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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre II. L'espace mathématique

2. L’espace mathématique comme forme

Texte intégral

2.1. AUTHENTICITÉ DES DIFFÉRENTES CARACTÉRISATIONS DE L’ESPACE DANS ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

  • 1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 1 : « Existenzformen der realen Welt » ; (...)

1La terminologie de Weyl pour exprimer l’essence de la notion d’espace varie quelque peu1. L’espace est une « forme d’existence du monde réel », une « forme de notre intuition », « une forme de la réalité corporelle », « une forme du monde extérieure », ou encore une « forme de l’apparence ». Ces caractérisations apparaissent dans des contextes divers, si bien qu’il faut être attentif à ce qui est effectivement repris au compte de notre auteur, et à la place qu’il fait jouer à ces caractérisations.

  • 2 Ibid., p. 5.
  • 3 Il ne fait guère de doute par exemple pour ibid., p. 10 et ibid., p. 86 que Weyl parle en son nom.

2D’abord, il faut remarquer que les premières occurrences de ces caractérisations de la notion d’espace interviennent dans l’introduction, au moment où Weyl ne parle pas en son nom mais pour retracer l’histoire du concept d’espace. En particulier, la caractérisation de l’espace comme forme de notre intuition intervient d’abord quand2 Weyl traite de la place qu’occupe Kant dans l’histoire du concept d’espace. La méfiance que Weyl manifeste par ailleurs à l’égard de la philosophie de Kant pourrait nous amener à douter du fait que Weyl reprenne bien à son compte cette caractérisation de l’espace. Cependant, si nous comparons la façon dont il précise à chaque fois la signification de ces différentes dénominations, et si nous nous rapportons aux passages où il parle clairement en son nom3, nous en venons aux conclusions suivantes. D’une part, toutes ces diverses dénominations sont des aspects d’un seul et même concept d’espace. D’autre part, Weyl assume pour son propre compte ces caractérisations qu’il considère comme issues d’une longue tradition, même si, comme nous le verrons, il place derrière ces termes un sens personnel assez déviant.

3Ensuite, on peut se demander à quel niveau, parmi les trois évoqués dans notre sous-paragraphe II.1.1, se place ces définitions de la notion d’espace. S’agit-il de l’espace intuitif, de l’espace tel qu’il nous est donné par la géométrie (mathématique) ou de la réalité physique des relations spatiales effectives ? La réponse à cette question est difficile et s’éclairera progressivement dans ce qui suit. Annonçons la réponse à laquelle on veut aboutir. Le fait que Weyl caractérise cet espace comme « forme » par référence à son homogénéité nous indique déjà qu’il ne peut s’agir ici de caractériser les relations spatiales dans leur effectivité physique. On comprendra pourquoi par la suite. Par contre, la notion d’espace comme forme s’applique aux deux autres niveaux que nous avons caractérisés. Cela renvoie aussi bien à l’espace tel qu’il nous est donné à l’intuition perceptive, qu’à l’espace atomique et conceptuel de la géométrie (mathématique). Mais cet aspect de la notion de l’espace ne se réalise pas au même degré dans ces deux niveaux. C’est seulement au niveau mathématique que la notion d’espace comme forme trouve son expression la plus pure. Nous verrons en revanche que l’idéalité de l’espace a un sens très particulier chez Weyl qui a un rapport avec son origine comme espace intuitif relevant du sujet perceptif individuel.

4Maintenant que nous avons en tête le statut de la notion de forme dans l’économie de la pensée de Weyl, venons-en au contenu proprement dit de la notion.

2.2. LA NOTION DE FORME CHEZ WEYL ET SES OPPOSÉS

  • 4 Ibid., p. 1.

5Le premier invariant que nous trouvons dans les caractérisations de la notion d’espace rapportées au sous-paragraphe précédent, consiste à penser cette notion à travers celle de forme. Le terme allemand utilisé pour forme est tout simplement « Form ». En revanche, le terme que Weyl place en face, pour jouer le jeu de l’opposition conceptuelle, varie de manière significative. L’introduction d’Espace-Temps-Matière commence par l’opposition entre le temps et l’espace comme formes du monde réel et la matière qui en est la substance4 [Substanz]. Cette opposition ne revient pas telle quelle dans le texte. Ce qui est opposé directement à la forme c’est le contenu. Mais il y a plusieurs termes allemands aux significations divergentes employés par Weyl pour signifier le contenu : « Erfüllung », « Gehalt » et « Inhalt ».

  • 5 Cette notion sera thématisée plus bas.
  • 6 Rien n’est dit clairement dans les textes de Weyl, sur le fait que l’espace au niveau purement intu (...)

6Le premier terme, « Erfüllung » est celui employé en allemand pour parler du contenu au sens par exemple de ce qu’il y a à l’intérieur d’une boîte. Cela nous éclaire sur les relations entre d’un côté l’espace et le temps et de l’autre la matière qui, en tant que substance, se déplace pour ainsi dire à l’intérieur du temps et de l’espace. En ce sens, le fait que l’espace soit une forme signifie qu’il est dans sa nature de pouvoir recevoir un contenu (qu’il s’agisse, suivant le niveau où on se place, d’un objet perceptif, matériel ou géométrique) en chacun des emplacements qui le constitue. Ce premier sens lâche du terme « forme » convient bien aux trois niveaux que nous avons caractérisés de la notion d’espace. Mais on trouve un sens plus strict. Weyl précise en effet que l’espace, en tant que forme, ne doit pas seulement être capable de recevoir un contenu en chacun de ses emplacements. Il doit de plus pouvoir recevoir le même contenu en chacun des emplacements qui le constituent. C’est ce qu’il appelle l’homogénéité de l’espace5 qu’il considère comme le trait essentiel de la notion d’espace comme forme au sens le plus strict. Pour des raisons différentes, cette homogénéité ne peut se réaliser pleinement ni au niveau intuitif de la perception6, ni au niveau physique des relations spatiales effectives, mais seulement au niveau intermédiaire des mathématiques.

7Au niveau mathématique, les emplacements constitutifs de l’espace sont tous simplement les points isolés du continuum atomisé. L’idée d’homogénéité prend alors le sens plus précis suivant qui semble pour Weyl, en définitive, la définition stricte de l’espace comme forme :

  • 7 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 5
    .Cf. aussi Weyl Hermann, Mathematische (...)

Cet espace est la forme du monde extérieur, c’est-à-dire : chaque chose physique peut, sans qu’aucune de ses qualités ne devienne autre que ce qu’elle est, être tout aussi bien à un autre point quelconque de l’espace que celui où elle est précisément. C’est ainsi qu’obtient l’homogénéité de l’espace où repose la véritable racine du concept de congruence7.

8Ce passage est important en tant qu’il nous éclaire sur les rapports étroits dans la pensée de Weyl entre les concepts d’espace, de forme, et d’homogénéité. Nous ne devons cependant pas être trompés par la référence au monde extérieur et aux objets physiques. Que l’espace soit présenté ici comme étant une forme du monde extérieur ou comme ayant un contenu physique ne signifie pas du tout qu’il doive être pensé lui-même comme étant quelque chose de tout à fait extérieur au sujet ou comme ayant lui-même une réalité physique. Ce que nous dirons ci-dessous à propos du caractère idéal de l’espace et des considérations a priori qui guident le travail géométrique de Weyl nous détournera de cette interprétation.

  • 8 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 2. Remarquons que l’idée d’une (...)
  • 9 Par ailleurs, dans Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 1, Weyl nous (...)

9Venons-en d’abord aux deux autres termes allemands, « Gehalt » et « Inhalt » employés pour désigner le contenu opposé à la forme. Ils sont synonymes et sont employés souvent pour parler du contenu qualitatif d’une pensée, d’un concept, ou d’une expérience vécue. Weyl joue sur le sens particulier de ces mots allemands pour glisser de l’opposition contenant/contenu à l’opposition quantitatif/qualitatif. L’espace comme forme vide, en attente d’un contenu [Erfullung], est sans qualités [Inhalt] autres que la structure homogène qui le caractérise. C’est pourquoi il est entièrement mathématisable. À l’opposé, le contenu [Erfüllung] de l’espace est constitué de substances aux qualités [Inhalt] diverses et inépuisables et qui résistent par conséquent à une mathématisation complète8. C’est pourquoi, finalement, l’espace comme forme est opposé à une notion de contenu qui peut être comprise jusqu’à un certain point indifféremment comme Erfüllung ou comme Inhalt9. La forme homogène et mathématiquement quantifiable qu’est l’espace, est opposée à son contenu matériel, qualitativement inépuisable, et qui résiste à une mathématisation complète.

  • 10 Weyl renvoie à Hobbes et Descartes (Weyl Hermann, Raum- Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 3).

10Le fait que l’espace soit compris ici comme quelque chose pouvant être parfaitement capturé mathématiquement, au contraire de son contenu saisissable uniquement par le biais de qualités sensibles, est à la source d’une première compréhension historique de la notion d’espace. Les qualités sensibles comme la couleur sont les premières dont l’épistémologie moderne ait montré le caractère subjectif10, l’opposition entre forme quantifiable et contenu qualitatif oppose ce qui peut être objectivable (l’espace) à ce qui est voué à une forme subjective de connaissance (les objets sensibles). Cette opposition correspond pour Weyl à l’état de la pensée atteint à l’âge classique avec la dépréciation des qualités sensibles en tant que fondements possibles d’une connaissance scientifique, et le programme cartésien de prendre la géométrie pour seul modèle de la connaissance scientifique. Selon ce programme, toute chose, pour être scientifiquement connaissable, doit être ramenée à du mouvement, seule réalité objectivable, i. e. à une composition de déplacements de solides, caractérisés par leur seule impénétrabilité et par leur forme géométrique, dans un temps lui-même objectivé comme une forme quantifiable.

11Cette première compréhension de la notion d’espace doit cependant être dépassée par la compréhension du caractère idéal de l’espace qui constitue le second invariant dans les diverses caractérisations que donne Weyl de la notion d’espace.

2. 3. L’IDÉALITÉ DE L’ESPACE CHEZ WEYL, ET SES RAPPORTS COMPLEXES À KANT

  • 11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie. 4e édition, op. cit., p. 3.
  • 12 La notion de sujet transcendantal est un véritable tabou dans la pensée de Weyl de cette période. C (...)

12Un second trait essentiel de l’espace tel qu’on le trouve dans Espace-Temps-Matière est son idéalité. Il s’agit d’un certain type de subjectivité, visible à travers les termes « formes de l’apparence » [Form der Erscheinungen] ou « formes de notre intuition » [Form unserer Anschauung] que Weyl affirme hériter de Kant11. Notre auteur voit dans la figure du philosophe de Königsberg une étape essentielle dans la prise de conscience du statut épistémologique du concept d’espace. On sait que, chez Kant, si l’espace est la forme de notre intuition externe, il n’est pas lui-même un objet externe faisant partie du monde. Il est plutôt une forme a priori de notre sensibilité, faculté de la raison qui conditionne a priori notre rapport à la réalité externe. Weyl va plus loin dans la direction de la subjectivité de l’espace. Il dit que l’espace est quelque chose de subjectif au même titre que les qualités sensibles. Il affirme que la théorie de la relativité, dans le domaine de la physique, a confirmé l’idéalité de l’espace, affirmée en philosophie par Kant. L’association, en partie indue, que Weyl opère entre le type de subjectivité accordé aux qualités sensibles par les auteurs du xviie siècle, et la subjectivité intervenant dans l’idéalisme transcendantal de l’espace peut être expliquée en partie par le fait que Weyl ne thématise pas la différence entre le sujet empirique et le sujet transcendantal, sans doute consciemment et de manière significative12.

13Nous allons montrer que ce que Weyl appelle « l’idéalité de l’espace » et qu’il accole au nom de Kant a une signification assez éloignée de l’idéalisme transcendantal kantien ; alors même que, dans d’autres aspects du texte de Weyl où la figure de Kant est absente, on trouve des traits qui rapprochent fortement sa démarche d’un idéalisme transcendantal, au sens indiqué dans notre premier chapitre.

  • 13 Cf. I.2.3.
  • 14 Ce que Weyl appelle ici « rigidité » est le caractère invariant (sur l’espace) des coefficients de (...)

14Outre par ce basculement de la terminologie, il faut aussi nuancer l’héritage kantien concernant l’idéalité de l’espace, en rappelant les diverses critiques que Weyl fait par ailleurs de la pensée du philosophe de Königsberg. Dans ses lignes générales, la stratégie de Weyl à l’égard des rapports entre la doctrine kantienne de l’espace et la théorie de la relativité est comparable à celle des néokantiens et autres interprètes idéalistes de la théorie de la relativité13. Tout en voulant conserver le caractère idéal de l’espace, il refuse que nous ayons un rapport intuitif à la forme structurelle de ses relations (affine, métrique, etc.) qui nous imposerait avec évidence la structure « rigide14 » qu’est celle de la géométrie euclidienne.

15Ce schéma d’ensemble est partagé avec d’autres interprètes idéalistes de la théorie de cette période. Néanmoins, Weyl ne voit pas dans les traits de la théorie kantienne ainsi abandonnés, des traits accessoires dont on peut se débarrasser sans trahir l’« esprit » de la philosophie kantienne. Au contraire, le rapport intuitif à l’espace qui imposerait avec évidence la forme euclidienne des relations métriques dans l’espace était, selon Weyl, un maillon essentiel de l’épistémologie kantienne. Weyl lui-même y avait cru avec enthousiasme dans son enfance intellectuelle. C’est pourquoi, bien qu’il revendique l’idéalité de l’espace et adopte une stratégie comparable à celle des néokantiens de Marbourg et autres interprètes idéalistes de la relativité, il refuse pourtant de se placer comme un continuateur de la pensée kantienne.

16Au vu de ses réticences à l’égard de la philosophie kantienne, nous comprenons que ce n’est pas à partir de ses références au philosophe de Königsberg que nous comprendrons à quel type de subjectivité Weyl réfère lorsqu’il parle de forme de notre intuition ou de forme des apparences. Il va falloir plutôt étudier la notion particulière de sujet que Weyl développe dans ses propres écrits.

Notes

1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 1 : « Existenzformen der realen Welt » ; p. 3 : « eine Form unserer Anschauung » ; p. 5 : « die Form der Körperlichen Wirklichkeit » ; p. 5 : « Form der Außenwelt » ; p. 10 : « Form der Erscheinungen » ; p. 86 : « Der Raum ist Form der Erscheinungen und, sofern er das ist, notwendig homogen ».

2 Ibid., p. 5.

3 Il ne fait guère de doute par exemple pour ibid., p. 10 et ibid., p. 86 que Weyl parle en son nom.

4 Ibid., p. 1.

5 Cette notion sera thématisée plus bas.

6 Rien n’est dit clairement dans les textes de Weyl, sur le fait que l’espace au niveau purement intuitif de la perception serait pleinement homogène. Ce manque est sans doute lié à la mise à l’écart partielle du problème philosophique de l’espace. Il est cependant douteux que l’homogénéité de l’espace se réalise au niveau perceptif si on pense aux analyses des physiologues des décennies qui précèdent Weyl, dont certaines ont été reprises de façon célèbre par Henri Poincaré. On trouve bien des occurrences chez Weyl d’une forme d’homogénéité présente au niveau intuitif (Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994, p. 9) mais accompagnée de la remarque qu’il ne s’agit pas de l’homogénéité telle qu’on la trouve en mathématique. Weyl précise que l’étude des relations entre les deux types d’homogénéité est un véritable problème.
La raison pour laquelle l’homogénéité ne peut être réalisée au niveau physique est plus difficile à saisir. Ce point est lié à l’hypothèse de la dépendance des relations métriques à l’égard du contenu de l’espace. Nos paragraphes III. 2 et III. 3 y sont entièrement consacrés.
Il est de toute façon clair dans le texte que la notion d’espace comme forme homogène n’est pleinement réalisée qu’au niveau mathématique qui est toujours celui dans lequel Weyl se place quand il développe la signification de cette homogénéité et de la notion stricte d’espace comme « forme ».

7 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 5
.Cf. aussi Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, Berlin, Julius Springer, 1923, p. 1. D’autres passages similaires où Weyl traite de la notion d’homogénéité sont : Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 7 (à propos du temps), p. 14-17 (à propos de la ligne droite) et p. 17 (à propos du plan).

8 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 2. Remarquons que l’idée d’une opposition entre la mathématisation complète de l’espace et l’impossibilité de saisir mathématiquement son contenu ne prend tout son sens dans la pensée de Weyl qu’à partir de la 4e édition d’Espace-Temps-Matière. En effet, son projet de réduction ontologique de la matière au champ spatial est alors abandonné.

9 Par ailleurs, dans Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 1, Weyl nous apprend qu’il hérite de Kant cette opposition entre l’espace conçu comme forme et son contenu compris comme contenu qualitatif [Inhalt].

10 Weyl renvoie à Hobbes et Descartes (Weyl Hermann, Raum- Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 3).

11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie. 4e édition, op. cit., p. 3.

12 La notion de sujet transcendantal est un véritable tabou dans la pensée de Weyl de cette période. Cette notion, si centrale dans le développement de l’idéalisme allemand et de la pensée de Husserl, n’est pas rejetée par les écrits de Weyl mais plutôt complètement passée sous silence.
Quand il présente l’idée de l’idéalité de l’espace, même sous l’angle historique de l’appel à Kant, Weyl présente souvent l’espace comme s’il se confondait avec l’espace immédiatement perçu et vécu par la conscience individuelle. A-t-il une interprétation psychologisante de Kant, du même type que celle que dénonçaient à cette époque les néokantiens ?
En outre, Weyl ne fait pas de distinction entre la subjectivité des qualités sensibles dans l’épistémologie de Descartes et Hobbes, et la subjectivité de l’espace chez Kant. Cf. Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 3.
Nous verrons par la suite que la notion de sujet qui est centrale selon Weyl pour la réflexion sur l’espace doit prendre en compte de façon essentielle l’incarnation du sujet dans un corps, qui en fait un point de vue localisé sur le monde. De ce fait, Weyl semble refuser le sujet transcendantal de Kant en tant qu’il est un sujet surplombant, en amont de toute considération de localité spatiale ou temporelle. On verra cependant au chapitre IV comment, à partir de la période de maturité de sa géométrie de contact, Weyl va arriver à redonner d’une certaine façon une dimension transcendantale à son sujet localisé.
Même à des périodes avancées de sa carrière intellectuelle, on trouve chez Weyl des critiques sévères de l’idéalisme transcendantal kantien, et une interprétation négative de l’idéalité de l’espace et du temps comme impliquant que la science doit aller au-delà des cadres spatiotemporels pour atteindre l’objectivité. On trouve ce type d’affirmation antikantienne par exemple dans Weyl Hermann, Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer-Verlag, 1968, p. 131. Dans ce texte, Weyl semble suggérer que la physique atteint les « choses en soi » car elle se libère de l’espace et du temps. Ainsi, ici, Weyl identifie le temps kantien avec un flux de conscience, donnant encore une fois prise à une interprétation psychologisante de Kant : « Ainsi, chaque individu vit son histoire. Leurs flux de conscience entretiennent mutuellement des relations qui sont restreintes dans leur possibilité par la structure de l’espace-temps que nous avons décrite. Mais, le monde lui-même n’a pas d’histoire. Par conséquent, longtemps après que la physique se soit libérée des qualités sensibles, la philosophie moderne met en avant avantageusement la grande découverte de Kant selon laquelle le temps et l’espace ne sont que des formes de notre intuition sans signification objective. En reconnaissant sa différence avec la philosophie kantienne, la physique a le courage de pénétrer [ergründen] et de représenter en symboles mathématiques le domaine [Reich] aspatial et intemporel des « choses en soi » qui est caché derrière les apparences. »
Nous verrons dans notre ouvrage que, malgré ce tabou sur le sujet transcendantal, et malgré l’interprétation négative de la subjectivité du temps et de l’espace comme des éléments à dépasser pour atteindre l’objectivité de la science, Weyl réintroduit subrepticement une forme d’idéalisme transcendantal dans son analyse des exigences rationnelles qui fondent a priori les structures infinitésimales de l’espace-temps. Espace et temps semblent toujours avoir chez lui ces deux versants. Ils sont d’abord subjectifs en un sens péjoratif, comme des éléments introduisant la singularité du sujet dont on doit s’abstraire pour atteindre l’objectivité. Et ils sont ensuite subjectifs en un sens positif qui s’approche de l’idéalité transcendantale, dans la mesure où les structures rattachées a priori à l’espace et au temps par le sujet rationnel sont les conditions de possibilité de la géométrie et donc des sciences de la nature. Le chapitre IV montrera que ces éléments a priori seront les structures métriques infinitésimales et la connexion.

13 Cf. I.2.3.

14 Ce que Weyl appelle ici « rigidité » est le caractère invariant (sur l’espace) des coefficients de la métrique euclidienne. Cette rigidité permet la comparaison entre les longueurs et directions de vecteurs aussi éloignés que voulu. Dans le passage à une géométrie par contact (cf. notre chapitre IV), nous nous libérons de cette rigidité, et perdons par là la possibilité de la comparaison à distance.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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