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L'idéalisme dans l'infinitésimal

 | 
Julien Bernard

Chapitre I. Le contexte intellectuel de la formation de Weyl

1. L’approche des sciences dans l’école de Göttingen

Testo integrale

1. 1 ÉLÉMENTS BIOGRAPHIQUES SUR WEYL

  • 1 La littérature biographique sur Weyl n’est pas abondante. Nous nous sommes référés principalement à (...)
  • 2 Pour : Eidgenössische Technische Hochschule.
  • 3 Weyl Hermann, « Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft », in Handbuch der Philosophie, M (...)
  • 4 Chevalley Claude et Weil André, « Hermann Weyl (1885- 1955) », op. cit.
  • 5 Institute for Advanced Study.

1Les biographes1 résument ainsi la vie de Weyl (1885-1955). Il a étudié et produit ses premières ouvres intellectuelles dans le cadre de l’université de Göttingen, en particulier sa thèse de doctorat sous la direction de Hilbert. Il obtient ensuite rapidement un poste comme privat-docent à l’école polytechnique fédérale (ETH2) de Zurich. Il commence par étudier principalement la théorie des nombres, la théorie spectrale, la géométrie de Riemann et, plus ponctuellement, la théorie des ensembles et la topologie. La période de 1917-1923 que nous allons traiter en détail est caractérisée par une focalisation de ses travaux sur la théorie de la relativité générale et les fondements des mathématiques. Cette période comporte aussi ses deux tentatives physiques ensuite avortées : l’unification géométrique de l’électromagnétisme avec la gravitation, et la continuation du programme de Mie de réduction de la matière aux champs. Cette période est suivie par la publication en 1927 d’un important texte de philosophie des sciences, la Philosophie des mathématiques et des sciences naturelles3. À partir de 1923, Weyl ne s’impliquera plus directement dans les théories physiques, au sens où il développera des outils mathématiques pour celles-ci, mais sans pour autant désormais chercher à en modifier le contenu prédictif. Il consacrera l’essentiel de ses travaux aux mathématiques, et notamment à la classification des groupes de Lie et au développement mathématique de la théorie de jauge4. Il occupera de 1929 à 1933 un poste à l’université de Göttingen mais sera amené à quitter l’Allemagne nazie pour les États-Unis, travaillant jusqu’à sa mort à l’IAS5 de Princeton.

  • 6 Sigurdsson Skuli, Weyl, Mathematics and Physics, 1900-1927, op. cit.

2Nous voulons comprendre en quoi la formation de Weyl à Göttingen a pu jouer un rôle décisif dans son approche philosophique et scientifique. C’est pourquoi, dans les prochains paragraphes, nous synthétisons certaines recherches de Sigurdsson6 et de quelques autres auteurs sur le milieu de Göttingen. Nous sélectionnerons dans ces travaux ce qui nous parait le plus pertinent au vu de notre sujet. Nous traduirons notamment des citations illustrant comment les mathématiques pures et la recherche en science physique étaient associées à Göttingen.

3De la formation de Weyl, on peut retenir les traits saillants qui suivent.

  • 7 Ibid., p. vii.

4D’une part, sur le plan des échanges intellectuels, Weyl gardera depuis sa formation un rapport constant avec le milieu des penseurs de Göttingen. Les penseurs liés à l’université de Göttingen qui ont influencé Weyl sont nombreux. Il faut penser aussi bien aux professeurs qu’il a directement rencontrés à cette époque ou dont il a même suivi les cours (notamment : David Hilbert, Hermann Minkowski et Felix Klein), aux étudiants qu’il a côtoyés (notamment : Max Born et Richard Courant), aux professeurs qui sont venus travailler à Göttingen par la suite mais avec lesquels Weyl a pu avoir des échanges intellectuels (Emmy Noether, ou Wolfgang Pauli), mais aussi aux grands penseurs de Göttingen du xixe siècle qui avaient laissé leur empreinte dans la façon dont la science y était pratiquée. Nous pensons ici avant tout à Carl Friedrich Gauss et à Bernhard Riemann. À toutes ces personnes qui ont travaillé dans le milieu de Göttingen, et qui ont constitué une part prépondérante des échanges intellectuels de Weyl, Sigurdsson ajoute certains penseurs qui ne faisaient pas partie à proprement dit de l’université de Göttingen, mais qui entretenaient avec Weyl des rapports réguliers7.

  • 8 L’appellation « réalisme de Göttingen » [Göttingen realism] se trouve dans Sigurdsson Skuli, Weyl, (...)

5Sur le plan de la méthodologie scientifique, ce contexte des penseurs de Göttingen est caractérisé par une interaction forte entre mathématiques et sciences physiques. C’était bien le milieu des mathématiciens de Göttingen et non pas celui des physiciens que Weyl fréquentait avant tout. Malgré cela, son contact avec la physique était permanent en tant que les grandes figures mathématiques de Göttingen (Hilbert en tête, mais aussi Minkowski et Klein) croyaient chacun à leur manière en une forte interaction entre la physique et les mathématiques, héritage notamment de l’approche de Gauss et de Riemann. Nous ne voulons pas dire ici que ces auteurs défendaient une position épistémologique identique concernant les rapports entre mathématiques et physique. Nous soulignons simplement que Weyl a appris à pratiquer la science dans un milieu où on considérait que les mathématiques ne pouvaient être pleinement fécondes qu’en interaction avec la science physique. De par l’importance que ces penseurs conféraient à cette interaction, on peut dégager une posture générale caractéristique du milieu de Göttingen, que nous appellerons avec Sigurdsson « réalisme de Göttingen8 ».

1. 2. MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE À GÖTTINGEN

  • 9 Sigurdsson reproduit un texte où Klein parle de l’influence, encore présente à son époque, de ces (...)

6La recherche à Göttingen s’effectuait en continuité avec les programmes scientifiques de Gauss et de son disciple Riemann qui avaient marqué la communauté mathématique du xixe siècle9. Cela se caractérisait en particulier par une association étroite entre mathématiques et science physique. Ces deux disciplines devaient se développer en corrélation l’une avec l’autre ; cette corrélation ne devant être pensée ni comme une subordination des mathématiques à la physique, ni comme la subordination réciproque. D’un côté, on pensait que la physique était une source de fécondité pour les mathématiques par les problèmes nouveaux qu’elle met à jour et les nouvelles branches mathématiques qui en découlent. D’un autre côté, la créativité mathématique n’était pas bridée par la nécessité de coller au plus proche des outils physiques recherchés. Les généralisations mathématiques hardies étaient favorablement recherchées, même si les applications physiques de ces généralisations ne venaient qu’après coup. Les mathématiques pures devaient donc conserver leur mode propre de développement même si elles devaient emprunter certains de leurs problèmes et de leurs notions aux sciences physiques.

7En ce qui concerne le dialogue avec la physique comme source de la fécondité des mathématiques, Hilbert, chef de file des mathématiciens de Göttingen, donnait le ton. Son discours prononcé en 1900 au congrès de Paris est éloquent. Il y insiste sur le rôle de la physique qui consiste à fournir incessamment de nouvelles idées et de nouveaux problèmes aux mathématiques. Le dialogue entre physique et mathématique est un dialogue entre l’expérience et la pensée pure, seul moyen de rendre cette dernière féconde :

  • 10 Hilbert David, « Mathematische Problem : Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Ko (...)

En même temps, pendant que le pouvoir créateur de la raison pure est au travail, le monde extérieur intervient, nous oblige à considérer de nouvelles questions issues de l’expérience actuelle et ouvre de nouvelles branches mathématiques. Et pendant que nous cherchons à conquérir ces nouveaux champs du savoir dans le domaine de la raison pure, nous trouvons souvent des réponses à d’anciens problèmes et donc, simultanément, nous développons d’une manière plus efficace les anciennes théories. Et il me semble que ces nombreuses et surprenantes analogies ainsi que cette apparente harmonie préétablie que le mathématicien perçoit si souvent dans les questions, idées, et méthodes des nombreuses branches de la science, ont leur origine dans ce jeu d’échanges perpétuel entre la pensée et l’expérience10.

8À la suite de ce texte, Hilbert s’insurge contre ceux qui voudraient réduire les mathématiques aux seuls domaines de l’arithmétique et de l’analyse, sous prétexte que ce seraient les seuls susceptibles d’un traitement rigoureux. Les mathématiques doivent importer des concepts issus des disciplines voisines, et cette importation commence avec la géométrie et la notion d’espace. Sans une telle ouverture sur les disciplines voisines, même le concept de nombre réel devrait être chassé des mathématiques qui se trouveraient considérablement réduites :

  • 11 Ibid., p. 255.

Une interprétation aussi obtuse conduirait bientôt à ignorer tous les concepts qui émergent de la géométrie, de la mécanique et de la physique et conduirait à un arrêt du flux de matériaux nouveaux en provenance du monde extérieur. En fait, en dernière conséquence, cela conduirait au rejet des idées du continu et des nombres irrationnels. Quels nerfs importants, et vitaux pour la science mathématique, seraient alors tranchés par l’extraction de la géométrie et de la physique mathématique11 !

  • 12 Hilbert David, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, B. G. Teubner, 1899.
  • 13 Hilbert David, « Mathematische Problem : Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Ko (...)

9Pour justifier cette étendue maximale qu’il voulait conserver aux mathématiques, Hilbert voulait appliquer la méthode axiomatique, garante de rigueur, à l’ensemble des mathématiques et de la physique mathématique. Il avait déjà accompli une partie de ce projet dans le domaine de la géométrie, dans ses fameux Fondements de la géométrie12 et appelait la communauté mathématique à étendre ce type de travail à la science physique dans l’énoncé de son 6e problème mathématique13 présenté au congrès de Paris.

10Pour défendre une telle approche interdisciplinaire, Hilbert pouvait compter sur les deux autres grandes figures mathématiques de Göttingen : Klein et Minkowski. En favorisant cette approche, ils allaient à l’encontre du mouvement croissant de spécialisation des savants. Celui-ci avait déjà atteint un point si avancé à l’époque que les mathématiciens et les physiciens avaient déjà tendance à méconnaître l’évolution de la discipline adjacente. L’unité de la science était en péril. Selon les mots de Richard Courant :

  • 14 Courant Richard et Hilbert David, Methoden der mathematischen Physik I, Berlin, Julius Springer, 1 (...)

[...] Le flot du développement scientifique menace de se disperser en de multiples embranchements qui finiraient par le réduire puis par l’assécher14.

  • 15 Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 3.
  • 16 Ibid., p. 16.

11Pour répondre à cette menace, Hilbert et Klein ouvraient à Göttingen afin de maintenir un lien étroit entre physique et mathématiques pures. De nombreux étudiants de Göttingen furent marqués par cette approche interdisciplinaire comme Weyl, Richard Courant ou Max Born15. Cette approche était absente d’autres milieux intellectuels de l’Allemagne du début du xxe siècle, par exemple celui de Berlin où les mathématiques pures étaient pratiquées pour elles-mêmes en continuité avec les pensées de Kronecker, Kummer et Weierstrass16.

1. 3. LA « POSTURE RÉALISTE » À GÖTTINGEN

  • 17 Ibid., p. 13, p. ix.
  • 18 Les références sur le réalisme de Göttingen et l’expression d’une « harmonie préétablie entre l’esp (...)

12Ce lien entre mathématiques pures et science physique à Göttingen avait pour cadre une certaine posture épistémologique que nous appellerons avec Sigurdsson « réalisme de Göttingen » et que nous allons caractériser. Précisons tout de suite qu’il s’agit moins d’une position épistémologique parfaitement déterminée, que l’on retrouverait à l’identique chez les différents membres du réseau de Göttingen, que d’une attitude caractéristique de ce milieu et qui se décline de diverses manières. Cette posture épistémologique consiste en une forte croyance en la capacité des mathématiques pures à fournir une connaissance des structures intimes du réel17. De fait, on trouve de nombreux témoignages de penseurs de l’époque18, en particulier (mais pas seulement) de la part de membres du réseau de Göttingen, selon lesquels leurs recherches étaient guidées par une telle croyance.

  • 19 La position du réalisme platonicien, tel que nous venons de le décrire, n’allait pas de soi à Götti (...)

13Bien que les mathématiques soient un constituant essentiel de cette posture réaliste, il n’est pas évident que l’on puisse l’identifier avec ce que nous appelons de nos jours « un réalisme (ou platonisme) mathématique ». Le réalisme mathématique est une position qui consiste à expliquer la fécondité des mathématiques par la référence à un univers mathématique, indépendant à la fois de notre esprit et du monde sensible, que le mathématicien ne ferait que découvrir19. En fait, le réalisme de Göttingen ne concerne pas les mathématiques de façon isolée mais dans leur rapport à la nature. Il s’agit d’une croyance dans le fait que le développement des mathématiques, à partir de considérations qui leur sont propres, a un rôle essentiel à jouer pour atteindre une connaissance des structures intime de la réalité physique.

14Cette croyance ne se résume pas à la position, triviale depuis plusieurs siècles, selon laquelle la physique doit s’écrire dans un langage mathématique. Au-delà de cela, depuis l’avènement de la physique classique, on observe une progression constante du rôle joué par les mathématiques les plus abstraites et sophistiquées dans la construction du savoir physique. Cette progression s’accélère de façon brutale avec la réussite des deux théories de la relativité (1905 puis 1915) et se confirme avec la mécanique quantique, une décennie plus tard. Les mathématiques ne se contentent plus d’apporter la précision à la description des systèmes physiques en introduisant la notion de quantité, et d’exprimer les lois de la physique par le simple biais de fonctions réelles élémentaires reliant les grandeurs physiques. Les mathématiques permettent désormais, en outre, de découvrir des relations qualitatives insoupçonnées entre les diverses grandeurs physiques par un travail de mise en évidence de structures abstraites.

  • 20 En employant ici le terme de « structure », nous ne sous-entendons pas que les mathématiciens de ce (...)

15Prenant acte de cette nouvelle place des mathématiques dans l’économie du savoir physique, les penseurs de Göttingen contemporains de Weyl minimisaient le rôle de l’expérimentation en physique et favorisaient les recherches mathématiques pures les plus abstraites. Il s’agissait de produire des structures20 mathématiques toujours plus générales et parmi lesquelles il s’agissait ensuite de déterminer celles qui se trouvaient instanciées réellement dans la nature. Ces nouvelles constructions mathématiques générales devaient permettre d’unifier le domaine des sciences exactes (mathématiques pures, géométrie, science physique).

16Sur le plan de la recherche de ces généralisations mathématiques unificatrices, les penseurs de Göttingen suivaient la voie que leur avait tracée leur illustre prédécesseur Riemann au milieu du xixe siècle. En élargissant le cadre de la géométrie par l’introduction de la notion d’une variété munie d’une forme quadratique différentielle (notion actuelle d’« espace de Riemann »), le mathématicien allemand avait non seulement contribué à une union plus étroite de la géométrie avec l’analyse mathématique, mais avait donné également la base sur laquelle pouvaient être réunies la géométrie et la science physique. Riemann avait déjà l’intuition que sa notion d’espace pouvait ouvrer à une telle unification, même s’il faudra attendre la relativité générale pour voir véritablement cette idée à l’ouvre. C’est du moins l’interprétation que retient Weyl au moment où il construit sa propre conception de l’espace-temps.

  • 21 Les théorèmes de Noether sont l’objet d’une littérature assez importante. On peut se référer à l’ar (...)

17On pourrait multiplier les exemples de mathématiciens de Göttingen qui, dans les années 1900-1925, recherchaient de nouveaux théorèmes mathématiques ou de nouvelles structures mathématiques dans le but de révéler certains liens insoupçonnés entre les diverses branches de la science physique, ou entre la physique et la géométrie. Nous renvoyons le lecteur au travail de Sigurdsson pour de nombreux exemples. Extrayons simplement de son travail deux cas exemplaires. D’abord celui d’Emmy Noether, mathématicienne venue à Göttingen en 1915 à la demande de Hilbert et Klein, qui mettait à profit son savoir algébrique pour produire une série de théorèmes mathématiques. Ces théorèmes reliaient les propriétés de symétrie des lagrangiens (ou des hamiltoniens) des théories physiques, à l’existence de quantités se conservant dans le temps. Ainsi, bien que ces théorèmes soient de nature mathématique, ils avaient une utilisation physique immédiate. On pouvait déduire d’une symétrie physique observée, l’existence d’une grandeur physique se conservant dans le temps21. En donnant ainsi naissance à une méthode mathématique applicable pour découvrir plus aisément de nouvelles lois physiques, Noether contribuait à montrer la fertilité de la posture « réaliste » de Göttingen : les mathématiques, par leur mouvement propre, pouvaient bien être un moteur du développement de la science physique.

  • 22 Outre le texte de Sigurdsson, que nous suivons pour l’essentiel ici, on trouve une analyse similair (...)
  • 23 Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », in Sitzungsberichtrichte des Königlichen Preu?isch (...)
  • 24 Weyl Hermann, « Reine Infinitesimalgeometrie », in Mathematischtische Zeitschrift, n o 2, 1918, p. (...)

18Développons un second exemple au sein même des travaux sur l’espace-temps de Weyl. Il s’agit précisément du travail de Weyl sur la géométrie infinitésimale sur laquelle portera notre dernier chapitre22. Nous ne rentrons bien sûr pas dans les détails pour le moment, puisque le but de ce paragraphe est simplement de montrer comment l’implication de Weyl en physique s’inscrivait dans le même type de posture que celle qu’on trouvait chez les autres penseurs de Göttingen. En 1918, Weyl publie Gravitation et électricité23, un texte où il généralise la notion d’espace de Riemann et utilise sa nouvelle géométrie pour tenter d’améliorer la théorie de la relativité générale. En effet, il propose de relier le champ électromagnétique à la gravitation d’une manière plus harmonieuse que ne l’avait fait Einstein. La nouvelle structure mathématique qu’il construit est celle connue désormais sous le nom d’« espace de Weyl ». Il en développera les soubassements géométriques dans un autre texte, La Géométrie infinitésimale pure24, publié la même année. Nous reviendrons en détail, dans notre dernier chapitre, sur cette structure géométrique et son apport physique. Nous nous intéressons pour l’instant seulement aux motifs qui ont poussé Weyl à proposer ce nouvel objet géométrique et le type d’arguments qu’il invoque pour justifier devant Einstein l’interprétation physique de son travail.

  • 25 Dans Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900- 1927, op. cit., p. 163-171, l’auteur an (...)

19On observe que Weyl est guidé non pas par de nouveaux résultats expérimentaux sur les rapports entre électromagnétisme et gravitation, mais bien par des motifs mathématiques et philosophiques. En effet, la notion d’espace de Riemann doit être généralisée, selon Weyl, car elle contient des éléments disparates. Cette notion manque d’harmonie. En effet, dans un espace de Riemann, la notion de direction d’un vecteur est une notion locale, dans le sens où on ne peut comparer les directions des vecteurs que si ces derniers sont rattachés au même point de l’espace. Au contraire, la notion de longueur (norme) d’un vecteur y est une notion non locale. Deux vecteurs peuvent toujours être comparés du point de vue de leur longueur, quelle que soit la distance entre les points auxquels ils sont rattachés. Du point de vue d’une « géométrie infinitésimale », qui ne donne de sens immédiat qu’aux relations entre structures infiniment proches, il y a une impureté dans la notion d’espace de Riemann. Weyl veut y mettre fin. Le type d’espace qu’il propose (espace de Weyl) donne un sens local (infinitésimal) aussi bien à la notion de longueur qu’à la notion de direction d’un vecteur. On voit ainsi que cette généralisation, bien qu’elle permette ensuite une nouvelle théorie physique, est motivée au départ par une réflexion a priori. Cette motivation est la recherche d’une notion de métrique à la fois simple, générale et harmonieuse, répondant à l’idéal d’une géométrie purement infinitésimale25.

20Weyl glisse insensiblement de ces exigences proprement mathématiques à un engagement métaphysique en faveur d’une réalité physique elle-même simple, unifiée et harmonieuse :

  • 26 Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », op. cit., in Weyl Hermann, Gesammelte Abhandlungen(...)

Nous devons souligner que la géométrie qui a été développée ici est, d’un point de vue mathématique, la vraie géométrie de contact [Nahegeometrie]. Il serait étrange qu’une autre géométrie de contact, partielle et inconsistante, soit réalisée dans la Nature, associée à un champ électromagnétique qui y serait seulement accolé [ankleben]. Mais, il se pourrait bien sûr que toute ma conception générale ne soit qu’une mauvaise piste. C’est toujours possible dans le cas de la spéculation pure. La comparaison avec l’expérience est évidemment requise26.

  • 27 Dans un hommage à Hilbert écrit dans les années 1940, Weyl décrit l’état d’esprit des proches de Hi (...)

21Par les exemples des travaux de Noether sur les invariants, et de Weyl sur la géométrie infinitésimale pure, nous avons donné à voir concrètement l’attitude caractéristique des mathématiciens de Göttingen. Elle consiste à vouloir prendre part à l’évolution de la connaissance physique en développant, de façon a priori, de nouveaux outils mathématiques, ou de nouvelles structures mathématiques générales susceptibles d’être instanciées dans le monde et d’unifier certaines branches de la physique. Cette foi en la capacité de la raison mathématique à saisir d’une manière unifiée les structures de la réalité physique était grande. Si bien que Hilbert, et certains de ses proches, croyaient que l’époque était proche où les mathématiques pures fourniraient une ultime structure abstraite capable d’unifier en elle l’ensemble des lois de la nature27.

22La fin du texte cité à la page précédente, montre cependant que Weyl est dans l’embarras face à sa propre approche spéculative. L’embarras vient du fait que, malgré leur croyance dans le fait que les démarches propres aux mathématiques pures étaient sources d’un authentique savoir physique, les penseurs de Göttingen étaient évidemment conscients de la différence de statut épistémologique entre ces deux disciplines. Dans le cas de la physique, Weyl se trouve obligé de reconnaître que « l’expérience est évidemment requise ». Si certaines structures mathématiques peuvent être en adéquation avec le réel physique, cela n’est pas parce que les énoncés mathématiques ont par euxmêmes un statut physique. Même si les mathématiques importent des concepts et des problèmes de la physique, leurs énoncés ne sont pas induits de l’expérience. Les mathématiques restent une discipline a priori constituée de constructions de l’esprit. Elles se développent en suivant des critères qui leur sont propres : recherches de généralisations des théorèmes par la construction de structures mathématiques abstraites plus générales, recherche d’unification entre divers résultats ou branches mathématiques, critères de simplicité, d’harmonie, etc.

  • 28 Weyl commence par citer le fameux texte issu de la lecture d’habilitation du mathématicien alleman (...)

23Comment expliquer que, malgré les principes et les statuts épistémologiques différents qui sont les leurs, mathématiques et physique coopèrent d’une façon inattendue à la découverte des structures objectives de la réalité ? Cette adéquation entre la sphère mathématique et la sphère physique est d’autant plus étonnante que les mathématiques anticipent souvent sur la connaissance physique. Plus précisément, une structure mathématique est découverte indépendamment de tout rapport à l’expérience, en suivant des motifs purement mathématiques tels que ceux que nous avons énumérés à la fin du précédent paragraphe. On découvre seulement ensuite que cette structure se trouve instanciée dans la nature et qu’elle nous en révèle un aspect fondamental. C’est bien à une telle anticipation que nous avons eu affaire dans l’exemple donné ci-dessus de la notion d’espace de Riemann, découverte par le mathématicien éponyme plus de soixante ans avant que l’on découvre qu’elle est le cadre naturel pour exprimer les rapports entre gravitation, inertie et géométrie. Weyl insiste sur cette anticipation qui est d’autant plus frappante que Riemann faisait part de ses attentes envers une nouvelle théorie physique qui viendrait compléter son travail mathématique. Cela fait de lui, selon les mots de Weyl un prophète de la théorie de la relativité générale28.

24Weyl, préférait parfois illustrer ce pouvoir anticipateur de la recherche mathématique sur les découvertes physiques, par l’exemple des travaux de Hilbert sur les opérateurs linéaires symétriques et leurs valeurs propres :

  • 29 Dans Weyl Hermann, « A Half century of Mathematics », in The American Mathematical Monthly, 1951, p (...)

C’est alors qu’est advenu un de ces événements qui ne sauraient être prévus même par l’imagination la plus débridée, un de ceux qui pourraient nous inciter à croire en une harmonie préétablie entre la nature physique et l’esprit mathématique : vingt ans après les recherches de Hilbert, la mécanique quantique a trouvé que les observables d’un système physique sont représentés par les opérateurs linéaires symétriques d’un espace de Hilbert ; et que les valeurs propres et vecteurs propres de cet opérateur (qui représente l’énergie) sont les niveaux d’énergie et les états quantiques stationnaires du système qui leur correspondent. Évidemment, cette interprétation en mécanique quantique a accru l’intérêt à l’égard de cette théorie et a conduit à une étude plus scrupuleuse de celle-ci, aboutissant à de nombreuses simplifications et extensions29.

  • 30 On peut se demander si Einstein lui-même n’a pas adopté ce type d’attitude pour produire ses théori (...)

25C’est en référence à de telles anticipations des mathématiques pures sur la réalité physique que les mathématiciens de Göttingen adoptaient la « posture réaliste » que nous avons illustrée dans les précédents paragraphes. Cela explique le type d’attitude qu’adopte Weyl dans La Géométrie infinitésimale pure ou dans Gravitation et électricité, qui consiste à développer une nouvelle théorie de l’espace d’une façon purement spéculative, et de ne chercher qu’après coup, une validation auprès de l’expérience30. Cette approche est caractéristique de penseurs comme Weyl, Hilbert ou Minkowski qui, pour le dire rapidement, étaient des mathématiciens intéressés aux problèmes physiques et non pas des physiciens qui ne se seraient intéressés aux mathématiques que pour des raisons pragmatiques, afin d’y trouver de simples outils efficaces.

26Notre travail à suivre sur la philosophie de l’espace-temps de Weyl montrera cependant que ce n’est pas uniquement en tant que mathématicien que Weyl croit en une possibilité de contribuer à l’avancée de la physique par la spéculation mais aussi en tant que philosophe. Nous verrons en fait que les mathématiques sont susceptibles d’être le mode d’expression de considérations a priori qui ont une portée épistémique, fondatrice de l’objectivité du savoir physique.

  • 31 Weyl termine la quatrième édition d’Espace, Temps, Matière en décrivant ce que devrait ressentir t (...)
  • 32 La notion d’« harmonie préétablie » a été introduite par Leibniz pour répondre au problème de l’uni (...)
  • 33 Sigurdsson donne les références qui suivent pour chaque auteur. Pour Weyl : le texte cité deux page (...)
  • 34 Pyenson Lewis, « Relativity in Late Wilhelmian Germany : The Appeal to a Preestablished Harmony be (...)

27Si l’anticipation des mathématiques sur les découvertes physiques explique la « posture réaliste » des penseurs de Göttingen, elle est cependant difficilement justifiable épistémolo giquement. Elle est la plupart du temps simplement constatée. Les auteurs de cette époque exprimaient de différentes façons ce constat. Certains auteurs attribuaient à la nature elle-même les caractéristiques qui guident le travail du mathématicien pur. La nature est harmonieuse, simple et unifiée ; c’est pourquoi le mathématicien peut anticiper ses structures. Parfois, ces caractères d’harmonie, de simplicité et d’unité, que nous aurions tendance spontanément à considérer comme des réquisits de notre esprit, étaient en quelque sorte hypostasiés en renvoyant à l’idée d’un Dieu ordonnateur ou à l’idée d’un « plan » du Cosmos. Cette façon de s’exprimer est particulièrement claire chez Einstein, dans sa période de maturité, et de façon plus anecdotique chez Weyl31. Enfin, une des façons les plus courantes à cette époque, pour exprimer ce caractère d’anticipation des mathématiques sur la réalité physique, consistait à utiliser l’expression, d’inspiration leibnizienne32, d’une « harmonie préétablie entre la nature physique et l’esprit mathématique ». On trouve des expressions similaires aussi bien chez des mathématiciens33 comme Weyl, Minkowski ou Hilbert que chez des physiciens comme Einstein ou Planck. Nous renvoyons à l’article de Lewis Pyenson pour une étude approfondie des usages de cette expression dans l’Allemagne de cette époque34.

28Toutes ces façons de s’exprimer ne doivent cependant pas nous tromper. Qualifier la nature d’« harmonieuse », de « simple », d’« unifiée », affirmer qu’elle se déroule selon un plan organisateur, voire un plan divin, ou encore parler d’une harmonie préétablie entre l’esprit mathématique et la nature physique ne résout pas le problème. Ce n’est qu’une manière de désigner le véritable problème épistémologique du pouvoir anticipateur des mathématiques pures sur la réalité physique.

29Retenons avant tout que le cadre intellectuel dans lequel s’est développé l’esprit de Weyl était propice à la réflexion sur les rapports entre mathématiques et physique même si cette harmonie préétablie constatée entre la sphère mathématique et la nature physique, qui soutenait la « posture réaliste », c’est-à-dire le type d’approche hautement spéculative de Göttingen, était en attente d’une véritable justification épistémologique.

1.4. LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ ET L’ÉCOLE DE GÖTTINGEN

30Disons quelques mots sur la façon dont la théorie de la relativité avait été reçue par le cercle des penseurs de Göttingen. Nous allons voir que ces auteurs avaient considéré cette théorie comme le terrain le plus propice à l’application de leur approche spéculative de la physique.

  • 35 Minkowski Hermann, « Raum und Zeit », in Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, n o (...)
  • 36 Le principal texte de Hilbert sur ce thème est : Hilbert David, « Die Grundlagen der physik », in G (...)
  • 37 Sigurdsson évoque les travaux de : Ervin Finlay Freundlich, Karl Schwarzschild, Arnold Sommerfeld, (...)

31On remarque dans les années 1905-1925 une confluence d’intérêts remarquable à Göttingen autour de la théorie de la relativité. Hermann Minkowski avait fortement contribué à éveiller cet engouement pour la théorie par son interprétation géométrique de la théorie de la relativité restreinte dans sa très célèbre conférence de 190835. Quant à la relativité générale, non seulement Hilbert, Klein et Weyl y ont travaillé de façon sérieuse36, mais on pourrait multiplier les exemples de savants à Göttingen qui ont apporté une contribution importante37. Nous pensons avec Sigurdsson que l’histoire des sciences nous donnerait sans doute peu d’exemples de milieu intellectuel et d’époque dans lesquels autant de chercheurs soient au travail sur un même sujet.

32Cette confluence d’intérêts peut s’expliquer sans doute parce que, d’une part, la relativité générale était le cadre idéal pour mettre en application la posture réaliste dont nous avons traité au paragraphe précédent et parce que, d’autre part, cette théorie se place en continuité directe avec le programme de géométrisation de la physique initié par Riemann à Göttingen. Développons successivement ces deux explications.

33Premièrement, dans aucun domaine de la physique plus que dans celui de l’étude de l’espace-temps dans ses relations aux forces fondamentales, les mathématiques ne semblent capturer certaines structures réelles du monde. Cela contraste avec des domaines moins fondamentaux comme l’hydrodynamique, la thermodynamique ou la mécanique du solide, où les mathématiques ne semblent fournir que de simples modèles simplificateurs, des outils pour une approximation lointaine de la réalité.

  • 38 Einstein Albert, « Elektrodynamik bewegter Körper », in Annalen der Physik, n o 17, 1905, p. 891-9 (...)
  • 39 Klein Felix , « Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen », in Mathematisc (...)

34Deuxièmement, en plus d’être un domaine de la physique efficacement mathématisé, la théorie de la relativité intéressait les membres du cercle de Göttingen en tant qu’elle était un premier pas vers une unification de la physique par le biais de la géométrie. L’approche d’Einstein dans l’article qui a donné naissance à la théorie de la relativité restreinte38 n’était pas d’emblée géométrique. Il est remarquable que l’intérêt de la communauté de Göttingen pour cette théorie coïncide avec la conférence de Minkowski, « Espace et Temps », qui a introduit l’interprétation géométrique de cette théorie et lui a donné une forme davantage mathématisée. En ce qui concerne la théorie de la relativité générale, celle-ci est d’emblée géométrique. Elle est une confirmation éclatante de l’idée de Riemann selon laquelle la métrique de l’espace est intrinsèquement partiellement indéterminée, et que le réel physique contenu dans l’espace doit compléter sa détermination. Si les mathématiques portent bien en elles la capacité à unifier la physique, comme le souhaitaient les penseurs de Göttingen, c’était sans aucun doute par le biais de la géométrie et de la notion d’espace. Cette idée était non seulement en continuité avec la pensée de Riemann mais elle permettait aussi à Klein de mettre à l’épreuve les thèses qu’il avait avancées avec Sophus Lie sur la nature de la géométrie dans son fameux programme d’Erlangen39. Enfin, la théorie de la relativité générale, après la restreinte, renforçait l’importance de la considération des invariants physiques vis-à-vis de certains groupes de transformations. Cet aspect de la théorie permettait aussi aux algébristes, comme Noether et ses collaborateurs, d’apporter leur contribution à ce travail de la communauté de Göttingen sur la relativité.

Note

1 La littérature biographique sur Weyl n’est pas abondante. Nous nous sommes référés principalement à :
- Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, Thèse, université de Harvard, janvier 1991, p. 307.
- Chevalley Claude et Weil André, « Hermann Weyl (1885- 1955) », in L’Enseignement mathématique, n o (2) 3, p. 157-187.
- Scholz Erhard, « Hermann Weyl’s contribution to geometry 1917-1923 », in The Intersection of History and Mathematics, Joseph W. Dauben, Chikara Sasaki et Mitsuo Sugiura (dir.), Basel, Birkhäuser, 1994, p. 203-230.

2 Pour : Eidgenössische Technische Hochschule.

3 Weyl Hermann, « Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft », in Handbuch der Philosophie, Münich et Berlin, R. Oldenbourg, 1927.

4 Chevalley Claude et Weil André, « Hermann Weyl (1885- 1955) », op. cit.

5 Institute for Advanced Study.

6 Sigurdsson Skuli, Weyl, Mathematics and Physics, 1900-1927, op. cit.

7 Ibid., p. vii.

8 L’appellation « réalisme de Göttingen » [Göttingen realism] se trouve dans Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 17.
L’idée qu’une forme de pensée réaliste se trouve répandue à cette époque dans le milieu de Göttingen et même au-delà dans le milieu culturel allemand est un leitmotiv de la thèse de Sigurdsson. Il trouve une application de cette posture réaliste chez des auteurs aussi variés que les mathématiciens et physiciens de Göttingen, Planck, Einstein, ou encore le philosophe Husserl. La profusion des exemples qu’il donne tient au fait qu’il ne s’intéresse pas à une position philosophique bien déterminée mais à une attitude générale dans la recherche scientifique qui repose sur la croyance en un monde caractérisé par une vérité unique répondant à des critères universels comme la simplicité, l’unité et l’harmonie ; critères qui correspondent par ailleurs à ceux qui guident le développement interne des mathématiques. La conséquence de cette croyance est une méthodologie scientifique qui consiste à vouloir faire avancer les théories physiques par un travail spéculatif de nature mathématique.
Selon Sigurdsson, cette attitude « réaliste » très générale aurait toujours indirectement rapport, en philosophie, avec une forme de platonisme. Nous sommes réservés sur ce point.
De plus, Sigurdsson s’intéresse à certains aspects « motivationnels » de cette attitude qui ont trait à une psychologie de la recherche scientifique liée à un contexte historique précis (dans ce cas : l’Allemagne de la République de Weimar). Dans notre ouvrage, nous ne nous préoccuperons pas de ces aspects psychologiques et sociologiques. Nous nous limiterons plutôt à la question proprement épistémologique qui vise à comprendre comment on peut légitimer une méthodologie du travail scientifique qui prétend que l’on peut faire progresser le savoir physique par le développement pur des mathématiques.

9 Sigurdsson reproduit un texte où Klein parle de l’influence, encore présente à son époque, de ces grands mathématiciens du xixe siècle. Les références sont : Klein Felix, « The Present State of Mathematics » [1893], in Gesammelte mathematische Abhandlungen, 1922, vol. II, p. 613-615 et Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900- 1927, op. cit., p. viii.

10 Hilbert David, « Mathematische Problem : Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 », in Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klass, Vandenhoeck & Ruprecht, n° 3, 1900, p. 255.

11 Ibid., p. 255.

12 Hilbert David, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, B. G. Teubner, 1899.

13 Hilbert David, « Mathematische Problem : Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 », op. cit.

14 Courant Richard et Hilbert David, Methoden der mathematischen Physik I, Berlin, Julius Springer, 1924, Préface à la première édition, p. vi.

15 Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 3.

16 Ibid., p. 16.

17 Ibid., p. 13, p. ix.

18 Les références sur le réalisme de Göttingen et l’expression d’une « harmonie préétablie entre l’esprit mathématique et le monde physique » se trouvent dans Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit. :
- références générales : p. ix-x, xviii, 2-3, 88-89, 175-176.
- chez Minkowski : p. 9-13, 16.
- chez Klein : p. 17-18.
- chez Einstein : p. 71, 98-100.
- chez Planck : p. 13.
- chez Born : p. 115-117.
- chez Hilbert : p. 22, 70, 131-132.
- chez Weyl : p. 168-169.
- sur le platonisme de Husserl : p. 200-201.

19 La position du réalisme platonicien, tel que nous venons de le décrire, n’allait pas de soi à Göttingen. Il suffit pour le voir de considérer, par exemple, les mathématiques développées par Weyl dans Le Continu, ou bien le point de vue finitiste que Hilbert adopte dans sa méta-mathématique lors de ses tentatives de fondation des mathématiques. Rappelons que le terme « réalisme » est un des termes les plus équivoques de la langue philosophique et doit toujours être accompagné d’une précision de sens. Nous verrons en particulier que, même si la pensée de Weyl trouve sa place dans cette posture globale typique de Göttingen et qu’on a choisi d’étiqueter par le terme de « réalisme » pour conserver le terme utilisé par Sigurdsson, sa position épistémologique en géométrie comme en mathématiques pures n’a rien d’un réalisme au sens philosophique strict. Cf. notre note 8 p. 37 pour l’introduction de ce terme par Sigurdsson.

20 En employant ici le terme de « structure », nous ne sous-entendons pas que les mathématiciens de ce milieu, ou plus généralement de cette époque, soutiendraient une position « structuraliste » sur les mathématiques comme le feront plus tard des groupes de mathématiciens tels que celui de Nicolas Bourbaki en France. Les mathématiciens de cette époque ne pensaient pas encore que la notion de « structure » pouvait désigner l’essence même de ce qu’est un objet mathématique même si c’était un aspect qui prenait une place de plus en plus conséquente. On voit déjà, chez Weyl en particulier, une importance accordée aux aspects structuraux des constructions mathématiques. Les nombreux passages où il expose la méthode axiomatique et ses bienfaits en sont une preuve. Cf. Weyl Hermann, « Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft », op. cit., p. 18-33 et Weyl Hermann, « Le Continu », in Weyl Hermann, Le Continu et autres écrits, J. Largeault (trad.), Paris, Vrin, 1994, p. 10-12. Les occurrences du terme allemand « Struktur » dans Weyl Hermann, Espace-Temps-Matière, 3 e édition, op. cit. renvoient pour la plupart à des notions physiques (structures internes d’un système physique, structures intimes de la matière, etc.) On relève cependant au moins deux utilisations mathématiques de ce terme : une première p. 17 pour parler de la « structure mathématique de l’espace » [mathematischen Struktur des Raumes] et p. 130 pour parler de la « structure métrique » [metrische Struktur].
Dans le reste de notre travail, nous devrons toujours prendre le terme « structure » dans ce sens large, i. e. sans préjugé sur une doctrine de type structuraliste et encore moins en pensant à l’idée formaliste d’une manipulation quasi aveugle de symboles, aux antipodes de la pensée de Weyl. Sur cette question du sens moderne précis du mot « structure » en mathématique par opposition à son utilisation plus lâche, voir : Corry Leo, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Birkäuser, 1996.

21 Les théorèmes de Noether sont l’objet d’une littérature assez importante. On peut se référer à l’article original de Noether. Il a cependant le défaut, pour une première approche, de se placer dans un cadre extrêmement général (et donc difficile à appréhender). En effet, il prend en compte un « lagrangien » dépendant de paramètres généralisés, et de toutes leurs dérivées partielles d’ordre 1 à n. Cf. Noether Emmy, « Invariante Variationsproblem », in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1918, p. 235-257.

22 Outre le texte de Sigurdsson, que nous suivons pour l’essentiel ici, on trouve une analyse similaire dans Ryckman Thomas, The Reign of Relativity : Philosophy in Physics 1915-1925, Oxford, Oxford University Press, 2005, p. 11. Ryckman explique la façon dont le travail de Weyl peut être pensé comme une illustration de l’approche consistant à perfectionner la théorie mathématique par des considérations a priori pour chercher après coup une interprétation physique adéquate aux nouvelles structures introduites. Il rajoute de plus que ce type d’approche a continué à faire des émules après les travaux de Weyl. Ryckman cite un appel de Paul Dirac à l’utilisation de cette méthode. Il remarque de plus que l’approche de Weyl contient en germe des éléments pour une interprétation non réaliste (au sens philosophique strict cette fois) de cette possibilité pour les mathématiques d’anticiper sur l’évolution de la physique.

23 Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », in Sitzungsberichtrichte des Königlichen Preu?ischen Akademie des Wissenschaften zu Berlin, 1918, p. 465-480.

24 Weyl Hermann, « Reine Infinitesimalgeometrie », in Mathematischtische Zeitschrift, n o 2, 1918, p. 381-411.

25 Dans Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900- 1927, op. cit., p. 163-171, l’auteur analyse la correspondance entre Einstein et Weyl concernant la généralisation de la théorie de la relativité générale que ce dernier propose, en liaison avec sa nouvelle géométrie infinitésimale. Sigurdsson montre bien la différence de perspective entre Einstein et Weyl. Alors qu’Einstein insiste avant tout sur des critères physiques ayant trait au comportement des règles et horloges, Weyl insiste plutôt sur des critères a priori comme l’harmonie et la cohérence du système qu’il propose. Sigurdsson interprète la position de Weyl de façon réaliste comme étant justifiée par un appel à une réalité transcendante simple et harmonieuse, interprétation permise par les phrases provocatrices que Weyl lance à Einstein, par exemple lorsqu’il lui affirme que, si sa géométrie infinitésimale n’était pas réalisée dans la nature, cela montrerait une « inconséquence mathématique dans la pensée divine ». Ibid., p. 170.
Cette interprétation doit être nuancée. Au-delà de ces phrases provocatrices, les critères invoqués par Weyl sont ceux qui caractérisent le développement usuel des mathématiques (comme l’indique l’expression « inconséquence mathématique »). Or, prêter un point de vue réaliste à Weyl en mathématiques est problématique. De plus, au-delà de ces critères généraux de « cohérence » et d’« harmonie », l’idéal d’une géométrie infinitésimale pure est imposé chez Weyl par des motifs extra-mathématiques qui n’ont cependant rien d’un appel à une transcendance. Il s’agit d’une analyse épistémologique du sujet connaissant comme un être essentiellement ponctuel, localisé dans le monde, et d’une tentative d’exprimer mathématiquement l’idée du principe physique de l’action par contact.
Ainsi, il nous semble justifié d’opposer la perspective de Weyl à celle d’Einstein, dans la mesure où le travail de Weyl n’est justifié par aucune nouvelle analyse des notions physiques mais plutôt par des considérations a priori. En revanche, nous nous démarquons de l’analyse de Sigurdsson en ne voyant pas dans ces considérations a priori un appel à une transcendance, mais plutôt des motifs épistémologiques (analyse de la place du sujet dans l’élaboration de la géométrie) et ontologiques (au sens d’une ontologie de la physique où la nature des entités est exprimée par l’idée d’un champ dynamique dont les interactions se propagent à vitesse finie). Cette dernière composante de sa réflexion n’est bien sûr pas exempte de tout rapport à l’expérience, comprise dans son sens le plus général, comprenant l’histoire de la physique et l’imposition progressive de cette ontologie des champs.
Il faut donc prendre avec précaution cette idée d’une préséance des mathématiques sur la physique dans le milieu de Göttingen, au moins quand on l’applique à Weyl. Cette idée n’est qu’un idéal jamais complètement réalisé.

26 Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », op. cit., in Weyl Hermann, Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer-Verlag, 1968, p. 42.

27 Dans un hommage à Hilbert écrit dans les années 1940, Weyl décrit l’état d’esprit des proches de Hilbert dans les années de l’après-guerre : « Les espoirs dans le cercle de Hilbert étaient au plus haut à cette période. Le rêve d’une loi universelle rendant compte simultanément de la structure du Cosmos, pris comme un tout, et de toutes les particules atomiques semblait sur le point d’être accompli. » Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 88. Le texte est tiré de Weyl Hermann, « Hilbert and his mathematical work », in Bulletin of the American Mathematical Society, n° 50, 1944, p. 612-654. Il est reproduit dans : Weyl Hermann, Gesammelte Abhandlungen, op. cit., vol. IV, p. 130-172.
On trouve plusieurs phrases dans les textes de Weyl qui montrent qu’il avait eu pour quelque temps l’espoir d’aboutir rapidement à une telle théorie unificatrice à l’aide sa géométrie infinitésimale pure. Par exemple : « Je suis assez hardi pour croire que la totalité des phénomènes physiques peut être dérivée d’une unique loi universelle concernant le monde [au sens technique de l’espace-temps], de la plus haute simplicité mathématique. [...] Dans cette note [Il parle de « Reine Inifinitesimalgeometrie »], je voudrais développer cette géométrie infinitésimale pure qui, j’en suis convaincu, comprend le monde physique comme un cas particulier. » Weyl Hermann, « Gravitation und Elektrizität », op. cit., p. 466.

28 Weyl commence par citer le fameux texte issu de la lecture d’habilitation du mathématicien allemand (cf. plus bas p. 182) : Riemann Bernhard, « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Puis il ajoute : « Dans les derniers mots [de sa citation], Riemann affirme clairement qu’il laisse le prolongement [de ses réflexions] entre les mains d’un continuateur qui aura un génie physique comparable à son génie mathématique. Après 70 ans, sa prophétie a été réalisée par Einstein. » Weyl Hermann, Raum-Zeit-Materie, 1re éd., op. cit., p. 91.

29 Dans Weyl Hermann, « A Half century of Mathematics », in The American Mathematical Monthly, 1951, p. 523-553. À partir de Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 8.

30 On peut se demander si Einstein lui-même n’a pas adopté ce type d’attitude pour produire ses théories de la relativité. Ce n’est pas le lieu pour traiter de ce problème en détail. C’est en tout cas un fait que le travail d’Einstein était hautement spéculatif et n’avait été motivé par aucune découverte expérimentale originale. Il faut cependant noter que le travail spéculatif d’Einstein était centré aussi bien sur des considérations physiques qu’il élaborait grâce à des expériences de pensée (travail sur la notion de mesure, de simultanéité.) que sur des motifs spécifiquement mathématique (recherche d’harmonie, de symétrie, d’unification par généralisation…).
Hilbert verra dans le travail accompli par Einstein dans sa théorie de la relativité générale l’exemple le plus éclatant de la fertilité de la méthode spéculative : « Selon mon opinion, la découverte par Einstein des équations de la gravitation représente le style de pensée pure (Gedanken-Art) le plus puissant de l’esprit humain. Mais le mathématicien qui, bien souvent, note déjà avec étonnement l’harmonie préétablie entre ses pensées et la réalité, est presque obligé d’adopter l’idée (Vorstellung) que la nature est arrangée de telle sorte que, pour la comprendre, la spéculation mathématique la plus profonde est requise. » Hilbert David, « Natur und mathematisches Erkennen », exposé donné à Copenhague en mars 1921, in Nachlaß Hilbert, Göttingen, Niedersäcshische Staats- und Universitätsbibliothek, p. 15-16. À partir de Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 70.

31 Weyl termine la quatrième édition d’Espace, Temps, Matière en décrivant ce que devrait ressentir tout observateur avisé des avancées récentes de la science : « Il [Celui qui a parcouru l’histoire du concept d’espace depuis Euclide jusqu’au champ métrique dynamique et à la géométrie infinitésimale] devrait être pénétré par la certitude que notre raison n’est pas seulement une échappatoire humaine, trop humaine, devant la lutte pour l’existence, mais qu’elle se hisse au niveau de la raison du monde [Weltvernunft], en dépit de toutes les erreurs et de toutes les opacités, et [par la certitude] que la conscience de chacun d’entre-nous en vient à être le lieu où l’unique lumière et vie de la Vérité se saisit elle-même à travers le phénomène. Quelques-uns des accords fondamentaux de cette harmonie des sphères, auxquels rêvaient Pythagore et Kepler, sont parvenus à nos oreilles. » Weyl Hermamannmann, Raum-Zeit-Materie, 3 e éd., op. cit., p. 262.
Derrière le lyrisme du texte de Weyl, on perçoit le rationalisme qui l’anime, rationalisme qu’il exprime par la référence à Pythagore et Kepler. Le vocabulaire employé fait ici de la raison un être transcendant la condition humaine, une « raison du monde ». Pris au pied de la lettre, ce texte semble expliquer l’adéquation de la démarche scientifique par une explication réaliste naïve, une simple corrélation entre la raison humaine et la raison du monde.

32 La notion d’« harmonie préétablie » a été introduite par Leibniz pour répondre au problème de l’union de l’âme et du corps. Il illustre souvent cette idée par l’image de deux horloges similaires qui fonctionnent de concert sans qu’il soit nécessaire qu’il y ait une quelconque communication entre les deux. Leibniz a ensuite exporté cette notion pour traiter d’autres problèmes. Il l’a appliqué à l’ensemble des monades physiques et s’en est même servi à un usage proche de celui qu’on voit à l’ouvre ici dans le cadre de Göttingen, en parlant d’harmonie préétablie entre la sphère mathématique des idées éternelles et le monde physique. C’est Lewis Pyenson qui a porté l’attention des historiens et philosophes des sciences sur cette expression et son utilisation dans le contexte de la science allemande de la période de la république de Weimar. Cf. Pyenson Lewis, « Relativity in Late Wilhelmian Germany : The Appeal to a Preestablished Harmony between Mathematics and Physics », in Archive for History of Exact Sciences, n o 27, 1982, p. 138-139.

33 Sigurdsson donne les références qui suivent pour chaque auteur. Pour Weyl : le texte cité deux pages en arrière. Pour Minkowski : Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 9-10. Puis, Hilbert David, « Mathematische Problem : Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 », op. cit., p. 3 et Hilbert David, « Natur und mathematisches Erkennen », op. cit. Pour Einstein : Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 71. Enfin, pour Planck : ibid., p. 13.

34 Pyenson Lewis, « Relativity in Late Wilhelmian Germany : The Appeal to a Preestablished Harmony between Mathematics and Physics », op. cit.

35 Minkowski Hermann, « Raum und Zeit », in Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, n o 18, 1909, p. 75-88.

36 Le principal texte de Hilbert sur ce thème est : Hilbert David, « Die Grundlagen der physik », in Gesammelte Abhandlungen, vol. III, 1935, p. 258-289. Pour les références de Klein, cf. Sigurdsson Skuli, Weyl, mathematics and physics, 1900-1927, op. cit., p. 135.

37 Sigurdsson évoque les travaux de : Ervin Finlay Freundlich, Karl Schwarzschild, Arnold Sommerfeld, Max Abraham et Emil Wiechert. Ibid., p. 90-91.

38 Einstein Albert, « Elektrodynamik bewegter Körper », in Annalen der Physik, n o 17, 1905, p. 891-921.

39 Klein Felix , « Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen », in Mathematische Annalen , n° 43 , 1893 , p. 63-100.

© Presses universitaires de Paris Nanterre, 2013

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