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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre II. L'espace mathématique

5. Annexe : comment caractériser la nature spatiale d’une grandeur ?

Texte intégral

1Dans Espace-Temps-Matière, on ne trouve pas de définition générale de ce que nous pouvons appeler « la nature géométrique » ou « la nature spatiale » d’une grandeur physique. Nous emploierons les deux expressions comme synonymes, pour signifier le mode de rapport d’une grandeur à l’espace. Ce mode s’exprime par la façon dont la représentation numérique de cette grandeur varie en fonction de la façon dont nous coordonnons l’espace.

  • 1 Pour la présentation des vecteurs covariants et contravariants, par l’exemple des composantes contr (...)
  • 2 Ibid., p. 34.
  • 3 Ibid., p. 33-34.
  • 4 Ibid., p. 41.
  • 5 Ibid., p. 54-55.

2Malgré l’absence de définition explicite dans Espace – Temps - Matière, tous les éléments sont là pour en construire une. Notre auteur donne de nombreux exemples d’objets de natures spatiales différentes (point, vecteur covariant, vecteur contravariant, tenseur, tenseur symétrique, tenseur antisymétrique, densité tensorielle, nature spatiale de la connexion affine, etc1.) et des exemples de grandeurs physiques admettant chacune de ces natures spatiales. Ainsi, la force, au sens physique usuel est- elle un vecteur covariant2. Les déplacements et la vitesse d’un point mobile sont des vecteurs contravariants3. Le moment angulaire d’un point mobile par rapport à un point O, ou le moment d’une force sont des exemples de tenseurs antisymétriques à deux indices4. L’élasticité d’un corps à l’équilibre sous l’effet de forces extérieures et de forces de tensions internes, est un tenseur symétrique à deux indices5, etc.

3La réflexion de Weyl dépasse la simple donnée d’exemples. Il donne les éléments essentiels, communs à ces exemples, permettant de construire une définition générale. En effet, en lien avec les fondements concrétistes des mathématiques que Weyl défend, la structure mathématique abstraite qui représente la nature géométrique d’une grandeur physique doit pouvoir être exprimée concrètement par la donnée de valeurs numériques, sitôt qu’on s’est placé dans un système de coordonnées.

4Définir la nature géométrique d’une grandeur suppose donc déjà que l’on fixe l’ensemble des valeurs possibles que peut prendre cette grandeur. Écrivons cela dans un langage moderne. Par exemple, si nous voulons définir ce qu’est un vecteur à n composantes, cet ensemble sera ℝn. Si nous voulons définir ce qu’est un champ de tenseurs doublement covariants dans une variété V de dimension n, cet espace sera (ℝ(n²))V, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de V dans l’ensemble des n² -uplets de nombres réels.

5Appelons « C » (comme « Coordonnées ») cet espace des différentes représentations possibles d’un objet spatial.

  • 6 Cf. le texte de la page 136.

6Maintenant, comme le montre abondamment Weyl dans Espace-Temps-Matière, ces valeurs numériques n’ont en elles mêmes aucune valeur objective. Elles dépendent du point de vue subjectif représenté par le système de coordonnées. Autrement dit, ces valeurs vont varier d’un sujet-coordonnées à l’autre. L’objectivité n’est gagnée que parce que nous connaissons la loi qui permet de passer des valeurs de la grandeur dans un système de coordonnées à ces valeurs dans un autre. C’est le deuxième réquisit du principe de relativité de la mesure6. Outre par l’ensemble de ses valeurs possibles, la nature d’un objet géométrique est donc donnée par la loi qui permet de passer de ses valeurs dans un système de coordonnées à ses valeurs dans un autre système de coordonnées, sitôt qu’on connaît la relation entre ces deux systèmes des coordonnées.

7Si l’espace est représenté par une variété V munie d’un groupe G de transformations, et qu’on dispose de la représentation numérique cєC d’un objet géométrique dans un système de coordonnées donné, on doit pouvoir connaître comment cette représentation varie pour devenir c’єC, quand on applique un changement de coordonnées, c’est-à-dire une transformation fєG de notre espace.

8C’est ici que la structure de groupe de l’ensemble des transformations de l’espace intervient. Si on ne change pas le système de coordonnées (application identité), la représentation numérique de notre objet spatial ne doit pas changer. Si on applique deux changements de coordonnées successifs (xx’) puis (x’x’’), les valeurs prises par l’objet doivent être les mêmes que si on avait appliqué l’unique changement de coordonnée (xx’’). Enfin, si on revient au premier système de coordonnées après un changement de coordonnée, l’objet doit reprendre ses valeurs initiales. Autrement dit, l’intersubjectivité des mesures est permise parce que le groupe G des transformations de l’espace opère (au sens mathématique de l’action de groupe) sur l’ensemble C des représentations de l’objet géométrique. Les différentes natures spatiales (vecteur, tenseur, densité, etc.) correspondent alors aux différentes lois d’action de groupe qu’il peut y avoir entre le groupe G des transformations de l’espace, et l’espace C des valeurs possibles pour notre objet. Ici, la mise en évidence de la structure d’action de groupe dépasse ce qui est fait explicitement par Weyl dans Espace-Temps-Matière. C’est toutefois la clef pour généraliser les exemples donnés par Weyl, et l’esprit de cette généralisation nous semble conforme à notre auteur.

9Prenons un exemple, celui d’un vecteur contravariant.

10Plaçons-nous dans un espace affine de dimension 3. Le groupe G des transformations spatiales est alors le groupe des applications affines. Une transformation de l’espace est donc une application affine f qui s’exprime en écriture matricielle comme un changement de coordonnées :

Image

(Image étant la nouvelle coordonnée du point origine du premier système de coordonnées, et Image exprimant la partie linéaire de notre application affine)

11La nature spatiale d’un vecteur contravariant dans un tel espace est capturée par l’ensemble de ses représentations numériques possibles : ℝ3, et par la donnée de l’action de groupe suivante :

Image

Image exprime la partie linéaire de l’application affine f et * est la multiplication matricielle.

12Il est important de noter que la construction que nous avons présentée ici dans le langage moderne des actions de groupe, repose sur le type de processus d’abstraction que Weyl place au fondement de l’analyse mathématique dans Le Continu. Ainsi, plusieurs représentations concrètes peuvent être données d’un même objet géométrique dans divers systèmes de coordonnées. Mais nous parvenons à connaître un seul et même objet abstrait derrière ses représentations, par un processus mathématique fondé sur la connaissance de la loi qui relie ensemble ces diverses représentations. Cette loi s’exprime ici mathématiquement par une action de groupe.

13Nous pouvons compléter ces développements par la considération des symétries (au sens, par exemple, du caractère symétrique de certains tenseurs). Weyl remarque que la donnée des lois de transformation des coordonnées d’une grandeur ne suffit pas toujours à caractériser sa nature spatiale. Il faut parfois ajouter des propriétés de symétrie :

  • 7 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 48.

Des exemples du paragraphe précédent, il ressort en toute clarté que les tenseurs doublement covariants symétriques et antisymétriques, représentent, là où ils se présentent, des grandeurs de types entièrement différents. Par conséquent, la nature d’une grandeur n’est pas en général complètement décrite par l’indication qu’elle est un tenseur de tel ordre, mais il faut encore y ajouter des caractéristiques de symétrie7.

14Une propriété de symétrie est une propriété invariante par changement de coordonnées. Le nom de « symétrie » provient du fait que les relations de ce type les plus simples qui apparaissent naturellement, sont celles que Weyl considère dans le texte que nous venons de citer. Il s’agit de la symétrie ou de l’antisymétrie des tenseurs covariants (ou contravariants, mais non pas mixtes) vis-à-vis de certains indices.

15Par exemple, si nous prenons un tenseur doublement covariant défini sur une variété qui, dans le système de coordonnées initial, s’exprime par une matrice symétrique Tab (x) = T ba (x) (pour tout xЄV). Alors cette propriété se conserve dans tous les systèmes de coordonnées. On vérifie en effet que l’action d’une transformation quelconque de notre espace préserve une telle symétrie. Cette propriété de symétrie peut alors être considérée non pas comme une simple apparence subjective due au système de coordonnées, mais comme une propriété géométrique objective du tenseur considéré. Elle est donc une considération à prendre en compte pour caractériser la nature spatiale de l’objet, simultanément avec l’action du groupe des transformations sur l’espace de ses représentations numériques.

  • 8 Ibid., p. 51.

16Ainsi, une fois caractérisée l’action du groupe des transformations de l’espace sur les représentations numériques d’une grandeur, on peut encore attribuer d’autres propriétés géométriques à cette grandeur qui la différencie d’autres grandeurs auxquelles la même action de groupe est associée. Cette possibilité provient du fait qu’il y a plusieurs orbites pour cette action de groupe, et que certaines propriétés exprimables à partir des valeurs numériques de la grandeur considérées, sont ou bien toujours vraies ou bien toujours fausses quand on passe d’une orbite à l’autre. La symétrie ou l’antisymétrie des valeurs d’un tenseur vis-à-vis d’un échange d’indice de même variance est l’exemple le plus évident. Weyl donne une expression générale pour caractériser tous les types de symétrie de ce genre que l’on peut formuler à propos d’un tenseur8.

17On remarque cependant que d’autres propriétés que celles qui s’expriment comme une combinaison de « symétries » ou d’« antisymétries » vis-à-vis des échanges d’indices peuvent caractériser une orbite au détriment d’une autre. C’est vrai même pour cet objet spatial particulier qu’est le tenseur. Par exemple, dans l’espace des représentations numériques d’un tenseur doublement covariant, on peut se donner comme propriété supplémentaire que ce tenseur soit représenté par une matrice non dégénérée. Ce type de propriété est bien conservé par l’action de groupe opérée par un changement de coordonnées. C’est ce qui permet d’obtenir la nature géométrique des métriques pseudo-riemannienne gμν. Dans l’espace des représentations numériques d’un tenseur doublement covariant non dégénéré, on peut encore distinguer autant d’orbites qu’il y a de possibles signatures pour ce tenseur interprété comme une forme quadratique.

  • 9 Il s’agit toujours de l’action du groupe des transformations de coordonnées sur l’espace des représ (...)

18Pour éviter d’avoir à ajouter ces propriétés géométriques comme des suppléments à côté de l’action de groupe9, il suffit techniquement de restreindre dès le départ notre espace de représentations pour qu’il corresponde à l’orbite qui nous intéresse. Par exemple, si on veut caractériser la nature géométrique d’un tenseur symétrique doublement covariant, on ne considérera pas que l’espace des représentations est ℝn² tout entier, mais seulement le sous-espace de ?ℝn²constitué par les matrices symétriques. Cependant, le fait d’effectuer la démarche en deux temps, prenant d’abord l’espace des représentations le plus général, puis en se donnant ensuite les propriétés de symétries, permet de saisir une parenté de nature entre deux types d’objets géométriques. Ainsi, même s’ils diffèrent du point de vue de leurs symétries, les tenseurs doublement covariants symétriques et les tenseurs doublement covariants antisymétriques partagent-ils la même loi de transformation dans le passage d’un système de coordonnées à l’autre.

19Une dernière complication peut survenir pour le cas particulier de la caractérisation de la nature géométrique des tenseurs dans un espace métrique. En effet, Weyl remarque, comme il est bien connu, que cela n’a le même sens de préciser la variance d’un tenseur dans un espace métrique ou dans un espace seulement affine. Dans un espace affine, les tenseurs covariants et les tenseurs contravariants correspondent bien à deux natures géométriques objectivement différentes. Par contre, dans un espace métrique, le caractère covariant ou contravariant est un simple effet de représentation puisqu’on peut passer de la représentation covariante à la représentation contravariante d’un tenseur en le multipliant et en le contractant avec le tenseur métrique gμν. Cela montre simplement que, derrière plusieurs actions de groupe différentes, peuvent se tenir une seule et même nature géométrique. Ainsi, si l’action de groupe est une façon adéquate d’exprimer la nature spatiale d’une grandeur, cette expression n’est cependant pas univoque.

20Ce problème particulier des représentations covariantes ou contravariantes d’un même tenseur disparaît si on choisit un système de coordonnées orthonormé et qu’on restreigne bien notre groupe des transformations aux seules transformations orthogonales. Cette restriction est naturelle si on considère les propriétés métriques comme d’authentiques propriétés intrinsèques à l’espace. Alors la différence entre l’expression covariante et l’expression contravariante des tenseurs disparaît.

Notes

1 Pour la présentation des vecteurs covariants et contravariants, par l’exemple des composantes contravariantes et covariantes des « vecteurs » au sens usuel (translations d’un espace euclidien), cf. Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 30-32. La définition générale des tenseurs dans l’espace euclidien : ibid., p. 33. La définition locale des tenseurs (en un point d’une variété) : ibid., p. 92-93. La définition d’une densité tensorielle : ibid., p. 98. La définition d’une connexion affine et de sa dépendance aux coordonnées : ibid., p. 100-102.

2 Ibid., p. 34.

3 Ibid., p. 33-34.

4 Ibid., p. 41.

5 Ibid., p. 54-55.

6 Cf. le texte de la page 136.

7 Weyl Hermann,Raum-Zeit-Materie, 3eédition, op. cit., p. 48.

8 Ibid., p. 51.

9 Il s’agit toujours de l’action du groupe des transformations de coordonnées sur l’espace des représentations numériques de l’objet géométrique.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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