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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre IV. Rapports entre ces deux aspects de la spatialité : l'idéalisme dans l'infinitésimal

3. La géométrie par contact, fondement de la physique des champs

Texte intégral

3. 1. La géométrie par contact comme corrélat d’une physique par contact

1La composante mathématique du programme de la géométrie par contact répond à un bouleversement des notions physiques, commencé au xixe siècle, correspondant au passage à une physique des actions par contact [Nahewirkungsphysik] (plus littéralement, une physique des actions de proche en proche) :

  • 1 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 81.

La transition de la géométrie d’Euclide à celle de Riemann est basée en principe sur la même idée que celle [qui a conduit à] la physique des actions par contact1.

2Cette transition dont parle Weyl en l’illustrant par le passage d’Euclide à Riemann, vaut d’une manière générale pour le passage de toute géométrie à distance à une géométrie par contact au sens général que nous avons développé en IV. 1. Nous allons à présent développer cette analogie, seulement entrevue jusqu’alors, entre le passage d’une géométrie par contact à une géométrie à distance, et le passage d’une physique des actions à distance à une physique des actions par contact. Cette analogie est à prendre en un sens fort du terme. Il ne s’agit pas d’un lointain parallèle mais bien d’un seul et même schéma de pensée épistémologique qui dirige la transition vers une géométrie par contact et la transition vers une physique des actions par contact.

  • 2 Cf. I.3.2 . p. 86-88.

3C’est cette analogie qui justifie le choix terminologique du couple Nahe/Fern, (qui signifie littéralement proche/lointain, mais connote aussi les oppositions du fini à l’infiniment petit, et l’opposition des actions physiques par contact aux actions à distance) C’est aussi cette analogie dont on a parlé pour rendre compte de la structure en 4 parties d’Espace-Temps-Matière2.

4Le texte qui suit la précédente citation donne des informations sur la façon dont s’opère la transition à une « physique infinitésimale » au sens où nous avons parlé d’une « géométrie infinitésimale » :

  • 3 Ibid., p. 81.

Nous établissons par l’observation, par exemple, que le courant circulant le long d’un fil conducteur est proportionnel à la différence de potentiel entre les extrémités du fil (Loi d’Ohm). Mais nous sommes convaincus que ce résultat de mesure, appliqué à un long fil, ne nous fournit pas la loi physique exacte, valide en général. [La loi physique exacte] en est plutôt déduite lorsque nous appliquons la loi d’Ohm, telle qu’elle est obtenue [lue] à partir des mesures, à une portion de fil infiniment petite. Alors, nous parvenons à l’expression [renvoi à la formule s =σE qui relie le champ électrique au courant électrique dans un conducteur] sur laquelle est fondée la théorie de Maxwell. Par un mouvement inverse, la loi intégrale que nous établissons directement par l’observation peut être obtenue par une méthode mathématique à partir de la loi différentielle, sous l’hypothèse de conditions partout homogènes3.

5On observe ainsi un passage d’une loi intégrale phénoménale observée immédiatement, à une expression infinitésimale qui en est déduite et permet d’atteindre la loi exacte. Ce passage répond à un principe épistémologique primordial :

  • 4 Ibid., p. 82.

Le principe consistant à comprendre le monde à partir de son comportement dans l’infiniment petit est le motif épistémologique qui dirige tant la physique des actions par contact [Nahewirkungsphysik] que la géométrie de Riemann […]4.

  • 5 Weyl ne donne pas ici la formule explicitement sous forme symboliquemais la décrit par une phrase . (...)

6L’exemple du passage de la loi d’Ohm intégrale5à son expression infinitésimale illustre ce que signifie une telle « compréhension du monde à partir de son comportement dans l’infiniment petit ». Nous disposons d’une loi qui n’est qu’approximativement vérifiée, et dont la validité est d’autant plus exacte que la taille du système physique considéré (ici la longueur du fil électrique) est réduite. Notre principe épistémologique nous demande alors de ne poser comme exacte cette loi physique que pour une portion de fil « infinitésimale ».

  • 6 Ibid., p. 51-54.
  • 7 Ibid., p. 53. À un champ de covecteurs ui(x), on associe le tenseur antisymétrique à deux indices  (...)
  • 8 Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 54. À un champ de vecteursui (x), on (...)
  • 9 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires (...)
  • 10 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires (...)
  • 11 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires (...)

7La possibilité d’exprimer sous une forme infinitésimale exacte la loi approximativement observée à l’échelle phénoménale est permise par les outils mathématiques différentiels, produits du développement du calcul différentiel et intégral. C’est ainsi que, dans le paragraphe 8 d’Espace-Temps-Matière, en se plaçant dans le cadre classique de la géométrie euclidienne (ou, si on préfère, de sa géométrie affine sous-jacente), Weyl reconstruit les opérateurs différentiels les plus fréquents, utiles à l’expression infinitésimale des lois physiques6. Ces outils différentiels s’expriment tous dans le cadre de l’analyse tensorielle. Weyl part de l’opération différentielle de base, c’est-à-dire l’opérateur « dérivées partielles » applicable à un champ de tenseurs, obtenu par généralisation de la notion de gradient d’un champ de scalaires. À partir de cet opérateur élémentaire, Weyl reconstruit, sans prétendre à une quelconque exhaustivité, les opérateurs différentiels suivant : le rotationnel d’un champ de vecteurs7, le tenseur des déformations associé à un champ de vecteurs8, la divergence d’un champ de vecteurs9, sa version généralisée qui consiste à différentier puis à contracter un tenseur du second ordre par rapport à un seul de ces indices10, ou encore l’opérateur de « divergence cyclique11 » appliqué à un champ de tenseurs antisymétriques doublement covariants.

  • 12 La loi d’Ohm est l’expression des interactions entre les particules chargées en mouvement (par exem (...)
  • 13 Les deux exemples sur lesquels nous appuierons notre analyse sont repris de ibid., p. 55-57 pour le (...)

8Tous ces opérateurs différentiels sont les outils naturels pour l’expression des lois physiques infinitésimales qui sous-tendent les lois phénoménales approximativement vérifiées au sens du texte cité p. 298. L’exemple de la loi d’Ohm, pris par Weyl au paragraphe 11, est complexe à analyser en tant que cette loi, même sous sa forme différentielle, n’est pas une loi physique fondamentale. Elle est en effet l’expression d’un mode de rapport complexe entre les particules chargées libres qui composent le courant électrique et les composants matériels de l’élément conducteur12. Nous allons donc plutôt illustrer comment ces outils différentiels apportés par l’analyse tensorielle permettent de mettre en œuvre le passage à une physique des actions par contact, par deux autres exemples bien développés dans les paragraphes 8 et 9 d’Espace-Temps-Matière13.

9Commençons par l’exemple que Weyl développe explicitement comme une illustration de l’utilisation physique de l’analyse tensorielle. Il s’agit de la modélisation de l’équilibre des forces qui a lieu à l’intérieur d’un corps élastique en repos sous l’effet de deux types différents de force. On a d’un côté les forces extérieures, comme la gravitation, qui agissent sur chaque portion de volume du corps et, de l’autre côté, les forces internes de cohésion qui sont induites par la distorsion du corps élastique sous l’effet des premières forces. Contrairement aux premières qui s’expriment naturellement de manière immédiate comme des « forces volumiques », i. e. agissant sur des portions de volume du corps, les forces internes de cohésion sont dans un premier temps modélisées par des forces de surfaces (pression ou tension). On les appelle couramment en français les « contraintes » ou « efforts internes » au corps élastique.

10Imaginons une petite portion de volume qu’on abstrait du reste du corps élastique à l’équilibre. Cette portion de volume participant de l’état d’équilibre général du corps, la mécanique élémentaire nous apprend que la résultante des forces qui y sont appliquées est nulle. Ainsi les forces volumiques (gravitation) qui s’appliquent à ce petit élément de volume sont compenséespar les forces appliquées par le reste du corps élastique sur cette petite portion du corps qui en a été abstraite par la pensée. Or, ces dernières forces ne peuvent agir que par contact direct. Ainsi, elles seront modélisées naturellement par une force de surface (pression ou tension) agissant sur la surface extérieure de notre petite portion abstraite de la totalité du corps élastique. Par la pensée, on peut détacher du corps élastique initial des portions de volumes de plus en plus petits, et dont la surface extérieure admet une direction variable quelconque. C’est pourquoi les forces de cohésion seront finalement exprimées par la présence, en chaque point du corps élastique, d’une application qui associe à chaque direction possible d’un élément de surface (direction exprimée par le vecteur normal à la surface) la pression-tension appliquée à un tel élément de surface. Elle est exprimée elle aussi par un vecteur.

  • 14 Le vecteur contravariant (dΩk) qui représente l’élément de surface a comme direction la normale à l (...)

11Weyl considère alors une portion de volume ayant la forme d’un tétraèdre rectangle dont trois arêtes suivent les trois axes cartésiens de coordonnées. Un passage à la limite dans l’écriture de l’équilibre des forces appliquées à un tel tétraèdre de dimensions infinitésimales montre que l’application que nous venons de décrire est linéaire. Il s’agit donc d’un tenseur à deux indices qui s’écrira dans les coordonnées cartésiennes :Sik. La force de pression/tension appliquée à un élément de surface dΩk14 est alors donnée par le vecteur covariant Fi = SkidΩk.

12Le raisonnement de Weyl illustre ainsi comment l’exactitude dans l’expression physique de la loi est ici permise par le passage à l’infinitésimal. L’idée de départ qui dirige la modélisation du phénomène est simple : le corps est à l’équilibre sous l’effet croisé de forces extérieures dépendant du volume du corps et de forces internes s’exprimant par des tensions et des pressions s’exerçant sur les surfaces des éléments composants le corps. Ce n’est cependant que par un passage à la limite (en faisant tendre vers zéro le volume et la surface des éléments de corps élastiques considérés), que cette idée simple a pu trouver son expression mathématique exacte. L’expression locale infinitésimale du phénomène a « linéarisé le problème » en désignant comme grandeur fondamentale rendant compte du phénomène d’élasticité : un tenseur doublement covariant.

Une fois mis en évidence le tenseur d’élasticité Sik, le raisonnement de Weyl se poursuit ainsi. La force Image de tension/pression totale appliquée à élément de volume abstrait de notre corps élastique va être ob1tenue en intégrant Sik sur toute la surface de cet élément :

13Fi = ∫ Ski dΩk

14(le vecteur normal k balaie toute la surface).

  • 15 Pour ne pas partir dans des considérations topologiques, ici hors de propos, nous supposons implici (...)

Le théorème de Gauss permet de transformer cette intégrale de surface (qui est un « flux » à travers la surface extérieure de notre élément de volume15) en une intégrale de volume (sur tout le volume du corps) : Image

  • 16 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 56-57.

15On voit ici apparaître l’opérateur « divergence » d’un champ de tenseur doublement covariant vis-à-vis d’un de ces indices. La force de cohésion interne du corps élastique, d’abord exprimée par le biais d’une force de surface (contraintes), admet ainsi une expression sous la forme d’une force volumique. On se retrouve ainsi avec des expressions homogènes pour la force de cohésion et les forces externes (gravitation). L’écriture de la conservation du moment cinétique et un nouvel emploi du théorème de Gauss permettent alors à Weyl de démontrer le caractère symétrique du tenseur Sik, finissant de déterminer sa nature spatiale16.

16La fin de ce raisonnement correspond à ce que Weyl appelait, dans le texte cité p. 298, retrouver la loi intégrale à partir de son expression infinitésimale par un processus mathématique d’intégration. Ainsi, l’idée initiale, approximativement exprimée, était celle d’un équilibre au sein d’un corps élastique entre des forces de cohésion internes (contraintes) et des forces externes. Cette idée a trouvé son expression exacte à l’échelle infinitésimale, c’est-à-dire pour une « portion infinitésimale » d’un tel corps. Le raisonnement a en effet montré que le phénomène était correctement exprimé au niveau infinitésimal (local) par un tenseur (« tenseur d’élasticité ») symétrique à deux indices. L’idée de départ, qui concernait un corps élastique de dimension finie trouve alors son expression exacte par un processus mathématique d’intégration à partir de cette expression infinitésimale du phénomène. La loi de Gauss qui est intervenue ici est un de ces théorèmes classiques (avec celui qu’on nomme de nos jours « théorème de Grad-Ostrogradski ») qui jouent un rôle fondamental dans ce processus d’intégration dont parle Weyl, pour permettre le passage de la sphère infinitésimale à la sphère finie. Ces théorèmes lient entre eux les différents opérateurs différentiels classiques en transformant les unes en les autres les intégrales le long d’un chemin, d’une surface ou d’un volume.

17Passons au deuxième exemple amplement développé par Weyl. Il s’agit de la considération des expressions infinitésimales et intégrales des lois de l’électromagnétisme pour un système stationnaire.

On se place dans le cadre d’un système physique (ensemble de corps chargés) stationnaire ; c’est-à-dire que les caractéristiques physiques du système n’évoluent pas avec le temps. On déplace à l’intérieur de ce système une petite charge. Nous n’aurons pas à considérer ici la présence dans le système de courants électrique engendrant un champ magnétique. On reste ainsi dans le cadre de la première partie du paragraphe 9 d’Espace-Temps-Matière, c’est-à-dire dans un système électrostatique. On suppose que notre charge-test est suffisamment petite pour ne pas perturber l’équilibre du système. Si la charge du corps-test est notée « e », alors le corps-test subira en chaque point de son déplacement au sein du système physique considéré, une force électrique : Image,

Imageest un champ de vecteurs : l’intensité du champ électrique engendré par le système physique considéré (où la charge-test est exclue). Weyl rappelle la loi de Coulomb qui détermine l’intensité du champ électrique : Image

(l’intégration a lieu sur la totalité du volume de l’espace, p est la densité de charge électrique du système physique dans le volume élémentaire dV, Image est le vecteur qui joint le point où l’intensité du champ électrique est évaluée au point « courant » où est centré l’élément de volume dV, r est la norme de ce vecteur. Nous passons sur les unités choisies implicitement par Weyl).

  • 17 Ainsi lit-on dans Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 58-59 : « La loi de Cou (...)

18Cette loi de Coulomb est considérée à juste titre comme une loi intégrale qui exprime la force électrostatique comme une action à distance [Nahewirkung] en tant qu’elle relie l’intensité du champ électrique en un point de l’espace à la distribution des charges électriques du système dans l’espace entier17.

Weyl décrit sommairement le passage de cette loi intégrale aux lois différentielles correspondantes qui sont en fait deux des équations de Maxwell de l’électromagnétisme. C’est la forme particulière de la loi de Coulomb qui permet sa traduction immédiate sous forme différentielle. En effet, le champ électrique, Image de par la forme que lui donne la loi de Coulomb, dérive d’un potentiel ϕ (i.e. s’écrit Image désigne l’opérateur différentiel « gradient ») oùΦ est donné par : Image

19Le fait (1) que l’intensité du champ électrique dérive d’un potentiel et le fait (2) que ce potentiel prenne la forme de l’équation ci-dessus impliquent les lois différentielles suivantes :

Image

(où Image et div désignent respectivement les opérateurs différentiels « rotationnel » et « divergence »).

20Contrairement aux lois de Coulomb, ces lois différentielles n’ont plus du tout un caractère global :

  • 18 Ibid., p. 59.

[Contrairement à la loi de Coulomb], ces formules beaucoup plus simples expriment la loi d’une action par contact [Nahewirkungsgesetz] Étant donné que la connaissance des valeurs d’une fonction dans un voisinage arbitrairement petit autour d’un point est suffisant pour déterminer les dérivées partielles [littéralement : les quotients différentiels] de la fonction en ce point, [nos deux lois différentielles] relient les unes aux autres les valeurs de et de Image en un point et celles en son voisinage immédiat18.

On pourrait objecter à Weyl, pour plus de précision, que seule la seconde des deux lois différentielles exprime une dépendance locale entre le champ et les charges. En fait, la première loi ne dépend pas du tout des charges en présence mais est une « loi structurelle » donnant une propriété générale du champ Image.

21Pour comprendre ce qu’implique le passage à une physique des actions par contact, la remarque qui suit dans le texte d’Espace-Temps-Matière est plus importante :

  • 19 Ibid.

Nous devons considérer ces lois d’actions par contact comme la véritable expression de l’uniformité de l’action dans la nature, tandis que nous considérons [la loi de Coulomb] comme un simple résultat mathématique qui en dérive. À la lumière des lois exprimées [par les deux expressions différentielles ci-dessus] qui ont une signification intuitive si simple, nous pensons avoir compris l’origine de la loi de Coulomb. Ce faisant, nous nous inclinons face aux exigences de la théorie de la connaissance. Même Leibnizformulait le postulat de continuité, de l’action infinitésimale de proche en proche, comme un principe général, et ne pouvait pas pour cette raison adhérer à la loi de gravitation de Newton qui implique une action à distance et correspond tout à fait à celle de Coulomb19.

22À la suite de ce passage Weyl fait quelques remarques sur l’harmonie mathématique plus grande obtenue par l’adoption de ce point de vue infinitésimal (au sens des actions de proche en proche). Il insiste sur la simplicité mathématique des lois ainsi obtenues, et sur la simplicité intuitive de la façon dont on peut les interpréter physiquement. Le plus important pour comprendre le passage à une physique par contact nous semble cependant se trouver dans le passage que nous avons explicitement cité. Weyl nous y demande de n’accorder une valeur ontologique forte qu’aux lois infinitésimales (locales) comme celles de Maxwell, et non pas aux lois intégrales (globales) comme celles de Coulomb. Ces dernières ne sont que des conséquences mathématiques des premières qui, seules, ont un statut fondamental.

23Ce type de valeur ontologique privilégiée données aux lois locales se retrouve sous une autre forme deux pages plus loin. Weyl y suit un schéma inverse de celui que nous avions reproduit ci-dessus à propos des forces de cohésion dans un corps élastique au repos. En effet, il transforme l’expression de la densité de force électrostatique par unité de volume pour la remplacer par une formule mathématiquement équivalente qui remplace cette force « volumique » par des forces surfaciques de contraintes données par le tenseur symétrique Sik, qu’on pourrait appeler « tenseur de contraintes électrostatiques » :

Image

24C’est ici que Weyl renouvelle sa demande de de donner prioritairement une valeur fondamentale aux lois physiques locales :

  • 20 Weyl fait référence ici au fait que le tenseur des contraintes électrostatiques dépend uniquement d (...)
  • 21 Ibid., p. 61.

À chaque fois qu’une force Image peut être ramenée [par la formule Image à des contraintes S qui forment un tenseur symétrique du second ordre dépendant uniquement des valeurs des grandeurs physiques décrivant l’état physique au point en question20, nous devrons considérer ces contraintes comme les facteurs primaires et les actions des forces [seulement] comme leurs conséquences. La justification mathématique de ce point de vue est éclairée par le fait que la force Image résulte de la différentiation des contraintes. Comparées aux forces, les contraintes sont donc, pour ainsi dire, au niveau de différentiation immédiatement en dessous, et ne dépendent cependant pas de toute la série des valeurs traversées par les grandeurs physiques, comme ce serait le cas pour une intégrale quelconque, mais seulement des valeurs au point en question21.

25Ainsi, que ce soit pour la valorisation des équations de Maxwell au détriment de la loi de Coulomb, ou de la notion de contrainte (pression/tension) électrostatique au détriment de celle de densité volumique électrostatique, Weyl nous demande d’établir un ordre, quant au niveau de réalité physique correspondant aux lois et notions qui va en sens inverse de l’ordre gnoséologique/chronologique dans lequel ces notions ou lois ont été construites. Si les deux équations de Maxwell (pour l’électrostatique) ainsi que la notion du tenseur de contraintes électrostatiques sont apparues tardivement, par une construction mathématique partant de la loi de Coulomb et de la notion de densité volumique électrostatique, elles doivent cependant être considérées, du point de vue de la réalité physique, comme plus fondamentales.

  • 22 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 58.

26Cet engagement prioritaire quant à la valeur physique fondamentale des lois physiques différentielles locales, quel que soit le prestige de la tradition de pensée dans laquelle elle se situe (cf. l’appel à Leibniz), peut paraître en partie arbitraire, tant qu’on en reste au cadre stationnaire. Selon nous, la limitation au cas stationnaire est un choix de Weyl qui répond à de simples raisons didactiques de progressivité dans la complexité de son discours dans Espace-Temps-Matière. Tant qu’on en reste à l’électrostatique, ou au cas stationnaire en général (si on veut tenir compte aussi de la magnétostatique), la primauté donnée aux lois différentielles sur les lois intégrales semble sans grande conséquence dans la mesure où, pour ces cas particuliers, les deux points de vue sont mathématiquement équivalents. Par exemple, Weyl esquisse22 comment on peut retrouver le point de vue intégral des lois de Coulomb à partir des lois différentielles de Maxwell (pour l’électrostatique), pourvu qu’on pose la condition limite selon laquelle le champ électrostatique s’annule quand on s’éloigne infiniment de notre système physique.

  • 23 Pour l’introduction des potentiels retardés et l’intégration des équations de Maxwell dans le cas n (...)

27C’est dans le passage du cas stationnaire au cas dynamique le plus général, nous semble-t-il, que l’exigence de privilégier les lois différentielles locales acquiert tout son sens. En effet, dans un cas non statique, il devient problématique de vouloir caractériser les valeurs du champ électromagnétique en un point de l’espace, par le biais de la connaissance du système physique (densité de charges électriques ou plus généralement densités de courants électriques) en tous les points de l’espace. En effet, le caractère non stationnaire signifie précisément que la densité de courant électrique est susceptible d’évolution en chaque point de l’espace. On est alors amené à vouloir exprimer les valeurs du champ électromagnétique en un point et à un instant donné à partir de l’ensemble des valeurs du champ de densité du courant électrique au même instant. Une telle tentative est vouée à l’échec, suite à la prise de conscience, par le biais de la relativité restreinte, de l’inexistence d’une notion objective de simultanéité à une distance finie. La seule manière non locale, semblable à la loi de Coulomb, d’exprimer les lois de l’électromagnétisme sous forme intégrale consiste alors à introduire des « potentiels retardés » qui prennent en compte le temps de propagation de l’information lors d’un changement de configuration des charges en un point éloigné de celui où on veut caractériser le champ23.

  • 24 Dans le passage du cas stationnaire à l’électrodynamique générale, l’équation (...)
  • 25 Cf. la formule p. 305.

Ainsi, dans une configuration électromagnétique non statique, les lois intégrales perdent le caractère de simplicité qu’avait la loi de Coulomb. Seules les lois différentielles adaptées au cas non stationnaire24 (qui vérifient l’invariance de Lorentz) conservent la simplicité mathématique d’une loi fondamentale. Dans le cas non stationnaire, le champ Image n’apparaît plus comme un simple intermédiaire de calcul pour exprimer la loi intégrale comme dans l’expression de la loi de Coulomb25. Il prend alors un sens physique : il est l’expression mathématique du fait que les interactions électromagnétiques se propagent à vitesse finie. On imagine donc que le champ se trouve en chaque point de l’espace, même là où aucun « corps-test » n’a été placé. On atteint alors la notion physique de champ comme une entité s’étendant dans l’espace et qui est porteuse d’interactions dont les effets ne se propagent qu’à vitesse finie.

  • 26 La notion de champ est employée abondamment dans Espace- Temps-Matière. En revanche, le terme de «  (...)
  • 27 Ibid., p. 155, 196-197.

28Ainsi, dans le passage du cas stationnaire où la forme intégrale et la forme différentielle des lois physique se valent, au cas dynamique, le point de vue de la physique des actions par contact s’impose comme une théorie des champs [Feldtheorie]26 en raison du caractère fini de la vitesse de propagation de toute action. Bien entendu, cette transition à une physique du champ, achevée au xixe siècle pour le domaine de l’électromagnétisme, est ce qui se joue avec la théorie d’Einstein dans le domaine de la gravitation. Souscrivant à une idée répandue dans l’histoire de la notion de champ, Weyl voit dans le couplage entre l’idée d’une vitesse finie limite d’interaction, et l’abandon de l’hypothèse de l’éther suite aux expériences similaires à celles de Michelson et Morley27, la source de la notion physique fondamentale de champ comme une entité remplissant l’espace, ayant une dynamique indépendante de la matière, et soutenant la propagation des interactions. Dans cette histoire de la notion de champ, l’électromagnétisme tel que réécrit sous une forme locale par Maxwell, joue le rôle d’un cadre précurseur à cette idée de champ. C’est la théorie de la relativité restreinte qui donne à la notion du champ électromagnétique (comme indépendant de la matière, i. e. indépendant d’un hypothétique éther) le statut d’une entité fondamentale. Enfin, la théorie de la relativité générale tente d’étendre au domaine de la gravitation cette idée d’un champ porteur des interactions.

29Revenons alors à l’analogie de départ que posait Weyl entre le passage de la géométrie à distance à la géométrie par contact et le passage de la Fernwirkungsphysik à la Nahewirkungsphysik. Après avoir illustré sur l’exemple de la loi d’Ohm (cf. p. 298), le passage des lois physiques intégrales aux lois physiques locales, Weyl continue ainsi :

  • 28 Ibid., p. 81-82.

C’est exactement la même chose ici : le fait fondamental de la géométrie euclidienne est que le carré de la distance entre deux points est une forme quadratique des coordonnées relatives de ces deux points (Théorème de Pythagore). Mais si nous considérons cette loi comme strictement valide uniquement pour le cas où ces deux points sont infiniment proches, nous entrons dans le domaine de la géométrie riemannienne. Cela nous dispense en même temps de déterminer les coordonnées d’une manière plus précise puisque la loi de Pythagore, ainsi exprimée, est invariante pour des transformations arbitraires. Le passage d’une géométrie « à distance » [« Fern » -geometrie], celle d’Euclide, à une géométrie « par contact » [« Nahe » -Geometrie], celle de Riemann, correspond au passage d’une physique des actions à distance [Fernwirkungsphysik] à une physique des actions par contact [Nahewirkungsphysik]. La géométrie de Riemann est la géométrie euclidienne formulée de manière à remplir les réquisits de la continuité, et en vertu de cette formulation, elle possède un caractère beaucoup plus général28.

30Ainsi, il y a bien une analogie entre les deux mouvements, entre le passage de la physique à distance à la physique par contact, et le passage de la géométrie à distance à la géométrie par contact. Cependant ce sont bien deux moments distincts (« moments » étant à prendre dans un sens aussi bien chronologique que génétique) du développement du complexe géométrico-physique. En effet, le passage à une physique par contact tel que nous l’avons présenté avec Weyl dans les pages précédentes, par la naissance des outils différentiels de l’analyse tensorielle, et par le passage de Coulomb à Maxwell dans le domaine de l’électromagnétisme, est né dans un cadre géométrique qui restait celui de la géométrie euclidienne, intégrée au cadre de la physique classique (prérelativiste). Ainsi, l’ontologie du contenu de l’espace s’était enrichie. L’idée d’une matière substance, porteuse des propriétés physiques, a été peu à peu complétée par cette autre notion fondamentale qu’est la notion de champ. Mais la nature ontologique de l’espace lui-même, au sens de l’ensemble des relations métriques physiquement permises, restait inchangée. De la physique de Maxwell à la physique de la relativité restreinte, les structures de l’espace avaient toujours ce statut d’un cadre rigide posé a priori et s’étendant sur la totalité du cosmos, servant de support impassible aux événements physiques qui s’y jouent. C’est cette rigidité et cette impassibilité que Weyl illustre par l’image déjà entrevue plusieurs fois des alignements de casernes dans un camp militaire. C’est souvent Euclide dans les textes de Weyl qui est le porte-drapeau de cette vision rigide de l’espace. Sans doute, le caractère « mathématique » de l’espace que Newton appelle de ses vœux dans ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle est un signe fort de l’ancrage de cette vision rigide de l’espace dans la physique classique (à laquelle la théorie de la relativité restreinte n’échappe pas).

31Opérer la transition de la géométrie à distance à la géométrie par contact signifie accomplir pour les structures (métriques) de l’espace lui-même, ce qu’avait accompli Maxwell pour un domaine du contenu de l’espace (l’électromagnétisme).

32On peut lire cette analogie selon deux niveaux de compréhension.

33D’abord, on peut s’en tenir au fait que les lois de Coulomb pour l’électrostatique n’ont pu trouver leur véritable place dans le corps de la physique qu’en se métamorphosant en les équations de Maxwell, pour ne concerner plus que le domaine local des relations infinitésimales. Alors, de même, la « loi de Pythagore », c’est-à-dire le fait que la forme des relations métriques possibles dans l’espace soit capturée par une forme quadratique, doit changer de statut et ne concerner plus que le domaine local des relations infinitésimales. Cette première lecture de l’analogie correspond au passage à une géométrie infinitésimale telle que nous l’avons présenté dans notre paragraphe IV. 3.

34Ensuite, on peut lire l’analogie proposée par Weyl à la lumière de la relativité générale qui va prendre en charge la manière dont les relations métriques à distance sont construites par un phénomène d’intégration à partir des lois métriques locales. Pour avoir une lecture forte de cette analogie, il ne faut pas prendre pour terme homologue des équations de Maxwell (lois locales de l’électromagnétisme) uniquement la « loi de Pythagore elle-même », mais bien plutôt les équations d’Einstein (lois locales de la gravitation). En effet, les équations d’Einstein vont jouer pour la gravitation le même rôle que les équations de Maxwell dans le domaine de l’électromagnétisme. De même que les équations de Maxwell reliaient la variation locale du champ électromagnétique à la présence de courant électrique, les équations d’Einstein relient la variation locale du champ gravitationnel à la présence d’une masse en mouvement (énergie-impulsion).

35Einstein identifie la gravitation avec les propriétés inertielles qui se traduisent par une modification de la métrique. C’est pourquoi les équations d’Einstein sont les lois différentielles qui expriment comment se connecte une structure métrique locale à ses voisines en fonction du contenu de l’espace-temps en terme d’énergie-impulsion au point considéré. La structure métrique de l’espace-temps dès qu’on sort de la sphère strictement infinitésimale, devient donc un champ gμν ayant un statut physique au même titre que le champ électromagnétique. La loi de la gravitation de Newton découle en première approximation (pour un corps-test se déplaçant à une vitesse réduite, dans un champ de gravitation faible) des équations d’Einstein pour un système physique gravitationnel stationnaire. L’écart existant cependant entre, d’une part, la dynamique d’un corps-test placé dans un espace-temps solution des équations d’Einstein pour un seul corps ponctuel sans rotation (solution de Schwarzschild) et, d’autre part, la dynamique d’un corps-test placé dans un champ de gravitation newtonien engendré par une masse ponctuelle, suffit à rendre compte de l’avancée du périhélie de la planète Mercure.

36Quand on passe au cas non stationnaire, il faut alors tenir compte de la propagation à vitesse finie des interactions gravitationnelles tout comme nous l’avons fait pour les interactions électromagnétiques dans le passage à l’électrodynamique. Le champ gμν devient un authentique champ dynamique dont les propriétés structurelles fluctuent au grès de l’évolution de la distribution de la matière, toute modification de la distribution de la matière engendrant une déformation de la métrique qui se déplace à vitesse finie (par exemple, sous forme d’ondes gravitationnelles).

37Finalement, la transition à une géométrie par contact, sur le plan physique, signifie qu’on a donné aux relations métriques gμν elles-mêmes le statut d’un champ physique dynamique, au même titre que le champ électromagnétique qui contribue à caractériser le contenu de l’espace. Selon un schéma semblable à celui que nous avions vu dans le chapitre III à propos du passage d’Espace-Temps-Matière sur l’argument de la boule d’argile, Weyl associe étroitement les deux interprétations que nous venons de présenter quant à l’analogie entre la physique par contact et la géométrie par contact. La première interprétation de l’analogie donne un sens purement mathématique à la géométrie par contact. Alors, celle-ci est devenue « locale » au sens tout simplement où elle ne pose comme point de départ que la structure infinitésimale (loi de Pythagore), les relations à distance finie devant être obtenue par intégration. Mais, comme l’avait montré Riemann, la façon dont cette intégration s’opère n’est pas déterminable par la raison pure. Le recours à la physique est indispensable. Cela nous a donc conduits à la seconde interprétation de l’analogie qui donne à la notion de géométrie par contact un sens physique. Selon cette seconde interprétation, la géométrie devient « géométrie par contact » sitôt qu’elle ne pose comme point de départ que la façon dont les propriétés structurelles locales de la métrique sont dépendantes du contenu de physique de l’espace-temps au point considéré. Ces lois différentielles de la gravitation sont les équations d’Einstein qui, comme les équations de Maxwell, sont des équations différentielles. Les propriétés métriques sur une portion finie d’espace-temps doivent alors être obtenues par une intégration qui tient compte du caractère généralement hétérogène et dynamique de la distribution de l’énergie-impulsion dans l’espace-temps.

38Ainsi, la géométrie par contact apparait de ce point de vue comme une seconde étape. Elle consiste à compléter le passage à la physique par contact en traitant la métrique de l’espace comme avait été traité le contenu de l’espace dans l’étape précédente. Cela s’accompagnera d’une nouvelle mutation des outils de la géométrie. La physique par contact avait pu s’exprimer par la naissance et le développement des opérateurs différentiels (dérivées partielles, gradient, divergence, rotationnel). La géométrie par contact va poursuivre la mutation des outils différentiels en tenant désormais compte du fait que ces outils ne peuvent plus s’appuyer sur une structure métrique immuable (celle de l’espace euclidien) mais doivent s’exprimer dans le cadre d’un espace lui-même défini de manière infinitésimale. L’ancien opérateur différentiel primitif, l’opérateur dérivées partielles sur un espace euclidien, doit être remplacé par l’opérateur dérivées covariantes sur une variété pseudo-riemannienne (voire un espace de Weyl). Il faut donc tenir compte de la courbure de l’espace-temps (ou de la nature dynamique de l’espace si on préfère s’exprimer ainsi). Les autres opérateurs différentiels mutent corrélativement pour prendre un caractère covariant, en s’appuyant sur les valeurs locales de la connexion. Les anciens opérateurs différentiels, qui décrivaient le comportement local d’un champ lui-même défini sur un espace aux propriétés non locales, sont remplacés par les nouveaux opérateurs qui décrivent les comportements locaux de champs eux-mêmes définis sur une variété riemannienne, c’est-à-dire sur un espace qui a un caractère tout aussi dynamique que son contenu.

39Il faut, pour poursuivre l’analogie, se demander quel est le mouvement d’intégration (au sens mathématique du terme) qui va permettre de connaître les relations métriques à distance finie à partir des relations infinitésimales, tout comme les lois physiques non locales ont pu être reconstruites par intégration à partir des lois locales. Nous avons vu que les lois simples de Coulomb n’étaient retrouvées par intégration que dans le cas limite d’un système physique stationnaire ou tous les paramètres physiques sont fixés pour tous les temps. Le cas général devenait plus complexe en raison de la dynamique à propagation finie des interactions. De même, la loi d’Ohm intégrale n’était retrouvée à partir de la loi intégrale qu’à condition que l’on soit « sous l’hypothèse de conditions partout homogènes ».

40De même, les « lois » de la géométrie à distance ne pourront être retrouvées à partir des « lois » de la géométrie par contact, que dans le cas particulier « partout homogène » où la courbure s’annule uniformément. Mais les relations spatiales à distance finie, dans le cas le plus général, ne peuvent faire l’économie de l’intégration des petits écarts infinitésimaux que l’on rencontre en chaque point de l’espace, du fait de la courbure.

3. 2. Vers un monisme ontologique des champs et une géométrisation de la physique

41Nous allons terminer ce travail en disant quelques mots sur les nouvelles théories physiques qui apparaissent dans Espace-Temps-Matière en se greffant sur le programme de la géométrie par contact. Ces théories évoluent parallèlement à la conception de la matière par Weyl avant d’être progressivement abandonnées. Le traitement rigoureux et détaillé de ces théories demanderait que nous développions le problème de la matière, le second grand problème qui guide Weyl dans Espace-Temps-Matière après le problème de l’espace. Étant donné la problématique que nous avons choisie, nous avons mis de côté ce deuxième problème qui mériterait un travail conséquent à lui tout seul. Le fait même que ces théories physiques aient été abandonnées par Weyl, a contrario de sa conception de l’espace (-temps), est une preuve de la relative indépendance des deux problèmes. Étant donné la façon dont ces thèses physiques avortées s’harmonisent parfaitement avec les thèses de la géométrie par contact (sans toutefois en découler nécessairement), nous nous devions d’en esquisser tout de même les grandes lignes et de renvoyer à la littérature pour leur traitement détaillé.

42La première hypothèse physique nouvelle à apparaître dans Espace-Temps-Matière est celle de l’unification géométrique du champ électromagnétique avec le champ gravitationnel. Conformément à ce que nous avons annoncé dans notre présentation du volet physique de la géométrie par contact, Weyl a voulu unifier d’une manière plus harmonieuse que ne l’avait fait Einstein les lois de l’électromagnétisme avec celles de la gravitation. Pour cela, il propose une théorie où les deux types d’interactions sont de nature géométrique, alors que seule la gravitation l’était dans la théorie de la relativité générale.

43Détaillons ce que cela signifie. En relativité générale, les phénomènes gravitationnels se laissent complètement exprimer par la façon dont le champ métrique est déterminé par la matière (équations d’Einstein) ; une fois posé l’hypothèse fondamentale selon laquelle les corps graves suivent les géodésiques de l’espace-temps. Ainsi, en tant que les phénomènes gravitationnels se manifestent par la seule courbure de la métrique spatio-temporelle, on peut affirmer qu’ils sont de nature géométrique, en donnant à ce terme le sens de la géométrie physique comme étude de l’objet physique : champ métrique dynamique. Ainsi se trouvent identifiées géométrie physique et théorie de la gravitation. Si on laisse de côté la physique des particules, alors l’autre grand domaine de la physique de l’époque, l’électromagnétisme, ne trouve pas sa place dans la théorie d’Einstein de la même façon. Les phénomènes électromagnétiques ne s’y manifestent pas comme une interaction entre la matière et le champ métrique mais plutôt par le biais d’une force (la force électromagnétique) qui dévie les éléments de matière électriquement chargés de leurs « trajectoires naturelles » que sont les géodésiques spatio-temporelles. Ces géodésiques sont les trajectoires qu’auraient ces corps s’ils étaient dépourvus de charge.

44Ainsi, dans la théorie d’Einstein, quelque chose subsiste de l’idée classique de l’« inertie » dans le sens d’un mouvement naturel susceptible d’être perturbé par l’intervention d’une force. Dans la physique newtonienne, on distingue en effet les mouvements inertiels des mouvements influencés par une force. Les mouvements inertiels sont ceux des corps isolés, sur lesquels les autres corps n’ont d’influence. Ces corps suivent alors une trajectoire rectiligne uniforme par rapport à l’espace et au temps absolus newtoniens (1re loi de Newton). Par opposition, les corps soumis à une force, que cette force soit de nature gravitationnelle ou autre, ont un mouvement accéléré vis-à-vis de l’espace newtonien (2e loi de Newton). Dans la théorie d’Einstein, on ne peut penser un corps soumis à aucune influence. Ce sont les mouvements des corps soumis à la seule influence gravitationnelle, exprimée par l’intermédiaire du champ métrique, qui jouent le rôle d’un mouvement « naturel » ou « inertiel ». Par opposition, un corps soumis à une autre force que la force gravitationnelle (et seule la force électromagnétique pouvait clairement prétendre à cette époque être une force fondamentale différente de la gravitation) a un mouvement accéléré vis-à-vis du champ métrique local. C’est-à-dire que son mouvement dévie par rapport aux géodésiques spatio-temporelles.

C’est à cette asymétrie dans la théorie d’Einstein entre phénomènes gravitationnels et phénomènes électromagnétiques que la tentative d’unification géométrique des champs de Weyl tente de mettre fin. L’espoir d’une telle géométrisation naît très rapidement après que Weyl est parvenu à l’élaboration de sa géométrie infinitésimale pure. Il remarque en effet que le nouvel objet géométrique apparaissant dans un espace de Weyl, la connexion métrique, possède certaines propriétés formelles du 4-potentiel électromagnétique. Tous les deux en effet sont des formes linéaires. De plus, le tenseur de courbure métrique fik dérive de la connexion métriqueφi par l’opérateur « rotationnel » : Image

de la même manière que le tenseur électromagnétique Fik dérive du quadripotentiel électromagnétique Ai : Image

  • 29 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 242-253.
  • 30 WeylHermann«Gravitation UndElektrizität» In Sitzungsherichte Des KôniglichenPreubishcenAkademie De (...)

45Weyl développe alors une théorie29 physique qui généralise celle d’Einstein. Il s’agit de remplacer le cadre d’un espace de Riemann, sous-jacent à la théorie d’Einstein, par un espace de Weyl. La forme quadratique [gμν] (considérée à une recalibration près) joue alors le rôle du potentiel gravitationnel, comme dans la théorie d’Einstein, tandis que la connexion métrique φi joue le rôle du quadripotentiel électrostatique. La théorie de Weyl donne les mêmes lois du mouvement que celle de Maxwell dans une situation où il n’y a pas de gravité (espace plat), mais elle donne par contre des lois qui ne sont qu’approximativement celles d’Einstein lorsqu’on fait circuler des particules non chargées30. On voit ainsi que les deux théories diffèrent du point de vue des prédictions.

  • 31 WeylHermann ,Raum-Zeit-Materie , 3eédition , op . cit .,p. 175-184.

46La deuxième innovation physique dans Espace-Temps-Matière est la façon dont Weyl poursuit le programme de Mie de réduction de la matière aux champs31. Il s’agit d’ôter à la matière son statut d’entité fondamentale et de la réduire à un épiphénomène du champ. Si une telle réduction réussissait, l’ontologie dualiste matière/champ, qui s’était imposée depuis l’avènement de l’électromagnétisme, serait remplacée au profit d’un nouveau monisme ontologique du champ. La difficulté principale de cette réduction consiste en l’explication de la nature granulaire de la matière. Il faudrait pouvoir ramener la notion discrète de particule à la notion continue d’une région de l’espace-temps où la concentration en énergie est importante de même que la densité de charge (typiquement : un électron), et de telle sorte que ce point de concentration soit (au moins statistiquement) stable. Les lois de l’électromagnétisme telles qu’elles apparaissent dans les travaux de Maxwell ne peuvent expliquer la stabilité d’un tel grain de concentration d’énergie. Mie avait tenté de résoudre le problème en modifiant les lois de l’électromagnétisme par un changement qui n’affecte les phénomènes que sur de petites distances de l’ordre de la taille des particules. C’est ce programme que reprend Weyl pour l’adapter au nouveau cadre qui est apparu en relativité générale. Si un tel programme réussissait, de manière combinée avec l’unification géométrique de l’électromagnétique et de la gravitation, on parviendrait ainsi à réduire toute la physique au niveau fondamental à la description de la dynamique d’un champ métrique (au sens d’un espace de Weyl).

  • 32 SierokaNorman , « Weyl 's “Agens Theory ” of Matter and theZurich Fichte », in Studies in History a (...)

47Les deux innovations physiques que nous venons de présenter successivement sont toutes les deux abandonnées progressivement à partir de la 4e édition d’Espace-Temps-Matière. En raison du caractère secondaire, pour nous, du problème de la matière, nous ne proposons pas de nouvelle interprétation des raisons pour lesquelles Weyl a abandonné ces thèses. Nous synthétisons seulement ce que nous avons trouvé dans la littérature secondaire. D’abord, concernant la réduction de la matière à la notion de champ, Weyl ne parvenait pas à expliquer de manière entièrement satisfaisante la nature granulaire de la matière, malgré l’avancée permise dans cette direction par la théorie de Mie par rapport à celle de Maxwell. Le doute a alors germé dans l’esprit de Weyl sur la possibilité d’une telle réduction. D’autre part, Sieroka32montre comment le dualisme champ/matière convenait de mieux en mieux à Weyl alors qu’il développait sa théorie de la matière-agent, pour des raisons qui semblent déborder les considérations purement physiques. La multiplication des découvertes concernant le comportement quantique de la matière, et enfin l’avènement de la mécanique quantique comme une théorie achevée et reconnue dans les années 1925, n’ont fait qu’entériner définitivement le basculement déjà commencé par Weyl d’une théorie de la matière comme notion dérivée du champ, à une notion de matière primitive et indépendante.

  • 33 Cf. notamment les échanges entre Einstein et Weyl publiés à la suite de Weyl Hermann, « Gravitation (...)

48Concernant le programme d’unification géométrique de l’électromagnétisme avec la gravitation par le biais d’un espace de Weyl, il faut savoir qu’il avait été très mal reçu par Einstein. Ce dernier reprochait à Weyl l’aspect trop spéculatif de sa démarche, et pensait que l’expérience pouvait réfuter immédiatement la théorie de Weyl. Ce dernier répliquait en refusant l’interprétation d’Einstein, jugée simpliste, de la façon dont on doit théoriser le comportement des horloges et des règles dans un espace de Weyl. La polémique qui a suivi n’a abouti qu’à une immobilisation des deux partis33. Peut-être Weyl n’a-t-il alors jamais vraiment abandonné son hypothèse. Se trouvant isolé pour en tester la validité, et étant plutôt intéressé par le problème de la matière, il aurait semble-t-il délaissé petit à sa théorie quand il fut convaincu qu’elle ne pouvait plus servir à résoudre le problème de la réduction de la matière au champ. Ainsi, les abandons des deux nouvelles théories physiques seraient peut-être liés entre eux. La notion d’espace de Weyl a par ailleurs trouvé une application beaucoup plus convaincante par la suite, en mécanique quantique. Weyl s’est alors consacré à cette application prioritairement. Nous renvoyons le lecteur à la littérature pour un véritable développement de ce problème.

Notes

1 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 81.

2 Cf. I.3.2 . p. 86-88.

3 Ibid., p. 81.

4 Ibid., p. 82.

5 Weyl ne donne pas ici la formule explicitement sous forme symboliquemais la décrit par une phrase . Il s'agit bien sûr de la formule que nous écrivons de nos jours :
U = R*I.
U différence de potentiel en Volt, I intensité électrique en Ampère, Rrésistance du conducteur en Ohm.

6 Ibid., p. 51-54.

7 Ibid., p. 53. À un champ de covecteurs ui(x), on associe le tenseur antisymétrique à deux indices : Image
qui est interprété dans l’analyse vectorielle usuelle comme le rotationnel [Rotation].

8 Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 54. À un champ de vecteursui (x), on associe le tenseur symétrique à deux indices : Image
qui est interprété comme tenseur des déformations [Verzerrungstensor] quand le champ u i est interprété comme le champ des vitesses instantanées de la matière répartie continûment dans l’espace. Celle-ci se comporte localement en un point P comme un corps rigide si le tenseur s’y annule.

9 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires : Image, où on a sous-entendu la sommation sur les indices. Plus généralement, à un (champ de) tenseur (s) du deuxième ordre ayant les composantes mixtes Sik, on peut associer le champ de vecteurs : Image
Enfin, à un champ vik de tenseurs du deuxième antisymétriques, on peut associer la divergence cyclique (le terme n’est pas de Weyl) : Image

10 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires : Image
,où on a sous-entendu la sommation sur les indices. Plus généralement, à un (champ de) tenseur (s) du deuxième ordre ayant les composantes mixtes Sik, on peut associer le champ de vecteurs : Image
Enfin, à un champ vik de tenseurs du deuxième antisymétriques, on peut associer la divergence cyclique (le terme n’est pas de Weyl) : Image

11 Ibid., p. 54. À un champ de vecteurs ui (x), on associe sa divergence qui est le champ de scalaires : Image, où on a sous-entendu la sommation sur les indices. Plus généralement, à un (champ de) tenseur (s) du deuxième ordre ayant les composantes mixtes Sik, on peut associer le champ de vecteurs : Image
Enfin, à un champ vik de tenseurs du deuxième antisymétriques, on peut associer la divergence cyclique (le terme n’est pas de Weyl) : Image

12 La loi d’Ohm est l’expression des interactions entre les particules chargées en mouvement (par exemple, les électrons libres) et la matière du conducteur (par exemple, le fil de cuivre) servant de support au courant électrique. Ce n’est qu’une loi approximativement vérifiée quand on modélise la « résistance » opposée par le conducteur à l’accélération des particules libres, par l’existence d’une vitesse maximale atteinte par les particules chargées, de la même manière qu’un corps tombant en chute libre dans l’atmosphère n’accélère pas indéfiniment mais atteint une vitesse maximale, suite aux frottements de l’air. Ainsi, en tant qu’ils font intervenir la configuration fine de la matière, les phénomènes de la conductivité électrique ne sauraient être exprimés exactement dans la sphère de l’infiniment petit dans toute leur complexité par la simple loi d’Ohm. Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 68.

13 Les deux exemples sur lesquels nous appuierons notre analyse sont repris de ibid., p. 55-57 pour le tenseur des contraintes d’un corps élastique, et de ibid., p. 57-68. pour le passage de la loi intégrale de Coulomb aux lois différentielles de Maxwell dans l’analyse du champ électrique dans le cas stationnaire.

14 Le vecteur contravariant (dΩk) qui représente l’élément de surface a comme direction la normale à la surface, et comme norme l’aire (infinitésimale) de l’élément de surface. Il est orienté vers l’extérieur de la surface (à considérer que l’élément de surface considéré sert à composer la surface orientable extérieure d’un élément de volume prélevé sur le corps élastique).

15 Pour ne pas partir dans des considérations topologiques, ici hors de propos, nous supposons implicitement comme Weyl que l’élément de volume considéré est « sans trou », i. e. simplement connexe, et que sa surface (extérieure) est orientable.

16 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 56-57.

17 Ainsi lit-on dans Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 58-59 : « La loi de Coulomb est la loi d’une action à distance. [Fernwirkungsgesetz]. L’intensité du champ en un point y est exprimée d’une façon dépendante de toutes les charges en tous les autres points, proches ou éloignés, de l’espace. »

18 Ibid., p. 59.

19 Ibid.

20 Weyl fait référence ici au fait que le tenseur des contraintes électrostatiques dépend uniquement de la valeur du champ Image au point considéré et non pas de ses dérivées ou de la charge ? (qui peut être considérée comme une forme de dérivée du champ dans la mesure où elle est égale à la divergence de Image).

21 Ibid., p. 61.

22 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 58.

23 Pour l’introduction des potentiels retardés et l’intégration des équations de Maxwell dans le cas non stationnaire, nous nous référons à ibid. p. 137-138.

24 Dans le passage du cas stationnaire à l’électrodynamique générale, l’équation Image vue ci-dessus doit être remplacée par : Image, ce qui rend compte des phénomènes d’induction électromagnétique. Deux autres lois viennent s’ajouter pour rendre compte du magnétisme. La présentation des quatre lois de Maxwell par Weyl est tout à fait moderne, semblable à celle qu’on connaît de nos jours. Ibid., p. 135-136.

25 Cf. la formule p. 305.

26 La notion de champ est employée abondamment dans Espace- Temps-Matière. En revanche, le terme de « théorie des champs » [Feldtheorie] n’apparait qu’une seule fois : ibid., p. 172, dans un sens plus radical que celui que nous avons employé ici. En effet, Weyl l’emploie alors dans le sens d’une théorie physique où la notion de matière cesse d’être fondamentale, le phénomène de la matière étant dérivé de celui du champ, seule entité fondamentale. Une telle théorie physique est donc un monisme ontologique (cf. plus bas en IV. 3. 2).

27 Ibid., p. 155, 196-197.

28 Ibid., p. 81-82.

29 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 242-253.

30 WeylHermann«Gravitation UndElektrizität» In Sitzungsherichte Des KôniglichenPreubishcenAkademie Des WissenchaftenZu Berlin, 1918, P.465-480.

31 WeylHermann ,Raum-Zeit-Materie , 3eédition , op . cit .,p. 175-184.

32 SierokaNorman , « Weyl 's “Agens Theory ” of Matter and theZurich Fichte », in Studies in History and Philosophy of Science , n° 38( 1 ), 2007 , p. 84-107 .

33 Cf. notamment les échanges entre Einstein et Weyl publiés à la suite de Weyl Hermann, « Gravitation undElektrizität », op. cit., in Weyl Hermann,GesammelteAbhandlungen, Berlin, Springer-Verlag, 1968, p. 40-42.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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