Version classiqueVersion mobile

L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre III. La métrique physique 1. L'espace-temps-matière comme problème

4. Annexes

Texte intégral

4. 1 Éléments sur le principe de Mach en relativité générale

1Les équations d’Einstein sont des équations différentielles non linéaires du second ordre qui posent l’égalité entre le tenseur Tμν exprimant la distribution dans l’espace-temps de l’énergie-impulsion et le tenseur d’Einstein

Image

qui est une fonctionnelle du tenseur gμν et de ses dérivées premières Image et secondes Image.

2La distribution de l’énergie-impulsion, même si elle est connue sur la totalité de l’espace-temps, ne détermine donc pas totalement la métrique mais seulement son « évolution » au cours du temps, évolution décrite par le biais de cette sorte de courbure d’espace-temps qu’est le tenseur d’Einstein. Plusieurs fonctions gμν non-isométriques peuvent avoir le même tenseur d’Einstein partout sur l’espace-temps. Par exemple, on sait qu’une portion d’espace-temps où le tenseur d’Einstein s’annule (comme dans un trou !) peut décrire aussi bien une portion de l’espace de Minkowski, qu’une portion d’un espace de Schwarzschild, ou encore une portion d’un espace plus complexe traversé par des ondes gravitationnelles diverses comme ce serait le cas dans une portion vide de l’espace à proximité de phénomènes gravitationnels divers. Les solutions de l’équation Gμν = 0 sont d’une manière générale les variétés einsteiniennes qui sont très diversifiées. Cette variété de solutions n’est pas due à la nonlinéarité des équations puisqu’un phénomène similaire intervenait déjà avec le problème de Dirichlet pour les équations (linéaires) de l’électromagnétisme classique. Les équations de Poisson ΔØ =0 exprimant l’état du champ électrique dans une portion de l’espace sans charge, donnaient déjà lieu à une infinité de solutions exprimant toutes les formes de champs électriques susceptibles d’être rencontrées dans une portion vide de l’espace. La diversité était ici due notamment au fait que l’état du champ électrique à l’intérieur de notre portion d’espace vide de charge dépend en partie de la distribution des charges situées en dehors de la portion concernée.

3Revenons aux équations d’Einstein. Le fait de de considérer l’espace-temps dans sa totalité et non pas uniquement une portion, ne rétablit pas l’unicité de la solution (l’unicité du tenseur gμν pour un GΜΝ donné).

  • 1 Cf.Choquet-BruhatYvonne, « Problème de Cauchy global en relativité générale », Séminaire Jean Leray (...)

La connaissance de la distribution de l’énergie-impulsion sur tout l’espace-temps ajoutée à la connaissance des gμν sur une hypersurface de type « espace » ne suffit toujours pas à connaître univoquement l’évolution temporelle de la métrique dans le futur ou le passé proche de cette hypersurface. Par contre, la connaissance de la distribution de l’énergie-impulsion sur tout l’espace-temps, ajoutée à la connaissance des gμν et des Image sur une hypersurface de type « espace » donne lieu à une solution locale unique (i. e. à une fonction gμν,, définie à isométrie près, au moins dans le passé proche et le futur proche de l’hypersurface considérée)1.

4Pour résumer, dans la théorie d’Einstein, la connaissance de la distribution de l’énergie-impulsion sur tout l’espace-temps ne permet pas de déterminer univoquement la métrique. En revanche, si on connaît de plus la métrique et ses dérivées premières sur tout l’espace au temps t = 0, alors nous pouvons la déterminer univoquement pour les temps futurs et passés proches. Ainsi, la métrique n’apparaît pas comme un objet physique qui serait complètement réductible à la matière. C’est plutôt un objet physique qui a une certaine dépendance à l’égard de la matière. En ce sens-là, on peut y voir, comme Einstein l’a parfois suggéré, une forme de retour à un « éther » (quoique de nature gravitationnelle et non pas électromagnétique).

5De même que, dans la physique de Newton, la connaissance des lois de la mécanique et des grandeurs intrinsèques (masses, charges électriques) permet de connaître l’évolution d’un système pourvu qu’on connaisse les positions et les vitesses initiales des corps en présence ; dans la physique d’Einstein, la connaissance de la distribution de la masse dans l’espace-temps ne permet de connaître la métrique sur tout l’espace-temps que si on connaît ses valeurs initiales et sa « dérivée » à l’origine. Pour résumer cela dans un langage philosophique, on dirait que la masse détermine la dynamique du champ métrique sans qu’on puisse réduire ontologiquement la métrique à la masse comme étant purement une de ses qualités émergentes. Énergie-impulsion et métrique sont deux champs dynamiques en interaction. Si bien que, au cas où nous chercherions une ontologie moniste pour la physique d’Einstein, il faudrait la chercher du côté de la notion de champ dynamique en général, plutôt que du côté de la substance matérielle même sous sa forme dynamique du champ d’énergie-impulsion. Vouloir donner une primauté ontologique au champ dynamique « tenseur énergie-impulsion » par rapport aux autres champs comme le champ métrique est sans doute un réflexe issu de la longue tradition de la philosophie de la substance (avec cette idée que la substance doit précéder ontologiquement ses propriétés qui se réduisent ici aux champs qui en émanent).

6Notons que l’histoire du principe de Mach (détermination complète de la métrique par la matière), de ses diverses interprétations, et de la caractérisation exacte des formes de ce principe qui valent ou non pour la théorie de la relativité générale, est une question d’une très grande complexité tant mathématique que conceptuelle. Cette courte annexe ne prétend donc en aucun cas à une exhaustivité, ni même à un survol de tous les principaux sous-problèmes qui se posent à quiconque étudie le principe de Mach dans son rapport à la relativité générale. Il s’agissait simplement de montrer la complexité de ce problème sur lequel Weyl, au contraire d’Einstein, passe rapidement en raison de la problématique différente qui est la sienne. Nous voyons que le principe de détermination du champ métrique par la matière, qui prend le statut d’hypothèse plutôt que de problème dans l’argument du morceau d’argile de Weyl, ne va pas de soi dans la théorie d’Einstein.

4. 2. COMMENT RÉPONDRAIT-ON À L’ARGUMENTATION DE LA BOULE D’ARGILE EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE ?

7Pour jeter quelques lumières nouvelles sur l’argument de la boule d’argile, tel qu’il est avancé par Weyl dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière, on va réfléchir à la façon dont le problème pourrait être résolu dans le cadre précis de la théorie d’Einstein.

8Supposons, comme dans l’argument de Weyl, que nous malaxions une boule d’argile, lui faisant subir une déformation continue. La déformation est une opération physique. Elle n’a évidemment pas lieu à l’intérieur de l’espace-temps purement mathématique des coordonnées. C’est au sein du champ métrique local, qui est un champ physique dynamique en interaction avec l’ensemble de la matière du cosmos, que nous malaxons notre boule d’argile. Si elle change de forme, c’est que le déplacement des particules d’argile, de masses infimes, n’induit certainement pas le changement radical de l’état du champ métrique local que nous attendrions pour rétablir la forme sphérique de la boule d’argile. Selon la théorie de la relativité générale, l’état local de la métrique, là où nous malaxons la boule, reste avant tout déterminé par son état antérieur et par les grandes masses en présence dans l’Univers. Il n’a changé que de manière infime, même si la déformation de la boule d’argile était importante.

9Si nous nous rappelons l’argument du trou, la possibilité d’utiliser un difféomorphisme qui se confond avec l’identité en dehors d’une petite région où se situe la boule d’argile semble indiquer que la considération des masses lointaines n’est pas pertinente ici.

10Pour que la métrique conserve ses valeurs lors du déplacement de la boule d’argile, il faudrait, comme dans l’argument du trou, que la transformation que nous utilisons pour définir le déplacement tracte tous les champs définis sur la portion d’espace-temps correspondant à la boule d’argile déplacée, y compris le champ métrique. Dans la description mathématique d’un changement de coordonnées, cela a une signification claire. Mais dans le cas physique envisagé par Weyl, cela n’est plus le cas. Dans l’expérience physique du malaxage d’une boule d’argile, nous ne malaxons bien sûr pas simultanément le champ métrique lui-même ( !)

11Si on veut modifier notablement l’état du champ métrique dans la région où nous avons déformé notre boule d’argile, pour qu’elle retrouve sa forme initiale, il faut alors sans doute opérer une réorganisation importante des grandes masses de l’Univers qui déterminent principalement l’état du champ métrique dans la région considérée. Mais alors, comment donner sens au fait que notre boule d’argile continuerait à occuper la même portion d’espace-temps, pendant que nous sommes occupés à imaginer un bouleversement radical dans l’organisation de la matière dans l’Univers ?

12On tomberait dans une impasse car il faudrait, pour cela, que notre système de coordonnées ait un sens physique, indépendant du mode de distribution de la matière, ce qui est une ineptie dans toute théorie qui refuse la donnée d’un espace absolu au sens de Newton, existant indépendamment des relations entretenues par les éléments matériels. La difficulté est inextricable et tient à ce qu’on essaie à tout prix de donner un sens physique à une transformation Ø qui n’a d’abord de sens que mathématique comme changement de coordonnées.

13Une autre solution serait de supposer que nous nous plaçons dans un cas idéal où il n’y a pas de matière en dehors de la boule d’argile elle-même. On se retrouve donc exactement dans la configuration inverse de celle de l’argument du trou originel d’Einstein, où il y avait de la matière partout sauf dans la portion d’espace considérée. Le cas devient plus simple dans la mesure où il n’y a alors que la matière de la boule d’argile elle-même qui puisse influencer la métrique.

14Dans un monde aux lois simplifiées comme celui de l’expérience de pensée de Weyl, où la vitesse finie d’interaction est négligée, et où les valeurs du champ métrique sont parfaitement déterminées par la matière réduite à un champ scalaire ρ, alors la métrique se réajusterait parfaitement et instantanément conformément à la nouvelle distribution de matière, pour laisser en permanence la forme du morceau d’argile intacte. La forme sphérique persisterait à chaque instant. Mais l’argument produit sur le cas de la boule d’argile est reproductible pour n’importe quelle portion de l’espace(-temps). On parvient alors à un cosmos, pour ainsi dire éléatique, où tout changement (de forme) serait impossible. On aboutit à un paradoxe du même type que ceux de Zénon d’Elée, concluant à l’impossibilité de mouvement.

15Mais les hypothèses radicales posées par Weyl ne sont précisément pas vérifiées en relativité générale. D’une part, du fait de la vitesse finie d’interaction, la modification de la métrique due à un réajustement de la matière à un endroit de la boule d’argile n’influe pas « instantanément » ailleurs. D’autre part, et le problème est plus sérieux, comme nous l’indiquons dans l’autre annexe, le principe de Riemann(-Mach) dans son sens fort (détermination complète de la métrique par le champ décrivant la distribution de la matière) n’est pas vérifié dans la théorie d’Einstein. Le champ métrique n’est pas entièrement déterminé par la distribution de la matière, mais seulement son tenseur d’Einstein. Une déformation de la boule d’argile est donc encore pensable dans le cadre de la théorie, même si elle est seule dans l’univers.

16En revenant à présent au cas où il y a de la matière en dehors de la boule d’argile, et en n’utilisant que des difféomorphismes qui se réduisent à l’identité en dehors de la région d’espace contenant la boule d’argile, le raisonnement ci-dessus tient toujours. C’est-à-dire que, finalement, c’est parce que, dans la théorie d’Einstein, le principe de Riemann(-Mach) dans son sens fort est remplacé par un principe plus faible (qui pose une interaction entre la matière et un espace-temps partiellement indépendant) qu’une évolution dynamique de la métrique globale de l’Univers est finalement pensable. On ne peut finalement penser la relation entre la matière et l’espace-temps sous le modèle de la détermination du champ métrique par des fonctions scalaires sur la variété spatio-temporelle, censées représenter la matière antérieurement à toutes ses déterminations métriques. Cela se perçoit d’autant mieux si on passe de l’hypothèse simplificatrice de Weyl (qui modélise la matière par un champ scalaire ρ) aux équations proprement dites d’Einstein. Dans ces dernières équations, la matière intervient à travers le tenseur énergie-impulsion Tμν qui a déjà une dimension métrique, puisqu’aussi bien la notion de densité de matière que celle d’impulsion réfèrent déjà à une matière perçue dans son rapport à la métrique. Ainsi, en relativité générale, ce n’est pas une matière sans propriétés métriques (un champ scalaire) qui détermine la métrique, mais la distribution métrique de la matière à un instant (ou plutôt sur une hypersurface de type « espace » de l’espace-temps) qui détermine la métrique pour un futur proche de cet instant (plus précisément : pour un voisinage spatio-temporel de l’hypersurface considérée).

Notes

1 Cf.Choquet-BruhatYvonne, « Problème de Cauchy global en relativité générale », Séminaire Jean Leray, n o 2, 1969-1970, p. 1-7.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

Conditions d’utilisation : http://www.openedition.org/6540

Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search