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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre II. L'espace mathématique

3. L’objectivité géométrique comme abstraction du sujet-coordonnées

Texte intégral

3. 1. Le sujet-coordonnées et sa fonction épistémique

1Weyl part du sujet individuel conscient et percevant quand il décrit la genèse du concept d’espace. D’autre part, il conçoit une rupture épistémologique radicale entre le niveau intuitif de la perception et le niveau mathématisé de la science. Cette rupture qui permet l’objectivité de la science de l’espace va donc être interprétée par Weyl comme une tentative d’élimination du sujet au sein de la connaissance pour parvenir au niveau objectif de la science. En raison de l’interprétation particulière que Weyl donne à l’idéalité de l’espace, il résulte de ce mouvement d’élimination du sujet que le point de vue objectif de la science ne peut s’acquérir chez Weyl qu’en neutralisant en un certain sens le temps et l’espace comme formes des apparences.

2Or, chez les philosophes qui défendent une forme d’idéalisme transcendantal, l’espace et le temps sont des formes attribuées au sujet qui sont des conditions de possibilité de la science, et certainement pas ce contre quoi l’objectivité physique doit se construire. Ainsi, la manière de s’exprimer de Weyl a des résonances fortement anti-idéalistes, en contradiction avec ce que nous avons annoncé par ailleurs. Nous allons montrer que cette contradiction n’est qu’apparente et qu’elle est due à un renversement chez Weyl de la terminologie utilisée habituellement par les interprètes idéalistes de la géométrie et de la relativité. Ce renversement concerne en particulier la notion de sujet.

  • 1 Paragraphe II. 1.3.

3Le terme « sujet » [Subjekt] chez Weyl renvoie en premier lieu au sujet conscient individuel qui reçoit les données perceptives qualitatives (qualia) à partir desquelles il conçoit immédiatement les objets concrets et les relations spatiales intuitives qu’ils entretiennent. Il s’agit d’un sujet individuel et dont les rapports au monde sont immédiats et dépendent de la forme singulière de son appareil psycho-physiologique. C’est pourquoi on comprend que Weyl décrive l’objectivité scientifique comme une élimination du sujet dans la description du monde. Cette élimination du sujet consiste d’abord en l’abandon des traits qualitatifs issus de la perception au profit d’une construction conceptuelle rigoureuse qui s’exprime sous forme mathématique. C’est la rupture dont nous avons traité1 entre le continuum intuitif et le continuum conceptuel atomistique. Mais, au-delà de ce passage possible du qualitatif au quantitatif, un élément du sujet n’est pas purement et simplement éliminable : sa position. Il faut comprendre ici « position » en un sens possiblement dynamique qui englobe aussi le mouvement du sujet par rapport aux autres éléments du monde.

  • 2 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 8. Un texte approchant se trouve dans Le (...)

Mais cette objectivation par élimination du moi et de son vécu intuitif immédiat ne réussit pas complètement ; le système de coordonnées, qui peut seulement être montré par un acte individuel (et seulement approximatif), subsiste comme le résidu nécessaire de cette élimination du Je2.

  • 3 On trouve seulement 3 occurrences dans la troisième édition d’Espace-Temps-Matière du terme « Subje (...)

4Ce « système de coordonnées » que Weyl pense comme un composant de la notion de sujet s’apparente à celui qu’on rencontre habituellement au sein des sciences de l’espace et du mouvement. En géométrie, on trouve la notion proprement dite de système de coordonnées. Pour la cinématique, on trouve la notion de système mobile de coordonnées ; une coordonnée temporelle s’ajoutant aux trois coordonnées spatiales. Enfin, en mécanique, on trouve la notion de référentiel. Cette dernière notion sort alors du cadre strictement mathématique car il s’agit d’un système de coordonnées mobile rattaché physiquement à un corps matériel en mouvement et en interaction avec le reste du monde. Il est justifié de considérer ces trois notions comme des espèces ou des composantes de la notion de sujet dans la mesure où chacun de ces systèmes de référence donne un cadre par rapport auquel le monde peut être connu, ce qui signifie dans ce cas qu’il peut être mesuré. La subsomption de ces notions géométriques et physiques sous la notion de sujet est proposée par Weyl lui-même dans les passages du type de celui que nous venons de citer où il considère ces systèmes de référence comme des résidus de l’Ego dans la démarche désubjectivante de la science. Cette notion de sujet est la seule à notre connaissance avec celle du sujet individuel conscient qui apparaisse explicitement sous le terme « Subjekt » dans les écrits de Weyl de la période3. Pour la différencier des autres notions de sujet qui apparaissent dans notre ouvrage, nous utiliserons l’appellation de « sujet-coordonnées » qui ne figure pas telle quelle dans les écrits de Weyl.

5Il faut avant tout remarquer le caractère d’individualité du sujet-coordonnées. Il ne désigne pas un cadre de connaissance commun mais désigne au contraire quelque chose qui fait de chaque individu un point de vue unique sur le monde. L’individualité de chaque sujet-coordonnées n’est déterminée que par la position (au sens large) particulière qu’il occupe à l’égard des autres sujets-coordonnées. Ainsi, s’il n’est pas le sujet individuel concret avec toutes ses caractérisations propres, il est plutôt un sujet individuel abstrait. On a seulement conservé du sujet individuel ce qui le distingue des autres du point de vue de sa position, de son mouvement ou de sa dynamique.

  • 4 Cf., plus bas le sens logique d’homogénéité.

6En quel sens ne peut-on se passer du système de coordonnées pour décrire l’espace mathématisé ? Certes, le mathématicien pur, celui qui n’effectue qu’un travail purement conceptuel sur les relations spatiales, peut à la limite se passer d’un système de coordonnées. Il considère alors uniquement les objets géométriques de façon abstraite, dans le sens où il travaille uniquement à partir d’une axiomatique qui caractérise conceptuellement les relations spatiales objectives sans avoir besoin de n’individualiser aucun point. Par exemple, il peut travailler seulement avec l’axiomatique des espaces vectoriels sans l’aide d’une base vectorielle. Mais pour que la géométrie (mathématique) ne soit pas qu’un pur jeu conceptuel mais soit une première étape pour que le géomètre expérimental puisse effectuer des mesures en vue d’avoir accès à la dimension spatiale de la réalité physique, alors la détermination d’un système de coordonnées devient indispensable. À défaut de pouvoir désigner conceptuellement (i. e. par une définition) un point individuel de l’espace (c’est impossible puisque, par essence, l’espace est homogène4), on doit fournir pour individualiser les points de l’espace une donnée immédiate. C’est le système de coordonnées. Puisque ce système n’est pas définissable dans sa singularité, on n’y accède que de façon approximative, par un « acte de monstration », nous dit Weyl.

7Weyl reste allusif sur la signification concrète de cet acte de monstration. Une réflexion sur le rôle du système de coordonnées dans les sciences de l’espace peut cependant éclairer la chose. Quand on est dans le domaine pur de la géométrie (mathématique), il est clair qu’un système de coordonnées au sein d’un espace homogène, i. e. à l’égard duquel chacun de ces systèmes ne peut être distingué conceptuellement des autres, ne peut recevoir de définition mathématique. Quand le mathématicien énonce « fixons un système de coordonnées », il veut signifier que c’est un seul et même système de coordonnées qui sera utilisé dans la suite de son discours. Mais cet acte d’énonciation ne détermine bien sûr aucun système de coordonnées particulier au sein de la multiplicité homogène des possibilités. La singularité du système de coordonnées n’intervient pas dans la suite du raisonnement mathématique, et doit être considérée comme une donnée extérieure aux mathématiques elles-mêmes, qui est représentée par exemple par l’acte du tracé d’axes de coordonnée sur une feuille de papier, ou par le simple fait de donner un nom au système qu’on veut fixer.

8Dans l’application de la géométrie aux mesures concrètes, le système de coordonnées va se matérialiser dans le choix singulier d’un instrument de mesure et de sa situation dans le monde. Ce qui vient déterminer le système de coordonnées dans sa singularité n’est donc pas quelque chose d’ordre mathématique, c’est un référentiel au sens physique du terme. Ce référentiel, de par sa réalité matérielle concrète, ne peut alors qu’être montré (mais non pas défini) avec toute l’approximation qui entoure nécessairement tout acte de monstration. Pour prendre un exemple concret, le référentiel de Copernic n’est pas défini mais montré : c’est le référentiel qui a pour origine le centre de gravité du système solaire et dont les axes pointent vers les étoiles fixes. Bien sûr, une partie de cette caractérisation est encore conceptuelle (au moins par le biais du concept de centre de gravité) mais il repose en dernier lieu sur la mesure précise de la masse et des positions des corps du système solaire et de la direction relative des étoiles fixes.

9Avec la distinction entre la définition et l’acte de monstration, on trouve ici l’opposition entre le donné intuitif et le conceptuel, qui restera un leitmotiv de la pensée épistémologique de Weyl. Ici le conceptuel c’est la structure abstraite qui décrit les relations spatiales objectives dont est muni le continuum tandis que le donné intuitif c’est ce résidu du sujet individuel qui permet d’individualiser les points de l’espace homogène afin de pouvoir ancrer le schème conceptuel des relations spatiales dans la réalité physique à mesurer :

  • 5 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 8.

Par cette expression fondamentale de la mesure, je pense qu’on saisit bien d’où vient le rôle des mathématiques dans la connaissance exacte de la nature. Concernant la mesure, il y a une différence essentielle entre, d’une part, ce qui est « donné » d’un objet par un acte individuel de monstration et, d’autre part, ce qui en est donné par la conceptualisation. Cette dernière opération n’est toujours possible que relativement à des objets qui doivent être montrés immédiatement. C’est pourquoi on rattache toujours à la mesure une théorie de la relativité. Son problème se présente généralement ainsi pour n’importe quel domaine d’objets :
1) Qu’est-ce qui doit être montré pour que, relativement à cela, et avec un niveau de précision quelconque, on puisse détacher conceptuellement un unique objet P arbitraire du domaine d’objets en question s’étendant continument ? Ce qui permet cette monstration s’appelle le système de coordonnées [.] La définition conceptuelle s’appelle la coordonnée (ou abscisse) de P dans ce système de coordonnées. Deux systèmes de coordonnées sont objectivement tout à fait de même valeur, il n’y a aucune propriété saisissable conceptuellement qui puisse s’appliquer à l’un sans s’appliquer à l’autre ; car, sinon, trop nous aurait été montré immédiatement.
2) Quel lien fonctionnel existe-t-il entre les coordonnées d’un seul et même objet P dans deux systèmes de coordonnées différents5 ?

3. 2. L’homogénéité de l’espace, de sa définition logique à sa fonction épistémique

10La fin de ce texte montre bien en quoi l’introduction du système de coordonnées, même s’il est une donnée subjective et non conceptuelle, n’abolit pas pour autant l’objectivité du savoir géométrique. En effet, l’introduction d’un système de coordonnées est nécessaire pour la mesure physique en tant que celle-ci est effectuée par un sujet individuel occupant une place singulière dans le monde. Mais elle n’est légitime qu’en raison de l’indifférence des différents systèmes de coordonnée pour représenter un même système de relations géométriques objectives. On va voir que cette indifférence dans le choix du système de coordonnées n’est en fait qu’une autre façon d’interpréter l’homogénéité de l’espace que nous avons rencontrée comme propriété essentielle de l’espace comme forme. Il est temps de détailler ce que signifie cette homogénéité et de voir en quoi elle joue, sous la forme du principe de relativité de la mesure, le rôle d’une condition de possibilité de l’objectivité géométrique.

11La notion d’homogénéité est fondamentale pour Weyl pendant toute la période 1917-1923 où il étudie en profondeur la notion d’espace. On peut distinguer trois aspects sous lesquels on peut appréhender cette notion chez Weyl : son aspect logique, sa fonction épistémique, et ses modes d’expressions mathématiques. Développons ces trois points. L’ordre de présentation sera : la notion logique, puis les modes d’expression mathématiques et, pour finir, la fonction épistémique de la notion d’homogénéité.

  • 6 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 9.

12La notion d’homogénéité a d’abord une signification purement logique qui est capturée dans le texte suivant, extrait du Continu6 :

Il y a un cas diamétralement opposé à celui qui advient en arithmétique, où tous les objets de la catégorie considérée sont des « individus » […] [C’est] celui où chaque schéma de jugement E{x} contenant un unique argument, et émergeant des propriétés (et relations) de jugements [primitives], sans l’utilisation de la règle 5, est ou bien vérifié par tous les objets [de la catégorie] ou bien par aucun. Alors, nous sommes autorisés à désigner notre catégorie (vis-àvis de ces propriétés et relations) comme homogène. Ce cas advient par exemple pour l’espace des points de la géométrie euclidienne, et il n’y aucune autre raison pour laquelle nous nommons l’espace de la géométrie homogène. **)[…] **) Je laisse à la discussion les relations entre cette homogénéité conceptuelle et l’homogénéité intuitive de l’espace.

13Dans le Continu, les propriétés et relations associées à une catégorie d’objets mathématiques sont construites à partir de propriétés et relations primitives par l’usage de 6 principes logiques de construction que nous n’avons pas ici à détailler. Il s’agit de règles similaires à celles qui permettent de construire les formules d’un langage du premier ordre, dans le calcul des prédicats. Une catégorie est homogène si aucune des propriétés monadiques envisageables à propos des objets de cette catégorie, ne permet de distinguer un individu ou un ensemble de tels individus du reste de ceux de la catégorie. La précaution prise par Weyl d’exclure dans cette définition la possibilité de l’utilisation de son principe n° 5 est essentielle. Il s’agit du principe logique qui permet d’introduire, à la place d’un argument d’une relation, une constante d’objet (pour parler le langage usuel de la logique). Une telle constante d’objet fonctionne comme un nom propre désignant directement un individu de la catégorie sans spécifier une de ses éventuelles propriétés individuantes. L’exemple de catégorie homogène pris par Weyl est l’espace de la géométrie euclidienne. On comprend sur ce cas précis la signification de cette exclusion du principe 5. En géométrie, conformément à ce qui a été dit ci-dessus, l’origine d’un système de coordonnées est un point. C’est un individu de la catégorie qui ne possède aucune propriété que ne possèdent pas tous les autres points. C’est pourquoi Weyl parlait d’un acte de monstration comme seul moyen de se « donner » un système de coordonnées. On voit ici que, du point de vue logique, cet acte de monstration joue exactement le rôle d’un nom propre. C’est une désignation référentielle non conceptuelle qui doit être exclue de la définition de l’homogénéité, par le biais ici de l’interdiction de l’utilisation du principe n° 5.

14Une fois cette précaution prise, non seulement la définition logique de l’homogénéité s’applique à la catégorie des points de la géométrie euclidienne, mais, précise Weyl, c’est la seule raison pour laquelle l’espace de la géométrie en général (c’est du moins notre interprétation) est dit « homogène ». Nous allons voir en effet que cette propriété logique de l’espace n’est pas une propriété accessoire rencontrée par certains types d’espaces mathématique à l’exclusion d’autre. Elle joue dans l’épistémologie de Weyl le rôle d’un réquisit qui a une fonction épistémique forte. Voyons d’abord comment se décline cette homogénéité dans les différents espaces rencontrés en géométrie. Cela nous amènera simultanément à considérer la façon dont se décline le sujetcoordonnées à l’intérieur de chacune de ses strates.

3. 3. Transversalité de l’homogénéité et du sujet-coordonnées chez Weyl

15Restons-en dans un premier temps aux géométries qu’on appelle usuellement « synthétiques ». Elles sont considérées par Weyl comme des géométries à distance. Ce sont les seules dont il soit question dans le premier chapitre d’Espace-Temps-Matière et dans Le Continu. Dans ce cadre, l’exigence d’homogénéité va se manifester d’une manière très simple. La force de Weyl est d’arriver à penser de manière unifiée l’ensemble des strates de la notion d’espace, sous le concept de forme homogène. Il y parvient grâce à une notion générale de sujet-coordonnées qui traverse les différentes strates. Cette notion transversale de sujet-coordonnées est celle exprimée dans le texte cité p. 136. L’exigence d’homogénéité de l’espace chez Weyl ne joue pas seulement à l’égard de la seule catégorie des points de l’espace mais plus généralement à l’égard de la catégorie de tous les sujetscoordonnées susceptibles d’être introduits. C’est ce que dit clairement le texte de la page 136. La possibilité de mettre sur le même plan les points de l’espace et le sujet-coordonnées repose sur leur similarité de nature. Le sujet-coordonnées serait de nature parfaitement ponctuelle si on pouvait le réduire à la seule origine du repère.

16Comment Weyl définit-il cette notion transversale de système de coordonnées ? Il est, dans chaque strate, le minimum que l’on doit se donner (monstration) pour pouvoir repérer individuellement chaque point de l’espace par une étiquette numérique, sa coordonnée. Ce minimum est en même temps un maximum. En effet, on part de la donnée d’un simple point (l’origine des coordonnées) et on y ajoute des structures (par exemple d’autres points). Cet ajout s’arrête lorsque les données suffisent à l’individuation de chaque point de l’espace par une propriété ; plus précisément par une propriété ne faisant intervenir que les concepts spatiaux généraux correspondant à la strate considérée, et les données composant le sujet-coordonnées introduit. Une fois que ce système de coordonnées est constitué, si on lui ajoute des structures inutiles, on le rend distinguable d’autres systèmes du même type. Du coup, il perd son statut de pur sujet-coordonnées. La distinction nette entre le conceptuel et le donné intuitif s’y estompe. Pour reprendre les termes du texte de la page 136, « trop nous aurait été montré immédiatement ».

  • 7 Deux propriétés suffisent : deux points A et B doivent déterminer univoquement le vecteur (...)

17Prenons des exemples simples. D’abord au niveau affine. Dans son paragraphe sur la géométrie affine, Weyl, après avoir donné son axiomatique pour un espace vectoriel, introduit immédiatement une nouvelle catégorie, les « points », et donne les propriétés structurelles qu’ils doivent entretenir avec les vecteurs7. Cela revient au passage d’un espace vectoriel à un espace affine. La nécessité de ce passage est claire. Un « espace » vectoriel n’est précisément pas un espace au sens strict d’une forme homogène. L’élément neutre de l’espace vectoriel, qui en termes géométriques correspond au déplacement nul, autrement dit à l’identité dans l’espace, est individualisé par rapport aux autres vecteurs. Le passage à la géométrie affine a précisément pour fonction de se libérer de cette singularité d’une origine. On parvient à un espace de points dont les relations dérivent de la structure vectorielle, mais qui est rigoureusement homogène au sens logique du terme.

Une fois cette structure atteinte, pour introduire un système de coordonnées, il faudra se donner (n+1) points O, A1, ..., An (n étant la dimension de l’espace affine) tels que le système vectoriel Image soit libre (au sens usuel de l’algèbre linéaire) et donc forme une base. Ici les clauses de minimalité et de maximalité dont parle Weyl prennent le sens bien connu habituellement en algèbre linéaire. Un système plus petit tel que {O, A1, ..., An-1} ne permettrait pas d’individualiser tous les points de notre espace mais seulement d’un hyperplan. Au contraire, un système de points plus important {O, A1, ..., An-1} vérifie certaines propriétés que n’ont pas d’autres systèmes {O’, A’1, ..., A’n+1}. En effet, de part la supposition de la dimension n de l’espace, il existe une relation du type :

Image

18Le système de n réels λ1, …, λn est unique pour un n+2-uplet de points donné, mais varie d’un n+2-uplet à un autre. Ainsi avec n+2 points {O, A1,., An+1}, « trop nous aurait été donné immédiatement ». Il faut se contenter de n+1 points, c’est-à-dire du plus grand n-uplet de points (vérifiant les bonnes propriétés d’indépendance) à l’égard desquels l’espace reste homogène. Bien sûr, les λ1, …, λn qui sont apparus ci-dessus seront les coordonnées du point An+1, que nous excluons finalement hors du système de coordonnées.

19On voit se dessiner la notion générale du système de coordonnées comme étant la structure la plus grande à l’égard de laquelle l’espace reste homogène et qui, par sa maximalité, peut permettre d’identifier tout point rajouté au système.

  • 8 Nous nous plaçons ici dans le cadre de l’espace projectif associé à un espace vectoriel de dimensi (...)

20Si on régresse (en terme de richesse de structure) de la strate affine à la strate projective8, le système de coordonnées devra, pour une même dimension n de l’espace, comporter un point de plus. En outre, la clause d’indépendance linéaire devra être remplacée par une clause de non-alignement des points (quand on les prend 3 par 3). La définition générale de Weyl fonctionne alors bien. L’espace est bien homogène vis-à-vis de ces (n+2)-uplets de points non alignés. Chacun de ceux-ci suffit à individualiser tous les points de l’espace projectif.

Si on passe par contre à la strate métrique, au sens où on munit notre espace d’une forme quadratique, les choses se compliquent. Weyl montre qu’on se place alors devant une alternative. Le choix le plus simple consiste à remarquer que la forme quadratique que l’on s’est donnée permet de différencier une certaine classe parmi la classe des systèmes de coordonnées de l’espace affine sous-jacent. Il s’agit de la classe des systèmes orthonormés. Alors, la définition générale de Weyl fonctionne bien. Dans un espace euclidien à n dimensions, chaque système de n+1 points {O, A1,., An} tel que le système de vecteurs Image soit une base orthonormée ne peut être distingué des autres du même type. En outre, il suffit à coordonner l’ensemble de l’espace. L’espace euclidien est bien homogène à l’égard de ces systèmes de points et la forme quadratique est caractérisée dans ces systèmes par une valeur matricielle fixe :

Image (exprimée ici pour un espace 3-dimensionnel). Ce cas se généralise sans problème à l’espace de Minkowski ou plus généralement à un espace affine n-dimensionnel muni d’une forme quadratique non dégénérée d’une signature quelconque.

  • 9 Cf. III. 3.

Mais Weyl indique une autre direction qu’il développe pour l’espace euclidien parce qu’elle deviendra naturelle dans le cadre des espaces de Riemann et de la relativité générale. Pour bien saisir cette autre voie, il faut considérer qu’en un certain sens, la métrique n’y est plus considérée comme une donnée intrinsèque à la notion d’espace, mais comme une structure supplémentaire qui vient s’y ajouter pour enrichir la structure proprement spatiale. C’est en fait la structure affine sousjacente que l’on continue à considérer comme « notre espace », au sens de Weyl d’une forme qui est homogène à l’égard de tous les systèmes de coordonnées. Autrement dit, ce sont les systèmes de coordonnées affines que nous continuons à regarder comme pertinents. La métrique de l’espace euclidien est alors déterminée par une matrice Image définie positive dont les coefficients sont des constantes sur toute l’étendue de l’espace, mais dépendent su sujet-coordonnées de la façons bien connue en algèbre linéaire. La variabilité des coefficients est précisement le signe que la classe de tous nos systèmes de coordonnées affines ne serait pas homogène si on n’excluait pas la forme quadratique des propriétés proprement spatiales. Cette possibilité d’exclure la métrique de la notion d’espace à proprement parler prendra tout son sens dans notre chapitre III, quand nous aurons abordé la partie physique9.

21Nous voyons bien sur ces exemples que la définition générale de Weyl de l’espace comme forme par nature homogène, et sa notion corrélative de sujet-coordonnées, capturent efficacement la notion d’espace dans ses diverses strates structurelles. De plus, elle permet de penser de façon unifiée les rapports du conceptuel (objectivité des relations) au donné intuitif (subjectivité du système de coordonnées). Cela prépare l’ancrage de la réalité géométrique objective dans la réalité physique dans laquelle vit le géomètre ou le physicien expérimental.

3.4. La double interprétation des transformations

  • 10 Cf . II .2.2 p. 123-124 .

22Nous avons interprété d’abord l’homogénéité de l’espace, en nous référant à l’objet mû. L’homogénéité est alors la possibilité pour cet objet de se déplacer d’un point quelconque à un point quelconque sans perdre son identité géométrique10. Cette identité dépend de la strate à l’intérieur de laquelle on se place (affine, métrique.). Ainsi, par exemple, la nature d’un tenseur dans une géométrie métrique diffère de celle qu’on aurait dans une géométrie affine. En tant qu’elle se rapporte à l’objet, appelons « objectuelle » une telle interprétation, pour éviter le couple subjectif/objectif trop chargé en connotations. Nous avons ensuite vu une interprétation « subjectuelle » qui lie l’homogénéité à la place du sujet-coordonnées. Selon cette nouvelle interprétation, l’homogénéité de l’espace exprime la possibilité de représenter un même objet depuis une multiplicité de sujetscoordonnées « objectivement équivalents », c’est-à-dire qui sont des points de vue indifférents pour exprimer la même réalité objective.

  • 11 Par exemple, Weyl introduit cette distinction à propos des transformations d’un espace affine : « [ (...)
  • 12 Au paragraphe III. 2. 6.

23Cette double interprétation des transformations spatiales, soit comme déplacement de l’objet dans l’espace, soit comme changement de sujet-coordonnées en vu de la description d’un même objet supposé immobile, revient souvent dans les textes de Weyl11. On voit ici que, pour Weyl, la possibilité de passer indifféremment d’une interprétation à l’autre est permise par le fait que le sujet-coordonnées n’est pas une entité hors de l’espace ayant une nature radicalement différente des objets qu’on y définit. L’origine des coordonnées qui sert à déterminer le sujet-coordonnées n’est rien d’autre qu’un point géométrique de même statut que ceux qu’on rencontre comme points de départ ou d’arrivée du déplacement d’un objet géométrique. Le sujet-coordonnées n’est donc pas à penser dans une opposition à l’objet (géométrique). On est dans un registre différent de l’opposition sujet/objet qu’on trouve dans une pensée idéaliste classique. L’objectivité est ici permise par le fait que le sujet explicite la place individuelle qu’il occupe dans le monde pour mieux pouvoir ensuite s’en abstraire. Cette équivalence entre « déplacement » du sujet-coordonnées, et « déplacement » de l’objet géométrique, préfigure l’équivalence entre déplacement de l’observateur et déplacement du système observé dans le cadre physique relativiste. Enfin, remarquons que, quand nous aborderons la distinction entre transformation passive et transformation active de l’espace12, nous verrons transposée dans un nouveau cadre cette possibilité de passer indifféremment d’une interprétation objectuelle à une interprétation subjectuelle des transformations.

3. 5. L’abstraction mathématique

  • 13 Weyl n’utilise pas aussi systématiquement que nous ce couple de termes pour désigner ce dont il va (...)

24La structure de l’espace peut être donnée, dans chacune de ses strates, selon deux méthodes différentes que nous nommerons « abstraite » et « concrète13 ».

25D’abord, en tant que les transformations spatiales sont des objets géométriques à part entière, la structure de leurs relations peut être étudiée de façon axiomatique. Cette méthode est alors appelée « abstraite » dans la mesure où elle se passe de la donnée individuelle explicite d’un système de coordonnées. C’est le cas de la caractérisation que donne Weyl de la strate affine par le biais de l’axiomatique des espaces affines. Plus précisément, l’axiomatique des espaces affines est bien une méthode abstraite en tant qu’elle est une caractérisation de la structure affine qui se passe de l’explicitation d’un système de coordonnées. Elle ne décrit certes pas les relations qu’entretiennent entre elles toutes les transformations affines, mais seulement la sous-classe des translations (affines). Cette restriction n’a cependant pas d’influence sur notre propos. L’important est de voir qu’une telle caractérisation de l’espace se situe pour ainsi dire à un niveau purement conceptuel, sans passer par la donnée intuitive du sujet-coordonnées.

  • 14 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 18-19.

26Mais il y a une deuxième façon de procéder. Restons sur l’exemple de la strate affine. Nous pouvons décrire concrètement le groupe des transformations de notre espace, en se donnant un système de coordonnées et en exprimant les transformations affines comme un changement de coordonnées, un passage de ce système de coordonnée primitif vers un autre. C’est ainsi qu’à la suite de sa caractérisation abstraite des espaces affines14, Weyl donne une nouvelle caractérisation en affirmant que, si l’espace est paramétré par l’intermédiaire d’un système de coordonnées à 3 variables xi (i=1 à 3), alors le passage à un autre système de coordonnées affine à 3 variables x’i (i=1 à 3) sera exprimé par une égalité pouvant être réécrite sous forme matricielle comme ceci :

Image

27On vérifie que ces transformations forment bien un groupe.

  • 15 Cf. notre annexe II. 5.

28Dans cette seconde façon de présenter la géométrie, l’objectivité géométrique n’est plus gagnée d’emblée par la forme abstraite des relations. Elle s’acquiert par le fait que la singularité du sujet-coordonnées introduit est neutralisée par l’homogénéité de l’espace (indifférence à l’égard de cette singularité) qui se concrétise par la considération de règles de symétries. Le terme de « symétrie » sert à désigner ici les transformations laissant invariantes les structures de notre espace. Ainsi, on est amené à expliciter le groupe des changements de coordonnées permettant le passage d’un sujet-coordonnées à l’autre (c’était la demande de la fin du texte de la page 136) ; puis on doit expliciter la façon dont les représentations numériques de tout objet spatial varient dans le passage d’un sujet-coordonnées à l’autre, selon des lois invariables dépendant de la nature spatiale de cet objet15 (vecteur, tenseur, etc.)

29La possibilité de pouvoir passer alternativement entre le point de vue abstrait et le point de vue concret est pour Weyl ce qui permet aux objets mathématiques, étudiés abstraitement par le mathématicien à l’aide d’axiomes et de raisonnements déductifs, de pouvoir après coup être appliqués à la réalité physique concrète par la donnée d’un système de coordonnées. Ainsi, un programme de fondement des mathématiques qui puisse être une première étape vers une philosophie de la nature doit penser l’abstraction mathématique non pas comme une propriété qu’auraient les objets mathématiques d’être coupés de tout rapport concret au monde ; mais comme un processus qui n’atteint l’abstrait qu’en partant d’objets concrets et en neutralisant leur singularité par la considération des symétries. Pour penser l’objectivité de la géométrie, il ne faut donc jamais penser l’abstrait dans une opposition frontale au concret mais comme le résultat d’une genèse, d’un processus qui part du concret. De plus, en tant que l’objet concret est pour Weyl donné depuis un point de vue subjectif (le système de coordonnées arbitraire), ce processus du concret vers l’abstrait est en même temps un processus du subjectif vers l’objectif. Il permet de penser l’objectivité comme intersubjectivité.

  • 16 Nous faisons référence au théorème suivant en théorie des ensembles. On sait, d’après Georg Cantor (...)

30C’est ainsi qu’on voit Weyl, dans Le Continu, se porter en faux contre une déviance dans les mathématiques de son temps qu’on trouve principalement dans la théorie cantorienne des ensembles et dans l’utilisation de la notion « tout à fait vague » de fonction comme « correspondance quelconque », attribuée à Dirichlet. Cette déviance contre laquelle se place Weyl est celle de l’utilisation d’entités mathématiques qui seraient abstraites au sens où aucune caractérisation conceptuelle ne puisse permettre de les caractériser à travers la donnée d’un système de coordonnées. Tels sont, par exemple, les « réels » non définissables qui doivent être infiniment plus nombreux que les autres selon la théorie cantorienne, ou encore les fonctions non définissables par une formule16.

31En opposition avec cette approche, Weyl développe une conception des objets mathématiques qui n’acquiert un niveau d’abstraction que par un processus qui part du niveau intuitif primitif. A ce niveau primitif, on ne dispose que de relations entre objets concrets de notre domaine (notons que cette « concrétude » n’est que relative puisque, dans le cas de la géométrie il s’agit de « points »). Un objet mathématique abstrait ne peut être obtenu qu’à partir de ces relations primitives entre objets concrets par le processus mathématique. Il s’agit dans chaque cas de voir qu’on dispose d’une pluralité d’objets concrets qui répondent tous à une même propriété fixée. Le processus mathématique consiste alors à penser ces objets comme des instances d’un seul et même objet abstrait. Il s’agit de l’« ensemble » qui, dans le langage des logiciens, est l’extension de cette propriété. Ce sont les définitions par les classes d’équivalence qui ont servi de modèle à Weyl pour penser l’abstraction mathématique.

32Nous ne pouvons rentrer ici dans les détails de la façon dont Weyl pense ce processus mathématique. Ce que nous en avons dit suffit à comprendre le rôle que joue cette fondation concrétiste des objets mathématiques dans le programme général d’une épistémologie des sciences qui articule mathématiques et physique. Prenons un exemple très simple. La notion abstraite de vecteur donnée par l’axiomatique n’a de valeur pour une science de l’espace que parce qu’elle a été dérivée du socle intuitif de l’espace affine des points. Pour un sujet-coordonnées donné dans l’espace affine, une translation de l’espace sera exprimée par la façon dont elle déplace son point origine O1 vers un point O1. Pour un second sujet-coordonnées, cette même translation sera exprimée par la façon dont elle déplace l’origine O2 de ce second système de coordonnées vers un point O2. L’idée abstraite, et par-là même objective, du « vecteur déplacement » dans un espace affine doit alors s’appuyer sur ce socle intuitif dans la mesure où elle doit être obtenue comme une classe d’équivalence de ces bipoints qui peuvent être donnés au niveau concret de la description des points spatiaux depuis un sujet-coordonnées. Ainsi peut-on voir le lien entre les recherches du Continu et celles d’Espace-Temps-Matière. L’exigence de penser en mathématiques l’abstraction comme un processus à partir du socle intuitif est le corrélat nécessaire d’une fondation de la physique mathématique où les grandeurs physiques, pour abstraites qu’elles soient, doivent dériver des mesures concrètes effectuées par le sujet observateur. Leur objectivité est alors pensée comme dérivant d’un mouvement de neutralisation de la singularité du sujet-coordonnées par la considération des symétries.

3. 6. Nature des objets géométriques

33La possibilité de caractériser l’espace de façon alternativement « abstraite » ou « concrète » par la caractérisation du groupe de ses transformations, se répercute ensuite sur la caractérisation des différentes natures d’objets géométriques qui peuvent y être définis.

34Ainsi, un objet géométrique pourra, d’une première façon, être défini par composition d’objets géométriques élémentaires. Par exemple, dans la strate affine, les objets les plus simples sont les vecteurs qui sont définissables par le biais d’un déplacement (translation). Puis d’autres objets plus complexes peuvent s’appuyer sur ces objets élémentaires. Ainsi, par exemple, un tenseur est-il une application multilinéaire à valeur vectorielle, etc.

  • 17 Le développement le plus clair que nous connaissions de cette idée est celui qu’on retrouve chez An (...)
  • 18 Annexe II. 5.

35Mais un objet géométrique pourra aussi être introduit par le biais d’un système de coordonnées. Sa nature spatiale, i. e. son mode de dépendance à l’égard de l’espace, consiste alors en la façon dont ses coordonnées sont modifiées dans le passage d’un système de coordonnées à un autre. Weyl indique cette idée sans développer jusqu’au bout la définition générale d’un objet géométrique qui en découle. On retrouvera plus tard cette définition générale chez d’autres auteurs17. Nous proposons ci-dessous en annexe18 une définition générale de ce qu’est la nature spatiale d’une grandeur, en transcrivant les idées de Weyl dans le vocabulaire moderne des actions de groupe.

36Weyl se contente d’indiquer qu’une relation entre objets géométriques peut être donnée par le biais d’une relation numérique entre leurs valeurs représentatives dans un système de coordonnées donné. Il suffit que la relation en question soit invariante lors d’un changement de coordonnées. C’est suffisant pour voir comment l’objectivité du savoir sur l’espace, posé par le principe de l’homogénéité de l’espace, devient le fondement de l’objectivité des mesures des objets contenus dans l’espace. Ici se trouve la fonction épistémique de la notion d’homogénéité en géométrie.

Notes

1 Paragraphe II. 1.3.

2 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 8. Un texte approchant se trouve dans Le Continu : « Le système de coordonnées est le résidu inévitable de la destruction du Je dans ce monde géométrico-physique que la raison extrait du donné selon la norme de l’« objectivité ». [Il est] le dernier signe, à l’intérieur de cette sphère objective, du fait que l’existence est donnée et ne peut être donnée que comme contenu intentionnel du vécu de la conscience d’un pur Je donneur de sens. » Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994, p. 72.

3 On trouve seulement 3 occurrences dans la troisième édition d’Espace-Temps-Matière du terme « Subjekt » et de ses dérivés. Une occurrence renvoie à la donnée du système de coordonnées, les deux autres au sujet individuel conscient qui perçoit à travers la donnée de qualités sensibles. Dans Le Continu, outre la notion logique de sujet, Weyl emploie ce terme pour désigner la donnée arbitraire d’un ordre pour étiqueter les arguments d’un symbole de relation. L’important est de voir que ce terme apparaît encore une fois ici avec un contenu négatif vis-à-vis de la constitution de l’objectivité scientifique. Le sujet apparaît toujours comme la part inévitable d’arbitraire qu’on doit introduire pour pouvoir appliquer les connaissances théoriques, et contre quoi doit se constituer l’objectivité scientifique en rendant inoffensif cet arbitraire.

4 Cf., plus bas le sens logique d’homogénéité.

5 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 8.

6 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 9.

7 Deux propriétés suffisent : deux points A et B doivent déterminer univoquement le vecteur Image, et la somme de deux vecteurs Image et Image, représentés par 3 points, doit être le vecteur Image (relation dite « de Chasles »).

8 Nous nous plaçons ici dans le cadre de l’espace projectif associé à un espace vectoriel de dimension fini. Un tel espace est employé par Weyl à l’occasion de sa construction du « réseau de Möbius » en Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 4-6. Cette construction figure dans l’annexe I. de la 4e édition d’EspaceTemps-Matière : Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 185-186. Mais Weyl n’y développe pas l’idée de l’espace projectif.

9 Cf. III. 3.

10 Cf . II .2.2 p. 123-124 .

11 Par exemple, Weyl introduit cette distinction à propos des transformations d’un espace affine : « [Les formules de transformation pour les coordonnées sont donc linéaires [.] Elles] admettent encore une autre signification. Elles peuvent être comprises comme la représentation d’une application affine dans un système de coordonnées déterminé. Une application qui associe à chaque vecteur Image son image, le vecteur Image, et à chaque point P son image, le point P’, est dite linéaire ou affine si [les relations fondamentales décrites par l’axiomatique des espaces affine] persistent entre les images, quand elles ont lieu entre les objets de départ. » Nous soulignons. Weyl Hermann, Raum-Zeit- Materie, 3 e édition, op. cit., p. 19. La deuxième interprétation des changements de coordonnées affine qu’introduit ici Weyl correspond bien à ce que nous avons appelé une « interprétation objectuelle » dans la mesure où les « points images » et les « vecteurs images » par l’application introduite peuvent être compris comme les résultats du déplacement des points et vecteurs initiaux.

12 Au paragraphe III. 2. 6.

13 Weyl n’utilise pas aussi systématiquement que nous ce couple de termes pour désigner ce dont il va être question ci-dessous. Cependant, notre choix de ces termes est directement inspiré par Weyl. En effet, pour lui, la représentation numérique d’un objet géométrique est considérée comme ce qui est concret au sens où c’est ce qui est primitivement accessible au sujet-coordonnée. La représentation intrinsèque (sans coordonnées) d’un objet géométrique demande au contraire la médiation d’un processus d’abstraction.

14 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 18-19.

15 Cf. notre annexe II. 5.

16 Nous faisons référence au théorème suivant en théorie des ensembles. On sait, d’après Georg Cantor, que l’ensemble des réels est non dénombrable. Or l’ensemble des formules de notre langage mathématique susceptibles de définir un nombre réel est dénombrable. La conclusion, en théorie des ensembles, est qu’il existe des réels non définissables et qu’ils sont infiniment plus nombreux que ceux qui sont définissables. Weyl propose une solution originale dans « Le Continu » pour éviter d’avoir à accepter de tels objets indéfinissables dans son ontologie mathématique. Cf. la façon dont il résout ce qu’il appelle « l’antinomie de Richard ». Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 19.

17 Le développement le plus clair que nous connaissions de cette idée est celui qu’on retrouve chez Anderson James Leroy, Principles of relativity physics, New York, Academic Press, 1967, p. 14-16.

18 Annexe II. 5.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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