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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre III. La métrique physique 1. L'espace-temps-matière comme problème

3. Exclusion de la métrique hors de la notion d’espace

Texte intégral

1Revenons au problème initial qu’avait posé Weyl et analysons comment son argumentation y répond. Nous nous étions demandés avec lui si l’homogénéité nécessaire de l’espace devait nous amener à mettre à l’écart les géométries à courbures variables. Bien au contraire, répond Weyl. Une métrique riemannienne apparaît comme une condition nécessaire pour sauver l’homogénéité de l’espace, sitôt qu’on a accepté le principe d’une détermination de la métrique par la matière. On a cependant l’impression, à la lecture de cette argumentation, qu’il y a un tour de force. Elle n’est qu’à moitié convaincante car, à regarder de près les prémisses de la démonstration, on se rend compte que Weyl n’a sauvé l’homogénéité de l’espace qu’en lui ôtant ses caractéristiques métriques. Plus précisément, la métrique peut se déplacer simultanément avec la matière à l’intérieur d’un espace qui a bien conservé son caractère homogène, mais seulement au prix qu’il n’est plus caractérisé que par ses propriétés topologiques et différentielles.

2Il y a toujours une métrique mais celle-ci ne fait pas plus partie des caractéristiques de l’espace lui-même. Elle a pris le statut d’un objet physique contenu dans l’espace, mais étant d’une certaine façon extérieure à sa nature, au même titre que la matière qui la détermine. Le vocabulaire employé par Weyl est éloquent :

  • 1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85.

Les relations métriques ne sont pas à mettre au compte de l’espace comme forme des phénomènes mais au compte du comportement physique des règles de mesure et des rayons lumineux, en tant qu’ils sont déterminés par le champ gravitationnel1.

3Pour le moment, ce n’est pas le détail des phénomènes physiques en jeu qui nous intéresse ici mais toujours le simple fait que les relations métriques soient déterminées par des propriétés physiques de la matière. Cependant, la forme d’hétérogénéité que possède la métrique d’Einstein n’amène pas Weyl à réviser sa conception idéaliste de l’espace comme forme des apparences. Il conserve plutôt cette idée et exclut la métrique de l’espace.

4Si la métrique d’Einstein est hétérogène, ce n’est pas un accident de sa théorie. Selon Weyl, c’est une conséquence nécessaire des « hypothèses riemanniennes » qui ont été adoptées (sans appel implicite à Riemann) par Einstein. Comme l’a montré l’argument de la boule d’argile, si le champ métrique est déterminé par la matière, il devra nécessairement être hétérogène et dynamique étant donné que la matière elle-même possède ces qualités.

5Ainsi donc, si la métrique est hétérogène mais que l’espace comme forme des apparences est par essence homogène, c’est que la métrique n’est pas une composante de l’espace. C’est un objet physique contenu dans l’espace, au même titre que la matière. On se retrouve donc avec un schéma trinitaire mettant en jeu trois éléments : 1) l’espace, forme de notre intuition, 2) la matière, qui est un contenu physique de l’espace (-temps), et 3) le champ métrique-gravitationnel. Ce dernier, bien que n’étant pas à proprement parler matériel, est bien cependant une réalité physique, un champ dynamique qui, comme la matière, est contenu dans l’espace (-temps). Einstein a montré que ces deux objets physiques contenus dans l’espace-temps, la matière et le champ métrique, sont en interaction. Dans l’argument de la boule d’argile, Weyl va même jusqu’à poser que le champ métrique est totalement déterminé par la matière.

  • 2 Avec toutes les précautions à prendre sur l’appellation « géométrie physique », cf. note 7 de la pa (...)

6À partir de ce point de vue, il y a une forme de holisme géométrico-physique dans l’épistémologie d’Espace-Temps-Matière. Le système trinitaire complet : géométrie (mathématique)-métrique physique2 –propriétés de la matière, ne prenant sens qu’en bloc face à l’expérience. Cependant, tant qu’on en reste à la position que Weyl développe dans le paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière, et qu’on peut voir comme une première position encore inaboutie de sa pensée, la part qui revient à la géométrie (mathématique) semble réduite drastiquement. Les relations métriques en sont exclues mais aussi, implicitement, les relations affines et conformes qui, dans une géométrie riemannienne, sont dépendantes des valeurs que prend la métrique.

  • 3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 75.

7La géométrie (mathématique), qui traite conceptuellement de cet espace dépourvu de relations métriques, est alors réduite à être une topologie. Weyl avait commencé son paragraphe 11 sur la géométrie de Riemann en affirmant que « La propriété la plus originelle de l’espace est que ses points forment une variété à3 dimensions 3. »

8En vérité, si on s’en tient à l’argument du paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière, il faut même reconnaître que cette propriété « la plus originelle » de l’espace est finalement la seule que l’on puisse lui attribuer en propre. Toutes les autres propriétés (métriques, etc.) qu’on lui accorde habituellement ne lui sont attribuées qu’improprement. Elles devraient être attribuées aux interactions en jeu, à l’intérieur de l’espace, entre le champ métrique et la matière, et non pas à l’espace lui-même.

9Cette exclusion de la métrique des propriétés intrinsèques à l’espace comme forme des apparences avait été en fait anticipée par Weyl et préparée lors de son analyse de la notion mathématique d’espace. Souvenons-nous en effet que, au moment de présenter la strate métrique de l’espace euclidien, Weyl avait proposé deux façons différentes de traiter la métrique. Il s’agissait ou bien de ne considérer que des transformations qui respectent les relations métriques, des congruences, et d’écrire les relations géométriques sous la forme d’équations invariantes vis-à-vis de ces congruences ; ou bien d’admettre un groupe de transformations plus large, mais d’insérer dans nos formules un nouvel objet, la forme quadratique gμν définissant la métrique (Ce groupe plus large, dans le chapitre 1 d’Espace-Temps-Matière, était le groupe des transformations affines. Ici, il va s’agir du groupe de toutes les transformations continues). Cette seconde possibilité avait été choisie par Weyl avec comme seul argument un effet d’annonce, l’idée que ce serait cette façon de présenter les choses qui se généraliserait lorsqu’on passerait de la géométrie euclidienne à celle de Riemann. On en comprend à présent les raisons. En admettant comme transformations spatiales toutes les transformations continues, Weyl met en avant les propriétés « les plus originelles » de l’espace, c’est-à-dire ses propriétés topologiques. L’exclusion de la métrique est marquée par le fait qu’on lui ait attribué une « nature géométrique », précisément d’être une forme quadratique, de la même façon qu’on attribue une nature géométrique (vecteur, tenseur...) à tout objet physique contenu dans l’espace.

10Pour cohérente qu’elle soit avec les principes épistémologiques de Weyl que nous avons développés, cette réduction drastique de toute la géométrie (mathématique) à la seule topologie n’est pas satisfaisante. Cette réduction est d’abord pour le moins choquante sur le plan de l’histoire de la géométrie. La topologie représente non seulement qu’une branche du corpus de ce qu’on considérait jusqu’alors comme formant la géométrie, mais elle était même la dernière branche à en être sortie ; discipline récente et à laquelle il serait étonnant de réduire finalement l’ensemble de la géométrie comme discipline purement mathématique.

11Mais, plus sérieusement, si cette réduction drastique du domaine de la géométrie est insatisfaisante, c’est surtout parce que cette vue radicale oblige à concéder trop à la physique, au vu même de la façon dont la géométrie différentielle s’est constituée, préalablement aux premières mesures physiques de l’espace chez Gauss. En effet, quand Gauss, au début du xixe siècle, mesurait la courbure de l’espace à l’intérieur d’un triangle entre trois villes allemandes, les coefficients de la métrique qui étaient mesurés avaient certes de plein droit un statut physique. Néanmoins, on voudrait pouvoir exprimer dans notre épistémologie le fait que cette mesure physique n’a pu être possible que parce que Gauss avait établi une notion mathématique générale, celle des espaces courbes et de la métrique à coefficients variables, qui était un préalable mathématique. Ce qui deviendra la notion générale d’espace de Riemann sert de fondement a priori à toutes les mesures concrètes qui peuvent être effectuées avec l’outil différentiel. De ce point de vue, cette notion est une condition de possibilité plutôt qu’un résultat de la mesure ; tout comme, dans les géométries admettant une homogénéité au sens de Klein, l’espace et son groupe de transformations était un préalable mathématique à la mesure physique, non plus cette fois certes de l’espace lui-même, mais de son contenu. On ne peut donc admettre de façon brutale que les mathématiques se soient retirées des considérations métriques avec l’entrée dans la géométrie différentielle, pour laisser la place à la physique. Sinon, comment comprendre les œuvres d’un Riemann, d’un Christoffel, d’un Levi-Civita, etc., dans leurs parties les plus spéculatives ? Au fond, nous comprenons que ce qui manque à ce point de vue, c’est la distinction essentielle, que nous avons entrevue au début de ce chapitre, entre la nature de la métrique (déterminable a priori) et les coefficients de la métrique (contingents et donc toujours déterminés a posteriori). Cette distinction qui est devenue centrale à partir de la 4e édition d’Espace-Temps-Matière est encore inapparente dans le texte du paragraphe 12 d’Espace-Temps-Matière, dont l’essentiel était déjà écrit dès la première édition de l’ouvrage.

12Si on retourne au texte de Weyl avec ce problème en tête, on s’aperçoit vite que la conclusion du raisonnement de la boule d’argile est fine. Il n’affirme pas brutalement que la métrique ne fait plus partie des caractéristiques de l’espace mathématique. En toute rigueur, Weyl énonce ceci, nous l’avons vu :

Les relations métriques ne sont pas à mettre au compte de l’espace comme forme des phénomènes mais au compte du comportement physique des règles de mesure et des rayons lumineux, en tant qu’ils sont déterminés par le champ gravitationnel.

13Malgré la nuance apportée, il semble difficile d’arriver à comprendre l’unité de la notion d’espace en partant d’une division aussi tranchée, avec d’un côté un espace comme forme de notre intuition dépourvu en soi de propriétés métriques, et de l’autre un champ métrique (gravitationnel) qui est un objet physique en interaction avec la matière. L’espace comme forme de notre intuition ne contient-il pas plutôt certaines propriétés métriques mathématisables qui servent de conditions de possibilités a priori de notre rapport à l’objet physique champ métrique dynamique et à la matière ? Si la métrique possède bien autant un aspect mathématique qu’un aspect physique dans une géométrie de type riemannien, où situer la frontière entre ces deux aspects ? De plus, comment justifier épistémologiquement cette frontière ? À défaut de la notion kleinienne d’homogénéité, peut-on forger une nouvelle notion d’homogénéité qui nous permette de cerner la dimension mathématique au sein des relations métriques ?

14La pensée de Weyl va fournir une réponse à toutes ces questions à travers l’achèvement d’un changement de perspective en géométrie : le passage d’une géométrie à distance à une géométrie par contact, avec tout ce que cela implique concernant les rapports entre mathématiques et physique. La pensée géométrique de Weyl atteint sa maturité lorsqu’il parvient à comprendre comment l’épistémologie des sciences de l’espace doit évoluer pour se conformer, accompagner et justifier ce changement de perspective.

15Très tôt après la publication de la première édition d’Espace-Temps-Matière, Weyl parfait sa position épistémologique sur les relations du mathématique au physique. Weyl remarque que le sujet incarné dans le monde qui permet l’ancrage de la géométrie (mathématique) dans la réalité physique est toujours un sujet ponctuel localisé en un lieu singulier du monde. C’est l’œil-ponctuel entrevu ci-dessus. En mettant l’accent sur cette nature essentiellement locale du sujet, Weyl met le doigt sur ce qui est pour lui l’erreur fondamentale de Kant, l’ayant amené à accepter la géométrie euclidienne qui est une géométrie inadéquate car rigide, à distance, comme toutes les géométries de Klein. C’est ce passage d’une géométrie à distance à une géométrie par contact, et cette mutation corrélative dans la façon de comprendre la notion de sujet qui va occuper notre dernier chapitre. On y trouvera le point culminant de la pensée épistémologique de Weyl sur la notion d’espace. On y verra notamment comment ce changement de perspective lui permettra de redonner sa place aux relations métriques au sein de l’espace comme forme de notre intuition.

Notes

1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 85.

2 Avec toutes les précautions à prendre sur l’appellation « géométrie physique », cf. note 7 de la page 23 de l’introduction.

3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 75.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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