une pensée née, notamment, de la volonté de concilier les deux camps empiristes et rationalistes qui semblaient voués à un éternel combat sans issue ? Être à la fois rationaliste et empiriste n’est pas non plus un éclectisme fade et immotivé, quand le nouveau tracé de la nouvelle frontière entre le domaine de la raison pure et celui de l’Empirie est justifié par une analyse épistémologique juste et solidement argumentée.

4De ce point de vue, nous avons mis à jour le fait que la stratégie philosophique adoptée par Weyl est proche de celles des néokantiens et des autres penseurs idéalistes de cette époque. Comme eux, il abandonne la lettre de la Critique de la Raison Pure en déplaçant la frontière entre l’a priori et l’a posteriori, en réponse à la relativité générale. Mais ce déplacement vise à sauvegarder la main mise de la raison pure sur son nouveau domaine de gouvernance légitime. Il y a bien un domaine fondamental de la connaissance de la nature qui doit être développé a priori et qui est la condition de possibilité de tout rapport à un objet d’expérience. L’a priori s’est déplacé en réponse à la révolution relativiste. Ce déplacement oblige les idéalistes à résoudre trois problèmes fondamentaux. Premièrement, il faut rendre compte du fait que, s’il existe des principes a priori permettant la connaissance de la nature, la raison peut cependant se tromper en identifiant ces principes. Rendre raison de cet échec possible de la raison est indispensable après le choc occasionné par l’abandon de l’espace euclidien qui avait été considéré comme évidemment valide pendant si longtemps. Il faut admettre l’existence de fait d’une histoire des principes a priori qui guident la géométrie, cette fameuse historicisation de l’a priori si prégnante à l’époque de Weyl. Deuxièmement, une fois cette historicisation acceptée, il faut redéfinir précisément la nouvelle frontière entre l’a priori et l’a posteriori au sein des sciences de la nature ; celle que la relativité générale nous invite à adopter. Troisièmement enfin, il faut donner une justification épistémologique à ce nouveau tracé de la frontière.

5Weyl ne nous a laissé sans solution pour aucun de ces problèmes philosophiques.

  • 2 Cf. notre partie I. 2.
  • 3 Ainsi, à travers la reconstruction par Weyl de l’histoire de la géométrie, on découvre d’abord que (...)

61. Au premier problème, nous avons vu que sa réponse était brève mais originale et profonde2. Même si les éléments a priori sont fondés sur notre seule raison, nous ne pouvons pas les découvrir pleinement et immédiatement par un simple retour spéculatif sur soi. Encore moins ces éléments a priori nous sontils donnés spontanément comme des faits intuitifs accompagnant tout acte de perception. Weyl refuse d’associer a priori et évidence. La nature humaine est faible dans la mesure où elle peut mêler inconsciemment les véritables éléments a priori avec certains éléments contingents issus de nos préjugés, et dont l’origine semble être le manque de recul par rapport à notre expérience. Ainsi, l’histoire des sciences nous permet de nous rendre compte des restrictions indues que nous avons posées sur nos cadres de pensées. Dans une géométrie encore immature, les principes posés aux fondements sont trop restreints, pas assez généraux, car ils mélangent indissociablement les véritables éléments a priori avec des impuretés d’origine empirique. L’histoire de la généralisation progressive des principes de la géométrie est alors pensée par Weyl comme l’histoire d’une épuration progressive de ces éléments empiriques qui restreignent indûment les structurelles spatiales3. Ainsi, nous jugeons que Weyl a bien réussi le tour de force qui consiste à concilier un rationalisme, supposant l’existence de principes a priori guidant nécessairement de droit la notion d’espace, avec l’idée du besoin de passer par la médiation de l’histoire de la géométrie pour révéler ces éléments. C’est un idéalisme, certes, mais pas celui d’un métaphysicien impatient qui dédaigne les enseignements de l’histoire des sciences.

72. Passons au second problème philosophique, celui qui consiste à tracer correctement la nouvelle frontière, suggérée par la relativité générale, entre l’a priori et l’a posteriori en géométrie. Il s’agit de distinguer ce qui est posé par le sujet rationnel pour rendre possible la théorie, et ce qu’il ne fait que découvrir par l’expérience. Nous avons vu que ce difficile problème prenait chez Weyl la tournure d’une tension entre l’espace, forme de notre intuition, au fondement de la géométrie comme science d’un espace homogène, et la métrique dynamique de Riemann-Einstein, nécessairement hétérogène en tant que déterminée par la matière avec laquelle elle est en interaction. Nous avons localisé dans cette tension la principale difficulté à résoudre pour comprendre l’unité de la pensée de Weyl.

8Pour comprendre notre bilan sur l’apport de Weyl en ce domaine, il faut rappeler à quel point il est inflexible sur son usage du terme « espace » pour désigner une forme de notre intuition ou une forme des apparences, donc un élément subjectif et non pas un objet physique extérieur à nous. La conséquence de ce choix terminologique strict est qu’il refuse, comme l’ont fait d’autres auteurs, de confondre la métrique dynamique d’Einstein, qui est un objet physique, avec l’espace (-temps) lui-même. Étant donné que la matière détermine ou influence, comme nous l’a révélé Einstein, la métrique spatio-temporelle, le problème épistémologique central de la relativité générale est finalement restitué par Weyl comme une étude philosophique des rapports entre trois choses : 1) l’espace (-temps), forme des apparences nécessairement homogène, 2) la métrique dynamique qui ne saurait se confondre avec l’espace-temps lui-même ni lui appartenir en propre, et 3) la matière.

9Deux solutions pour penser les rapports au sein de ce système ternaire se sont présentées à nous successivement.

  • 4 Rappelons que c’est à la fois la première proposition dans l’économie d’Espace-Temps-Matière (le pa (...)

10Dans notre chapitre III, nous avons développé la première4 solution de Weyl. La métrique d’Einstein, en tant qu’elle est un objet dynamique, y est présentée comme n’étant pas du tout une propriété de l’espace (-temps) en soi. L’espace (-temps), forme des apparences, est alors réduit à un réceptacle sans propriété métrique, qui semble correspondre à la notion topologico-différentielle de variété spatio-temporelle. Cet espace (-temps) reçoit en son sein les deux entités physiques que sont la matière et la métrique dynamique (champ gravito-métrique), toutes deux en étroite interaction. Dans cette première interprétation des rapports entre espace (-temps), matière et métrique, la subjectivité de l’espace-temps apparaît essentiellement négative- ment comme ce contre quoi l’objectivé de la géométrie doit être gagnée. L’espace (-temps) renvoie ici aux différentes manières de coordonner la variété sous-jacente à la théorie physique. La singularité du système de coordonnées choisi est un élément contingent qui représente la singularité du point de vue adopté par le sujet sur le monde. Il s’agit de neutraliser cet élément contingent par la caractérisation de la façon dont se correspondent les différentes représentations des mêmes objets géométriques ou physiques, depuis des sujets-coordonnées différents (principe de relativité des mesures). La physique traite d’une réalité qui est au-delà de l’espace-temps, dans le sens où la physique neutralise la singularité de chaque sujet-coordonnées par le principe de relativité. Ainsi, aucun moment (comme le présent) ou aucun lieu (un hypothétique centre du monde) n’est objectivement privilégié dans la réalité. En ce sens-là, la réalité est en elle-même aspatiale et atemporelle. Seul le sujet-coordonnées introduit un moment 0, un lieu central (0, 0, 0), et plus généralement une certaine manière de coordonner tout l’espace-temps. On est ici plus proche, du point de vue de la tradition philosophique, d’un point de vue leibnizien qui identifie le sujet à un point de vue individuel sur le monde, et qui nie fermement toute objectivité du temps et de l’espace en eux-mêmes, que d’un point de vue transcendantal à la façon de Kant ou des kantiens en général.

  • 5 Nous avons vu que cette conception de la géométrie infinitésimale et des idées philosophiques qui l (...)

11Dans notre chapitre IV, nous avons vu naître un nouveau regard sur la géométrie qui doit, pour se réaliser pleinement, devenir désormais géométrie de contact ou géométrie infinitésimale5. Cela entraine un déplacement des rapports entre espace (-temps), matière et métrique. La première façon de penser ces rapports apparaît finalement comme trop radicale en tant qu’elle concède trop à la physique dans la détermination des relations métriques. Certes, en relativité générale, Einstein a montré que les coefficients de la métrique évoluaient d’un point à l’autre ; leur dépendance à l’égard du lieu ne pouvant être découverte qu’empiriquement, car elle exprime une dépendance physique entre la métrique et la matière. Mais ce n’est que la moitié de la vérité épistémologique concernant la métrique. D’un autre côté, il y a bien quelque chose de la métrique qui reste une donnée a priori, préalable à toute mesure et la rendant possible, à savoir le fait général que la métrique soit une forme quadratique différentielle.

  • 6 Cf. III. 2. 3 et III. 2. 4 pour le développement de ces deux moments chez Riemann.

12Le premier apport épistémologique de Weyl consécutif à cette élaboration du concept de géométrie infinitésimale tient dans l’élaboration d’un vocabulaire technique qui lui permet de systématiser la distinction entre les deux moments riemanniens6 de la détermination de la métrique. Désormais, il faudra distinguer la variation des coefficients de la métrique de la nature de la métrique. Les coefficients de la métrique sont variables de manière contingente et peuvent éventuellement être mesurés expérimentalement. Par contre, la nature de la métrique, qui correspond au type général de fonction mathématique employé pour décrire la métrique, est fixée a priori. Ainsi, dans ce nouveau schéma de pensée, la métrique n’est plus entièrement placée du côté de l’objectivité physique. Elle se scinde pour ainsi dire en deux moments. Selon Weyl, la nature de la métrique est une donnée a priori, fondée sur des exigences propres à la raison, et qui participe à déterminer l’essence de l’espace [Wesen des Raums]. À l’opposé, la variation des coefficients de la métrique renvoie à une réalité physique (le champ gravitationnel). On peut illustrer ce changement de perspective dans le schéma ci-dessous.

  • 7 En IV. 2. 3 et IV. 2. 4., nous avons montré successivement comment Weyl généralisait la notion de c (...)

13Mais l’apport épistémologique de Weyl ne s’arrête pas là. Il a explicité la signification de cette scission de la notion de métrique en deux moments épistémologiquement distincts. La nature de la métrique correspond en fait à la structure de la métrique dans ses parties infinitésimales. Quand il fixait la nature de la métrique comme devant être une forme quadratique, Riemann posait en fait qu’elle devait satisfaire au théorème de Pythagore dans l’infiniment petit. Au contraire les mesures finies ne sont pas fixées a priori. Ainsi, Weyl a rectifié la frontière entre l’a priori et l’a posteriori. L’a priori n’est plus réservé aux propriétés topologico-différentielles. Plutôt, la métrique se trouve à cheval entre les deux domaines. Son comportement dans l’infinitésimal (la nature de la métrique) fait partie du domaine de l’a priori ; tandis que la variation des coefficients de la métrique, qui fixe son comportement à distance finie, est déterminée a posteriori. Mais pour que les espaces infinitésimaux puissent communiquer les uns avec les autres pour former un unique espace global sur lequel les relations finies soient définissables, Ricci et Levi-Civita ont montré qu’il fallait définir mathématiquement une notion de connexion, reliant chaque espace infinitésimal à ses voisins. Nous avons vu comment Weyl généralisait doublement ce procédé7. Il parvient ainsi à la géométrie infinitésimale pure. Dans ce cadre, Weyl fait jouer à nouveau la même distinction philosophique : la nature des connexions sera fixée a priori, tandis que la variation fonctionnelle des coefficients de ces connexions par rapport à l’espace sera fixée a posteriori par la physique (théorie des champs).

Fig. 1. Le schéma des relations ESPACE/MÉTRIQUE / MATIÈRE

au paragraphe 12 d’E. -T. -M. (inspiré par Einstein et Riemann)

Image

Fig. 2. Le schéma des relations ESPACE/MÉTRIQUE / MATIÈRE dans la géométrie par contact. (idéalisme dans l’infinitésimal propre à Weyl à partir de 1918)

Image

  • 8 Cf. IV. 2. 5 et IV. 2. 6.
  • 9 Cf. notamment Scholz Erhard, « H. Weyl’s and E. Cartan’s proposals for infinitesimal geometry in t (...)

14Enfin, une autre avancée conceptuelle majeure de Weyl est sa réussite à traduire dans ce nouveau cadre de la géométrie infinitésimale, les notions traditionnelles de continuité et d’homogénéité si fondamentales pour la géométrie8. Finalement, Weyl est parvenu à donner un cadre pour concilier l’idée de géométrie différentielle, issue des travaux de Gauss et Riemann, avec l’idée algébrique de traiter l’espace par le biais d’un groupe continu et homogène de transformations. Weyl avait un compagnon de route dans cette tentative de conciliation de ces traditions. Il s’agit d’Élie Cartan, le célèbre mathématicien français qui, à la même époque, décrivait lui-même ses travaux explicitement comme une tentative de concilier le programme d’Erlangen avec les idées de Riemann. Ce mathématicien est alors conduit lui-aussi à mettre au centre de sa réflexion les connexions ainsi qu’une conception locale et dynamique du système de référence : le « repère mobile ». Les deux auteurs échangeront par lettres durant cette période et auront quelques disputes autour du statut de la connexion et de la métrique9. Retenons que la question que nous avons mise en évidence dans notre ouvrage comme étant au cour de la compréhension de l’unité d’Espace-Temps-Matière, loin d’être une bizarrerie propre à Weyl, est au contraire une question naturelle qui était dans l’air du temps, au moins depuis les travaux de Klein lui-même, et qui prenait une importance décisive à l’ère de la relativité générale.

153. Qu’avons-nous appris sur les justifications épistémologiques données par Weyl quant à ce nouveau tracé de la frontière entre a priori et a posteriori ? Sur ce point, la notion centrale de Weyl est sa conception particulière du sujet qui, en en tant qu’incarné en un point du monde, est conçu comme un observateur ponctuel sur le monde, un oil ponctuel. Dans la première interprétation des rapports espace/matière/métrique, cette localisation du sujet était perçue uniquement négativement comme un obstacle à l’objectivité géométrique qu’il fallait neutraliser par le principe de relativité. À présent, en géométrie infinitésimale, la référence à ce sujet ponctuel va avoir une fonction positive dans la constitution du savoir géométrique. C’est en effet en référence à ce sujet qu’on pourra justifier que les structures infinitésimales puissent être déterminées a priori par des exigences rationnelles, tandis que les relations à distance finie, hors de la portée légitime du sujet, doivent être laissées complètement libre a priori. C’est la flexibilité de la métrique, exprimée dans l’axiome de « liberté de la connexion ».

16Que signifie le fait que, en référence au sujet ponctuel incarné, on puisse poser a priori la nature de l’espace et des connexions ? On pourrait croire que c’est le signe que Weyl introduit à nouveau, au niveau local, une forme d’empirisme. N’est-on pas amené à poser l’espace comme étant localement euclidien, simplement parce que c’est comme cela que nous le révèle notre expérience perceptive du voisinage proche de notre corps ? Nous avons vu que cette interprétation de Weyl est erronée. Elle ne tiendrait que si le caractère « ponctuel », « infinitésimal » du sujet n’était employé par Weyl que métaphoriquement, pour parler de son voisinage proche mais fini. Au contraire, tout le développement de la géométrie infinitésimale prouve que Weyl entend au sens strict les caractères infinitésimal et ponctuel du sujet. Le sujet auquel sont rapportées les exigences a priori qui fixent la nature de la métrique et de la connexion ne peut en aucun cas être le sujet concret d’une perception associé à son corps, objet physique fini. Weyl l’a dit clairement en affirmant que le point de vue objectif sur l’espace ne peut être atteint que par élimination du moi et de son vécu intuitif immédiat. Que nous « vivions » notre espace ambiant comme euclidien, à supposer que cela ait un sens, est donc hors de propos pour interpréter l’idéalisme dans l’infinitésimal de Weyl. L’incarnation du sujet ne renvoie pas à son vécu immédiat des relations spatiales. Il faut au contraire que cette incarnation soit idéalisée, au sens où nous parlons d’une idéalisation mathématique par passage à la limite, d’une asymptote. C’est seulement alors que ce sujet pourra reprendre chez Weyl une dimension transcendantale (bien que non expressément assumée comme telle chez lui). Ainsi, les structures infinitésimales de la métrique et de la connexion dérivent non pas d’une expérience perceptive, mais bien d’exigences rationnelles a priori. L’analyse mathématique du problème de l’espace, cet acmé de l’idéalisme dans l’infinitésimal de Weyl, met en évidence la nature de ces principes. Il y a des principes considérés comme analytiques : la continuité et l’homogénéité permettant de fonder la géométrie par contact au sens large ; et des principes considérés comme synthétiques : les axiomes d’harmonie entre l’affine et le métrique, et de liberté de la connexion. Ces principes finissent de caractériser la seule et unique nature de la métrique et des connexions par un théorème qui est la clef de voute de l’édifice.

17Finalement, l’idéalisme transcendantal de Weyl est réduit dans sa portée, en tant qu’il ne s’applique qu’aux structures infinitésimales. Mais il est extrêmement fort en tant que les exigences rationnelles posées a priori imposent une et une seule nature de la métrique et des connexions. Il y a une seule géométrie répondant aux exigences a priori les plus générales de notre raison. C’est ce que nous avons appelé son idéalisme dans l’infinitésimal. Nous voyons que le sujet-ponctuel est le noud du problème à résoudre pour pénétrer au cour de la vérité épistémologique de la pensée de l’espace de Weyl, et évaluer sa distance à l’idéalisme transcendantal originel de Kant. La localité infinitésimale du sujet incarné joue un double rôle vis-à-vis des rapports entre la pensée de Weyl et l’idéalisme transcendantal. D’un côté, c’est par l’insistance sur la corporéité du sujet et son illégitimité à fixer les rapports métriques à distance, que la pensée de Weyl s’oppose directement et expressément à l’idéalisme transcendantal de Kant. Non seulement, à supposer que l’interprétation psychologisante de Kant soit correcte, Kant aurait eu le tort de croire que la structure métrique euclidienne pouvait s’imposer avec évidence dans chaque acte perceptif. Mais, plus profondément, Kant, emporté par les préjugés associés à l’acceptation de l’espace euclidien, seul connu à son époque, n’aurait pas aperçu qu’il était illégitime pour la raison d’imposer une structure métrique rigide sur toute l’étendue de l’espace. Riemann puis Einstein ont permis d’éliminer cette imperfection. Et Weyl a montré à sa façon que cela revenait à défendre ce que nous avons appelé un idéalisme dans l’infinitésimal. Ainsi, d’un autre côté, c’est précisément le caractère « infinitésimal » du sujet de Weyl qui permet de lui redonner une dimension transcendantale, et donc d’ouvrir une nouvelle voie pour le développement de la position idéaliste.

18Finalement, les plus grandes sources d’obscurité quant à la position philosophique de Weyl sont de trois ordres : 1) l’absence d’un développement philosophique complet et convaincant sur la nature du sujet et de ses facultés, 2) la mise entre parenthèse du problème des rapports entre le vécu phénoménal des relations spatiales et l’espace mathématisé de la science, 3) le problème à peine mieux développé dans Espace-Temps-Matière du temps, et des questions topologiques et structurelles globales.

19Concernant la première obscurité, on aurait aimé que Weyl explicite clairement la nature de ce sujet ponctuel, qui semble avoir une dimension corporelle essentielle tout en conservant une dimension transcendantale par le fait que cette corporéité est envisagée à un niveau idéalisé. Le tabou sur le sujet transcendantal et l’absence d’une théorie philosophique complète du sujet chez Weyl sont éloquents. On aimerait en particulier que Weyl développe ce qui justifie chez lui sa délimitation entre l’analytique et le synthétique dans son analyse du problème de l’espace ; et on aimerait savoir quels rôles continuent à jouer les différentes facultés de la raison (entendement/sensibilité) dans cette élaboration a priori des fondements de la géométrie. Son livre philosophique, la philosophie des mathématiques et de la science de la nature, ne peut combler ces manques en tant que la philosophie de Weyl y a évolué depuis la période que nous avons caractérisée.

20Sur le second point, nous avons vu que Weyl mettait volontairement de côté le problème philosophique important des rapports entre le vécu perceptif immédiat (qui comporte peut-être lui-même une dimension spatiale, la question reste à éclaircir) et l’espace tel qu’il apparaît dans la connaissance mathématisée de la nature. Sans doute, l’argument de Weyl selon lequel ce problème est indépendant du problème plus urgent de l’articulation entre les mathématiques et la physique en géométrie, est plutôt convaincant. Néanmoins, ce trou dans l’analyse épistémologique est sans doute responsable des mauvaises interprétations que l’on projette parfois sur la pensée de Weyl, en particulier l’identification de l’espace euclidien transporté avec lui par le sujet infinitésimal, et ce qui serait un hypothétique espace euclidien émanant du vécu perceptif du sujet.

21Sur le troisième point, nous devons être plus nuancés. Weyl n’a pas complètement passé sous silence les problèmes du temps et des « structures globales ». Le problème du temps n’apparait que ponctuellement, dans le chapitre III où il présente la relativité restreinte, et dans les considérations cosmologiques qu’il ajoute à partir de la 4e édition. Partout ailleurs, le temps n’apparait qu’en tant que 4e dimension de la variété spatiotemporelle, sans que sa spécificité soit thématisée. Ainsi, c’est la notion d’espace qui est avant tout au cour des réflexions de Weyl de cette période, et c’est ce qui nous a obligés dans cet ouvrage à toujours juxtaposer le temps entre parenthèses à l’espace. Cela mime la conduite de Weyl qui considère très souvent la considération du temps comme optionnelle dans la majorité des développements philosophiques qu’il construit autour de la relativité générale. Quelques indications de Weyl montrent par ailleurs que le problème du temps serait central pour aborder la question des rapports entre le vécu phénoménal et les structures spatio-temporelles de la science. Le temps a un rapport étroit à la conscience, en tant que le temps phénoménal en exprime le « flux ».

22Passons au problème des structures (projective/affine/métrique) globales. Par « structures globales », nous entendons comme c’est l’usage, les questions géométriques qui se posent lorsqu’on considère dans leur totalité les structures qui sont définies sur la variété. Dans Espace-Temps-Matière, Weyl se préoccupe évidemment de la façon dont les structures sur une portion finie d’espace sont engendrées à partir des structures infinitésimales. En revanche, prolonger le processus d’intégration jusqu’au bout et interroger la structure globale de l’espace-temps n’est pas un problème central de l’ouvrage. Cette lacune n’est peut-être pas anodine. En effet, on peut se demander si il y a la place pour de telles questions globales dans une épistémologie où seules les relations infinitésimales sont fixées a priori et où les autres relations doivent être construites par un processus d’intégration qui fasse intervenir le rapport à l’expérience et les lois d’interaction de la matière. La problématique épistémologique en jeu ici est celle de la possibilité d’une expérience de la structure globale de l’espace-temps, c’est-à-dire la possibilité d’une cosmologie inductive. Faisant preuve d’un pragmatisme courant chez lui, Weyl introduit quelques idées cosmologiques et publie quelques articles cosmologiques pendant cette période, même si la place de la cosmologie dans sa philosophie de l’espace-temps nous semble encore non élucidée. C’est cependant dans ces considérations en marge, notamment dans les quelques paragraphes cosmologiques introduits dans la 4e édition d’Espace-Temps-Matière, que sont introduits les réquisits cosmologiques qui permettent de réintroduire au niveau cosmique un temps objectif (contre la subjectivité du temps de la relativité restreinte). C’est le fameux principe de Weyl en cosmologie qui a joué par la suite un rôle si important dans la considération des métriques de Friedmann-Robertson-Walker, et donc dans le développement en général de la cosmologie relativiste.

23Après ces problèmes internes à l’œuvre de Weyl, il reste à évaluer la justesse de son analyse épistémologique sur l’espace au vu des développements de la science dans les années qui ont suivi. Bien sûr, sur ce plan, nous ne pouvons qu’esquisser des voies à explorer.

24Remarquons d’abord que le type de géométrie appelé par l’épistémologie de Weyl, à savoir une géométrie différentielle qui prend pour base une variété différentiable et met en avant la notion mathématique de connexion, est devenu un cadre de travail tout à fait classique dans la géométrie différentielle pratiquée au cours du xxe siècle et en ce début de xxie siècle. La géométrie des connexions s’exprime toujours usuellement soit sous une forme directement inspirée de Weyl (théories de jauge) soit sous la forme d’une connexion de Cartan, ou encore de structures algébriques plus complexes (la connexion de Koszul sur un fibré, ou encore la connexion d’Ehresmann par exemple). Ainsi, l’idée générale de ne fixer que les structures infinitésimales de l’espace, et de recomposer l’espace complet par connexions progressives des espaces infinitésimaux est devenue un cadre usuel pour la géométrie différentielle contemporaine. L’angle d’attaque sans doute le plus fort contre cette position générale de la géométrie différentielle consisterait à nier d’emblée le principe de continuité qui est un de ses supports. Pour cela, il suffit d’envisager la possibilité que l’espace se révèle en définitive comme une variété discrète. Weyl lui-même accepte la plausibilité de cette position, déjà envisagée par Riemann et renforcée par les découvertes de la mécanique quantique. Mais précisons tout de suite que la forme de discrétisation qui est apparue en mécanique quantique, dans les années 1925, ne concerne pas l’espace-temps. Seules quelques théories très spéculatives de nos jours posent l’hypothèse radicale d’un espace discret. On peut dire que la majorité des physiciens continuent à accepter le principe de continuité et à chercher à fonder les phénomènes physiques, y compris quantiques, sur un espace-temps continu développé à travers une géométrie différentielle (théorie des champs).

  • 10 Finsler Paul, « Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen », dissertation, Göttingen, 1918, réimpri (...)

25Si on reste en physique des champs, qu’en est-il de la thèse philosophique plus précise de Weyl attenant à son analyse mathématique du problème de l’espace ? C’est-à-dire est-il vrai que sa géométrie infinitésimale pure fournirait « le véritable espace », au sens où elle nous donnerait la structure infinitésimale a priori la plus générale permettant d’appréhender la métrique dynamique effective de la physique ? En particulier, Weyl a-t-il eu raison de défendre la nécessité d’une forme quadratique infinitésimale pour l’espace accompagnée de la possibilité d’une connexion métrique ? On sait bien sûr que les principes de Weyl suffisent à fonder la relativité générale, en tant qu’elle est appuyée sur la notion d’espace de Riemann. De plus, la possibilité d’introduire en physique une connexion métrique au sens de Weyl n’a pas convaincu la communauté physique en 1918 (projet d’unification géométrique de la gravitation et de l’électromagnétisme), mais a connu un succès à partir de 1929 quand Weyl a montré l’usage de la connexion métrique (définie alors sur ? et non plus sur ?) dans le nouveau cadre de la mécanique quantique. Cependant, dès l’époque de Weyl, on savait qu’il existait des « géométries » au sens large, qui débordent le cadre des espaces de Weyl. Il suffit pour cela de considérer des « espaces de fonctions », ou encore les espaces figurant dans la publication de Paul Finsler contemporaine à la première édition d’Espace-Temps-Matière 1010. Mais ces géométries sont-elles des géométries au sens propre, c’est-à-dire peuvent-elles légitimement nous parler de la métrique effectivement réelle, de ce qu’on appelle communément sans précaution philosophique l’« espace réel » ? Ici, pour réfuter la position de Weyl, il s’agirait de valider une théorie physique qui s’appuie sur une notion d’espace plus générale que les espaces de Weyl. De telles théories sont apparues tôt. Par exemple, Cartan proposait dès les années 1920 ses espaces à connexion avec torsion qui débordent le cadre propre à Weyl, et a envisagé de s’en servir pour généraliser la théorie d’Einstein. Cependant, aucune théorie physique n’a sup- planté de nos jours de façon consensuelle la relativité générale pour nous parler de la métrique spatio-temporelle. De ce point de vue, la thèse épistémologique de l’analyse mathématique du problème de l’espace tient toujours. Les principes a priori posés par Weyl dans l’infinitésimal sont suffisamment généraux jusqu’à présent pour permettre de construire par intégration les structures finies réclamées par la caractérisation de la métrique spatio-temporelle de la physique. Nous sommes toujours en attente d’une éventuelle nouvelle révolution en géométrie qui mettrait en évidence l’insuffisance des principes a priori de Weyl, en dévoilant une nouvelle impureté. Une généralisation des principes a priori serait alors nécessaire. Il se pourrait au contraire (mais Weyl serait sans doute prudent sur ce point) que l’histoire des principes a priori de l’espace ait pu atteindre son terme avec la géométrie infinitésimale pure, celui où la raison s’« inonde de lumière ».

26Outre ces enseignements précis sur la philosophie de l’espace, ce travail sur Weyl permet de donner un regard intéressant sur la problématique générale de l’interaction entre sciences et philosophie. Nous espérons avoir convaincu le lecteur que l’investissement de Weyl en philosophie était tout à fait sincère et sérieux, non pas en marge de son travail scientifique, mais l’habitant de part en part. Sa philosophie de l’espace-temps prouve s’il est besoin la fertilité d’une recherche scientifique qui travaille dans un dialogue continuel à double sens avec la philosophie, et qui devrait redevenir la norme après un demi-siècle d’éloignement accentué des communautés scientifique et philosophique. La philosophie, par son attitude critique, l’étendue des aspects de l’être et de la connaissance qu’elle met en ouvre, et la longue tradition des problèmes et des systèmes sur lesquelles elle s’appuie, peut servir d’aiguillon participant à donner un élan créatif à la science en marche, pourvu qu’elle se nourrisse en contrepartie des résultats de la science en évolution. Telle est la leçon générale qui ressort de l’attitude adoptée par Weyl dans son travail. On doit prendre pour exemple l’édifice magistral de la relativité générale qui n’a pu voir le jour que par une interaction entre les grandes problématiques philosophiques et le génie de nombreux savants. Grâce à cette interaction :

  • 11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit, p. 284.

Quelques-uns des accords fondamentaux de cette harmonie des sphères, auxquels rêvaient Pythagore et Kepler, sont parvenus à nos oreilles11.

Notes

1 Dans Chevalley Claude et Weil André, « Hermann Weyl (1885- 1955) », in L’Enseignement mathématique, n o (2) 3, p. 161, les auteurs de sa nécrologie qualifient Weyl de « Protée, qui se transforme sans cesse pour se dérober aux prises de l’adversaire, et ne redevient luimême qu’après le triomphe final. […] Souvent il a pu prendre un plaisir grisant à se laisser entraine ou ballotter par les courants opposés qui ont agité cette époque, sûr d’ailleurs au fond de lui-même […] que son bon sens foncier le garantirait du naufrage. »

2 Cf. notre partie I. 2.

3 Ainsi, à travers la reconstruction par Weyl de l’histoire de la géométrie, on découvre d’abord que la tridimensionnalité de l’espace euclidien, considéré sous l’angle des espaces vectoriels, était contingente. De même, les géométries non-euclidiennes révèlent la contingence de la valeur nulle de la courbure euclidienne. Riemann ôte une impureté supplémentaire : la rigidité (constance de la courbure, homogénéité globale) des espaces euclidien, hyperbolique, et elliptique. Weyl enfin, ôte une dernière impureté dans la conception de Riemann : le caractère intégrable de la notion de longueur.

4 Rappelons que c’est à la fois la première proposition dans l’économie d’Espace-Temps-Matière (le paragraphe 12, et son argument de la boule d’argile) et la première à avoir été pensée par Weyl (dès la première édition de sa monographie).

5 Nous avons vu que cette conception de la géométrie infinitésimale et des idées philosophiques qui l’accompagnent se met en place dès l’année 1918 dans les articles scientifiques de Weyl. Elle commencera à être intégrée au chapitre IV d’Espace-Temps-Matière à partir de la 3 e édition, puis de façon renforcée dans la 4 e édition avec l’ajout du § 18 du second chapitre, qui expose la solution de Weyl à l’analyse mathématique du problème de l’espace.

6 Cf. III. 2. 3 et III. 2. 4 pour le développement de ces deux moments chez Riemann.

7 En IV. 2. 3 et IV. 2. 4., nous avons montré successivement comment Weyl généralisait la notion de connexion affine et introduisait celle de connexion métrique.

8 Cf. IV. 2. 5 et IV. 2. 6.

9 Cf. notamment Scholz Erhard, « H. Weyl’s and E. Cartan’s proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s », in Boletim da Sociedada Portuguesa de Matemàtica, numéro special A. da Mira Fernanders, p. 225-245, et Nabonnand Philippe, « La notion d’holonomie chez Élie Cartan », in Revue d’histoire des sciences, 2009/1 (t. 62), p. 221-245.

10 Finsler Paul, « Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen », dissertation, Göttingen, 1918, réimprimée par Birkhaüser (1951).

11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit, p. 284.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search