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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre IV. Rapports entre ces deux aspects de la spatialité : l'idéalisme dans l'infinitésimal

4. Annexe : comment caractériser la nature spatiale d’une grandeur dans un espace de Weyl ?

Texte intégral

1Ce que nous avons dit dans notre annexe II. 5 sur la caractérisation de la nature spatiale d’une grandeur physique doit être complété sitôt qu’on se place dans le cadre d’un espace de Weyl où, comme nous l’avons vu, une autre composante subjective s’ajoute, en plus du système de coordonnées, pour permettre la représentation numérique des grandeurs. Il s’agit de la calibration [Eichung].

  • 1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 110.

2Le système de coordonnée seul est alors remplacé par un système de référence [Bezugssystem], c’est-à-dire un système de coordonnées associé à un facteur de calibration en tout point de la variété1. Un changement de système de référence dans un espace de Weyl est donc un changement de coordonnée (x —>x’)єG (difféomorphisme local) associé à un changement de calibration représenté par un facteurλ fonction positive continue (suffisamment différentiable) du lieu. Notons « L » l’ensemble des fonctionsλ possibles. En définissant naturellement la multiplication dans L par :

3λ*λ’ =def xλ(x) * λ’(x)

4on munit L d’une structure de groupe. Nous pensons que le groupe des changements de système de référence doit être pensé tout simplement comme le produit direct G * L du groupe G (des changements de coordonnées) par le groupe L (des changements de calibration).

5La nouvelle définition de la nature d’un objet spatial s’en déduit naturellement. Un objet spatial sera donné par :

  1. L’ensemble C des représentations numériques qu’il est susceptible de recevoir ;
  2. La façon dont la représentation numérique de cet objet varie quand on passe d’un système de référence à un autre. C’est-à-dire qu’il va falloir préciser une groupe G*L sur l’ensemble C.

6Weyl n'explicite pas tout cela mais se contente d'exemples (qui se passent du vocabulaire des actions de groupe).

7Exemple : Nature spatiale d'un vecteur contravariant de poids« » associé à un point P de notre espace de Weyl.

8Le groupe G des changements de coordonnées est ici l'ensemble des difféomorphismes locaux (x—>x') de classe C1 sur la variété sous-jacente à notre espace de Weyl.

9L'ensemble C des représentations numériques possibles d'untel vecteur est l'ensemble Rn (n dimension de la variété sousjacente à l'espace de Weyl).

Lors d'un passage d'un système de référence à un autre, la représentation numérique d'un tel vecteur varie selon l'action de groupe : Image

Notes

1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 110.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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