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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre II. L'espace mathématique

1. Délimitation de la notion mathématique d’espace

Texte intégral

1.1. LES TROIS NIVEAUX D’ANALYSE : LE MATHÉMATIQUE, LE PHYSIQUE ET LE PHÉNOMÉNAL

  • 1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 2, 3, 75, 89 et 143, et Weyl Hermann, «  (...)
  • 2 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 69, 72.
  • 3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 3, 60, etc.
  • 4 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 69-72 et Weyl Hermamann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition,(...)
  • 5 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 67 et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. (...)
  • 6 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 67, 69, 70. Weyl emploie ce terme quand il parle du véc (...)
  • 7 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid(...)
  • 8 Cf. plus haut sur ce que nous en avons dit dans notre paragraphe I.2.3.

1Les réflexions sur la notion d’espace dans Espace-Temps-Matière concernent les interactions entre trois niveaux de réalité : le mathématique, le physique et un troisième auquel Weyl se réfère par de multiples termes comme « la perception1 » [Wahrnehmung], « le vécu perceptif2 » [Wahrnehmungerlebnis], l’« intuitif3 » [Anschaulich], le « vécu4 » [erlebnis], le « vécu de conscience5 » [Bewutsstseinserlebnis] ou plus rarement le « phénoménal6 » [phänomenal]. Ces trois niveaux interviennent aussi dans l’Analyse Mathématique du problème de l’espace, au moment de la formulation du problème de l’espace7. Ils se retrouvent également dans Le Continu quand Weyl exprime le problème du continu comme une analyse de la façon dont s’articulent les notions mathématique, physique et perceptive de la continuité. Si ce schéma tripartite est récurent c’est qu’il correspond à la manière dont Weyl pense les objectifs et les enjeux de la théorie de la connaissance8. Il s’agit à chaque fois de distinguer au sein de la connaissance scientifique, 1) le mathématique, composé de constructions rationnelles qui se développent de manière déductive et reposent sur des exigences de la raison, 2) le physique, c’est-à-dire les éléments de la connaissance qui dépendent de la mesure contingente des objets du monde et des lois générales d’interactions de la matière découvertes empiriquement, et enfin 3) l’intuitif, au sens de ce qui a trait à la forme immédiate de notre rapport au monde comme individus conscients et percevants.

  • 9 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems., op. cit., p. 3.

2Ces trois aspects qui doivent être distingués par la théorie de la connaissance peuvent être appliqués à la notion d’espace (-temps). L’espace (-temps) renvoie d’abord à une réalité mathématique, i. e. au corps des constructions rationnelles qui se développent de façon déductive pour former la (chrono-) géométrie. Les Eléments d’Euclide ou les Fondements de la géométrie de Hilbert sont de ce point de vue les modèles exemplaires d’une telle géométrie comme science mathématique de l’espace9. Il renvoie ensuite à une réalité physique, celle des relations spatiales (en particulier métriques) mesurées effectivement dans le monde et dépendant des caractéristiques physiques des corps et des lois de leurs interactions. Enfin, il renvoie à une réalité phénoménale, celle des relations spatiales intuitives, telles que données immédiatement à la conscience.

1. 2. UN SOLIPSISME SURMONTÉ

  • 10 Weyl n’a pas de terminologie fixe pour désigner l’espace de la science qui comprend à la fois les n (...)

3Ces trois pôles ne jouent cependant pas un rôle similaire. Le mathématique et le physique sont étroitement corrélés en tant qu’ils sont co-constitutifs du contenu objectif de la notion scientifique d’espace, de ce qu’on peut appeler « l’espace mathématisé10 ». Par contre, l’intuition perceptive ne joue, vis-à-vis des concepts scientifiques, qu’un rôle négatif. La notion d’espace n’acquiert un statut scientifique qu’en rompant avec l’espace intuitif. Faisons attention à ce que cela signifie. En vertu de notre adhésion à l’interprétation idéaliste de la pensée de Weyl, nous pensons que le sujet connaissant joue un rôle primordial pour Weyl dans la constitution du concept scientifique d’espace. Mais en aucun cas le concept scientifique d’espace ne doit pour autant être confondu avec l’espace intuitif tel qu’il est vécu immédiatement par le sujet individuel d’une perception.

  • 11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 4.

4Comme l’indique le terme « intuitif », toute la connaissance de l’espace commence par le rapport immédiat qu’entretient le sujet percevant individuel à la réalité spatiale et à son contenu. Ainsi, dans une esquisse de théorie de la connaissance fortement influencée par la figure de Husserl qu’il place dans l’introduction d’Espace-Temps-Matière, Weyl débute par la description d’un solipsisme. Celui-ci est poussé à son comble puisque Weyl va jusqu’à mettre entre parenthèses l’existence des objets transcendants la conscience, et l’existence du monde extérieur en général, se donnant comme point de départ « l’interprétation des événements du monde comme un jeu de la conscience produit par l’Ego11 ».

5Nous ne pouvons avoir de certitude immédiate que concernant la réalité immanente à la conscience car celle-ci est un absolu, c’est-à-dire que tout son être s’identifie avec son apparaître. À l’opposé, les objets transcendants ne peuvent avoir qu’une réalité phénoménale, ce qui signifie ici qu’il y a un écart essentiel entre leur être et leur apparaître. Chacune de leurs apparitions n’est que le signe d’un des aspects de leur être. Cet écart entre l’être et l’apparaître des objets transcendants permet la mise entre parenthèses de la thèse de réalité du monde, et le regard philosophique (que Weyl devrait précisément appeler un regard « husserlien » en référence à la notion husserlienne d’« épochè »). Ce regard consiste à mettre en suspens notre jugement sur l’existence des objets transcendants. Si nous transposons cela sur le plan de la notion d’espace, le seul accès immédiat que nous en ayons consiste en des intuitions perceptives individuelles de relations spatiales entre des objets donnés in concreto. L’univers réel et commun à tous les êtres dans lequel nous avons l’habitude de nous représenter les événements physiques, ou tout simplement nos actions communes quotidiennes, est du côté du transcendant. Son existence n’est pas une donnée immédiate de la conscience et doit donc être construite à partir des données phénoménales.

6Mais ce solipsisme originel propre à Weyl, et d’inspiration husserlienne, n’a rien d’un scepticisme. C’est un solipsisme méthodologique qui doit être surmonté. Là où le Dieu cartésien garanti la véracité de nos idées, et par suite l’existence du monde, c’est la construction rationnelle de la science qui joue chez Weyl le rôle de décloisonnement du sujet individuel pour parvenir à la connaissance du monde transcendant et à la garantie de son existence objective. La construction scientifique procède par une méthode qui consiste à se libérer de la singularité du point de vue du sujet individuel percevant, pour parvenir à un point de vue objectif. Cette objectivisation passe par un changement de perspective qui consiste à remplacer les propriétés perceptives perçues immédiatement par la construction conceptuelle qui trouve son mode de développement le plus achevé dans l’utilisation des mathématiques.

7Appliqué à la notion d’espace, cette objectivisation aboutit à construire un « unique univers réel et cohérent » dont la nature va changer par rapport à l’espace intuitif de la perception :

  • 12 Ibid., p. 5.

Tout comme le temps est la forme du « flux » de la conscience, on peut à bon droit affirmer que l’espace est la forme de la réalité corporelle. Tous les aspects des choses corporelles qui sont donnés dans les actes de la perception extérieure, par exemple la couleur, portent en eux la séparation de l’extension spatiale. Mais c’est seulement lorsque, à partir de toutes nos expériences, on construit un unique monde réel et cohérent, que l’extension spatiale qui nous est donnée à travers chaque [acte de] perception devient une partie d’un seul et même espace, à partir duquel toute chose s’étend. Cet espace est la forme du monde extérieur ; c’est-à-dire : toute chose corporelle peut tout aussi bien être à un autre emplacement spatial que celui où elle est précisément, sans qu’elle ne devienne autre qualitativement12.

  • 13 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 37-38, 71, 83.

8C’est l’appareil conceptuel apporté par les mathématiques qui va permettre ce changement radical de regard sur l’espace et va permettre son unification. Cela passe d’abord par une métamorphose de la façon dont est pensée la continuité, comme nous allons le voir immédiatement. L’écart entre l’espace intuitif et l’espace mathématisé n’est donc pas le signe d’un échec de la science de l’espace mais est au contraire un réquisit pour pouvoir construire cette science comme une théorie physique qui vise à connaître le transcendant en le représentant par concepts et non pas comme une phénoménologie de la perception, simple description de l’immanent13.

1.3. CONTINUUM INTUITIF ET CONTINUUM MATHÉMATIQUE

  • 14 Ibid., p. 65-74.
  • 15 Dans le passage concerné, Weyl traite avant tout de l’expérience intuitive du temps en référence à (...)
  • 16 L’idée est déjà présente dans Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit. et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Mat (...)
  • 17 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 66. Dans ce passage se trouvent mêlées intuition de l’e (...)

9La rupture assumée entre le niveau intuitif et le niveau conceptuel de la science est déjà visible au sein de la notion de continuité. Cette notion est fondamentale pour la science de l’espace. C’est un supposé constant d’Espace-Temps-Matière qui n’est développé pleinement que dans l’autre grande monographie de 1918, Le Continu. Dans le second chapitre de ce dernier ouvrage14, Weyl caractérise le type de continuité propre aux continua de la perception. Les continua intuitifs, qu’ils soient de nature spatiale ou temporelle15, ne sont pas composés de points mais sont continus au sens où ils sont des totalités qui précèdent ontologiquement leurs parties. Les frontières entre deux parties d’un continuum intuitif sont floues. Elles appartiennent indistinctement aux deux parties. Ce n’est de plus pas directement l’espace lui-même qui est l’objet d’une expérience vécue mais des objets concrets entretenant des relations spatiales particulières, et perçus par le biais de leurs propriétés qualitatives perçues sous la forme de qualia16. Weyl évoque l’expérience perceptive que nous vivons quand nous voyons un crayon reposer sur une table pendant un certain temps17.

10Au contraire du continu intuitif, le continu mathématisé est véritablement constitué de points rigoureusement isolés, objets idéaux dont la localisation exacte est au fondement de la possibilité d’une mesure physique arbitrairement précise. L’ensemble des points est ensuite pourvu de structures géométriques (notamment les structures affines et métriques) qui se laissent elles-aussi exprimer par des quantités exactes. Cette quantification est aussi au fondement de la possibilité d’une mesure physique. La décomposition de l’espace en points isolés est ce que Weyl appelle la thèse atomistique. Elle est une hypothèse usuelle de la géométrie à laquelle il adhère dans Le Continu tout comme dans Espace-Temps-Matière. Cette hypothèse ne sera véritablement abandonnée au sein d’une tentative sérieuse de fondation mathématique du continu, qu’avec les mathématiques intuitionnistes de Brouwer auxquelles Weyl s’est joint quelques temps pendant les années 1920-1921. Ce moment dans l’évolution intellectuelle de Weyl n’a cependant laissé que peu de traces dans Espace-Temps-Matière. C’est donc plutôt la thèse atomistique qu’il faut développer pour comprendre le projet d’ensemble de ce texte.

  • 18 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 23.

11Ainsi, le type de continuité propre aux mathématiques atomistiques n’est pas expérimenté par le sujet psychologique d’une perception mais est le fruit d’une construction conceptuelle qui s’avère un processus d’idéalisation et d’objectivation. Au vu de la thèse atomistique, la science du continu ne saurait être une phénoménologie de la continuité perceptive, de la même façon que nous avons vu que la science de l’espace en général ne pouvait être une phénoménologie du vécu perceptif des relations spatiales. Ainsi, si le rapport intuitif à l’espace est premier dans l’ordre logique de notre connaissance (et cette primauté est le sens même du mot « intuition »), Il faut toutefois effectuer un changement radical de perspective à partir de ce point de départ pour atteindre la notion scientifique d’espace. Inversement, le scientifique doit accepter avec humilité que son concept d’espace ne capture pas l’essence de l’espace telle qu’elle nous est révélée par notre intuition18. Il reste à savoir comment peut s’effectuer la transition entre ces deux niveaux essentiellement distincts de la notion d’espace : le niveau intuitif de la perception et le niveau conceptuel des mathématiques.

1. 4. LE PROBLÈME PHILOSOPHIQUE DE L’ESPACE LAISSÉ À L’ÉTAT D’ÉBAUCHE

  • 19 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 1-2.
  • 20 Cf. le paragraphe II.1.1.

12Comprendre en profondeur et justifier la transition du point de vue intuitif au point de vue conceptuel de la science, et en particulier comprendre comment, à partir de la répétition de nos actes perceptifs individuels, nous pouvons inférer l’existence d’une seule et même réalité spatiale ayant des propriétés objectives, est une tâche primordiale pour la philosophie. Cela fait partie de ce que Weyl nomme le « problème philosophique de l’espace19 ». Ce vaste problème regroupe la plupart des interrogations ontologiques et épistémologiques traditionnelles à propos de l’espace, que l’on rencontre en particulier dans la tradition kantienne. Ainsi, Weyl cite : le lien entre les trois niveaux dont avons parlés ci-dessus20, l’origine et le statut métaphysique de l’espace ou encore le lien entre les divers sens (vue, ouïe) qui participent aux qualités sensibles d’où émergent nos intuitions spatiales.

  • 21 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 5-6.
  • 22 Ainsi, dans Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 74, Weyl repousse-t-il le sous-problème qui (...)

13Le sous-problème précis du lien entre le niveau perceptif et le niveau mathématisé, est formulé à plusieurs reprises dans les écrits de Weyl de la période 1917-1923. Cependant, jamais notre auteur ne tente de le résoudre pleinement. Il se contente des quelques indications que nous avons données au paragraphe précédent, de l’appel à Husserl, et il évoque le fait que, pour constituer des objets de la perception, première étape du mouvement d’objectivation, on ait besoin de remarquer que le sentiment de la différence entre nos actions et nos passions est essentiel à établir un pont entre la réalité intérieure d’abord purement temporelle et la réalité corporelle extérieure d’abord purement spatiale21. Il repousse cependant toujours la tâche de l’explicitation complète du passage du point de vue intuitif au point de vue conceptuel. Il affirme qu’il s’agit d’une tâche moins urgente, pouvant être au moins partiellement détachée de son travail actuel22. La tâche qui lui importe dans l’urgence est le problème mathématique de l’espace et la partie du problème philosophique de l’espace limitée à l’étude du rapport, au sein de l’espace mathématisé, entre le mathématique et le physique. Nous avançons deux hypothèses pour expliquer cette mise à l’écart par Weyl de la résolution complète du problème philosophique de l’espace.

14Notre première hypothèse consiste à interpréter pourquoi il utilise le terme « problème philosophique de l’espace » par opposition au « problème mathématique de l’espace ». Cette opposition ne signifie pas que les enjeux philosophiques se trouveraient seulement dans le premier problème. Il faut plutôt comprendre que les qualificatifs de « philosophique » et de « mathématique » renvoient aux niveaux de connaissance technique sur les fondements de la géométrie et sur la théorie de la relativité qui sont réclamés par la ces problèmes. La partie du problème philosophique de l’espace que Weyl met de côté est relativement indépendante du contenu précis des théories géométriques et physiques. Elle demande en outre des outils proprement philosophiques comme l’étude des qualia liés à la perception de l’espace. En tant que tel, il s’agit d’un problème qu’on rangerait selon la terminologie française dans la catégorie de la « théorie de la connaissance ». À l’opposé, l’étude des liens entre les niveaux mathématique et physique de la notion d’espace, ainsi que le problème mathématique de l’espace en son sens strict, ne prennent sens qu’à partir d’une connaissance en profondeur du contenu des nouvelles théories géométriques et physiques. En tant que tel, il s’agit d’un authentique problème d’épistémologie qui est en adéquation avec le type d’approche de la philosophie que pratique Weyl depuis l’intérieur des théories scientifiques.

  • 23 . Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 2.

15Ensuite, en lien avec notre première hypothèse, il semble que c’est dans l’actualité de la théorie de la relativité générale d’Einstein que réside l’urgence dont parle Weyl d’éclaircir les nouveaux rapports qu’entretiennent le mathématique et le physique au sein de la notion scientifique d’espace. A contrario, la théorie d’Einstein n’a pas apporté d’éclairage nouveau sur les rapports entre l’espace intuitif de la perception et l’espace mathématisé de la science. Puisque, selon Weyl, les problèmes épistémologiques doivent trouver leurs solutions dans un dialogue avec les théories scientifiques dans leur évolution, l’émergence de la théorie d’Einstein est le signe que la pensée a atteint un stade suffisamment mature pour qu’on puisse exposer des résultats philosophiques solides sinon définitifs sur les rapports entre le mathématique et le physique dans la notion d’espace23.

  • 24 L’exemple type que nous avons en tête est celui d’Henri Poincaré qui, lorsqu’il introduit la notion (...)

16Il était important de remarquer que Weyl laisse une partie du problème philosophique de l’espace à l’état d’ébauche, à savoir le passage de l’espace intuitif qualitatif à l’espace mathématisé. En effet, premièrement, cette attitude n’est pas celle d’autres penseurs scientifiques qui ont réfléchi sur le même thème24. Et deuxièmement, cette attitude se pose contre celle qu’adoptera Weyl lui-même pendant les quelques mois de 1920-1921 où il adhérera à l’intuitionnisme mathématique de L. E. J Brouwer. Plus précisément, les mathématiques intuitionnistes ne développent pas une théorie du passage entre les deux sphères de connaissances de l’espace (intuitive et conceptuelle) mais elles œuvrent plutôt à un rapprochement de ces deux sphères. L’intuitionnisme de Brouwer estompe l’écart entre le mathématique et l’intuitif plutôt que d’assumer la thèse atomistique. Cependant, la période d’adhésion de Weyl aux idées de Brouwer semble n’avoir été qu’une parenthèse dans la vie intellectuelle de Weyl et dont les traces dans Espace-Temps-Matière ne sont pas bien nettes.

17On ne peut toutefois ignorer totalement ce moment de l’évolution intellectuelle de Weyl. S’il a pu rejoindre le projet de Brouwer avec autant d’enthousiasme, c’est que l’approche radicale de Brouwer répondait à une forme d’insatisfaction ou peut-être plutôt à une conscience par Weyl du fait que, en ayant laissé à l’état d’ébauche le problème philosophique de l’espace, sa pensée épistémologique était encore insuffisante pour rendre compte des aspects intuitifs de la continuité et de la façon dont des mathématiques rigoureuses peuvent émerger de ce premier état de la connaissance. Tout en conservant la thèse atomistique dans tout Espace-Temps-Matière, on verra que Weyl est toujours préoccupé pour munir le continuum des points isolés de structures de « voisinages » qui viennent rompre l’isolement radical initial des points du continuum. On reconnait le schéma général de la topologie ensembliste que Weyl employait, même si cela ne suffisait pas pour lui à résoudre le problème du continu.

18Pour résumer, on perçoit à la fois que Weyl reste fidèle pendant la période 1917-1923 (en excluant son moment proprement intuitionniste) à la thèse atomistique, pour sa force explicative des relations entre le mathématique et le physique. En revanche, le fait d’avoir laissé à l’état d’ébauche le problème philosophique de l’espace pour s’occuper d’un problème épistémologique « plus urgent », laisse toujours Weyl prudent à l’égard de sa propre méthode. Le fait de munir a posteriori un continuum de points isolés de structures de voisinages lui semble finalement un pis-aller qu’il faut accepter de façon un peu abrupte, le temps de l’attente de la maturation complète du problème philosophique de l’espace.

1.5. LA GÉOMÉTRIE (MATHÉMATIQUE) COMME PRÉMISSE DE LA CONSTRUCTION SCIENTIFIQUE DE L’ESPACE

19Dans ce qui suit, nous suivrons l’approche de Weyl majoritaire pendant la période 1917-1923 en ne nous référerons que très peu à ce qu’il appelle l’« espace intuitif ». Toute notre attention portera sur les nouvelles articulations que la théorie d’Einstein, et les développements de la géométrie différentielle de Riemann, nous obligent à concevoir entre les aspects mathématique et physique de la notion d’espace. Notre second chapitre considérera de façon isolée la notion mathématique d’espace de façon préalable à toute application physique, i. e. à toute considération de la matière, de son mouvement et de son impact sur l’espace-temps.

  • 25 Le texte d’Einstein de 1916 (Einstein Albert, « Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie », in(...)

20Un tel plan d’étude est conforme à l’approche de Weyl et est permis par le fait que le mathématique constitue un premier moment relativement indépendant dans la construction relativiste de l’espace. C’est ce dont témoigne le découpage d’Espace-Temps-Matière entre les deux premiers et les deux derniers chapitres, découpage qui s’impose d’ailleurs dans la plupart des ouvrages traitant de relativité générale, y compris dans l’article fondateur de la théorie25.

  • 26 Cf. cependant notre note 7 de l’introduction, qui explique en quoi la terminologie « géométrie mat (...)

21Ce découpage fonctionne comme suit. Il s’agit dans un premier temps d’introduire certaines notions géométriques purement mathématiques : espaces vectoriels, tenseurs, forme quadratique, espaces de Riemann, densités tensorielles, connexion affine, courbure de Riemann, etc. Elles sont traitées de façon entièrement déductive. C’est seulement dans un deuxième temps (qui correspond aux deux autres chapitres d’Espace, Temps, Matière) que Weyl introduit la matière et ses lois, et la relie aux structures géométriques ; les objets physiques étant eux-mêmes porteurs d’une nature géométrique. Il est important de comprendre qu’en rentrant dans ses considérations physiques, Weyl ne quitte pourtant pas le domaine de la géométrie au sens d’une science de l’espace (en prenant « espace » dans son sens usuel et non pas le sens propre à Weyl). Rappelons en effet que la théorie de la relativité générale rend compte des interactions gravitationnelles par le biais de modifications des structures métriques de l’espace-temps. La matière, d’une certaine manière, « déforme » la métrique de l’espace (-temps) et c’est cette déformation de qui se manifeste par ce que l’on considérait auparavant comme une force, la force gravitationnelle, dans la physique newtonienne. La géométrie (mathématique) se trouve donc complétée par une « géométrie physique26 », et ce n’est qu’ensuite qu’on peut procéder à l’exposition des éventuelles autres lois non spatiales de la physique. Par « lois non spatiales » nous voulons signifier non pas des lois physiques qui traiteraient de phénomènes en dehors de l’espace, mais plutôt des lois physiques dont le mode d’expression ne consiste pas en une modification des propriétés de l’espace lui-même. Ainsi, dans la théorie de la relativité générale telle que l’a créée Einstein, les lois de l’électromagnétisme sont de telles lois non spatiales. Car l’électromagnétisme n’y apparait pas comme une manifestation de propriétés de l’espace mais comme une force qui dévie la matière chargée de sa trajectoire inertielle, tout comme c’était le cas pour la force gravitationnelle dans la physique de Newton. La théorie unitaire recherchée par Weyl, qui vise à interpréter l’électromagnétisme comme une interaction de la matière avec l’espace au même titre que la gravitation, est donc une théorie où il n’y a plus de lois physique non spatiale (toujours en identifiant « spatial » et « relatif à la métrique », ce qui n’est pas une manière de s’exprimer conforme à Weyl). Une telle physique se réduit donc à la géométrie. Retenons globalement le schéma suivant pour la construction de la science de l’espace :

1. Géométrie mathématique, 2. Géométrie physique, (3. Lois physiques non spatiales)

22Les paragraphes qui vont suivre dans ce chapitre II sont une analyse des concepts que met en place Weyl pour penser la première étape de cette construction. Il faudra attendre d’avoir incorporé les aspects physiques avant que la notion d’espace ne renvoie à une réalité effective. Toutefois, la notion purement mathématique d’espace comporte déjà les fondements de l’objectivité de la science de l’espace et forme le cadre de l’expression de certaines considérations a priori dont nous devons étudier le statut exact.

1. 6. DU CONTINUUM AUX VARIÉTÉS, PLACE DE LA TOPOLOGIE DANS ESPACE-TEMPS-MATIÈRE

  • 27 II.1.6 et II.1.7.

23Les deux prochains sous-paragraphes27 donnent une vue générale du contenu mathématique abordé dans l’introduction et le premier chapitre d’Espace-Temps-Matière. Seulement ensuite, nous pourrons entrer en profondeur dans les concepts mis en place par Weyl pour penser la géométrie.

  • 28 Cf. notamment les travaux de Charles Méray, Augustin Cauchy, Georg Cantor et Richard Dedekind.

24Nous savons déjà que l’espace mathématique est un continuum de points rigoureusement isolés. C’est la construction analytique des nombres réels qui permet d’exprimer rigoureusement ce que signifie cette idée de continuum. Nous passons rapidement sur cette construction. Rappelons seulement les trois points importants suivants. Premièrement, des constructions mathématiques du continu (des nombres réels) basées sur la notion d’ensemble étaient disponibles depuis les travaux des mathématiciens du xixe siècle28 et étaient largement diffusés et acceptés dans la communauté des mathématiciens. Deuxièmement, Weyl a lui même proposé une nouvelle construction de ce continu dans Le Continu car il n’était pas satisfait de la solution apportée par la théorie des ensembles. Nous verrons à quelques occasions en quoi cette nouvelle approche est liée aux travaux physiques de Weyl. Cependant, le fait même que Weyl ne se trouve pas obligé d’introduire ces travaux dans Espace-Matière-Temps-Matière montre bien que l’essentiel des problèmes abordés dans cet ouvrage est relativement indépendant de la question du fondement rigoureux du continu des nombres réels. Troisièmement, et c’est le point le plus important, c’est l’héritage riemannien de la notion de variété [Mannigfaltigkeit] qui permet à Weyl de généraliser la notion primitive de continuité, celle des nombres réels, pour parvenir à l’idée générale d’un continuum pluridimensionnel.

  • 29 Nous prévenons ici nos lecteurs qu’il faut cependant faire attention à l’interprétation exacte de l (...)
  • 30 La profusion des géométries qui apparaissent ou simplement se développent pendant ces deux siècles (...)
  • 31 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen (...)
  • 32 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 75-76.

25L’idée d’utiliser les nombres à travers la notion de coordonnées pour penser l’étendue spatiale est au moins aussi vieille que les mathématiques de Descartes et Fermat29. Mais les coordonnées cartésiennes ont une signification très particulières en tant qu’elles sont porteuses d’une dimension immédiatement métrique. Le développement d’un nombre croissant de types de géométries30 au cours des xviiie et xixe siècles demandait qu’on élabore une notion générale d’espace comme un ensemble de lieux localisables rigoureusement par la donnée de coordonnées numériques, indépendamment du type de structure métrique qu’on y considère par la suite. Cette notion a été fournie, dans le cadre de l’école de Göttingen, par la fameuse notion de variété continue [stetige Mannigfaltigkeit] introduite par Riemann dans son discours d’habilitation Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie31. De nos jours, on présente une variété de dimension n comme étant un ensemble V de points tel qu’on puisse en chacun de ces points donner un paramétrage local de V qui envoie de façon homéomorphe un voisinage de V sur un ouvert de Rn. Cette idée est présente dans Espace-Temps-Matière32. Elle se trouve aussi déjà chez Riemann, à ceci près que la topologie ensembliste telle qu’on la connait aujourd’hui n’était pas encore développée. La notion d’homéomorphisme en restait donc à un niveau intuitif. La topologie de R n était bien connue à travers les notions métriques usuelles dont elle est induite. Riemann considérait que les paramétrages locaux de M permettaient d’induire une certaine notion de « voisinage » sur la variété. C’est toujours l’idée centrale pour définir une variété de nos jours.

26Revenons à présent à Weyl. Quand il emploie la notion de continu multidimensionnel à propos de la notion d’espace, il a en tête la notion de variété héritée de Riemann. Cette notion permet de fournir un support topologique aussi bien aux espaces analytiques du type « espaces de Riemann », qu’aux espaces synthétiques du type de ceux envisagés par Klein, ce second cas comprenant en particulier la géométrie euclidienne.

  • 33 Weyl Hermann, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig et Berlin, G. Teubner, 1913, p. 17-18. Il (...)

27En lien avec cette idée riemannienne de variété, l’espace est muni de propriétés que nous nommerions aujourd’hui « topologiques ». Elles sont caractérisées par la possibilité de paramétrer (au moins localement) l’espace par un nombre déterminé de coordonnées. Cependant, entre Riemann et Weyl, la topologie ensembliste s’est développée. Weyl est bien informé de cette nouvelle façon d’envisager la topologie par l’intermédiaire des propriétés structurelles que revêt l’ensemble des ouverts d’un espace topologique. Il a lui même développé une telle axiomatique dans son ouvrage de jeunesse Sur l’idée d’une surface de Riemann33 en indiquant qu’il s’est inspiré des travaux de Brouwer, et en précisant que les travaux de Riemann contenaient déjà les germes d’une telle analyse topologique.

  • 34 À propos de la construction de la géométrie de Minkowski, Weyl distingue les strates topologique, a (...)
  • 35 L’axiomatique ensembliste pour la topologie, tout comme celle que Weyl esquisse dans Weyl Hermann, (...)

28Cette construction axiomatique de la topologie est cependant absente d’Espace-Temps-Matière. Elle y aurait trouvé difficilement sa place. Il est plus étonnant qu’elle soit absente du Continu dont le thème est l’analyse de la continuité. Un autre indice de la prise de recul de Weyl à l’égard de la construction ensembliste de la topologie pendant la période 1917-1923, tient au fait qu’il parle de la topologie comme d’un niveau « non structurel34 », ou « non conceptuel » à l’opposé des autres niveaux que sont le projectif, l’affine, le conforme et le métrique (cf. plus bas). Comment peut-il appeler « non structurel » un niveau dont l’axiomatisation prend la forme de réquisits de nature algébrique35 ?

29Il semble que la seule réponse à cette question consiste à admettre que Weyl était méfiant, au moins depuis 1917, à l’égard de l’approche ensembliste de la topologie qu’il avait d’abord adoptée pleinement. Nous ne voulons pas dire par là qu’il refuserait de donner un sens à la continuité en termes de structures de voisinages appliquées à un continuum de points isolés. En effet, cette stratégie, nous l’avons dit, revient de façon récurrente dans Espace-Temps-Matière. Il s’agit plutôt de voir que cette stratégie semble insuffisante à Weyl pour répondre au problème de la continuité, et en particulier à la question des rapports entre le continu intuitif et le continu arithmétique qu’il avait dû mettre temporairement à l’écart. Le continu a une dimension intuitive qui ne saurait se réduire à la structure algébrique que revêt l’ensemble des voisinages d’un point dans un continuum atomisé.

1.7. LA STRATIFICATION DES RELATIONS SPATIALES ET LA NOTION DE TRANSFORMATION

  • 36 Cf. notre note 20 de la p. 43 pour la place de la notion de structure chez Weyl.

30La notion mathématique d’espace chez Weyl ne consiste bien sûr pas en cette seule idée topologique d’un continuum multidimensionnel (disons 3-dimensionnel dans l’intention d’une application physique, ou 4-dimensionnel si on ajoute le temps). La nature géométrique de l’espace est donnée par des relations de plusieurs types : projectif, affine, conforme ou métrique, qui viennent s’ajouter à ce premier niveau topologique. Ces relations, prises ensembles, forment des structures dont l’essence peut être capturée par une analyse déductive, éventuellement sous forme axiomatique. C’est pourquoi, contrairement au niveau topologique, Weyl n’hésite pas à qualifier de « structurel » ces différents niveaux36.

31Nous supposerons que le lecteur est familier avec ces niveaux de structures spatiales qui sont traditionnels en géométrie. Nous nous contenterons de quelques idées schématiques pour simplement rappeler les relations entre ces différents niveaux. D’abord, ces niveaux forment ce que nous appelons des « strates ». C’est-à-dire que les niveaux sont emboités en termes de richesse de structure dans l’ordre suivant :

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  • 37 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems..., op. cit. La démonstration est faite dans (...)

32La détermination d’un niveau de structure détermine automatiquement tous les niveaux inférieurs (i. e. les structures moins riches). Ainsi, la détermination de la structure métrique de l’espace nous dispense de donner ses structures conforme, affine, projective ou topologique. Celles-ci sont induites de la structure métrique. Le niveau topologique a été esquissé dans le paragraphe précédent et contient l’idée de la dimension de l’espace et la notion de voisinage d’un point. La strate projective contient la notion de droite et donc l’alignement des points, l’incidence des points sur une droite ou un plan, etc. Le niveau affine rajoute l’idée des translations et de leur composition (notion de vecteur). Ainsi, au niveau affine, on commence à relier ensemble les différentes directions. On peut y comparer la longueur de segments parallèles éloignés les uns des autres. Cependant, on ne peut y comparer des segments de directions différentes. Le niveau conforme concerne la notion d’angle ou plus généralement l’idée des rapports de longueur entre deux segments infinitésimaux issus d’un même point. Enfin, au niveau métrique, on sait aussi bien comparer les vecteurs entre eux que leurs longueurs. Weyl montre que la donnée conjointe des niveaux projectifs et conformes détermine le niveau métrique37.

33Tous les niveaux n’interviennent pas avec le même degré d’intérêt dans Espace-Temps-Matière. La relativité générale ramène les interactions gravitationnelles à des interactions entre la matière et la structure métrique de l’espace-temps. Par conséquent, ce dernier niveau, le plus riche, est le seul présent chez Einstein dans l’article originel. En réintroduisant les autres strates traditionnelles de la géométrie, et en s’interrogeant sur la place qu’elles doivent occuper au sein de la théorie d’Einstein, Weyl apporte un éclairage nouveau sur la théorie. Il clarifie la correspondance existant entre chaque strate de relations géométriques et un domaine déterminé de la réalité physique qui y correspond. Ainsi, Weyl montre qu’en relativité, la strate conforme de la géométrie correspond à la donnée de la vitesse maximale d’interaction (« vitesse de la lumière »). Cette vitesse maximale permet de déterminer entre deux points de l’espace-temps, ceux qui peuvent être reliés causalement l’un à l’autre et, le cas échéant, le sens dans lequel s’effectue la causalité. C’est ce qu’on appelle de nos jours la « structure causale » de la théorie. Weyl montre ensuite que la strate projective correspond à la donnée de la trajectoire des corps massifs en chute libre. Ainsi, son théorème de la détermination de la strate métrique par les strates conformes et projectives s’interprète physiquement comme une détermination de la métrique par la donnée conjointe des événements reliés entre eux par une vitesse luminique (= le cône de lumière) et des trajectoires des corps massifs.

  • 38 Klein Felix, « Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen », op. cit.

34À travers la présentation de ces différentes strates de relations, on trouve une certaine constante chez Weyl. Il s’agit d’introduire ces strates en exprimant les relations qu’entretiennent, non pas les objets (points, droites, plans.) placés dans l’espace, mais plutôt les transformations de l’espace qui laissent invariantes ces structures. Ces transformations forment un groupe au sens algébrique du terme. C’est une idée importante héritée des mathématiques du xixe siècle. Les historiens des sciences l’attribuent en priorité à Helmholtz, et aux deux fameux géomètres dont les échanges intellectuels ont donné naissance au fameux Programme d’Erlangen38, à savoir Klein et Lie.

35Le programme d’Erlangen permettait d’unifier le foisonnement des géométries disponibles à la fin du xixe siècle (à l’exclusion des géométries analytiques du type des espaces de Riemann). Cette unification procède en classant les géométries en fonction du groupe des transformations qui laissent globalement invariantes les structures introduites.

  • 39 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 15-16.
  • 40 Cette présentation provient du fait que, dans le premier chapitre, Weyl veut introduire la géométri (...)

36C’est ainsi que, par exemple, Weyl définit la strate affine en donnant deux axiomatiques, correspondant à nos axiomatiques actuelles d’espace vectoriel et d’espace affine39. La première axiomatique donne la structure des relations qu’entretiennent les vecteurs. Par la suite, dans le premier chapitre, les vecteurs sont interprétés par Weyl comme des translations, qui sont des transformations affines isométriques40 particulières. Cependant, la définition axiomatique fonctionne indépendamment de cette interprétation.

37De même, la structure métrique est donnée non pas en considérant des corps rigides placés dans l’espace mais en donnant la métrique elle-même (sous la forme d’une forme quadratique) ; et donc médiatement les transformations qui respectent la structure métrique (isométries).

  • 41 « Cette théorie [Il s’agit de la géométrie infinitésimale pure] dans laquelle, selon moi, un grand (...)

38Au-delà du motif d’unification qui présidait aux recherches du programme d’Erlangen, Weyl voit dans cette façon d’aborder la géométrie la seule qui atteigne pleinement son objet. En effet, elle s’intéresse directement à la notion d’espace elle-même, et non plus indirectement à travers les objets qu’on y place41.

39Nous reviendrons sur la signification des différentes strates lorsque ce sera nécessaire. L’analyse épistémologique qui va suivre est cependant largement transversale, c’est-à-dire qu’elle s’applique indifféremment à chacune de ces strates. Ainsi, les concepts que met en place Weyl pour penser l’espace (les concepts de forme, d’homogénéité, d’idéalité, etc.), par le fait qu’ils peuvent être déclinés dans chacune des strates structurelles de l’espace, permettent de le saisir dans son unité.

Notes

1 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 2, 3, 75, 89 et 143, et Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994, p. 1, 66, 69.

2 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 69, 72.

3 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 3, 60, etc.

4 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 69-72 et Weyl Hermamann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 3-7.

5 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 67 et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 3.

6 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 67, 69, 70. Weyl emploie ce terme quand il parle du vécu de conscience lié à l’expérience du temps plutôt que de l’espace. Ce terme est lié bien sûr à Husserl et dans une autre mesure à Bergson.

7 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems. Vorlesungen gehalten in Barcelona und Madrid, Berlin, Julius Springer, 1923, p. 1. D’un texte à l’autre, les trois niveaux constitutifs du problème de l’espace se décalent. Ainsi, dans L’Analyse mathématique du problème de l’espace, les trois niveaux qui apparaissent en première page sont : 1) l’espace lui-même, 2) sa structure métrique (qui, comme le suggère le texte, est le lieu où les considérations physiques vont apparaître), et 3) son contenu matériel avec ses quale (qui correspond à ce qui peut être l’objet d’intuition au niveau de la perception immédiate). Ici, notre schéma ternaire mathématique/physique/phénoménal ne se retrouve pas comme tel dans la mesure où Weyl reconnaitra que la métrique a un statut ambivalent entre mathématique et physique, et entre a priori et a posteriori. Sur ce point, cf. ce que nous dirons dans le chapitre IV sur la distinction établie par Weyl entre la nature de la métrique, et la variabilité de ses coefficients.

8 Cf. plus haut sur ce que nous en avons dit dans notre paragraphe I.2.3.

9 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems., op. cit., p. 3.

10 Weyl n’a pas de terminologie fixe pour désigner l’espace de la science qui comprend à la fois les niveaux mathématique et physique. Il parle parfois dans les termes d’une opposition entre le champ intuitif et le champ conceptuel. Il emploie aussi souvent, quand il oppose l’espace intuitif à celui de la science, le couple qualité/quantité. L’espace « qualitatif » connu par le biais de qualia est opposé à un espace « quantitatif » issu de déterminations numériques. Cf. ci-dessous en II.1.3.

11 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 4.

12 Ibid., p. 5.

13 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 37-38, 71, 83.

14 Ibid., p. 65-74.

15 Dans le passage concerné, Weyl traite avant tout de l’expérience intuitive du temps en référence à Bergson. L’intuition du temps et l’intuition de l’espace sont cependant étroitement corrélées dans l’expérience du mouvement. Certains passages de Weyl suggèrent une relation complexe entre ces deux types d’intuition, qui repose sur la distinction traditionnelle entre une intuition interne et une intuition externe. Ces passages sont cependant trop allusifs pour que nous puissions développer ce point plus avant.

16 L’idée est déjà présente dans Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit. et Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit. Mais le terme latin apparait dans Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems., op. cit., p. 1.

17 Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 66. Dans ce passage se trouvent mêlées intuition de l’espace et intuition du temps dans l’expérience de cette forme limite de mouvement qu’est le repos.

18 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 23.

19 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems, op. cit., p. 1-2.

20 Cf. le paragraphe II.1.1.

21 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re édition, op. cit., 1918, p. 5-6.

22 Ainsi, dans Weyl Hermann, « Le Continu », op. cit., p. 74, Weyl repousse-t-il le sous-problème qui consiste à savoir comment comprendre l’articulation entre le continu au sens mathématique du terme et le continu intuitif caractéristique des continua de la perception : « Les réflexions livrées dans ce paragraphe ne sont certainement qu’un substitut peu instructif à une véritable philosophie du continu. Puisque nous ne disposons de rien de plus pénétrant, et que notre tâche n’est pas épistémologique [erkenntnistheoretischem] mais mathématique, nous pouvons en rester là. »
Dans Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems…, op. cit., p. 3, l’auteur indique qu’il ne traitera pas intégralement du problème philosophique de l’espace mais s’intéressera plutôt à l’analyse mathématique de la structure de l’espace, telle qu’on peut la développer « au moyen de la pensée logique, arithmétique et analytique ».

23 . Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 2.

24 L’exemple type que nous avons en tête est celui d’Henri Poincaré qui, lorsqu’il introduit la notion d’espace représentatif, proche de l’espace intuitif de Weyl, dans le quatrième chapitre de la Science et l’hypothèse, ne le fait certainement pas uniquement pour ajouter ensuite qu’il est radicalement distinct de l’espace mathématique et pour le mettre aussitôt à l’écart. Poincaré thématise véritablement le lien (qui est une genèse) qui mène de l’espace de la représentation à l’espace mathématisé.

25 Le texte d’Einstein de 1916 (Einstein Albert, « Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie », in Annalen der Physik, sér. 4, n° 49, 1916, p. 769-822) qui donne une vue d’ensemble de sa nouvelle théorie, et avait enthousiasmé Weyl, est composé de plusieurs parties. Nous allons considérer les trois premières : A., B. et C. Dans la première partie « A. Considérations fondamentales sur le principe de relativité », Einstein expose le rôle des systèmes de coordonnées et du principe de relativité dans la théorie de la relativité restreinte et prône, par des arguments épistémologiques et expérimentaux (principe d’équivalence), la nécessité d’élargir ce principe par le biais de la covariance généralisée. Mathématiques et physique sont ici mêlées confusément suite à des liens non encore parfaitement clarifiés entre la notion mathématique de système de coordonnées et la notion physique de référentiel. Les deux autres parties : « B. Outils mathématiques pour l’établissement d’équations généralement covariantes » et « C. Théorie du champ de gravitation » suivent alors un découpage entre outils mathématiques préliminaires, et étude proprement physique de l’espace et de ses relations à la gravitation.
Il y a donc bien une analogie avec le découpage d’Espace-Temps-Matière entre les deux premiers et les deux derniers chapitres. Sans doute la possibilité même d’un tel découpage est suggérée par la genèse historique de la théorie, où la création des concepts mathématiques nécessaires à sa formulation ont précédé la partie physique de la théorie, parfois de plusieurs décennies. Cf. ce que nous avons dit en I.1.3. sur l’anticipation des mathématiques sur le physique.

26 Cf. cependant notre note 7 de l’introduction, qui explique en quoi la terminologie « géométrie mathématique/géométrie physique », pour pratique qu’elle soit, n’est cependant pas conforme à la manière propre à Weyl de présenter cette distinction.

27 II.1.6 et II.1.7.

28 Cf. notamment les travaux de Charles Méray, Augustin Cauchy, Georg Cantor et Richard Dedekind.

29 Nous prévenons ici nos lecteurs qu’il faut cependant faire attention à l’interprétation exacte de l’utilisation des coordonnées chez ces auteurs. Par exemple, on accole souvent un peu trop facilement l’étiquette de père de la géométrie analytique à Descartes, oubliant que les nombres qui servent à mesurer les grandeurs géométriques ne sont en aucun cas premiers chez cet auteur par rapport à l’étendue et aux grandeurs géométriques elles-mêmes. Pour le dire brutalement, les nombres ne peuvent fonder la géométrie pour Descartes.

30 La profusion des géométries qui apparaissent ou simplement se développent pendant ces deux siècles est bien connue. Non seulement, on peut différencier plusieurs points de vue géométriques en fonction de la « strate » dans laquelle on se situe (projective, affine, conforme ou métrique), mais de plus, au sein de chaque strate, on peut développer plusieurs types de géométries répondant à des axiomes différents. Par exemple, au sein de la géométrie métrique, on peut développer aussi bien la géométrie euclidienne que la géométrie elliptique ou la géométrie hyperbolique. Nous renvoyons à la littérature abondante sur les géométries non-euclidiennes.
Le développement des outils mathématiques pour développer les espaces courbes, notamment avec Gauss et Riemann, a permis d’aboutir à la notion de variété qui donne un soubassement topologique commun à tous ces multiples espaces métriques. Mais la notion d’espace courbe a également permis une explosion encore bien plus spectaculaire de la multitude des notions d’espaces mathématiquement envisageables, en se libérant de l’hypothèse de l’homogénéité de l’espace. On entre alors dans l’ère de ce qu’on nomme les « géométries analytiques ».

31 Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867.

32 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 75-76.

33 Weyl Hermann, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig et Berlin, G. Teubner, 1913, p. 17-18. Il y définit d’une manière axiomatique la structure que revêtent les voisinages ouverts des points d’une surface de Riemann. Dans le langage actuel, il donne en fait les propriétés structurelles d’une base de voisinages ouverts dans un espace topologique séparé.

34 À propos de la construction de la géométrie de Minkowski, Weyl distingue les strates topologique, affine et métrique (Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems…, op. cit., p. 3). La strate topologique (notion de point, de continuité.) a cependant un statut non structurel au contraire des deux autres : « Les concepts fondamentaux qu’on emploie le plus adéquatement à la construction axiomatique de la géométrie de Minkowski, mis à part les concepts de point et de connexion continue des points qui n’ont encore aucun aspect structurel, sont les deux suivants : 1. La ligne droite, 2. L’élément nul. » (Nous mettons en italique.)

35 L’axiomatique ensembliste pour la topologie, tout comme celle que Weyl esquisse dans Weyl Hermann, Die Idee der Riemannschen Fläche, op. cit., se fonde sur les propriétés formelles des ouverts. Une topologie pour un ensemble E est une partie de l’ensemble puissance de E qui vérifie : 1) l’intersection de deux ouverts est encore un ouvert, 2) la réunion d’une famille arbitraire d’ouverts est un ouvert, 3) l’ensemble vide est ouvert. La similarité est frappante avec d’autres structures algébriques comme par exemple la notion de tribu (83-algèbre). Dans de telles conditions, il devient problématique de comprendre pourquoi Weyl qualifie de « non structurelle » la topologie.

36 Cf. notre note 20 de la p. 43 pour la place de la notion de structure chez Weyl.

37 Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems..., op. cit. La démonstration est faite dans le cadre de la géométrie de Minkowski dans la première conférence et l’annexe qui y est associée. Weyl étend le résultat à sa géométrie infinitésimale pure à partir de la troisième conférence.

38 Klein Felix, « Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen », op. cit.

39 Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 3e édition, op. cit., p. 15-16.

40 Cette présentation provient du fait que, dans le premier chapitre, Weyl veut introduire la géométrie vectorielle en s’appuyant sur l’intuition euclidienne du lecteur pour en abstraire les aspects purement vectoriels. Il ne faut pas pour autant renverser l’ordre logique et croire que la géométrie affine soit dépendante d’une géométrie métrique. L’axiomatique des espaces vectoriels donne précisément un sens à la notion de vecteur sans plus aucune référence aux notions métriques.

41 « Cette théorie [Il s’agit de la géométrie infinitésimale pure] dans laquelle, selon moi, un grand développement de la pensée a atteint son objectif, et dans laquelle le résultat de ce développement a trouvé sa forme finale, est une véritable géométrie, une doctrine de l’espace lui-même, et non pas simplement comme la géométrie d’Euclide et à peu près tout ce qui a été fait par ailleurs sous le nom « géométrie », une doctrine des figures possibles dans l’espace. » Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 4e édition, op. cit., p. 92.
Ici, Weyl est évasif. On ne voit pas bien que c’est le fait d’analyser directement le groupe des transformations congruentes qui fait de sa géométrie une « véritable géométrie ». Cependant, ce point est confirmé par les différentes caractérisations de l’espace comme forme que nous verrons ci-dessous et par le texte de Weyl où il appelle le groupe des transformations congruentes : « la notion véritablement fondamentale de la géométrie » (Weyl Hermann, Mathematische Analyse des Raumproblems., op. cit., p. 3).

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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