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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre IV. Rapports entre ces deux aspects de la spatialité : l'idéalisme dans l'infinitésimal

1. L’infinitésimal comme domaine d’influence légitime de la raison pure

Texte intégral

1. 1 DÉPLACEMENT DE L’A PRIORI DANS LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT

1Notre chapitre III a démontré comment le caractère dynamique des relations métriques, l’idée révolutionnaire de la relativité générale, posait des problèmes à une épistémologie de la géométrie comme celle de Weyl. Celle-ci, héritière à la fois de la pensée de l’idéalisme allemand et de la vision algébrique (groupe de transformations) de l’espace, insistait sur la notion d’homogénéité comme une condition a priori de l’objectivité géométrique.

2Le caractère dynamique de la métrique dans la théorie d’Einstein impose une géométrie du même type que les espaces de Riemann ; géométrie différentielle des espaces courbes qui viole l’homogénéité de l’espace, du moins telle qu’elle était conçue traditionnellement dans la continuité de la pensée de Klein. Les points de l’espace d’Einstein, comme ceux d’un espace de Riemann en général, ne sont pas métriquement équivalents au sens où il n’y a pas en général d’isométrie globale de l’espace(-temps) dans lui-même qui envoie n’importe quel point de l’espace sur n’importe quel autre. Cette tension entre la notion d’espace comme forme homogène, et l’hétérogénéité des relations métriques dans la physique d’Einstein éclate avec la plus grande acuité dans les paragraphes 11 et 12 de la 3e édition d’Espace-Temps-Matière que nous avons commentés. Cette tension est résolue provisoirement, lors du passage que nous avons appelé « l’argument de la boule d’argile », par une prise de position radicale. Si la métrique d’Einstein n’est pas homogène, c’est qu’elle n’a pas un caractère proprement spatial. L’espace n’a par lui-même que des propriétés topologiques, et il accueille ensuite en lui la métrique dynamique qui a un caractère physique comme la matière qui la détermine.

3Tant qu’on en reste à cette première approximation des rapports entre le mathématique et le physique, comment défendre un idéalisme transcendantal en relativité générale, dans le sens d’une doctrine épistémologique où la raison impose a priori à la science physique un espace dont la structure repose sur ses exigences propres ? Cela ne devient possible que si cet idéalisme transcendantal s’adresse simplement à la variété topologique (ou différentiable). Les propriétés topologiques pourraient être fixées a priori par des exigences de la raison comme condition de possibilité de toute mesure physique objective, tandis que la métrique serait complètement abandonnée à l’empirie, domaine de la physique.

4À la fin de notre chapitre précédent, nous avons donné des arguments qui montrent en quoi cette position épistémologique radicale, même si elle touche adéquatement à certains traits majeurs et irrévocables de la relativité générale, n’était pas pleinement satisfaisante. Le sens mathématique de Weyl, sa forte tendance rationaliste, ainsi que sa connaissance de l’histoire des sciences, ne pouvaient sans doute que le rendre insatisfait vis-à-vis d’une position qui exclurait totalement les considérations métriques de la notion d’espace comme forme des apparences. Il devait être réticent à ôter à la raison toute prétention à pouvoir légiférer en ce domaine. Car même si en relativité générale, la matière est en interaction avec le champ métrique (qui est lui-même un objet dynamique), pour autant certaines composantes a priori dans la construction des concepts métriques subsistent. Comme nous l’évoquions en introduction, l’a priori n’a pas disparu, il s’est simplement déplacé.

5En effet, à côté des hypothèses rationnelles extra-métriques, comme la supposition du caractère continu et différentiable de la variété spatio-temporelle, il y a également des hypothèses a priori de nature métrique qui servent de support à la mesure physique des coefficients gμν. Le fait que les coefficients gμν(x) de la métrique soient indéterminés a priori dans une géométrie de type riemannien ne doit pas nous ôter de l’esprit que la notion même d’espace de Riemann, la notion même de forme quadratique différentielle, est une construction rationnelle qui précède toute mesure et la rend possible. En ce sens, les notions mathématiques fondamentales qui constituent la géométrie différentielle servent de condition de possibilité à la mesure physique, qu’il s’agisse de la mesure des objets contenus dans l’espace, ou de la mesure de l’« espace » lui-même, au sens où nous en avons parlé dans notre paragraphe sur Gauss.

6Certes, la notion de métrique comme forme quadratique n’est pas plus primitive chez Riemann que chez Weyl, dans la mesure où les deux auteurs sont à la recherche de justifications au fait qu’on choisisse de munir l’espace avec ce type de métrique. L’important ici est que les hypothèses primitives qui servent à cette justification ne sont pas de nature empirique, comme nous l’avons déjà vu à propos de la justification de Riemann.

7Il reste à savoir : 1) comment se fait ce nouveau partage entre les composantes mathématiques a priori et les composantes physiques empiriques qui constituent le champ des relations métriques dans une géométrie de type riemannien, et 2) comment ce nouveau partage des rôles est justifié épistémologiquement. Weyl va trouver encore chez Riemann la source de sa réflexion pour répondre à ces deux questions épistémologiques capitales pour la compréhension de la géométrie différentielle.

1. 2. LA DISTINCTION NAHE/FERN COMME FRONTIÈRE ENTRE L’APRIORI ET L’A POSTERIORI DANS LA CONNAISSANCE GÉOMÉTRIQUE

8Répondons tout de suite à la première des questions. On se place dans la nouvelle géométrie, celle qui accepte les deux « hypothèses riemanniennes » de la p. 199. Alors, Weyl détermine la frontière entre la sphère mathématique, lieu où la raison peut légiférer, et la sphère physique, où le rapport à l’expérience est requis, à l’aide de la distinction entre les relations infinitésimalement proches [Nahe] et les relations à distance finie [Fern].

9Quitte à généraliser notre propos par la suite, illustrons ce que cela signifie sur l’exemple le plus classique, celui des espaces de Riemann. Nous supposerons que, pour décrire notre espace, nous nous sommes placés dans un système de coordonnées. Nous nous permettons ici l’abus de langage qui consiste à confondre un objet géométrique avec sa représentation dans le système de coordonnées choisi. Nous modernisons quelque peu le vocabulaire et les notations employées sans que cela ne trahisse les idées de Weyl.

10Un espace de Riemann est une variété différentiable de dimension n, que nous noterons « Vn », pour laquelle il existe en chacun de ses points (x0) une forme quadratique différentielle gμν(x0) définie positive qui opère sur les éléments linéaires dx définis à partir de ce point. Cette forme quadratique définit la longueur de l’élément linéaire dx(x0) selon la formule classique :

11dl² = gμν dxμ dxν

12Tous les espaces Tx0 tangents à la variété sont structurés de la même façon, quel que soit le point x 0. Cette identité de structure peut être mise en évidence comme suit. Par l’intermédiaire d’un changement de coordonnée, on peut ramener l’expression de la forme quadratique, en un point donné, à la forme euclidienne canonique :

13dl² = δμν dxμ dxν (δμν= 1 si μ=ν, 0 sinon)

  • 1 Au sens moderne d’un espace vectoriel de dimension fini muni d’une forme quadratique définie positi (...)

14Ainsi, dans un espace de Riemann, tous les espaces tangents, pris isolément, ne peuvent être distingués les uns des autres. Ils sont tous munis d’une structure qui n’est autre que celle d’un espace euclidien1.

15La longueur d’une courbe s’obtient par intégration des longueurs des éléments linéaires successifs composant la courbe. Si la courbe est paramétrée par :

16xμ(λ) λ∈[0, 1],

17sa longueur sera :

18D’une manière générale, toutes les propriétés métriques (longueurs, aires, volume, courbure.) d’un objet de taille finie (par opposition à « infiniment petit ») sont obtenues par composition et intégration des données métriques infinitésimales immédiatement données par les coefficients gμν(x) de la métrique en chaque point.

  • 2 Nous laissons pour le moment volontairement dans le vague cette notion de connexion qui prendra plu (...)
  • 3 Il faut comprendre ici par « cercle », dans un espace de Riemann de dimension 2, une courbe fermée (...)

19Alors que la structure des relations métriques infinitésimales est entièrement déterminée a priori par la supposition de l’existence d’une forme quadratique différentielle, les relations à distance finie dépendent de façon contingente de la façon dont les structures métriques infinitésimales, toutes euclidiennes, sont connectées2 les unes aux autres pour former l’espace complet. Dans le cas qui nous occupe, celui d’un espace de Riemann, c’est la donnée dans un système de coordonnées des fonctions gμν(x) qui nous permet de savoir quelles sont les relations métriques possibles à distance finie. Ainsi, pour prendre un exemple simple et connu, le rapport entre la circonférence d’un « cercle3 » de dimension finie et son diamètre est variable en général, d’un point à un autre d’un espace de Riemann. Ce n’est que lorsque le diamètre de notre cercle tend vers 0 que le rapport tend vers ?, indépendamment du point où notre cercle se trouve, et indépendamment de l’espace de Riemann choisi. C’est en effet alors seulement la structure infinitésimale de l’espace, par nature euclidienne, qui détermine ce rapport.

  • 4 On peut la considérer indifféremment comme intrinsèque ou extrinsèque puisque la distance sur la su (...)

20La différence de statut entre les relations métriques prochaines [Nahe] et les relations à distance finie [Fern] est clairement lisible dans les textes originels qui ont marqué la naissance de la géométrie différentielle. Souvenons-nous du texte sur la géométrie intrinsèque des surfaces courbes de Gauss. On commençait par considérer une surface plongée dans un espace ambiant tridimensionnel euclidien. On se permettait de déplacer la surface et de la plier (courbure extrinsèque) à volonté au sein de l’espace ambiant, pourvu que la surface ne subisse dans cette opération aucun déchirement ni aucune distorsion. Or, cette absence de distorsion signifiait mathématiquement que l’on se permettait de modifier la distance (extrinsèque) entre deux points de la surface à distance finie, mais non pas entre deux points infiniment proches. Ainsi, la distance extrinsèque entre deux points à distance finie de notre surface n’était pas un invariant de notre géométrie. En revanche, la distance entre deux points infinitésimalement proches4, i. e. la longueur d’un l’élément linéaire (dx), était bien un tel invariant. Le seul moyen de définir une notion de distance intrinsèque entre deux points à distance finie, est d’intégrer les éléments linéaires qui composent un chemin sur la surface reliant les deux points. (La distance dépendra alors du chemin choisi). Les relations métriques à distance finie sont donc dérivées des relations primitives que sont les relations métriques infinitésimales, et cette dérivation est dépendante de la surface considérée.

  • 5 Cf. p. 199.

21Riemann avait pris acte de ce caractère primitif des relations métriques infinitésimales quand il s’était débarrassé de la supposition d’un espace euclidien ambiant. Nous avons vu qu’il définissait dès le départ une surface (ou plus généralement un espace de Riemann n-dimensionnel) par la donnée intrinsèque de la forme quadratique différentielle en chaque point de la surface. On comprend maintenant pourquoi, si on accepte les deux hypothèses fondamentales de la géométrie riemannienne5, c’est dans les structures à distance finie, par opposition aux structures infinitésimales, que la matière et les lois physiques ont leur rôle à jouer. Mais avant de rentrer dans la partie proprement physique du problème, il nous faut voir comment ces idées particulières de Riemann peuvent être généralisées à une famille de géométries : les géométries que Weyl appelle « géométries par contact ».

1. 3. LA GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE, UN NOUVEAU CADRE UNIFICATEUR

  • 6 Le terme de « géométrie par contact » est un pis-aller pour traduire l’allemand « Nahegeometrie » t (...)

22Toutes les propriétés que nous venons d’illustrer font des espaces de Riemann un cas particulier, le premier apparu dans l’histoire de la géométrie, de ce que Weyl appelle une « géométrie par contact6 » [Nahegeometrie] ou parfois plutôt une « géométrie infinitésimale » [Infinitesimalgeometrie].

23Il ne faut pas interpréter « géométrie infinitésimale » au sens où il n’y aurait aucune structure spatiale à distance finie, mais au sens où seules les relations métriques infinitésimales sont une donnée primitive, alors que les relations métriques à distance finies en sont dérivées par intégration. Cette intégration doit tenir compte de la façon dont les espaces infinitésimaux (« espaces tangents ») sont connectés les uns aux autres pour former l’espace entier. La liberté accordée à la façon dont ses espaces infinitésimaux se raccordent entre eux est telle que la géométrie globale de l’espace ne dérive pas de manière univoque de la géométrie infinitésimale. En particulier, il n’est pas nécessaire que la structure globale soit similaire aux structures infinitésimales. Par exemple, il n’est pas possible en général de trouver un système de coordonnées tel que la métrique d’un espace de Riemann s’exprime uniformément sous la forme euclidienne gμν(x) = δμν (δμν = 1 si μ=ν, 0 sinon), x parcourant tout l’espace.

24C’est dans la multiplicité infinie des façons dont les « raccords » des espaces infinitésimaux entre eux peuvent se faire que réside la multiplicité des instances possibles d’une même géométrie par contact. Cette flexibilité, cette liberté laissée dans la façon de connecter entre eux les espaces infinitésimaux, est ce qui fait défaut aux géométries que Weyl, par opposition, « géométries à distance » [Ferngeometrie]. Dans ce dernier type de géométrie, ce ne sont pas les espaces infinitésimaux, les structures locales, qui sont primitives. Au contraire, on se donne directement la structure globale qui régit l’espace dans son ensemble. Weyl qualifie alors de « rigides » ces géométries, dans la mesure où la liberté de raccord dont nous avons parlé n’est plus accordée.

25Dans le cas particulier de la géométrie euclidienne, le modèle type d’une géométrie à distance, les relations à distance finie sont similaires, à leur échelle, aux relations infinitésimales. En effet, l’espace complet est muni d’une forme quadratique :

26l² = δμν xμ xν

27similaire aux formes quadratiques différentielles :

28dl² = δμν dxμ dxν.

29dont sont munis les espaces locaux (espaces tangents). La géométrie euclidienne est donc homogène dans un sens très précis : elle est invariante par homothétie, c’est-à-dire que l’espace reste structurellement identique à lui-même quelle que soit l’échelle à laquelle on se place pour le décrire.

30Dans Espace-Temps-Matière, Weyl ne circonscrit jamais par une définition mathématique exacte ce qu’il entend par une « géométrie à distance » et par la propriété de « rigidité » qu’il associe aux espaces associés à ces géométries. Mais une chose est sûre : la géométrie euclidienne et un modèle de géométrie à distance, tandis que la géométrie de Riemann (au sens des espaces de Riemann) est un modèle de « géométrie par contact ».

31L’interprétation la plus plausible consiste à dire que le terme de « géométrie à distance » renvoie chez Weyl aux géométries des espaces sans courbure. Cela comprend alors la géométrie euclidienne bien sûr, mais aussi la géométrie de Minkowski. Comme nous l’avons vu, ces géométries sont « à distance » au sens où les vecteurs et les longueurs y ont un sens indépendant du lieu où on les définit. La rigidité des espaces associés à ces géométries s’exprime par le fait qu’ils sont non seulement homogènes au sens où tous leurs points sont équivalents, mais aussi au sens où ils sont invariants par homothétie.

32Cependant, le terme de « rigidité » attribué par Weyl aux espaces « à distance », semble dans certains textes recouvrir d’autres types de géométrie : celles des espaces de Riemann à courbure constante. Ces espaces ne comprennent plus l’espace de Minkowski, mais comprennent les espaces des géométries elliptique et hyperbolique. Malgré leur rigidité, dans ces espaces, il n’y a pas en général de possibilité de donner un sens global aux vecteurs et aux longueurs. Ce second sens de la rigidité correspond à celui qu’on trouve dans les géométries de Klein. Nous avons vu que, dans un espace de Klein, il y a homogénéité au sens où le groupe des transformations de l’espace opère transitivement sur les points. Ainsi chaque point est équivalent à un autre. Pour résumer, ces espaces ne sont plus rigides au sens de l’invariance par homothétie mais seulement de l’invariance par translation. Dans le cas d’une géométrie de Klein, contrairement au cas de la géométrie par contact, chaque point est équivalent aux autres non seulement relativement aux relations locales qui structurent son voisinage infinitésimal, mais aussi comme point de vue sur la structure globale de l’espace. En effet, les transformations en jeu dans la définition des espaces de Klein sont bien les transformations globales qui agissent sur la totalité de l’espace. Parmi le foisonnement des géométries développées au xixe siècle, seule la géométrie de Riemann semble échapper à cette qualification d’être la science d’un « espace rigide ».

  • 7 Dans l’Analyse mathématique du problème de l’espace, avant de proposer sa propre solution au problè (...)

33Ces deux façons de comprendre la « rigidité » reviendront dans l’Analyse mathématique du problème de l’espace7. L’important est de bien voir que l’idée de la libre de variabilité des coefficients de la métrique, qui mène aux géométries par contact, conduit à refuser l’homogénéité globale de l’espace, aussi bien au sens de l’invariance par homothétie que de l’invariance par translation.

34Dans le paragraphe où nous avons traité des espaces de Klein, nous avons vu que la notion d’homogénéité permettait d’unifier sous un concept commun la (quasi) – totalité des géométries du xixe siècle, à l’exclusion précisément de la géométrie différentielle de Gauss-Riemann. Cette unification était transversale ; l’idée d’un groupe de transformation homogène pouvant opérer aussi bien dans la strate métrique que dans les strates affines ou projectives. En se plaçant du côté de Riemann pour s’attaquer aux géométries de Klein, Weyl va proposer le concept unificateur et transversal de géométrie par contact pour penser l’ensemble de la géométrie. Nous avons illustré cette notion sur l’exemple métrique des espaces de Riemann. Cependant, l’idée d’un espace composé par le libre raccord d’espaces infinitésimaux tous identiques se conçoit aussi bien pour les autres strates usuelles : projectives, affines et conformes, de la géométrie. On doit ainsi imaginer une géométrie par contact comme une famille d’espaces, concernant une strate donnée, et ayant en commun d’être tous composés à partir d’une structure locale, infinitésimale, qui se répète en tout point de la variété. Nous attendrons le paragraphe suivant (IV. 2), pour développer comment Weyl a participé à étendre à toutes les strates ce schéma général de la géométrie par contact.

35Terminons ce paragraphe en donnant des derniers éclaircissements sur le terme de « géométrie infinitésimale » que Weyl préfère parfois à celui de « géométrie par contact ». Dans une géométrie à distance, le calcul infinitésimal est tout aussi bien concevable que dans une géométrie par contact, puisque le calcul infinitésimal est né dans le cadre de la géométrie euclidienne classique. Ce n’est donc pas de cela qu’il s’agit. La géométrie par contact est qualifiée de « géométrie infinitésimale » non pas parce que les objets contenus dans l’espace (les courbes, les surfaces...) ont des mesures qui ne peuvent être connues que par le biais du calcul intégral, mais parce que l’espace lui-même possède des structures (affine, métrique...) qui ne sont constructibles que par intégration de structures infinitésimales.

  • 8 Cf. p. 235, dernier paragraphe du IV. 1. 1.

36En même temps qu’un nouveau cadre général pour penser de manière unifiée la géométrie, on comprend que le concept de géométrie par contact fournit à Weyl la réponse à la première question que nous avons posée ci-dessus8. C’est dans l’articulation entre le domaine de l’infiniment petit [Nahe] et le domaine du finiment éloigné [Fern] que va se trouver la frontière entre le mathématique et le physique. C’est uniquement dans le domaine infinitésimal que vont pouvoir se rencontrer les composantes a priori du concept d’espace fondées sur des exigences rationnelles du sujet, tandis que le domaine du finiment éloigné est laissé sous la juridiction de la matière et de ses lois à découvrir empiriquement.

  • 9 Ibid.

37Nous allons voir comment Weyl justifie épistémologiquement ce partage des tâches, c’est-à-dire comment il répond à la deuxième question9. Puis nous exposerons comment il est parvenu à reconstruire l’ensemble de la géométrie et de la réflexion épistémologique sur la notion d’espace à partir de ce programme unificateur de la géométrie par contact.

1. 4. JUSTIFICATION ÉPISTÉMOLOGIQUE DE LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT : LE SUJET PONCTUEL

38Selon Weyl, la frontière au sein de la notion d’espace, entre le domaine où la raison mathématique peut imposer légitimement ses exigences, et le domaine où les relations dépendent des lois physiques d’interaction, se situe entre la sphère des relations de proximité [Nahe] et la sphère des relations à distance finie [Fern]. La justification épistémologique de l’emplacement de cette frontière se trouve dans une certaine compréhension de la nature du sujet qui a déjà été entrevue à l’occasion de nos chapitres II et III.

39Nous avons vu comment, chez Weyl, le sujet était compris comme un observateur ayant un point de vue ponctuel sur le monde. Il est essentiellement localisé en un point, ce qui s’était traduit en mathématique par l’identification entre le sujet et l’origine du système de coordonnées et en physique par la modélisation du sujet sous la forme d’un œil ponctuel.

40L’insistance de Weyl sur le caractère mystérieux de la conscience montre bien que Weyl n’est en aucun cas un philosophe naïvement matérialiste. Sa notion de sujet comporte une partie spirituelle irréductible au rapport à la matière. Malgré cela, dès que l’enjeu est la construction par le sujet de la notion d’espace, on ne peut faire abstraction du fait fondamental qu’il est un être incarné qui n’a d’accès à la réalité extérieure que par l’intermédiaire de ses sens et donc de son corps qui participe de la nature physique. C’est cette incarnation autant que le mystère de la conscience que représente la figure de l’œil-observateur dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière. Dans un monde physique où toute interaction est essentiellement localisée et ne se fait que « de proche en proche », le sujet n’a accès qu’à son environnement immédiat proche par l’entremise de son corps. Si, conformément à ce que nous suggère la tradition idéaliste, la raison est une faculté capable d’imposer a priori la forme de notre rapport au monde, cela ne peut pour Weyl être légitime que dans la sphère des relations de proximité qui est la seule auquel le sujet soit rattaché immédiatement de par son incarnation dans un corps essentiellement localisé.

41C’est le point capital sur lequel Weyl souhaite se démarquer de la philosophie de Kant. Ce dernier, en associant l’espace euclidien sur lequel s’appuie la physique newtonienne à sa doctrine de l’idéalisme transcendantal, a commis le type d’erreur qu’il dénonce souvent lui-même. Il a autorisé la raison à légiférer hors de l’unique domaine qui appartient en propre au sujet et où la raison peut « imposer ses exigences » légitimement : la sphère des relations infinitésimales. Parce que Weyl pense, contrairement en particulier à l’école néokantienne de Marbourg, que la doctrine de Kant est indissociable de la géométrie euclidienne, il se pose dans une position de rejet de cette doctrine. Baser sa compréhension épistémologique des sciences de l’espace sur le postulat qu’une géométrie à distance comme celle d’Euclide est adéquate pour faire de la physique, c’est admettre, sans justification possible, que la raison puisse imposer à toute l’étendue du cosmos une certaine structure rigide immuable, celle que Weyl représentait d’une manière imagée par l’alignement des casernes d’un camp militaire. L’idéalisme transcendantal de Kant avait proposé qu’on ne pense pas le sujet comme un être immergé dans un espace dont la réalité serait indépendante de lui, et qu’il essaierait de connaître par expérience. Si tel était le cas, il n’y aurait pas de vérité géométrique nécessaire, donc pas de géométrie comme discipline mathématique mais seulement comme théorie physique révisable. Ce n’était manifestement pas le cas pour Kant. À la place d’un sujet dans l’espace, Kant nous proposait de penser que l’espace était une forme a priori de la sensibilité du sujet, une intuition pure qui sert de fondement à toutes les intuitions extérieures, c’est-à-dire qui est une condition de possibilité de tout rapport à un objet d’expérience.

42La forme d’idéalisme que semble défendre Weyl est en un sens plus complexe et plus modérée. Il conserve l’idée que l’espace est une forme des apparences ou une forme de notre intuition. Cela semble signifier pour lui que ce qui est intersubjectif dans la notion d’espace n’est pas objet d’une expérience mais est une construction rationnelle (de nature mathématique) que le sujet impose à la réalité pour pouvoir l’appréhender. Mais, parce que le sujet occupe dans le monde une place ponctuelle et qu’il n’a immédiatement accès qu’à son environnement direct, il n’a de légitimité de poser a priori des structures qui fondent son futur rapport au monde par le biais de la mesure, uniquement pour les relations infinitésimales. Ainsi, tout se passe comme si, antérieurement à l’espace comme forme des apparences, se tenait une vérité, disons de nature « topologique », à laquelle la raison est elle-même soumise. Il s’agit du fait que tout objet (dont notre corps) est essentiellement localisé, qu’il n’a d’accès immédiat qu’à un certain domaine de l’être qui est son voisinage.

43Ainsi, nous voyons donc que la notion de sujet qui intervient majoritairement dans la philosophie de l’espace-temps de Weyl, et que nous avons décidé de nommer « sujet ponctuel », est très marquée par son incarnation dans un corps et par le caractère localisé de ce corps qui en fait un point de vue ponctuel sur le monde. Cependant, il nous semble qu’il ne faut pas directement confondre ce sujet ponctuel et son voisinage infinitésimal, avec un corps humain concret et son environnement perceptif. Cette question n’est pas thématisée par Weyl à notre connaissance dans la période concernée. Toutefois, nous pouvons comprendre la différence entre un sujet fini concret et le sujet ponctuel idéalisé de Weyl à partir de l’usage qu’il fait de cette dernière notion.

44Aussi petit soit-il par rapport au cosmos ou aux objets qu’il observe, un corps humain est en toute rigueur « fini », de même que tout autre objet physique qui sert de système de référence ou de mesure et peut être qualifié de sujet par extension. De même, aussi petit soit l’environnement physique concret que nous considérions pour notre être humain (son pays, sa ville, sa maison, sa chambre, voire les limites même de son corps), là aussi il s’agira toujours en toute rigueur d’un voisinage fini. Or, quand nous employons avec Weyl le mot « infinitésimal » pour qualifier le voisinage de notre sujet-ponctuel, ce n’est pas en un sens métaphorique, comme lorsque les physiciens parlent de l’« infiniment petit » pour parler du « très très petit », de ce qui se passe à l’échelle des atomes par exemple. Notre usage du terme « infinitésimal » correspond plutôt, avec Weyl, à l’usage rigoureux qu’en font les mathématiciens. Il s’agit d’une idéalisation mathématique.

45Ainsi aucun sujet humain ou objet fini de mesure ne pourra correspondre à l’idée de Weyl d’un sujet ponctuel. Dans un monde einsteinien où la métrique est dynamique et varie d’un lieu à l’autre, on peut imaginer que la précision des mesures accomplie pour sonder la métrique de l’espace-temps sera inversement proportionnelle à la taille de l’objet de mesure. Si bien que, pour qu’un objet (cela peut être une règle, un corps humain.) mesure avec plus de précision les relations métriques de son espace environnant, il devra lui-même être d’autant plus petit. Au plus un instrument de mesure est grand et au plus il va confondre entre elles les valeurs de propriétés locales proches entre elles par rapport à la dimension de l’instrument de mesure. Ainsi, le sujet-ponctuel n’est qu’un cas limite, une simplification mathématique obtenue en imaginant un instrument de mesure idéalisée dont les dimensions ont été réduites strictement à zéro, un véritable œil ponctuel.

  • 10 Cf. les éléments donnés ci-dessus sur ce point, notamment la note 12, II. 2. 3, p. 127-128.

46N’est-ce pas uniquement en raison de ce caractère idéalisé (au sens d’un cas-limite en mathématique) du sujet ponctuel, de son caractère proprement infinitésimal, que Weyl parvient à lui redonner une dimension transcendantale ? Si le sujet ponctuel était petit mais néanmoins fini, et si le voisinage que nous lui attribuions en propre était une petite région finie autour de lui, alors l’idéalisme dans l’infinitésimal (où « infinitésimal » serait pris ici en un sens métaphorique) serait sans doute une ineptie, un mélange incohérent d’idéalisme et d’empirisme. En aucun cas cet idéalisme pourrait avoir une signification transcendantale. Mais ce n’est pas le cas. La raison, dans la philosophie de l’espace de Weyl, ne dirige que les relations infinitésimales au sens strict du terme. Le sujet réel d’une mesure, qu’il s’agisse d’un être humain ou par extension d’une simple règle, en tant que possédant une taille finie et appliquant sa mesure à une portion finie de la réalité, ne mesurera pas l’espace infinitésimal. Ce dernier est une idéalité qui précède toute mesure et la rend possible. Plutôt, la mesure ne pourra concerner qu’une grandeur finie (la courbure d’une surface finie, la longueur d’une courbe finie, etc.) qui, aussi petite soit-elle, est déjà une grandeur obtenue par intégration des espaces infinitésimaux la composant. Le sujet-ponctuel est donc un sujet abstrait, un résidu dit Weyl, en tant qu’on lui a ôté sa dimension finie et les caractéristiques contingentes qui viennent de son incarnation dans un corps. La seule propriété résiduelle que l’on a conservée de cette incarnation semble être sa localisation ponctuelle. Ainsi, par ce processus d’idéalisation, de simplification, qui part du sujet fini concret pour parvenir au sujet ponctuel infinitésimal, Weyl semble ouvrir une voie nouvelle pour redonner un sens transcendantal au sujet ; même s’il a cette particularité d’être irrémédiablement lié à un point de vue ponctuel sur le monde. Bien sûr tous ces développements interprétatifs sur la pensée de Weyl ont pour limite le fait que Weyl évite soigneusement, comme nous l’avons vu, la notion de sujet transcendantal, qui reste un tabou dans les textes importants de cette période10.

47À ce niveau de l’analyse épistémologique, où nous n’avons considéré que le sujet ponctuel et son voisinage infinitésimal, il semble qu’on ait affaire à une forme de solipsisme, chaque sujet étant de nature irréductiblement locale et transportant avec lui son propre espace qui n’a de sens que pour son voisinage immédiat. Pour sortir de ce solipsisme, il faut comprendre que la raison qui légifère dans la sphère infinitésimale n’impose pas seulement la structure infinitésimale de l’espace local, mais aussi le mode général selon lequel chaque espace infinitésimal est connecté à ses voisins. Pour fixer les idées, si on prend un point de vue surplombant, intersubjectif, on peut imaginer l’espace global comme étant une sorte de toile en patchwork, composée de petits morceaux de tissus tous identiques (les espaces infinitésimaux), chaque morceau de tissu étant relié à ses voisins par une couture (la connexion) qui est elle-même similaire en tout point.

48Le point crucial est que ce mode de connexion, qui fait encore partie de la sphère infinitésimale où la raison peut imposer ses exigences, ne suffit encore pas à déterminer la structure globale de l’espace. Tout ce que la raison peut imposer dans le passage d’un espace infinitésimal à son voisin c’est un principe de continuité, que Weyl considère comme un lointain héritier du principe de continuité leibnizien. Il impose que l’on passe d’une structure infinitésimale à sa voisine sans changement brutal. Filons la métaphore du « patchwork ». On peut imaginer l’indétermination partielle des structures à distance finie comme la possibilité pour le tissu dans sa globalité de prendre une forme quelconque en orientant différemment les uns par rapport aux autres les petits morceaux de tissus qui le composent. Le principe de continuité impose seulement que ce « changement d’orientation » se fasse de manière infinitésimale dans le passage d’un espace infinitésimal à son voisin. Il n’y a pas d’arête, pas de points singuliers dans la trame de notre tissu.

  • 11 On verra en fait plus bas, avec les « espaces de Weyl », que le raccord des espaces infinitésimaux (...)

49Dès que l’on souhaite connaître la structure des relations (affine, métrique...) à distance finie, on est dans un rapport à quelque chose d’irréductiblement extérieur au sujet, car non local, et le rapport à l’expérience est alors requis. Conformément à ce que nous avons développé ci-dessus, la place vacante que vient remplir ce rapport à l’expérience est la détermination de l’orientation mutuelle11 que prennent les espaces infinitésimaux les uns par rapport aux autres.

  • 12 Au paragraphe III. 2. 2.

50Nous avions développé ci-dessus12, comment l’analyse de Riemann l’avait poussé à faire appel à l’expérience pour venir déterminer les valeurs gμν de la métrique dont la nature avait été imposée a priori. L’analyse épistémologique de Weyl ne fait donc que poursuivre en la généralisant l’analyse de Riemann. Les espaces de Riemann ne sont pas pour Weyl la structure métrique la plus générale que la raison mathématique est susceptible de développer en respectant ses propres exigences d’homogénéité et de continuité. Mais l’analyse épistémologique riemannienne avait cependant touché juste en montrant que la raison ne pouvait imposer a priori que la forme générale de la métrique mais non pas la valeur particulière de ses coefficients. On peut voir la position de Weyl que nous avons esquissée comme un affinage de l’analyse épistémologique de Riemann. Weyl montre que la différence épistémologique entre la nature de la métrique, qui détermine a priori les relations métriques infinitésimales, et les relations métriques à distance finies, déterminées par le jeu des interactions de la matière, est justifiée par une analyse du sujet et de sa nature essentiellement « locale », au sens de l’infiniment proche.

51Cette analyse permet de préciser en quel sens Weyl fait partie de la famille des penseurs idéalistes de la théorie de la relativité. On qualifie finalement son idéalisme d’« idéalisme dans l’infinitésimal », en comprenant bien que ce n’est pas seulement la structure d’un espace infinitésimal « sans rapport à ses voisins » qui est perçue comme étant imposée a priori par la raison, mais aussi le mode de connexion d’un espace infinitésimal à l’autre. La rupture principale par rapport au kantisme tient donc à une limitation de la sphère d’application légitime de la raison dans la construction du concept d’espace. Mais au sein de la sphère où la raison peut imposer légitimement ses exigences, l’idéalisme de Weyl est tout à fait radical. En effet, toutes ses recherches sur la nature de la métrique et du mode de connexion des espaces infinitésimaux tendent idéalement à vouloir imposer une structure unique fondée exclusivement sur les exigences de la raison.

52Les problèmes d’interprétation quant à la forme d’idéalisme défendue par Weyl sont multiples et proviennent en grande partie du fait que Weyl n’a pas écrit de texte où il aurait exposé exhaustivement sa conception du sujet, de ses diverses facultés, et de la place exacte que le sujet occupe dans la constitution du concept d’espace. Sans doute, ce manque est une conséquence du rapport particulier qu’entretient Weyl avec la philosophie. Il n’essaie pas de reconstruire une nouvelle doctrine idéaliste mais se sert de ses lectures idéalistes pour lui fournir des idées directrices qu’il adapte pour interpréter la science de son époque. Aussi légitime que soit cette attitude, les problèmes qu’elle pose pour une interprétation correcte de l’idéalisme de Weyl n’en sont pas moins réels. Tous les traits que nous avons développés ci-dessus nous semblent les plus clairs au vu des diverses remarques éparses dans Espace-Temps-Matière. Selon nous, la principale difficulté qui subsiste consiste à comprendre les rôles respectifs que Weyl attribue à la sensibilité et à l’entendement, à l’intuition et au concept, dans la détermination de cet espace comme forme de notre intuition qui opère dans le domaine infinitésimal.

53La majorité des textes d’Espace-Temps-Matière laissent à penser que les éléments rationnels sur lesquelles sont fondés l’espace comme forme, qui comprend la structure infinitésimale des relations de mesures, ne proviennent pas d’intuitions sensibles inhérentes à la nature de notre sensibilité, mais plutôt de l’ordre d’une construction conceptuelle fondée sur des notions comme la congruence, l’homogénéité et la continuité. L’analyse mathématique du problème de l’espace qui clôt la période de rédaction d’Espace-Temps-Matière est le modèle d’une telle analyse conceptuelle qui justifie la forme a priori de l’espace (dans ses structures infinitésimales) par un travail mathématique cherchant à imposer la forme générale de la métrique en montrant qu’elle est la seule compatible avec les grands principes a priori que sont l’homogénéité, la continuité et le principe de liberté de la connexion que nous développerons ci-dessous.

54Cependant, d’autres textes de Weyl laissent à penser au contraire, dans une perspective plus kantienne, que cette forme a priori qu’est l’espace dans ses structures infinitésimales reposerait sur des intuitions sensibles irréductibles à du concept pur.

  • 13 Nous expliquerons par la suite en quoi ces interprétations des textes de Weyl nous semblent incorre (...)

55L’appellation de « forme de notre intuition » que Weyl emploie parfois à la place du plus courant chez lui « forme des apparences », va dans ce sens. Certains textes semblent affirmer que la structure euclidienne locale des géométries par contact qu’acceptent Riemann et Weyl a été choisie parce qu’elle correspondrait à une certaine forme que le sujet perçoit immédiatement par intuition sensible13. Enfin, le rattachement de Weyl, pendant une année, à la pensée de Brouwer, peut être interprété comme une volonté de justifier les fondements de sa géométrie par contact en resserrant les liens entre les mathématiques qui décrivent les structures infinitésimales, et les propriétés intuitives de la perception. La mise à l’écart provisoire du problème philosophique de l’espace est sans doute liée avec cette zone de flou autour du rôle de l’intuition dans les fondements de la géométrie par contact.

56Nous pensons qu’il n’est pas possible de trancher entre ces deux lectures de Weyl dans Espace-Temps-Matière. Sans doute, la juxtaposition dans le texte de ces deux types de discours est le signe d’une problématique qui s’est posée à Weyl mais pour laquelle il ne s’est jamais prononcé définitivement. Une chose nous semble parfaitement claire dans son texte : la place prédominante des éléments a priori dans la détermination des relations de mesure infinitésimales. Mais la clarification de ce qui a trait à l’intuition et ce qui a trait à la construction conceptuelle au sein de ces éléments a priori est toujours en attente, avec le problème philosophique de l’espace. Tout ce que nous pouvons faire, en tant que lecteurs d’Espace-Temps-Matière, c’est signaler la juxtaposition de ces deux types de discours, et la problématique qu’ouvre inévitablement cette juxtaposition. Enfin, on peut, avec Sieroka, noter que ces deux voies de compréhension de la nature des éléments a priori pourraient être perçues comme issuse de deux sources d’inspiration philosophique différentes de Weyl. Peut-être, la compréhension « passive » des éléments a priori comme issus d’une intuition perceptive immédiate serait à mettre au compte d’une influence d’Husserl sur Weyl, tandis que la compréhension « active » des éléments a priori comme issus d’une construction conceptuelle serait à mettre au compte d’une influence fichtéenne.

1. 5. LA GÉOMÉTRIE PAR CONTACT COMME PROGRAMME DE RECHERCHE

57Nous espérons avoir convaincu le lecteur que la notion de géométrie par contact (ou de géométrie infinitésimale) est la notion clef pour comprendre l’unité du projet de Weyl dans sa période d’investissement maximal dans le problème général de l’espace dans ses dimensions tant mathématique, physique, qu’épistémologique. Derrière le foisonnement des idées qui composent Espace-Temps-Matière et les multiples changements de position qui marquent les différentes éditions du texte, on peut saisir une unité programmatique que nous allons présenter ci-dessous sous une forme un peu plus systématique que ne le fait Weyl. Ce programme de reconstruction des sciences de l’espace, de leur épistémologie, et de leur ontologie, sous la direction de la notion de géométrie par contact, comporte trois volets :

58Un volet mathématique :

59En vertu de la notion de géométrie par contact, il s’agira pour Weyl :

  • d’affiner la notion riemannienne de métrique et de parfaire la notion mathématique de connexion pour que toutes les strates de la géométrie puissent être construites les unes après les autres de façon conforme à l’idée de géométrie par contact. On parvient par ce biais à une géométrie infinitésimale pure

  • de construire mathématiquement une nouvelle notion d’homogénéité conforme à l’idée de géométrie par contact, qui remplacera la notion kleinienne d’homogénéité pour penser de manière unifiée et transversale l’ensemble de la géométrie ;

  • de démontrer mathématiquement que la forme générale adoptée par Weyl pour la métrique et pour la connexion est la seule compatible avec les principes a priori adoptés (homogénéité, continuité, liberté). C’est l’analyse mathématique du problème de l’espace

60Un volet physique :

61L'architecture mathématique des géométries par contact est le corrélat naturel d'une physique des champs qui ne conçoit les phénomènes naturels qu'à partir d'interactions essentiellement localisées dont les influences ne se propagent qu'à vitesse finie. Le volet physique du programme de la géométrie par contact comportera donc principalement une réécriture de toutes les grandeurs et lois physiques pour s'adapter à la nouvelle nature de l'espace. Le remplacement des anciennes notions mathématico-physiques non localisées (force, flux, circulation...) par des notions localisées (champ, divergence, rotationnel...) était déjà bien avancé à l'époque des travaux d'Einstein et de Weyl. Les outils différentiels mathématiques (divergence, rotationnels...) se mettent en place dès le xviiie, tandis que l'idée d'une limitation de la vitesse de toute interaction s'impose progressivement avec la découverte du caractère fini de la vitesse de la lumière et les travaux électromagnétiques de Faraday et Maxwell. Le débat sur la dynamique de l'éther et la propagation de la lumière se clôt avec la consécration définitive du caractère limité de toute interaction dans la mécanique de la relativité restreinte. Le propre de la géométrie par contact, qui prolonge le point de vue de la relativité générale, c'est qu'il faut adapter les outils mathématico-physique au fait que ce n'est plus seulement la matière qui a le caractère dynamique d'un champ se propageant à vitesse finie, mais l'espace lui-même, ou plutôt la métrique spatio-temporelle.

  • 14 Cf. plus bas IV .2.3 et IV .2.4.

62La réussite de Weyl dans la « purification » de la géométrie infinitésimale14, et la plus grande liberté dans la construction des relations métriques permises par les « espaces de Weyl », lui ont donné l'espoir de parvenir à réaliser deux projets qui viennent se greffer naturellement sur le programme de la géométrie par contact sans en découler d'une manière nécessaire :

63(1) Une tentative de réduction ontologique de toutes les entités physiques à la notion de champ dynamique. Nous avons vu dans notre chapitre III comment la métrique d'Einstein devenait un champ dynamique au même titre que le champ électromagnétique. Pour parvenir à un monisme ontologique, il fallait encore réduire la notion de matière à celle de champ. Dans les équations d'Einstein, la matière intervenait déjà sous la forme d'un champ dynamique par le biais du tenseur d'énergie-impulsion. Mais cette modélisation « lissée » de la matière par un champ continu de densité ne rend pas compte de la nature « granulaire », « corpusculaire » de la matière observée par ailleurs. Comment assumer jusqu'au bout une vision continuiste du monde physique et concevoir chaque portion de matière, y compris les « particules », comme ayant une nature « fluide », décomposable indéfiniment en éléments plus petits ? Il fallait pour cela pouvoir rendre compte de la stabilité des particules, c'est-à-dire de la possibilité pour une quantité importante d'énergie de se maintenir de manière au moins approximativement stable sous une forme localement condensée, ne faisant apparaître la distribution de la matière comme granulaire qu'au niveau mésoscopique. Pour tenter de réaliser ce projet explicatif, afin d'atteindre un monisme ontologique des champs dynamiques, Weyl adapte à la théorie d'Einstein une théorie de Gustav Mie qui avait été produite dans le cadre de la mécanique classique. Cette généralisation de Weyl est intégrée à Espace-Temps-Matière dans la troisième édition.

64(2) Outre cette poursuite du programme de Mie, Espace-Temps-Matière contient, à partir de la troisième édition, une autre théorie physique nouvelle. Elle est, semble-t-il, la première tentative de l'histoire d'une théorie unifiée des champs. En effet, Weyl avait l'espoir que sa géométrie par contact fournisse un cadre géométrique suffisamment puissant pour finir de géométriser totalement la physique. Nous avons expliqué, dans notre paragraphe II .15, la différence de statut, en relativité générale, entre les lois de la gravitation et les lois de l'électromagnétisme, du point de vue de leur rapport à la métrique. Les phénomènes gravitationnels sont de nature géométrique contrairement aux phénomènes électromagnétiques. Weyl pose l'hypothèse (dès1918) que la structure d'un espace de Weyl pourrait permettre de géométriser complètement les interactions électromagnétiques aussi bien que gravitationnelles, la nouvelle entité géométrique qu'est la connexion métrique d'un espace de Weyl pouvant jouer le rôle du potentiel électromagnétique.

65Un volet épistémologique et ontologique :

  • 15 Au paragraphe IV.1.
  • 16 Cf. la note 7 de la page 23 de l'introduction pour le couple géométrie mathématique /géométrie phys (...)

66Nous avons déjà15 exposé en quoi la notion de géométrie par contact fournissait à Weyl non seulement un fil directeur pour une compréhension globale et une généralisation des géométries mathématique et physique16, mais aussi pour fonder une nouvelle épistémologie des sciences de l'espace.

67Les réalisations mathématiques et physiques liées aux deux premiers volets sont en fait de part en part imprégnées de philosophie que cela soit dans leurs présupposés ou dans leurs conséquences.

68Le volet physique est en effet inséparable de questions ontologiques fondamentales sur la nature de la matière du type : la matière n'est-elle qu'une entité secondaire émergeant du champ ou a-t-elle une réalité indépendante ?

  • 17 Au paragraphe IV.1

69Ensuite, les deux derniers pans du volet mathématique, outre qu'ils permettent de penser de manière unifiée les mathématiques, sont indissociables d'un nouveau système épistémologique des mathématiques et de la physique. Il peut être résumé comme nous l'avons fait17 par l'idée d'un idéalisme dans l'infinitésimal couplé avec un empirisme concernant les relations à distances finies. Si l'homogénéité (en quête d'une nouvelle expression mathématique) est toujours aussi primordiale, c'est qu'elle reste le concept essentiel pour comprendre l'objectivité (intersubjectivité) des relations géométriques. Elle a conservé sa fonction épistémique. Enfin, le problème mathématique de l'espace est un problème de fondement des mathématiques qui se présente comme une réalisation concrète du type d'analyse conceptuelle que la raison est légitimée à faire dans la sphère des relations infinitésimales pour imposer la forme adéquate de l'espace comme forme.

Notes

1 Au sens moderne d’un espace vectoriel de dimension fini muni d’une forme quadratique définie positive.

2 Nous laissons pour le moment volontairement dans le vague cette notion de connexion qui prendra plus tard le sens mathématique précis de l’unique connexion affine compatible avec la métrique riemannienne choisie.

3 Il faut comprendre ici par « cercle », dans un espace de Riemann de dimension 2, une courbe fermée formée de tous les points situé à une distance fixée « r » d’un point O de l’espace (le centre). La notion de distance employée est la longueur de la géodésique reliant le centre aux points de la circonférence. Pour éviter une complexité inutile, on suppose qu’on s’est placé sur un voisinage suffisamment petit autour du centre pour qu’il y ait une seule géodésique naturelle qui relie ce centre à chaque point. La longueur de la circonférence du cercle se calcule bien sûr en intégrant la longueur de tous les éléments linéaires composant la circonférence. On appelle ici « diamètre » le nombre 2*r.

4 On peut la considérer indifféremment comme intrinsèque ou extrinsèque puisque la distance sur la surface est induite de la métrique de l’espace ambiant.

5 Cf. p. 199.

6 Le terme de « géométrie par contact » est un pis-aller pour traduire l’allemand « Nahegeometrie » tout en conservant l’analogie que nous avons déjà évoqué chez Weyl entre le couple Nahegeometrie/Ferngeometrie, et le couple Nahewirkung/Fernwirkung ; ce dernier étant traduit usuellement en français par : action par contact/action à distance. Notons qu’on trouve dans la littérature contemporaine en mathématiques un usage du terme « géométrie de contact » pour parler d’une structure géométrique très particulière, dérivant de la considération d’un champ d’hyperplans dans une variété, et qui n’a aucun rapport direct avec notre propos. Cette notion avec laquelle nous ne devons pas confondre la Nahegeometrie de Weyl est traduite en allemand par « Kontaktgeometrie ».

7 Dans l’Analyse mathématique du problème de l’espace, avant de proposer sa propre solution au problème de l’espace, Weyl va présenter des solutions conformes aux idées de ses prédécesseurs. Ces solutions consistent à sélectionner, parmi toutes les géométries possibles, celles qui sont semblables à la géométrie euclidienne. Or, Weyl va donner plusieurs interprétations possibles de cette « similarité à l’espace euclidien ». Parfois, c’est l’espace de Minkowski qui est rapproché de celui d’Euclide, car tous les deux sont « plats » et permettent de définir des vecteurs et longueurs qui ont une signification « à distance ». Parfois, ce sont les sphères (de courbure négative ou positive) qui sont rapprochée de l’espace euclidien. Dans ce cas, la similarité avec l’espace euclidien vient de l’homogénéité et de l’isotropie de ces espaces.

8 Cf. p. 235, dernier paragraphe du IV. 1. 1.

9 Ibid.

10 Cf. les éléments donnés ci-dessus sur ce point, notamment la note 12, II. 2. 3, p. 127-128.

11 On verra en fait plus bas, avec les « espaces de Weyl », que le raccord des espaces infinitésimaux ne concerne pas uniquement l’orientation des espaces infinitésimaux au sens strict d’un changement progressif de direction des vecteurs. Il faut aussi prendre en compte la façon dont les longueurs peuvent se transférer d’un espace infinitésimal à un de ces voisins (changement de longueur des vecteurs).
Par exemple, pour une surface courbe plongée dans un espace euclidien tridimensionnel, la courbure de Gauss est une mesure de la rapidité avec laquelle le vecteur normal à la surface change d’orientation (angle) quand on s’éloigne du point où la mesure est effectuée. C’est donc bien une mesure ayant trait au changement d’orientation des espaces tangents les uns par rapport aux autres.
Dans un espace de Weyl de dimension 2, en plus de cela, il faudra se donner une sorte de changement progressif des mesures de longueur quand on se déplace sur notre espace. Ainsi, la « courbure métrique » mesurera la contraction ou la dilatation subie par une longueur qui a été déplacée autour d’un point.
Quand on parlera par la suite d’« orientation » des espaces infinitésimaux, il faudra se souvenir qu’on parle aussi bien du raccord des directions que du raccord des longueurs des vecteurs. Il est certes étrange de parler d’orientation pour quelque chose qui n’est pas directionnel mais, après tout, cela est conforme au choix de Weyl de garder le mot de courbure dans le cas de la courbure métrique, alors même que, là aussi, on n’a plus affaire à un changement de direction mais plutôt à un changement de longueur (contraction/dilatation).

12 Au paragraphe III. 2. 2.

13 Nous expliquerons par la suite en quoi ces interprétations des textes de Weyl nous semblent incorrectes.

14 Cf. plus bas IV .2.3 et IV .2.4.

15 Au paragraphe IV.1.

16 Cf. la note 7 de la page 23 de l'introduction pour le couple géométrie mathématique /géométrie physique.

17 Au paragraphe IV.1

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