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L'idéalisme dans l'infinitésimal

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Julien Bernard

Chapitre III. La métrique physique 1. L'espace-temps-matière comme problème

2. La matière, facteur de détermination de la métrique

Texte intégral

2. 1. GÉOMÉTRIE INTRINSÈQUE ET GÉOMÉTRIE PHYSIQUE, DE GAUSS À RIEMANN

  • 1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., p. 101.
  • 2 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen (...)

1La lecture que propose Weyl de la relativité générale est fortement influencée par la pensée de Riemann qui avait repensé en profondeur les fondements de la géométrie, au vu des développements de la géométrie différentielle au xix e siècle. Weyl reconnaît quʼEinstein nʼavait pas été influencé directement par Riemann1, ne lʼayant pas lu préalablement à lʼélaboration de sa théorie. Cependant, pour Weyl, Riemann avait donné les arguments corrects permettant dʼétablir le statut ontologique des relations métriques, dans son texte Sur les Hypothèses sous-jacentes à la géométrie2. Riemann avait montré, par une analyse de nature épistémologique, que la structure des relations métriques de lʼespace ne pouvait être entièrement déterminée par une analyse a priori de la notion de mesure. Par conséquent, elle devait être partiellement déterminée par la réalité physique, plus précisément par les forces de liaison de la matière. Sa réflexion finissait ainsi sur un programme de recherche, un appel à la science physique pour compléter les données de la géométrie (mathématique) et déterminer, au sein de la multiplicité infinie des espaces courbes logiquement envisageables, le (s) jeu (x) de relations métriques correspondant à lʼespace « réel ». Pour Weyl, la théorie dʼEinstein complète inconsciemment, près de 70 ans après, ce programme épistémologique de Riemann. Cʼest la théorie de la gravitation dʼEinstein qui vient finalement remplir la case vide quʼavait réservée Riemann pour la détermination de la métrique par les interactions de la matière.

  • 3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., p. 75-91.
  • 4 Ibid., p. 84.

2Lʼargument épistémologique de Riemann est résumé par Weyl aux paragraphes 11 et 12 dʼEspace-Temps-Matière3. Ces paragraphes sont entièrement consacrés à lʼexposition de ce que nous appelons encore de nos jours les « espaces de Riemann », cʼest-à-dire la géométrie dʼune variété différentiable munie dʼune forme quadratique différentielle gµν(x) dont les coefficients dépendent de la position. Cette géométrie est présentée immédiatement après la discussion sur les géométries noneuclidiennes nées de la controverse liée au cinquième postulat dʼEuclide. La géométrie de Riemann apparaît ainsi comme une deuxième étape à franchir pour dépasser le point de vue euclidien originel du premier chapitre. Fidèle à son habitude, Weyl présente la géométrie des espaces de Riemann selon un ordre mêlant lʼhistoire à lʼanalyse conceptuelle et aux commentaires philosophiques. Il fait remonter aux travaux de Gauss lʼorigine du développement riemannien de la géométrie différentielle4.

  • 5 La notion riemannienne de variété avait déjà une nature topologique. Cet aspect topologique appara (...)
  • 6 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 76.

3Avant toute considération métrique, lʼespace est considéré comme une variété à 3 dimensions. Une variété à n dimensions est caractérisée par le fait quʼelle est composée dʼéléments pouvant être spécifiés par la donnée de n nombres (ses coordonnées) qui sont des fonctions continues sur la variété5. Il nʼy a généralement pas quʼune seule façon de paramétrer une variété n-dimensionnelle. Weyl précise que la notion de paramétrage dʼune variété est locale. On nʼa pas nécessairement n fonctions-coordonnéecoordonnées qui attribuent univoquement un système de valeurs à tout point de la variété. Par contre, dans un voisinage de chaque point, on peut trouver n fonctions-coordonnées qui attribuent univoquement un système de valeurs (coordonnées) à chaque point de ce voisinage. De plus, si, sur une portion U de la variété, on possède (au moins) 2 façons de la paramétrer par des coordonnées xi eti, alors lesi sont des fonctions homéomorphes (voire difféomorphes) des xi. Weyl affirme que, pour une variété en général, il nʼy a pas de système de coordonnées privilégié parmi tous ceux qui sont possibles. Cʼest pourquoi on a besoin dʼune théorie de lʼinvariance vis-à-vis dʼune transformation continue quelconque6. Cela contraste avec lʼinvariance à lʼégard des seules transformations linéaires qui était apparue au premier chapitre dʼEspace-Temps-Matière, quand Weyl traitait de la géométrie affine.

4Une fois comprise la notion de variété, le chemin que nous invite à suivre Weyl pour atteindre les espaces de Riemann, suit le développement historique du concept. Weyl nous propose de partir du cas particulier dʼun espace de Riemann constitué par une surface plongée dans un espace 3-dimensionnel de nature euclidienne. Ce cas particulier est précisément celui qui avait été étudié par Gauss avant que Riemann ne généralise la notion. Une surface est alors donnée de façon paramétrique par la donnée des coordonnées des points de cette surface au sein de lʼespace euclidien ambiant. Ces coordonnées sont des fonctions continues xi (u1, u2) (pour i allant de 1 à 3) des coordonnées de Gauss u1 et u2. Le carré de la longueur dʼun déplacement infinitésimal dxi sʼexprime comme :

5ds² =Σi = 1 à 3(dxi)²,

6du fait que lʼespace ambiant dans lequel la surface est plongée est euclidien.

7En se servant du fait que les coordonnées xi sont des fonctions de u1 et u2, la longueur dʼun élément infinitésimal peut alors sʼécrire comme :

8ds² = gik(u1,u2) duiduk

(avec Image) (i,k = 1,2).

  • 7 Plus précisément, on parle des relations métriques caractérisant la surface qui sont invariantes q (...)
  • 8 Cʼest le contenu du célèbre « Theorema Eggregium » démontré dans Gauss Carl Friedrich, Recherches (...)
  • 9 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 82.
  • 10 Pourvu bien sûr que ces fonctions soient suffisamment régulières (continues, différentiables) et q (...)

Le mérite de Gauss, nous apprend Weyl, est dʼavoir montré que la connaissance des fonctions gik (u1, u2) suffisait à caractériser toutes les propriétés géométriques intrinsèques à la surface (mesures de longueurs, dʼangles, dʼaires). Les « propriétés intrinsèques » sont toutes celles qui ne dépendent pas de la façon dont la surface est positionnée au sein de lʼespace qui la contient7. En particulier on peut exprimer la courbure de Gauss de la surface comme une expression du second ordre de ces coefficients gik. Cʼest un invariant vis-à-vis de toute transformation continue8. La surface étant dʼune manière générale courbe, il nʼexiste pas de système de coordonnées privilégié qui permette de simplifier lʼexpression des fonctions gik la. En particulier, on ne peut ramener gik (partout à la fois sur la surface) à la forme particulièreδik (i,k = 1,2), qui sʼécrit sous forme matricielle Image, comme pour la métrique de lʼespace euclidien ambiant. Weyl interprète alors le passage de la géométrie euclidienne à la géométrie de Riemann, passage pour lequel Gauss a été une étape cruciale, comme consistant à lever une asymétrie épistémologiquement injustifiée9. Il sʼagit de lʼasymétrie qui existait entre, dʼune part, lʼensemble des surfaces (ou des courbes) plongées dans lʼespace et pouvant admettre une forme métrique intrinsèque quelconque, cette liberté de forme sʼexprimant par la possibilité dʼobtenir nʼimporte quel jeu de fonctions gij (u, v)10 et, dʼautre part, lʼespace lui-même qui était muni a priori dʼune structure rigide, celle de lʼespace euclidien tridimensionnel usuel. Cette rigidité sʼexprime par lʼexistence dʼun système de coordonnées particulier (x1, x2, x3) quʼon appelle « euclidien », tel que la métrique sʼy exprime en tout point sous la forme canonique :

9ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2.

  • 11 Quand il proposera sa propre géométrie infinitésimale pure, Weyl adressera à Riemann un reproche s (...)

10Cette asymétrie disparait dans la géométrie de Riemann dans la mesure où la métrique dont est pourvu lʼespace dans son ensemble est aussi libre que les métriques dont sont pourvus les sous-espaces m-dimensionnel (m < n) qui y sont plongés. Ainsi, Riemann nous a débarrassé dʼune limitation a priori injustifiée 1111.

11Gauss avait déjà avancé dans cette direction plus que ne le laisse penser Weyl en attribuant à Riemann, dans ce passage dʼEspace-Temps-Matière, la libération à lʼégard de cette asymétrie. Le caractère euclidien de lʼespace ambiant dans lequel sont plongées les surfaces, même sʼil est une hypothèse dominante des travaux de Gauss, avait bel et bien été remis en cause par cet auteur dans certains de ses travaux. Weyl le sait bien puisquʼil renvoie lui-même à ces travaux. Ainsi, Riemann, par sa notion générale dʼespace courbe n-dimensionnel, a institué une notion générale dʼespace dont la possibilité était déjà requise pour donner sens à certains travaux de Gauss. Développons sous quelle forme se trouvait déjà cette idée chez Gauss.

  • 12 On trouve par exemple une référence à ces mesures dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales (...)

12Gauss avait employé ses outils de géométrie différentielle pour interpréter les données quʼil avait collectées à lʼoccasion de ses travaux de mesures géodésiques pour le compte du royaume de Hanovre12. Gauss rapporte des mesures de distances effectuées sur le territoire de Hanovre, notamment entre les trois villes de Hohehagen, Brocken et Inselberg. Ces données sont utilisées pour mesurer la courbure de la surface terrestre. Elles correspondent à des mesures de distances « intrinsèques » à la surface terrestre. Autrement dit, il sʼagit de mesurer la longueur du trajet minimal reliant deux points en restant sur la surface de la Terre. Gauss arrive alors à mesurer la courbure de la surface terrestre et à mettre en évidence, grâce à des formules trigonométriques adaptées au cadre de la géométrie différentielle, que les relations métriques à la surface de la Terre sont, à lʼacuité des mesures près et dans la portion limitée où ont été effectuées les mesures, celles dʼune surface sphérique.

  • 13 Dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, op. cit., p. 58, lʼauteu (...)

13Mais Weyl fait une allusion à un tout autre usage de ces mesures par Gauss13. Il sʼagit cette fois non plus de tester le caractère sphérique de la surface de la Terre, mais le caractère euclidien de lʼespace lui-même. Les mesures effectuées par Gauss lʼamèneront à concéder que lʼespace est bien euclidien, à la hauteur de lʼacuité de ses instruments.

  • 14 Restons prudents sur ce point. La primauté chronologique accordée ici à Gauss nʼest pas significat (...)
  • 15 Cf. notre note 7 de la page 23 de lʼintroduction où nous expliquons en quoi cette appellation de « (...)

14Pour bien comprendre la place que va occuper la connaissance physique dans lʼélaboration des relations métriques sous-tendant la relativité générale, il faut mettre en évidence une rupture essentielle au sein de la démarche de Gauss dans le passage de sa première à sa seconde utilisation des mesures géodésiques. Il faut comprendre que sa deuxième démarche est radicalement innovante en tant quʼelle fait de lui le premier, ou du moins un des premiers à son époque14, à pratiquer ce quʼon peut appeler la géométrie physique15, i. e. la mesure physique des déterminations métriques de lʼespace lui-même. Cette idée dʼune géométrie physique formera un cadre fondamental de la théorie dʼEinstein.

15Laissons de côté la question de lʼorigine vraisemblablement expérimentale de la géométrie euclidienne, origine dont les traces éloignées sont confuses. Nous observons alors quʼun schéma classique se reproduit dans lʼhistoire jusquʼau xixe siècle quant aux rapports entre, dʼune part, la géométrie mathématique et, dʼautre part, la géométrie expérimentale au sens où la pratiquent les arpenteurs, topographes, géomètres-expert, etc. Selon ce schéma classique, la structure métrique de lʼespace, qui détermine ensuite les relations métriques possibles des objets qui y sont plongés, est lʼaffaire du mathématicien. Cʼest une structure entièrement rationnelle et entièrement capturable par une axiomatique, par exemple celle dʼEuclide. Par contre, quand un géomètre expérimental sʼempare dʼun instrument de mesure pour effectuer une mesure physique, il ne mesure pas lʼespace lui-même mais des relations métriques appartenant aux objets concrets placés dans lʼespace : une maison, un champ, la longueur dʼune règle. Selon ce schéma classique de partage du travail géométrique, lʼespace des relations métriques possibles est une donnée préalable à la mesure physique, capturée par lʼaxiomatique mathématique. Si, contrairement au sens étymologique du terme, on interprète la notion de « géométrie » comme signifiant une « science métrique de lʼespace », alors seul le mathématicien, opérant avec les axiomes dʼEuclide, était véritablement géomètre. Lʼexpert, lʼarpenteur, ou le physicien effectuant une mesure expérimentale de la longueur dʼun objet matériel, ne sont pas géomètres en ce sens. Sʼils sont géomètres cʼest, cette fois, au sens véritablement étymologique du terme, comme des mesureurs non de lʼespace lui-même mais de la Terre ou des autres objets matériels.

  • 16 Notre prudence ici tient à la difficulté de lʼinterprétation rigoureuse des mesures effectuées par (...)

16Avec le second type de travail géodésique quʼil effectue, tel que nous le rapporte Weyl, Gauss fait véritablement ouvre de géomètre physique dans un sens qui sort de ce partage classique des tâches. Ce quʼil mesure expérimentalement, ou du moins ce quʼil prétend mesurer16, ce nʼest plus la surface terrestre ou un quelconque objet matériel, mais lʼespace lui-même. Cette mesure consiste à mesurer des distances entre des points de lʼespace éloignés mais directement visibles les uns à partir des autres, cʼest-à-dire joignables par des rayons lumineux se propageant librement. Les distances sont alors mesurées à partir des angles que font entre eux les rayons lumineux que reçoit lʼobservateur en provenance directe de chaque point du triangle (par exemple) mesuré ; étant présupposé la propriété selon laquelle les rayons lumineux suivent les géodésiques de lʼespace.

  • 17 Rapporté dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie. 3 e édition, op. cit., p. 83.
  • 18 Notamment la parallaxe, mesure de la déviation de la coordonnée angulaire dʼun astre au cours de l (...)
  • 19 Gauss affirme puis démontre que la somme des angles dʼun triangle formé par trois géodésiques dʼun (...)

17De telles tentatives de mesurer les propriétés métriques de lʼespace par des mesures optiques étaient proposées à la même période dans le domaine de lʼastronomie, notamment par Lobatchevski17. Ces autres mesures consistaient essentiellement à admettre que lʼespace était un espace à courbure constante et à supposer que les chemins parcourus par les rayons lumineux étaient les lignes droites (géodésiques) de cet espace. La mesure dʼangles célestes18 devait permettre dʼévaluer un éventuel écart entre la somme des angles dʼun triangle de lʼespace et ? radian ; cet écart étant fonction de la courbure à mesurer19. Dans ce dernier cas de figure, si la structure métrique de lʼespace est partiellement déterminée par la mesure expérimentale, on est cependant obligé de poser a priori que lʼespace est à courbure constante. La valeur de la courbure est alors le seul paramètre indéterminé, et la structure métrique de lʼespace est parfaitement déterminée a priori, à ce facteur de courbure près. Il y a ainsi une infinité à 1 paramètre de géométries envisagées, mais chacune des géométries envisageables est entièrement capturable par une axiomatique du même type que celle dʼEuclide. Tout comme les mesures terrestres de Gauss, les mesures effectuées par les astronomes du xixe montrèrent que lʼespace était euclidien à la précision et à la portée près des instruments de lʼépoque.

18Un saut conceptuel plus important est franchi sitôt quʼon se libère de lʼhypothèse de la courbure constante pour assumer pleinement le caractère local des mesures quʼon effectue sur les propriétés métriques de lʼespace. Alors, la variabilité des structures métriques devient infiniment plus riche. Mais la différence nʼest pas seulement quantitative. En se débarrassant de lʼhypothèse dʼhomogénéité sous-jacente à lʼassomption de la courbure constante de lʼespace, il nʼy a plus de règle qui fixe a priori comment la connaissance dʼune portion finie de lʼespace conduit à une connaissance de la métrique sur lʼespace complet. Il nʼy a plus dʼinférence possible des propriétés locales de lʼespace à sa structure globale. La variabilité des propriétés métriques dʼun point de lʼespace à lʼautre est libre. De ce fait, la structure métrique complète et effective de lʼespace cesse dʼêtre capturable entièrement par une axiomatique mathématique. Pour employer un vocabulaire similaire à celui de Weyl, la métrique dʼun espace de Riemann (dont les espaces envisagés par Gauss sont des cas particuliers) nʼest pas entièrement « rationalisable ». Lʼespace astronomique de Bessel ou de Lobatchevski pouvait encore être fixé axiomatiquement et acquérir un statut mathématique après avoir été mesuré. À lʼopposé, un espace de Riemann dont la courbure peut varier librement sur tout lʼespace nʼest entièrement descriptible que par la mesure physique. On entre dans lʼère de la géométrie physique, au sens propre, de la science de la détermination empirique des propriétés métriques de lʼespace.

19Revenons à Gauss. Il nʼest pas clair si les mesures géodésiques quʼil a effectuées pour tester le caractère euclidien de lʼespace se passaient ou non de lʼhypothèse de la constance de la courbure. En tout cas, ses mesures lʼont conduit à affirmer que notre espace était euclidien avec un fort degré de précision. Cela nʼôte en rien lʼoriginalité et le saut conceptuel important quʼil a franchi avec sa démarche dʼouvrir la mesure physique à lʼespace lui-même, et non plus aux seules sous-variétés qui y sont plongées. Lʼaffirmation de Weyl selon laquelle cʼest dans le passage de Gauss à Riemann que lʼon se libère de lʼhypothèse injustifiée dʼun espace ambiant euclidien doit alors être comprise comme suit.

  • 20 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 95-96.
  • 21 Ibid., p. 95.
  • 22 Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 78. Dans les pages qui suivent, Weyl (...)

20Il faut reconnaître une évolution de Gauss à Riemann dans la façon dont sont développées les notions métriques intrinsèques des surfaces. Gauss part de surfaces plongées dans un espace ambiant euclidien. Cʼest-à-dire que la surface est caractérisée par la position xi (u, v) de chacun de ces points au sein cet espace ambiant. On qualifie donc cette définition des surfaces dʼ« extrinsèque ». Ce nʼest que dans un second temps que Gauss accomplit un travail mathématique qui consiste à abstraire de cette définition extrinsèque des surfaces leurs propriétés intrinsèques. Cela se fait en montrant que certaines grandeurs sont invariantes par déplacement (isométrique) de la surface au sein de lʼespace ambiant. Gauss avait établi pour cela une méthode efficace. Il sʼagit de montrer que certaines grandeurs, dʼabord exprimées en termes des xi (u, v), se laissent reconstruire uniquement en termes dʼune fonctionnelle des gµν(u, v) qui donne des valeurs identiques pour deux tenseurs métriques images lʼun de lʼautre par une transformation continue20 (ou, ce qui revient au même, pour un seul et même tenseur représenté dans deux systèmes de coordonnées différents). La courbure de Gauss est un tel invariant différentiel de la forme quadratique différentielle21. Ainsi, le tenseur métrique est considéré comme la notion métrique intrinsèque fondamentale, i. e. celle à laquelle toutes les autres notions métriques intrinsèques devraient en principe pouvoir se ramener22. Cette méthode dʼabstraction des propriétés métriques intrinsèques à partir de la description extrinsèque de la surface est précisément la méthode du Theorema Eggregium de Gauss que nous avons évoquée.

21À lʼopposé de Gauss, Riemann nʼobtient pas les propriétés intrinsèques des surfaces par un mouvement dʼabstraction à partir de leur définition extrinsèque. Il part directement dʼune définition abstraite de la surface qui en fait un objet métrique indépendant, défini directement à partir de ses seules propriétés intrinsèques. Cʼest-à-dire quʼil se donne directement les fonctions gµν(u, v) sans les dériver dʼune métrique euclidienne de lʼespace ambiant.

  • 23 On lʼappelait déjà à lʼépoque de Weyl « courbure de Gauss » [Gaußsche Krümmung].Cf. Weyl Hermann, (...)
  • 24 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 106.

22De ce fait, Riemann assoit définitivement lʼidée que la notion dʼun espace courbe nʼa pas besoin de la présupposition dʼun plongement de cet espace dans un espace euclidien dʼordre supérieur. Enfin, à côté de cette évolution purement conceptuelle, il faut souligner avec Weyl la progression mathématique qui a permis à Riemann de donner sa définition générale des espaces de Riemann pour une dimension n quelconque. Cette libération à lʼégard dʼune dimension particulière demandait quʼon généralise les outils conceptuels de la géométrie des surfaces (2-dimensions) courbes de Gauss. La principale généralisation dont nous sommes redevables à Riemann consiste dans le passage de la notion de mesure de courbure intrinsèque dʼune surface23, nommée « courbure de Gauss », à la notion beaucoup plus difficile à appréhender du tenseur de courbure24 dʼun espace de dimension n, appelé aujourdʼhui « tenseur de Riemann ».

2. 2. LʼAPPEL RIEMANNIEN À LA PHYSIQUE

23Venons-en à lʼargumentation épistémologique de Riemann proprement dite, telle que se lʼapproprie Weyl. Il sʼagit de lʼargumentation qui aboutit à affirmer la nécessité dʼun appel à la physique pour déterminer les propriétés métriques de lʼespace. Lʼargument peut être résumé comme suit.

24On commence par analyser la notion dʼun espace tridimensionnel pourvu dʼune métrique. Suivant la voie de Riemann, on caractérise dʼabord les propriétés topologiques dʼun tel espace, et en premier lieu sa tridimensionnalité. Cette première étape de lʼanalyse aboutit à la notion de variété 3-dimensionnelle (différentiable) telle que nous lʼavons présentée plus haut.

25Mais, on remarque ensuite que lʼespace nʼest pas quʼune simple variété. Cʼest une variété sur laquelle est définie une métrique. Il reste à analyser la notion de métrique. Riemann nous apprend alors quʼil sʼagira en général dʼune forme quadratique différentielle g ?? (x). Nous sommes parvenus à la notion dʼun espace de Riemann.

26On trouve deux types de justification de ce résultat dans Espace-Temps-Matière et les textes apparentés.

27Premièrement, lʼadoption de la notion dʼespace de Riemann comme notion la plus générale dʼespace métrique est justifiée par le cheminement historique de la géométrie. On doit penser en particulier aux développements de Gauss et Riemann que nous avons rapportés dans le paragraphe précédent. Selon ce premier point de vue, nous analysons dans un premier temps les propriétés métriques intrinsèques aux surfaces plongées dans lʼespace euclidien usuel. Puis nous prenons conscience quʼil nʼy a pas de raison a priori de refuser dʼaccorder à lʼespace la même liberté, quant à la variabilité des coefficients de la forme quadratique, que celle que nous accordons naturellement aux surfaces qui y sont plongées.

  • 25 Les deux points de vue ne sʼexcluent nullement mais sʼarticulent en fonction de ce que nous avons (...)
  • 26 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 80-81. Ces hypothèses correspondent à Ri (...)

28Deuxièmement, on trouve de façon plus éparse, dans les textes de Weyl, une forme de justification plus anhistorique25. Elle tient à une analyse a priori des propriétés nécessaires que nous attendons dʼune fonction définie sur une variété pour pouvoir la qualifier de « métrique ». Dans le paragraphe 11 dʼEspaceTemps-Matière, Weyl est laconique. Il rappelle simplement que, chez Riemann, une métrique doit avoir comme propriété essentielle de permettre de comparer les longueurs de deux éléments linéaires infinitésimaux quelles que soient leurs positions et leurs directions respectives26. Puisquʼun espace est dʼabord une variété donnée par lʼintermédiaire de coordonnées, il faudra que cette métrique soit donnée par une formule faisant intervenir les coordonnées, mais qui donne cependant un résultat identique pour deux systèmes de coordonnées distincts. Autrement dit, la distance doit être un invariant par transformation des coordonnées. Or la formule de la distance donnée par une forme quadratique différentiable :

Image

29vérifie bien cette propriété dʼinvariance. Cela tient au caractère tensoriel du gµν.

30Weyl en reste là dans le paragraphe 11 dʼEspace-Temps-Matière. Sa démonstration nʼest cependant pas complète. La racine carrée dʼune forme quadratique nʼest pas le seul type de fonction susceptible dʼadmettre le type dʼinvariance demandée.

31Nous reviendrons sur ce problème dans le prochain paragraphe pour ne pas couper le fil de notre argumentation.

  • 27 Pour obtenir la géométrie euclidienne, on ajoute la propriété quʼil existe un système de coordonné (...)

32Admettons donc que lʼanalyse a priori de ce quʼest en général un espace muni dʼune métrique, aboutit à la notion dʼun espace de Riemann. Comme le montre Weyl, cette notion englobe non seulement les géométries à courbure constante27 mais aussi plus généralement la multiplicité infinie des espaces dont les coefficients métriques gµν varient selon des fonctions arbitraires dʼun point à un autre. Notre analyse a ainsi conduit à une multiplicité illimitée de systèmes possibles de relations métriques. Lʼanalyse a priori de la notion de métrique est alors impuissante pour sélectionner, au sein de cette multiplicité infinie, le jeu de relations métriques qui représentera les relations effectives qui sont instanciées dans le monde réel. À ce stade de son exposé du point de vue riemannien, Weyl fait intervenir la célèbre conclusion de Riemann qui a fait dire à Weyl quʼil était le prophète de la théorie de la relativité générale :

  • 28 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit., p. 297 (...)

Dans une variété discrète, le principe des rapports métriques est déjà contenu dans le concept de cette variété, tandis que, dans une variété continue, ce principe doit venir dʼailleurs. Il faut donc ou que la réalité sur laquelle est fondée lʼespace forme une variété discrète, ou que le fondement des rapports métriques soit cherché en dehors de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui. [...]
Ceci nous conduit dans le domaine dʼune autre science, dans le domaine de la Physique28.

2. 3. PLACE DE LʼEXPÉRIENCE DANS LA DÉTERMINATION DE LA NATURE DE LA MÉTRIQUE

  • 29 Remarquons bien que nous définissons ici la « vraie » métrique comme celle (éventuellement parmi p (...)

33Weyl et Einstein souscrivent, lʼun consciemment, lʼautre par convergence dʼopinions, à lʼargumentation de Riemann que nous venons de résumer. Elle aboutit à une nouvelle distribution des rôles respectifs de lʼexpérience et de la raison dans la détermination de la véritable métrique, i. e. de celle que lʼon doit intégrer à la physique pour rendre compte des phénomènes29.

34Pour comprendre ces nouveaux rôles, il nous faut maintenant faire une analyse épistémologique plus précise de la façon dont la physique sʼimmisce dans la géométrie (au sens fort dʼune science de la mesure de lʼespace lui-même) selon ce nouveau programme riemannien. La détermination de la notion de métrique sʼeffectue en deux phases radicalement distinctes, dont seule la première nous intéresse pour le moment.

  • 30 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid(...)

35Dans cette première phase, il ne sʼagit pas de déterminer concrètement la métrique en fixant les valeurs numériques intervenant dans son expression fonctionnelle, mais simplement de fixer la forme mathématique générale que devra avoir la fonction représentant les relations métriques. Cette forme mathématique générale est ce que Weyl appelle la nature de la métrique [Natur der Metrik] ou lʼessence de lʼespace [Wesen des Raumes], à partir de la 4e édition dʼEspace-Temps-Matière. Nous utiliserons sa terminologie. Cette détermination de la nature de la métrique (ou des natures, au cas où il sʼavérerait que plusieurs solutions soient également valables) est un problème important à résoudre dans lʼapproche riemannienne des fondements de la géométrie. Cʼest ce que Weyl appelle lʼanalyse mathématique du problème de lʼespace, qui a donné son nom à ses conférences à Barcelone30.

36Ce problème nʼadmet pas de réponse complète chez Riemann. Le mathématicien de Göttingen montre seulement que la métrique doit appartenir à une famille générale de fonctions qui comprend aussi bien la racine carrée dʼune forme quadratique, que la racine 4edʼune forme du quatrième ordre etc. Weyl renouvellera le problème général et lui donnera une solution nouvelle conforme à sa conception de la géométrie par contact. Cependant, pour le moment, nous ne sommes pas intéressés par la spécificité de la solution de Weyl. Nous nous concentrons sur le rôle que joue lʼexpérience en général dans la détermination de la nature de la métrique chez les auteurs de la tradition de la géométrie différentielle.

  • 31 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit., p. 297

37Aussi bien chez Riemann que chez Weyl, la nature de la métrique, au contraire des valeurs numériques concrètes que va prendre la métrique, est toujours entièrement mathématisable, capturable par une axiomatique. Cela est vrai non seulement des géométries rigides comme celles dʼEuclide, mais aussi pour les espaces courbes du type « espace de Riemann ». De plus, la nature de la métrique doit être fixée préalablement à la mesure pour lui servir de cadre. On comprend alors que les auteurs de cette tradition cherchent à fonder la nature de la métrique sur des arguments qui ne relèvent pas de lʼexpérience. Ils relèvent plutôt dʼune analyse a priori du concept de métrique et dʼune tentative de généraliser au maximum le jeu possible des relations métriques, afin dʼempêcher que le travail physique qui va suivre « ne soit entravé par des vues trop étroites, et que le progrès de la connaissance de la dépendance mutuelle des choses ne trouve un obstacle dans les préjugés traditionnels31 ».

38Pour mieux comprendre cette analyse du problème de lʼespace, explicitons comment elle fonctionne dans lʼanalyse originelle de Riemann.

39Voici les principales hypothèses qui servent à Riemann à justifier la forme générale quʼil donne à sa métrique :

  1. Elle est définie sur lʼespace considéré comme une variété àn dimensions les points peuvent être repérés par un système de coordonnées (xi)32.
  2. « Les lignes considérées sur cet espace seront telles que les accroissements des variablesdxi varient sur ces lignes et ont des rapports qui varient également continûment33
  3. « La longueur de lʼélément linéaire, abstraction faite des quantités du second ordre, reste invariable, lorsque tous les points de cet élément subissent un même déplacement infiniment petit, ce qui implique en même temps que si toutes les quantitésdxiun même rapport, lʼélément linéaire varie également dans ce même rapport. […] Lʼélément linéaire pourra être une fonction homogène quelconque du premier degré des quantités dxiinvariable lorsquʼon changera le signe de toutes les quantités dxi34. »
  4. Pour chaque point P de la variété, on peut trouver une fonction continue35du lieu qui distingue entre elles chacune des sous-variétés à (n-1) dimensions formées de tous les points situés à une distance géodésique donnée du point P36.
  • 37 Ibid., p. 287.

40Ces hypothèses suffisent à Riemann pour montrer que la nature de la métrique est dʼêtre la racine carrée dʼune forme quadratique, ou bien la racine 4e dʼune forme dʼordre 4, etc37.

41Cette analyse riemannienne est la première ébauche de solution au problème de lʼespace, dans son sens précis de la détermination de la nature de la métrique. Nous voyons que les hypothèses qui participent à la détermination de cette nature nʼont pas un statut empirique. Ce sont des hypothèses mathématiques qui posent a priori la possibilité dʼemployer les outils analytiques pour la description de la structure métrique de lʼespace. Ainsi, on pose que lʼespace est une variété différentiable (1), que les fonctions considérées sont elles-mêmes différentiables (2), et que les structures métriques et différentiables sʼharmonisent bien entre elles (3) et (4). On se trouve donc ici à un moment de lʼargumentation riemannienne antérieur à tout rapport à lʼexpérience. Cʼest pourquoi il sʼagit dʼun moment où se joue la possibilité dʼune lecture idéaliste de Riemann. Weyl y reviendra constamment, mettant cette analyse au centre des considérations épistémologiques : cʼest lʼanalyse mathématique du problème de lʼespace.

2.4. PLACE DE LʼEXPÉRIENCE DANS LA DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS DE LA MÉTRIQUE

  • 38 Une fois la nature de la métrique déterminée, i. e. une fois posé quʼelle se ramène à la donnée dʼ (...)

42Nous passons à la seconde phase du schéma riemannien de la détermination des propriétés métriques. Une fois la nature de la métrique déterminée, nous ne nous trouvons pas face à un unique jeu de relations métriques possibles, mais face à une multiplicité infinie de tels jeux. Cette multiplicité dépend des fonctions numériques concrètes choisies à lʼintérieur du cadre constitué par la nature de la métrique. Ainsi, chez Riemann, une fois posé que les relations métriques sont données par le biais dʼune forme quadratique différentielle variable gµν(x), encore reste-t-il à déterminer quelles sont les fonctions gµν(x) qui vont permettre la description géométrique de lʼespace effectif qui intervient pour la description du monde physique. En effet, dans un espace de Riemann, les fonctions gµν sont des fonctions arbitraires du lieu ; à ceci près quʼelles doivent remplir les bonnes propriétés de continuité et de dérivabilité et que la forme gµν doit rester définie positive. De même, une fois quʼEinstein a accepté que la métrique ait la forme dʼun pseudo-espace de Riemann, cʼest-à-dire dʼune variété 4-dimensionnelle munie dʼune forme quadratique différentielle de signature + - - -, il lui reste encore à déterminer de manière exacte les fonctions gµν(x) qui correspondront à lʼespace de la physique. Même dans la nouvelle théorie unifiée des champs proposée par Weyl, un tel schéma se reproduira38.

  • 39 On peut vérifier plutôt, de manière équivalente, la possibilité de mouvoir et dʼorienter un corps (...)
  • 40 La constance de la courbure implique que la différence entre cette somme et π radians a un signe i (...)

43Comment opérer la sélection du « bon » jeu de relations métriques susceptible de décrire lʼespace ? La position de Riemann sur ce point est en fait beaucoup plus complexe que ne le laisse entendre Weyl. Une chose est claire : pour Riemann, ce nʼest quʼune hypothèse physique, testable empiriquement, qui peut répondre à cette question. Quand il répond à cette question pour la première fois, au début de la troisième partie de son texte dʼhabilitation, Riemann défend quʼà notre échelle, dans la limite de la précision des mesures disponibles à son époque, lʼespace nous apparaît euclidien. Comment sʼen rendre compte ? On commence par vérifier la constance de la courbure partout et dans toutes les directions, ou bien une propriété équivalente39. On vérifie alors que cette courbure constante vaut précisément 0, par exemple en mesurant la somme des angles dʼun triangle40.

44Cependant, dans les remarques de conclusion de son texte, Riemann évoque la possibilité dʼun autre type de détermination de la métrique, radicalement différent. Cʼest le passage sur lequel Weyl insiste. Riemann pense que, même si la courbure est nulle à notre échelle, il se pourrait quʼà lʼavenir la physique microscopique découvre des variations dans la courbure sur de petites échelles. Ainsi, selon les points de lʼespace et les directions, la courbure serait tantôt positive, tantôt négative, en fonction de lʼétat des forces de liaisons au point considéré. La nullité à notre échelle ne serait quʼun effet de compensation qui gomme les fluctuations.

45À la lecture de cette seule partie du texte, on comprend en quel sens Weyl peut considérer Riemann comme le prophète ayant annoncé la relativité (générale). En effet, dans la physique quʼimagine Riemann pour son futur, les coefficients de la métrique ne sont plus fixés par une hypothèse globale telle que la constance de la courbure sur tout lʼUnivers. Les coefficients étant corrélés aux forces de liaison de la matière, ils peuvent varier spatialement et temporellement, en fonction de lʼévolution de la distribution des forces. Ainsi, dans ces remarques anticipatives, Riemann évoque pour la première fois la possibilité que la métrique ait un caractère dynamique.

  • 41 Plus précisément, la théorie dʼEinstein prédit que lʼespace se courbe en présence de masse, indépe (...)

46Il faut cependant nuancer le statut de prophète de la relativité générale que Weyl prête à Riemann. Dʼune part, on lʼa vu, Weyl, pour défendre cette thèse, met en avant exclusivement les remarques finales du texte de Riemann, et minimise la thèse première défendue dans le texte : que lʼespace est euclidien à notre échelle. Dʼautre part, Weyl passe sous silence le fait que Riemann prédit la découverte dʼune métrique dynamique non pas aux échelles astronomiques, comme cela a été le cas pour la théorie dʼEinstein41, mais aux échelles microscopiques qui sont les seules pertinentes pour la physique selon lui.

47Laissons de côté ces problèmes historiques concernant lʼinterprétation de la pensée de Riemann, et revenons à la relativité générale elle-même.

  • 42 Plus précisément, les équations dʼEinstein (...)
  • 43 Nous renvoyons à la littérature abondante sur le principe de Mach et la thèse philosophique du car (...)

48La relativité générale, comme le soutient Weyl, donne une consistance à ce que peut être la détermination des coefficients de la métrique « par les forces de liaisons de la matière ». En effet, le cœur de la théorie dʼEinstein est constitué par les équations de la gravitation. Ce sont des lois physiques affirmant que la courbure de lʼespace(-temps), propriété géométrique qui participe à la détermination des coefficients métriques, est dépendante de la distribution de lʼénergie-impulsion dans lʼenvironnement physique considéré42. Cʼest donc précisément les lois de lʼinteraction gravitationnelle qui, dans la théorie dʼEinstein, viennent sélectionner les fonctions métriques effectives, au sein du champ des fonctions possibles ouvert par la seule analyse de la nature de la métrique. Le chemin quʼa suivi Einstein pour établir sa théorie nʼest certes pas parti de lʼappel riemannien à une détermination physique des coefficients de la métrique. Einstein suivait plutôt une double voie. Dʼun côté, il cherchait une théorie du champ gravitationnel compatible avec la vitesse finie de propagation des interactions. Et dʼun autre côté, il cherchait à abolir lʼespace substantiel newtonien au profit dʼun espace relationnel émergeant des interactions de la matière. Ce second motif du travail dʼEinstein nʼétait pas né dʼune analyse épistémologique des fondements de la géométrie, comme chez Riemann, mais de lʼhéritage dʼune tradition de pensée de lʼespace comme « espace relationnel ». Cette tradition était parvenue jusquʼà lui à travers sa lecture des œuvres de Ernst Mach. Ce dernier appelait à une explication des forces inertielles par un mouvement du corps inertiel par rapport aux autres corps de lʼunivers plutôt que par rapport à un espace absolu. En identifiant inertie et gravitation, Einstein pouvait faire se correspondre cet appel de Mach à un espace relationnel expliquant lʼinertie des corps, avec sa recherche dʼune théorie du champ gravitationnel. Enfin, en identifiant les propriétés inertielles de lʼespace avec ses propriétés métriques, Einstein a fait se rejoindre cette demande dʼun espace inertiel relationnel, avec la demande de Riemann dʼune détermination des coefficients de la métrique par les forces dʼinteraction. Cʼest par cette heureuse concordance que Weyl a pu, dans Espace-Temps-Matière, passer sous silence la problématique de ce quʼEinstein appelait « principe de Mach » pour donner une interprétation de la théorie qui cadre avec le cadre épistémologique hérité de Riemann43.

49Le statut physique des lois dʼEinstein, qui corrèlent les propriétés métriques de lʼespace-temps à la distribution de la matière-énergie, fait jouer à lʼexpérience un nouveau rôle dans la seconde étape du schéma riemannien. Dʼune part, en tant quʼelles sont des lois physiques, les lois dʼEinstein ne sont pas le fruit dʼune simple analyse a priori comme lʼétaient les hypothèses de Riemann fondatrices de la géométrie analytique. Les lois dʼEinstein ont un aspect empirique indéniable en tant quʼelles ont été construites pour correspondre aux lois newtoniennes dans la limite des champs faibles et des vitesses faibles. Lʼinduction expérimentale a évidemment pris sa place dans lʼélaboration des équations dʼEinstein même si cʼest à côté dʼautres considérations mathématiques et philosophiques a priori.

50En tant que ces lois corrèlent les coefficients de la métrique à des grandeurs physiques, elles font en quelque sorte des coefficients de la métrique eux-mêmes des grandeurs physiques. Cʼest-à-dire que les valeurs particulières des coefficients de la métrique ne peuvent être fixées conceptuellement puisquʼils dépendent de la distribution contingente de la matière dans lʼenvironnement donné. Les coefficients de la métrique doivent donc être mesurés expérimentalement. Ce sont des éléments empiriques qui finissent de déterminer les propriétés de la métrique. Nous avions vu comment, dans la conception gaussienne de la géométrie physique, ce nʼétait pas les propriétés métriques des corps que lʼon mesurait mais de lʼespace lui-même. De même, une fois acceptées les lois dʼEinstein, ce ne sont plus seulement les trajectoires particulières des corps soumis aux différentes forces dʼinteraction qui sont lʼobjet de mesure physique. Cʼest lʼespace des trajectoires possibles qui est lui-même objet de mesure. Seule la mesure de la distribution de lʼénergie-impulsion permet dʼavoir connaissance de la courbure de lʼespace et donc des fonctions mathématiques précises que sont les gµν(x). Ces gµν(x) déterminent à leur tour les relations métriques entre les points de lʼespace-temps susceptibles dʼappartenir à une trajectoire physique. Comme, de plus, la distribution de lʼénergie-impulsion dans lʼunivers nʼest pas (au moins localement) une constante, mais une propriété physique dynamique, évoluant dans le temps, la métrique devient elle-même un objet dynamique :

  • 44 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 192-193.

On fait un nouveau pas quand on admet que la métrique dʼunivers nʼest pas donnée a priori, mais que la forme quadratique qui la représente dépend de la matière par des lois invariantes aussi. Ce nʼest que lorsque ce pas est franchi quʼon sʼest élevé à une théorie qui mérite vraiment le nom de théorie de la relativité générale. Elle permet alors de résoudre le problème de la relativité du mouvement. [...] Et ce nʼest que si nous admettons cette théorie que la gravitation apparaîtra comme une émanation du champ métrique, car nous savons par lʼexpérience que la gravitation est conditionnée par la distribution des masses (loi dʼattraction de Newton). Cʼest moins dans la condition dʼinvariance générale, que dans cette nouvelle étape, que nous paraît être le noyau de cette théorie de la relativité généralisée44.

2.5. ESPACE HOMOGÈNE ET MÉTRIQUE HÉTÉROGÈNE, LʼIMPASSE DES GÉOMÉTRIES DE KLEIN

51Les paragraphes précédents et le chapitre II nous donnent un cadre suffisant pour exprimer sous une forme plus précise notre problématique initiale. Rappelons quʼil sʼagit dʼune tension interne au travail de Weyl entre dʼune part une exigence dʼhomogénéité liée à sa conception de lʼespace comme forme des apparences, et dʼautre part le caractère hétérogène des relations métriques qui découle du caractère dynamique de la métrique.

52Pour réexposer dans toute sa précision ce problème, nous allons commenter un texte du paragraphe 12 dʼEspace-Temps-Matière, intitulé « aspect dynamique des propriétés métriques ». Cʼest un texte plusieurs fois remanié à lʼoccasion des diverses éditions. Il ne comporte pas le dernier mot de la position de Weyl concernant la façon de se sortir du problème. Dʼune certaine façon, ce texte passe même à côté de certains aspects de la question étudiée, par un abus de simplifications didactiques. Mais il reste un texte intéressant pour présenter la position de Weyl, parce quʼil se situe à un moment charnière de son livre, au moment où il nʼa pas encore exposé les principes de la relativité générale, mais où la problématique qui nous concerne se pose déjà, comme un problème accompagnant toute épistémologie qui part de la position riemannienne.

53Notre extrait débute par lʼexposition du problème :

  • 45 Il sʼagit de Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. (...)
  • 46 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,87.

Lʼespace est une forme des phénomènes et, en tant que tel, il est nécessairement homogène. À partir de là, il pourrait sembler quʼà partir de la riche abondance des géométries possibles incluses dans la conception de Riemann, on ne doive conserver en fin de compte que les trois géométries évoquées [celles à courbure constante]. Riemann avait une opinion différente comme il est évident à partir des remarques de conclusion de son essai4546.

54Le chapitre II a développé la fonction épistémique de lʼhomogénéité. Cʼest en rapport à elle que Weyl dit que lʼespace est nécessairement homogène. Pourquoi, selon Weyl, cette homogénéité nécessaire, si elle est mal conçue, risque dʼimposer une restriction drastique et indue au sein du riche univers des espaces de Riemann ?

55Le problème est déjà connu avant sa formulation par Weyl. Il naît de la rencontre de deux grandes pensées géométriques du xixe siècle, toutes deux en lien étroit avec lʼécole de Göttingen. Il sʼagit dʼun côté la tradition de la géométrie différentielle des espaces courbes, telle quʼon la trouve par exemple chez Gauss et Riemann, et de lʼautre côté, lʼhéritage de Klein et du programme dʼErlangen.

56Non seulement la notion de groupe mais également lʼidée dʼhomogénéité ont présidé à la pensée unificatrice de la géométrie de la tradition dʼErlangen. Une géométrie au sens large et transversal (qui comprend aussi bien la géométrie métrique que la géométrie affine, conforme ou projective) nʼest rien dʼautre que lʼétude du groupe des transformations dʼun espace qui est homogène. Il doit y avoir une transformation de lʼespace entier dans lui-même (transformation globale) qui envoie nʼimporte quel point vers nʼimporte quel autre. Dans un langage un peu plus moderne, une géométrie de Klein est la donnée (E,G) dʼun espace E et du groupe G204EEdes transformations qui laissent globalement invariantes les structures de cet espace de telle sorte que :

  1. Le groupe G agit (au sens mathématique de lʼaction de groupe) sur lʼespace E ;
  2. Homogénéité :Lʼaction de G sur E est transitive.

57Si on se restreint au cas métrique, celui qui nous concerne avec les espaces de Riemann, alors une géométrie métrique de Klein est un espace sur lequel le groupe des isométries agit transitivement. Ainsi, toute configuration géométrique qui peut être déployée à partir dʼun certain point de lʼespace qui sert dʼorigine, peut tout aussi bien lʼêtre à partir de nʼimporte quel autre point. Exprimé dʼune manière plus physique ou cinématique, on peut dire que, dans une telle géométrie, un objet étendu peut se déplacer de nʼimporte quel point à nʼimporte quel autre sans pour autant changer sa nature géométrique, i. e. sans que les relations métriques internes aux éléments de cet objet ne changent. On peut parler de la possibilité de déplacer un objet « rigide » dans lʼespace.

58Mais cette homogénéité globale de lʼespace est précisément le type de symétrie que ne possèdent pas en général les espaces courbes de Riemann. La variabilité de la courbure dʼun point à un autre dʼun espace de Riemann empêche généralement la possibilité dʼune telle isométrie globale. Autrement dit, elle empêche la possibilité du mouvement dʼun objet rigide. On montre que, parmi les espaces de Riemann, seuls ceux qui ont une courbure constante sont homogènes au sens de Klein. Suivant si la courbure est nulle, positive ou négative, on retrouve les trois seuls cas : de la géométrie euclidienne, de la géométrie elliptique, et de la géométrie hyperbolique.

59La solution draconienne qui consisterait à accepter la réduction du vaste univers des espaces de Riemann aux trois seules géométries à courbure constante est sérieuse. Elle avait été adoptée par dʼautres grands penseurs de la géométrie comme Poincaré. Sans être parfaitement clair ni catégorique à ce sujet, Poincaré, dans La Science et lʼHypothèse, semble mettre à lʼécart lʼusage des géométries courbes de Riemann pour rendre compte de la structure de lʼespace. Il les écarte précisément au nom de lʼexigence dʼhomogénéité, ou plus précisément de la possibilité du mouvement dʼun corps rigide :

  • 47 Poincaré Henri, La Science et lʼHypothèse, Paris, Flammarion, 1909, p. 73.

[Dʼaprès un théorème de Sophus Lie], si on admet la possibilité du mouvement, on ne pourra inventer quʼun nombre fini et même assez restreint de géométries à trois dimensions. [...] Cependant, ce résultat semble contredit par Riemann, car ce savant construit une infinité de géométries différentes. [...] Mais la plupart de ces définitions [celles des espaces courbes de Riemann] sont incompatibles avec le mouvement dʼune figure invariable [...] Ces géométries de Riemann, si intéressantes à divers titres, ne pourraient donc jamais être que purement analytiques et ne se prêteraient pas à des démonstrations analogues à celles dʼEuclide47.

60Cette attitude poincaréenne nʼest pas isolée. Cʼest en effet une posture naturelle pour tous ceux qui pensaient la nature de la géométrie à partir de cette exigence dʼhomogénéité à la façon de Klein. Cʼétait déjà par exemple le cas de Helmholtz qui, à lʼoccasion de son travail sur le problème de lʼespace, avait proposé une solution qui aboutissait à refuser aux géométries différentiellesà courbure variable de pouvoir sʼappliquer à la caractérisation de la structure métrique de lʼespace. Helmholtz tente de trouver un critère asseyant définitivement lʼusage millénaire de la géométrie euclidienne. Son critère est précisément lʼhypothèse de la possibilité de mouvoir librement un corps rigide dans lʼespace.

  • 48 Plus précisément, en relativité générale, toutes les métriques de signatures + - - - sur une varié (...)

61La stratégie de Weyl est complètement différente. Il ne fait, selon lui, que suivre et développer la position de Riemann. Il sʼagit de maintenir la nécessité de lʼhomogénéité comme propriété essentielle de lʼespace, mais en déplaçant le sens quʼelle revêt. Cela va lui permettre de légitimer les géométries de Riemann comme dʼauthentiques géométries, cʼest-à-dire comme des cadres conceptuels susceptibles de refléter la structure même de lʼespace. Cʼest-à-dire que la physique ne sélectionnera pas une métrique riemannienne comme étant « la véritable » métrique. Il sʼagira au contraire de défendre la position selon laquelle toutes les métriques riemanniennes peuvent se réaliser physiquement, en fonction de la situation matérielle48. Weyl ira jusquʼà montrer que la famille complète des métriques riemanniennes est nécessaire pour donner un cadre spatial suffisant à la physique.

62Continuons un peu plus avant le texte pour comprendre comment Weyl va déplacer le sens de lʼhomogénéité de lʼespace.

  • 49 Weyl veut dire que, outre les positions respectives de lʼobjet observé et de lʼobservateur, il fau (...)
  • 50 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,p. 81.

Bien que le véritable état de fait soit vraiment plus complexe, nous partirons du plus simple des systèmes de géométrie optique, dont la loi fondamentale stipule que le rayon de lumière, provenant dʼun point M émettant de la lumière à un observateur situé en P, est une ligne « géodésique » ; la plus courte des lignes connectant ces deux points. Nous ne tenons pas compte de la finitude de la vitesse de propagation de la lumière. Nous nʼattribuons à la conscience qui reçoit quʼune simple faculté de perception et la simplifions en un « œil-ponctuel » qui observe immédiatement les différences de direction des rayons incidents, ces directions étant les valeurs de ? données par :
Image
Lʼ« œil ponctuel » obtient ainsi une image des directions dans lesquelles se trouvent les objets environnants (On ignore le facteur « couleur »). La loi de la continuité gouverne non seulement lʼaction des choses physiques mais aussi les interactions psycho-physiques. La direction dans laquelle nous observons des objets nʼest pas déterminée par leurs seules positions mais aussi par la direction du rayon lumineux qui en émerge et vient frapper la rétine, et, par là, par lʼétat du champ optique49directement en contact avec le corps de cette énigmatique réalité dont lʼessence est dʼavoir un monde objectif qui se présente à elle sous la forme dʼexpériences de conscience. Dire quʼun contenu matériel G est le même que le contenu matériel ne peut alors rien vouloir dire dʼautre que le fait quʼà chaque point P respectivement à G correspond un point de vue relativement à (et vice et versa) de telle sorte quʼun observateur en dans reçoit la même « image directionnelle » quʼun observateur dans G reçoit en P50.

63Ce texte développe le sens que va devoir prendre lʼhomogénéité de lʼespace, compte tenu de lʼanalyse par Weyl de la notion de sujet. On comprend en quoi la figure du sujet-coordonnées qui avait été introduite dans la partie mathématique de lʼanalyse de lʼespace préfigurait une notion physique de sujet. Il sʼagit du sujet comme observateur situé en un point du monde et le décrivant depuis ce point de vue singulier.

64Nous avions remarqué que, dans la sphère mathématique, le sujet-coordonnées avait une nature similaire aux objets géométriques contenus dans lʼespace. Cela nous avait permis de passer indifféremment dʼune interprétation objectuelle à une interprétation subjectuelle des transformations spatiales. Ici aussi, le sujet-référentiel participe lui-même à la réalité physique quʼil observe, par lʼintermédiaire de son corps, idéalisé sous la forme dʼun œil ponctuel percevant la réalité spatiale à travers les données optiques quʼil reçoit au point où il est situé. Si, au niveau mathématique, le système de coordonnées était arbitraire, cʼétait parce quʼau niveau physique, cela va permettre de neutraliser la singularité du point de vue ponctuel de lʼobservateur sur le monde. Lʼhomogénéité de lʼespace, postulée à un niveau mathématique, est un premier pas vers un principe de relativité des mesures physiques qui pose la possibilité de passer du point de vue singulier dʼun observateur localisé, à un quelconque autre point de vue similaire, dans la description physique du monde.

65Comment fonctionne ce principe de relativité de la mesure ? Les objets physiques, en tant quʼils sont situés dans lʼespace, possèdent par là même une nature géométrique. On sait que lʼhomogénéité de lʼespace nous permet de construire un discours objectif sur la réalité géométrique, en sʼabstrayant de la singularité de chaque sujet-coordonnées. De même, pour savoir comment les valeurs numériques exprimant une certaine grandeur physique vont être modifiées dans le passage dʼun certain référentiel à lʼautre, il suffit de savoir de quelle nature géométrique particulière (vecteur, tenseur, densité tensorielle, etc.) participe cette grandeur physique. Ainsi, la singularité du point de vue de lʼobservateur en physique est éliminable par un mouvement dʼabstraction, pourvu quʼon explicite la position (cinématique) de lʼobservateur et quʼon détermine la nature géométrique des différentes grandeurs. Telle est le sens de ce principe de relativité de la mesure.

66Que signifie alors lʼhomogénéité de lʼespace dans ce contexte physique ? Dans la sphère mathématique, lʼhomogénéité signifiait quʼun seul et même objet géométrique pouvait être déplacé en un point quelconque de lʼespace mathématique sans que sa nature géométrique en soit modifiée. De même ici, un objet physique (une portion de matière), en tant quʼil a une nature spatiale, doit pouvoir être déplacé en un point quelconque de lʼespace sans que sa nature en soit modifiée. Dans lʼimage simplificatrice que donne Weyl dans le texte ci-dessus, cette invariance de la nature de lʼobjet est réductible à la possibilité dʼen obtenir une image optique équivalente après le déplacement.Il suffit pour cela que lʼobservateur soit positionné vis-à-vis de lʼobjet déplacé comme le premier observateur lʼétait vis-à-vis de lʼobjet avant déplacement.

67Lʼhomogénéité comprise en ce sens est-elle bien vérifiée dans une théorie qui accepte le cadre de la géométrie riemannienne ? Weyl répond oui. En analysant sa réponse, nous allons révéler des aspects essentiels de sa position épistémologique.

2.6. LʼARGUMENT DE LA BOULE DʼARGILE

68Weyl va montrer que lʼhomogénéité de lʼespace, comprise comme possibilité de retrouver la même image visuelle dʼun corps après son déplacement, est bien vérifiée dans toute géométrie qui accepte les deux présupposés suivants quʼil attribue à Riemann :

691) La métrique est donnée par une forme quadratique différentielle :

70ds2= gij(x) dxi dxj

71dont les coefficients varient en fonction du lieu ; cʼest-à-dire que nous sommes dans un « espace de Riemann ».

722) Les coefficients de la métrique sont déterminés par le contenu physique de lʼespace.

  • 51 Voir le texte p. 182.

73Lʼhypothèse 2) est la façon dont Weyl interprète la proposition un peu énigmatique de Riemann selon laquelle « Le fondement des rapports métriques [de lʼespace] doit être cherché en dehors de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui51. » Nous avons vu ci-dessus comment Weyl interprétait cette phrase comme une anticipation de lʼidée dʼune métrique dynamique. Lʼinterprétation de Weyl conduit à faire jouer à lʼhypothèse riemannienne dʼune métrique dynamique le même rôle que la demande de Mach, relayée par Einstein, selon laquelle lʼinertie des corps doit pouvoir être parfaitement déterminée par les masses présentes dans lʼunivers. Lʼanalogie est possible pourvu quʼon remarque que lʼinertie est une propriété géométrique dépendant de la métrique. En effet, en relativité générale, un mouvement inertiel est un mouvement uniforme le long dʼune ligne droite, donc une géodésique déterminée par la métrique. Lʼinterprétation de Weyl suggère donc curieusement un principe de « Riemann-Mach », affirmant quʼil doit exister une loi en vertu de laquelle les coefficients de la métrique se trouvent déterminés par la matière, déterminant à leur tour les mouvements inertiels. Weyl ne fait aucune référence à Mach mais le parallèle que nous développerons ci-dessous confirmera lʼanalogie que nous faisons. Plus précisément, nous verrons que notre hypothèse riemanienne 2) jouera pour Weyl le même rôle que le principe de Mach pour Einstein.

74La démonstration de Weyl suit un chemin proche de celui quʼavait développé Einstein à lʼoccasion de son fameux argument du trou, sans lui être parfaitement identique. Nous allons rappeler à grands traits le fil de lʼargumentation dʼEinstein pour servir de point de comparaison par rapport à lʼapproche de Weyl. Dans notre développement de lʼargument dʼEinstein, nous suivons les philosophes et historiens des sciences : J. Norton, J. Stachel et M. Iftime.

75Aux alentours de lʼannée 1913, alors quʼil cherchait ses équations de la gravitation, Einstein avait déjà posé quelques hypothèses générales qui dirigeaient ces recherches. Dʼune part, il posait lʼéquivalence entre inertie et gravitation, illustrée par sa fameuse expérience de pensée de lʼascenseur. Dʼautre part, inspiré par les idées de Mach, il posait que lʼinertie des corps devait être complètement déterminée par lʼensemble de la distribution de la matière dans lʼunivers, et non pas par la référence à un quelconque « espace absolu » à la façon de Newton. Or, la gravitation étant pensée comme déterminée par la matière depuis Newton, la première hypothèse venait renforcer et rendre fortement plausible la seconde. Lʼinertie des corps étant, dʼautre part, une tendance des corps à suivre les lignes droites de lʼespace, sa dépendance à lʼégard de la distribution de la matière dans lʼunivers était interprétée comme une dépendance des propriétés métriques de lʼespace à lʼégard de la matière qui y est contenue. Enfin, Einstein voulait que sa nouvelle théorie de la gravitation respecte son principe de relativité générale qui pose a priori lʼéquivalence de tout référentiel pour exprimer les lois de la physique. Ce dernier principe devait selon lui sʼexprimer mathématiquement par le principe de covariance ; imposant que les équations soient invariantes par un changement quelconque des coordonnées spatio-temporelles.

  • 52 Lʼargument apparaît dans : Einstein Albert et Grossman Marcel, « Entwurf einer verallgemeinerten R (...)

76Dans ce contexte, Einstein cherchait à déterminer les équations de la gravitation devant exprimer comment sʼeffectue cette détermination des propriétés métriques par la matière. Tout comme Weyl, Einstein se plaçait sous lʼhypothèse générale selon laquelle les propriétés métriques sʼexprimaient sous la forme dʼune forme quadratique différentielle gµν dépendant de la position (espace de Riemann). On savait déjà que lʼobjet géométrique naturel pour exprimer la distribution de la matière était le tenseur énergie-impulsion souvent noté « Tµν ». Einstein se demande alors si les équations de la gravitation pouvaient sʼécrire, comme on sʼy attendrait au vu des hypothèses exposées ci-dessus, sous la forme « Gµν= κTµν », où Gµν serait un tenseur, fonction de la métrique spatio-temporelle gµν, qui resterait à déterminer, et ? une constante multiplicative. On peut choisir des unités de mesure de telle sorte que κ = 1. On néglige ce terme multiplicatif par la suite. Dans les premiers mois de sa réflexion, Einstein pense quʼune telle équation ne pourrait satisfaire au réquisit de la détermination complète de la métrique spatio (-temporelle) par la matière. Cette impossibilité supposée est illustrée par un argument didactique quʼon appelle « argument du trou52 ». Cʼest un argument par lʼabsurde. Supposons que notre équation convienne. Pour simplifier le problème, supposons que lʼunivers soit statique. Cʼest-à-dire que la distribution de la matière nʼévolue pas. Cʼest une simplification indifférente pour la validité de lʼargument qui va suivre. Supposons à présent que, dans cet univers, il y ait une portion de lʼespace sans aucune matière, un « trou ». Cette hypothèse supplémentaire sʼexprimera par le fait que le tenseur énergie-impulsion (et donc le tenseur Gµν encore indéterminé) sʼannulera identiquement sur toute cette portion dʼespace(-temps). Supposons maintenant que, dans un premier système de coordonnées (x), on ait une certaine métrique gµν (x) qui soit solution de notre équation, i. e. qui vérifie « Gµν = Tµν ». Considérons alors un changement de coordonnées qui ait la propriété de se réduire à lʼidentité en dehors de notre trou mais non pas à lʼintérieur du trou. Dans ce second système de coordonnées (xʼ), les tenseurs G et T sʼexprimeront par des fonctions mathématiquement identiques µν (xʼ) = Gµν (x) et  µν (xʼ) = Tµν (x). En effet, à lʼextérieur du trou, on a = x ; tandis quʼà lʼintérieur du trou, ces tenseurs sʼannulent donc restent nuls dans tout système de coordonnées. Le tenseur métrique g sʼexprimera lui aussi par des fonctions mathématiques identiques µν (xʼ) = gµν (x) à lʼextérieur du trou, pour la même raison que les deux premiers tenseurs. Par contre, à lʼintérieur du trou, les coefficients de la métrique vont sʼexprimer par de nouvelles fonctions µν (xʼ) ≠ gµν (x) puisque, contrairement aux deux premiers tenseurs, la métrique g, supposée non dégénérée, ne sʼannule jamais et change de façon covariante comme il est bien connu avec le changement de coordonnées.

77Le point crucial de lʼargument dʼEinstein, selon Norton, intervient maintenant. Il sʼagit de passer dʼune interprétation passive de la transformation x→xʼ à une interprétation active. Cʼest une distinction technique qui signifie quʼon ne va plus considérer la transformation x→xʼ comme un changement de coordonnées, mais comme une manière de déplacer les tenseurs g, G et T sur la variété spatio-temporelle. On reste dans le premier système de coordonnées et on donne comme valeurs aux fonctions gµν, Gµν et Tµν au point de coordonnées « xµ », les valeurs gʼµν(xʼ), µν(xʼ) et µν(xʼ) qui avaient été calculées dans un premier temps pour le second système de coordonnées, là où le point avait pour coordonnées « µ ». On se retrouve donc, dans un seul et même système de coordonnées, avec deux jeux de valeurs possibles (gµν(x), Gµν(x), Tµν (x)) et (µν(x), µν (x), µν(x)) qui sont toutes les deux solutions de lʼéquation, pourvu quʼon accepte le principe de covariance. Maintenant, nous avons vu que Gµν = µν, Tµν = µν mais gµνµν. On se retrouve donc avec deux valeurs différentes de la métrique (gµν ≠gʼµν) pour une seule et même distribution de la masse-énergie (Tµν = µν), ce qui semble contredire lʼhypothèse de détermination complète de la métrique par la distribution de masse-énergie dans lʼUnivers.

78Einstein avait cru, dans les premiers mois qui ont suivi lʼémergence de lʼargument du trou, quʼil fallait alors se résoudre à abandonner le principe de covariance, et donc en particulier la forme tensorielle de lʼéquation. Cela permettrait au moins de sauver le principe dʼéquivalence et le principe de Mach. Il se lança alors dans une recherche dʼéquations plus complexes, non-covariantes. On sait depuis les travaux de Norton que la théorie de la relativité générale fut achevée rapidement sous la forme covariante quʼon lui connaît, sitôt quʼEinstein eut découvert une faille dans son argument du trou. Lʼargument montre quʼil nʼy a pas une seule solution, dans un système de coordonnées donné, pour les coefficients de la métrique. Mais cela ne montre pas quʼil y ait deux formes métriques essentiellement différentes compatibles avec une seule et même distribution de lʼénergie-impulsion. En effet, les deux jeux de coefficients gµν(x) et µν(x), par leur construction, munissent la variété spatiotemporelle de deux notions de distance qui sont isométriques (la transformation active x→xʼ fournissant bien entendue lʼisométrie). La gêne quʼéprouvait Einstein était liée au fait que, malgré lʼisométrie, ces deux distances paraissent tout de même différentes. En effet, pour un seul et même point de la variété spatio- temporelle, identifié par ses coordonnées dans le système de coordonnées fixé, les deux métriques en question fournissent des valeurs différentes.

  • 53 Plus précisément, soit il sʼagit de deux points différents de la variété, soit ce sont les mêmes p (...)

79Il sʼagissait en fait dʼun faux problème dans la mesure où Einstein avait considéré à tort que la donnée fixe dʼun système de coordonnées suffit à donner une identité physique aux points de la variété spatio-temporelle. En fait, tant quʼelle nʼest pas couplée à la donnée dʼun contenu physique, la fixation dʼun système de coordonnées nʼest quʼun artefact mathématique sans réalité physique. À lʼextérieur du trou, lʼidentité physique des points de lʼespace peut être matérialisée par la portion de masse-énergie qui lʼoccupe. À lʼintérieur du trou, en revanche, quel contenu physique peut bien servir à identifier les points de la variété ? Certainement pas la masse-énergie qui en est absente. Il nʼy a donc que le champ métrique lui-même. Si bien quʼil ne faut pas dire que les valeurs gµν(x) et µν(x) sont prises au même point physique de notre variété, simplement en raison de notre décret mathématique de « fixer le système de coordonnées ». Il faut plutôt prendre les choses dans lʼautre sens. Parce que gµν(x) et µν(x) sont différentes, elles correspondent à deux points53physiques différents de la variété. Si bien que les fonctions gµν et µν correspondent en fait à deux façons mathématiques de paramétrer une seule et même réalité physique, la métrique définie par les deux fonctions isométriques gµν et µν.

80Cette absence de réalité physique du système de coordonnées, quand il nʼest pas couplé avec le contenu de lʼespace, a été une découverte fondamentale dʼEinstein qui lʼa mis sur la voie de lʼachèvement de sa théorie en 1915. Il est notable cependant que, même si lʼargument du trou est contré par ce biais, la théorie dʼEinstein ne réalise cependant pas un principe de Mach assez fort pour quʼune distribution de lʼénergie-impulsion sur la totalité de lʼespace-temps donne lieu à un seul gµν, même à isométrie près. Seule une version affaiblie du principe de Mach, sous la forme dʼun problème de Cauchy, est valide en relativité générale. Cf. les quelques éléments que nous donnons en annexe.

  • 54 Cf. le sous-paragraphe précédent III.2.5.

81Cette remarque clôt notre bref résumé de lʼargument du trou dans la pensée dʼEinstein, et nous revenons au texte dʼEspace- Temps-Matière. Nous allons y voir un argument très proche de celui dʼEinstein. Voici le début du texte où Weyl effectue la démonstration du fait que lʼhomogénéité de lʼespace est vérifiée dans le cadre quʼil a déterminé ci-dessus54 :

Prenons comme base un système de coordonnées déterminé xi. Les mesures dʼétat [mesures de phase] scalaires, comme la densité de charge ?, sont alors représentées par des fonctions déterminées :
ρ = f(x1 x2 x3).
Considérons la forme fondamentale :
Image

  • 55 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 90.

où les gik (tout comme dans la terminologie mathématique) dénotent certaines fonctions déterminées de x1, x2, x3. Supposons de plus que soit donnée une quelconque transformation de lʼespace en lui-même, par laquelle un point correspond à chaque point P. En utilisant ce système de coordonnées et les notations :
P = (x1x2x3) = (123)
la transformation sera alors exprimée par :
i=Øi(x1x2x3).
Cette transformation convertit une portion dʼespace S en une portion dʼespace Sʼ. Je veux montrer que si lʼopinion de Riemann est correcte, sera congruente avec S dans le sens défini55.

  • 56 Ce problème perd toutefois beaucoup de sa force sitôt quʼon remarque que tous les coefficients du (...)

82Ce début de texte pose le vocabulaire et les notions nécessaires pour la démonstration. Weyl choisit de représenter tout le contenu physique (matière) de lʼespace par une seule fonction ? quʼil considère comme étant une fonction scalaire de la position. Le motif de Weyl est clair. Il sʼagit de mettre de côté ce qui lui semble accessoire, la modélisation de la matière, pour mieux laisser apparaître lʼessentiel de son argumentation concernant les rapports entre cette matière, lʼespace-temps et les relations métriques. Il nous semble que ces simplifications à visée didactique sont exagérées. Un lecteur scrupuleux pourrait lui reprocher de partir dʼhypothèses incohérentes. Le problème vient du fait que Weyl a choisi des natures géométriques différentes pour la fonction « ρ » (scalaire) et le champ métrique gµν (tenseur doublement covariant). Dans lʼargument originel dʼEinstein, le tenseur Tµν et le tenseur gµν sont de même nature, si bien que cela a un sens de se demander si lʼun peut parfaitement déterminer lʼautre. Dans le cas simplifié introduit par Weyl, lʼhypothèse de la détermination de gµν par la fonction ρ est immédiatement réfutée par le fait que leurs natures géométriques sont différentes et quʼil existe des transformations de lʼespace qui modifient les valeurs dʼun champ de tenseurs sans modifier les valeurs du champ scalaire56.

83Nous avons averti le lecteur pour quʼil soit conscient de cette difficulté. Lʼessentiel cependant est de bien voir que cet abus de simplification de la part de Weyl, ne change rien à la validité générale de lʼargument qui va suivre :

  • 57 Pour bien suivre lʼargument ici, il faut bien interpréter la lettre « f » comme désignant une fonc (...)
  • 58 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,p. 90.

Je veux montrer que si lʼopinion de Riemann est correcte, Sʼ sera congruente avec S dans le sens défini.
Je vais, pour cela, utiliser un second système de coordonnées qui donnera au point P les valeurs « xiʼ » qui avaient été données par la formule (16) au point Pʼ. Les expressions (16) deviennent alors des formules de changements de coordonnées. La région mathématique à trois variables [variété à 3 dimensions] représentée par S dans les coordonnées est identique à celle qui était représentée par Sʼ dans les coordonnées x. Je vais maintenant imaginer quʼon remplit lʼespace dʼune nouvelle manière, précisément celle qui est exprimée par la formule :
ρ = f(123)57
au point P ; et de même pour les autres quantités scalaires. Si les relations métriques de lʼespace sont prises comme étant indépendantes de la matière qui y est contenue, la forme métrique sera, comme dans le cas de la première distribution de masse, de la forme :
Image
le membre de droite désignant lʼexpression après transformation dans le nouveau système de coordonnées. Si, en revanche, les relations métriques de lʼespace sont déterminées par le contenu matériel – et nous admettons avec Riemann quʼil en est ainsi – alors, puisque la seconde distribution de la matière sʼexprime dans les coordonnées exactement de la même manière que la première dans les coordonnées x, alors la forme métrique fondamentale sera :
Image
En conséquence des principes dʼoptique géométrique sous-jacents que nous avons acceptés plus haut, le contenu dans la portion dʼespace Sʼ, lors de la première distribution de masse, présentera exactement la même apparence à un observateur en que celle que présente le contenu matériel en S à un observateur en P durant la seconde distribution de masse. Si lʼancienne opinion des « casernes à loyers » était correcte, cela ne serait évidemment pas le cas58.

84La citation est longue, mais lʼanalyse que nous avons déjà faite de lʼargument du trou chez Einstein va nous permettre de commenter rapidement ce passage.

85On voit que lʼessentiel du raisonnement de Weyl est basé sur le même jeu que chez Einstein entre une interprétation passive et une interprétation active dʼune transformation. Chez Weyl, transformation active et transformation passive correspondent à ce que nous avons appelé ci-dessus interprétation subjectuelle et interprétation objectuelle dʼune transformation spatiale, double interprétation fondée sur une similarité de nature entre le sujet-coordonnées et les objets spatiaux.

86De manière plutôt anecdotique, la démarche de Weyl va en sens inverse de celle dʼEinstein, dʼune interprétation active à une interprétation passive. En effet, après avoir choisi une portion dʼespace S dont les points sont repérés par leurs coordonnées, Weyl commence par considérer une transformation active ? de lʼespace qui nous amène à considérer la nouvelle portion dʼespace dans laquelle S est envoyée par Ø. Puis, Weyl réinterprète passivement cette transformation pour donner aux points de S les anciennes coordonnées quʼavaient les points qui leur correspondent par Ø. Enfin, un réaménagement de la distribution de la matière joue le même rôle que le « tractage » du tenseur Tµν dans la formulation moderne de lʼargument dʼEinstein. Cela place lʼobservateur en P et la portion dʼespace S dans la même position relativement à la distribution de matière que lʼétait la portion dʼespace et lʼobservateur en dans la première distribution de matière. La démonstration de lʼhomogénéité de lʼespace se termine en affirmant que présentera bien la même apparence visuelle à (dans la première distribution de la matière) que S pour P (dans la seconde distribution de la matière) pourvu quʼon adhère à lʼhypothèse « riemannienne » de la dépendance de la métrique à lʼégard de la matière.

87Dans cette présentation des choses, lʼhypothèse riemannienne dʼune forme quadratique gµν(x) dépendante de la position, loin de mettre en péril lʼhomogénéité de lʼespace comme cela avait pu être annoncé par Helmholtz ou Poincaré, devient au contraire la garante de son homogénéité. Pour cela, il suffit quʼelle soit couplée avec lʼhypothèse de Riemann (-Mach) de détermination de la métrique par la matière. Il y a ici un véritable tour de force que nous allons analyser sitôt que nous aurons terminé le commentaire du texte.

  • 59 Nous pensons aux deux hypothèses avec lesquelles nous avons fait commencer ce sous-paragraphe III. (...)
  • 60 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems…, op. cit., p. 44.

88Lʼallusion aux « casernes à loyers » [Mietskasernen] est sans doute une référence au type dʼhabitation quʼon trouvait dans les camps militaires pendant la première guerre mondiale. Les camps étaient composés de bâtiments rectangulaires identiques, alignés les uns derrière les autres, laissant entre eux des voies parfaitement rectilignes formant un quadrillage à angles droits. Weyl se sert de cette image pour opposer le type de relation entre lʼespace-temps et la matière quʼon trouve dans la géométrie dʼun espace absolu comme chez Newton, et le type de relation entre espace-temps et matière dans une géométrie qui accepte les « hypothèses riemanniennes59 ». Lʼespace de Newton ressemble à un camp militaire. Il est muni dʼune structure uniforme sur toute son étendue. La matière vient remplir cet espace sans quʼen aucune façon cela ne change sa structure. Lʼespace conserve la même structure uniforme, impassible à ce qui se joue en lui. Pour pousser un peu lʼanalogie avec le camp militaire, on peut remarquer quʼil nʼy a sans doute aucun logement plus « impersonnel » quʼun bâtiment de caserne, aucun signe extérieur sur chaque bâtiment ne révélant quoi que ce soit de la personnalité individuelle de son occupant. À lʼopposé de lʼespace newtonien, un espace adoptant les hypothèses « riemanniennes » nʼest pas impassible face à la matière qui vient lʼoccuper. Chaque portion dʼespace est modelée par la matière qui vient lʼoccuper et par lʼinteraction avec la matière qui lui est extérieure. La métrique nʼest plus alors un quadrillage uniforme sur toute lʼétendue de lʼespace mais une structure dynamique qui sʼadapte localement à son contenant. Ainsi, en prenant un exemple anachronique, il suffit dʼobserver la structure spatiotemporelle dans un lieu au centre duquel figure un trou noir pour deviner la nature de lʼoccupant de ce lieu. Dans lʼAnalyse mathématique du problème de lʼespace, Weyl dira que lʼespace dʼEinstein est vis-à-vis de la matière comme la coquille dʼun escargot vis-à-vis de lʼanimal60. La coquille et sa structure ne préexiste pas à lʼanimal, mais elle se construit avec lui et sʼadapte au fur et à mesure que lʼanimal croit.

89Donnons la fin du texte :

  • 61 Le terme allemand est « Plastelinkugel ». La traduction « boule de pâte à modeler » serait plus li (...)
  • 62 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 90-91, et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie,(...)

Le simple fait que je puisse presser une boule dʼargile à modeler61entre mes mains pour lui donner nʼimporte quelle forme régulière totalement différente dʼune sphère pourrait nous sembler réduire lʼopinion de Riemann à une absurdité. En réalité, cela ne prouve rien. Car si Riemann a bien raison, une déformation de la structure atomique interne de lʼargile différente de celle que je peux effectuer avec mes mains, et un réarrangement des masses de lʼUnivers, seraient nécessaires, pour que la balle distordue soit amenée à apparaître sphériquement à un observateur en un point de vue quelconque. Le point essentiel est quʼun morceau dʼespace nʼa pas de forme visuelle du tout, mais que cette forme dépend du contenu matériel occupant le monde, et, en effet, en lʼoccupant de telle sorte que par le biais dʼun réarrangement approprié du mode dʼoccupation (de la matière), je peux lui donner nʼimporte quelle forme visuelle. Par là, je peux également transformer nʼimporte quels morceaux différents dʼespace pour leur donner la même forme visuelle en choisissant le mode de distribution de la matière adapté. Einstein a aidé à faire triompher des idées de Riemann62.

90Ici se termine le texte de Weyl qui semble mimer lʼargument dʼEinstein. On perçoit cependant une différence capitale. La portion dʼespace sur laquelle Einstein raisonnait pour penser les rapports de la matière, de lʼespace-temps, et de la métrique, était un « trou ». Au contraire, Weyl se sert dʼune portion de lʼespace qui contient de la matière, en lʼoccurrence une boule dʼargile (ou de pâte à modeler). La différence peut sʼexpliquer par un changement de motivation dʼEinstein à Weyl. Einstein se plaçait dans un cadre plus restreint où lʼéquation qui donne le lien entre les propriétés métriques et la matière était précisée sous la forme dʼune égalité tensorielle « Gµν = Tµν ». Dans ce cadre, le problème quʼil posait consistait à savoir si une détermination complète de la métrique par la matière était possible. Weyl se place dans un cadre plus général dans la mesure où il ne précise pas les équations qui corrèlent matière et métrique. Cette corrélation, posée par le principe de Riemann (-Mach), est passée dʼEinstein à Weyl du statut de problème à celui dʼune hypothèse de départ du raisonnement (dʼoù les simplifications parfois abusives que Weyl se permet). Le nouveau problème de Weyl consiste à montrer que, avec une telle métrique dépendant de la matière, on récupère une forme dʼhomogénéité de lʼespace. Il suffit pour cela de concevoir bien la métrique comme une structure dynamique, capable de sʼadapter localement à son contenu.

91Nous avons vu ce que devait signifier dans ce contexte lʼhomogénéité de lʼespace selon Weyl. Il doit être possible de transporter la matière dʼun point de lʼespace à un autre, sans modifier les propriétés internes ni lʼapparence visuelle des objets, lʼobservateur étant déplacé simultanément avec les objets perçus. Comment alors expliquer quʼon puisse déformer continûment une boule dʼargile entre nos mains pour lui donner diverses apparences ? Cette difficulté est un faux problème pour Weyl tout comme lʼargument du trou sʼest révélé lʼêtre pour Einstein. Toutefois, dans les deux cas, arriver à montrer quʼil sʼagit dʼun faux problème nécessite dʼavoir une conception claire des rapports entre lʼespace-temps et la matière, entre la topologie et la métrique, et entre les mathématiques et la physique. Si bien que savoir déjouer ces faux problèmes dʼapparences futiles, chez Einstein comme chez Weyl, est le signe quʼon a atteint lʼessentiel de la compréhension des liens qui se jouent entre lʼespace(-temps), la métrique, et la matière.

92On sait quʼEinstein, pour déjouer son argument du trou, avait mis en évidence lʼabsence de signification physique du système de coordonnées quand il nʼest pas couplé avec la donnée de la distribution du contenu physique. Weyl semble au contraire chercher à donner une signification physique à la transformation quʼil envisage. Supposons en effet quʼon ait fixé un système de coordonnées dans notre espace. Puisque la forme finale du morceau dʼargile est supposée avoir été obtenue continûment à partir de sa forme sphérique initiale F, les deux portions dʼespace et S contenant ces deux formes dans notre système de coordonnées doivent pouvoir être envoyées lʼune sur lʼautre par une transformationØ. Si notre malaxage de la boule dʼargile était véritablement interprétable comme un simple tractage de la matière dans lʼespace(-temps) par la transformationØ, sans en changer les propriétés intrinsèques, alors la conclusion serait inévitable. La matière ayant simplement été tractée, on nʼaurait fait que déplacer les valeurs scalaires de ρ sans les modifier. Or, 212 La métrique physique puisquʼon a posé que la métrique était entièrement déterminée par les valeurs scalaires deρ, les coefficients de la métrique nʼauraient pas eux même étaient modifiés mais simplement déplacés. La boule dʼargile conserverait alors invariablement la même forme.

  • 63 Nous réservons ce développement pour un article technique à venir.
  • 64 Cf. III.4.2.

93Toute la question devient alors pour Weyl : pourquoi le malaxage nʼest-il pas interprétable comme un simple tractage de la matière sur lʼespace(-temps) ? La réponse que donne Weyl à cette question est assez étrange et hésitante, dʼédition en édition. Sans doute, une analyse plus fine montrerait que Weyl est embarrassé par la modélisation abusivement simple quʼil a adoptée pour représenter la matière et son mode de corrélation à la métrique63. Nous pensons en effet que, si on prend au sérieux jusquʼau bout les hypothèses simplifiées extrêmement fortes posées par Weyl (matière représentée par des fonctions scalaires /métrique entièrement déterminée par la matière), alors il est non seulement impossible de comprendre comment une boule dʼargile est déformable, mais plus généralement il est impossible dʼarriver à concevoir la possibilité dʼun mouvement dans lʼUnivers. On aboutit à une forme de paradoxe partant dʼarguments apparemment rationnels et aboutissant en fin de compte à lʼimpossibilité de tout mouvement, comme dans la tradition philosophique éléatique des paradoxes de Zénon. Nous réservons pour une annexe64le développement de ce point qui est marginal par rapport aux enjeux délibérés de lʼargument de Weyl.

94Face à cette impasse, Weyl aperçoit deux moyens pour sʼéchapper. Peut-être, pense-t-il dʼabord, le problème relève-t-il de modifications se jouant à lʼéchelle microscopique, dans la boule dʼargile, pendant quʼelle est malaxée. Nous pensons quʼil faut comprendre ici que les propriétés intrinsèques de la boule dʼargile ont été changées pendant le malaxage, si bien que les « scalaires »ρ représentant la matière ne sont plus les mêmes avant et après le malaxage. Mais ce contre-argument de Weyl est extrêmement faible. Non seulement, cela nous met dans lʼembarras pour interpréter le fait que ? soit bien un scalaire, mais on ne voit pas bien comment un changement aussi minime dans la distribution de masse que celui quʼon effectue en malaxant une boule dʼargile pourrait changer notablement les valeurs de la métrique. On sait dʼaprès la relativité générale que seul des déplacements de charges massives dans lʼunivers provoquent des changements notables dans la métrique. Cʼest sans doute la raison pour laquelle Weyl propose aussitôt une autre explication : pour contourner le problème, il faudrait pouvoir envisager une redistribution à lʼéchelle cosmologique de toute la matière. Alors seulement la métrique pourrait reprendre les mêmes valeurs partout, et donc la boule dʼargile reprendre sa forme sphérique. Obtenir un changement important de la métrique par une telle redistribution de toute la matière cosmique semble physiquement plus plausible. Mais on ne voit pas bien comment justifier lʼintroduction dʼun réajustement des masses à une échelle cosmique, alors même que le concept mathématique du tractage de la matière, qui donne sens au problème, peut prendre un sens tout à fait local (toute la masse étant laissée inchangée sauf dans un petit voisinage, comme dans lʼargument du trou).

95Quoi quʼil en soit de ces problèmes, qui viennent selon nous de lʼexcessive simplification du principe de Riemann (-Mach) adopté par Weyl, notre auteur a bien repéré la leçon essentielle à retenir de cette réflexion sur les liens entre les coefficients de la métrique et le contenu de lʼespace, à savoir « quʼun morceau dʼespace nʼa pas de forme visuelle du tout, mais que cette forme dépend du contenu matériel occupant le monde ».

  • 65 Nous disons que lʼaffirmation est hardie car Weyl ne prend pas ici les précautions dʼusage en ce q (...)

96Quʼun morceau dʼespace nʼait pas de forme visuelle, compte tenu des hypothèses optiques quʼil a posées, est équivalent à dire que les coefficients de la métrique ne sont pas déterminés à lʼintérieur de ce morceau. Lʼespace en tant que tel, préalablement à la considération de la matière, nʼa donc que des propriétés topologiques et non pas métriques. Seule la matière, venant occuper lʼespace, détermine les relations métriques internes à chaque portion de lʼespace. Et Weyl va jusquʼà affirmer hardiment quʼon peut amener deux portions quelconques de lʼespace à avoir la même forme, en choisissant la distribution de la matière adéquate65.

Notes

1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., p. 101.

2 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867.

3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., p. 75-91.

4 Ibid., p. 84.

5 La notion riemannienne de variété avait déjà une nature topologique. Cet aspect topologique apparaissant dans le réquisit de continuité des fonctions-paramètres (coordonnées). Ce réquisit de continuité nʼavait pas encore chez Riemann la forme précise quʼil aura après le développement de la topologie ensembliste. Weyl garde la formulation de Riemann sans vouloir aller plus loin dans la façon dʼanalyser mathématiquement la notion de continuité. Il connaît cependant bien les développements assez récents à son époque de la topologie ensembliste comme lʼatteste son écrit de jeunesse Weyl Hermann, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig-Berlin, G. Teubner, 1913, ainsi que Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994, où il remet en question la façon ensembliste traditionnelle de rendre compte de la continuité. Cf. ce que nous avons dit dans le paragraphe II. 1. 6.

6 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 76.

7 Plus précisément, on parle des relations métriques caractérisant la surface qui sont invariantes quand la surface est déplacée au sein de lʼespace qui la contient, tout en conservant partout les relations métriques entre deux points infiniment proches de la surface. Autrement dit : « On considère comme ayant une géométrie similaire, deux surfaces obtenues lʼune de lʼautre par déformation [Verbiegung] sans distorsion [Verzerrung] » ; Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 80.

8 Cʼest le contenu du célèbre « Theorema Eggregium » démontré dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, M. E. Roger (trad.), Paris, Albert Blanchard, 1967, et auquel renvoie Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 85-86.

9 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 82.

10 Pourvu bien sûr que ces fonctions soient suffisamment régulières (continues, différentiables) et que la matrice [gµν] soit partout définie positive.

11 Quand il proposera sa propre géométrie infinitésimale pure, Weyl adressera à Riemann un reproche similaire que celui que Riemann aurait pu adresser à Euclide : il y a encore dans la géométrie de Riemann une limitation injustifiée qui subsiste, comme une sorte dʼimpureté dans sa conception infinitésimale de lʼespace, résidu de la géométrie dʼEuclide. Cf. IV. 2. 3 et IV. 2. 4.

12 On trouve par exemple une référence à ces mesures dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, op. cit., p. 58.
En mai 1820, à lʼinvitation de Georges IV de Hanovre, Gauss se lance pour 5 ans dans un travail de mesures géodésiques en vue dʼune cartographie de précision du royaume de Hanovre. Il se servira à cette occasion dʼinstruments de visée de son invention (cf. lʼhéliotrope) pour mesurer des distances entre des points culminants faciles à repérer comme des rochers, clochers ou châteaux.
Pour ces quelques détails, nous nous sommes référés ici à lʼexposé du 31 mars 1994 de Radoux Christian, in Journée de Mathématique et de Sciences organisée par la Faculté des Sciences de lʼuniversité de Mons, http :// users.skynet.be/radoux/textes/Gauss.pdf.

13 Dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, op. cit., p. 58, lʼauteur rapporte quʼil a voulu utiliser ses données géodésiques pour tester certaines formules trigonométriques permettant de détecter un écart entre la forme de la Terre telle quʼelle est mesurée, et une sphère parfaite. La précision de ses mesures ne lui permettait de mettre en évidence aucun écart.
Les mesures utilisées sont les distances entre les trois villes Hohehagen, Brocken et Inselberg.
Dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 83, lʼauteur rapporte que Gauss aurait employé ses mesures géodésiques entre ces trois mêmes villes, non pas pour tester la rotondité de la surface terrestre mais pour tester le caractère euclidien de lʼespace. Cela semble suggérer que Gauss ait effectué deux types de mesures géodésiques entre ces trois villes. Un premier type de mesure qui correspondrait aux distances entre ces trois villes, sans quitter la surface de la Terre, et un second type de mesure qui suivrait des lignes droites de lʼespace, cʼest-à-dire 3 rayons lumineux joignant directement les 3 villes en « ligne droite » dans les airs.
Tout ceci est seulement suggéré puisque Weyl ne donne pas ici les références des travaux de Gauss sur lesquels il se base. Dans Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, op. cit., Gauss ne parle pas explicitement dʼun test du caractère euclidien de lʼespace entre ces trois mêmes villes. Cependant, dans son dernier paragraphe, il donne une formule pour évaluer le rapport entre lʼaire dʼun triangle dans un espace courbe et lʼaire dʼun triangle dans un espace plat. À la suite de sa formule, il indique que, pour toutes les aires de triangles mesurables sur Terre, aucun écart nʼest détectable par rapport à ce qui est attendu dans un espace euclidien. Peut-être Weyl fait-il simplement référence à ce paragraphe.
On trouve dans la littérature un débat qui oppose les historiens croyant au fait que Gauss ait bien effectué des mesures géodésiques pour tester le caractère euclidien de lʼespace, et ceux qui pensent que cʼest un mythe.Cf.Miller Arthur, « The myth of Gaussʼexperiment on the Euclidean nature of physical space », in Isis, n° 63, 1972, p. 345-348, et Scholz Erhard, « Another look at Millerʼs myth », conférence à Luminy sur le thème « History of geometry », 1er septembre 2005, http ://www2.math.uni-wuppertal.de/~scholz/preprints/luminy05rep.pdf.

14 Restons prudents sur ce point. La primauté chronologique accordée ici à Gauss nʼest pas significative et nʼest pas le fruit dʼune recherche historique poussée. La primauté chronologique nʼa de toute manière aucune importance dans ce qui suit. Il ne sʼagit sans doute pas dʼune nouveauté radicale. Gauss renoue seulement avec un mode originel de penser la géométrie physique comme mesure physique de lʼespace lui-même, mode qui devait au moins avoir été prépondérant lors de la lointaine naissance de la géométrie euclidienne, et qui a dû vraisemblablement réapparaître ponctuellement au cours de lʼhistoire. Nous laissons de côté cette grande question qui nous mènerait trop loin.

15 Cf. notre note 7 de la page 23 de lʼintroduction où nous expliquons en quoi cette appellation de « géométrie physique » est à prendre avec précaution dans la mesure où elle nʼest pas conforme aux choix terminologiques de Weyl.

16 Notre prudence ici tient à la difficulté de lʼinterprétation rigoureuse des mesures effectuées par Gauss. Une telle interprétation nous emmènerait trop loin ici. Nous nous devons cependant de signaler quʼil y a ici un problème devenu classique en épistémologie depuis sa remarquable explicitation par Henri Poincaré dans Poincaré Henri, La Science et lʼHypothèse, Paris, Flammarion, 1902, chap. 4 et 5, p. 77-108. Cʼest ce problème auquel fait allusion Weyl (Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3 e édition, op. cit., p. 83) : « Le point de vue selon lequel les observations empiriques ne pouvaient ni valider ni invalider la géométrie euclidienne a été défendu selon une perspective philosophique. »
Le philosophe visé ici est probablement Poincaré. Selon cet auteur, la mesure de lʼespace lui-même, par opposition à son contenu, est une ineptie. Toute mesure expérimentale ne peut prendre sens quʼà travers lʼadoption de certaines lois physiques. On ne peut alors mesurer effectivement quelque chose comme un espace physique indépendant de tout contenu matériel. Nous testons toujours, de manière inséparable, une certaine structure géométrique associée à certaines lois physiques décrivant la façon dont le contenu de lʼespace est affecté par cette structure. Selon ce point de vue, on peut alors reprocher à Gauss de ne pas mesurer lʼespace mais de simplement tester lʼhypothèse physique de la propagation en ligne droite de la lumière (les mesures de Gauss étant de nature optique).
Weyl est partiellement dʼaccord avec ce raisonnement, comme il le confirme dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 84. Il y a chez Weyl comme chez Poincaré une forme de holisme géométrico-physique qui le pousse à affirmer quʼon ne peut tester expérimentalement que le complexe géométrie-métrique dynamiquematière, et non pas la géométrie seule. Pour aller plus loin dans la résolution de ce problème chez Weyl, il faudrait différencier la sphère des relations locales (infiniment proches) et la sphère des relations finiment éloignées Cette distinction ne sera pleinement développée que dans notre chapitre IV. Pour Weyl, la sphère locale est entièrement déterminée par le sujet. Dans cette sphère, il nʼy a pas plus chez Weyl que chez Poincaré de détermination expérimentale des propriétés de la métrique, avec toute la différence cependant entre une forme de conventionnalisme et une détermination a priori par des exigences rationnelles.
Au sein de la sphère du finiment éloigné, en revanche, les choses diffèrent. Weyl choisit, contre Poincaré, de ne pas fixer a priori conventionnellement, au sein du complexe géométrico-physique, la métrique. Il fixe plutôt les lois de la propagation de la lumière et des corps en chutes libres selon les géodésiques de lʼespace-temps, et laisse indéterminé les coefficients de la métrique. Ce choix est conforme à celui opéré par Einstein. La géométrie à distance reste alors partiellement indéterminée par les notions purement mathématiques et les propriétés métriques de lʼespace à distance finie deviennent mesurables expérimentalement chez Weyl comme elles lʼétaient chez Gauss et Riemann.

17 Rapporté dans Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie. 3 e édition, op. cit., p. 83.

18 Notamment la parallaxe, mesure de la déviation de la coordonnée angulaire dʼun astre au cours de lʼannée, suite à la révolution de la Terre autour du Soleil.

19 Gauss affirme puis démontre que la somme des angles dʼun triangle formé par trois géodésiques dʼune surface courbe diffère de π radians par un écart qui est égal à lʼintégrale de la mesure de courbure intrinsèque sur toute la surface du triangle. Gauss Carl Friedrich, Recherches générales sur les surfaces courbes, op. cit., p. 40.
Dans un espace à courbure constante, la courbure (de Gauss) peut donc être trouvée en divisant lʼécart angulaire mesuré par la surface du triangle. Notons que lʼécart est ici un angle orienté dont le signe est identique au signe de la courbure. On présente aujourdʼhui ce résultat comme un corollaire dʼun théorème plus général : le théorème de Gauss-Bonnet.

20 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 95-96.

21 Ibid., p. 95.

22 Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 78. Dans les pages qui suivent, Weyl illustre ce caractère « fondamental » du tenseur métrique en montrant comment les mesures de la longueur dʼune courbe sur la surface, dʼun angle entre deux courbes de la surface, ou de lʼaire dʼune portion de la surface, se laissent construire comme des fonctions du tenseur métrique.

23 On lʼappelait déjà à lʼépoque de Weyl « courbure de Gauss » [Gaußsche Krümmung].Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4 e édition, op. cit., p. 85.

24 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 106.

25 Les deux points de vue ne sʼexcluent nullement mais sʼarticulent en fonction de ce que nous avons dit plus haut sur les rapports entre la spéculation rationnelle de Weyl et son approche de lʼhistoire. Cf. I. 2. 2-4.

26 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 80-81. Ces hypothèses correspondent à Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit., B. § I, p. 286.

27 Pour obtenir la géométrie euclidienne, on ajoute la propriété quʼil existe un système de coordonnées où les coefficients de la métrique sont constants sur tout lʼespace. Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Mate- Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 90. Pour la géométrie sphérique : ibid., p. 87. Pour la géométrie hyperbolique : ibid., p. 92.

28 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit., p. 297. La citation se trouve dans Weyl Hermann, Espace-Temps-Matière, 3e édition, op. cit., p. 87.

29 Remarquons bien que nous définissons ici la « vraie » métrique comme celle (éventuellement parmi plusieurs) qui doit être intégrée au corpus de la physique, et non pas déjà comme une propriété physique dʼun espace physique réel. Nous laissons ainsi ouverte la question philosophique de lʼexistence dʼun espace physique nous imposant une métrique unique comme une de ses propriétés essentielles. Bref, notre référence à une « vraie » métrique ne présuppose aucune forme de réalisme physique de lʼespace. Nous restons pour le moment aussi neutre philosophiquement que possible.

30 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, Berlin, Julius Springer, 1923.

31 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit., p. 297.

32 Ibid., p. 286. On notera V cette variété pour les notes techniques qui suivent.

33 Ibid. Cette hypothèse revient, en termes plus modernes, à ne considérer que des lignes qui ont un caractère C 1 sur notre variété. Cela

34 suppose que la variété soit différentiable.. Ibid., p. 286-287. Cette hypothèse est plus difficile à appréhender. Riemann pose que la distance entre deux points P1 (x1, …, xn) et P2 (x1 + dx1, …, xn + dxn) est la même, à un terme du deuxième ordre près, quʼentre les points P3 (x1 + δx1, ..., xn + δxn) et P4 (x1 + dx1 + δx1, ..., xn + dxn + δxn). Ainsi, même si les coordonnées nʼont pas à avoir une signification métrique globale, le comportement de la métrique à lʼégard des déplacements infinitésimaux dxi, δxi est pourtant contraint. Il sʼagit dʼune hypothèse de compatibilité de la structure métrique vis-à-vis de la structure de variété différentiable.
En prenant le cas particulier où δxi et dxi sont colinéaires, on trouve que la distance entre deux points P(x1, ..., xn) et Pʼʼ(x1 + λdx1, ..., xn + λdxn) (λ réel), pour dx i infiniment petit, vaut ? fois la distance entre les points P (x1, ..., xn) et Pʼ(x1 + dx1, ..., xn + dxn), à un terme du deuxième ordre près.

Dans le contexte des espaces vectoriels normés, on appelle usuellement « homogénéité » la propriété : Image. Cʼest alors une propriété globale puisque, dans ce cas, nous disposons dʼune notion de vecteur transportable sur tout lʼespace. Par analogie, il conviendrait dʼappeler « homogénéité infinitésimale » cette hypothèse riemannienne. Mais il faudrait alors ne pas confondre ce sens technique particulier du terme « homogénéité », avec les nombreux autres sens rencontrés dans notre ouvrage.

35 Riemann devrait dire « continument différentiable » et même « infiniment différentiable », voire « analytique » puisque, dans la suite de son raisonnement, il va considérer des développements limités de cette fonction à divers ordres.

36 Fixons un point P de lʼespace et intéressons-nous aux surfaces constituées par tous les points qui sont à une distance fixée « d » de notre point P. On obtient ainsi une famille de sous-ensembles de notre variété V quʼon peut voir comme la famille de toutes les pseudosphères SP(d) (d variant sur tous les réels positifs) intrinsèques à notre espace, et centrées au point P.
Lʼaffirmation de Riemann revient à demander que chacune de ces pseudo-sphères (au moins pour un rayon suffisamment petit) doit être une hypersurface, i. e. une sous-variété de dimension (n-1) obtenue comme ensemble des points pour lesquels une certaine fonction réelle (différentiable) du lieu ØP(Pʼ) est constante. P désigne le point centre de la sphère qui a été fixé au début tandis que est la variable de notre fonction. Remarquons que nous ne pouvons pas prendre pour fonction ØP la distance elle-même (cʼest-à-dire ØP()= d(P,Pʼ))En effet, cette hypothèse serait trop restrictive puisque la fonction « distance au point P » ne saurait être elle-même dérivable au point P. Tout ce que lʼon sait cʼest que la valeur de ? P doit être constante sur SP(d) tout comme lʼest la fonction Pʼ→d (P,Pʼ) elle-même. On doit alors poser lʼexistence dʼune certaine fonction réelle ? telle que finalement :

Image
Pour résumer, on ne pose pas directement que la fonction distance (à un point P fixé) est dérivable, mais seulement une certaine fonctionnelle φ de cette distance. La suite du raisonnement de Riemann montrera que le cas le plus simple consiste à prendre pour fonction « φ » la fonction carrée x→x². Dans des termes mimant ceux de Weyl : ce nʼest pas la distance elle-même mais le carré de la distance qui est une fonction rationnelle du lieu.

37 Ibid., p. 287.

38 Une fois la nature de la métrique déterminée, i. e. une fois posé quʼelle se ramène à la donnée dʼune classe dʼéquivalence de formes quadratiques [gµν] et dʼune forme linéaire φi(connexion métrique), encore reste-t-il à préciser quelles sont précisément les fonctions gµν et φirépondant au jeu effectif des relations métriques intervenant pour rendre compte de lʼespace physique. Ces remarques sʼappuient sur le développement de la géométrie infinitésimale que nous aborderons au chapitre IV.

39 On peut vérifier plutôt, de manière équivalente, la possibilité de mouvoir et dʼorienter un corps rigide partout et dans nʼimporte quelle direction.

40 La constance de la courbure implique que la différence entre cette somme et π radians a un signe indépendant du triangle choisi. Ce signe est précisément celui de la courbure. Pour vérifier la nullité de la courbure, on peut de manière équivalente vérifier quʼil existe des triangles similaires de dimensions différentes.

41 Plus précisément, la théorie dʼEinstein prédit que lʼespace se courbe en présence de masse, indépendamment de lʼéchelle à laquelle on se place. Toutefois, avec les densités de matière qui nous sont familières, et les moyens de mesure disponibles à lʼépoque dʼEinstein (et encore de nos jours ?), la courbure nʼest détectable que pour des phénomènes qui ont une dimension astronomique. Ainsi, les premières confirmations expérimentales de la relativité générale concernaient dʼune part la trajectoire des planètes du système solaire (plus précisément lʼavancée du périhélie de Mercure), et dʼautre part la déviation des rayons lumineux passant au voisinage du Soleil, déviation observée lors de lʼéclipse de Soleil de 1919.

42 Plus précisément, les équations dʼEinstein Image (dans un système dʼunité choisi pour ne pas faire apparaître de constante multiplicative devant Tµν et en négligeant le terme cosmologique) posent lʼégalité entre le tenseur dʼEinstein et le tenseur dʼénergie-impulsion de la matière, à un facteur multiplicatif près.

43 Nous renvoyons à la littérature abondante sur le principe de Mach et la thèse philosophique du caractère relationnel de lʼespace.

44 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 192-193.

45 Il sʼagit de Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », op. cit.

46 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,87.

47 Poincaré Henri, La Science et lʼHypothèse, Paris, Flammarion, 1909, p. 73.

48 Plus précisément, en relativité générale, toutes les métriques de signatures + - - - sur une variété de dimension 4 étant suffisamment régulières, peuvent se réaliser physiquement pourvu que la matière se distribue de façon adéquate.

49 Weyl veut dire que, outre les positions respectives de lʼobjet observé et de lʼobservateur, il faut tenir compte de la configuration des trajectoires des rayons lumineux qui les relient. La configuration des directions des rayons lumineux au point où lʼobservateur les reçoit semble être ce que Weyl appelle lʼétat du champ optique.

50 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,p. 81.

51 Voir le texte p. 182.

52 Lʼargument apparaît dans : Einstein Albert et Grossman Marcel, « Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation », in Zeitschrift für Mathematik und Physik, n° 62, 1913, p. 225-261.

53 Plus précisément, soit il sʼagit de deux points différents de la variété, soit ce sont les mêmes points mais leurs voisinages sont paramétrés différemment. En effet, les valeurs de gµν ne changent pas seulement dʼun point à un autre de la variété mais aussi en fonction des dérivées Image.

54 Cf. le sous-paragraphe précédent III.2.5.

55 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 90.

56 Ce problème perd toutefois beaucoup de sa force sitôt quʼon remarque que tous les coefficients du tenseur dʼénergie-impulsion sʼannulent sauf T00 (qui est un scalaire : la densité volumique dʼénergie), pourvu quʼon puisse supposer que notre matière est assimilable à un fluide sans pression à lʼéquilibre thermodynamique. Il nʼest pas aberrant de se placer dans un tel cas simplifié pour développer un argument du type de celui développé par Weyl. Einstein lui-même semble se placer dans un équilibre statique, ou du moins ignorer le caractère possiblement dynamique de la matière dans lʼénoncé de son argument du trou. Le facteur « temps » peut être mis de côté partiellement pour le développement des arguments de nos deux auteurs.

57 Pour bien suivre lʼargument ici, il faut bien interpréter la lettre « f » comme désignant une fonction, comme le font habituellement les mathématiciens, et non pas comme une grandeur, comme le font habituellement les physiciens. Cʼest-à-dire quʼon pose que, exprimé dans le nouveau système de coordonnées, on aura ρ(x1x2x3) = f (123) où les (x1x2x3) et les (123) désignent ici des valeurs numériques que lʼon doit interpréter dans un seul et même système de coordonnées : le second.

58 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,p. 90.

59 Nous pensons aux deux hypothèses avec lesquelles nous avons fait commencer ce sous-paragraphe III.2.6.

60 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems…, op. cit., p. 44.

61 Le terme allemand est « Plastelinkugel ». La traduction « boule de pâte à modeler » serait plus littérale. Lʼimage fonctionne de la même manière dans les deux cas.

62 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit.,p. 90-91, et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit.,p. 90-91.

63 Nous réservons ce développement pour un article technique à venir.

64 Cf. III.4.2.

65 Nous disons que lʼaffirmation est hardie car Weyl ne prend pas ici les précautions dʼusage en ce qui concerne la topologie des portions dʼespace considérées. Deux portions de lʼespace, par le réajustement de la distribution de la matière, ne pourront bien sûr prendre une même forme métrique uniquement si elles sont dès le départ homéomorphes, toute transformation de lʼespace envisagée étant un homéomorphisme (et même un difféomorphisme), préservant ainsi les propriétés topologiques. Par exemple, pour garder lʼimage de Weyl, jamais une boule dʼargile ayant la forme dʼune sphère pleine ne pourrait prendre la forme dʼune sphère creuse, par le simple jeu dʼun déplacement continu de la matière sur lʼespace.
Weyl ayant démontré que deux portions de lʼespace S et (homéomorphes) peuvent servir à accueillir indifféremment la même configuration de la métrique gµν, on peut se demander si, réciproquement, tout type de configuration métrique imaginable (et ayant la topologie adaptée) peut être réalisé par le jeu de la distribution de la matière. Pour répondre à cette deuxième question, il faudrait disposer dʼune théorie de la façon dont la métrique est déterminée par la matière, ce que Weyl ne sʼest pas encore donné à ce moment de lʼécrit.
Une telle proposition est-elle vraie dans le cas de la théorie de la relativité générale ? La question pourrait être reformulée comme suit en considérant lʼespace entier plutôt quʼune de ses parties : tout espace de Riemann (V,g) (V désigne la variété sur laquelle est définie la forme quadratique différentielle g) de dimension 4 et de signature + - - - est-il solution des équations dʼEinstein pour une certaine distribution de la matière (V,Tµν) ?
La réponse semble positive. Il suffit de calculer le tenseur dʼEinstein pour la métriqueʼgʼ recherchée, pour trouver la distribution de la matière convenable en vertu des équations dʼEinstein. Il faut bien sûr faire attention au fait quʼil nʼy a pas unicité en général de la solution des équations dʼEinstein, si on cherche à retrouver le gµν à partir du seul Tµν que nous avons déterminé. Cʼest-à-dire que ce nʼest pas parce que cette solution existe que la métrique recherchée sera toujours générée physiquement par la distribution de matière trouvée comme solution des équations dʼEinstein. Encore faut-il que la métrique soit dans un état initial approprié. On retrouve le problème des conditions aux limites caractéristique du problème de Cauchy en relativité générale.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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