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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre IV. Rapports entre ces deux aspects de la spatialité : l'idéalisme dans l'infinitésimal

2. La reconstruction de la géométrie selon le programme de la géométrie par contact

Texte intégral

2. 1. L’ARCHITECTURE MATHÉMATIQUE GÉNÉRALE D’UNE GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

1Les idées 1) d’espaces infinitésimaux similaires, 2) de connexion, et 3) de changements infinitésimaux d’orientation, que nous avons évoquées dans notre description générale de la géométrie par contact trouvent une expression mathématique tout à fait précise.

  • 1 Ces éléments varieront bien sûr en fonction de la strate considérée. Pour la strate affine, ces élé (...)

2D’abord, que ce soit dans la strate affine ou métrique, les structures locales reliées à chaque point sont isomorphes. C’est cet isomorphisme qui donne un sens mathématique précis à la similarité de tous les espaces infinitésimaux. Bien qu’ils soient isomorphes, ces espaces sont par eux-mêmes sans liens les uns aux autres. Si on en reste seulement à ces espaces, on est dans une position mathématique correspondant au « solipsisme » dont nous avons parlé plus haut. C’est une connexion sur notre espace qui va lier entre eux ces espaces infinitésimaux. La donnée d’une connexion sur l’espace signifie qu’on sait comment « transporter » les éléments1 d’un espace infinitésimal associé à un point P vers les éléments associés à l’espace infinitésimal d’un point P’infiniment proche. La connexion s’exprime par le choix d’un isomorphisme qui va de l’espace infinitésimal associé au point P vers celui associé à P’. L’image par l’isomorphisme sélectionné d’un élément de l’espace en P, est un élément de l’espace en P’que l’on considérera comme étant en fait le « même élément », déplacé du point P vers le point P’.

3À partir de cette connexion qui n’est définie immédiatement et univoquement que pour deux points infiniment proches, on relie deux points P et P’à distance finie par intégration successive des connexions infinitésimales sur un chemin joignant P à P’. Le lien ainsi établi à distance finie est en général non grable intégrable, c’est-à-dire dépendant du chemin choisi. Si bien que, dans une géométrie par contact, il n’y a pas une isomorphie univoquement déterminée entre deux espaces infinité si maux finiment éloignés, qui nous dise comment on déplace les éléments d’un espace à l’autre.

4Enfin, il s’agit de voir comment exprimer le principe de continuité, qui stipule que l’« orientation » respective des espaces infinitésimaux et les mesures de longueurs effectuées dans des espaces infinitésimaux voisins, ne doivent pas brusquement changer. On pose qu’on peut, pour un point P quelconque, trouver un système de coordonnées tel que le transport des éléments infinitésimaux (vecteurs, longueurs) du point P vers les points P’infiniment proches s’exprimera simplement en laissant invariante, d’un point à un autre, la représentation numérique de ces éléments.

5Toutes ces considérations vont prendre un sens plus concret et précis quand nous parcourrons ci-dessous l’une après l’autre chacune des strates. Avant de procéder à un tel parcours, il faut rappeler que la notion mathématique de connexion n’est pas une invention de Weyl. La première forme de connexion à naître dans la communauté mathématique est née dans le cadre des espaces de Riemann. Weyl reconnaît pour les principaux continuateurs de la pensée de Riemann : Christoffel, Ricci, et Levi- Civita. Ce sont eux qui ont progressivement mis en place la première notion de connexion.

6Reconstruisons brièvement cette idée d’une connexion dans un espace de Riemann dans un vocabulaire un peu plus moderne, en montrant comment les concepts se sont mis progressivement en place. Seulement ensuite, nous aborderons la géométrie infinitésimale de Weyl. Notre exposition n’a pas pour but d’introduire à la notion de connexion, et nécessite donc une certaine familiarité avec ces concepts.

2. 2. À MI-CHEMIN DE LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT, CHRISTOFFEL ET LEVI-CIVITA

  • 2 On note V la variété sous-jacente à l’espace de Riemann et g (x) la forme quadratique différentiell (...)

7Un espace de Riemann (V, g (P))2 est localement assimilable à un espace euclidien au sens où chaque espace tangent T P en un point P de notre variété est muni d’une forme quadratique différentielle de coefficients guv(P).

8Une des hypothèses de base d’un espace de Riemann consiste à supposer que les éléments linéaires ont une certaine longueur qui possède un sens indifféremment du point où cet élément linéaire est défini. Ainsi, cela a un sens, dans un espace de Riemann, de comparer la longueur de deux éléments linéaires définis en des points finiment éloignés. Nous n’avons ainsi pas à définir de notion de « transport infinitésimal » de la longueur. Dans un espace de Riemann, la strate métrique n’est pas construite selon le programme de la géométrie par contact.

  • 3 Weyl n’utilise pas explicitement la notion d’espace tangent dans Espace-Temps-Matière mais plutôt d (...)
  • 4 La mesure de courbure en un point P d’une surface est en effet définie dans Gauss Carl Friedrich, R (...)

9Contrairement à la notion de distance, la comparaison des directions (vecteurs) n’a pas de sens immédiat à distance finie dans un espace de Riemann. Les éléments linéaires attachés à des points différents P et P’de la variété sont en eux-mêmes incommensurables. On peut exprimer cette incommensurabilité en disant que ces éléments linéaires vivent dans des espaces différents : les espaces tangents associés respectivement aux points P et P’3. La variabilité des coefficients guv sur notre espace a rapport avec un changement progressif dans l’orientation des espaces tangents. On peut le visualiser facilement dans le cas particulier des surfaces courbes plongées dans un espace ambiant euclidien, le cas ancestral de toute la géométrie différentielle. On voit alors clairement que les espaces affines tangents, cette fois compris comme des sous-espaces affines de l’espace ambiant, changent infinitésimalement d’orientation dans le passage d’un point à un autre de la variété. C’était au cour du travail de Gauss puisque sa notion de mesure de courbure en un point P d’une surface était définie initialement, de façon extrinsèque, comme suit. C’était une sorte de mesure de la vitesse angulaire avec laquelle les espaces tangents divergent les uns des autres, quand on s’écarte du point P4.

10Il n’y a cependant chez Gauss, ni à notre connaissance chez Riemann, aucune trace d’une tentative d’exprimer comment on peut comparer de manière sensée deux vecteurs définis en deux points différents d’un même espace de Riemann. La première tentative se trouvera chez Ricci et Levi-Civita, et refera surgir un objet différentiel apparu chez Christoffel. Ce dernier cherchait des conditions nécessaires et suffisantes pour identifier deux fonctions x guv (x) et x’→guv (x’) définies sur une variété de dimension n, comme étant les expressions d’une seule et même forme quadratique écrite dans deux systèmes de coordonnées différents. Christoffel cherche à caractériser le changement de coordonnées qui transformerait une expression en une autre. Il montre alors que les dérivées partielles secondes de x’par rapport x (x et x’ étant maintenant interprétés comme deux systèmes de coordonnées dont on cherche à exprimer les relations) doivent vérifier les relations qu’on écrit aujourd’hui :

Image

où les Image (i, j, k variant de 1 à n) sont n3 coefficients qu’il introduit et qui s’expriment par les formules (transcrites en notation moderne) :

Image

11Au cours de son travail, Christoffel démontre qu’avec ces coefficients, on peut former un objet, qu’on appelle aujourd’hui le tenseur de courbure de Riemann noté Rabcd, par la formule classique notée aujourd’hui:

Image

  • 5 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen (...)

12Cet objet, dont Christoffel décrit dans son langage la nature tensorielle, contient le même type d’information que les courbures sectionnelles qu’avaient introduites Riemann5 pour généraliser la courbure intrinsèque de Gauss aux espaces n-dimensionnels.

  • 6 Par exemple, lors d’un changement de coordonnées (xx’), les dérivées partielles (...)

Christoffel montre aussi qu’en ajoutant aux dérivées partielles d’un (champ de) tenseur (s) certains termes faisant intervenir les coefficients « Image » on obtient des expressions qui se comportent vis-à-vis des coordonnées comme les composantes d’un nouveau tenseur. Il s’agit de ce qu’on identifie aujourd’hui comme la dérivée covariante du champ de tenseurs initial. Ce pas est important car les dérivées partielles d’un champ de tenseur ne formaient pas un objet ayant des propriétés de variation acceptables lors d’un changement de coordonnées6, sauf pour le cas limite d’un champ de scalaires. Ces dérivées partielles modifiées par un facteur faisant intervenir les Image fournissent un premier objet géométrique représentant naturellement la variation de la valeur d’un champ de tenseurs lors du passage d’un point de la variété à un autre. C’est donc un pas important vers la notion de connexion.

13Cependant, Christoffel n’étudie pas de manière générale cette « dérivation covariante » pour tous les champs de tenseurs. Il n’en étudie que des cas particuliers, notamment le tenseur métrique lui-même dont la dérivée covariante s’avère nulle, et le tenseur de Riemann et ses dérivées covariantes successives. Ces « dérivées covariantes » particulières n’apparaissent dans le travail de Christoffel que comme des intermédiaires pour parvenir à répondre à sa question initiale.

  • 7 Ricci Gregorio et Levi-Civita Tullio, « Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applicatio (...)

14C’est dans les travaux de Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita, notamment dans leur fameux article de 19007, que la notion de dérivation covariante d’un champ de tenseurs sur un espace de Riemann est exposée pour la première fois pour elle-même et dans toute sa généralité. Les deux auteurs écrivent explicitement l’équation des géodésiques à l’aide des symboles de Christoffel et l’interprètent en disant que la « quantité d’accélération » d’une géodésique, c’est-à-dire la dérivée covariante du vecteur tangent le long de lui-même, est nulle.

  • 8 Levi-Civita Tullio, « Nozione di parallelismo in una varieta qualunque et conseguente specificazio (...)

15En 19178 Levi-Civita montre comment les symboles de Christoffel permettent d’établir une connexion entre deux espaces tangents définis en deux points infiniment voisins P et P’. Pour cela, il introduit la notion de « transport parallèle » d’un vecteur le long d’un chemin reliant deux points P et P’de la variété. Ce transport parallèle doit établir une isométrie linéaire entre l’espace en P et l’espace en P’. Ce transport parallèle est dérivé de la notion de dérivation covariante, dans la mesure où on le définit par l’exigence suivante : en déplaçant le vecteur le long de notre chemin, on construit une application qui à chaque point du chemin associe un vecteur dans l’espace tangent correspondant à ce point. Cette application est univoquement déterminée par l’équation différentielle qui exprime que la dérivée covariante du vecteur déplacé le long de la courbe doit être nulle.

16Cette notion de déplacement n’est pas intégrable au sens où le vecteur obtenu par transport parallèle dépend du chemin emprunté et non pas uniquement du vecteur initial. Seul le transport d’un point à un autre infiniment proche est univoquement déterminé. Notons enfin que le tenseur de courbure, exprimé à l’aide des symboles de Christoffel, admet une interprétation simple en termes du transport parallèle de Levi-Civita. En effet, le tenseur Rμμρο(x) au point P permet d’exprimer la variation d’un vecteur qu’on transporte parallèlement à lui-même le long d’un parallélogramme infinitésimal qui part et revient au point P. Si dxμ et δxν (μ, ν = 1… n) sont les coordonnées des deux déplacements successifs qui forment les deux premiers côtés du parallélogramme, alors le vecteur ξμ déplacé variera de :

17∆ξµ = Rµabc ξa dxb δxc.

18L’annulation du tenseur de courbure sur un ouvert de la variété signifie alors que le transport des vecteurs y est intégrable, donc que la variété est semblable à un espace euclidien sur cet ouvert.

19L’approche de Levi-Civita n’est pas immédiatement « intrinsèque » dans la mesure où il est obligé de plonger l’espace qu’il considère dans un espace euclidien ambiant. Seulement après, il montre que les constructions permises par la connexion sont indépendantes de la façon dont s’est fait ce plongement. Cependant, la principale lacune dans sa notion de connexion, appelée désormais « connexion de Levi-Civita », vient de ce qu’elle ne prend sens que dans un espace où est définie une métrique, et même uniquement dans le cas particulier des espaces de Riemann.

2. 3. LE RÔLE DE WEYL DANS L’ACHÈVEMENT D’UNE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE PURE : LA STRATE AFFINE

20Weyl pensait que l’idéal d’une géométrie infinitésimale n’était pas entièrement réalisé dans les espaces de Riemann dont la connexion était pensée comme connexion de Levi-Civita :

  • 9 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 91.

Inspiré par l’appui remarquable qu’offre la théorie d’Einstein pour examiner à nouveau les fondements mathématiques, le présent auteur [Weyl] a découvert que la géométrie de Riemann ne s’arrête qu’à mi-chemin en direction de l’idéal d’une géométrie infinitésimale pure [reinen Infinitesimalgeometrie]. Il reste toujours à éliminer le dernier élément de géométrie « à distance finie » [ferngeometrisches], un résidu de son passé euclidien. Riemann a supposé qu’il était également possible de comparer les longueurs de deux éléments linéaires à différents points de l’espace. Il n’est pas autorisé d’utiliser les comparaisons à distance dans une géométrie de proche en proche [Nahegeometrie]. Un seul principe est autorisé par lequel une mesure de distance est transportable d’un point à un autre infiniment proche9.

21Nous avons vu que la connexion de Levi-Civita dans un espace de Riemann permettait de donner un sens au transport d’un vecteur d’un point de l’espace à un autre. Durant ce transport, le vecteur déplacé change continument d’orientation conformément à la courbure de l’espace, si bien qu’en intégrant plusieurs transports parallèles infinitésimaux pour former un lacet qui revient sur le point initial, le vecteur après transport le long du lacet fera en général un angle non nul avec le vecteur initial. En revanche la longueur du vecteur, après son parcours du lacet, n’aura pas changé. Cela est lié à l’hypothèse riemannienne selon laquelle la distance d’un élément linéaire a un sens indépendamment du lieu où on se trouve. Cette asymétrie entre le traitement des directions et le traitement des longueurs est une impureté dans la géométrie riemannienne dont Weyl veut se débarrasser.

22Ce mélange dans les espaces de Riemann, entre une composante de géométrie à distance et une composante de géométrie infinitésimale, crée une disharmonie responsable d’une certaine complexité sur le plan des strates géométriques à l’intérieur desquelles agit la connexion de Levi-Civita. En effet, bien que les symboles de Christoffel ne prennent sens qu’au cour d’une théorie métrique (les espaces de Riemann), ils servent, dans l’interprétation en termes de « transport parallèle », à déplacer non pas les distances mais les vecteurs (une notion affine donc). Ce transport doit laisser inchangés aussi bien les longueurs des vecteurs que leurs directions. Cependant, la nature de ces deux contraintes est fondamentalement différente. La préservation des longueurs est une contrainte qui agit « à distance ». Elle lie le vecteur à la fin du déplacement au vecteur initial indépendamment du chemin suivi et de l’espace qui les sépare. Par contre, puisque les directions des vecteurs n’ont qu’un sens local, la contrainte de préservation des directions ne peut avoir de sens que de proche en proche. Ainsi, relativement à la notion d’orientation des vecteurs, les symboles de Christoffel fonctionnent bien conformément au programme de la géométrie par contact.

23Nous allons voir que les apports de Weyl qui vont achever de réaliser une géométrie infinitésimale pure sont de deux ordres. Non seulement il va se débarrasser de l’hypothèse riemannienne indue en introduisant une notion de transport infinitésimal des longueurs. Mais l’élimination de ce résidu de géométrie à distance va également permettre à Weyl d’éclaircir les rapports entre les différentes strates spatiales, en construisant d’abord de manière indépendante une géométrie par contact purement affine, avant de parvenir à la géométrie par contact métrique par l’ajout de nouvelles structures. Suivons le même ordre que dans Espace-Temps-Matière : parcourons d’abord la strate affine, puis seulement ensuite la strate métrique (et implicitement la « strate conforme » qu’elle comprend).

Les espaces infinitésimaux affines

  • 10 Ibid., p. 92.

L’existence d’espaces affines infinitésimaux similaires en chaque point de la variété, est équivalente à l’exigence du caractère au moins C1 -différentiable de la variété. Si l’appellation de « variété différentiable » est encore absente, l’idée est bien là. Weyl demande que les fonctions qui expriment le passage d’un système de coordonnées à un autre sur notre variété aient des dérivées du premier ordre continues10 et que le déterminant Image soit non nul.

  • 11 La notion d’espace tangent est à comprendre ici dans un sens intrinsèque. Il ne faut pas penser, pa (...)

24On conçoit le caractère localement affine d’une telle variété en montrant l’existence en tout point d’un espace affine tangent à la variété11. Comme les espaces vectoriels sous-tendant ces espaces affines sont de mêmes dimensions n (la dimension de la variété), ils sont linéairement isomorphes. En ce sens, les espaces affines infinitésimaux sont tous similaires.

25Sans doute en raison de l’importance qu’il accorde à la notion de transformation pour caractériser l’espace, Weyl choisit dans Espace-Temps-Matière de montrer le caractère localement affine d’une variété différentiable en recourant à une analyse des changements de coordonnées d’une telle variété. Il montre que les vecteurs attachés à un point d’une telle variété se transforment lors d’un changement de coordonnée comme se transforment les vecteurs d’un espace vectoriel, c’est-à-dire par une transformation linéaire (matrice), à ceci près que la matrice de transformation prend alors un sens uniquement local. Développons. Les transformations spatiales dans un espace vectoriel, type particulier de géométrie à distance, sont données par des transformations linéaires s’exprimant dans des coordonnées affines, adaptées à cette géométrie à distance, selon la formule :

26x’μ = aμν xν.

27Maintenant, les transformations d’une variété C1 -différentiable sont les difféomorphismes (locaux) :

28x’μ = f(xν) (f difféomorphisme de caractère C1).

29Ce ne sont pas en général des fonctions linéaires mais elles se laissent approcher localement par leurs différentielles qui, elles, sont bien des fonctions linéaires :

Image

  • 12 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 92.

30L’écriture de Weyl12 permet ainsi de saisir la similitude de forme entre l’équation de transformation dans une géométrie à distance affine (ou linéaire si on préfère) et l’équation dans une géométrie par contact affine. La différence est que la transformation dans la géométrie par contact n’est linéaire que si l’on s’intéresse non pas à l’espace complet mais au voisinage infinitésimal d’un point.

  • 13 La définition des tenseurs et leur algèbre dans un espace affine sont développées en Weyl Hermann, (...)
  • 14 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., p. 92-100.

La notion de vecteur comme translation, issue de la géométrie à distance affine, a pu ainsi être transposée à une géométrie par contact, au prix qu’elle a alors seulement un sens local ; les différentielles dxμ étant essentiellement rattachées à un point de la variété. De même, on peut transposer l’ensemble de l’algèbre tensorielle développée pour un espace affine13 à notre variété différentiable. Il suffit de rattacher chaque tenseur que nous considérons à un point de la variété. Les matrices susceptibles d’exprimer la transformation du tenseur, lors d’un changement de coordonnés, sont les matrices « locales » : Image et son adjointe. Pour l’ensemble du calcul tensoriel et de l’analyse tensorielle sur une variété différentiable nous renvoyons au texte de Wel14.

La connexion affine

31Maintenant que nous disposons de la notion d’espaces infinitésimaux affines tous similaires, il faut concevoir comment les connecter les uns aux autres. Un premier apport capital de Weyl pour parvenir à la géométrie infinitésimale pure, consiste à donner son indépendance à la notion de connexion affine à l’égard de la strate métrique de la géométrie. La connexion de Levi-Civita, exprimée en coordonnées par les symboles de Christoffel dérivant d’une forme quadratique, ne deviendra qu’un cas particulier d’une structure générale ayant un sens authentiquement affine.

Une connexion affine devra connecter entre eux les espaces infinitésimaux. Elle doit ainsi définir un isomorphisme linéaire entre l’espace des vecteurs en un point P (x), et l’espace des vecteurs en un point Image infiniment proche. On pourra décrire en coordonnées cet isomorphisme en écrivant son écart par rapport à l’identité sous la forme :

Image

Ici, le « d » ne renvoie pas à un signe de dérivation mais indique que les coefficients sont des infiniment petits ; i. e. qu’ils doivent tendre vers 0 quand le point P’se rapproche de P, c’est-à-dire quand Image tend vers Image. Pour terminer de caractériser la notion de connexion, il va falloir préciser exactement comment cet isomorphisme varie quand on déplace le point P' par rapport au point P, c'est-à-dire comment Image varie en fonction de « Image ».

  • 15 Une autre expression mathématique équivalente du principe de continuité est proposée dans Weyl Her (...)

32C’est ici qu'intervient le principe de continuité. Il exprime que le passage d'un espace infinitésimal à un espace voisin se fait de façon « continue ». Weyl applique ce principe de continuité à la strate affine en demandant que, dans un certain système de coordonnées qu'il nomme « géodésique », les coordonnées du vecteur transporté ne varient pas dans le transport à un point infiniment proche15.

Ainsi , une fois fixé le point P , on doit poser qu'il existe un système de coordonnées Image où la variation des coefficients de notre vecteur est nulle quand il est déplacé :

Image

  • 16 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., p. 101-102.

On en déduit16 que la dépendance de μ à l'égard de Image est linéaire et qu'il existe alors des coefficients Γαβγ associés au point considéré, vérifiant la symétrie Γαβγ = Γαγβ,, tels que la variation dξμ des coordonnées du vecteur ξμ quand il est déplacé de P(x) à Image s'exprimera finalement par :

Image

  • 17 Weyl ne donne pas explicitement les formules de changement de coordonnées pour Γμρν puisqu’il n’en (...)
  • 18 Pour le voir, il faut prendre à rebours la construction de Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édit (...)

33Cette définition des coefficients Γμρν (x) permet de déterminer leur nature spatiale, i. e. leur mode de dépendance à l'égard du système de coordonnées17. Enfin, Weyl montre qu’en plus du fait que tous les espaces infinitésimaux sont partout identiques, la connexion a également partout la même nature. Cette nature ne dépend pas de l’espace à connexion affine considéré. En effet, pour n’importe quel point P d’une variété à connexion affine, on peut trouver un système de coordonnées qui donne aux coefficients de la connexion n’importe quel jeu de valeurs Γαβγ (avec Γαβγ = Γαγβ)18, le jeu de valeurs nul correspondant à un système de coordonnées géodésique.

Dérivation covariante et géodésiques affines

  • 19 De nos jours, les relations entre la notion de connexion et la notion de dérivation sur une variété (...)

34Une fois la connexion définie, Weyl montre comment elle permet de transposer dans le domaine de la géométrie par contact affine certaines notions qui, contrairement aux tenseurs, ne sont pas des grandeurs purement locales (au sens de « liées à un point unique de la variété ») mais dépendent de la connexion des structures affines entre un point et ses voisins infinitésimaux. Plus précisément, nous passons de la simple algèbre tensorielle à l’analyse tensorielle. La principale notion de cette discipline est la dérivation covariante d’un champ de tenseurs. Elle permet notamment de définir la notion de courbe géodésique, conformément à ce qu’avaient déjà montré Christoffel, Ricci et Levi-Civita sur le cas particulier des espaces de Riemann. Suivant une méthode analogue, Weyl expose comment la connexion permet de définir une notion de dérivation covariante d’un tenseur, qui a un sens objectif, c’est-à-dire indépendante du sujet-coordonnées. La dérivation covariante transforme un champ de tenseurs en un autre champ de tenseurs possédant un indice supplémentaire19.

35L’équivalent en géométrie par contact affine de la notion de ligne droite est alors la notion de géodésique. C’est une courbe telle qu’un vecteur tangent à la courbe en un point reste tangent à la courbe si on le transporte parallèlement le long de la courbe. La notion de géodésique définie par la notion de transport se trouvait déjà chez Levi-Civita. Cependant, grâce au sens purement affine que Weyl a donné à la connexion, on parvient à une notion de géodésique purement affine. L’idée métrique du plus court chemin reliant deux points n’intervient plus du tout, mais seulement l’idée purement affine de la conservation d’une même direction vectorielle tout au long du trajet. Weyl explique même dans d’autres textes que la notion de géodésique est disponible dans une géométrie de contact qui n’est même pas affine, mais seulement projective.

Tenseur de courbure affine

36On peut définir le tenseur de courbure (ou tenseur de courbure affine, ou tenseur de courbure vectorielle) sur un espace à connexion affine, qu’on notera en coordonnées Fαβγδ avec Weyl, de la même façon que dans un espace de Riemann muni de la connexion de Levi-Civita. Il suffira de remplacer les symboles de Christoffel par les coefficients de la connexion affine la plus générale :

Image

37L’interprétation du tenseur de courbure dans les termes d’un écart par rapport à l’espace euclidien (notion métrique), doit être remplacée par l’idée d’un écart entre le comportement affine de notre variété et celui d’un espace affine (au sens de la géométrie à distance). L’annulation du tenseur de courbure sur un ouvert de la variété signifie que les relations affines y sont semblables à celles d’un ouvert d’un espace affine. Le transport des vecteurs est alors intégrable sur cet ouvert.

38L’interprétation du tenseur de courbure comme exprimant la variation d’un vecteur quand il est transporté le long d’un parallélogramme infinitésimal doit être également légèrement modifiée. Dans un espace de Riemann, à cause de l’hypothèse du caractère absolu de la notion de distance (au sens de la géométrie à distance), le vecteur obtenu après le transport doit être de même longueur que le vecteur initial. Le tenseur de courbure Rμνρσ dans un espace de Riemann appliqué à un élément de surface (parallélogramme infinitésimal):

39Δxρσ = (dxρδxσ − δxρdxσ)

40doit donc induire une transformation orthogonale sur notre espace tangent. Le vecteur Δξμ, écart entre le vecteur transporté et le vecteur initial, doit donc être orthogonal au vecteur initial.

41Étant donné que l’écart s’écrit :

42Δξμ = Rμνρσ Δxρσξν,

43le caractère orthogonal de cette transformation va se traduire par le fait que le tenseur de courbure de Riemann Rμνρσ, écrit en coordonnées entièrement covariantes, n’est pas seulement antisymétrique vis-à-vis des deux derniers indices (parcours en sens inverse du parallélogramme infinitésimal), mais aussi vis-à-vis des deux premiers.

44Dans un espace à connexion affine général, le transport d’un vecteur le long d’un parallélogramme infinitésimal n’engendre plus une transformation orthogonale (cela n’a plus aucun sens), mais plus généralement un automorphisme linéaire. La condition d’antisymétrie de Rμνρο vis-à-vis d μ et ν, qui pouvait s’exprimer en coordonnées « mixtes » par :

45gμν (Rμabc Δxbc ξa) ξν = 0

46n’a donc plus aucun équivalent pour le tenseur de courbure dans un espace à connexion affine général.

2. 4. LE RÔLE DE WEYL DANS L’ACHÈVEMENT D’UNE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE PURE : LES STRATES CONFORMES ET MÉTRIQUES

  • 20 Weyl donnera plus de précision dans d’autre écrits sur ce que peut être une géométrie par contact (...)

47Une fois la strate affine construite selon l’idéal de la géométrie par contact, Weyl va achever la construction d’une géométrie infinitésimale pure en construisant selon des principes similaires les strates conforme et métrique. La construction présentée dans Espace-Temps-Matière ne se compose pas d’une géométrie par contact indépendante ayant un sens purement conforme, complétée ensuite par une géométrie par contact métrique. Au lieu de cela, Weyl construit directement une géométrie par contact métrique. Cependant, au sein de sa construction, il prend soin de distinguer les éléments qui ne dépendent pas de la comparaison à distance des longueurs mais uniquement des rapports de longueurs prises au même point. En ce sens, ces éléments sont porteurs d’une signification conforme plutôt que métrique20.

Espaces infinitésimaux métriques

48Dans une géométrie par contact métrique, comme pour les espaces de Riemann ou les espaces pseudo-riemanniens, la longueur des vecteurs d’un espace tangent à un point P de la variété va être donnée par une forme quadratique non dégénérée liée à P. Étant donné l’abandon de l’hypothèse riemannienne d’une signification « à distance » de la notion de longueur, ce ne sera pas la valeur absolue de la longueur d’un vecteur qui va avoir un sens mais plutôt le rapport entre les longueurs de plusieurs vecteurs pris dans un même espace tangent. Ainsi, plutôt qu’une forme quadratique univoquement déterminée, on pourra considérer que la forme quadratique associée à chaque point de la variété n’est déterminée qu’à la multiplication près par un facteur λ, la calibration [Eichung].

49Comme pour un espace de Riemann, on pourra exprimer en coordonnées ces formes quadratiques locales par des coefficients gνμ (x) variables d’un point à un autre de la variété. La possibilité de modifier indépendamment la calibration de chaque espace métrique infinitésimal s’exprimera par la possibilité de multiplier le champ quadratique gνμ (x) par un facteur de calibration λ (x) qui est une fonction continue du lieu. La fixation d’un facteur de calibration est interprétée par Weyl comme le fait de choisir en chaque point de la variété une unité de mesure des longueurs qui a un sens seulement local. L’introduction de ce nouveau facteur est arbitraire, subjectif, mais indispensable à la représentation numérique des objets géométriques de notre espace. Il a ainsi le même statut que le système de coordonnées. Tout comme on doit penser la différence conceptuelle entre un vecteur au sens abstrait (notion objective), et sa représentation numérique dépendante d’un élément subjectif (le système de coordonnées) ; il faut de même différencier la longueur d’un vecteur, qui est une propriété abstraite, de la mesure (numérique) de longueur, qui est un nombre dépendant de la donnée subjective du facteur de calibration. L’introduction de cette nouvelle composante subjective oblige à un réaménagement de la notion de nature spatiale d’un objet. Weyl pousse encore plus loin le parallèle entre la notion de système de coordonnées et celle de calibration en montrant que les applications « changement de coordonnées » et « changement de calibration » sont toutes les deux localement des applications linéaires.

50Le fait qu’on ait retiré toute signification à la valeur absolue des coefficients gμν au bénéfice des rapports entre ces coefficients, entraine que la forme quadratique gμν(x) a perdu le sens authentiquement métrique qu’elle avait dans un espace de Riemann. Son évolution sur la variété continue à exprimer d’une certaine façon un changement d’orientation progressif des espaces tangents, mais sans qu’il ne soit plus possible de comparer les longueurs des vecteurs pris en des points différents. On pourrait dire que le tenseur gμν est plutôt le mode d’expression des propriétés conformes sous-jacentes à l’espace de Weyl que de ses propriétés métriques proprement dites.

51La continuité des fonctions gμν(x), qui est une première étape en vue de la construction future d’une connexion métrique, implique que les formes quadratiques associées à chaque point aient la même signature. Par un changement de coordonnée et de calibration, on peut alors ramener l’expression de la forme quadratique gμν(x) en un point P (x) à la forme canonique :

Image

52où le nombre de « 1 » et de « -1 » sur la diagonale est indépendant du point x choisi. C’est la signature des gμν(x). L’existence de cette représentation unique pour la forme quadratique associée à chaque point considéré isolément, est l’expression mathématique de la similarité de nature entre ces espaces infinitésimaux. Il y a une isométrie linéaire qui relie n’importe quel couple de ces espaces infinitésimaux, ou plutôt une similitude si on veut tenir compte du fait qu’il n’y a pas d’étalon de mesure ayant un sens objectif au sein de chacun de ces espaces infinitésimaux.

La connexion métrique

  • 21 La linéarité de l’application ici se comprend par le fait que les fonctions distances définies en c (...)

Une connexion métrique sera établie entre un point P (x) et un point Image infiniment proche si on sait comment une longueur est transportée du point P au point P’. De même qu’une connexion affine entre un point P et un point P’consiste à sélectionner une isomorphie linéaire entre l’espace tangent TP et TP’, une connexion métrique sera établie entre ces deux points en sélectionnant une isomorphie linéaire21 entre l’espace des longueurs au point P et l’espace des longueurs au point P’. L’image d’une longueur par cet isomorphisme sera considérée comme étant « la même distance » transportée du point P au point P’. Comme l’espace des distances en un point est un espace linéaire de dimension 1, un tel isomorphisme consistera simplement en la multiplication par un facteur réel qu’on écrira « (1– dϕ) » pour suivre les notations de Weyl. Comme pour le « νμ » que nous avions rencontré dans l’étude de la connexion affine, le « d » apparaissant dans l’écriture « dϕ » n’est pas un signe de dérivation mais renvoie au fait que cette quantité doit tendre vers zéro quand P et P’se rapprochent l’un de l’autre.

Quand on change la calibration des espaces métriques infinitésimaux de notre variété par un facteur λ (x), une distance l (x) devient Image. On en déduit que le nombre dϕ doit se transformer lors d’un changement de calibration selon la formule :

Image

53où la barre horizontale désigne les grandeurs mesurées après le changement de calibration.

54Pour terminer d’établir la nature de la connexion métrique, Weyl a recours au principe de continuité. Pour trouver la nature de la connexion affine, il avait posé l’existence d’un système de coordonnées géodésique. Ici, il va poser l’existence en tout point P (x) de la variété d’un système de référence géodésique. « Système de référence » a ici un sens technique qui signifie : système de coordonnées + calibration. Dans le système de référence géodésique, la mesure de distance reste inchangée au premier ordre lors du transport de P à P’. Ainsi, on aura :

Image

En repassant dans un système de référence quelconque, Weyl montre alors que dϕ, qu’il va appeler « la connexion métrique », dépend de Image comme une forme différentielle :

55 = φμ dxμ.

56Laissons Weyl résumer le tableau final des concepts fondamentaux de cette géométrie infinitésimale pure et de leur nature spatiale :

  • 22 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 110.

Le caractère métrique d’une variété est décrit relativement à un système de référence (système de coordonnées + calibration) par deux formes fondamentales, i. e. une forme quadratique différentielle Q = gik dxi dxk et une forme linéaire = ϕidxi. Elles restent invariantes lors d’un changement de coordonnées. Si la calibration change, la première forme est multipliée par un facteur ?, qui est une fonction positive de la position admettant des dérivées [partielles] continues ; tandis que la seconde forme est diminuée par la différentielle de log (λ)22.

57Conformément à l’usage d’aujourd’hui, nous appellerons désormais « espace de Weyl » une telle variété munie de ces deux formes fondamentales gik dxi dxk et ϕi dxi.

Courbure métrique

  • 23 Si le choix de ce terme répond à une analogie mathématique évidente entre la connexion affine et la (...)

58De manière analogue à la façon dont on construisait une courbure affine dans la strate affine de la géométrie par contact, Weyl va dériver de la connexion métrique une nouvelle notion qu’on appellera par analogie « courbure métrique23 ».

59Cette courbure mesurera l’écart de comportement entre la notion de distance de l’espace de Weyl étudié et la notion de distance « rigide » d’une géométrie à distance.

60On considère la façon dont est transformée une longueur quand elle est transportée parallèlement autour d’un parallélogramme infinitésimal représenté par :

61Δxμν = dxμδxνδxμdxν.

62La définition du transport parallèle d’une longueur et les règles du calcul différentiel montrent que, si on note « l » la mesure de distance initiale, alors la mesure de distance après parcours du parallélogramme infinitésimal vaudra :

  • 24 Ibid ., p. 111 (nous avons condensé les résultats).

Image24,

63fik est défini par :

Image

64La façon dont nous avons défini un espace de Weyl implique que fik est un authentique tenseur linéaire (= antisymétrique) du deuxième ordre, donc invariable vis-à-vis d’un changement de calibration. C’est ce qu’on peut appeler avec Weyl la courbure métrique de notre espace de Weyl au point considéré.

65De par sa définition, la « divergence cyclique » de la courbure métrique s’annule :

Image

66La courbure métrique s’annule sur un ouvert de notre variété si et seulement si la notion de longueur se comporte sur cet ouvert comme dans une géométrie à distance, i. e. si notre espace de Weyl s’identifie à un espace de Riemann sur cet ouvert. Le transport de longueur y est alors une notion intégrable, i. e. indépendante du chemin suivi.

Théorème fondamental de la géométrie par contact

  • 25 Ibid ., p. 111-112 .

67En suivant Espace-Temps-Matière, nous avons développé en deux temps les concepts affines puis métriques qui s’accordent à l’idéal de la géométrie par contact. Il reste à voir si ces deux strates de la géométrie s’harmonisent adéquatement dans ce nouveau cadre géométrique. Weyl démontre un théorème25 affirmant que c’est bien le cas. Nous écrivons son théorème dans un vocabulaire légèrement modernisé :

Théorème fondamental de la géométrie par contact :
Soit un espace de Weyl (V,[guv], ϕ) :
V est une variété différentiable (de caractère au moins C1).

[gμν] est une classe de formes différentielles quadratiques 25 modulo une recalibration.
ϕ est la forme différentielle qui connecte métriquement notre espace.
Alors, il existe une unique connexion affine Т telle que tout vecteur transporté parallèlement par cette connexion d’un point P à un point P’infiniment proche conserve « la même longueur ». C’est-à-dire que la longueur du vecteur transporté est égale au transport de la longueur du vecteur initial.
La relation qui détermine univoquement la connexion s’écrit en coordonnées :

Image

68On peut illustrer ce résultat par l’image suivante : tout comme, dans l’espace euclidien, un vecteur se laisse parfaitement décrire par la donnée de sa direction orientée et de sa longueur, le transport des vecteurs dans la géométrie par contact est parfaitement déterminé par la façon dont leurs orientations ([gμν]) et leurs longueurs (ϕ) évoluent infinitésimalement dans le passage d’un point à son voisin infinitésimal.

69Toutes les notions affines peuvent alors prendre sens au sein d’un espace de Weyl et en particulier, le tenseur de courbure affine. Quand ce tenseur s’annule sur un ouvert d’un espace de Weyl, on montre que le tenseur de courbure métrique s’annule aussi. L’espace a donc le comportement d’une géométrie à distance tant sur le plan affine que sur le plan métrique. L’espace est alors semblable à l’espace euclidien (ou à un espace pseudoeuclidien plat comme celui de Minkowski) sur cet ouvert.

Décomposition du tenseur de courbure affine

70Dans le cas général, le tenseur de courbure Fuvpo va admettre une décomposition naturelle. Nous savons que ce tenseur exprime l’application qui, à tout parallélogramme infinitésimal, associe l’automorphisme linéaire (défini sur l’espace tangent au point P) qui exprime la transformation subie par un vecteur quand il est déplacé le long de ce parallélogramme.

Maintenant que l’espace tangent est muni d’une structure métrique locale, la notion d’orthogonalité y a une signification. On peut alors décomposer la variation Image du vecteur ξ par transport le long du parallélogramme Δx, en une composante proportionnelle au vecteur initial et une composante orthogonale au vecteur initial. Bien entendu, la composante proportionnelle exprime le changement de longueur du vecteur tandis que la composante orthogonale exprime son changement de direction. Puisque nous avons déterminé l’expression de la connexion métrique, nous savons que le facteur numérique qui vient devant la composante proportionnelle vaut :

Image

  • 26 Cf . ci-dessus p. 278.

Le tenseur de courbure affine Fabcd se décompose alors en deux tenseurs. Appliqué au parallélogramme Δx et au vecteur, Image le premier tenseur donne la composante tangentielle de Image, de coordonnées Image, tandis que le second tenseur donne sa composante orthogonale. Ainsi, le premier tenseur, que Weyl note en coordonnées «*Fμνρσ», exprime le changement d’orientation quand on se déplace autours du point P. C’est pourquoi Weyl l’appelle « tenseur de courbure directionnelle » Tandis que le second tenseur exprime le changement de longueur ; il est une simple réécriture du tenseur de courbure métrique26. Finalement, la décomposition du tenseur de courbure affine s’écrit en coordonnées :

Image

Puisque le vecteur Image doit être orthogonal à ξβ, le tenseur *F écrit en composantes covariantes sera antisymétrique non seulement vis-à-vis de i et k, mais aussi de α et β. Quand la courbure métrique s’annule sur un ouvert de la variété, le tenseur de courbure affine s’identifie alors à *F (courbure directionnelle) qui n’est alors rien d’autre que le tenseur de courbure de Riemann. On comprend pourquoi nous disions ci-dessus que le tenseur de Riemann, bien qu’il ne prenne sens que dans un espace métrique, joue plutôt le rôle d’une connexion des directions au sens de la géométrie par contact.

71Nous espérons que cette réécriture condensée et modernisée de la construction des « espaces de Weyl » dans les paragraphes 14 à 16 d’Espace-Temps-Matière (3e édition) suffit à montrer comment les nouvelles notions qu’introduit notre auteur suffisent à penser de manière harmonieuse et bien « stratifiée » l’ensemble de la géométrie selon le programme épistémologique de la géométrie par contact.

72Nous synthétisons tous ces résultats en trois tableaux.

Tableau 1. Strate affine de la géométrie par contact

Image

  • 27 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., 1918 , p. 15-16.

Note 2727

Tableau 2. Strate métrique (/conforme) de la géométrique par contact

Image

Tableau 3. Relations entre les deux strates

Image

2. 5. DEVENIR DE LA NOTION D’HOMOGÉNÉITÉ DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

  • 28 Aux sous-paragraphes IV. 2. 3 et IV. 2. 4.
  • 29 Entrevues en IV .2.1 et IV .1 .

73Notre reconstruction de la géométrie par contact28, ainsi que les idées épistémologiques qui la guident29, ont déjà laissé entrevoir que l’expression mathématique de l’homogénéité ne disparait pas dans la géométrie par contact. Elle se métamorphose plutôt. Nous avons vu que la fonction épistémique de la notion d’homogénéité permettait de construire un cadre, l’espace (-temps), où chaque sujet-coordonnées joue un rôle similaire, celui d’un point de vue sur le monde dont on doit s’abstraire pour atteindre l’objectivité. De ce fait, le sens que revêt la l’homogénéité doit se métamorphoser parallèlement à la nouvelle compréhension de la notion de sujet qu’apporte Weyl.

74L’esprit de la géométrie par contact consiste à insister sur le caractère essentiellement local du sujet, et sur la sphère infinitésimale comme seul domaine légitime de règne pour la raison. C’est pourquoi la métamorphose de la notion d’homogénéité doit suivre ce mouvement de localisation. Il va s’agir d’exprimer une indifférence du choix du sujet-coordonnées non pas à l’égard de la description totale des relations du monde, mais uniquement à l’égard des relations qui jouent dans la sphère de l’infiniment proche.

75Dans la géométrie par contact, telle qu’elle apparait dans Espace-Temps-Matière, on voit s’opérer un dédoublement de la notion d’homogénéité.

  • 30 Dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 87, l’auteur attribue ainsi à Rieman (...)

76La première forme d’homogénéité que l’on trouve concerne uniquement la strate topologique. Ce premier sens de l’homogénéité est le moins « local ». Il s’agit d’exprimer que le système de coordonnées choisi sur l’ensemble de la variété spatio-temporelle, pour rendre compte de ses propriétés topologiques et servir à son traitement analytique, est absolument indifférent à la description objective du monde. C’est ce premier sens de l’homogénéité que nous avions rencontré à la fin du chapitre III, en relation avec l’argument de la boule d’argile. Cette homogé- néité est celle qui est attribuée à cet « espace en soi » dépourvu de toute forme qui, parce qu’il précède toute relation à la matière, n’est le porteur d’aucune relation métrique30.

  • 31 Aux paragraphes IV. 2. 1-4.

77Mais il y a une deuxième forme d’homogénéité qui joue pour les niveaux proprement structurels et en particulier pour le niveau métrique. Il s’agit d’exprimer que la structure locale des relations de mesures est la même en tout point de l’espace, et que le mode de connexion d’une structure locale à une autre structure voisine est de même partout similaire. L’expression mathématique de cette homogénéité locale a été entrevue31 sur le cas particulier des espaces de Weyl. Mais il s’agit de voir qu’il est possible de donner une expression plus générale à l’homogénéité locale, indépendante de la nature de la métrique. C’est-àdire qu’on peut exprimer mathématiquement l’homogénéité locale, caractéristique d’une géométrie par contact, sans avoir à déterminer si la métrique, comme dans le cas d’un espace de Weyl, est donnée par le biais d’une forme quadratique. Cette possibilité de donner un statut véritablement principiel à l’homogénéité va être la clef pour la résolution par Weyl de l’analyse mathématique du problème de l’espace.

  • 32 Nous modernisons légèrement la présentation. Weyl n’emploie pas le terme d’« espace tangent » (ni l (...)
  • 33 Weyl remarque en effet en Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4 e édition, op. cit., 125 : « Une rotat (...)

78Dans le paragraphe 18 de la quatrième édition d’EspaceTemps-Matière, consacré à cette analyse, Weyl donne la forme générale du type d’homogénéité qui a lieu dans une géométrie par contact. Cette homogénéité s’exprime sous une forme algébrique à l’aide du concept d’un groupe de transformations opérant localement, c’est-à-dire opérant sur les espaces tangents à la variété. Munir une variété (différentiable) n-dimensionnelle d’une structure métrique locale en un de ces points P, revient à déterminer, parmi tous les automorphismes linéaires de l’espace tangent TP32 et de déterminant 133, quels sont ceux qui seront considérées comme des congruences, c’est-à-dire comme des transformations qui conservent la longueur des vecteurs. Étant donné que ces congruences ne modifient pas le point P d’origine des vecteurs, Weyl les appelle des « rotations ». Le groupe recherché est donc le « groupe des rotations » [Drehungsgruppe]. On peut conserver ce terme de « rotation » pourvu qu’on se souvienne du sens large mais précis que nous venons de lui donner. Il s’agit d’un sens local puisque cela concerne les isométries de l’espace tangent T P et non pas une hypothétique isométrie globale (avec un point fixe) de la variété elle-même. Ce point étant accordé, le sens est également général puisqu’on ne réserve pas, comme souvent, le terme de « rotations » aux seuls membres du groupe orthogonal O (n) ou du groupe spécial orthogonal SO (n) associés spécifiquement à l’espace euclidien. On notera en général GP le groupe de ces « rotations » au point P d’une géométrie par contact. Weyl remarque qu’en plus de sa structure algébrique de groupe, cet ensemble doit également être naturellement considéré comme une variété continue (et même différentiable). Ces deux structures, conjointes adéquatement, font de ce groupe de rotation ce qu’on appelle aujourd’hui un groupe de Lie, et que Weyl appelle encore un « groupe continu » [ Kontinuierliche Gruppe].

79Il faut ensuite exprimer algébriquement la notion de connexion métrique, c’est-à-dire relier ensemble les structures métriques locales associées à chaque point de la variété. La structure métrique infinitésimale associée à un point P sera reliée à la structure métrique infinitésimale reliée en un point P’de son voisinage, sitôt qu’on saura, parmi toutes les bijections linéaires de T P vers T P’, celles qui sont considérées comme des transports congruents (cette notion étant la généralisation de la notion de transport des longueurs dans un espace de Weyl).

80Weyl remarque que si « A » est un tel transport congruent de TP vers TP’, et si on considère GЄGP, alors l’application (AoG) obtenue par composition de ces deux applications sera ellemême un transport congruent. L’ensemble, que nous noterons « G PP’ », des transports congruents de TP vers TP’ (pour une connexion métrique fixée) est alors obtenu à partir d’un élément A de l’ensemble par l’opération :

81GPP’ = {(AoG) | GGP} = {(GoA) | GGP’}.

82En considérant l’application A -1, inverse de A, on obtient en composant une fois de plus, l’application « A-1oGoA » (AGPP’, A-1GP’P, GGP’) qui doit être un élément de GP. Ainsi, l’application :

Image

83établit un isomorphisme de groupe de GP’vers GP.

84Une géométrie par contact est ainsi un espace localement homogène au sens où les groupes locaux GP de rotations (P variant sur toute la variété) sont tous isomorphes entre eux. Weyl précise la nature de cet isomorphisme en montrant que, si on écrit la formule «A-1oGoA » sous forme matricielle, elle est analogue à celle qu’on obtient quand on veut passer d’une matrice G représentant une transformation linéaire, à la matrice représentant la même transformation linéaire dans un nouveau système de coordonnées (la matrice A étant alors interprétée comme la matrice de changement de coordonnées). Weyl interprète alors ce résultat en disant que :

  • 34 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4 e édition, op. cit., p. 126.

De la connexion métrique, il ressort donc que les groupes de rotations associées à deux points P et P 0 ne diffèrent que par l’orientation. Si nous passons continument du point P 0 à n’importe quel point de la variété, nous voyons que les groupes de rotations sont d’un type similaire en tous les points de la variété. Il y a donc homogénéité à cet égard34.

85On peut ainsi comparer l’homogénéité globale (au sens de Klein) et l’homogénéité locale (au sens de Weyl) dans un tableau récapitulatif :

Image

2. 6. DEVENIR DU PROBLÈME DE L’ESPACE DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

  • 35 Ibid ., p. 127.

86Une fois caractérisée la notion d’homogénéité en géométrie par contact, Weyl se lance dans ce qu’on peut considérer comme la clef de voute de son système : l’analyse mathématique du problème de l'espace. Il s'agit de donner des arguments a priori qui déterminent univoquement la nature de la métrique. Celle-ci est une structure locale qui est représentée de façon algébrique, conformément à ce que nous avons présenté au paragraphe précédent, par les groupes de rotations G P (tous isomorphes). La structure identique de ces groupes, en tant qu'elle caractérise uniquement la structure locale-infinitésimale des relations de mesure, est une composante de la notion d'espace comme forme des apparences35. Elle se trouve donc dans le domaine de législation de la raison pure.

87Ainsi, la résolution du problème de l'espace proposée par Weyl aboutit à donner une légitimité a priori aux seules géométries qui, comme celles d'un espace de Riemann ou d'un espace de Weyl, laissent invariante une forme quadratique. Il montre qu'une telle géométrie par contact « pythagoricienne » est « la véritable géométrie », c'est-à-dire celle qui fournit le cadre le plus général pour une théorie objective de la mesure, répondant aux exigences de la raison.

Weyl commence par analyser la façon dont on peut rendre compte de la composition successive de plusieurs transports congruents. Ici intervient une nouvelle application du principe de continuité. Weyl impose que les composantes d'un vecteur lors d'un quelconque transport congruent ne varient pas brutalement. Plus précisément, les variations dξi (i = 1…n) des composantes d'un vecteur ξi dans le passage de P à P ' seront des infinitésimaux du même ordre que le déplacement Image. Ainsi, tout comme l'étude d'un groupe de Lie est ramenée usuellement à l'étude de l'algèbre de Lie formée par les transformations infinitésimales de ce groupe , réduction qui « linéarise » les problèmes , Weyl nous propose de réduire l'étude des transports congruents en ne considérant que la différence au premier ordre entre la matrice représentant un transport congruent tGPP’ et la matrice identité . Ainsi le vecteur Image issu d'un transport congruent t du vecteur ξ de P à P ' devra s'écrire numériquement :

88ξi = ξi + dξi avec dξi = ik.ξk.

  • 36 Ibid., p. 127. L’analogie avec ce qu’on appelle de nos jours les groupes et algèbres de Lie est fr (...)

89Weyl montre que, de manière similaire à ce qui advient dans un groupe, on peut, à partir de deux transports congruents M, L∈GP→P’ d’expressions infinitésimales respectivesik et dλik, former la rotation (L-1oM)∈GP, admettant l’expression infinitésimaleik − dλik. On peut aussi d’une manière générale composer un élément de GP→P’ avec un élément de GP’→P’’, en additionnant les matrices infinitésimales qui les représentent36.

90Cette possibilité de décomposer tout transport congruent entre deux points infiniment proches P et P’’en un transport congruent de P à P’suivi d’un transport de P’à P’’nous permet d’obtenir l’expression la plus générale pour la matrice infinitésimale exprimant un transport congruent de P à P’ :

ik = Λikrdxrdxr sont les composantes de Image.

91Autrement dit : i = Λikrdxrξk. (*)

  • 37 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid(...)

92L’analyse conceptuelle de la structure métrique infinitésimale (groupe de rotations), de la connexion métrique (transports congruents) que nous venons d’exposer est considérée par Weyl comme un moment analytique, au sens kantien, du fondement de la géométrie différentielle. À partir de là, la solution de Weyl au problème de l’espace ne reposera plus que sur deux axiomes. Il s’agit alors, selon Weyl, d’authentique jugements synthétiques a priori37.

Axiome 1 : (Liberté de la connexion, ou liberté de la déformabilité du champ métrique) La nature de l’espace n’impose aucune restriction à la connexion métrique.

  • 38 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 127-128.

[C’est-à-dire qu’] Il est toujours possible de trouver une connexion affine dans l’espace entre le point P 0 et les points de son voisinage de telle façon que la formule [(*)] représente un système de transports congruents pour des nombres ? <img> arbitraires38.

Axiome 2 : (Harmonie entre l’affine et le métrique) La connexion affine est uniquement déterminée par la connexion métrique.

[Chaque système de n3 nombres Λikr] doit pouvoir admettre une décomposition d’une et une seule manière conformément à la formule :

  • 39 Ibid., p. 128 et 131.

93Λikr = AikrΓikr39,

94Aik1, …, Aikn est un système de n matrices infinitésimales l’algèbre de Lie associée à GP, et Γikr est un système de n3 nombres vérifiant la symétrie Γikr = Γirk.

  • 40 On l’avait supposé de manière spécifique pour les espaces de Weyl dans notre troisième tableau, co (...)
  • 41 Ibid., p. 127-131.

95Il est supposé dans l’axiome 2 que le transport parallèle défini par la connexion affine devra être un transport congruent40. Enfin, l’expression du deuxième axiome oblige Weyl à présenter, sur le cas particulier du groupe G P, la façon dont l’étude d’un groupe de Lie peut se ramener à l’étude de son algèbre de Lie41.

  • 42 Weyl n’avait démontré le théorème qui suit, à l’époque de la 4e édition d’Espace-Temps-Matière, qu (...)

96Nous pouvons alors énoncer le résultat de Weyl sur le problème de l’espace. Nous avons esquissé dans notre tableau de la p. 289 l’ensemble des géométries par contact envisageables. Weyl affirme que les seules géométries par contact en ce sens qui vérifient, en outre, les deux axiomes que nous avons énoncés ci-dessus, sont celles qui laissent invariante une forme quadratique différentielle. On peut exprimer concisément ce résultat en disant que42 :

Théorème de Weyl pour la résolution du problème de l’espace :
Les seules géométries par contact répondant aux deux axiomes sont celles dont la nature de la métrique est (pseudo-) pythagoricienne ; c’est-à-dire qu’une certaine forme quadratique (non nécessairement définie) doit être préservée.

  • 43 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 132.

97Le seul paramètre intervenant pour fixer la nature de la métrique est alors sa signature. La nature de la métrique est par contre entièrement déterminée si on remplace le corps des réels par le corps des complexes (et qu’on adapte en conséquence la notion de géométrie par contact)43.

98Ce théorème achève brillamment la reconstruction des principes de la géométrie selon les principes de l’idéalisme dans l’infinitésimal. Ainsi, même si son domaine de législation a été restreint à la sphère locale, la raison pure y est toutefois parfaitement souveraine au sens où elle détermine univoquement les structures locales de l’espace (groupes de rotation G P) et le mode général de connexion (affine et métrique). Cette détermination passe par une analyse du concept d’espace, pour laquelle les concepts d’homogénéité et de continuité sont essentiels, et par un ou deux axiomes synthétiques qui expriment des exigences rationnelles a priori, précédant et rendant possible tout rapport à l’expérience.

99Weyl voit dans ce théorème le triomphe de cette vision rationaliste de la géométrie dans l’infinitésimal :

[Cela] complète l’analyse de l’espace. Il devrait alors nous être permis d’affirmer que nous avons rendu intelligible la nature de l’espace et la source de la validité du théorème de Pythagore, en ayant exploré les fondements ultimes accessibles au raisonnement mathématique. Si cette conjecture [le théorème de Weyl qui répond au problème de l’espace] ne s’avérait pas exacte, des caractères définis et des propriétés essentielles de l’espace nous aurait encore échappés.

100On voit que, même si Weyl reste prudent quant à l’exactitude de son théorème (démontré à cette époque uniquement pour les cas n = 2 et 3), il défend cependant de façon intangible ce que nous avons appelé son « idéalisme dans l’infinitésimal ». Même si ce théorème ne s’avérait pas exact, il devrait de toute manière y avoir selon lui une façon de déterminer univoquement la nature de l’espace par d’autres exigences purement rationnelles encore à découvrir.

101Un point crucial de son épistémologie réside dans le fait que cette analyse mathématique du problème de l’espace n’a pu aboutir que grâce à son axiome 1 qui affirme une liberté maximale des connexions métriques possibles à l’égard des structures métriques locales. C’est cette forme de liberté de raccord des structures locales infinitésimales entre elles qui donne à la géométrie par contact son caractère flexible par opposition à la rigidité de la géométrie à distance. Alors, seules des lois empiriques exprimant la façon dont le contenu de l’espace lui donne forme, peuvent achever de déterminer les relations métriques à distance finie, qui sont indéterminées quand considère uniquement « l’espace en soi ».

102L’axiome 1 est donc l’héritier (sous une forme très généralisée) de la conception riemannienne selon laquelle il faut laisser une liberté maximale à la forme globale que peut prendre l’espace. Le fondement du caractère nécessairement dynamique de la métrique réside chez Weyl dans cet axiome, tout comme il résidait chez Riemann dans le choix d'une métrique générale gμν(x) pour l'espace :

  • 44 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 4e édition , op . cit ., p. 133.

La possibilité de saisir la position unique de la [structure] métrique pythagoricienne , telle qu'elle a été décrite ici, dépend entièrement du fait que les relations métriques quantitatives sont susceptibles de changements virtuels considérables . Cette possibilité repose entièrement sur le point de vue dynamique de Riemann-Einstein. C 'est ce point de vue, dont la vérité peut difficilement être mise en doute après le succès atteint par la théorie de la gravitation d'Einstein (chapitre IV), qui ouvre la voie conduisant à la découverte de la « rationalité de l'espace44».

103C’est donc paradoxalement chez Weyl, par un même mouvement épistémologique, celui de l'introduction de l'axiome 1, que la raison assoit sa suprématie dans l'infinitésimal et qu'en même temps elle libère le champ des relations à distance finie à la détermination empirique, ouvrant la possibilité d'une géométrie physique au sens strict du terme, c'est-à-dire comme détermination empirique des relations du champ métrique dynamique lui-même . Cet axiome exprime donc simultanément une épistémologie rationaliste de la géométrie dans l'infinitésimal, puisqu'il permet de déterminer la nature de la métrique (relations infinitésimales) par des réquisits rationnels , et d'une épistémologie empiriste à propos des relations de mesure à distance finie, puisque l'axiome laisse à l'expérience (physique ) le soin de déterminer ces dernières relations.

104L'axiome de la liberté de déformation de la métrique est donc à la fois un acte d'humilité par lequel la raison pure admet son illégitimité à contraindre les relations à distance finie du sujet ; et le pilier sur lequel repose la détermination rationnelle a priori de la nature de la métrique, par laquelle la raison pure prend pleinement possession de l'espace dans l'infinitésimal.

Notes

1 Ces éléments varieront bien sûr en fonction de la strate considérée. Pour la strate affine, ces éléments sont les vecteurs. Pour la strate métrique, il s’agit de la longueur associée à chaque vecteur.

2 On note V la variété sous-jacente à l’espace de Riemann et g (x) la forme quadratique différentielle qui s’exprimera dans un système de coordonnées par la données des fonctions guv(x).

3 Weyl n’utilise pas explicitement la notion d’espace tangent dans Espace-Temps-Matière mais plutôt dans Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », in Sitzungsberichte des Königlichen Preubischen Akademie des Wissenschaften zu Berlin, 1918, p. 465-480.

4 La mesure de courbure en un point P d’une surface est en effet définie dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, M. E. Roger (trad.), Paris, Albert Blanchard, 1967, comme suit. On prend un voisinage du point P sur la surface et on calcule le rapport entre l’angle solide balayé par le vecteur unitaire normal à la surface quand on parcourt le voisinage considéré, et l’aire de ce voisinage. La mesure de courbure au point P est la limite de ce rapport quand le voisinage se resserre autour de P. Pour aboutir à notre interprétation, il suffit alors de voir que l’angle entre deux vecteurs normaux à la surface, définis respectivement en P et P’, peut servir naturellement à définir l’angle que font entre eux les espaces tangents en P et en P’au sein de l’espace ambiant.

5 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft dr Wissenchaften zu Göttingen, n° 13, 1867. Nous citons ce texte à partir de la traduction française des Œuvres mathématiques de Riemann (1826-1866), L. Laugel (trad), Paris Gauthier-Villars, 1898, p. 280-299.
Klein Félix, « Vergeichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen », in Mathematische Annalen, n° 43 ? 1893? P. 63-100

6 Par exemple, lors d’un changement de coordonnées (xx’), les dérivées partielles Image d’un champ de vecteurs contravariants ? ? (x), se transforment selon la formule :

Image
Le dernier terme à droite empêche non seulement Image d’être un tenseur, mais il l’empêche même d’être un objet géométrique au sens général que nous avons présenté dans notre annexe II. 5. La connaissance de Image dans un système de coordonnées ne suffit pas à connaître sa valeur dans un autre système de coordonnées, même si on connait les relations entre les deux systèmes. Il faut en outre connaitre le champ «<ξβ >».

7 Ricci Gregorio et Levi-Civita Tullio, « Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications », in Mathematische. Annalen, n o 54, 1900, p. 125-201.

8 Levi-Civita Tullio, « Nozione di parallelismo in una varieta qualunque et conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana », in Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, n° 42, 1917, p. 173-205.

9 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 91.

10 Ibid., p. 92.

11 La notion d’espace tangent est à comprendre ici dans un sens intrinsèque. Il ne faut pas penser, par exemple, à la notion de plan tangent à une surface courbe comme étant un sous-espace affine de l’espace ambiant dans lequel la surface est plongée. Il faut plutôt comprendre que le voisinage d’un point X0 d’une variété C 1 différentiable de dimension n est assimilable à un espace vectoriel de dimension n. Les déplacements infinitésimaux dx i (exprimés dans un système de coordonnées donné) obtenus en reliant le point X0 à ses voisins sont les éléments de cet espace vectoriel. Cette façon un peu informelle de présenter la notion est celle de Weyl dans Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », op. cit.

12 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 92.

13 La définition des tenseurs et leur algèbre dans un espace affine sont développées en Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1 re édition, op. cit., 1918, p. 30-51.

14 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., p. 92-100.

15 Une autre expression mathématique équivalente du principe de continuité est proposée dans Weyl Hermann, « Reine Infinitesimalgeometrie », in Mathematische Zeitschrift , n° 2 , 1918 , p. 390 . Il s'agit de prendre un point P et deux points P1 et P2 infiniment voisins . On suppose que le vecteur Image, quand il est déplacé parallèlement à lui-même depuis P jusqu’à 'à P2 devient : Image. De même , on pose que le vecteur Image il est déplacé parallèlement à lui-même depuis P jusqu’à 'à P 1 devient : Image. Alors , notre condition consistera à exiger que les points P 12 et P 21 sont superposés ( à un terme du second ordre près par rapport aux vecteurs infinitésimaux Image). Cela revient à construire un parallélogramme infinitésimal. L'expression exacte de ce principe n'est pas absolument triviale . Cf . le texte de Weyl.

16 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., p. 101-102.

17 Weyl ne donne pas explicitement les formules de changement de coordonnées pour Γμρν puisqu’il n’en a pas besoin. Il indique simplement dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 102 que ses hypothèses suffisent à les déterminer et que les Γμρν ne sont pas les coefficients d’un tenseur mais d’un objet spatial plus complexe. On sait bien qu’un changement de coordonnée (xx’) agit sur les coefficients Γμρν (x) d’une connexion affine pour donner :

Image

18 Pour le voir, il faut prendre à rebours la construction de Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 101. Pour un jeu de valeurs donné Γαβγ, il suffit de prendre un système de coordonnées (x1, …, xn) défini relativement à un système de coordonnées (Image) géodésique au point P, par la formule :

Image

xoi désigne les coordonnées du point P. Le théorème d’inversion locale nous dit que cette équation définit bien un changement de coordonnée légitime sur un voisinage de P. Ainsi, la nature géométrique d’une connexion affine en un point P est univoquement déterminée par la donnée de la nature spatiale de la connexion et de la symétrie« Γαβγ = Γαγβ ». Autrement dit, le groupe G des difféomorphismes de la variété agit transitivement (une seule orbite) sur le sous-ensemble qu’on notera « C » de (Rn)3 constitué par les tableaux Γijk de valeurs réelles à 3 indices tels que Γijk = Γikj, par l’action de groupe :

Image

19 De nos jours, les relations entre la notion de connexion et la notion de dérivation sur une variété ont été approfondies. Certains auteurs définissent la connexion directement par le choix d’une notion de dérivation sur la variété au sein de l’ensemble de toutes les dérivations possibles. Pour la présentation par Weyl de la dérivation covariante et de la notion affine de géodésique : Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 102-105.

20 Weyl donnera plus de précision dans d’autre écrits sur ce que peut être une géométrie par contact (ou géométrie infinitésimale) conforme. Il suffit de considérer un espace de Weyl dans lequel la connexion métrique ϕ peut être modifiée à volonté. Alors seul le [gμν] est fixé, et la connexion affine devra varier selon une loi bien déterminée quand la connexion métrique ? varie. Cf. plus bas pour la signification de [gμν] et ϕ.

21 La linéarité de l’application ici se comprend par le fait que les fonctions distances définies en chacun des points doivent être des fonctions homogènes du premier ordre par rapport aux vecteurs. Puisque deux vecteurs définis au point P et liés linéairement, dxu et αdxu, admettent des mesures de distance dl et |α|dl, et si on veut que ces deux vecteurs restent liés linéairement par le même rapport quand ils sont transportés parallèlement jusqu’à un point P’, alors leurs nouvelles distances transportées seront du type : dl’ et |α|dl’. D’où l’existence d’un rapport (1 − ) liant dl et dl’.

22 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 110.

23 Si le choix de ce terme répond à une analogie mathématique évidente entre la connexion affine et la connexion métrique, il faut remarquer cependant que le terme peut sembler curieux pour parler d’une notion qui n’a aucun rapport avec la notion de direction mais uniquement avec la notion de longueur.

24 Ibid ., p. 111 (nous avons condensé les résultats).

25 Ibid ., p. 111-112 .

26 Cf . ci-dessus p. 278.

27 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 3e édition , op . cit ., 1918 , p. 15-16.

28 Aux sous-paragraphes IV. 2. 3 et IV. 2. 4.

29 Entrevues en IV .2.1 et IV .1 .

30 Dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 87, l’auteur attribue ainsi à Riemann une conception de l’« espace en soi » [Raum an sich] qui rappelle celle d’Einstein à laquelle Weyl adhère lui-même : « Au contraire, il [Riemann] affirme que l’espace en soi n’est rien de plus qu’une variété tridimensionnelle sans forme [formlose], et qu’alors le contenu matériel de l’espace l’informe [gestaltet] et détermine ses mesures. »

31 Aux paragraphes IV. 2. 1-4.

32 Nous modernisons légèrement la présentation. Weyl n’emploie pas le terme d’« espace tangent » (ni le symbole « T P ») mais parle du « corps des vecteurs » [Vektorkörper], dans un contexte où on voit que ce corps ne prend qu’un sens local, i. e. dépendant du point de la variété où on le considère.

33 Weyl remarque en effet en Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4 e édition, op. cit., 125 : « Une rotation, parce qu’elle doit « laisser inchangé » l’espace tangent [littéralement : le corps des vecteurs], doit évidemment être une application qui conserve les volumes. » Ce réquisit peut s’exprimer sans avoir besoin de connaître précisément la nature de la métrique, en posant que le déterminant des applications linéaires congruentes doit valoir 1.
Weyl ne redémontre pas ce résultat élémentaire d’algèbre linéaire mais se contente de la référence à Grassmann. Il faut noter qu’il se cache sans doute ici un élément qui devrait intervenir dans l’analyse conceptuelle de la notion de mesure : le fait que le volume d’un parallélépipède infinitésimal de dimension n sur une variété de dimension n doit être une forme n-linéaire alternée des n vecteurs définissant le parallélépipède. Laissons ce point.
Dans les termes actuels, les « rotations » associées à un point P de la variété forment donc un sous-groupe du groupe spécial linéaire SL (TP) associé à l’espace tangent TP. Une fois une base choisie pour la représentation numérique de TP, notre « groupe des rotations » est donc un sous-groupe de SL n (R), le groupe spécial linéaire d’ordre n.

34 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4 e édition, op. cit., p. 126.

35 Ibid ., p. 127.

36 Ibid., p. 127. L’analogie avec ce qu’on appelle de nos jours les groupes et algèbres de Lie est frappante. Cependant, il s’agit en toute rigueur d’une structure plus lâche. En effet, l’inverse d’un élément de GPP’ n’est pas lui-même dans GP→P’ mais dans GP’→P. De même, les deux éléments composés et le résultat de la composition appartiennent à trois espaces différents : GPP’, GP’P’ et GPP’. Il semble qu’on ait affaire, dans le vocabulaire actuel, à une structure de groupoïde au sens de Heinrich Brandt. Par opposition, GP est par contre un authentique groupe de Lie.

37 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, Berlin, Julius Springer, 1923, p. 49 : « Ce qui précède m’apparait comme une simple analyse de concept, l’explication de ce qu’on trouve comme tel dans le concept de métrique, la connexion métrique et le déplacement parallèle. J’en viens maintenant à la partie synthétique au sens de Kant. Il s’agit de formuler précisément le postulat, suggéré plus tôt, qui fixe le type de groupe de rotations caractéristique du monde [espace-temps] effectif. »
Le texte de l’Analyse mathématique du problème de l’espace est proche ici d’Espace-Temps-Matière. La différence semble-t-il est que le premier texte (qui est second chronologiquement) ne retient plus que l’axiome de la liberté de la déformabilité du champ métrique comme authentiquement synthétique. L’autre axiome est passé dans la partie analytique, ou bien plutôt a fusionné avec le premier.

38 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 127-128.

39 Ibid., p. 128 et 131.

40 On l’avait supposé de manière spécifique pour les espaces de Weyl dans notre troisième tableau, colonne « connexion », p. 284.

41 Ibid., p. 127-131.

42 Weyl n’avait démontré le théorème qui suit, à l’époque de la 4e édition d’Espace-Temps-Matière, que pour les cas particuliers n = 2 et n = 3. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 133. La démonstration générale est donnée dans son article de 1922 « Das Raumproblem », démonstration simplifiée et republiée dans l’appendice 12 de Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit.

43 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 132.

44 Weyl Hermann , Raum-Zeit-Materie , 4e édition , op . cit ., p. 133.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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